Summen av de første n-leddene i en aritmetisk progresjon. Formel for n'te ledd i en aritmetisk progresjon Hvordan finne en i en aritmetisk progresjonsformel

Matematikk har sin egen skjønnhet, akkurat som maleri og poesi.

Russisk vitenskapsmann, mekaniker N.E. Zhukovsky

Svært vanlige oppgaver i opptaksprøver i matematikk er problemer knyttet til begrepet aritmetisk progresjon. For å lykkes med å løse slike problemer, må du ha god kunnskap om egenskapene til aritmetisk progresjon og ha visse ferdigheter i deres anvendelse.

La oss først huske de grunnleggende egenskapene til en aritmetisk progresjon og presentere de viktigste formlene, knyttet til dette konseptet.

Definisjon. Nummerrekkefølge, der hvert påfølgende ledd er forskjellig fra det forrige med samme tall, kalles en aritmetisk progresjon. I dette tilfellet nummeretkalt progresjonsforskjellen.

For en aritmetisk progresjon er følgende formler gyldige:

, (1)

Hvor . Formel (1) kalles formelen for det generelle leddet for en aritmetisk progresjon, og formel (2) representerer hovedegenskapen til en aritmetisk progresjon: hvert ledd i progresjonen faller sammen med det aritmetiske gjennomsnittet av dens naboledd og .

Merk at det er nettopp på grunn av denne egenskapen at progresjonen som vurderes kalles "aritmetikk".

Formlene (1) og (2) ovenfor er generalisert som følger:

(3)

For å beregne beløpet først vilkår for en aritmetisk progresjonformelen brukes vanligvis

(5) hvor og .

Hvis vi tar hensyn til formelen (1), så følger det fra formel (5).

Hvis vi betegner, da

Hvor . Siden , formlene (7) og (8) er en generalisering av de tilsvarende formlene (5) og (6).

Spesielt , fra formel (5) følger det, Hva

Lite kjent for de fleste studenter er egenskapen til aritmetisk progresjon, formulert gjennom følgende teorem.

Teorem. Hvis da

Bevis. Hvis da

Teoremet er bevist.

For eksempel , ved hjelp av teoremet, det kan vises at

La oss gå videre til å vurdere typiske eksempler på å løse problemer om emnet " Aritmetisk progresjon».

Eksempel 1. La det være. Finn .

Løsning. Ved å bruke formel (6) får vi . Siden og , da eller .

Eksempel 2. La det være tre ganger større, og når det divideres med kvotienten, er resultatet 2 og resten er 8. Bestem og .

Løsning. Fra betingelsene i eksemplet følger ligningssystemet

Siden , , og , så fra likningssystemet (10) får vi

Løsningen på dette ligningssystemet er og .

Eksempel 3. Finn om og .

Løsning. I henhold til formel (5) har vi eller . Ved å bruke egenskap (9) får vi imidlertid .

Siden og , da fra likestillingen ligningen følger eller .

Eksempel 4. Finn om .

Løsning.I henhold til formel (5) har vi

Men ved å bruke teoremet kan vi skrive

Herfra og fra formel (11) får vi .

Eksempel 5. Gitt:. Finn .

Løsning. Siden da. Imidlertid derfor.

Eksempel 6. La , og . Finn .

Løsning. Ved å bruke formel (9) får vi . Derfor, hvis , da eller .

Siden og så her har vi et ligningssystem

Å løse hvilke, får vi og .

Den naturlige roten til ligningen er .

Eksempel 7. Finn om og .

Løsning. Siden vi i henhold til formel (3) har det , så følger ligningssystemet av problembetingelsene

Hvis vi erstatter uttrykketinn i systemets andre ligning, så får vi eller .

Røttene til en kvadratisk ligning er Og .

La oss vurdere to tilfeller.

1. La da . Siden og , da .

I dette tilfellet, i henhold til formel (6), har vi

2. Hvis , så , og

Svar: og.

Eksempel 8. Det er kjent at og. Finn .

Løsning. Med tanke på formel (5) og tilstanden til eksemplet, skriver vi og .

Dette innebærer likningssystemet

Hvis vi multipliserer den første ligningen i systemet med 2 og legger den til den andre ligningen, får vi

I henhold til formel (9) har vi. I denne forbindelse følger det av (12) eller .

Siden og , da .

Svar: .

Eksempel 9. Finn om og .

Løsning. Siden , og etter tilstand , da eller .

Fra formel (5) er det kjent, Hva . Siden da.

Derfor, her har vi et system med lineære ligninger

Herfra får vi og . Med tanke på formel (8), skriver vi .

Eksempel 10. Løs ligningen.

Løsning. Fra den gitte ligningen følger det at . La oss anta at , , og . I dette tilfellet .

I henhold til formel (1) kan vi skrive eller .

Siden , så har ligning (13) den eneste passende roten .

Eksempel 11. Finn maksimumsverdien forutsatt at og .

Løsning. Siden er den aritmetiske progresjonen som vurderes synkende. I denne forbindelse får uttrykket sin maksimale verdi når det er nummeret på det minste positive leddet i progresjonen.

La oss bruke formel (1) og faktum, det og . Så får vi det eller .

Siden , da eller . Imidlertid i denne ulikhetenstørste naturlige tall, Derfor .

Hvis verdiene til , og erstattes med formel (6), får vi .

Svar: .

Eksempel 12. Bestem summen av alle tosifrede naturlige tall som, når de deles på tallet 6, etterlater en rest på 5.

Løsning. La oss betegne med settet av alle tosifrede naturlige tall, dvs. . Deretter vil vi konstruere en delmengde som består av de elementene (tallene) i settet som, når de divideres med tallet 6, gir en rest av 5.

Enkel å installere, Hva . Åpenbart , at elementene i settetdanne en aritmetisk progresjon, hvor og .

For å etablere kardinalitet (antall elementer) av settet, antar vi at . Siden og , følger det av formel (1) eller . Tar vi hensyn til formel (5), får vi .

Eksemplene ovenfor på problemløsning kan på ingen måte gjøre krav på å være uttømmende. Denne artikkelen er skrevet basert på analysen moderne metoder løse typiske problemer om et gitt emne. For en mer inngående studie av metoder for å løse problemer knyttet til aritmetisk progresjon, er det lurt å henvise til listen over anbefalt litteratur.

1. Oppgavesamling i matematikk for søkere til høyskoler / Utg. M.I. Scanavi. – M.: Fred og utdanning, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematikk for elever på videregående skole: tilleggsseksjoner skolepensum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Fullt kurs elementær matematikk i oppgaver og øvelser. Bok 2: Tallsekvenser og progresjoner. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Har du fortsatt spørsmål?

Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.

For eksempel sekvensen \(2\); \(5\); \(8\); \(elleve\); \(14\)... er en aritmetisk progresjon, fordi hvert påfølgende element er forskjellig fra det forrige og tre (kan fås fra det forrige ved å legge til tre):

I denne progresjonen er forskjellen \(d\) positiv (lik \(3\)), og derfor er hvert neste ledd større enn det forrige. Slike progresjoner kalles økende.

Imidlertid kan \(d\) også være det negativt tall. For eksempel, i aritmetisk progresjon \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresjonsforskjellen \(d\) er lik minus seks.

Og i dette tilfellet vil hvert neste element være mindre enn det forrige. Disse progresjonene kalles minkende.

Aritmetisk progresjonsnotasjon

Progresjon er indikert med en liten latinsk bokstav.

Tall som danner en progresjon kalles medlemmer(eller elementer).

De er merket med samme bokstav som en aritmetisk progresjon, men med en numerisk indeks lik nummeret på elementet i rekkefølge.

For eksempel består den aritmetiske progresjonen \(a_n = \venstre\( 2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\) av elementene \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) og så videre.

Med andre ord, for progresjonen \(a_n = \venstre\(2; 5; 8; 11; 14...\høyre\)\)

Løse aritmetiske progresjonsproblemer

I prinsippet er informasjonen presentert ovenfor allerede nok til å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer (inkludert de som tilbys ved OGE).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(b_1=7; d=4\). Finn \(b_5\).
Løsning:

Svar: \(b_5=23\)

Eksempel (OGE). De tre første leddene i en aritmetisk progresjon er gitt: \(62; 49; 36…\) Finn verdien av det første negative leddet i denne progresjonen..
Løsning:

	Vi får de første elementene i sekvensen og vet at det er en aritmetisk progresjon. Det vil si at hvert element skiller seg fra naboen med samme tall. La oss finne ut hvilken ved å trekke den forrige fra det neste elementet: \(d=49-62=-13\).
	Nå kan vi gjenopprette progresjonen til det (første negative) elementet vi trenger.
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(-3\)

Eksempel (OGE). Gitt flere påfølgende elementer i en aritmetisk progresjon: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finn verdien til elementet angitt med bokstaven \(x\).
Løsning:

	For å finne \(x\), må vi vite hvor mye det neste elementet skiller seg fra det forrige, med andre ord progresjonsforskjellen. La oss finne det fra to kjente naboelementer: \(d=12,5-10=2,5\).
	Og nå kan vi enkelt finne det vi leter etter: \(x=5+2,5=7,5\).
	Klar. Du kan skrive et svar.

Svar: \(7,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er definert av følgende betingelser: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finn summen av de første seks leddene i denne progresjonen.
Løsning:

	Vi må finne summen av de seks første leddene i progresjonen. Men vi vet ikke hva de betyr, vi får bare det første elementet. Derfor beregner vi først verdiene en etter en, ved å bruke det som er gitt til oss: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Og etter å ha beregnet de seks elementene vi trenger, finner vi summen deres.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Det nødvendige beløpet er funnet.

Svar: \(S_6=9\).

Eksempel (OGE). I aritmetisk progresjon \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finn forskjellen på denne progresjonen.
Løsning:

Svar: \(d=7\).

Viktige formler for aritmetisk progresjon

Som du kan se, kan mange problemer med aritmetisk progresjon løses ganske enkelt ved å forstå det viktigste - at en aritmetisk progresjon er en kjede av tall, og hvert påfølgende element i denne kjeden oppnås ved å legge det samme tallet til det forrige (den forskjell i progresjon).

Noen ganger er det imidlertid situasjoner når det er veldig upraktisk å bestemme seg for "head-on". Tenk deg for eksempel at i det aller første eksemplet må vi ikke finne det femte elementet \(b_5\), men det tre hundre og åttiseksende \(b_(386)\). Skal vi legge til fire \(385\) ganger? Eller forestill deg at du i det nest siste eksemplet må finne summen av de første syttitre elementene. Du blir lei av å telle...

Derfor løser de i slike tilfeller ikke ting "head-on", men bruker spesielle formler utledet for aritmetisk progresjon. Og de viktigste er formelen for det n'te leddet i progresjonen og formelen for summen av \(n\) første ledd.

Formel for \(n\)te ledd: \(a_n=a_1+(n-1)d\), der \(a_1\) er det første leddet i progresjonen;
\(n\) – nummeret på det nødvendige elementet;
\(a_n\) – ledd for progresjonen med nummer \(n\).

Denne formelen lar oss raskt finne selv det trehundrede eller millionte elementet, og bare vite det første og forskjellen i progresjonen.

Eksempel. Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finn \(b_(246)\).
Løsning:

Svar: \(b_(246)=1850\).

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), hvor

\(a_n\) – det siste summerte leddet;

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene \(a_n=3.4n-0.6\). Finn summen av de første \(25\) leddene i denne progresjonen.
Løsning:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		For å beregne summen av de første tjuefem leddene, må vi vite verdien av de første og tjuefemte leddene. Progresjonen vår er gitt av formelen til det n-te leddet avhengig av antallet (for mer detaljer, se). La oss beregne det første elementet ved å erstatte ett med \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		La oss nå finne det tjuefemte leddet ved å erstatte tjuefem i stedet for \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Vel, nå kan vi enkelt beregne det nødvendige beløpet.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(25)=1090\).

For summen \(n\) av de første leddene, kan du få en annen formel: du trenger bare \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \) (\cdot 25\ ) i stedet for \(a_n\) erstatte formelen for det \(a_n=a_1+(n-1)d\). Vi får:

Formel for summen av de første n leddene: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), hvor

\(S_n\) – den nødvendige summen av \(n\) første elementer;
\(a_1\) – det første summerte leddet;
\(d\) – progresjonsforskjell;
\(n\) – antall elementer totalt.

Eksempel. Finn summen av de første \(33\)-ex leddene i den aritmetiske progresjonen: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Løsning:

Svar: \(S_(33)=-231\).

Mer komplekse aritmetiske progresjonsproblemer

Nå har du all informasjonen du trenger for å løse nesten alle aritmetiske progresjonsproblemer. La oss avslutte emnet med å vurdere problemer der du ikke bare trenger å bruke formler, men også tenke litt (i matematikk kan dette være nyttig ☺)

Eksempel (OGE). Finn summen av alle negative ledd i progresjonen: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)...
Løsning:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Oppgaven er veldig lik den forrige. Vi begynner å løse det samme: først finner vi \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Nå vil jeg gjerne erstatte \(d\) i formelen for summen... og her kommer en liten nyanse frem - vi vet ikke \(n\). Med andre ord, vi vet ikke hvor mange termer som må legges til. Hvordan finne ut av det? La oss tenke. Vi slutter å legge til elementer når vi når det første positive elementet. Det vil si at du må finne ut nummeret på dette elementet. Hvordan? La oss skrive ned formelen for å beregne et hvilket som helst element i en aritmetisk progresjon: \(a_n=a_1+(n-1)d\) for vårt tilfelle.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Vi trenger \(a_n\) for å bli større enn null. La oss finne ut hva \(n\) dette vil skje.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Vi deler begge sider av ulikheten med \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Vi overfører minus én, ikke glemme å endre skiltene
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		La oss beregne...
\(n>65 333...\)		...og det viser seg at det første positive elementet vil ha tallet \(66\). Følgelig har den siste negative \(n=65\). Bare i tilfelle, la oss sjekke dette.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Så vi må legge til de første \(65\) elementene.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Svaret er klart.

Svar: \(S_(65)=-630,5\).

Eksempel (OGE). Den aritmetiske progresjonen er spesifisert av betingelsene: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finn summen fra \(26\)-elementet til \(42\)-elementet.
Løsning:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	I denne oppgaven må du også finne summen av elementene, men starter ikke fra den første, men fra den \(26\)th. For et slikt tilfelle har vi ingen formel. Hvordan bestemme? Det er enkelt - for å få summen fra \(26\)te til \(42\)te, må du først finne summen fra \(1\)te til \(42\)te, og deretter trekke fra fra den summen fra første til \(25\)th (se bilde).
	For vår progresjon \(a_1=-33\), og forskjellen \(d=4\) (tross alt legger vi de fire til det forrige elementet for å finne det neste). Når vi vet dette, finner vi summen av de første \(42\)-y elementene.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Nå summen av de første \(25\) elementene.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Og til slutt beregner vi svaret.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Svar: \(S=1683\).

For aritmetisk progresjon er det flere formler som vi ikke vurderte i denne artikkelen på grunn av deres lave praktiske nytte. Du kan imidlertid enkelt finne dem.

Ja, ja: aritmetisk progresjon er ikke et leketøy for deg :)

Vel, venner, hvis du leser denne teksten, så forteller de interne cap-bevisene meg at du ennå ikke vet hva en aritmetisk progresjon er, men du virkelig (nei, sånn: SÅÅÅÅ!) vil vite det. Derfor vil jeg ikke plage deg med lange introduksjoner og kommer rett på sak.

Først et par eksempler. La oss se på flere sett med tall:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hva har alle disse settene til felles? Ved første øyekast ingenting. Men faktisk er det noe. Nemlig: hvert neste element skiller seg fra det forrige med samme tall.

Døm selv. Det første settet er ganske enkelt påfølgende tall, hver neste er ett mer enn det forrige. I det andre tilfellet er forskjellen mellom tilstøtende tall allerede fem, men denne forskjellen er fortsatt konstant. I det tredje tilfellet er det røtter helt. Imidlertid, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, og $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. og i dette tilfellet øker hvert neste element ganske enkelt med $\sqrt(2)$ (og ikke vær redd for at dette tallet er irrasjonelt).

Altså: alle slike sekvenser kalles aritmetiske progresjoner. La oss gi en streng definisjon:

Definisjon. En tallsekvens der hver neste skiller seg fra den forrige med nøyaktig samme mengde kalles en aritmetisk progresjon. Selve beløpet som tallene avviker med kalles progresjonsforskjellen og er oftest betegnet med bokstaven $d$.

Notasjon: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progresjonen, $d$ er forskjellen.

Og bare et par viktige merknader. For det første vurderes kun progresjon bestilt rekkefølge av tall: de er tillatt å lese strengt i den rekkefølgen de er skrevet i - og ingenting annet. Tall kan ikke omorganiseres eller byttes.

For det andre kan sekvensen i seg selv være enten endelig eller uendelig. For eksempel er mengden (1; 2; 3) åpenbart en endelig aritmetisk progresjon. Men hvis du skriver noe i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede en uendelig progresjon. Ellipsen etter de fire ser ut til å antyde at det er en del flere tall i vente. Uendelig mange, for eksempel. :)

Jeg vil også merke meg at progresjonene kan være økende eller avtagende. Vi har allerede sett økende - samme sett (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på avtagende progresjoner:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Ok, ok: Det siste eksemplet kan virke altfor komplisert. Men resten tror jeg du skjønner. Derfor introduserer vi nye definisjoner:

Definisjon. En aritmetisk progresjon kalles:

1. øker hvis hvert neste element er større enn det forrige;
2. reduseres hvis tvert imot hvert påfølgende element er mindre enn det forrige.

I tillegg er det såkalte "stasjonære" sekvenser - de består av samme repeterende nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Bare ett spørsmål gjenstår: hvordan skille en økende progresjon fra en avtagende? Heldigvis avhenger alt her kun av tegnet til tallet $d$, dvs. progresjonsforskjeller:

1. Hvis $d \gt 0$, øker progresjonen;
2. Hvis $d \lt 0$, så er progresjonen åpenbart synkende;
3. Til slutt er det tilfellet $d=0$ - i dette tilfellet reduseres hele progresjonen til en stasjonær sekvens av identiske tall: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

La oss prøve å beregne forskjellen $d$ for de tre avtagende progresjonene gitt ovenfor. For å gjøre dette er det nok å ta to tilstøtende elementer (for eksempel den første og andre) og trekke tallet til venstre fra tallet til høyre. Det vil se slik ut:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som vi kan se, viste forskjellen seg i alle tre tilfellene å være negativ. Og nå som vi mer eller mindre har funnet ut definisjonene, er det på tide å finne ut hvordan progresjoner beskrives og hvilke egenskaper de har.

Progresjonsvilkår og gjentakelsesformel

Siden elementene i sekvensene våre ikke kan byttes, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Ikke sant\)\]

De individuelle elementene i dette settet kalles medlemmer av en progresjon. De er angitt med et tall: første medlem, andre medlem, etc.

I tillegg, som vi allerede vet, er nærliggende vilkår for progresjonen relatert med formelen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Høyrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for å finne $n$th ledd i en progresjon, må du kjenne $n-1$th ledd og forskjellen $d$. Denne formelen kalles tilbakevendende, fordi med dens hjelp kan du finne et hvilket som helst tall bare ved å kjenne den forrige (og faktisk alle de forrige). Dette er veldig upraktisk, så det er en mer utspekulert formel som reduserer eventuelle beregninger til det første leddet og forskjellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d\]

Du har sannsynligvis allerede kommet over denne formelen. De gir det gjerne i alle slags oppslagsverk og løsningsbøker. Og i enhver fornuftig matematikk lærebok er den en av de første.

Jeg foreslår imidlertid at du øver deg litt.

Oppgave nr. 1. Skriv ned de tre første leddene i den aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kjenner det første leddet $((a)_(1))=8$ og forskjellen i progresjonen $d=-5$. La oss bruke formelen som nettopp ble gitt og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \høyre)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \høyre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \høyre)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; −2)

Det er alt! Vær oppmerksom på at progresjonen vår er synkende.

Selvfølgelig kunne ikke $n=1$ erstattes - den første termen er allerede kjent for oss. Men ved å erstatte enhet, var vi overbevist om at selv for første termin fungerer formelen vår. I andre tilfeller gikk alt ned på banal aritmetikk.

Oppgave nr. 2. Skriv ned de tre første leddene i en aritmetisk progresjon hvis dens syvende ledd er lik −40 og dens syttende ledd er lik −50.

Løsning. La oss skrive problemtilstanden i kjente termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Ikke sant.\]

Jeg setter systemskiltet fordi disse kravene må oppfylles samtidig. La oss nå merke oss at hvis vi trekker den første fra den andre ligningen (vi har rett til å gjøre dette, siden vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Så enkelt er det å finne progresjonsforskjellen! Alt som gjenstår er å erstatte det funnet tallet i en av likningene i systemet. For eksempel, i den første:

\[\begin(matrise) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrise)\]

Nå, når du kjenner det første leddet og forskjellen, gjenstår det å finne det andre og tredje leddet:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Klar! Problemet er løst.

Svar: (−34; −35; −36)

Legg merke til den interessante egenskapen til progresjon som vi oppdaget: hvis vi tar $n$th og $m$th leddene og trekker dem fra hverandre, får vi forskjellen av progresjonen multiplisert med $n-m$ tallet:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \høyre)\]

Enkelt, men veldig nyttig eiendom, som du definitivt trenger å vite - med dens hjelp kan du fremskynde løsningen av mange progresjonsproblemer betydelig. Her er et tydelig eksempel på dette:

Oppgave nr. 3. Det femte leddet i en aritmetisk progresjon er 8,4, og dets tiende ledd er 14,4. Finn det femtende leddet i denne progresjonen.

Løsning. Siden $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi må finne $((a)_(15))$, legger vi merke til følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men etter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, derfor $5d=6$, som vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi trengte ikke lage noen ligningssystemer og beregne det første leddet og forskjellen - alt ble løst på bare et par linjer.

La oss nå se på en annen type problem – å søke etter negative og positive termer for en progresjon. Det er ingen hemmelighet at hvis en progresjon øker, og dens første term er negativ, vil før eller senere positive termer vises i den. Og omvendt: vilkårene for en avtagende progresjon vil før eller siden bli negative.

Samtidig er det ikke alltid mulig å finne dette øyeblikket "head-on" ved å gå gjennom elementene sekvensielt. Ofte er oppgaver skrevet på en slik måte at uten å kunne formlene, ville beregningene ta flere ark – vi ville rett og slett sovnet mens vi fant svaret. Derfor, la oss prøve å løse disse problemene på en raskere måte.

Oppgave nr. 4. Hvor mange negative ledd er det i den aritmetiske progresjonen −38,5; −35,8; ...?

Løsning. Så, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi umiddelbart finner forskjellen:

Merk at forskjellen er positiv, så progresjonen øker. Det første leddet er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk snuble over positive tall. Spørsmålet er bare når dette vil skje.

La oss prøve å finne ut: til når (dvs. til hva naturlig tall$n$) negativiteten til vilkårene er bevart:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Høyrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \høyre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Høyrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den siste linjen krever litt forklaring. Så vi vet at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den annen side er vi fornøyd med bare heltallsverdier av tallet (også: $n\in \mathbb(N)$), så det største tillatte tallet er nøyaktig $n=15$, og ikke i noe tilfelle 16 .

Oppgave nr. 5. I aritmetisk progresjon $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finn nummeret på det første positive leddet i denne progresjonen.

Dette ville være nøyaktig det samme problemet som det forrige, men vi kjenner ikke $((a)_(1))$. Men nabobegrepene er kjent: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan enkelt finne forskjellen i progresjonen:

I tillegg, la oss prøve å uttrykke det femte leddet gjennom det første og forskjellen ved å bruke standardformelen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nå fortsetter vi analogt med forrige oppgave. La oss finne ut på hvilket tidspunkt i sekvensen vår positive tall vil vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Høyrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minste heltallsløsning på denne ulikheten er tallet 56.

Vennligst merk: i siste oppgave alt kom ned til streng ulikhet, så alternativet $n=55$ vil ikke passe oss.

Nå som vi har lært å løse enkle problemer, la oss gå videre til mer komplekse. Men først, la oss studere en annen veldig nyttig egenskap ved aritmetiske progresjoner, som vil spare oss for mye tid og ulik celler i fremtiden. :)

Aritmetisk gjennomsnitt og like innrykk

La oss vurdere flere påfølgende ledd i den økende aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$. La oss prøve å merke dem på talllinjen:

Vilkår for en aritmetisk progresjon på tallinjen

Jeg merket spesifikt vilkårlige termer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke noen $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Fordi regelen som jeg skal fortelle deg om nå fungerer på samme måte for alle "segmenter".

Og regelen er veldig enkel. La oss huske den tilbakevendende formelen og skrive den ned for alle merkede termer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Imidlertid kan disse likhetene omskrives annerledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vel, hva så? Og det faktum at begrepene $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme avstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne avstanden er lik $d$. Det samme kan sies om begrepene $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ i samme avstand lik $2d$. Vi kan fortsette i det uendelige, men meningen er godt illustrert av bildet

Vilkårene for progresjonen ligger i samme avstand fra sentrum

Hva betyr dette for oss? Dette betyr at $((a)_(n))$ kan bli funnet hvis nabotallene er kjent:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har utledet et utmerket utsagn: hvert ledd i en aritmetisk progresjon er lik det aritmetiske gjennomsnittet av naboleddene! Dessuten: vi kan gå tilbake fra $((a)_(n))$ til venstre og høyre, ikke med ett trinn, men med $k$ trinn - og formelen vil fortsatt være riktig:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De. vi kan enkelt finne noen $((a)_(150))$ hvis vi kjenner $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øyekast kan det virke som at dette faktum ikke gir oss noe nyttig. Men i praksis er mange problemer spesielt skreddersydd for å bruke det aritmetiske gjennomsnittet. Ta en titt:

Oppgave nr. 6. Finn alle verdiene av $x$ der tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er påfølgende ledd for en aritmetisk progresjon (i den angitte rekkefølgen).

Løsning. Siden disse tallene er medlemmer av en progresjon, er den aritmetiske gjennomsnittsbetingelsen oppfylt for dem: det sentrale elementet $x+1$ kan uttrykkes i form av naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det ble klassisk kvadratisk ligning. Dens røtter: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: −3; 2.

Oppgave nr. 7. Finn verdiene til $$ der tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progresjon (i den rekkefølgen).

Løsning. La oss igjen uttrykke mellomleddet gjennom det aritmetiske gjennomsnittet av naboledd:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Kvadratisk ligning igjen. Og igjen er det to røtter: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i ferd med å løse et problem kommer opp med noen brutale tall, eller du ikke er helt sikker på riktigheten av svarene som er funnet, så er det en fantastisk teknikk som lar deg sjekke: har vi løst problemet riktig?

La oss si at vi i oppgave nr. 6 fikk svar −3 og 2. Hvordan kan vi kontrollere at disse svarene er riktige? La oss bare koble dem til den opprinnelige tilstanden og se hva som skjer. La meg minne deg på at vi har tre tall ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som må danne en aritmetisk progresjon. La oss erstatte $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fikk tallene -54; −2; 50 som avviker med 52 er utvilsomt en aritmetisk progresjon. Det samme skjer for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igjen en progresjon, men med en forskjell på 27. Dermed ble problemet løst riktig. De som ønsker det kan sjekke det andre problemet på egen hånd, men jeg vil si med en gang: alt er riktig der også.

Generelt, mens vi løste de siste problemene, kom vi over et annet interessant fakta, som også må huskes:

Hvis tre tall er slik at det andre er det aritmetiske gjennomsnittet av det første og siste, danner disse tallene en aritmetisk progresjon.

I fremtiden vil forståelsen av denne uttalelsen tillate oss å bokstavelig talt "konstruere" de nødvendige progresjonene basert på betingelsene for problemet. Men før vi engasjerer oss i en slik "konstruksjon", bør vi ta hensyn til enda et faktum, som følger direkte av det som allerede er diskutert.

Gruppering og summering av elementer

La oss gå tilbake til tallaksen igjen. La oss merke der flere medlemmer av progresjonen, mellom hvilke, kanskje. er verdt mange andre medlemmer:

Det er 6 elementer markert på talllinjen

La oss prøve å uttrykke "venstre hale" gjennom $((a)_(n))$ og $d$, og "høyre hale" gjennom $((a)_(k))$ og $d$. Det er veldig enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Vær nå oppmerksom på at følgende beløp er like:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt sagt, hvis vi som en start tar for oss to elementer av progresjonen, som totalt er lik et eller annet tall $S$, og deretter begynner å gå fra disse elementene i motsatte retninger (mot hverandre eller omvendt for å bevege oss bort), deretter summene av elementene som vi kommer til å snuble over vil også være like$S$. Dette kan tydeligst representeres grafisk:

Like innrykk gir like beløp

Å forstå dette faktum vil tillate oss å løse problemer i en fundamentalt mer høy level vanskeligheter enn de vi vurderte ovenfor. For eksempel disse:

Oppgave nr. 8. Bestem forskjellen på en aritmetisk progresjon der første ledd er 66, og produktet av andre og tolvte ledd er minst mulig.

Løsning. La oss skrive ned alt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet ikke progresjonsforskjellen $d$. Faktisk vil hele løsningen bygges rundt forskjellen, siden produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \høyre)\cdot \venstre(d+6 \høyre). \end(align)\]

For de i tanken: Jeg tok den totale multiplikatoren på 11 ut av den andre braketten. Dermed er det ønskede produktet en kvadratisk funksjon med hensyn til variabelen $d$. Tenk derfor på funksjonen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafen vil være en parabel med grener opp, fordi hvis vi utvider parentesene, får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koeffisienten til det høyeste leddet 11 - dette er et positivt tall, så vi har egentlig å gjøre med en parabel med oppadgående grener:

rute kvadratisk funksjon- parabel

Vær oppmerksom på: denne parabelen tar minimumsverdien i toppunktet med abscissen $((d)_(0))$. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscissen ved å bruke standardskjemaet (det er formelen $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være mye mer rimelig å merke seg at ønsket toppunkt ligger på aksesymmetrien til parablen, derfor er punktet $((d)_(0))$ like langt fra røttene til ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor hadde jeg ikke noe særlig hastverk med å åpne parentesene: i sin opprinnelige form var røttene veldig, veldig enkle å finne. Derfor er abscissen lik det aritmetiske gjennomsnittet av tallene −66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hva gir det oppdagede tallet oss? Med det får det nødvendige produktet den minste verdien (vi har forresten aldri beregnet $((y)_(\min ))$ - dette kreves ikke av oss). Samtidig er dette tallet forskjellen på den opprinnelige progresjonen, dvs. vi fant svaret :)

Svar: -36

Oppgave nr. 9. Mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ setter du inn tre tall slik at de sammen med disse tallene danner en aritmetisk progresjon.

Løsning. I hovedsak må vi lage en sekvens med fem tall, med det første og siste tallet allerede kjent. La oss betegne de manglende tallene med variablene $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Merk at tallet $y$ er "midten" av sekvensen vår - det er like langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi for øyeblikket ikke kan få $y$ fra tallene $x$ og $z$, så er situasjonen annerledes med endene av progresjonen. La oss huske det aritmetiske gjennomsnittet:

Når vi nå kjenner $y$, vil vi finne de gjenværende tallene. Merk at $x$ ligger mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ vi nettopp fant. Derfor

Ved å bruke lignende resonnement finner vi det gjenværende tallet:

Klar! Vi fant alle tre tallene. La oss skrive dem i svaret i den rekkefølgen de skal settes inn mellom de opprinnelige tallene.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Oppgave nr. 10. Mellom tallene 2 og 42 setter du inn flere tall som sammen med disse tallene danner en aritmetisk progresjon, hvis du vet at summen av det første, andre og siste av de innsatte tallene er 56.

Løsning. Et enda mer komplekst problem, som imidlertid løses etter samme skjema som de foregående - gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Problemet er at vi ikke vet nøyaktig hvor mange tall som må settes inn. Derfor, la oss anta for bestemthet at etter å ha satt inn alt vil det være nøyaktig $n$ tall, og den første av dem er 2, og den siste er 42. I dette tilfellet kan den nødvendige aritmetiske progresjonen representeres i formen:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Vær imidlertid oppmerksom på at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ er hentet fra tallene 2 og 42 ved kantene med ett skritt mot hverandre, dvs. . til midten av sekvensen. Og dette betyr det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan uttrykket skrevet ovenfor omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kjenner $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi enkelt finne forskjellen på progresjonen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \høyre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Høyrepil d=5. \\ \end(align)\]

Alt som gjenstår er å finne de resterende begrepene:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Dermed kommer vi allerede på 9. trinn til venstre ende av sekvensen - tallet 42. Totalt måtte bare 7 tall settes inn: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Ordproblemer med progresjoner

Avslutningsvis vil jeg vurdere et par relativt enkle oppgaver. Vel, så enkelt er det: For de fleste elever som studerer matematikk på skolen og ikke har lest det som er skrevet ovenfor, kan disse problemene virke tøffe. Likevel er dette den typen problemer som dukker opp i OGE og Unified State Exam i matematikk, så jeg anbefaler at du gjør deg kjent med dem.

Oppgave nr. 11. Teamet produserte 62 deler i januar, og i hver påfølgende måned produserte de 14 flere deler enn i forrige måned. Hvor mange deler produserte teamet i november?

Løsning. Det er klart at antall deler oppført etter måned vil representere en økende aritmetisk progresjon. Dessuten:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måneden i året, så vi må finne $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor skal det produseres 202 deler i november.

Oppgave nr. 12. Bokbinderverkstedet bandt inn 216 bøker i januar, og i hver påfølgende måned bandt det inn 4 flere bøker enn forrige måned. Hvor mange bøker bandt verkstedet i desember?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember er den siste, 12. måneden i året, så vi ser etter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret – 260 bøker bindes inn i desember.

Vel, hvis du har lest så langt, skynder jeg meg å gratulere deg: du har fullført "Young fighter's-kurset" i aritmetiske progresjoner. Du kan trygt gå videre til neste leksjon, hvor vi skal studere formelen for summen av progresjon, samt viktige og svært nyttige konsekvenser av den.

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra avsnittene høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n er serienummeret;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen under er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Betingelse: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er aktuelt hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord i en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Når du studerer algebra på en ungdomsskole (9. klasse), er et av de viktige temaene studiet av numeriske sekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen skal vi se på en aritmetisk progresjon og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette er det nødvendig å definere den aktuelle progresjonen, samt gi de grunnleggende formlene som vil bli brukt senere for å løse problemer.

En aritmetisk eller algebraisk progresjon er et sett med ordnede rasjonelle tall, hvor hvert ledd er forskjellig fra det forrige med en konstant verdi. Denne verdien kalles differansen. Det vil si at du kan gjenopprette hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner til et hvilket som helst medlem av en ordnet serie med tall og forskjellen.

La oss gi et eksempel. Følgende tallrekke vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives typen progresjon som vurderes, siden forskjellen for det ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

La oss nå presentere de grunnleggende formlene som vil være nødvendig for å løse problemer ved å bruke aritmetisk progresjon. La oss betegne med symbolet a n nte termin sekvenser der n er et heltall. Vi betegner forskjellen med den latinske bokstaven d. Da er følgende uttrykk gyldige:

1. For å bestemme verdien av det n-te leddet er følgende formel egnet: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. For å bestemme summen av de første n leddene: S n = (a n +a 1)*n/2.

For å forstå noen eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger i 9. klasse, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av typen som vurderes er basert på bruken. Du bør også huske at progresjonsforskjellen bestemmes av formelen: d = a n - a n-1.

Eksempel #1: finne et ukjent medlem

La oss gi et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formlene som må brukes for å løse den.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, du må finne fem ledd i den.

Fra betingelsene for problemet følger det allerede at de første 4 leddene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

1. La oss først beregne forskjellen. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan du ta to andre medlemmer som står ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4 - 6 = -2. Siden det er kjent at d = a n - a n-1, så er d = a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 = a 4 + d. Vi erstatter de kjente verdiene: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Den andre metoden krever også kunnskap om forskjellen på den aktuelle progresjonen, så du må først bestemme den som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første leddet a 1 = 10, bruker vi formelen for n-tallet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du ser førte begge løsningene til samme resultat. Merk at i dette eksemplet er progresjonsforskjellen d en negativ verdi. Slike sekvenser kalles avtagende, siden hvert neste ledd er mindre enn det forrige.

Eksempel #2: progresjonsforskjell

La oss nå komplisere oppgaven litt, la oss gi et eksempel på hvordan

Det er kjent at i noen er 1. ledd lik 6, og 7. ledd er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til 7. ledd.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente leddet: a n = (n - 1) * d + a 1 . La oss erstatte de kjente dataene fra tilstanden inn i den, det vil si tallene a 1 og en 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt regne ut differansen: d = (18 - 6) /6 = 2. Dermed har vi besvart første del av oppgaven.

For å gjenopprette sekvensen til det 7. leddet, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Eksempel nr. 3: utarbeide en progresjon

La oss komplisere problemet enda mer. Nå må vi svare på spørsmålet om hvordan finne en aritmetisk progresjon. Følgende eksempel kan gis: to tall er gitt, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendig å lage en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre ledd plasseres mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, må du forstå hvilken plass de gitte tallene vil oppta i den fremtidige progresjonen. Siden det vil være tre ledd til mellom dem, så er en 1 = -4 og en 5 = 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igjen, for det n-te leddet vi bruker formelen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Fra: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Det vi har her er ikke en heltallsverdi av forskjellen, men det er et rasjonelt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

La oss nå legge den funnet forskjellen til en 1 og gjenopprette de manglende vilkårene i progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, som falt sammen med betingelsene for problemet.

Eksempel nr. 4: første termin av progresjon

La oss fortsette å gi eksempler på aritmetisk progresjon med løsninger. I alle tidligere problemer var det første tallet i den algebraiske progresjonen kjent. La oss nå vurdere et problem av en annen type: la to tall gis, der en 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne hvilket tall denne sekvensen begynner med.

Formlene som er brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. I problemstillingen er ingenting kjent om disse tallene. Vi vil likevel skrive ned uttrykk for hvert begrep som det finnes informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Vi fikk to likninger der det er 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Den enkleste måten å løse dette systemet på er å uttrykke en 1 i hver ligning og deretter sammenligne de resulterende uttrykkene. Første ligning: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved å likestille disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorav differansen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (bare 3 desimaler er gitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilket som helst av de 2 uttrykkene ovenfor for en 1. For eksempel, først: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme den 43. terminen av progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Den lille feilen skyldes at det ble brukt avrunding til tusendeler i beregningene.

Eksempel nr. 5: beløp

La oss nå se på flere eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La en numerisk progresjon av følgende form gis: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregne summen av 100 av disse tallene?

Takket være utviklingen av datateknologi er det mulig å løse dette problemet, det vil si å legge til alle tallene sekvensielt, som datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter-tasten. Problemet kan imidlertid løses mentalt hvis du legger merke til at den presenterte tallserien er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er lik 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er interessant å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian" fordi på begynnelsen av 1700-tallet var den berømte tyskeren, fortsatt bare 10 år gammel, i stand til å løse det i hodet på noen få sekunder. Gutten visste ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger sammen tallene i enden av sekvensen i par, får du alltid det samme resultatet, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden disse summene vil være nøyaktig 50 (100 / 2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få riktig svar.

Eksempel nr. 6: summen av ledd fra n til m

Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en serie med tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne hva summen av leddene fra 8 til 14 vil være lik .

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter summere dem sekvensielt. Siden det er få termer, er ikke denne metoden ganske arbeidskrevende. Ikke desto mindre er det foreslått å løse dette problemet ved å bruke en andre metode, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av den algebraiske progresjonen mellom leddene m og n, der n > m er heltall. For begge tilfeller skriver vi to uttrykk for summen:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Siden n > m er det åpenbart at 2. sum inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene og legger til begrepet a m (i tilfellet vi tar differansen trekkes den fra summen S n), vil vi få det nødvendige svaret på oppgaven. Vi har: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Det er nødvendig å erstatte formler for en n og en m i dette uttrykket. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint, men summen S mn avhenger bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle er a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ved å erstatte disse tallene får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene ovenfor, er alle problemer basert på kunnskap om uttrykket for det n. leddet og formelen for summen av settet av første ledd. Før du begynner å løse noen av disse problemene, anbefales det at du leser tilstanden nøye, forstår tydelig hva du trenger å finne, og først deretter fortsetter med løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på et spørsmål uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet med en aritmetisk progresjon med løsning nr. 6, kan man stoppe ved formelen S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, og del opp det overordnede problemet i separate deloppgaver (V i dette tilfellet finn først begrepene a n og a m).

Hvis du er i tvil om det oppnådde resultatet, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene gitt. Vi fant ut hvordan man finner en aritmetisk progresjon. Hvis du finner ut av det, er det ikke så vanskelig.