Egenskaper til åpne og lukkede sett. Mange tall. Handlingslover på ulike tall Forholdet mellom komplementer av åpne og lukkede sett

LUKKET SETT

i det topologiske rommet - som inneholder alt dets grensepunkter. Dermed er alle punkter i komplementet til 3. m. interne, og derfor kan 3. m. defineres som åpne. Konseptet 3.m. ligger til grunn for definisjonen av topologisk. plass som en ikke-tom mengde X med et gitt system av sett (kalt lukket) som tilfredsstiller aksiomene: alle X og er lukket; ethvert nummer 3. m. er stengt; endelig tall 3. m er stengt.

Tent: Kuratovsky K., Topology, [overs. fra engelsk], vol. 1, M., 1966.

A.A. Maltsev.

Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se hva et "LUKKET SETT" er i andre ordbøker:

lukket sett- - [L.G. Sumenko. Engelsk-russisk ordbok om informasjonsteknologi. M.: Statsforetak TsNIIS, 2003.] Emner informasjonsteknologi generelt EN lukket sett ... Teknisk oversetterveiledning

For begrepet "Lukkethet" se andre betydninger. Et lukket sett er en delmengde av et rom hvis komplement er åpent. Innhold 1 Definisjon 2 Lukking 3 Egenskaper ... Wikipedia

Et sett som er åpent (lukket) i forhold til et bestemt sett E, et sett Mtopologisk. plass X slik at (overstangen betyr lukkingsoperasjonen). For at et visst sett skal være åpent (lukket) i forhold til E, er det nødvendig og... ... Matematisk leksikon

Delmengde av topologisk et rom som er både åpent og lukket. Topologisk et mellomrom X kobles fra hvis og bare hvis det inneholder et mellomrom som er forskjellig fra X og O.Z. m. Hvis familien til alle O. z. m. topologisk plass er... ... Matematisk leksikon

Eller katlocusen til et punkt i en Riemann-manifold er en undergruppe av punkter som ingen korteste vei går gjennom. Innhold 1 Eksempler ... Wikipedia

For det matematiske konseptet med samme navn, se Closed set and Space (matematikk) Storm sewer ... Wikipedia

Bøker

• Grensesetninger for assosierte tilfeldige felt og relaterte systemer, Alexander Bulinsky. Monografien er viet til studiet av de asymptotiske egenskapene til en bred klasse av stokastiske modeller som oppstår i matematisk statistikk, perkolasjonsteori, statistisk fysikk og teori ...

La oss nå bevise noen spesielle egenskaper ved lukkede og åpne sett.

Teorem 1. Summen av et begrenset eller tellbart antall åpne mengder er en åpen mengde. Produktet av et begrenset antall åpne sett er et åpent sett,

Tenk på summen av et begrenset eller tellbart antall åpne sett:

Hvis , så hører P til minst en av La Siden er et åpent sett, så hører også et -nabolag til P. Det samme -nabolaget til P hører også til summen g, hvorav det følger at g er et åpent sett. La oss nå vurdere det endelige produktet

og la P tilhøre g. La oss bevise, som ovenfor, at noen -nabolag av P også tilhører g. Siden P tilhører g, så tilhører P alle. Siden - er åpne sett, så for noen er det noen -nabolaget av punktet som tilhører . Hvis tallet antas å være lik det minste hvorav tallet er endelig, vil -området til punktet P tilhøre alle og følgelig g. Merk at vi ikke kan påstå at produktet av et tellbart antall åpne sett er et åpent sett.

Teorem 2. Mengden CF er åpen og mengden CO er lukket.

La oss bevise det første utsagnet. La P tilhøre CF. Det er nødvendig å bevise at noen nabolag P tilhører CF. Dette følger av det faktum at hvis det fantes punkter F i et hvilket som helst -nabolag av P, ville punktet P, som ikke hører hjemme etter betingelse, være et grensepunkt for F og, på grunn av sin lukkethet, burde tilhøre, noe som fører til en motsigelse.

Teorem 3. Produktet av et begrenset eller tellbart antall lukkede mengder er et lukket sett. Summen av et endelig antall lukkede sett er et lukket sett.

La oss for eksempel bevise at settet

lukket. Går videre til flere sett, kan vi skrive

Ved teorem er mengder åpne, og ved teorem 1 er mengden også åpen, og dermed er den ekstra mengden g lukket. Merk at summen av et tellbart antall lukkede sett også kan vise seg å være et åpent sett.

Teorem 4. En mengde er en åpen mengde og en lukket mengde.

Det er enkelt å kontrollere følgende likheter:

Fra disse, i kraft av de tidligere teoremene, følger teorem 4.

Vi vil si at et sett g er dekket av et system M av visse sett hvis hvert punkt g er inkludert i minst ett av settene til systemet M.

Teorem 5 (Borel). Hvis et lukket avgrenset sett F er dekket av et uendelig system a med åpne sett O, så er det fra dette uendelige systemet mulig å trekke ut et endelig antall åpne sett som også dekker F.

Vi beviser denne teoremet med invers. La oss anta at ikke noe begrenset antall åpne sett fra systemet a dekker, og vi bringer dette til en selvmotsigelse. Siden F er et avgrenset sett, tilhører alle punktene til F et begrenset todimensjonalt intervall. La oss dele dette lukkede intervallet i fire like deler, og dele intervallene i to. Vi vil ta hvert av de resulterende fire intervallene for å bli lukket. De punktene til F som faller på ett av disse fire lukkede intervallene vil i kraft av teorem 2 representere et lukket sett, og minst ett av disse lukkede settene kan ikke dekkes av et begrenset antall åpne sett fra systemet a. Vi tar et av de fire lukkede intervallene som er angitt ovenfor hvor denne omstendigheten inntreffer. Vi deler igjen dette intervallet i fire like deler og resonnerer på samme måte som ovenfor. Dermed får vi et system med nestede intervaller hvor hver neste representerer en fjerde del av den forrige, og følgende omstendighet gjelder: settet med punkter F som tilhører en k kan ikke dekkes av et begrenset antall åpne sett fra systemet en. Med en uendelig økning i k vil intervallene krympe uendelig til et visst punkt P, som tilhører alle intervaller. Siden for enhver k inneholder de et uendelig antall punkter, er punktet P et begrensende punkt for og tilhører derfor F, siden F er et lukket sett. Dermed er punktet P dekket av et åpent sett som tilhører systemet a. Noen -nabolag til punktet P vil også tilhøre det åpne settet O. For tilstrekkelig store verdier av k vil intervallene D falle innenfor ovennevnte -nabolag til punktet P. Dermed vil disse være helt dekket av kun én åpent sett O av systemet a, og dette motsier det faktum at punktene som tilhører for enhver k ikke kan dekkes av et begrenset antall åpne mengder som tilhører a. Dermed er teoremet bevist.

Teorem 6. Et åpent sett kan representeres som summen av et tellbart antall halvåpne intervaller i par uten felles punkter.

Husk at vi kaller et halvåpent intervall i et plan for et endelig intervall definert av ulikheter i formen .

La oss tegne på planet et rutenett av firkanter med sider parallelle med aksene og med en sidelengde lik én. Settet med disse rutene er et tellbart sett. Fra disse firkantene, la oss velge de rutene hvis alle punktene tilhører et gitt åpent sett O. Antallet slike ruter kan være endelige eller tellbare, eller kanskje vil det ikke være noen slike ruter i det hele tatt. Vi deler hver av de gjenværende rutene i rutenettet i fire identiske ruter, og fra de nylig oppnådde rutene velger vi igjen de som alle poeng tilhører O. Vi deler igjen hver av de gjenværende rutene i fire like deler og velger de rutene som har alle punkter tilhøre O, osv. La oss vise at hvert punkt P i mengden O vil falle inn i en av de valgte firkantene, der alle punktene tilhører O. La faktisk d være den positive avstanden fra P til grensen til O. Når vi når firkanter hvis diagonal er mindre enn , så kan vi selvsagt hevde at punktet P allerede har falt i en firkant, der alle volumene tilhører O. Hvis de valgte rutene anses som halvåpne, vil de ikke har felles punkter i par, og teoremet er bevist. Antallet valgte kvadrater vil nødvendigvis kunne telles, siden den endelige summen av halvåpne intervaller åpenbart ikke er et åpent sett. Ved å angi med DL de halvåpne firkantene som vi oppnådde som et resultat av konstruksjonen ovenfor, kan vi skrive

Settet med naturlige tall består av tallene 1, 2, 3, 4, ..., som brukes til å telle objekter. Settet med alle naturlige tall er vanligvis angitt med bokstaven N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Lover for addisjon av naturlige tall

1. For eventuelle naturlige tall en Og b likhet er sant en + b = b + en . Denne egenskapen kalles den kommutative addisjonsloven.

2. For eventuelle naturlige tall en, b, c likhet er sant (en + b) + c = en + (b + c) . Denne egenskapen kalles den kombinerte (assosiative) addisjonsloven.

Lover for multiplikasjon av naturlige tall

3. For eventuelle naturlige tall en Og b likhet er sant ab = ba. Denne egenskapen kalles den kommutative loven for multiplikasjon.

4. For eventuelle naturlige tall en, b, c likhet er sant (enb)c = en(bc) . Denne egenskapen kalles den kombinerte (assosiative) multiplikasjonsloven.

5. For alle verdier en, b, c likhet er sant (en + b)c = ac + f.Kr . Denne egenskapen kalles den distributive loven for multiplikasjon (i forhold til addisjon).

6. For eventuelle verdier en likhet er sant en*1 = en. Denne egenskapen kalles multiplikasjonsloven med én.

Resultatet av å legge til eller multiplisere to naturlige tall er alltid et naturlig tall. Eller, for å si det på en annen måte, disse operasjonene kan utføres mens de forblir i settet med naturlige tall. Dette kan ikke sies om subtraksjon og divisjon: for eksempel fra tallet 3 er det umulig å forbli i settet med naturlige tall å subtrahere tallet 7; Tallet 15 kan ikke deles på 4 helt.

Tegn på delbarhet av naturlige tall

Delbarhet av en sum. Hvis hvert ledd er delelig med et tall, er summen delelig med det tallet.

Delbarhet av et produkt. Hvis i et produkt minst én av faktorene er delelig med et visst tall, så er produktet også delelig med dette tallet.

Disse betingelsene, både for summen og for produktet, er tilstrekkelige, men ikke nødvendige. For eksempel er produktet 12*18 delelig med 36, selv om verken 12 eller 18 er delelig med 36.

Test for delbarhet med 2. For at et naturlig tall skal være delelig med 2, er det nødvendig og tilstrekkelig at det siste sifferet er partall.

Test for delbarhet med 5. For at et naturlig tall skal være delelig med 5, er det nødvendig og tilstrekkelig at det siste sifferet er enten 0 eller 5.

Test for delbarhet med 10. For at et naturlig tall skal være delelig med 10, er det nødvendig og tilstrekkelig at enhetssifferet er 0.

Test for delbarhet med 4. For at et naturlig tall som inneholder minst tre sifre skal være delelig med 4, er det nødvendig og tilstrekkelig at de siste sifrene er 00, 04, 08 eller det tosifrede tallet som dannes av de to siste sifrene i dette tallet er delelig med 4.

Test for delbarhet med 2 (med 9). For at et naturlig tall skal være delelig med 3 (med 9), er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av sifrene er delelig med 3 (med 9).

Sett med heltall

Tenk på en talllinje med origo i punktet O. Koordinaten til tallet null på den vil være et punkt O. Tall som ligger på tallinjen i en gitt retning kalles positive tall. La et punkt gis på tallinjen EN med koordinat 3. Det tilsvarer det positive tallet 3. La oss nå plotte enhetssegmentet fra punktet tre ganger O, i motsatt retning av den gitte. Da skjønner vi poenget EN", symmetrisk til poenget EN i forhold til opprinnelsen O. Punktkoordinat EN" det vil være et tall - 3. Dette tallet er det motsatte av tallet 3. Tall som ligger på tallinjen i motsatt retning av det gitte kalles negative tall.

Tall som er motsatte av naturlige tall danner et sett med tall N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Hvis vi kombinerer settene N , N" og singleton sett {0} , så får vi et sett Z alle heltall:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

For heltall er alle lovene ovenfor for addisjon og multiplikasjon sanne, som er sanne for naturlige tall. I tillegg legges følgende subtraksjonslover til:

en - b = en + (- b) ;

en + (- en) = 0 .

Sett med rasjonelle tall

For å gjøre operasjonen med å dele heltall med et hvilket som helst tall som ikke er lik null mulig, introduseres brøker:

Hvor en Og b- heltall og b ikke lik null.

Hvis vi legger til settet med alle positive og negative brøker til settet med heltall, får vi settet med rasjonelle tall Q :

.

Dessuten er hvert heltall også et rasjonelt tall, siden for eksempel tallet 5 kan representeres i formen , hvor telleren og nevneren er heltall. Dette er viktig når du utfører operasjoner på rasjonelle tall, hvorav ett kan være et heltall.

Lover for aritmetiske operasjoner på rasjonelle tall

Hovedegenskapen til en brøk. Hvis telleren og nevneren til en gitt brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, får du en brøk lik den gitte:

Denne egenskapen brukes ved reduksjon av fraksjoner.

Legge til brøker. Tilsetning av vanlige fraksjoner er definert som følger:

.

Det vil si at for å legge til brøker med ulike nevner, reduseres brøkene til en fellesnevner. I praksis blir brøkene redusert til laveste fellesnevner når man adderer (subtraherer) brøker med ulike nevnere. For eksempel slik:

For å legge til brøker med de samme tellerne, legg til tellerne og la nevneren være den samme.

Multiplisere brøker. Multiplikasjon av vanlige brøker er definert som følger:

Det vil si at for å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med telleren til den andre brøken og skrive produktet i telleren til den nye brøken, og multiplisere nevneren til den første brøken med nevneren til den andre brøken og skriv produktet i nevneren til den nye brøken.

Å dele brøker. Inndeling av vanlige brøker er definert som følger:

Det vil si at for å dele en brøk med en brøk, må du multiplisere telleren til den første brøken med nevneren til den andre brøken og skrive produktet i telleren til den nye brøken, og multiplisere nevneren til den første brøken med teller for den andre brøken og skriv produktet i nevneren til den nye brøken.

Heve en brøk til en potens med en naturlig eksponent. Denne operasjonen er definert som følger:

Det vil si at for å heve en brøk til en potens, heves telleren til den potensen og nevneren heves til den potensen.

Periodiske desimaler

Teorem. Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en endelig eller uendelig periodisk brøk.

For eksempel,

.

En sekvensielt repeterende gruppe av sifre etter desimaltegnet i desimalnotasjonen til et tall kalles en periode, og en endelig eller uendelig desimalbrøk som har en slik periode i notasjonen kalles periodisk.

I dette tilfellet betraktes enhver endelig desimalbrøk som en uendelig periodisk brøk med null i perioden, for eksempel:

Resultatet av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (unntatt divisjon med null) av to rasjonelle tall er også et rasjonelt tall.

Sett med reelle tall

På talllinjen, som vi tok for oss i forbindelse med settet med heltall, kan det være punkter som ikke har koordinater i form av et rasjonelt tall. Dermed er det ikke noe rasjonelt tall hvis kvadrat er 2. Derfor er ikke tallet et rasjonelt tall. Det er heller ingen rasjonelle tall hvis kvadrater er 5, 7, 9. Derfor er tallene , , irrasjonelle. Tallet er også irrasjonelt.

Ingen irrasjonelle tall kan representeres som en periodisk brøk. De er representert som ikke-periodiske brøker.

Foreningen av settene av rasjonelle og irrasjonelle tall er settet av reelle tall R .

En tellbar mengde er en uendelig mengde hvis elementer kan nummereres med naturlige tall, eller det er en mengde som tilsvarer settet med naturlige tall.

Noen ganger kalles sett med lik kardinalitet til en hvilken som helst delmengde av settet med naturlige tall tellbare, det vil si at alle endelige sett også anses som tellbare.

En tellbar mengde er den "minste" uendelige mengden, det vil si at i ethvert uendelig sett er det en tellbar delmengde.

Egenskaper:

1. Enhver delmengde av et tellbart sett er maksimalt tellbart.

2. Unionen av et begrenset eller tellbart antall tellbare sett er tellbar.

3. Det direkte produktet av et endelig antall tellbare sett er tellbare.

4. Mengden av alle endelige delmengder av en tellbar mengde er tellbar.

5. Settet av alle delmengder av et tellbart sett er kontinuerlig og er spesielt ikke tellbart.

Eksempler på tellbare sett:

Primtall Naturlige tall, heltall, rasjonelle tall, algebraiske tall, periodering, beregnelige tall, aritmetiske tall.

Teori om reelle tall.

(Ekte = ekte - påminnelse for oss gutta.)

Settet R inneholder rasjonelle og irrasjonelle tall.

Reelle tall som ikke er rasjonelle kalles irrasjonelle tall

Teorem: Det er ikke noe rasjonelt tall hvis kvadrat er lik tallet 2

Rasjonelle tall: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Irrasjonelle tall: roten av 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Settet R av reelle tall har følgende egenskaper:

1. Det er bestilt: for to forskjellige tall a og b ett av to forhold gjelder en eller a>b