Punktprodukt av vektorer. Punktprodukt av vektorer Operasjoner på vektorer i koordinatform

Denne testen kan brukes i klasser for mellom-, generaliserings- eller sluttkontroll av elevenes kunnskap. For at testen skal fungere riktig, må du sette sikkerhetsnivået til lavt (service-makro-sikkerhet)

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Alternativ 1 Alternativ 2 Brukte en mal for å lage tester i PowerPoint MKOU "Pogorelskaya Secondary School" Koshcheev M.M.

Testresultat Riktig: 14 Feil: 0 Karakter: 5 Tid: 3 min. 29 sek. fortsatt fikse det

Alternativ 1 b) 360° a) 180° c) 246° d) 274° e) 454°

Alternativ 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 d) 1

Alternativ 1 e) 5 d) 0 a) 7

Alternativ 1 b) stump e) eksisterer ikke, siden deres opprinnelse ikke sammenfaller c) 0° d) akutt a) rett

Alternativ 1 b) 10,5 d) under ingen omstendigheter a) -10,5

Alternativ 1 a) -10,5 b) 10,5 d) under ingen omstendigheter

Alternativ 1 e) 0 b) umulig å bestemme a) -6 d) 4 c) 6

Alternativ 1 b) 28 e) umulig å bestemme a) 70 d) -45,5 c) 91

Alternativ 1 9. To sider av en trekant er lik 16 og 5, og vinkelen mellom dem er 120°. Hvilket av de angitte intervallene tilhører lengden på den tredje siden? d) e) (19; 31] a) (0; 7 ] b) (7; 11] c) a) (0; 7 ] b) (7; 11] d)

Alternativ 1 13. Radiusen til sirkelen omskrevet om trekanten ABC er 0,5. Finn forholdet mellom sinusen til vinkel B og lengden på siden AC. e) 1 c) 1,3 a) 0,5 d) 2

Alternativ 1 14. I trekant ABC er lengdene på sidene BC og AB lik henholdsvis 5 og 7, og

Alternativ 2 c) 360° a) 180° b) 246° d) 274° e) 454°

Alternativ 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

Alternativ 2 a) 10 d) 17 e) 15

Alternativ 2 c) lik 0 ° e) eksisterer ikke, siden deres opprinnelse ikke sammenfaller c) stump d) akutt a) rett

Alternativ 2 b) 10,5 d) under ingen omstendigheter a) -10,5

Alternativ 2 a) - 10.5 d) under ingen omstendigheter c) 10.5

Alternativ 2 d) 0 b) umulig å bestemme a) -6 d) 4 c) 6

Alternativ 2 a) 70 e) umulig å fastslå b) 28 d) -45,5 c) 91

Alternativ 2 9. To sider av trekanten er lik 12 og 7, og vinkelen mellom dem er 60°. Hvilket av de angitte intervallene tilhører lengden på den tredje siden? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7 ] b) c) e) (19; 31] c)

Alternativ 2 13. Radiusen til sirkelen omskrevet om trekanten ABC er lik 2. Finn forholdet mellom sinusen til vinkel B og lengden på siden AC. a) 0,25 c) 1,3 d) 1 d) 2

Alternativ 2 14. I trekant ABC er lengdene på sidene AC og AB lik henholdsvis 9 og 7, og

Nøkler til testen: "Skalært produkt av vektorer. Trekantteoremer". Alternativ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Svar. b c d b c a d b d a c c d d Alternativ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Svar. c d a c d b d a d d c a a g Litteratur L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Tester i geometri 9. klasse for læreboka L.S. Atanasyan og andre. M.: "Exam" forlag, 2013 - 128 s.

Denne testen med automatisert svarkontroll kan brukes i klasser for mellomliggende, generalisering eller endelig kontroll av elevkunnskap. For at testen skal fungere riktig, må du sette sikkerhetsnivået til lavt (service-makro-sikkerhet).

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Alternativ 1 En mal for å lage tester i PowerPoint ble brukt av MKOU "Pogorelskaya Secondary School" Koshcheev M.M.

Alternativ 1 b) sløv a) skarp c) rett

Alternativ 1 c) lik null a) større enn null b) mindre enn null

Alternativ 1 b) -½∙a² c) ½∙a²

Alternativ 1 4. D ABC – tetraeder, AB=BC=AC=A D=BD=CD. Da er det ikke sant at...

Alternativ 1 5. Hvilken påstand er sann?

Alternativ 1 b) a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ c) a ₁ b ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ b ₂ a ₃ a) a ₁₂₂₂₂₂₃+ b ₃

Alternativ 1 b) - a² a) 0 c) a²

Alternativ 1 a) a b) o

valg 1

Alternativ 1 a) 7 c) -7 b) -9

Alternativ 1 b) -4 a) 4 c) 2

Alternativ 1 b) 120° a) 90° c) 60°

Alternativ 1 c) 0,7 a) -0,7 b) 1 13. Gitt koordinatene til punktene: A(1; -1; -4) , B (-3; -1; 0) , C(-1; 2 ; 5), D(2; -3; 1) . Da er cosinus til vinkelen mellom linjene AB og CD lik......

Alternativ 1 c) 4

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en Google-konto og logg på den: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Alternativ 2 En mal for å lage tester i PowerPoint ble brukt av MKOU "Pogorelskaya Secondary School" Koshcheev M.M.

Testresultat Riktig: 14 Feil: 0 Karakter: 5 Tid: 1 min. 40 sek. fortsatt fikse det

Alternativ 2 a) skarp b) stump c) rett

Alternativ 2 a) større enn null c) lik null b) mindre enn null

Alternativ 2 b) -½∙a² a) ½∙a²

Alternativ 2 4. ABCA ₁В₁С₁ – prisme,

Alternativ 2 5. Hvilken påstand er sann?

Alternativ 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ c) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ b) (n ₁- m ₁₂)² + (n ₂₂) )² + (n ₃- m ₃)²

Alternativ 2 c) - a² a) 0 b) a²

Alternativ 2 a) o c) a²

Alternativ 2

Alternativ 2 b) 3 c) -3 a) 19

Alternativ 2 a) - 0,5 b) -1 c) 0,5

Alternativ 2 b) 6 0° a) 90° c) 12 0°

Alternativ 2 a) 0,7 c) -0,7 b) 1 13. Gitt koordinatene til punktene: C(3 ; - 2 ; 1) , D(- 1 ; 2 ; 1) , M(2 ; -3 ; 3 ) , N(-1; 1; -2). Da er cosinus til vinkelen mellom linjene CD og MN lik......

Alternativ 2 c) 4

Nøkler til testen: Punktprodukt av vektorer. Alternativ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Svar. b c b c a b b a c a b b c b Litteratur G.I. Kovaleva, N.I. Mazurova Geometri karakterene 10-11. Tester for gjeldende og generell kontroll. Forlag "Teacher", 2009. Alternativ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Svar. a a b b b a c a c b a b a b

Valg 1.

Alternativ 2.

e) Er denne vinkelen spiss, rett eller stump (begrunn svaret)?

Valg 1.

1. Gitt punktene A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3)

a) Finn koordinatene til vektorene AB og CD.

b) Finn lengdene til vektorene AB og CD.

c) Finn skalarproduktet til vektorene AB og CD.

d) Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene AB og CD.

e) Er denne vinkelen spiss, rett eller stump (begrunn svaret)?

f) Ved hvilken verdi av x er vektorene CB og DQ vinkelrett?

2. I en likebenet trekant ABC er vinkel B en rett vinkel, AC = 2√2, ВD er medianen til trekanten. Beregn skalarproduktene til vektorene BD AC, BD BC, BD BD.

Alternativ 2.

1. Gitt punktene M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) Finn koordinatene til vektorene MR og OK.

b) Finn lengdene til vektorene MR og OK.

c) Finn skalarproduktet til vektorene MR og OK.

d) Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene MR og OK.

e) Er denne vinkelen spiss, rett eller stump (begrunn svaret)?

f) Ved hvilken verdi av y er vektorene PK og MR perpendikulære?

2. I den likesidede trekanten er MNR NK halveringslinjen, MN = 2. Regn ut skalarproduktene til vektorene NK MR, NK NR, RM RM

Valg 1.

1. Gitt punktene A(1; 3), B(4; 7), C(-1; -1), D(7; 5), Q(x; 3)

a) Finn koordinatene til vektorene AB og CD.

b) Finn lengdene til vektorene AB og CD.

c) Finn skalarproduktet til vektorene AB og CD.

d) Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene AB og CD.

e) Er denne vinkelen spiss, rett eller stump (begrunn svaret)?

f) Ved hvilken verdi av x er vektorene CB og DQ vinkelrett?

2. I en likebenet trekant ABC er vinkel B en rett vinkel, AC = 2√2, ВD er medianen til trekanten. Beregn skalarproduktene til vektorene BD AC, BD BC, BD BD.

Alternativ 2.

1. Gitt punktene M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; y).

a) Finn koordinatene til vektorene MR og OK.

b) Finn lengdene til vektorene MR og OK.

c) Finn skalarproduktet til vektorene MR og OK.

d) Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene MR og OK.

e) Er denne vinkelen spiss, rett eller stump (begrunn svaret)?

f) Ved hvilken verdi av y er vektorene PK og MR perpendikulære?

2. I den likesidede trekanten er MNR NK halveringslinjen, MN = 2. Regn ut skalarproduktene til vektorene NK MR, NK NR, RM RM

Vil du bli bedre på datakunnskaper?

Slideshare publiseringstjeneste lar deg konvertere Power Point-presentasjoner, tekstdokumenter, PDF-filer(50 MB) i flash-format. I pedagogiske aktiviteter denne tjenesten kan brukes både til å lage en portefølje av studenter og lærere, og til vanlig demonstrasjon av presentasjoner og design av designarbeid.

Les nye artikler

Hvis du er lærer, så har du selvfølgelig lurt på: hvilke bøker må du lese for å få arbeidet ditt til å gi glede og tilfredsstillelse? Det er ingen tvil om at du nå kan finne et vell av informasjon om dette problemet på Internett. Men det er veldig vanskelig å forstå et slikt mangfold. Og å finne ut hvilke bøker som virkelig vil hjelpe deg, vil ta mye tid. I denne artikkelen vil du lære om hvilke bøker hver lærer bør lese.

Klarheten i materialet motiverer barn grunnskole til en beslutning pedagogisk oppgave og opprettholder interessen for faget. Derfor er en av de mest effektive undervisningsmetodene bruken av flashcards. Kort kan brukes når du underviser i alle fag, inkludert i klubbaktiviteter og fritidsaktiviteter. For eksempel er de samme kortene med grønnsaker og frukt egnet for undervisning i telling i matematikktimer, og for å studere temaet ville og hageplanter i leksjoner om den naturlige verden.

Prikk produkt en  b to vektorer som ikke er null en Og b er et tall som er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem. Hvis minst én av disse vektorene er lik null, er skalarproduktet lik null. Dermed har vi per definisjon

hvor  er vinkelen mellom vektorene en Og b .

Punktprodukt av vektorer en , b også angitt med symboler ab .

Tegnet til skalarproduktet bestemmes av verdien :

hvis 0    At en  b  0,

hvis    , da en  b  0.

Punktproduktet er definert for kun to vektorer.

Operasjoner på vektorer i koordinatform

Slipp inn koordinatsystemet Ååå vektorer er gitt en = (x 1 ; y 1) = x 1 Jeg + y 1 j Og b = (x 2 ; y 2) = x 2 Jeg + y 2 j .

1. Hver koordinat av summen av to (eller flere) vektorer er lik summen av de tilsvarende koordinatene til komponentvektorene, dvs. en + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Hver koordinat av forskjellen til to vektorer er lik forskjellen til de tilsvarende koordinatene til disse vektorene, dvs. en – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Hver koordinat av produktet av en vektor med et tall  er lik produktet av den tilsvarende koordinaten til denne vektoren med , dvs.  EN = ( X 1 ;  på 1).

4. Skalarproduktet av to vektorer er lik summen av produktene til de tilsvarende koordinatene til disse vektorene, dvs. en  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Konsekvens. Vektorlengde EN = (x; y) er lik kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater, dvs.

=
(5)

Eksempel 4. Vektorer er gitt
b = 3Jeg – j .

Påkrevd:

1. Finn

2. Finn skalarproduktet til vektorer Med , d .

3. Finn lengden på vektoren Med .

Løsning

1. Ved å bruke egenskap 3 finner vi koordinatene til vektor 2 EN , –EN , 3b , 2b : 2EN = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –EN = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

Ved å bruke egenskapene 2, 1 finner vi koordinatene til vektorene Med , d : Med = 2en – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –en + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Ved eiendom 4 cd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Som følge av egenskap 4 | Med | =
=
.

Test 3 . Bestem vektorkoordinater EN + b , Hvis EN = (–3; 4), b = = (5; –2):

Test 4. Bestem vektorkoordinater EN – b , Hvis EN = (2; –1), b = = (3; –4):

Test 5 . Finn koordinatene til vektor 3 EN , Hvis EN = (2; –1):

Test 6 . Finn punktproduktet en , b vektorer EN = (1; –4), b = (–2; 3):

Test 7 . Finn lengden på vektoren EN = (–12; 5):

3)
;

Svar på testoppgaver

1.3. Elementer av analytisk geometri i rommet

Et rektangulært koordinatsystem i rommet består av tre innbyrdes perpendikulære koordinatakser, som skjærer i samme punkt (opprinnelse 0) og har en retning, samt en skalaenhet langs hver akse (Figur 17).

Figur 17

Punktposisjon M på flyet bestemmes unikt av tre tall - dets koordinater M(X T ; på T ; z T), Hvor X T- abscisse, på T- ordinere, z T– søke.

Hver av dem gir avstanden fra punktet M til et av koordinatplanene med et fortegn som tar hensyn til hvilken side av dette planet punktet er plassert: om det er tatt i retning av den tredje aksens positive eller negative retning.

Tre koordinatplan deler rommet i 8 deler (oktanter).

Avstand mellom to punkter EN(X EN ; på EN ; z EN) Og B(X I ; på I ; z I) beregnes av formelen

La poeng gis EN(X 1 ; på 1 ; z 1) og B(X 2 ; på 2 ; z 2). Deretter koordinatene til punktet MED(X; på; z), deler segmentet
i forhold, uttrykkes ved følgende formler:

Eksempel 1 . Finn avstand AB, Hvis EN(3; 2; –10) og I(–1; 4; –5).

Løsning

Avstand AB beregnet med formelen

Settet av alle punkter hvis koordinater tilfredsstiller en ligning med tre variabler utgjør en viss overflate.

Settet med punkter hvis koordinater tilfredsstiller to ligninger, utgjør en viss linje - skjæringslinjen mellom de tilsvarende to overflatene.

Hver ligning av første grad representerer et plan, og omvendt kan hvert plan representeres av ligninger av første grad.

Alternativer EN, B, C er koordinatene til normalvektoren vinkelrett på planet, dvs. n = (EN; B; C).

Ligning av planet i segmenter avskåret på aksene: en– langs aksen OKSE, b– langs aksen OY, Med– langs aksen OZ:

La to fly gis EN 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, EN 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Betingelse for parallelle plan:
.

Betingelse for at fly skal være vinkelrette:

Vinkelen mellom planene bestemmes av følgende formel:

La flyet passere gjennom punktene M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Da ser ligningen slik ut:

Avstand fra punkt M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) til fly Øks + Av + Cz + D= 0 er funnet av formelen

Test 1. Fly
går gjennom punktet:

1) EN(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Test 2 . Planligning OXY følgende:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Eksempel 2 . Skriv ligningen til et plan parallelt med planet OXY og passerer gjennom punktet (2; –5; 3).

Løsning

Siden flyet er parallelt med planet OXY, har ligningen formen Cz + D= 0 (vektor  = (0; 0; MED)  ÅHY).

Siden flyet går gjennom punktet (2; –5; 3), da C  3 + D= 0 eller hva som helst D = –3C.

Dermed, CZ – 3C= 0. Siden MED≠ 0, da z – 3 = 0.

Svar: z – 3 = 0.

Test 3 . Ligningen til planet som går gjennom origo og vinkelrett på vektoren (3; –1; –4) har formen:

Test 4 . Størrelsen på segmentet avskåret langs aksen OY flyet
er lik:

Eksempel 3 . Skriv likningen til planet:

1. Parallelt plan
og passerer gjennom punktet EN(2; 0; –1).

2. Vinkelrett på planet
og passerer gjennom punktet B(0; 2; 0).

Løsning

Vi vil se etter planligninger i skjemaet EN 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Siden planene er parallelle, altså
Herfra EN= 3t,B= –t,C= 2t, Hvor tR. La t= 1. Deretter EN = 3, B = –1, C= 2. Derfor tar ligningen formen
Punktkoordinater EN, som tilhører flyet, gjør ligningen til en ekte likhet. Derfor, 32 – 10 + 2(–1) + D= 0. Fra D= 4.

Svar:

2. Siden planene er vinkelrette, så 3  EN – 1  B + 2  C = 0.

Siden det er tre variabler, men en ligning, tar to variabler vilkårlige verdier som ikke er lik null på samme tid. La EN = 1, B= 3. Deretter C= 0. Ligningen blir
D= –6.