Gjennomsnittlig kvadrattilnærming av tabellspesifiserte funksjoner. Kursarbeid: numeriske metoder for å løse typiske matematiske problemer Emne: Metoder for å løse ligningssystemer

Ofte verdiene til den interpolerte funksjonen y, y2 , ..., y„ bestemmes fra eksperimenter med noen feil, så det er urimelig å bruke en eksakt tilnærming ved interpolasjonsnoder. I dette tilfellet er det mer naturlig å tilnærme funksjonen ikke med poeng, men etter gjennomsnitt, dvs. i en av normene L p .

Mellomrom 1 p - mange funksjoner d(x), definert på segmentet [a, b] og modulo integrerbar med p-te effekt hvis normen er definert

Konvergens i en slik norm kalles konvergens i gjennomsnitt Rommet 1,2 kalles Hilbert, og konvergensen i det er rot betyr kvadrat.

La en funksjon Dx) og et sett med funksjoner φ(x) gis fra et lineært normert rom. I sammenheng med problemet med interpolasjon, tilnærming og tilnærming, kan følgende to problemer formuleres.

Første oppgave er en tilnærming med en gitt nøyaktighet, dvs. i henhold til en gitt e finn φ(x) slik at ulikheten |[Dx) - φ(x)|| G..

Andre oppgave- Dette er et søk beste tilnærming dvs. søker etter en funksjon φ*(x) som tilfredsstiller relasjonen:

La oss definere uten bevis en tilstrekkelig betingelse for eksistensen av den beste tilnærmingen. For å gjøre dette velger vi i det lineære funksjonsrommet et sett parametrisert av uttrykket

hvor settet med funksjoner φ[(x), ..., φ„(x) vil bli betraktet som lineært uavhengig.

Det kan vises at i ethvert normalisert rom med lineær tilnærming (2.16) eksisterer den beste tilnærmingen, selv om den ikke er unik i noe lineært rom.

La oss vurdere Hilbert-rommet LzCp) til reelle funksjoner som er kvadratintegrerbare med vekt p(x) > 0 på [, der skalarproduktet ( g,h) bestemmes av

formel:

Å erstatte lineær kombinasjon (2.16) i betingelsen for best tilnærming, finner vi

Sette likhetstegn mellom derivater med hensyn til koeffisienter (D, k= 1, ..., P, får vi et system med lineære ligninger

Determinanten til ligningssystemet (2.17) kalles Gram-determinanten. Gram-determinanten er ikke null, siden det antas at funksjonssystemet φ[(x), ..., φ„(x) er lineært uavhengig.

Dermed finnes den beste tilnærmingen og er unik. For å oppnå det er det nødvendig å løse ligningssystemet (2.17). Hvis funksjonssystemet φ1(x), ..., φ„(x) er ortogonalisert, dvs. (φ/,φ,) = 5y, hvor 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., P, så kan ligningssystemet løses på formen:

Koeffisientene funnet i henhold til (2.18) Q, ..., th kalles koeffisienter av den generaliserte Fourier-serien.

Hvis settet med funksjoner φ t (X),..., φ„(x),... danner et komplett system, så i kraft av Parsevals likhet som P -» co avtar feilnormen uten grense. Dette betyr at den beste tilnærmingen konvergerer rot-middelkvadrat til Dx) med en gitt nøyaktighet.

Legg merke til at søket etter koeffisienter for den beste tilnærmingen ved å løse ligningssystemet (2.17) er praktisk talt umulig å implementere, siden når rekkefølgen til Gram-matrisen øker, tenderer dens determinant raskt til null, og matrisen blir dårlig betinget. Å løse et system med lineære ligninger med en slik matrise vil føre til et betydelig tap av nøyaktighet. La oss sjekke det ut.

La gradene velges som et system av funksjoner φ„ i =1, ..., П, dvs. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, så, forutsatt at segmentet er tilnærmingssegmentet, finner vi Gram-matrisen

Gram-matrisen til formen (2.19) kalles også Hilbert-matrisen. Dette er et klassisk eksempel på en såkalt dårlig betinget matrise.

Ved å bruke MATLAB beregner vi determinanten til Hilbert-matrisen i formen (2.19) for noen første verdier P. Oppføring 2.5 viser koden for det tilsvarende programmet.

Oppføring 23

Beregning av determinanten til Hilbert-matriser tømmer arbeidsområdet Rydd alt;

%velg den maksimale ordreverdien for %Hilbert-matrisen ptah =6;

bygge en sløyfe for å generere Hilbert-matriser og beregne deres determinanter

for n = 1: ptah d(n)=det(hi I b(n)); slutt

%skriv ut verdiene til determinantene til %Hilbert-matriser

f o g t kort ende

Etter å ha kjørt koden i Listing 2.5, skal MATLAB-kommandovinduet vise verdiene til determinantene til Hilbert-matrisene for de første seks matrisene. Tabellen nedenfor viser de tilsvarende numeriske verdiene for rekkefølgen til matrisene (n) og deres determinanter (d). Tabellen viser tydelig hvor raskt determinanten til Hilbert-matrisen har en tendens til null når rekkefølgen øker, og fra ordre 5 og 6 blir den uakseptabel liten.

Tabell over verdier for determinanten til Hilbert-matriser

Numerisk ortogonalisering av et system av funksjoner φ, i = 1, ..., П fører også til et merkbart tap av nøyaktighet, derfor, for å ta hensyn til et stort antall termer i utvidelse (2.16), er det nødvendig enten å utføre ortogonalisering analytisk, dvs. nøyaktig, eller å bruke et ferdig system med ortogonale funksjoner.

Hvis de under interpolering vanligvis bruker grader som et system av basisfunksjoner, blir polynomer ortogonale med en gitt vekt valgt som basisfunksjoner ved tilnærming i gjennomsnitt. De mest brukte av dem er Jacobi-polynomene, et spesielt tilfelle av disse er Legendre- og Chebyshev-polynomene. Lagsr og Hermite polynomer brukes også. Flere detaljer om disse polynomene finner du for eksempel i vedlegget Ortogonale polynomer bøker

La tabellen inneholde funksjonsverdier oppnådd, for eksempel fra eksperiment, dvs. målt med en feil. Deretter tilnærming ved hjelp av interpolasjonsapparat , som er basert på å likestille verdiene til polynomet ved interpolasjonsnodene med tabellverdier, upassende.

Med denne formuleringen av problemet er det nødvendig å utføre en tilnærming på gjennomsnittet, dvs. beskrive den tabulerte funksjonen ved en ganske enkel analytisk avhengighet som har et lite antall parametere. Det optimale valget av disse parameterne vil tillate oss å utføre en rot-middel-kvadrat-tilnærming av funksjonen spesifisert i tabellen.

Velge type analytisk avhengighet du bør starte med å plotte tabelldata på koordinatplanet - dette vil danne et felt med eksperimentelle punkter. En jevn kurve tegnes gjennom feltet til disse punktene slik at noen av punktene ligger på denne kurven, noen av punktene er over, og noen av punktene er under den tegnede kurven. Basert på formen på denne kurven bør man bestemme typen analytisk avhengighet - enten den er lineær, potenslov, hyperbolsk eller noe annet.

Det er imidlertid svært vanskelig å velge type analytisk avhengighet fra grafen med øyet. Derfor ble det foreslått en metode for omtrentlig vurdering og valg av type analytisk avhengighet. Denne metoden er egentlig omtrentlig og unøyaktig, siden kurven kan tegnes på forskjellige måter gjennom feltet av eksperimentelle punkter, og forskjellige referansepunkter kan tas fra tabellen for beregning, og nøyaktigheten til den foreslåtte metoden er ukjent. Samtidig kan det betraktes som en omtrentlig måte å velge type avhengighet på.

Følgende handlingsalgoritme er foreslått.

1. I den opprinnelige tabellen velger du to punkter langt fra hverandre med koordinater (x 1,y 1) og (x n,y n) - referansepunkter, og for hvert par koordinater beregnes det aritmetiske gjennomsnittet, geometrisk gjennomsnitt og harmonisk gjennomsnitt.

2. På kurven tegnet gjennom feltet med eksperimentelle punkter, finn tre ordinater som tilsvarer den funnet abscissen x ap, x geom, x skade:

3. Sammenlign de som er funnet på kurven med de beregnede ved å beregne følgende differansemoduler:

4. Minimumsverdien er valgt fra de funnet verdiene:

5. Konklusjoner: hvis det viste seg å være minimalt

Avhengigheten er lineær

Avhengigheten er eksponentiell

Fraksjonert lineært forhold

Logaritmisk avhengighet

Maktavhengighet

Hyperbolsk avhengighet

Brøk-rasjonelt forhold

Enhver av disse avhengighetene kan reduseres til lineær ved å utføre en koordinattransformasjon eller den såkalte datajustering.
Dermed ender det første trinnet med valget av typen analytisk avhengighet, hvis parametere ikke er definert.

Andre fase består i å bestemme de beste verdiene av koeffisientene til den valgte analytiske avhengigheten. For dette formålet, matematisk minste kvadrat-metoden.

Metoden er basert på å minimere summen av kvadrerte avvik av gitte tabellverdier () fra de som er beregnet ut fra den teoretiske avhengigheten (): .

La den valgte avhengigheten være rett linje: . La oss erstatte det med det funksjonelle: . Da er funksjonaliteten minimert:

For å finne de beste verdiene av koeffisientene og det er nødvendig å finne partielle deriverte av og med hensyn til og og likestille dem til null:

Etter transformasjoner tar ligningssystemet formen:

Å løse dette systemet med lineære ligninger lar deg finne de beste verdiene av koeffisientene og lineær avhengighet.

Hvis den valgte avhengigheten er kvadratisk parabel:

da er funksjonaliteten minimert: .

Parablen har tre variable koeffisienter - , de beste verdiene av disse bør finnes ved å likestille de partielle deriverte av den minimaliserte funksjonelle med null i forhold til de nødvendige koeffisientene. Dette lar oss oppnå følgende system med tre lineære ligninger for å finne koeffisientene:

Eksempel 1. Bestem typen avhengighet gitt av følgende tabell.

Løsning.

Punktene spesifisert i tabellen skal plottes på koordinatplanet - a felt av eksperimentelle data. Gjennom dette feltet er gjennomført jevn kurve.

Velg fra tabellen to referansepunkter med koordinater (3;0.55) og (10;1.11) og for hvert par abscisser og ordinater beregnes det aritmetiske, geometriske og harmoniske gjennomsnittet:

For tre beregnede abscisser, langs en kurve trukket gjennom feltet med eksperimentelle punkter, bestemmes tre tilsvarende ordinater:

Merk om orienteringen til beregningene som utføres. Deretter er syv forskjellsmoduler definert:

Tre minimumsverdier nær hverandre ble oppnådd

På det andre trinnet bør de beste verdiene av koeffisientene bestemmes for hver av disse avhengighetene ved hjelp av minste kvadraters metode, og deretter skal standardavviket fra de gitte tabellverdiene beregnes.

Det endelige valget av den analytiske avhengigheten gjøres basert på minimumsverdien av standardavviket.

Eksempel 2. Tabellen viser resultatene av eksperimentelle studier, som kan tilnærmes med en rett linje. Finn de beste verdiene av koeffisientene til linjen ved å bruke minste kvadraters metode.

Løsning.

Generell ligning for en rett linje: .

Systemet med lineære ligninger som de beste verdiene av koeffisientene skal bestemmes fra, styrt av minste kvadraters metode, har formen:

La oss erstatte de beregnede summene fra 2., 3., 4. og 5. kolonne i den siste raden i tabellen inn i ligningssystemet:

Hvor bestemmes koeffisientene for lineær avhengighet? Dette betyr at ligningen til den teoretiske linjen har formen:

. (*)

Den sjette kolonnen i tabellen viser funksjonsverdiene beregnet ved hjelp av den teoretiske ligningen for gitte verdier av argumentet. Den syvende kolonnen i tabellen viser forskjellene mellom de angitte funksjonsverdiene (3. kolonne) og teoretiske verdier (6. kolonne) beregnet ved hjelp av ligningen (*).

Den åttende kolonnen viser kvadrerte avvik av de teoretiske verdiene fra de eksperimentelle og bestemmer summen av kvadrerte avvik. Nå kan du finne

Eksempel 3. La de eksperimentelle dataene gitt i tabellen tilnærmes med en kvadratisk parabel: Finn de beste verdiene av parabelkoeffisientene ved å bruke minste kvadraters metode.

Løsning.

Systemet med lineære ligninger for å bestemme parabelkoeffisientene har formen:

Fra den siste raden i tabellen erstattes de tilsvarende beløpene i ligningssystemet:

Løsning av ligningssystemet lar oss bestemme verdiene til koeffisientene:

Så avhengigheten av segmentet spesifisert av tabellen er tilnærmet med en kvadratisk parabel:

Beregning ved å bruke den gitte formelen for gitte verdier av argumentet lar deg danne den niende kolonnen i tabellen, som inneholder de teoretiske verdiene til funksjonen.

Summen av kvadrerte avvik av teoretiske verdier fra eksperimentelle er gitt i den siste raden i den 11. kolonnen i tabellen. Dette lar deg bestemme standardavvik:

PRAKTISK LEKSJON nr. 3

Emne: Metoder for å løse ligningssystemer

Gauss metode - metode for sekvensiell ekskludering av ukjente - tilhører gruppen presise metoder og hvis det ikke var noen regnefeil kunne man få en eksakt løsning.

Når du utfører manuelle beregninger, er det tilrådelig å utføre beregninger i en tabell som inneholder en kontrollkolonne. Nedenfor er en generell versjon av en slik tabell for å løse et system med 4. ordens lineære ligninger.

				Gratis medlemmer	Kontrollkolonne

				Gratis medlemmer	Kontrollkolonne

Eksempel 1. Ved å bruke Gauss-metoden, løs systemet med 4. ordens ligninger:

Disse omtrentlige verdiene av røttene kan erstattes med det opprinnelige ligningssystemet og beregnes rester - , som er forskjellene mellom høyre og venstre side av hver likning i systemet når du erstatter de funnet røttene i venstre side. Deretter erstattes de som frie vilkår for restsystemet og får endringer

røtter -:

Det forrige kapittelet diskuterte i detalj en av de vanligste metodene for å tilnærme funksjoner - interpolering. Men denne metoden er ikke den eneste. Ved løsning av ulike anvendte problemer og konstruksjon av beregningskretser brukes ofte andre metoder. I dette kapittelet vil vi se på måter å oppnå rotmiddelkvadrattilnærminger. Navnet på tilnærminger er assosiert med de metriske mellomrommene der problemet med å tilnærme en funksjon vurderes. I kapittel 1 introduserte vi begrepene «metrisk lineært normert rom» og «metrisk euklidisk rom» og så at tilnærmingsfeilen bestemmes av metrikken til rommet der tilnærmingsproblemet vurderes. I forskjellige rom har begrepet feil ulik betydning. Når vi vurderte interpolasjonsfeilen, fokuserte vi ikke på dette. Og i dette kapittelet må vi behandle dette problemet mer detaljert.

5.1. Approksimasjoner etter trigonometriske polynomer og Legendre polynomer Space l2

La oss vurdere settet med funksjoner som er Lebesgue-kvadratintegrerbare på intervallet
, altså slik at integralet må eksistere
.

Siden den åpenbare ulikheten gjelder, fra integrerbarheten med kvadratet av funksjonene
Og
enhver lineær kombinasjon av dem må også være kvadratisk integrerbar
, (Hvor
Og
 eventuelle reelle tall), samt integrerbarheten til produktet
.

La oss introdusere settet med funksjoner som er kvadratisk integrerbare i betydningen Lebesgue på intervallet
, skalar produktdrift

. (5.1.1)

Av egenskapene til integralet følger det at den introduserte operasjonen til skalarproduktet har nesten alle egenskapene til skalarproduktet i euklidisk rom (se avsnitt 1.10, s. 57):

Bare den første eiendommen er ikke fullt ut oppfylt, det vil si at betingelsen ikke vil være oppfylt.

Faktisk, hvis
, så følger det ikke med det
på segmentet
. For at den introduserte operasjonen skal ha denne egenskapen, vil vi i fremtiden bli enige om å ikke skille (vurdere tilsvarende) funksjonene
Og
, for hvilket

.

Når vi tar i betraktning den siste bemerkningen, er vi overbevist om at settet med Lebesgue-kvadratintegrerbare funksjoner (mer presist, settet med klasser av ekvivalente funksjoner) danner et euklidisk rom der den skalære produktoperasjonen er definert av formel (5.1.1). Dette rommet kalles Lebesgue-rommet og er betegnet
eller kortere .

Siden hvert euklidiske rom automatisk er både normert og metrisk, er rommet
er også et normert og metrisk rom. Normen (størrelsen på elementet) og metrikken (avstanden mellom elementene) legges vanligvis inn i den på standardmåten:

(5.1.2)

(5.1.3)

Egenskapene (aksiomer) til normen og metrikken er gitt i avsnitt 1.10. Elementer av plass
er ikke funksjoner, men klasser av ekvivalente funksjoner. Funksjoner som tilhører samme klasse kan ha forskjellige verdier på en hvilken som helst begrenset eller til og med tellbar delmengde
. Derfor tilnærminger i rommet
er definert tvetydig. Denne ubehagelige egenskapen til plass
lønner seg på grunn av bekvemmeligheten av å bruke det skalære produktet.

For å jevne ut de diskrete Altman-funksjonene, og derved introdusere ideen om kontinuitet i teorien, ble rot-middel-kvadrat-integraltilnærmingen med et polynom av forskjellige grader brukt.

Det er kjent at en sekvens av interpolasjonspolynomer ved ekvidistante noder ikke nødvendigvis konvergerer til en funksjon, selv om funksjonen er uendelig differensierbar. For den tilnærmede funksjonen, ved å bruke et passende arrangement av noder, er det mulig å redusere graden av polynomet. . Strukturen til Altman-funksjonene er slik at det er mer praktisk å bruke tilnærmingen til funksjonen ikke ved interpolering, men ved å konstruere den beste gjennomsnittlige kvadratapproksimasjonen i et normalisert lineært rom. La oss vurdere de grunnleggende konseptene og informasjonen når vi konstruerer den beste tilnærmingen. Tilnærmings- og optimaliseringsproblemer oppstår i lineære normerte rom.

Metriske og lineære normerte rom

De bredeste begrepene i matematikk inkluderer "sett" og "kart". Begrepene "sett", "sett", "samling", "familie", "system", "klasse" i ikke-streng settteori anses som synonyme.

Begrepet "operatør" er identisk med begrepet "kartlegging". Begrepene «drift», «funksjon», «funksjonell», «mål» er spesielle tilfeller av begrepet «kartlegging».

Begrepene "struktur" og "rom" har også fått grunnleggende betydning i den aksiomatiske konstruksjonen av matematiske teorier. Matematiske strukturer inkluderer sett-teoretiske strukturer (ordnede og delvis ordnede sett); abstrakte algebraiske strukturer (semigrupper, grupper, ringer, divisjonsringer, felt, algebraer, gitter); differensialstrukturer (ytre differensialformer, fiberrom) , , , , , , .

En struktur forstås som et begrenset sett bestående av sett av en bærer (hovedsett), et numerisk felt (hjelpesett) og en kartlegging definert på elementene til bæreren og numrene til feltet. Hvis settet med komplekse tall tas som en bærer, spiller det rollen som både hoved- og hjelpesett. Begrepet "struktur" er identisk med begrepet "rom".

For å definere et mellomrom, må du først definere et bæresett med dets elementer (punkter), angitt med latinske og greske bokstaver

Bæreren kan være et sett med reelle (eller komplekse) elementer: tall; vektorer, ; Matriser, ; Sekvenser, ; Funksjoner;

Følgende sett kan også fungere som elementer i bæreren: reell akse, plan, tredimensjonalt (og flerdimensjonalt) rom, permutasjon, bevegelse; abstrakte sett.

Definisjon. Et metrisk rom er en struktur som danner en trippel, der kartleggingen er en ikke-negativ reell funksjon av to argumenter for enhver x og y fra M og tilfredsstiller tre aksiomer.

• 1- ikke-negativitet; , kl.
• 2- - symmetri;
• 3- - aksiom for refleksivitet.

hvor er avstandene mellom elementene.

I det metriske rommet spesifiseres en metrikk og konseptet med nærheten til to elementer fra settet til bæreren dannes.

Definisjon. Et reelt lineært (vektor) rom er en struktur der mapping er den additive operasjonen for å legge til elementer som tilhører, og mapping er operasjonen med å multiplisere et tall med et element fra.

Operasjonen betyr at for alle to elementer er et tredje element unikt definert, kalt summen deres og betegnet med, og følgende aksiomer gjelder.

Kommutativ egenskap.

Assosiativ eiendom.

I det er et spesielt element, betegnet med slik at for noen det holder.

for noen finnes, slik at.

Elementet kalles motsatt av og betegnes gjennom.

Operasjonen betyr at for ethvert element og et hvilket som helst tall er et element definert, betegnet med og aksiomene er oppfylt:

Et element (punkt) i et lineært rom kalles også en vektor. Aksiomer 1 - 4 definerer en gruppe (additiv), kalt en modul, som er en struktur.

Hvis en operasjon i en struktur ikke følger noen aksiomer, kalles en slik struktur en groupoid. Denne strukturen er ekstremt dårlig; den inneholder ikke noe assosiativitetsaksiom, da kalles strukturen en monoid (semigruppe).

I strukturen, ved hjelp av kartleggingen og aksiomene 1-8, er egenskapen linearitet spesifisert.

Så, et lineært rom er en gruppemodul, inn i strukturen som en operasjon til legges til - multiplisere elementene i bæreren med et tall med 4 aksiomer. Hvis vi i stedet for operasjonen spesifiserer sammen med en annen gruppeoperasjon å multiplisere elementer med 4 aksiomer og postulerer distributivitetsaksiomet, så oppstår en struktur kalt et felt.

Definisjon. Et lineært normert rom er en struktur der kartleggingen tilfredsstiller følgende aksiomer:

• 1. og hvis og bare hvis.
• 2. , .
• 3. , .

Og så videre i totalt 11 aksiomer.

For eksempel, hvis en modul som har alle tre normegenskapene legges til strukturen til feltet med reelle tall, hvor er reelle tall, blir feltet med reelle tall et normert rom

Det er to vanlige måter å introdusere normen på: enten ved å eksplisitt spesifisere intervallformen til den homogent konvekse funksjonelle , , eller ved å spesifisere skalarproduktet , .

La, så kan typen funksjon spesifiseres på utallige måter, og endre verdien:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Den andre vanlige måten å nærme seg oppgaven på er å introdusere en annen kartlegging i strukturen til rommet (en funksjon av to argumenter, vanligvis betegnet med og kalt skalarproduktet).

Definisjon. Euklidisk rom er en struktur der skalarproduktet inneholder en norm og tilfredsstiller aksiomene:

• 4. , og hvis og bare hvis

I det euklidiske rom genereres normen av formelen

Fra egenskapene 1 - 4 til skalarproduktet følger det at alle normens aksiomer er oppfylt. Hvis skalarproduktet er i form, vil normen bli beregnet ved hjelp av formelen

Normen for et mellomrom kan ikke spesifiseres ved å bruke skalarproduktet .

I rom med et skalarprodukt dukker det opp slike kvaliteter som er fraværende i lineære normerte rom (ortogonalitet av elementer, likhet i et parallellogram, Pythagoras teorem, Apollonius' identitet, Ptolemaios' ulikhet. Innføringen av et skalarprodukt gir måter å løse tilnærming mer effektivt på. problemer.

Definisjon. En uendelig sekvens av elementer i et lineært normert rom kalles normkonvergent (bare konvergent eller har en grense i) hvis det eksisterer et element slik at det for noen er et tall avhengig av slik at for

Definisjon. En sekvens av elementer i kalles fundamental hvis det for noen er et tall avhengig av hva noen er tilfredsstilt (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, s. 48)

Definisjon. Et Banach-rom er en struktur der enhver grunnleggende sekvens konvergerer med hensyn til norm.

Definisjon. Et Hilbert-rom er en struktur der enhver fundamental sekvens konvergerer med hensyn til normen generert av skalarproduktet.

La oss ta et semi-kvadratisk koordinatsystem. Dette er et koordinatsystem der skalaen på abscisseaksen er kvadratisk, det vil si at verdiene til divisjonene er plottet i henhold til uttrykket, her m – skala i noen lengdeenheter, for eksempel i cm.

En lineær skala er plottet langs ordinataksen i samsvar med uttrykket

La oss plotte de eksperimentelle punktene på dette koordinatsystemet. Hvis punktene i denne grafen er plassert omtrent i en rett linje, bekrefter dette vår antakelse om at avhengigheten y fra x er godt uttrykt ved en funksjon av formen (4.4). For å finne koeffisientene en Og b Du kan nå bruke en av metodene diskutert ovenfor: metoden med strukket tråd, metoden for utvalgte punkter eller gjennomsnittsmetoden.

Stram trådmetode gjelder på samme måte som for en lineær funksjon.

Valgt poengmetode vi kan bruke det slik. På en rettlinjet graf tar du to punkter (langt fra hverandre). Vi angir koordinatene til disse punktene og ( x, y). Så kan vi skrive

Fra det gitte systemet med to ligninger finner vi en Og b og sett dem inn i formel (4.4) og få den endelige formen til den empiriske formelen.

Du trenger ikke å bygge en rettlinjet graf, men ta tallene, ( x,y) direkte fra bordet. Formelen oppnådd med dette valget av poeng vil imidlertid være mindre nøyaktig.

Prosessen med å konvertere en buet graf til en rett graf kalles utflating.

Middels metode. Den brukes på samme måte som ved lineær avhengighet. Vi deler forsøkspunktene i to grupper med samme (eller nesten samme) antall poeng i hver gruppe. Vi omskriver likhet (4.4) som følger

Vi finner summen av residualer for punktene i den første gruppen og likestiller dem til null. Vi gjør det samme for poengene til den andre gruppen. Vi får to likninger med ukjente en Og b. Løsning av ligningssystemet finner vi en Og b.

Merk at når du bruker denne metoden, er det ikke nødvendig å konstruere en tilnærmet rett linje. Et spredningsplott i et semi-kvadratisk koordinatsystem er kun nødvendig for å bekrefte at en funksjon av formen (4.4) er egnet for den empiriske formelen.

Eksempel. Når du studerer temperaturens innflytelse på kjøringen av kronometeret, ble følgende resultater oppnådd:

I dette tilfellet er vi ikke interessert i selve temperaturen, men i dens avvik fra . Derfor tar vi som et argument , hvor t– temperatur i grader Celsius på vanlig skala.

Etter å ha plottet de tilsvarende punktene på det kartesiske koordinatsystemet, legger vi merke til at en parabel med en akse parallelt med ordinataksen kan tas som en tilnærmet kurve (fig. 4). La oss ta et semi-kvadratisk koordinatsystem og plotte de eksperimentelle punktene på det. Vi ser at disse punktene passer ganske bra på den rette linjen. Altså den empiriske formelen

kan søkes i skjemaet (4.4).

La oss bestemme koeffisientene en Og b ved bruk av gjennomsnittsmetoden. For å gjøre dette deler vi de eksperimentelle punktene i to grupper: i den første gruppen - de tre første punktene, i den andre - de resterende fire punktene. Ved å bruke likhet (4.5) finner vi summen av residualene for hver gruppe og likestiller hver sum til null.