Et system med tre innbyrdes vinkelrette plan. Projeksjon på tre gjensidig perpendikulære projeksjonsplan Tre gjensidig perpendikulære plan

Punktposisjon	Visuell bilde	Kompleks tegning	Karakteristiske tegn
tilhører flyet  1			A 1 – under X-aksen, A 2 – på X-aksen
tilhører flyet  1			B 1 – over X-aksen, B 2 – på X-aksen
tilhører flyet  2			C 2 – over X-aksen, C 1 – på X-aksen
tilhører flyet  2			D 1 – på X-aksen, D 2 – under X-aksen
tilhører X-aksen			E 1 faller sammen med E 2 og tilhører X-aksen

Oppgave nr. 1.

Konstruer en kompleks tegning av punkt A hvis:

punktet ligger i andre kvartal og er like langt fra planene  1 og  2.

punktet ligger i tredje kvartal, og avstanden til  1-planet er dobbelt så stor som til  2-planet.

punktet ligger i IV-kvartalet, og dets avstand til  1-planet er større enn til  2-planet.

Oppgave nr. 2.

Bestem i hvilke kvartaler punktene er plassert (fig. 2.21).

Oppgave nr. 3.

Konstruer en visuell representasjon av punktene i kvartalene:

a) A – generell stilling i tredje kvartal;

b) B – generell stilling i IV-kvartalet;

c) C – i andre kvartal, hvis avstanden fra  1 er 0;

d) D – i første kvartal, hvis avstanden fra  2 er 0.

Oppgave nr. 4.

Konstruer en kompleks tegning av punktene A, B, C, D (se oppgave 3).

§ 5. System med tre innbyrdes vinkelrette plan

I praksis, forskning og bildebehandling, gir et system med to innbyrdes vinkelrette plan ikke alltid muligheten for en entydig løsning. Så hvis du for eksempel flytter punkt A langs X-aksen, vil ikke bildet endres.

Posisjonen til punktet i rommet (fig. 2.22) er endret (fig. 2.24), men bildene i den komplekse tegningen forblir uendret (fig. 2.23 og fig. 2.25).

For å løse dette problemet introduseres et system med tre gjensidig vinkelrette plan, siden når du tegner tegninger, for eksempel maskiner og deres deler, kreves det ikke to, men flere bilder. På denne bakgrunn er det i enkelte konstruksjoner ved problemløsning nødvendig å introdusere  1,  2 og andre projeksjonsplan i systemet.

Tenk på tre innbyrdes vinkelrette plan 1 ,  2 ,  3 ( ris. 2,26). Det vertikale planet 3 kalles projeksjonsplanet. Skjærer hverandre, fly 1 ,  2 ,  3 danner projeksjonsaksene, mens rommet er delt inn i 8 oktanter.  1  2 = x; -x  1  3 = y; -y  2  3 = z; -z 0 – skjæringspunktet for projeksjonsaksene.

Disse flyene deler hele rommet inn i VIII-deler, som kalles oktanter (fra latin okto åtte). Planene har ingen tykkelse, er ugjennomsiktige og uendelige. Observatøren befinner seg i første kvartal (for systemene  1,  2) eller den første oktanten (for systemene  1,  2,  3) i en uendelig avstand fra projeksjonsplanene.

Oppgave nr. 4.

Oppgave nr. 3.

Oppgave nr. 2.

Oppgave nr. 1.

Dannelse av en kompleks tegning (diagram)

For å gjøre det enklere å bruke de resulterende bildene fra det romlige systemet av fly, la oss gå videre til det plane.

For dette:

1. Bruk metoden for å rotere planet p 1 rundt X-aksen til det er på linje med planet p 2 (fig. 2.7)

2. Kombiner planene p 1 og p 2 til ett tegneplan (fig. 2.8)

Ris. 2.7	Ris. 2.8

Fremspringene A 1 og A 2 er plassert på samme koblingslinje vinkelrett på X-aksen. Denne linjen kalles projeksjonsforbindelseslinjen (fig. 2.9).

Siden projeksjonsplanet anses som uendelig i rommet, trenger ikke grensene til planet p 1, p 2 å avbildes (fig. 2.10).

Som et resultat av å kombinere planene p 1 og p 2, oppnås en kompleks tegning eller diagram (fra den franske epure-tegningen), dvs. tegning i systemet p 1 og p 2 eller i systemet med to projeksjonsplan. Etter å ha erstattet det visuelle bildet med et diagram, har vi mistet det romlige bildet av plasseringen av projeksjonsplaner og punkter. Men diagrammene gir nøyaktighet og bilder som er enkle å måle med betydelig enkel konstruksjon. Å forestille seg et romlig bilde fra et diagram krever fantasiarbeid: for eksempel, ifølge fig. 2.11 må du forestille deg bildet vist i fig. 2.12.

Hvis det er en projeksjonsakse i den komplekse tegningen langs projeksjonene A 1 og A 2, kan du etablere posisjonen til punktet A i forhold til p 1 og p 2 (se fig. 2.5 og 2.6). Ved å sammenligne fig. 2.11 og 2.12 er det lett å fastslå at segmentet A 2 A X er avstanden fra punkt A til planet p 1, og segmentet A 1 A X er avstanden fra punkt A til p 2. Plasseringen av A 2 over projeksjonsaksen betyr at punktet A er plassert over planet p 1. Hvis A 1 på diagrammet er plassert under projeksjonsaksen, er punktet A foran planet p 2. Således bestemmer den horisontale projeksjonen av det geometriske bildet dets posisjon i forhold til frontalplanet til projeksjonene p 2 , og den frontale projeksjonen av det geometriske bildet - i forhold til horisontalplanet av projeksjonene p 1 .

Ris. 2.11	Ris. 2.12

§ 4. Kjennetegn på posisjonen til et punkt i systemet p 1 og p 2

Et punkt definert i rommet kan ha forskjellige posisjoner i forhold til projeksjonsplanene (fig. 2.13).

La oss vurdere mulige alternativer for plassering av et punkt i løpet av første kvartal:

1. Et punkt er lokalisert i rommet av første kvartal i en hvilken som helst avstand fra X-aksen og planene p 1 p 2, for eksempel punktene A, B (slike punkter kalles punkter med generell posisjon) (Fig. 2.14 og Fig. 2.15).

3. Punkt K tilhører samtidig både planet p 1 og p 2, det vil si at det tilhører X-aksen (fig. 2.18):

Basert på ovenstående kan vi trekke følgende konklusjon:

1. Hvis et punkt befinner seg i det første kvartalet, er projeksjonen A 2 plassert over X-aksen, og A 1 er under X-aksen; A 2 A 1 – ligg på samme vinkelrett (forbindelseslinje) til X-aksen (Fig. 2.14).

2. Hvis et punkt tilhører planet p 2, så faller dets projeksjon C 2 C (sammenfaller med selve punktet C) og projeksjonen C 1 X (tilhører X-aksen) og faller sammen med C X: C 1 C X.

3. Hvis et punkt tilhører planet p 1, så faller dets projeksjon D 1 på dette planet sammen med selve punktet D D 1, og projeksjonen D 2 tilhører X-aksen og faller sammen med D X: D 2 D X.

4. Hvis et punkt tilhører X-aksen, så faller alle projeksjonene sammen og tilhører X-aksen: K K 1 K 2 K X.

Trening:

1. Karakteriser posisjonen til poeng i løpet av første kvartal (fig. 2.19).

2. Konstruer et visuelt bilde og en omfattende tegning av punktet i henhold til beskrivelsen:

a) punkt C ligger i første kvartal, og er like langt fra planene p 1 og p 2.

b) punkt M tilhører planet p 2.

c) punkt K ligger i første kvartal, og avstanden til p 1 er dobbelt så stor som til planet p 2.

d) punkt L tilhører X-aksen.

3. Konstruer en kompleks tegning av et punkt i henhold til beskrivelsen:

a) punktet P ligger i første kvartal, og dets avstand fra planet p 2 er større enn fra planet p 1.

b) punkt A ligger i første kvartal og avstanden til planet p 1 er 3 ganger større enn til planet p 2.

c) punkt B ligger i første kvartal, og avstanden til planet er p 1 =0.

4. Sammenlign posisjonen til punktene i forhold til projeksjonsplanene p 1 og p 2 og med hverandre. Sammenligningen er gjort basert på egenskaper eller egenskaper. For punkter er disse karakteristikkene avstanden til planene p 1; p 2 (fig. 2.20).

Anvendelsen av teorien ovenfor når du konstruerer bilder av et punkt kan utføres på forskjellige måter:

• ord (verbal);
• grafisk (tegninger);
• visuelt bilde (volumetrisk);
• plan (kompleks tegning).

Evnen til å oversette informasjon fra en metode til en annen bidrar til utvikling av romlig tenkning, d.v.s. fra verbal til visuell (volumetrisk), og deretter til plan, og omvendt.

La oss se på dette med eksempler (tabell 2.1 og tabell 2.2).

Tabell 2.1

Eksempel på prikkbilde
i et system med to projeksjonsplaner

Kvartalsplass	Visuelt bilde	Kompleks tegning	Karakteristiske tegn
Jeg			Frontal projeksjon av punkt A over X-aksen, horisontal projeksjon av punkt A under X-aksen
II			Frontale og horisontale projeksjoner av punkt B over X-aksen
III			Frontal projeksjon av punkt C under X-aksen, horisontal projeksjon av punkt C over X-aksen
IV			Frontale og horisontale projeksjoner av punkt D under X-aksen

Tabell 2.2

Et eksempel på et bilde av punkter som tilhører planene p 1 og p 2

Punktposisjon	Visuelt bilde	Kompleks tegning	Karakteristiske tegn
Punkt A tilhører planet p 1			A 1 – under X-aksen, A 2 – på X-aksen
Punkt B tilhører plan p 1			B 1 – over X-aksen, B 2 – på X-aksen
Punkt C tilhører planet p 2			C 2 – over X-aksen, C 1 – på X-aksen
Punkt D tilhører planet p 2			D 1 – på X-aksen, D 2 – under X-aksen
Punkt E tilhører X-aksen			E 1 faller sammen med E 2 og tilhører X-aksen

Konstruer en kompleks tegning av punkt A hvis:

1. Punktet ligger i II-kvartalet og er like langt fra planene p 1 og p 2.

2. Punktet ligger i tredje kvartal, og avstanden til planet p 1 er dobbelt så stor som til planet p 2.

3. Punktet er plassert i IV-kvartalet, og dets avstand til p1-planet er større enn til p2-planet.

Bestem i hvilke kvartaler punktene er plassert (fig. 2.21).

1. Konstruer et visuelt bilde av punktene i kvartalene:

a) A – generell stilling i tredje kvartal;

b) B – generell stilling i IV-kvartalet;

c) C – i andre kvartal, hvis avstanden fra p 1 er 0;

d) D – i første kvartal, hvis avstanden fra p 2 er 0.

Konstruer en kompleks tegning av punktene A, B, C, D (se oppgave 3).

I praksis, forskning og bildebehandling, gir et system med to innbyrdes vinkelrette plan ikke alltid muligheten for en entydig løsning. Så hvis du for eksempel flytter punkt A langs X-aksen, vil ikke bildet endres.

Posisjonen til punktet i rommet (fig. 2.22) er endret (fig. 2.24), men bildene i den komplekse tegningen forblir uendret (fig. 2.23 og fig. 2.25).

Ris. 2.22	Ris. 2.23
Ris. 2.24	Ris. 2,25

For å løse dette problemet introduseres et system med tre gjensidig vinkelrette plan, siden når du tegner tegninger, for eksempel maskiner og deres deler, kreves det ikke to, men flere bilder. På dette grunnlaget, i noen konstruksjoner når man løser problemer, er det nødvendig å introdusere p 1, p 2 og andre projeksjonsplaner i systemet.

Disse flyene deler hele rommet inn i VIII-deler, som kalles oktanter (fra latin okto åtte). Planene har ingen tykkelse, er ugjennomsiktige og uendelige. Observatøren befinner seg i første kvartal (for systemer p 1, p 2) eller den første oktanten (for systemer p 1, p 2, p 3) i en uendelig avstand fra projeksjonsplanene.

§ 6. Punkt i systemet s 1, s 2, s 3

Konstruksjonen av projeksjoner av et bestemt punkt A, lokalisert i den første oktanten, på tre innbyrdes vinkelrette plan p 1, p 2, p 3 er vist i fig. 2.27. Ved å bruke kombinasjonen av projeksjonsplaner med p 2-planet og ved å bruke metoden for å rotere planene, får vi en kompleks tegning av punkt A (fig. 2.28):

AA 1 ^ p 1 ; AA 2 ^ p 2; AA 3 ^ s 3,

hvor A 3 – profilprojeksjon av punkt A; А Х, А y, А Z – aksiale projeksjoner av punkt A.

Fremspringene A 1, A 2, A 3 kalles henholdsvis frontal-, horisontal- og profilprojeksjonen av punkt A.

Ris. 2.27	Ris. 2.28

Projeksjonsplanene, som skjærer hverandre i par, definerer tre akser x, y, z, som kan betraktes som et system av kartesiske koordinater: akse X kalt abscisseaksen, akse y– ordinatakse, akse Z– applikatakse, skjæringspunktet mellom aksene, angitt med bokstaven OM, er opprinnelsen til koordinatene.

Dermed er betrakteren som ser på objektet i den første oktanten.

For å få en kompleks tegning bruker vi metoden for å rotere planene p 1 og p 3 (som vist i fig. 2.27) til de er på linje med planet p 2. Det endelige bildet av alle planene i den første oktanten er vist i fig. 2,29.

Her er øksene Åh Og Oz, som ligger i det faste planet p 2, er avbildet bare én gang, aksen Åh vist to ganger. Dette forklares av det faktum at, roterende med planet p 1, aksen y på diagrammet er det kombinert med aksen Oz, og roterende med planet p 3, faller denne samme aksen sammen med aksen Åh.

La oss se på fig. 2.30, hvor er punktet i rommet EN, gitt av koordinater (5,4,6). Disse koordinatene er positive, og hun er selv i første oktant. Konstruksjonen av et bilde av selve punktet og dets projeksjoner på en romlig modell utføres ved hjelp av et koordinat rektangulært parallellogram. For å gjøre dette plotter vi segmenter på koordinataksene, tilsvarende lengdesegmentene: Åh = 5, OAy = 4, OAz= 6. På disse segmentene ( ОАx, ОАy, ОАz), som på kantene, bygger vi et rektangulært parallellepiped. En av hjørnene vil definere et gitt punkt EN.

Når vi snakker om systemet med tre projeksjonsplaner i en kompleks tegning (fig. 2.30), er det nødvendig å merke seg følgende.

Når du løser problemer, er to anslag noen ganger ikke nok. Derfor introduseres et tredje plan vinkelrett på planene P 1 og P 2. De ringer henne profilplan (S 3 ) .

Tre plan deler rommet i 8 deler - oktanter (Fig. 6). Som før vil vi anta at betrakteren som ser på objektet befinner seg i den første oktanten. For å få et diagram (fig. 7), roteres ethvert geometrisk bilde av planet P 1 og P 3, som vist i fig. 6.

Projeksjonsplanene, som krysser hverandre i par, definerer tre akser x, y Og z, som kan betraktes som et system av kartesiske koordinater i rommet med opprinnelsen ved punktet OM.

For å få et diagram, roteres punkter i systemet med tre projeksjonsplan, plan P 1 og P 3, til de er på linje med planet P 2 (fig. 8). Når du angir akser på et diagram, er negative halvakser vanligvis ikke indikert.

For å finne profilprojeksjonen av punktene fortsett som følger: fra frontalprojeksjonen EN 2 poeng EN tegne en rett linje vinkelrett på aksen Z og på denne rette linjen fra aksen z plott et segment som er lik koordinaten på poeng EN(Fig. 9).

Fig.8 Fig. 9
Koordinater er tall som er tilordnet et punkt for å bestemme dets posisjon i rommet eller på en overflate. I tredimensjonalt rom bestemmes posisjonen til et punkt ved hjelp av rektangulære kartesiske koordinater x, y Og z(abscisse, ordinat og applikat):

EN
?
bscissa X = …………..= …..…..= ….….. = ………….. – avstand fra punktet til planet P 3;

ordinere på = ……….= ………= …...... = ………… – avstand fra punktet til planet P 2;

søknad z= …….. = ………= ……..= ………… – avstand fra punktet til planet P 1
EN 1 EN 2 – vertikal forbindelseslinje vinkelrett på x-aksen;

EN 2 EN 3 – horisontal forbindelseslinje vinkelrett på aksenz.
EN
?
1 (….,….) Projeksjonsposisjon for hvert punkt

EN 2 (….,….) er definert av to koordinater

EN 3 (….,….)
Hvis et punkt tilhører minst ett projeksjonsplan, okkuperer det privat posisjon i forhold til projeksjonsplanene. Hvis et punkt ikke tilhører noen av projeksjonsplanene, okkuperer det generell posisjon.

Forelesning nr. 2
RETT

1. Direkte. 2. Plassering av linjen i forhold til projeksjonsplanene. 3. Punktet tilhører en rett linje. 4. Sporene er rette. 5. Deling av et rett linjestykke i et gitt forhold. 6. Bestemmelse av lengden på et rett linjesegment og helningsvinklene til den rette linjen til projeksjonsplanene. 7. Innbyrdes plassering av linjer.
1RETT
Projeksjonen av en linje i det generelle tilfellet er en rett linje, bortsett fra tilfellet når linjen er vinkelrett på planet (fig. 10).

For å konstruere et diagram av en rett linje, bestem koordinatene x, y, z to punkter på en rett linje og overfør disse verdiene til tegningen.

2 POSISJON AV LINJE I FORHOLD TIL PROSJEKSJONSFLYENE
I

Avhengig av posisjonen til linjen i forhold til projeksjonsplanene, kan den innta både generelle og spesielle posisjoner.

P projeksjonen av en generisk linje er mindre enn selve den rette linjen.

Det er en stigende rett linje - dette er en rett linje, som stiger når den beveger seg bort fra observatøren (fig. 11) og en synkende rett linje, som avtar.

h   P 1 ; Z = konst

h 2  0x skilt

h 3  0på horisontal

h 1 =  h – eiendom

horisontal

 – helningsvinkel på den rette linjen til

plan P 1

 – helningsvinkel på den rette linjen til

plan P 2

 – helningsvinkel på den rette linjen til

fly P 3


?
= 0

 = (h 1  P 2) utpeke


Ris. 12. Horisontalt
= (h 1  P 3) på tegningen

f   P 2 ; y = konst

f 1  0x skilt

f 3  0z frontal

f 2 = f – frontal eiendom

?
= 0

 = (f 2  P 1) utpeke

 = (f 2  P 3) på tegningen

Ris. 13. Foran

R   P 3 ; x = konst

R 1  0på skilt

R 2  0z profil rett

R 3 =  R – profilegenskap

rett
 = 0


?
= (R 3  P 1) utpeke

 = (R 3  P 2) på tegningen

Ris. 14. Profil rett

EN P 1

EN 2  0X skilt

EN 3  0på

?
=

b P 2

b 1  0X skilt

b 3  0z

?
=

c P 3

c 1  0på skilt

Med 2  0z

?
=

3 TILHØRELSE AV ET RETT PUNKT
T teorem: Hvis et punkt i rommet tilhører en linje, er projeksjonene av dette punktet på diagrammet på de samme projeksjonene av linjen (fig. 18):

M  AB,

E AB.
Rettferdig omvendt teorem :

M 1  EN 1 B 1 ;

M 2  EN 2 B 2  M AB.

4 SPOR DIREKTE
MED
?
is – dette er punktet som skjæres av en rett linje med projeksjonsplanet (Fig. 19). Siden sporet tilhører et av projeksjonsplanene, må en av koordinatene være lik null.

merke på H = k ∩ P 1 – horisontal spor

tegning (fig. 19) F = k ∩ P 2 – frontal spor

?
P =k ∩ P 3 – profilspor

Regel for å konstruere spor:

For å konstruere et horisontalt spor av en rett linje..... er det nødvendig å utføre en frontalprojeksjon..... rett linje..... fortsett til den skjærer aksen X, deretter fra skjæringspunktet med aksen X gjenopprett en perpendikulær på den, og fortsett den horisontale..... projeksjonen av den rette linjen...... til den skjærer med denne perpendikulæren.

Frontsporet er konstruert på lignende måte.

5 INNDELING AV ET LINJESEGMENT I ET GITT FORHOLD
Fra egenskapene til parallell projeksjon er det kjent at hvis et punkt deler et linjestykke i et gitt forhold, så deler projeksjonene av dette punktet de samme projeksjonene av linjen i samme forhold.

Derfor, for å dele et bestemt segment på et diagram i et gitt forhold, er det nødvendig å dele projeksjonene i samme forhold.

Når du kjenner til denne tilstanden, kan du finne ut om et punkt tilhører TIL rett AB : EN 2 TIL 2 : TIL 2 I 2 ¹ EN 1 TIL 1 : TIL 1 I 1 Þ TIL Ï AB

Eksempel:Å dele en linje AB i forholdet 2:3 fra et punkt EN 1 la oss tegne et vilkårlig segment EN 1 I 0 1 delt inn i fem like deler (fig. 20): EN 1 K 0 1 = 2 deler, K 0 1 B 0 1 = 3 deler, EN 1 TIL 0 1 :TIL 0 1 I 0 1 =2: 3

Koble til prikken I 0 1 med prikk I 1 og tegning fra punktet TIL 0 1 rett parallell ( I 1 I 0 1) får vi projeksjonen av punktet TIL 1 . I følge Thales' teorem (Hvis like segmenter er lagt ut på den ene siden av en vinkel og parallelle linjer trekkes gjennom endene deres, krysser den andre siden, så legges like segmenter ned på den andre siden) EN 1 TIL 1: TIL 1 I 1 = = 2:3, så finner vi TIL 2. Dermed projeksjonene av punktet TIL dele de samme projeksjonene av et segment AB i denne forbindelse, derav poenget TIL deler et segment AB i forholdet 2:3.

6 BESTEMME LENGDEN PÅ ET RETT SEGMENT OG VINKLER

TILTES RETT TIL PROSJEKSJONSPLAN
Lengde på segmentet AB kan bestemmes fra en rettvinklet trekant ABC ,hvor EN MED  = EN 1 B 1 ,  CB  = DZ, hjørne en- helningsvinkel for segmentet til planet P 1 . For å gjøre dette, på diagrammet (fig. 21) fra punktet B 1 tegne et segment i en vinkel på 90  B 1 B 1 0 = DZ, det resulterende segmentet EN 1 B 1 0 og vil være den naturlige verdien av segmentet AB , og vinkelen B 1 EN 1 B 1 0 = α . Den vurderte metoden kalles metoden høyre trekant . Alle konstruksjoner kan imidlertid forklares som rotasjonen av en trekant ABC rundt siden AC til den blir parallell med flyet P 1 , i dette tilfellet projiseres trekanten på projeksjonsplanet uten forvrengning. For å bestemme b- helningsvinkelen til segmentet til planet P 2 konstruksjonene er like (fig. 22). Bare i en trekant ABC side  Sol  = DU og trekanten er på linje med planet P 2 .

? Angi fremspringene til linjen og

Bestem vinkelen α.

Angi fremspringene til linjen og

Bestem vinkelen α.

Angi fremspringene til linjen og

Bestem vinkelen β.

7 GJENSIDIG POSISJON AV STRAIGHTS
Linjer i rommet kan krysse, krysse og være parallelle.

1. Kryssende linjer - dette er linjer som ligger i samme plan og har et felles punkt (en ∩ b = K).

Teorem: Hvis rette linjer krysser hverandre i rommet, så krysser deres projeksjoner med samme navn på tegningen (fig. 23).

T skjæringspunktet for projeksjoner med samme navn er plassert på samme vinkelrett på aksen X (TIL 1 TIL 2  O X).

TIL = en ∩ b  TIL  en; TIL  b  TIL 1 = en 1 ∩ b 1 ;

TIL 2 = en 2 ∩ b 2 .
Det omvendte teoremet er også sant:

Hvis TIL 1  EN 1 ; TIL 2  b 2, da

TIL 1 = EN 1 ∩ b 1 ;

TIL 2 = EN 2 ∩ b 2  TIL = EN ∩ b.
2. Kryssende linjer - dette er rette linjer som ikke ligger i samme plan og ikke har et felles punkt (fig. 24).

Par med poeng 1 Og 2 , liggende på den horisontalt utstikkende linjen kalles horisontalt konkurrerende, og poeng 3 Og 4 – frontkonkurranse. Synlighet på diagrammet bestemmes ut fra dem.

P om horisontalt konkurrerende poeng 1 Og 2 Sikt i forhold til P 1 bestemmes. Punktum 1 nærmere observatørens øye, vil det være synlig på P 1-planet. Siden punkt 1 m, deretter rett m vil være høyere enn den rette linjen n.

Hvilken linje vil være synlig i forhold til flyet P 2 ?
3. Parallelle linjer - dette er linjer som ligger i samme plan og har et upassende felles punkt.

Teorem:

E Hvis linjene er parallelle i rommet, er deres projeksjoner med samme navn parallelle på tegningen (fig. 25).

Hvis k  m  k 1 m 1 , k 2 m 2 , k 3 m 3
Det omvendte teoremet er sant:

Hvis k 1 m 1 ; k 2 m 2  k  m
Forelesning nr. 3
FLY

1. Metoder for å definere et plan i en tegning. Spor etter et fly. 2. Plassering av planet i forhold til projeksjonsplanene. 3. Tilhørighet til et punkt og et rett plan. 4. Hovedlinjer (spesielle) i flyet.
1 MÅTER Å STILLE FLYET PÅ TEGNINGEN.

SPORFLY

Fly- en uendelig styrt overflate i alle retninger, som i hele sin lengde ikke har noen krumning eller brytning.

Planet på tegningen kan spesifiseres:

1. 
   Tre punkter som ikke ligger på samme linje - P (EN, B, C) , ris. 26.
2. 
   En rett linje og et punkt som ikke ligger på denne linjen – P (m, EN; EN m) , ris. 27.

   Ris. 29 Fig. tretti
   Spesifisere et fly ved hjelp av spor

   Spor fly – skjæringslinjen mellom planet og projeksjonsplanet (fig. 31).

   Horisontal spor oppnås ved skjæringen av planet P med horisontalplanet av projeksjoner (P P1 = P ∩ P 1).

   P P2 = P ∩ P 2 – frontal spor ;

   R P3 = P ∩ P 3 – profilspor ;

   R x, R y, R z – forsvinningspunkter .

   

10.1 Dihedral vinkel. Vinkel mellom planene

To kryssende linjer danner to par vertikale vinkler. Akkurat som to kryssende linjer på et plan danner et par vertikale vinkler (fig. 89, a), så danner to kryssende plan i rommet to par vertikale dihedrale vinkler (fig. 89, b).

Ris. 89

En dihedral vinkel er en figur som består av to halvplan som har en felles grenserett linje og ikke ligger i samme plan (fig. 90). Selve halvplanene kalles flatene til en dihedral vinkel, og deres felles grenselinje kalles dens kant.

Ris. 90

Dihedriske vinkler måles som følger.

La oss ta punktet O på kanten p av en dihedral vinkel med flatene α og β. Tegn strålene a og b fra punktet O ved sidene, vinkelrett på kanten p: a - i flaten α og b - i flaten β (fig. 91) , a).

Ris. 91

En vinkel med sidene a, b kalles en lineær dihedral vinkel.

Størrelsen på den lineære vinkelen avhenger ikke av valget av toppunktet på kanten av den dihedrale vinkelen.

La oss faktisk ta et annet punkt O 1 av kanten p og tegne strålene a 1 ⊥ p og b 1 ⊥ p i flatene α og β (fig. 91, b).

La oss plotte på stråle a segmentet OA, på stråle a 1 segmentet O 1 A 1, lik segmentet OA, på stråle b segmentet OB, og på stråle b 1 segmentet O 1 B 1, lik segmentet OB (fig. 91, c).

I rektanglene OAA 1 O 1 og 0BB 1 0 1 er sidene AA 1 og BB 1 lik deres felles side OO 1 og parallelle med den. Derfor AA 1 = BB 1 og AA 1 || BB 1.

Følgelig er firkanten ABV 1 A 1 et parallellogram (fig. 91, d), som betyr AB = A 1 B 1. Derfor er trekantene ABO og A 1 B 1 O 1 like (på tre sider) og vinkel ab er lik vinkel a 1 b 1.

Nå kan vi gi følgende definisjon: størrelsen på en dihedral vinkel er størrelsen på dens lineære vinkel.

Vinkelen mellom kryssende plan er størrelsen på den minste av de dihedriske vinklene som dannes av dem. Hvis denne vinkelen er 90°, kalles planene gjensidig vinkelrett. Vinkelen mellom parallelle plan antas å være 0°.

Vinkelen mellom planene α og β, samt verdien av den dihedrale vinkelen med flatene α og β, er betegnet ∠αβ.

Vinkelen mellom flatene til et polyeder som har en felles kant er verdien av den dihedrale vinkelen som tilsvarer disse flatene.

10.2 Egenskaper til innbyrdes perpendikulære plan

Eiendom 1. En rett linje som ligger i ett av to innbyrdes vinkelrette plan og vinkelrett på deres felles rette linje er vinkelrett på det andre planet.

Bevis. La planene α og β være innbyrdes perpendikulære og krysse langs en rett linje c. La rett linje en ligge i planet α og a ⊥ с (Fig. 92). Linje a skjærer c på et punkt O. La oss tegne en linje b i planet β gjennom punkt O, vinkelrett på linje c. Siden α ⊥ β, så a ⊥ b. Siden a ⊥ b og a ⊥ c, så α ⊥ β basert på perpendikulæriteten til linjen og planet.

Ris. 92

Den andre egenskapen er det motsatte av den første egenskapen.

Eiendom 2. En rett linje som har et felles punkt med ett av to innbyrdes vinkelrette plan og er vinkelrett på det andre planet, ligger i det første av dem.

Bevis. La planene α og β være innbyrdes perpendikulære og skjære langs en rett linje c, den rette linjen a ⊥ β og a har et felles punkt A med a (fig. 93). Gjennom punkt A trekker vi en rett linje p i planet α, vinkelrett på den rette linjen c. Ifølge egenskap 1 p ⊥ β. Linjene a og p går gjennom punkt A og er vinkelrett på planet β. Derfor faller de sammen, siden bare en rett linje går gjennom et punkt, vinkelrett på et visst plan. Siden den rette linjen p ligger i α-planet, ligger den rette linjen a i α-planet.

Ris. 93

En konsekvens av egenskap 2 er følgende tegn på vinkelrett på en linje og et plan: hvis to plan vinkelrett på et tredje plan krysser hverandre, er skjæringslinjen deres vinkelrett på det tredje planet.

Bevis. La to plan α og β, som skjærer langs en rett linje a, være vinkelrett på planet γ (fig. 94). Så gjennom et hvilket som helst punkt på linje a trekker vi en linje vinkelrett på planet γ. I følge egenskap 2 ligger denne linjen både i planet α og i planet β, dvs. den faller sammen med linje a. Altså en ⊥ γ.

Ris. 94

10.3 Tegn på vinkelrett på plan

La oss starte med praktiske eksempler. Planet til en dør hengt på en karm vinkelrett på gulvet er vinkelrett på gulvets plan i enhver posisjon av døren (fig. 95). Når de vil sjekke om en flat overflate (vegg, gjerde, etc.) er installert vertikalt, gjør de dette ved hjelp av en loddlinje - et tau med en last. Loddlinjen er alltid rettet vertikalt, og veggen står vertikalt hvis loddlinjen, plassert langs den, ikke avviker. Disse eksemplene forteller oss følgende enkle tegn på vinkelrettheten til plan: hvis et plan passerer gjennom en vinkelrett på et annet plan, er disse planene vinkelrett på hverandre.

Ris. 95

Bevis. La planet α inneholde en linje a vinkelrett på planet β (se fig. 92). Så skjærer rett linje a plan β på et punkt O. Punkt O ligger på linje c langs hvilken planene α og β skjærer. La oss tegne en linje b i β-planet gjennom punktet O, vinkelrett på linje c. Siden a ⊥ β, så a ⊥ b og a ⊥ c. Dette betyr at de lineære vinklene til de diedriske vinklene dannet av planene α og β som skjærer hverandre er rette. Derfor er planene α og β innbyrdes vinkelrette.

Legg merke til at hver to av de tre rette linjene a, b og c, tatt i betraktning nå (se fig. 92), er innbyrdes perpendikulære. Hvis vi bygger en annen linje som går gjennom punkt O og vinkelrett på to av disse tre linjene, vil den falle sammen med den tredje linjen. Dette faktum snakker om tredimensjonaliteten til rommet rundt oss: det er ingen fjerde linje vinkelrett på hver av linjene a, b og c.

Spørsmål for selvkontroll

1. Hvordan beregnes den dihedrale vinkelen?
2. Hvordan beregne vinkelen mellom planene?
3. Hvilke plan kalles gjensidig vinkelrett?
4. Hvilke egenskaper ved gjensidig vinkelrette plan kjenner du til?
5. Hvilket tegn på vinkelrett på plan kjenner du til?

Det er mange deler hvis forminformasjon ikke kan formidles av to tegneprojeksjoner. For at informasjon om den komplekse formen til en del skal presenteres tilstrekkelig fullstendig, brukes projeksjon på tre gjensidig vinkelrette projeksjonsplan: frontal - V, horisontal – H og profil - W .

Systemet med projeksjonsplan er en triedral vinkel med toppunktet i punktet OM. Skjæringspunktene til planene til en trihedrisk vinkel danner rette linjer - projeksjonens akser ( OKSE, OY, OZ) (Fig. 23).

Et objekt plasseres i et trihedralt hjørne slik at dens formative kant og bunn er parallelle med henholdsvis front- og horisontal projeksjonsplan. Deretter sendes projeksjonsstråler gjennom alle punkter på objektet, vinkelrett på alle tre projeksjonsplanene, hvor frontale, horisontale og profilprojeksjoner av objektet oppnås. Etter projeksjon fjernes objektet fra den trihedriske vinkelen, og deretter roteres horisontal- og profilprojeksjonsplanet med henholdsvis 90° rundt aksene ÅH Og OZ inntil den er på linje med frontprojeksjonsplanet og en tegning av delen som inneholder tre fremspring er oppnådd.

Ris. 23. Projeksjon på tre gjensidig vinkelrette

projeksjonsplaner

De tre projeksjonene på tegningen er forbundet med hverandre. Frontale og horisontale projeksjoner bevarer projeksjonsforbindelsen til bilder, det vil si at det etableres projeksjonsforbindelser mellom frontal og horisontal, frontal og profil, samt horisontal- og profilprojeksjoner (se fig. 23). Projeksjonslinjer definerer plasseringen av hver projeksjon på tegnefeltet.

I mange land i verden har et annet system med rektangulær projeksjon på tre gjensidig vinkelrette projeksjonsplan blitt tatt i bruk, som konvensjonelt kalles "amerikansk". Hovedforskjellen er at den trihedriske vinkelen er plassert annerledes i rommet, i forhold til det projiserte objektet. og flyene utfolder seg i andre retninger projeksjoner. Derfor vises den horisontale projeksjonen over den frontale, og profilprojeksjonen vises til høyre for den frontale.

Formen til de fleste gjenstander er en kombinasjon av ulike geometriske kropper eller deres deler. Derfor, for å lese og fullføre tegninger, må du vite hvordan geometriske kropper er avbildet i et system med tre projeksjoner.

Konsept med utsikt

Du vet at frontal-, horisontal- og profilprojeksjoner er bilder av en projeksjonstegning. Projeksjonsbilder av den ytre synlige overflaten til et objekt kalles visninger.

Utsikt– Dette er et bilde av den synlige overflaten til et objekt som vender mot observatøren.

Hovedtyper. Standarden etablerer seks hovedvisninger som oppnås ved projisering av et objekt plassert inne i en kube, hvis seks flater er tatt som projeksjonsplan (fig. 24). Etter å ha projisert en gjenstand på disse flatene, snus de til de er på linje med frontplanet av projeksjoner (fig. 25).

Ris. 24. Få grunnleggende visninger

Forfra(hovedvisning) er plassert på stedet for frontalprojeksjonen. Utsikt ovenfra plassert på det horisontale projeksjonsstedet (under hovedvisningen). Venstre visning plassert på stedet for profilprojeksjonen (til høyre for hovedvisningen). Utsikt til høyre plassert til venstre for hovedvisningen. Den nederste visningen er over hovedvisningen. Baksiden er plassert til høyre for venstre visning.

Ris. 25. Hovedtyper

Hovedsynene, samt projeksjonene, er plassert i et projeksjonsforhold. Antall visninger i tegningen er valgt til å være minimalt, men tilstrekkelig til å representere formen på det avbildede objektet nøyaktig. I visninger er det om nødvendig tillatt å vise usynlige deler av overflaten til et objekt ved hjelp av stiplede linjer (fig. 26).

Hovedvisningen skal inneholde mest informasjon om varen. Derfor må delen plasseres i forhold til frontalplanet av fremspring slik at dens synlige overflate kan projiseres med flest mulig formelementer. I tillegg bør hovedvisningen gi en klar ide om egenskapene til skjemaet, som viser silhuetten, overflatekurver, avsatser, fordypninger, hull, noe som sikrer rask gjenkjennelse av formen til det avbildede produktet.