Den tilfeldige variabelen er gitt av fordelingsfunksjonen; finn konstanten. Forventning om en kontinuerlig tilfeldig variabel
TILFELDIGE VARIABLER
Eksempel 2.1. Tilfeldig verdi X gitt av distribusjonsfunksjonen
Finn sannsynligheten for at som et resultat av testen X vil ta verdier i intervallet (2,5; 3,6).
Løsning: X i intervallet (2.5; 3.6) kan bestemmes på to måter:
Eksempel 2.2. Ved hvilke parameterverdier EN Og I funksjon F(x) = A + Be - x kan være en distribusjonsfunksjon for ikke-negative verdier tilfeldig variabel X.
Løsning: Siden alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen X tilhører intervallet , da for at funksjonen skal være en fordelingsfunksjon for X, må eiendommen være oppfylt:
.
Svar: 
.
Eksempel 2.3. Den tilfeldige variabelen X er spesifisert av fordelingsfunksjonen
Finn sannsynligheten for at, som et resultat av fire uavhengige tester, verdien X nøyaktig 3 ganger vil ta en verdi som tilhører intervallet (0,25;0,75).
Løsning: Sannsynlighet for å treffe en verdi X i intervallet (0,25;0,75) finner vi ved å bruke formelen:
Eksempel 2.4. Sannsynligheten for at ballen treffer kurven med ett skudd er 0,3. Lag en fordelingslov for antall treff med tre kast.
Løsning: Tilfeldig verdi X– antall treff i kurven med tre skudd – kan ta følgende verdier: 0, 1, 2, 3. Sannsynligheter for at X
X:
Eksempel 2.5. To skyttere skyter hvert skudd mot et mål. Sannsynligheten for at den første skytteren treffer den er 0,5, den andre - 0,4. Lag en distribusjonslov for antall treff på et mål.
Løsning: La oss finne fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel X– antall treff på målet. La hendelsen være den første skytteren som treffer skiven, og la den andre skytteren treffe skiven, og være deres bom, henholdsvis.
La oss komponere loven om sannsynlighetsfordeling av SV X:
Eksempel 2.6. Tre elementer er testet og fungerer uavhengig av hverandre. Varigheten av tiden (i timer) for feilfri drift av elementer har en fordelingstetthetsfunksjon: for det første: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, for det andre: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, for den tredje: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Finn sannsynligheten for at i tidsintervallet fra 0 til 5 timer: bare ett element vil mislykkes; bare to elementer vil mislykkes; alle tre elementene vil mislykkes.
Løsning: La oss bruke definisjonen av den sannsynlighetsgenererende funksjonen:
Sannsynligheten for at i uavhengige forsøk, hvorav den første sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN lik , i den andre, osv. hendelse EN vises nøyaktig én gang, lik koeffisienten i utvidelsen av genereringsfunksjonen i potenser . La oss finne sannsynlighetene for henholdsvis feil og ikke-feil for det første, andre og tredje elementet i tidsintervallet fra 0 til 5 timer:
La oss lage en genereringsfunksjon:
Koeffisienten at er lik sannsynligheten for at hendelsen EN vil vises nøyaktig tre ganger, det vil si sannsynligheten for feil på alle tre elementene; koeffisienten at er lik sannsynligheten for at nøyaktig to elementer vil mislykkes; koeffisienten at er lik sannsynligheten for at bare ett element vil svikte.
Eksempel 2.7. Gitt sannsynlighetstettheten f(x)tilfeldig variabel X:
Finn fordelingsfunksjonen F(x).
Løsning: Vi bruker formelen:
.
Dermed ser distribusjonsfunksjonen slik ut:
Eksempel 2.8. Enheten består av tre uavhengig opererende elementer. Sannsynligheten for feil på hvert element i ett eksperiment er 0,1. Lag en distribusjonslov for antall mislykkede elementer i ett eksperiment.
Løsning: Tilfeldig verdi X– antall elementer som mislyktes i ett eksperiment – kan ha følgende verdier: 0, 1, 2, 3. Sannsynligheter for at X tar disse verdiene, finner vi ved å bruke Bernoullis formel:
Dermed får vi følgende lov om sannsynlighetsfordeling av en tilfeldig variabel X:
Eksempel 2.9. I en batch på 6 deler er det 4 standard. 3 deler ble valgt tilfeldig. Lag en distribusjonslov for antall standarddeler blant de utvalgte.
Løsning: Tilfeldig verdi X– antall standarddeler blant de valgte – kan ha følgende verdier: 1, 2, 3 og har en hypergeometrisk fordeling. Sannsynlighetene for at X
Hvor -- antall deler i partiet;
-- antall standarddeler i en batch;
– antall utvalgte deler;
-- antall standarddeler blant de valgte.
.
.
.
Eksempel 2.10. Den tilfeldige variabelen har en distribusjonstetthet
og er ikke kjent, men , a og . Finn og.
Løsning: I i dette tilfellet tilfeldig verdi X har en trekantfordeling (Simpson-fordeling) på intervallet [ a, b]. Numeriske egenskaper X:
Derfor, 
. Bestemmer seg dette systemet, får vi to verdipar: . Siden i henhold til betingelsene for problemet, har vi endelig: 
.
Svar: .
Eksempel 2.11. I gjennomsnitt 10 % av kontraktene Forsikringsselskap betaler forsikringsbeløp i forbindelse med at en forsikringstilfelle inntreffer. Beregn den matematiske forventningen og spredningen av antall slike kontrakter blant fire tilfeldig utvalgte.
Løsning: Den matematiske forventningen og variansen kan bli funnet ved å bruke formlene:
.
Mulige verdier av SV (antall kontrakter (av fire) med forekomsten av en forsikringstilfelle): 0, 1, 2, 3, 4.
Vi bruker Bernoullis formel for å beregne sannsynlighetene ulike tall kontrakter (av fire) som forsikringsbeløpene ble betalt for:
.
IC-distribusjonsserien (antall kontrakter med forekomsten av en forsikret hendelse) har formen:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Svar: , .
Eksempel 2.12. Av de fem rosene er to hvite. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel som uttrykker antall hvite roser blant to tatt samtidig.
Løsning: I et utvalg av to roser kan det enten være ingen hvit rose, eller det kan være en eller to hvite roser. Derfor er den tilfeldige variabelen X kan ta verdier: 0, 1, 2. Sannsynligheter for at X tar disse verdiene, finner vi det ved å bruke formelen:
Hvor -- antall roser;
-- antall hvite roser;
– antall roser tatt på samme tid;
-- antall hvite roser blant de som ble tatt.
.
.
.
Da vil fordelingsloven til den tilfeldige variabelen være som følger:
Eksempel 2.13. Blant de 15 sammensatte enhetene krever 6 ekstra smøring. Lag en distribusjonslov for antall enheter som trenger ekstra smøring blant fem tilfeldig valgt fra det totale antallet.
Løsning: Tilfeldig verdi X– antall enheter som krever ekstra smøring blant de fem valgte – kan ha følgende verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5 og har en hypergeometrisk fordeling. Sannsynlighetene for at X tar disse verdiene, finner vi det ved å bruke formelen:
Hvor -- antall sammensatte enheter;
-- antall enheter som krever ekstra smøring;
– antall utvalgte enheter;
-- antall enheter som krever ekstra smøring blant de valgte.
.
.
.
.
.
Da vil fordelingsloven til den tilfeldige variabelen være som følger:
Eksempel 2.14. Av de 10 klokkene som er mottatt for reparasjon, krever 7 generell rengjøring av mekanismen. Klokkene er ikke sortert etter type reparasjon. Mesteren, som ønsker å finne klokker som trenger rengjøring, undersøker dem en etter en, og etter å ha funnet slike klokker, slutter han å se videre. Finn den matematiske forventningen og variansen til antall timer sett.
Løsning: Tilfeldig verdi X– antall enheter som trenger ekstra smøring blant de fem valgte – kan ha følgende verdier: 1, 2, 3, 4. Sannsynligheter for at X tar disse verdiene, finner vi det ved å bruke formelen:
.
.
.
.
Da vil fordelingsloven til den tilfeldige variabelen være som følger:
La oss nå beregne de numeriske egenskapene til mengden:
Svar: , .
Eksempel 2.15. Abonnenten har glemt det siste sifferet i telefonnummeret han trenger, men husker at det er rart. Finn den matematiske forventningen og variansen til antall ganger han slår et telefonnummer før han når ønsket nummer, hvis han slår det siste sifferet tilfeldig og ikke senere slår det oppringte sifferet.
Løsning: Den tilfeldige variabelen kan ha følgende verdier: . Siden abonnenten ikke slår det oppringte sifferet i fremtiden, er sannsynlighetene for disse verdiene like.
La oss kompilere en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel:
| 0,2 |
La oss beregne den matematiske forventningen og variansen til antall oppringingsforsøk:
Svar: , .
Eksempel 2.16. Sannsynligheten for feil under pålitelighetstester for hver enhet i serien er lik s. Bestem den matematiske forventningen til antall enheter som mislyktes hvis de ble testet N enheter.
Løsning: Diskret tilfeldig variabel X er antall feilede enheter i N uavhengige tester, i hver av dem er sannsynligheten for feil lik p, fordelt etter binomialloven. Forventet verdi binomial fordeling er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i ett forsøk:
Eksempel 2.17. Diskret tilfeldig variabel X tar 3 mulige verdier: med sannsynlighet ; med sannsynlighet og med sannsynlighet. Finn og , vel vitende om at M( X) = 8.
Løsning: Vi bruker definisjonene av matematisk forventning og fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel:
Vi finner: .
Eksempel 2.18. Teknisk kontrollavdeling sjekker produktene for standard. Sannsynligheten for at produktet er standard er 0,9. Hver batch inneholder 5 produkter. Finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X– antall partier, som hver inneholder nøyaktig 4 standardprodukter, dersom 50 partier er gjenstand for inspeksjon.
Løsning: I dette tilfellet er alle utførte eksperimenter uavhengige, og sannsynlighetene for at hver batch inneholder nøyaktig 4 standardprodukter er de samme, derfor kan den matematiske forventningen bestemmes av formelen:
,
hvor er antall partier;
Sannsynligheten for at en batch inneholder nøyaktig 4 standardprodukter.
Vi finner sannsynligheten ved å bruke Bernoullis formel:
Svar: 
.
Eksempel 2.19. Finn variansen til en tilfeldig variabel X– antall forekomster av hendelsen EN i to uavhengige forsøk, hvis sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i disse forsøkene er den samme og det er kjent at M(X) = 0,9.
Løsning: Problemet kan løses på to måter.
1) Mulige verdier for SV X: 0, 1, 2. Ved å bruke Bernoulli-formelen bestemmer vi sannsynlighetene for disse hendelsene:
, , .
Deretter fordelingsloven X har formen:
Fra definisjonen av matematisk forventning bestemmer vi sannsynligheten:
La oss finne spredningen av SV X:
.
2) Du kan bruke formelen:
.
Svar: 
.
Eksempel 2.20. Forventning og standardavvik for en normalfordelt stokastisk variabel X henholdsvis lik 20 og 5. Finn sannsynligheten for at som et resultat av testen X vil ta verdien i intervallet (15; 25).
Løsning: Sannsynlighet for å treffe en normal tilfeldig variabel X på seksjonen fra til uttrykkes gjennom Laplace-funksjonen:
Eksempel 2.21. Gitt funksjon: 
Ved hvilken parameterverdi C denne funksjonen er fordelingstettheten til en eller annen kontinuerlig tilfeldig variabel X? Finn den matematiske forventningen og variansen til en tilfeldig variabel X.
Løsning: For at en funksjon skal være distribusjonstettheten til en tilfeldig variabel, må den være ikke-negativ, og den må tilfredsstille egenskapen:
.
Derfor:
La oss beregne den matematiske forventningen ved å bruke formelen:
.
La oss beregne variansen ved å bruke formelen:
T er lik s. Det er nødvendig å finne den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen.
Løsning: Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X - antall forekomster av en hendelse i uavhengige forsøk, hvor sannsynligheten for at hendelsen inntreffer er lik , kalles binomial. Den matematiske forventningen til binomialfordelingen er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for forekomst av hendelse A i ett forsøk:
.
Eksempel 2.25. Tre uavhengige skudd skytes mot målet. Sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,25. Bestem standardavviket for antall treff med tre skudd.
Løsning: Siden det utføres tre uavhengige forsøk, og sannsynligheten for at hendelse A (et treff) inntreffer i hvert forsøk er den samme, vil vi anta at den diskrete tilfeldige variabelen X - antall treff på målet - er fordelt iht. binomial lov.
Variansen til binomialfordelingen er lik produktet av antall forsøk og sannsynligheten for forekomst og ikke-forekomst av en hendelse i ett forsøk:
Eksempel 2.26. Gjennomsnittlig antall kunder som besøker et forsikringsselskap på 10 minutter er tre. Finn sannsynligheten for at minst én klient kommer i løpet av de neste 5 minuttene.
Gjennomsnittlig antall kunder som ankommer i løpet av 5 minutter: 
. .
Eksempel 2.29. Ventetiden for en applikasjon i prosessorkøen følger en eksponentiell distribusjonslov med en gjennomsnittsverdi på 20 sekunder. Finn sannsynligheten for at neste (tilfeldige) forespørsel vil vente på prosessoren i mer enn 35 sekunder.
Løsning: I dette eksemplet, den matematiske forventningen 
, og feilraten er lik .
Deretter ønsket sannsynlighet:
Eksempel 2.30. En gruppe på 15 studenter holder møte i en sal med 20 rader med 10 plasser hver. Hver elev tar plass i hallen tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at ikke mer enn tre personer kommer på den syvende plassen i rekken?
Løsning:
Eksempel 2.31.
Så, i henhold til den klassiske definisjonen av sannsynlighet:
Hvor -- antall deler i partiet;
-- antall ikke-standard deler i partiet;
– antall utvalgte deler;
-- antall ikke-standarddeler blant de valgte.
Da vil fordelingsloven til den tilfeldige variabelen være som følger.
Distribusjonstetthet sannsynligheter X kall opp funksjonen f(x)– den første deriverte av fordelingsfunksjonen F(x):
Konseptet med sannsynlighetsfordelingstetthet av en tilfeldig variabel X Til diskret verdi ikke aktuelt.
Sannsynlighetsfordelingstetthet f(x)– kalt:
Eiendom 1. Distribusjonstetthet er en ikke-negativ størrelse:
Eiendom 2. Feil integral fra distribusjonstettheten i området fra til er lik enhet:
Eksempel 1.25. Gitt fordelingsfunksjonen til en kontinuerlig tilfeldig variabel X:
f(x).
Løsning: Fordelingstettheten er lik den første deriverte av fordelingsfunksjonen:
1. Gitt fordelingsfunksjonen til en kontinuerlig tilfeldig variabel X:
Finn distribusjonstettheten.
2. Fordelingsfunksjonen til en kontinuerlig stokastisk variabel er gitt X:
Finn distribusjonstettheten f(x).
1.3. Numeriske kjennetegn ved kontinuerlig tilfeldig
mengder
Forventet verdi kontinuerlig tilfeldig variabel X, hvis mulige verdier tilhører hele aksen Åh, bestemmes av likheten:
Det antas at integralet konvergerer absolutt.
a,b), Det:
f(x)– distribusjonstetthet av en tilfeldig variabel.
Spredning kontinuerlig tilfeldig variabel X, hvis mulige verdier tilhører hele aksen, bestemmes av likheten:
Et spesielt tilfelle. Hvis verdiene til en tilfeldig variabel tilhører intervallet ( a,b), Det:
Sannsynligheten for at X vil ta verdier som tilhører intervallet ( a,b), bestemmes av likheten:
.
Eksempel 1.26. Kontinuerlig tilfeldig variabel X
Finn den matematiske forventningen, variansen og sannsynligheten for å treffe en tilfeldig variabel X i intervallet (0;0,7).
Løsning: Den stokastiske variabelen er fordelt over intervallet (0,1). La oss bestemme fordelingstettheten til en kontinuerlig tilfeldig variabel X:
a) Matematisk forventning 
:
b) Varians 
V) 
Oppgaver for selvstendig arbeid:
1. Tilfeldig variabel X gitt av distribusjonsfunksjonen:
M(x);
b) varians D(x);
X inn i intervallet (2,3).
2. Tilfeldig variabel X
Finn: a) matematisk forventning M(x);
b) varians D(x);
c) bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel treffer X inn i intervallet (1;1,5).
3. Tilfeldig variabel X er gitt av den kumulative fordelingsfunksjonen:
Finn: a) matematisk forventning M(x);
b) varians D(x);
c) bestemme sannsynligheten for at en tilfeldig variabel treffer X i intervallet
1.4. Lover for fordeling av en kontinuerlig tilfeldig variabel
1.4.1. Uniform distribusjon
Kontinuerlig tilfeldig variabel X har en jevn fordeling på segmentet [ a,b], hvis stil den tilfeldige variabelen på dette segmentet er konstant, og utenfor den er den lik null, dvs.:
Ris. 4.
; 
; 
.
Eksempel 1.27. En buss på en bestemt rute kjører jevnt med intervaller på 5 minutter. Finn sannsynligheten for at en jevnt fordelt tilfeldig variabel X– ventetiden på bussen vil være under 3 minutter.
Løsning: Tilfeldig verdi X– jevnt fordelt over intervallet .
Sannsynlighetstetthet: 
.
For at ventetiden ikke skal overstige 3 minutter, må passasjeren møte på holdeplassen innen 2 til 5 minutter etter at forrige buss går, d.v.s. tilfeldig verdi X må falle inn i intervallet (2;5). At. nødvendig sannsynlighet:
Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid:
1. a) finn den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X fordelt jevnt i intervallet (2;8);
b) finn variansen og standardavviket til den tilfeldige variabelen X, fordelt jevnt i intervallet (2;8).
2. Minuttviseren til en elektrisk klokke beveger seg brått på slutten av hvert minutt. Finn sannsynligheten for at klokken i et gitt øyeblikk vil vise en tid som ikke avviker fra den sanne tiden med mer enn 20 sekunder.
1.4.2. Eksponentiell fordeling
Kontinuerlig tilfeldig variabel X er fordelt i henhold til den eksponentielle loven hvis sannsynlighetstettheten har formen:
hvor er parameteren til eksponentialfordelingen.
Dermed 
Ris. 5.
Numeriske egenskaper:
Eksempel 1.28. Tilfeldig verdi X– driftstid for en lyspære – har en eksponentiell fordeling. Bestem sannsynligheten for at lyspærens driftstid vil være minst 600 timer dersom gjennomsnittlig driftstid er 400 timer.
Løsning: I henhold til betingelsene for problemet, den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel X tilsvarer 400 timer, derfor:
; 
Den nødvendige sannsynligheten, hvor
Endelig:
Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid:
1. Skriv tettheten og fordelingsfunksjonen til eksponentialloven hvis parameteren .
2. Tilfeldig variabel X
Finn den matematiske forventningen og variansen til en mengde X.
3. Tilfeldig variabel X er gitt aven:
Finn den matematiske forventningen og standardavviket til en tilfeldig variabel.
1.4.3. Normal distribusjon
Normal kalles sannsynlighetsfordelingen til en kontinuerlig tilfeldig variabel X, hvis tetthet har formen:
Hvor EN– matematisk forventning, – standardavvik X.
Sannsynligheten for at X vil ta en verdi som tilhører intervallet:
, Hvor
– Laplace-funksjon.
En distribusjon som ; , dvs. med sannsynlighetstetthet 
kalt standard.
Ris. 6.
Sannsynligheten for at den absolutte verdien forkastes er mindre positivt tall :
.
Spesielt når a= 0 likheten er sann:
Eksempel 1.29. Tilfeldig verdi X normalt fordelt. Standardavvik. Finn sannsynligheten for at avviket til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning i absolutt verdi vil være mindre enn 0,3.
Løsning: .
Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid:
1. Skriv sannsynlighetstettheten normal distribusjon tilfeldig variabel X, vet det M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Forventning og standardavvik for en normalfordelt stokastisk variabel X henholdsvis lik 20 og 5. Finn sannsynligheten for at som et resultat av testen X vil ta verdien i intervallet (15;20).
3. Tilfeldige målefeil er underlagt normalloven med standardavvik mm og matematisk forventning a= 0. Finn sannsynligheten for at av 3 uavhengige målinger vil feilen til minst én ikke overstige 4 mm i absolutt verdi.
4. Et bestemt stoff veies uten systematiske feil. Tilfeldige veiefeil er underlagt normalloven med standardavvik r. Finn sannsynligheten for at veiing vil bli utført med en feil som ikke overstiger 10 g i absolutt verdi.
Kapittel 1. Diskret tilfeldig variabel
§ 1. Begreper av en tilfeldig variabel.
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel.
Definisjon : Tilfeldig er en størrelse som, som et resultat av testing, tar bare én verdi ut av et mulig sett med verdiene, ukjent på forhånd og avhengig av tilfeldige årsaker.
Det finnes to typer tilfeldige variabler: diskrete og kontinuerlige.
Definisjon : Den tilfeldige variabelen X kalles diskret (diskontinuerlig) hvis settet med verdiene er endelig eller uendelig, men tellbar.
Med andre ord, de mulige verdiene til en diskret tilfeldig variabel kan omnummereres.
En tilfeldig variabel kan beskrives ved hjelp av dens fordelingslov.
Definisjon : Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel kall samsvaret mellom mulige verdier av en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter.
Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X kan spesifiseres i form av en tabell, i den første raden hvor alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen er angitt i stigende rekkefølge, og i den andre raden de tilsvarende sannsynlighetene for disse verdier, dvs.
hvor р1+ р2+...+ рn=1
En slik tabell kalles en distribusjonsserie av en diskret tilfeldig variabel.
Hvis settet med mulige verdier for en tilfeldig variabel er uendelig, konvergerer serien p1+ p2+…+ pn+… og summen er lik 1.
Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X kan avbildes grafisk, for hvilken en brutt linje er konstruert i et rektangulært koordinatsystem, som forbinder sekvensielt punkter med koordinater (xi; pi), i=1,2,...n. Den resulterende linjen kalles distribusjonspolygon (Figur 1).
Organisk kjemi" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organisk kjemi er henholdsvis 0,7 og 0,8. Lag en fordelingslov for tilfeldig variabel X - antall eksamener som studenten skal bestå.
Løsning. Den betraktede tilfeldige variabelen X som et resultat av eksamen kan ha en av følgende verdier: x1=0, x2=1, x3=2.
La oss finne sannsynligheten for disse verdiene. La oss betegne hendelsene:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Så fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X er gitt av tabellen:
Kontroll: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Fordelingsfunksjon
En fullstendig beskrivelse av en tilfeldig variabel er også gitt av fordelingsfunksjonen.
Definisjon: Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel X kalles en funksjon F(x), som bestemmer for hver verdi x sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ha en verdi mindre enn x:
F(x)=P(X<х)
Geometrisk tolkes fordelingsfunksjonen som sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ta verdien som er representert på tallinjen av et punkt som ligger til venstre for punkt x.
1)0≤ F(x)≤1;
2) F(x) er en ikke-avtagende funksjon på (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuerlig til venstre ved punktene x= xi (i=1,2,...n) og kontinuerlig ved alle andre punkter;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Hvis distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel X er gitt i form av en tabell:
da bestemmes fordelingsfunksjonen F(x) av formelen:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 for x≤ x1,
р1 ved x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 ved x2< х≤ х3
1 for x> xn.
Grafen er vist i fig. 2:
§ 3. Numeriske kjennetegn ved en diskret tilfeldig variabel.
En av de viktige numeriske egenskapene er den matematiske forventningen.
Definisjon: Matematisk forventning M(X) diskret tilfeldig variabel X er summen av produktene av alle dens verdier og deres tilsvarende sannsynligheter:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+...+ xnрn
Den matematiske forventningen fungerer som en karakteristikk av gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel.
Egenskaper for matematisk forventning:
1)M(C)=C, hvor C er en konstant verdi;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), hvor X, Y er uavhengige stokastiske variabler;
5)M(X±C)=M(X)±C, hvor C er en konstant verdi;
For å karakterisere spredningsgraden av mulige verdier av en diskret tilfeldig variabel rundt middelverdien, brukes spredning.
Definisjon: Forskjell D ( X ) tilfeldig variabel X er den matematiske forventningen til det kvadrerte avviket til den tilfeldige variabelen fra dens matematiske forventning:
Dispersjonsegenskaper:
1)D(C)=0, hvor C er en konstant verdi;
2)D(X)>0, hvor X er en tilfeldig variabel;
3)D(C X)=C2D(X), hvor C er en konstant verdi;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), hvor X, Y er uavhengige tilfeldige variabler;
For å beregne varians er det ofte praktisk å bruke formelen:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
hvor M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Variansen D(X) har dimensjonen til en kvadratisk tilfeldig variabel, noe som ikke alltid er praktisk. Derfor brukes verdien √D(X) også som en indikator på spredningen av mulige verdier til en tilfeldig variabel.
Definisjon: Standardavvik σ(X) tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:
Oppgave nr. 2. Den diskrete tilfeldige variabelen X er spesifisert av distribusjonsloven:
Finn P2, fordelingsfunksjonen F(x) og plott grafen, samt M(X), D(X), σ(X).
Løsning: Siden summen av sannsynlighetene for mulige verdier av den tilfeldige variabelen X er lik 1, da
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
La oss finne fordelingsfunksjonen F(x)=P(X Geometrisk kan denne likheten tolkes slik: F(x) er sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen vil ta verdien som er representert på tallaksen ved punktet som ligger til venstre for punktet x. Hvis x≤-1, så F(x)=0, siden det ikke er en eneste verdi av denne tilfeldige variabelen på (-∞;x); Hvis -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Hvis 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) det er to verdier x1=-1 og x2=0; Hvis 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Hvis 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Hvis x>3, så F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, fordi fire verdier x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 faller inn i intervallet (-∞;x) og x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ved x≤-1, 0,1 ved -1<х≤0, 0,2 ved 0<х≤1, F(x)= 0,5 ved 1<х≤2, 0,7 på 2<х≤3, 1 ved x>3 La oss representere funksjonen F(x) grafisk (fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomialfordelingslov diskret tilfeldig variabel, Poissons lov. Definisjon: Binomial
kalles fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel X - antall forekomster av hendelse A i n uavhengige gjentatte forsøk, i hver av disse kan hendelse A inntreffe med sannsynlighet p eller ikke forekomme med sannsynlighet q = 1-p. Deretter beregnes P(X=m) - sannsynligheten for forekomst av hendelse A nøyaktig m ganger i n forsøk ved å bruke Bernoulli-formelen: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Den matematiske forventningen, spredningen og standardavviket til en tilfeldig variabel X fordelt i henhold til en binær lov finnes henholdsvis ved å bruke formlene: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Sannsynligheten for hendelse A - "ruller ut en femmer" i hver prøveversjon er den samme og lik 1/6 , dvs. P(A)=p=1/6, så P(A)=1-p=q=5/6, hvor - "unnlatelse av å få A." Den tilfeldige variabelen X kan ha følgende verdier: 0;1;2;3. Vi finner sannsynligheten for hver av de mulige verdiene av X ved å bruke Bernoullis formel: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. At. fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X har formen: Kontroll: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. La oss finne de numeriske egenskapene til den tilfeldige variabelen X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Oppgave nr. 4. En automatisk maskin stempler deler. Sannsynligheten for at en produsert del vil være defekt er 0,002. Finn sannsynligheten for at det blant 1000 utvalgte deler vil være: a) 5 defekte; b) minst én er defekt. Løsning:
Tallet n=1000 er stort, sannsynligheten for å produsere en defekt del p=0,002 er liten, og hendelsene som vurderes (delen viser seg å være defekt) er uavhengige, derfor holder Poisson-formelen: Рn(m)= e-
λ
λm La oss finne λ=np=1000 0,002=2. a) Finn sannsynligheten for at det vil være 5 defekte deler (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Finn sannsynligheten for at det vil være minst én defekt del. Hendelse A - "minst én av de valgte delene er defekt" er det motsatte av hendelsen - "alle valgte deler er ikke defekte." Derfor er P(A) = 1-P(). Derfor er den ønskede sannsynligheten lik: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1-e-2=1-0,13534≈0,865. Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid.
1.1
1.2.
Den spredte tilfeldige variabelen X er spesifisert av distribusjonsloven: Finn p4, fordelingsfunksjonen F(X) og plott grafen, samt M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Det er 9 markører i boksen, hvorav 2 ikke lenger skriver. Ta 3 markører tilfeldig. Tilfeldig variabel X er antall skrivemarkører blant de som er tatt. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel. 1.4.
Det er 6 lærebøker tilfeldig ordnet på en bibliotekshylle, hvorav 4 er innbundet. Bibliotekaren tar 4 lærebøker tilfeldig. Tilfeldig variabel X er antall innbundne lærebøker blant de som er tatt. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel. 1.5.
Det er to oppgaver på billetten. Sannsynligheten for å løse det første problemet er 0,9, det andre er 0,7. Tilfeldig variabel X er antall riktig løste problemer i billetten. Tegn en fordelingslov, beregn den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen, og finn også fordelingsfunksjonen F(x) og bygg dens graf. 1.6.
Tre skyttere skyter mot et mål. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,5 for den første skytteren, 0,8 for den andre og 0,7 for den tredje. Tilfeldig variabel X er antall treff på skiven hvis skytterne skyter ett skudd om gangen. Finn fordelingsloven, M(X),D(X). 1.7.
En basketballspiller kaster ballen i kurven med en sannsynlighet for å treffe hvert skudd på 0,8. For hvert treff får han 10 poeng, og hvis han bommer, tildeles han ingen poeng. Lag en distribusjonslov for den tilfeldige variabelen X - antall poeng en basketballspiller får i 3 skudd. Finn M(X),D(X), samt sannsynligheten for at han får mer enn 10 poeng. 1.8.
Det skrives bokstaver på kortene, totalt 5 vokaler og 3 konsonanter. 3 kort velges tilfeldig, og hver gang det tatte kortet returneres. Tilfeldig variabel X er antall vokaler blant de som tas. Tegn en fordelingslov og finn M(X),D(X),σ(X). 1.9.
I gjennomsnitt, under 60 % av kontraktene, betaler forsikringsselskapet forsikringsbeløp i forbindelse med at en forsikringstilfelle inntreffer. Lag en fordelingslov for tilfeldig variabel X - antall kontrakter som forsikringsbeløpet ble betalt for blant fire tilfeldig utvalgte kontrakter. Finn de numeriske egenskapene til denne mengden. 1.10.
Radiostasjonen sender kallesignaler (ikke mer enn fire) med bestemte intervaller inntil toveiskommunikasjon er etablert. Sannsynligheten for å motta et svar på et kallesignal er 0,3. Tilfeldig variabel X er antallet kallesignaler som sendes. Tegn en fordelingslov og finn F(x). 1.11.
Det er 3 nøkler, hvorav kun en passer til låsen. Lag en lov for fordeling av tilfeldig variabel X-antall forsøk på å åpne låsen, dersom den prøvede nøkkelen ikke deltar i etterfølgende forsøk. Finn M(X),D(X). 1.12.
Påfølgende uavhengige tester av tre enheter utføres for pålitelighet. Hver påfølgende enhet testes bare hvis den forrige viste seg å være pålitelig. Sannsynligheten for å bestå testen for hver enhet er 0,9. Lag en distribusjonslov for den tilfeldige variabelen X-antall testede enheter. 1.13
.Diskret tilfeldig variabel X har tre mulige verdier: x1=1, x2, x3 og x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Den elektroniske enhetsblokken inneholder 100 identiske elementer. Sannsynligheten for svikt for hvert element i løpet av tiden T er 0,002. Elementene fungerer selvstendig. Finn sannsynligheten for at ikke mer enn to elementer vil svikte i løpet av tiden T. 1.15.
Læreboken ble utgitt i et opplag på 50 000 eksemplarer. Sannsynligheten for at læreboken er innbundet feil er 0,0002. Finn sannsynligheten for at opplaget inneholder: a) fire defekte bøker, b) mindre enn to defekte bøker. 1
.16.
Antall samtaler som ankommer PBX hvert minutt er fordelt i henhold til Poissons lov med parameteren λ=1,5. Finn sannsynligheten for at følgende kommer om et minutt: a) to samtaler; b) minst én samtale. 1.17.
Finn M(Z),D(Z) hvis Z=3X+Y. 1.18.
Lovene for distribusjon av to uavhengige tilfeldige variabler er gitt: Finn M(Z),D(Z) hvis Z=X+2Y. Svar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 ved x≤-2, 0,3 ved -2<х≤0, F(x)= 0,5 ved 0<х≤2, 0,9 på 2<х≤5, 1 ved x>5 0,3 ved -1<х≤0, 0,4 ved 0<х≤1, F(x)= 0,6 ved 1<х≤2, 0,7 på 2<х≤3, 1 ved x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 ved x≤0, 0,03 ved 0<х≤1, F(x)= 0,37 ved 1<х≤2, 1 for x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Kapittel 2. Kontinuerlig tilfeldig variabel
Definisjon: Kontinuerlige
er en mengde hvis alle mulige verdier fullstendig fyller et begrenset eller uendelig spenn av tallinjen. Åpenbart er antallet mulige verdier for en kontinuerlig tilfeldig variabel uendelig. En kontinuerlig tilfeldig variabel kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsfunksjon. Definisjon: F distribusjonsfunksjon
en kontinuerlig tilfeldig variabel X kalles en funksjon F(x), som bestemmer for hver verdi xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Fordelingsfunksjonen kalles noen ganger den kumulative fordelingsfunksjonen. Egenskaper for distribusjonsfunksjonen:
1)1≤ F(x) ≤1 2) For en kontinuerlig tilfeldig variabel er fordelingsfunksjonen kontinuerlig på et hvilket som helst punkt og differensierbar overalt, unntatt kanskje på individuelle punkter. 3) Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X faller inn i et av intervallene (a;b), [a;b], [a;b], er lik forskjellen mellom verdiene til funksjonen F(x) på punktene a og b, dvs. R(a)<Х 4) Sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel X tar én separat verdi er 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Å spesifisere en kontinuerlig tilfeldig variabel ved hjelp av en distribusjonsfunksjon er ikke den eneste måten. La oss introdusere begrepet sannsynlighetsfordelingstetthet (fordelingstetthet). Definisjon
:
Sannsynlighetsfordelingstetthet
f
(
x
)
av en kontinuerlig tilfeldig variabel X er den deriverte av dens fordelingsfunksjon, dvs.: Sannsynlighetstetthetsfunksjonen kalles noen ganger eller differensialfordelingsloven. Grafen for sf(x) kalles sannsynlighetsfordelingskurve
.
Egenskaper for sannsynlighetstetthetsfordeling:
1) f(x) ≥0, på xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6 ∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/) 2-4))=8s; b) Det er kjent at F(x)= ∫ f(x)dx Derfor, x hvis x≤2, så F(x)= ∫ 0dx=0; https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6 hvis x>6, så F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) = 1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1. Dermed, 0 ved x≤2, F(x)= (x-2)2/16 ved 2<х≤6, 1 for x>6. Grafen til funksjonen F(x) er vist i fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 ved x≤0, F(x)= (3 arktan x)/π ved 0<х≤√3, 1 for x>√3. Finn f(x) Løsning:
Siden f(x)= F’(x), så DIV_ADBLOCK93"> · Matematisk forventning M (X)
kontinuerlig tilfeldig variabel X bestemmes av likheten: M(X)= ∫ x f(x)dx, forutsatt at dette integralet konvergerer absolutt. · Spredning
D
(
X
)
kontinuerlig tilfeldig variabel X bestemmes av likheten: D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, eller D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2 · Standardavvik σ(X)
kontinuerlig tilfeldig variabel bestemmes av likheten: Alle egenskaper ved matematisk forventning og spredning, diskutert tidligere for spredte tilfeldige variabler, er også gyldige for kontinuerlige. Oppgave nr. 3. Den tilfeldige variabelen X er spesifisert av differensialfunksjonen f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemer for uavhengig løsning.
2.1.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert av fordelingsfunksjonen: 0 ved x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤ π/6, F(x)= - cos 3x ved π/6<х≤ π/3, 1 for x> π/3. Finn f(x), og også Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 ved x≤2, f(x)= c x ved 2<х≤4, 0 for x>4. 2.4.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert av distribusjonstettheten: 0 ved x≤0, f(x)= c √x ved 0<х≤1, 0 for x>1. Finn: a) tall c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ved x, 0 på x. Finn: a) F(x) og konstruer grafen; b) M(X),D(X), o(X); c) sannsynligheten for at i fire uavhengige forsøk vil verdien av X ta nøyaktig 2 ganger verdien som tilhører intervallet (1;4). 2.6.
Stil en kontinuerlig tilfeldig variabel X er gitt: f(x)= 2(x-2) ved x, 0 på x. Finn: a) F(x) og konstruer grafen; b) M(X),D(X), o(X); c) sannsynligheten for at verdien av X i tre uavhengige forsøk vil ta nøyaktig 2 ganger verdien som tilhører segmentet. 2.7.
Funksjonen f(x) er gitt som: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funksjonen f(x) er gitt som: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Finn: a) verdien av konstanten c der funksjonen vil være sannsynlighetstettheten til en tilfeldig variabel X; b) fordelingsfunksjon F(x). 2.9.
Den stokastiske variabelen X, konsentrert om intervallet (3;7), er spesifisert av fordelingsfunksjonen F(x)= . Finn sannsynligheten for at tilfeldig variabel X vil ha verdien: a) mindre enn 5, b) ikke mindre enn 7. 2.10.
Tilfeldig variabel X, konsentrert om intervallet (-1;4), er gitt av fordelingsfunksjonen F(x)= . Finn sannsynligheten for at tilfeldig variabel X vil ha verdien: a) mindre enn 2, b) ikke mindre enn 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Finn: a) tall c; b) M(X); c) sannsynlighet P(X> M(X)). 2.12.
Den tilfeldige variabelen er spesifisert av: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Finn: a) M(X); b) sannsynlighet P(X≤M(X)) 2.13.
Rem-fordelingen er gitt av sannsynlighetstettheten: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> for x ≥0. Bevis at f(x) faktisk er en sannsynlighetstetthetsfunksjon. 2.14.
Stil en kontinuerlig tilfeldig variabel X er gitt: DIV_ADBLOCK96"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(fig. 5) 2.16.
Den stokastiske variabelen X er fordelt i henhold til loven " høyre trekant"i intervallet (0;4) (fig. 5). Finn et analytisk uttrykk for sannsynlighetstettheten f(x) på hele tallinjen. Svar
0 ved x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x ved π/6<х≤ π/3,
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е. 0 for x≤a, f(x)= for a<х 0 for x≥b. Grafen til funksjonen f(x) er vist i fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Oppgave nr. 1. Den tilfeldige variabelen X er jevnt fordelt på segmentet. Finne: a) sannsynlighetsfordelingstetthet f(x) og plott den; b) fordelingsfunksjonen F(x) og plott den; c) M(X),D(X), σ(X). Løsning:
Ved å bruke formlene diskutert ovenfor, med a=3, b=7, finner vi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ved 3≤х≤7, 0 for x>7 La oss bygge grafen (fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 ved x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ved x<0, f(x)= λе-λх for x≥0. Fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til eksponentiell lov, er gitt av formelen: DIV_ADBLOCK98"> https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> Fig. 6 Den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til eksponentialfordelingen er henholdsvis lik: M(X)=, D(X)=, σ (Х)= Dermed er den matematiske forventningen og standardavviket til eksponentialfordelingen lik hverandre. Sannsynligheten for at X faller inn i intervallet (a;b) beregnes med formelen: P(a<Х Oppgave nr. 2. Den gjennomsnittlige feilfrie driftstiden for enheten er 100 timer. Forutsatt at enhetens feilfrie driftstid har en eksponentiell distribusjonslov, finn: a) sannsynlighetsfordelingstetthet; b) distribusjonsfunksjon; c) sannsynligheten for at enhetens feilfrie driftstid vil overstige 120 timer. Løsning:
I henhold til betingelsen er den matematiske fordelingen M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 ved x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x for x≥0. b) F(x)= 0 ved x<0, 1-e -0,01x ved x≥0. c) Vi finner ønsket sannsynlighet ved å bruke fordelingsfunksjonen: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3. Normalfordelingslov Definisjon:
En kontinuerlig tilfeldig variabel X har normalfordelingslov (Gauss lov),
hvis distribusjonstettheten har formen: hvor m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normalfordelingskurven kalles normal eller gaussisk kurve
(fig.7) Fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til normalloven, uttrykkes gjennom Laplace-funksjonen Ф (x) i henhold til formelen: hvor er Laplace-funksjonen. Kommentar:
Funksjonen Ф(x) er oddetall (Ф(-х)=-Ф(х)), i tillegg kan vi for x>5 anta Ф(х) ≈1/2. Grafen til fordelingsfunksjonen F(x) er vist i fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Sannsynligheten for at den absolutte verdien av avviket er mindre enn et positivt tall δ beregnes med formelen: Spesielt for m=0 gjelder følgende likhet: "Three Sigma Rule"
Hvis en stokastisk variabel X har en normalfordelingslov med parametrene m og σ, så er det nesten sikkert at verdien ligger i intervallet (a-3σ; a+3σ), fordi https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) La oss bruke formelen: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Fra tabellen med funksjonsverdier Ф(х) finner vi Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Så ønsket sannsynlighet: P(28 Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid
3.1.
Den stokastiske variabelen X er jevnt fordelt i intervallet (-3;5). Finne: b) fordelingsfunksjon F(x); c) numeriske egenskaper; d) sannsynlighet P(4<х<6). 3.2.
Den tilfeldige variabelen X er jevnt fordelt på segmentet. Finne: a) distribusjonstetthet f(x); b) fordelingsfunksjon F(x); c) numeriske egenskaper; d) sannsynlighet P(3≤х≤6). 3.3.
Det er et automatisk trafikklys på motorveien, der det grønne lyset lyser i 2 minutter, gult i 3 sekunder, rødt i 30 sekunder osv. En bil kjører langs motorveien på et tilfeldig tidspunkt. Finn sannsynligheten for at en bil passerer et lyskryss uten å stoppe. 3.4.
T-banetog kjører regelmessig med intervaller på 2 minutter. En passasjer kommer inn på plattformen på et tilfeldig tidspunkt. Hva er sannsynligheten for at en passasjer må vente mer enn 50 sekunder på et tog? Finn den matematiske forventningen til tilfeldig variabel X - ventetiden på toget. 3.5.
Finn variansen og standardavviket til eksponentialfordelingen gitt av fordelingsfunksjonen: F(x)= 0 ved x<0, 1.-8x for x≥0. 3.6.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert avn: f(x)= 0 ved x<0, 0,7 e-0,7x ved x≥0. a) Nevn fordelingsloven til den stokastiske variabelen som vurderes. b) Finn fordelingsfunksjonen F(X) og de numeriske egenskapene til den stokastiske variabelen X. 3.7.
Den tilfeldige variabelen X er fordelt i henhold til den eksponentielle loven spesifisert avn: f(x)= 0 ved x<0, 0,4 e-0,4 x ved x≥0. Finn sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra intervallet (2,5;5). 3.8.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er fordelt i henhold til den eksponentielle loven spesifisert av fordelingsfunksjonen: F(x)= 0 ved x<0, 1.-0,6x ved x≥0 Finn sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra segmentet. 3.9.
Forventet verdi og standardavvik for en normalfordelt tilfeldig variabel er henholdsvis 8 og 2. Finn: a) distribusjonstetthet f(x); b) sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra intervallet (10;14). 3.10.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med en matematisk forventning på 3,5 og en varians på 0,04. Finne: a) distribusjonstetthet f(x); b) sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra segmentet. 3.11.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og D(X)=1. Hvilken av hendelsene: |X|≤0,6 eller |X|≥0,6 er mest sannsynlig? 3.12.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og D(X)=1. Fra hvilket intervall (-0,5;-0,1) eller (1;2) er det mer sannsynlig å ta en verdi i løpet av en test? 3.13.
Den nåværende prisen per aksje kan modelleres ved å bruke normalfordelingsloven med M(X)=10 den. enheter og σ (X)=0,3 den. enheter Finne: a) sannsynligheten for at dagens aksjekurs vil være fra 9,8 den. enheter opptil 10,4 dager enheter; b) ved å bruke "tre sigma-regelen", finn grensene som gjeldende aksjekurs vil ligge innenfor. 3.14.
Stoffet veies uten systematiske feil. Tilfeldige veiefeil er underlagt normalloven med gjennomsnittlig kvadratforhold σ=5g. Finn sannsynligheten for at det i fire uavhengige eksperimenter ikke vil oppstå en feil i tre veiinger i absolutt verdi 3r. 3.15.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=12,6. Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (11,4;13,8) er 0,6826. Finn standardavviket σ. 3.16.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=12 og D(X)=36. Finn intervallet som den stokastiske variabelen X vil falle inn i som et resultat av testen med en sannsynlighet på 0,9973. 3.17.
En del produsert av en automatisk maskin anses som defekt hvis avviket X av den kontrollerte parameteren fra den nominelle verdien overstiger modulo 2 måleenheter. Det antas at den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og σ(X)=0,7. Hvor mange prosent av defekte deler produserer maskinen? 3.18.
X-parameteren til delen er normalfordelt med en matematisk forventning på 2 lik nominell verdi og et standardavvik på 0,014. Finn sannsynligheten for at avviket til X fra den nominelle verdien ikke vil overstige 1 % av den nominelle verdien. Svar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 for x≤-3, F(x)= venstre"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. En kontinuerlig tilfeldig variabel kan spesifiseres ved hjelp av fordelingsfunksjonen F(x)
. Denne tildelingsmetoden er ikke den eneste. En kontinuerlig tilfeldig variabel kan også spesifiseres ved hjelp av en annen funksjon kalt distribusjonstetthet eller sannsynlighetstetthet (noen ganger kalt en differensialfunksjon). Definisjon 4.1:
Distribusjonstetthet av en kontinuerlig tilfeldig variabel X kall opp funksjonen f
(x)
- den første deriverte av fordelingsfunksjonen F(x)
: f
(
x
)
=
F
"(
x
)
.
Fra denne definisjonen følger det at fordelingsfunksjonen er et antiderivat av distribusjonstettheten. Merk at distribusjonstettheten ikke er anvendelig for å beskrive sannsynlighetsfordelingen til en diskret tilfeldig variabel. Sannsynlighet for at en kontinuerlig tilfeldig variabel faller inn i et gitt intervall
Når du kjenner distribusjonstettheten, kan du beregne sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører et gitt intervall. Teorem:
Sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel X vil ta verdier som tilhører intervallet (en,
b), er lik et visst integral av distribusjonstettheten, tatt i området fraenførb :
Bevis: Vi bruker forholdet P(en
≤
Xb)
=
F(b)
–
F(en).
I følge Newton-Leibniz-formelen, Dermed, Fordi P(en
≤
X b)=
P(en
X b)
, så får vi endelig
Geometrisk kan det oppnådde resultatet tolkes som følger: sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører intervallet (en,
b), lik arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av aksenOkse, distribusjonskurvef(x) og rettx =
enOgx =
b.
Kommentar: Spesielt hvis f(x)
– funksjonen er jevn og endene av intervallet er symmetriske i forhold til origo, da Eksempel. Sannsynlighetstettheten til en tilfeldig variabel er gitt X Finn sannsynligheten for at som et resultat av testen X vil ta verdier som tilhører intervallet (0,5, 1). Løsning: Påkrevd sannsynlighet Finne fordelingsfunksjonen fra en kjent distribusjonstetthet
Kjenne til distribusjonstettheten f(x)
, kan vi finne distribusjonsfunksjonen F(x)
i henhold til formelen Egentlig, F(x)
=
P(X
x) = P(-∞
X x)
.
Derfor, Dermed, Når du kjenner distribusjonstettheten, kan du finne distribusjonsfunksjonen. Selvfølgelig, fra en kjent distribusjonsfunksjon kan man finne distribusjonstettheten, nemlig: f(x)
=
F"(x).
Eksempel. Finn fordelingsfunksjonen for den gitte distribusjonstettheten: Løsning: La oss bruke formelen
Hvis x
≤
en, Det f(x)
= 0
, derfor, F(x)
= 0
. Hvis a, da f(x) = 1/(b-a),
derfor, Hvis x
>
b, Det Så den nødvendige distribusjonsfunksjonen Kommentar: Vi fikk fordelingsfunksjonen til en jevnt fordelt tilfeldig variabel (se enhetlig fordeling). Egenskaper for distribusjonstetthet
Eiendom 1: Distribusjonstetthet er en ikke-negativ funksjon: f
(
x
)
≥ 0
. Eiendom 2: Det upassende integralet av distribusjonstettheten i området fra -∞ til ∞ er lik enhet: Kommentar: Fordelingstetthetsgrafen kalles distribusjonskurve. Kommentar: Fordelingstettheten til en kontinuerlig tilfeldig variabel kalles også fordelingsloven. Eksempel. Fordelingstettheten til den tilfeldige variabelen har følgende form: Finn en konstant parameter en. Løsning: Fordelingstettheten må tilfredsstille betingelsen, så vi vil kreve at likestillingen tilfredsstilles Herfra
La oss beregne det upassende integralet: Dermed den nødvendige parameteren Sannsynlig betydning av distribusjonstetthet
La F(x)
– fordelingsfunksjon av en kontinuerlig tilfeldig variabel X. Per definisjon av distribusjonstetthet, f(x)
=
F"(x)
, eller Forskjell F(x+∆x) -F(x)
bestemmer sannsynligheten for at X vil ta en verdi som tilhører intervallet (x,
x+∆x). Dermed er grensen for sannsynlighetsforholdet for at en kontinuerlig tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører intervallet (x,
x+∆x), til lengden av dette intervallet (kl ∆х→0) er lik verdien av distribusjonstettheten ved punktet X. Så funksjonen f(x)
bestemmer sfor hvert punkt X. Fra differensialregning er det kjent at inkrementet til en funksjon er omtrent lik funksjonens differensial, dvs. Fordi F"(x)
=
f(x)
Og dx = ∆
x, Det F(x+∆
x)
-
F(x)
≈
f(x)∆
x. Den sannsynlige betydningen av denne likheten er: sannsynligheten for at en tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører intervallet (x,
x+∆
x) er omtrent lik produktet av sannsynlighetstettheten i punkt x og lengden av intervallet ∆x. Geometrisk kan dette resultatet tolkes som følger:
sannsynligheten for at en tilfeldig variabel vil ta en verdi som tilhører intervallet (x,
x+∆
x) er omtrent lik arealet til et rektangel med base ∆х og høydef(x).
Definisjon 5.1:
Tilfeldig verdi X, tar to verdier 1
Og 0
med sannsynligheter ("suksess") s og ("fiasko") q, kalt Bernoullievskaya: ,
Hvor k=0,1.
La det produseres n
uavhengige forsøk, i hver av hendelsen EN kan eller kanskje ikke vises. Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i alle forsøk er konstant og lik s(derav sannsynligheten for ikke-forekomst q = 1 -
s). Tenk på den tilfeldige variabelen X– antall forekomster av hendelsen EN i disse testene. Tilfeldig verdi X tar verdier 0,1,2,…
n med sannsynligheter beregnet ved hjelp av Bernoulli-formelen:
, Hvor k = 0,1,2,…
n. Definisjon 5.2:
Binomial kalles sannsynlighetsfordelingen bestemt av Bernoullis formel. Eksempel. Tre skudd skytes mot skiven, og sannsynligheten for å treffe hvert skudd er 0,8. Tenk på en tilfeldig variabel X– antall treff på målet. Finn distribusjonsserien. Løsning: Tilfeldig verdi X tar verdier 0,1,2,3
med sannsynligheter beregnet ved hjelp av Bernoulli-formelen, hvor n = 3,
s
= 0,8
(sannsynlighet for treff), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(sannsynlighet for savnet). Dermed har distribusjonsserien følgende form: Bruk Bernoullis formel for store verdier n ganske vanskelig, derfor, å beregne de tilsvarende sannsynlighetene, bruk det lokale Laplace-teoremet, som lar deg omtrent finne sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe nøyaktig k en gang hver n tester, hvis antall tester er stort nok. Lokal Laplace-teorem: Hvis sannsynligheten s forekomst av en hendelse EN
Merknad 1: Tabeller som inneholder funksjonsverdier
Eksempel: Finn sannsynligheten for at hendelsen EN
kommer akkurat 80
en gang hver 400
forsøk hvis sannsynligheten for at denne hendelsen inntreffer i hvert forsøk er lik 0,2.
Løsning: Etter tilstand n = 400,
k = 80,
s
= 0,2
, q = 0,8
. La oss beregne verdien bestemt av oppgavedataene x:
Hvis du trenger å beregne sannsynligheten for at en hendelse EN vil vises i n tester ikke mindre k 1
en gang og ikke mer k 2
ganger, så må du bruke Laplaces integralteorem: Laplaces integralteorem: Hvis sannsynligheten s forekomst av en hendelse EN i hver prøve er konstant og forskjellig fra null og én, deretter sannsynligheten
Med andre ord, sannsynligheten for at en hendelse EN
vil vises i n tester fra k 1
før k 2
ganger, omtrent lik Hvor
Notat 2: Funksjon
Eksempel: Finn sannsynligheten for at blant
400
tilfeldig utvalgte deler vil vise seg å være uprøvde fra 70 til 100 deler, dersom sannsynligheten for at delen ikke bestod kvalitetskontrollinspeksjonen er lik 0,2.
Løsning: Etter tilstand n = 400,
s = 0,2
, q
= 0,8,
k 1
=
70,
k 2
=
100
. La oss beregne nedre og øvre grenser for integrasjon: Dermed har vi: Fra tabellen i vedlegg 2 finner vi det
Merknad 3: I en serie med uavhengige forsøk (når n er stor, er p liten), brukes Poisson-formelen til å beregne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer nøyaktig k ganger (se Poisson-fordelingen). Definisjon 5.3:
En diskret tilfeldig variabel kalles Poisson, hvis distribusjonsloven har følgende form: Eksempler på tilfeldige Poisson-variabler: Antall anrop til en automatisk stasjon over en tidsperiode T.
Antall henfallspartikler av et eller annet radioaktivt stoff over en tidsperiode T.
Antall TV-er som kommer til verkstedet over en periode T i storbyen .
Antall biler som vil ankomme stopplinjen til et veikryss i en stor by .
Merknad 1: Spesielle tabeller for beregning av disse sannsynlighetene er gitt i vedlegg 3. Notat 2: I en serie uavhengige tester (når n flott, s er ikke nok) for å beregne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer nøyaktig k ganger ved å bruke Poissons formel:
,
Hvor
,
det vil si at gjennomsnittlig antall forekomster av hendelser forblir konstant. Merknad 3: Hvis det er en tilfeldig variabel som er fordelt i henhold til Poisson-loven, så er det nødvendigvis en tilfeldig variabel som er fordelt i henhold til den eksponentielle loven og omvendt (se Eksponentialfordeling). Eksempel. Anlegget sendt til basen 5000
produkter av god kvalitet. Sannsynligheten for at produktet blir skadet under transport er lik 0,0002
. Finn sannsynligheten for at nøyaktig tre ubrukelige produkter kommer til basen. Løsning: Etter tilstand n = 5000,
s
= 0,0002,
k = 3.
Vi finner λ: λ =
n.p.= 5000·0,0002 = 1. I henhold til Poisson-formelen er ønsket sannsynlighet lik: ,
hvor er den tilfeldige variabelen X– antall ubrukelige produkter. La uavhengige tester utføres, i hver av disse er sannsynligheten for at hendelsen inntreffer EN lik s(0 s q
= 1 -
s. Utfordringer avsluttes så snart arrangementet dukker opp EN. Altså hvis en hendelse EN dukket opp i k-th test, deretter i forrige k
– 1
det dukket ikke opp i tester. La oss betegne med X diskret tilfeldig variabel - antall forsøk som må utføres før den første forekomsten av hendelsen EN. Tydeligvis de mulige verdiene X er heltall x 1 = 1, x 2 = 2, ... La først k-1
testhendelse EN kom ikke, men inn k-testen dukket opp. Sannsynligheten for denne "komplekse hendelsen", i henhold til teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser,
P
(X =
k) =
q
k -1
s.
Definisjon 5.4:
En diskret tilfeldig variabel har geometrisk fordeling, hvis distribusjonsloven har følgende form: P
(
X
=
k
) =
q
k
-1
s
,
Hvor
.
Merknad 1: Troende k = 1,2,…
, får vi en geometrisk progresjon med første ledd s og nevner q (0q. Av denne grunn kalles fordelingen geometrisk.
Notat 2: Rad
konvergerer og summen er lik én. Faktisk er summen av serien lik
. Eksempel. Pistolen skytes mot målet til det første treffet er gjort. Sannsynlighet for å treffe målet s
= 0,6
. Finn sannsynligheten for at et treff vil skje på det tredje skuddet. Løsning: Etter tilstand s = 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
k = 3.
Den nødvendige sannsynligheten er: P
(X = 3) = 0,4
2
·0,6 = 0,096. La oss vurdere følgende problem. Slipp festen ut N produkter tilgjengelig M standard (MN).
Tilfeldig tatt fra partiet n produkter (hvert produkt kan trekkes ut med samme sannsynlighet), og det valgte produktet returneres ikke til batchen før det neste velges (derfor er ikke Bernoulli-formelen aktuelt her). La oss betegne med X tilfeldig variabel - tall m standard produkter blant n valgt. Deretter de mulige verdiene X vil være 0, 1, 2,..., min; La oss merke dem og... Av verdier av den uavhengige variabelen (Fonds) bruk knappen ( kapittel ... ... metodisk bruksanvisning Av utføre praktisk arbeid 5.1 Metodisk anbefalinger Av gjennomføring av utdanningsprosjekter 5.2 Metodisk anbefalinger Av... følsomhet), endimensjonale og flerdimensjonal... tilfeldig komponent i størrelse... Med seksjon"Opptreden... ... seksjoner i lærebøker. Problemløsning Av hvert emne. Utdypning metodisk bruksanvisning for laboratoriearbeid Av ... tilfeldig og instrumentell målefeil 1.8 Emner tester Og metodisk bruksanvisning Av...Partikkel i endimensjonale potensielt hull. ... ... Metodisk bruksanvisning for LABORATORIEARBEID Av ... størrelse, og det største beløpet mengder... rekke tilfeldig tall... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 a) endimensjonale array b) todimensjonal array Fig. 2– Filer... er beskrevet i seksjon implementering etter...
1.2.
p4=0,1; 0 ved x≤-1,
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤a,
,
Normalkurven er symmetrisk i forhold til den rette linjen x=m, har et maksimum ved x=a, lik .
,
4. Sannsynlighetstetthet for en kontinuerlig tilfeldig variabel
.
.
.
.
.
.
.
. La oss finne det ubestemte integralet:
.
.5. Typiske fordelinger av diskrete tilfeldige variabler
5.1. Bernoulli distribusjon
5.2. Binomial fordeling
at arrangementet EN
vil vises i n tester nøyaktig k ganger, omtrent lik (jo mer nøyaktig, jo mer n) funksjonsverdi
,
Hvor
,
.
,
er gitt i vedlegg 1, og
.
Funksjon
er tettheten til standard normalfordelingen (se normalfordelingen).
.
Fra tabellen i vedlegg 1 finner vi
.
Da vil den nødvendige sannsynligheten være:
at arrangementet EN
vil vises i n tester fra k 1
før k 2
ganger, omtrent lik et visst integral
,
Hvor
Og
.
,
Og
.
kalt Laplace-funksjonen (se normalfordeling). Tabeller som inneholder funksjonsverdier
,
er gitt i vedlegg 2, og
.
;
.
Og
.
Da er den nødvendige sannsynligheten:5.3. Giftfordeling
,
Hvor
Og
(konstant verdi).5.4. Geometrisk fordeling
5.5. Hypergeometrisk fordeling
Pedagogisk og metodisk kompleks for faget "Generelt psykologisk verksted"
Opplærings- og metodikkkompleks
Utdannings- og metodologisk kompleks for disiplinen fysikk (tittel)
Opplærings- og metodikkkompleksRetningslinjer for laboratoriearbeid i informatikkfaget
Retningslinjer
Laster inn...