Kinematikk av et punkt.

1. Fag teoretisk mekanikk. Grunnleggende abstraksjoner.

Teoretisk mekanikker en vitenskap som studerer generelle lover mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon materielle kropper

Mekanisk bevegelseer bevegelsen til en kropp i forhold til en annen kropp, som skjer i rom og tid.

Mekanisk interaksjon er samspillet mellom materielle kropper som endrer naturen til deres mekaniske bevegelse.

Statikk - dette er seksjonen teoretisk mekanikk, som studerer metoder for å konvertere kraftsystemer til ekvivalente systemer og etablerer likevektsbetingelser for krefter påført et fast legeme.

Kinematikk - er en gren av teoretisk mekanikk som studerer bevegelse av materielle kropper i rommet med geometrisk punkt syn, uavhengig av hvilke krefter som virker på dem.

Dynamikk er en gren av mekanikk som studerer bevegelsen til materielle legemer i rommet avhengig av kreftene som virker på dem.

Studieobjekter i teoretisk mekanikk:

materiell punkt,

system av materialpunkter,

Helt solid kropp.

Absolutt rom og absolutt tid er uavhengige av hverandre. Absolutt plass - tredimensjonalt, homogent, ubevegelig euklidisk rom. Absolutt tid - flyter fra fortiden til fremtiden kontinuerlig, den er homogen, den samme på alle punkter i rommet og er ikke avhengig av materiens bevegelse.

2. Fag kinematikk.

Kinematikk - dette er en gren av mekanikk der de geometriske egenskapene til legemers bevegelse studeres uten å ta hensyn til deres treghet (dvs. masse) og kreftene som virker på dem

For å bestemme posisjonen til en bevegelig kropp (eller punkt) med kroppen i forhold til hvilken bevegelsen til denne kroppen studeres, er et eller annet koordinatsystem stivt forbundet, som sammen med kroppen danner referansesystem.

Kinematikkens hovedoppgave er å, kjenne til bevegelsesloven til et gitt legeme (punkt), bestemme alle de kinematiske størrelsene som karakteriserer dens bevegelse (hastighet og akselerasjon).

3. Metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt

· Den naturlige måten

Det bør være kjent:

Banen til punktet;

Opprinnelse og referanseretning;

Loven om bevegelse av et punkt langs en gitt bane i formen (1.1)

· Koordinatmetode

Ligningene (1.2) er bevegelseslikningene til punktet M.

Ligningen for banen til punkt M kan oppnås ved å eliminere tidsparameteren « t » fra ligninger (1.2)

· Vektor metode

(1.3) Forholdet mellom koordinat- og vektormetoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt (1.4)

Forholdet mellom koordinat og naturlige metoder for å spesifisere bevegelsen til et punkt

Bestem banen til punktet ved å eliminere tid fra ligningene (1.2);

-- finn bevegelsesloven til et punkt langs en bane (bruk uttrykket for buens differensial)

Etter integrasjon får vi bevegelsesloven til et punkt langs en gitt bane:

Forbindelsen mellom koordinat- og vektormetodene for å spesifisere bevegelsen til et punkt bestemmes av ligning (1.4)

4. Bestemme hastigheten til et punkt ved å bruke vektormetoden for å spesifisere bevegelse.

La på et øyeblikktposisjonen til punktet bestemmes av radiusvektoren, og i tidspunktett 1 – radiusvektor, deretter i en periode punktet vil flytte seg.

(1.5) gjennomsnittlig punkthastighet, retningen til vektoren er den samme som vektorens

Hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt

For å oppnå hastigheten til et punkt på et gitt tidspunkt, er det nødvendig å gjøre en passasje til grensen

(1.6)

(1.7)

Hastighetsvektor for et punkt på et gitt tidspunkt lik den første deriverte av radiusvektoren med hensyn til tid og rettet tangentielt til banen i et gitt punkt.

(enhet¾ m/s, km/t)

Gjennomsnittlig akselerasjonsvektor har samme retning som vektorenΔ v , det vil si rettet mot banens konkavitet.

Akselerasjonsvektor for et punkt på et gitt tidspunkt lik den første deriverte av hastighetsvektoren eller den andre deriverte av radiusvektoren til punktet med hensyn til tid.

(enhet - )

Hvordan er vektoren plassert i forhold til punktets bane?

På rett bevegelse vektoren er rettet langs den rette linjen som punktet beveger seg langs. Hvis banen til et punkt er en flat kurve, så ligger akselerasjonsvektoren , så vel som vektoren ср, i planet til denne kurven og er rettet mot dens konkavitet. Hvis banen ikke er en plan kurve, vil vektoren ср bli rettet mot konkaviteten til banen og vil ligge i planet som går gjennom tangenten til banen ved punktetM og en linje parallelt med tangenten i et tilstøtende punktM 1 . I grense når punktM 1 streber etter M dette planet opptar posisjonen til det såkalte oskulerende planet. Derfor, i det generelle tilfellet, ligger akselerasjonsvektoren i kontaktplanet og er rettet mot konkaviteten til kurven.

Makt. System av krefter. Likevekt av en absolutt stiv kropp

I mekanikk forstås kraft som et mål på den mekaniske interaksjonen mellom materielle legemer, som et resultat av at samvirkende legemer kan gi hverandre akselerasjon eller deformere (endre form). Kraft er en vektormengde. Det er preget av en numerisk verdi, eller modul, brukspunkt og retning. Påføringspunktet for kraften og dens retning bestemmer kraftens virkelinje. Figuren viser hvordan en kraft påføres punkt A. Linjestykke AB = kraftens størrelse F. Rett linje LM kalles kraftens virkningslinje. I syst. SI kraftmål. i newton (N). Det er også 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N. Det er 2 måter å sette kraften på: ved direkte beskrivelse og vektor (gjennom projeksjon på koordinataksene). F= F x i + F y j + F z k, hvor F x, F y, F z er projeksjonene av kraft på koordinataksene, og i, j, k er enhetsvektorer. Helt solid kropp-kropp der avstanden mellom 2 og punktene er resten. uendret uavhengig av hvilke krefter som virker på den.

Et sett med flere krefter (F 1, F 2, ..., F n) kalles et kraftsystem. Hvis, uten å forstyrre kroppens tilstand, kan ett kraftsystem (F 1, F 2, ..., F n) erstattes av et annet system (P 1, P 2, ..., P n) og vice versa, så kalles slike kraftsystemer ekvivalente. Symbolsk er dette betegnet som følger: (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n). Dette betyr imidlertid ikke at hvis to kraftsystemer har samme effekt på en kropp, vil de være likeverdige. Ekvivalente systemer forårsaker samme systemtilstand. Når et kraftsystem (F 1, F 2, ..., F n) er ekvivalent med én kraft R, kalles R. resulterende. Den resulterende kraften kan erstatte virkningen av alle gitte krefter. Men ikke ethvert styrkesystem har et resultat. I treghetskoordinatsystemet er treghetsloven oppfylt. Dette betyr spesielt at en kropp som er i ro i det første øyeblikket vil forbli i denne tilstanden hvis ingen krefter virker på den. Hvis et absolutt stivt legeme forblir i ro under påvirkning av et kraftsystem (F 1, F 2, ..., F n), kalles dette systemet balansert, eller et kraftsystem som tilsvarer null: (F 1 , F 2, ... , F n)~0. I dette tilfellet sies kroppen å være i likevekt. I matematikk anses to vektorer som like hvis de er parallelle, rettet i samme retning og like store. Dette er ikke nok for ekvivalens av to krefter, og relasjonen F~P følger ennå ikke av likheten F=P. To krefter er ekvivalente hvis de er vektorielt like og påført samme punkt på kroppen.

Aksiomer for statikk og deres konsekvenser

En kropp under påvirkning av kraft får akselerasjon og kan ikke forbli i ro. Det første aksiomet setter betingelsene under hvilke kraftsystemet skal balanseres.

Aksiom 1. To krefter påført et absolutt stivt legeme vil bli balansert (tilsvarer null) hvis og bare hvis de er like store, virker i en rett linje og er rettet i motsatte retninger. Dette betyr at hvis et absolutt stivt legeme er i ro under påvirkning av to krefter, så er disse kreftene like store, virker i en rett linje og er rettet i motsatte retninger. Omvendt, hvis et absolutt stivt legeme påvirkes i en rett linje i motsatte retninger av to krefter like store og kroppen var i ro i det første øyeblikket, vil hviletilstanden til kroppen forbli.

I fig. Figur 1.4 viser balanserte krefter F 1, F 2 og P 1, P 2, som tilfredsstiller relasjonene: (F 1,F 2)~0, (P 1,P 2)~0. Når du løser noen problemer med statikk, er det nødvendig å vurdere kreftene som påføres endene av stive stenger, hvis vekt kan neglisjeres, og det er kjent at stengene er i likevekt. Fra det formulerte aksiomet blir kreftene som virker på en slik stang rettet langs en rett linje som går gjennom endene av stangen, motsatt i retning og lik hverandre i størrelse (fig. 1.5, a). Det samme gjelder i tilfellet når stangens akse er buet (fig. 1.5, b).

Aksiom 2. Uten å forstyrre staten i det hele tatt fast krefter kan påføres eller avvises på det hvis og bare hvis de utgjør et balansert system, spesielt hvis dette systemet består av to krefter av samme størrelse, som virker i en rett linje og rettet i motsatte retninger. En konsekvens følger av dette aksiomet: uten å forstyrre kroppens tilstand, kan kraftens påføringspunkt overføres langs linjen for dens virkemåte, la kraften F A påføres punkt A (fig. 1.6, a). . La oss bruke i punkt B på virkningslinjen til kraften F A to balanserte krefter F B og F" B, forutsatt at F B = F A (Fig. 1.6, b). Da vil vi ifølge aksiom 2 ha F A ~FA A , F B, F` B). Så siden kreftene F A og F B også danner et balansert kraftsystem (aksiom 1), kan de ifølge aksiom 2 forkastes (Fig. 1.6, c). Dermed kan F A ~F A, F B,F` B)~F B, eller F A ~F B , som beviser konsekvensen. Denne konsekvensen viser at kraften som påføres et absolutt stivt legeme er en glidende vektor. Både aksiomer og den påviste konsekvensen kan ikke brukes på deformerbare legemer, i spesielt, å flytte punktet for påføring av kraften langs handlingslinjen endrer den stressdeformerte tilstanden til kroppen.

Aksiom 3.Uten å endre kroppens tilstand, kan to krefter påført ett punkt erstattes av en resulterende kraft påført på samme punkt og lik deres geometriske sum (parallelogram of forces aksiom). Dette aksiomet etablerer to omstendigheter: 1) to krefter F 1 og F 2 (Fig. 1.7), påført ett punkt, har en resultant, det vil si at de tilsvarer én kraft (F 1,F 2) ~ R; 2) aksiomet bestemmer fullstendig modulen, påføringspunktet og retningen til den resulterende kraften R=F 1 +F 2 .(1.5) Med andre ord kan resultanten R konstrueres som diagonalen til et parallellogram med sider som sammenfaller med F 1 og F2. Modulen til resultanten bestemmes av likheten R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2, hvor a er vinkelen mellom de gitte vektorene F 1 og F 2. Det tredje aksiomet gjelder alle kropper. Statikkens andre og tredje aksiom gjør det mulig å bevege seg fra ett kraftsystem til et annet system som tilsvarer det. Spesielt gjør de det mulig å dekomponere enhver kraft R i to, tre osv. komponenter, dvs. flytte til et annet kraftsystem hvor kraften R er resultanten. Ved å spesifisere for eksempel to retninger som ligger i samme plan med R, kan man konstruere et parallellogram der diagonalen representerer kraften R. Da vil kreftene rettet langs sidene av parallellogrammet danne et system hvor kraften R vil være resultanten (fig. 1.7). En lignende konstruksjon kan utføres i verdensrommet. For å gjøre dette er det nok å tegne tre rette linjer fra påføringspunktet for kraften R som ikke ligger i samme plan, og bygge et parallellepiped på dem med en diagonal som representerer kraften R og med kanter rettet langs disse rette. linjer (fig. 1.8).

Aksiom 4 (Newtons tredje lov). Samhandlingskreftene mellom to kropper er like store og rettet langs en rett linje i motsatte retninger. Merk at vekselvirkningskreftene til to kropper ikke utgjør et system av balanserte krefter, siden de påføres forskjellige kropper. Hvis legeme I virker på legeme II med en kraft P, og legeme II virker på legeme I med en kraft F (fig. 1.9), så er disse kreftene like store (F = P) og er rettet langs en rett linje i motsatt retning retninger, dvs. .F= –P. Hvis vi betegner med F kraften som solen tiltrekker jorden med, så tiltrekker jorden solen med samme størrelse, men motsatt rettet kraft - F. Når et legeme beveger seg langs et plan, vil en friksjonskraft T påføres det , rettet i motsatt retning av bevegelsen. Dette er kraften som et stasjonært plan virker på en kropp. Basert på det fjerde aksiomet virker kroppen på planet med samme kraft, men retningen vil være motsatt av kraften T.

I fig. 1.10 viser en kropp som beveger seg mot høyre; friksjonskraften T påføres et bevegelig legeme, og kraften T "= –T påføres planet. La oss se på et fortsatt stasjonært system, vist i fig. 1.11, a. Det består av en motor A installert på fundament B, som igjen er plassert på basen C. Motoren og fundamentet påvirkes av henholdsvis gravitasjonskreftene F 1 og F 2. Følgende krefter virker også: F 3 - virkningskraften til kroppen A på kroppen B ( den er lik vekten til kropp A); F'з - kraften til den omvendte virkningen av legeme B på kropp A; F 4 er virkningskraften til legemene A og B på basen C (den er lik totalen vekten til legemene A og B); F` 4 er kraften av den omvendte virkningen av basen C på legeme B. Disse kreftene er vist i figur 1.11, b, c, d. I følge aksiom 4, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4, og disse interaksjonskreftene bestemmes av de gitte kreftene F 1 og F 2. For å finne interaksjonskreftene er det nødvendig å gå ut fra aksiom 1. På grunn av resten av kroppen A ( Fig. 1.11.6) skal være F з = –F 1, som betyr F 3 =F 1. På samme måte, fra likevektstilstanden til legeme B (Fig. 1.11, c) følger det F` 4 =–( F 2 + F 3) , dvs. F` 4 =–(F 1 + F 2) og F 4 = F 1 + F 2.

Aksiom 5. Likevekten til et deformerbart legeme vil ikke bli forstyrret hvis punktene er stivt forbundet og kroppen anses som absolutt solid. Dette aksiomet brukes i tilfeller hvor vi snakker om likevekten til legemer som ikke kan betraktes som faste. Ytre krefter påført slike legemer må tilfredsstille likevektsbetingelsene til et stivt legeme, men for ikke-stive legemer er disse betingelsene bare nødvendige, men ikke tilstrekkelige. For eksempel, for likevekten til en absolutt solid vektløs stang, er det nødvendig og tilstrekkelig at kreftene F og F" påført endene av stangen virker langs en rett linje som forbinder dens ender, er like store og rettet i forskjellige retninger De samme forholdene er nødvendige for likevekten til et stykke vektløs tråd, men for en tråd er de ikke tilstrekkelige, det er i tillegg nødvendig å kreve at kreftene som virker på tråden er strekkfaste (fig. 1.12, b), mens en stang de kan også være komprimerende (fig. 1.12, a).

La oss vurdere tilfellet med ekvivalens til null av tre ikke-parallelle krefter påført et stivt legeme (fig. 1.13, a). Teorem om tre ikke-parallelle krefter. Hvis, under påvirkning av tre krefter, et legeme er i likevekt og virkningslinjene til de to kreftene krysser hverandre, så ligger alle kreftene i samme plan, og deres virkelinjer krysser hverandre i ett punkt La et system med tre krefter F 1, F 3 og F 3 virke på kroppen, og virkningslinjene til kreftene F 1 og F 2 skjærer hverandre i punkt A (Fig. 1.13, a). I henhold til konsekvensen av aksiom 2 kan kreftene F 1 og F 2 overføres til punkt A (fig. 1.13, b), og i henhold til aksiom 3 kan de erstattes med én kraft R, og (fig. 1.13, c). R = F1 + F2. Dermed reduseres kraftsystemet som vurderes til to krefter R og F 3 (Fig. 1.13, c). I følge teoremets betingelser er legemet i likevekt, derfor må kreftene R og F 3 ifølge aksiom 1 ha en felles virkelinje, men da må virkelinjene til alle tre kreftene skjære hverandre i ett punkt .

Aktive krefter og reaksjoner av forbindelser

Kroppen kalles gratis, hvis bevegelsene hans ikke begrenses av noe. En kropp hvis bevegelser er begrenset av andre kropper kalles ufri, og kroppene som begrenser bevegelsen til en gitt kropp er forbindelser. Ved kontaktpunktene oppstår det interaksjonskrefter mellom den gitte kroppen og forbindelsene. Kreftene som bindinger virker med på en gitt kropp kalles reaksjoner av forbindelser.

Prinsippet om frigjøring : ethvert ikke-fritt legeme kan betraktes som fritt dersom virkningen av bindingene erstattes av deres reaksjoner påført den gitte kropp. I statikk kan reaksjonene til bindinger bestemmes fullstendig ved å bruke betingelsene eller likevektslikningene til kroppen, som vil bli etablert senere, men deres retninger kan i mange tilfeller bestemmes ved å vurdere egenskapene til bindingene. Som et enkelt eksempel i fig. 1.14, og et legeme presenteres, hvis punkt M er forbundet med det faste punktet O ved hjelp av en stang, hvis vekt kan neglisjeres; endene av stangen har hengsler som tillater rotasjonsfrihet. I i dette tilfellet for kroppen er forbindelsen stangen OM; begrensningen av bevegelsesfriheten til punkt M kommer til uttrykk ved at det tvinges til å være i konstant avstand fra punkt O. Virkningskraften på en slik stang skal rettes langs den rette linjen OM, og i henhold til aksiom 4, skal motkraften til stangen (reaksjon) R rettes langs den samme rette linjen. Dermed faller retningen for reaksjonen til stangen sammen med den rette linjen OM (fig. 1.14, b). Tilsvarende må reaksjonskraften til en fleksibel, ikke-utvidbar tråd rettes langs tråden. I fig. Figur 1.15 viser en kropp som henger på to tråder og reaksjonene til trådene R 1 og R 2. Kreftene som virker på et begrenset legeme er delt inn i to kategorier. Den ene kategorien er dannet av krefter som ikke er avhengig av forbindelser, og den andre dannes av reaksjoner av forbindelser. I dette tilfellet er reaksjonene til forbindelsene passive i naturen - de oppstår fordi krefter i den første kategorien virker på kroppen. Krefter som ikke er avhengig av bindinger kalles aktive, og reaksjoner av bindinger kalles passive krefter. I fig. 1.16, og øverst er vist to aktive krefter F 1 og F 2 av lik størrelse som strekker stangen AB, nederst vises reaksjonene R 1 og R 2 til den strakte stangen. I fig. 1.16, b viser toppen de aktive kreftene F 1 og F 2 som komprimerer stangen, bunnen viser reaksjonene R 1 og R 2 til den komprimerte stangen.

Koblingsegenskaper

1. Hvis et solid legeme hviler på en ideelt glatt (uten friksjon) overflate, kan legemets kontaktpunkt med overflaten gli fritt langs overflaten, men kan ikke bevege seg i retning langs normalen til overflaten. Reaksjonen til en ideelt glatt overflate er rettet langs den felles normalen til kontaktflatene (fig. 1.17, a) Hvis et fast legeme har en glatt overflate og hviler på en spiss (fig. 1.17, b), så er reaksjonen rettet langs normalen til overflaten av selve kroppen Hvis den solide kroppen Spissen hviler mot et hjørne (fig. 1.17, c), så hindrer forbindelsen at spissen beveger seg både horisontalt og vertikalt. Følgelig kan reaksjonen R av vinkelen representeres av to komponenter - horisontal R x og vertikal R y, hvis størrelser og retninger til slutt bestemmes av de gitte kreftene.

2. Et sfærisk hengsel er enheten vist i fig. 1.18, a, som gjør punkt O på den aktuelle kroppen ubevegelig. Hvis den sfæriske kontaktflaten er ideelt glatt, er reaksjonen til det sfæriske hengslet i retning av normalen til denne overflaten. Reaksjonen går gjennom midten av hengslet O; Reaksjonsretningen kan være hvilken som helst og bestemmes i hvert enkelt tilfelle.

Det er også umulig å bestemme på forhånd reaksjonsretningen til trykklageret vist i fig. 1.18, f. 3. Sylindrisk hengslet fast støtte (fig. 1.19, a). Reaksjonen til en slik støtte går gjennom dens akse, og reaksjonsretningen kan være hvilken som helst (i et plan vinkelrett på støtteaksen). 4. En sylindrisk leddet bevegelig støtte (fig. 1.19, b) forhindrer bevegelse av et fast punkt på kroppen vinkelrett på fly I-I; følgelig har reaksjonen til en slik støtte også retningen til denne perpendikulæren.

I mekaniske systemer dannet ved artikulering av flere faste legemer, er det interne forbindelser med eksterne forbindelser (støtter). I disse tilfellene blir systemet noen ganger dissekert mentalt og de kasserte ikke bare eksterne, men også interne forbindelser erstattes med passende reaksjoner. Samhandlingskreftene mellom individuelle punkter i en gitt kropp kalles indre, og kreftene som virker på en gitt kropp og forårsaket av andre kropper kalles ytre.

Hovedoppgaver for statikk

1. Problemet med å redusere et kraftsystem: hvordan kan et gitt kraftsystem erstattes av et annet, det enkleste, ekvivalente?

2. Likevektsproblem: hvilke betingelser må et system av krefter påført et gitt legeme (eller materiell punkt) tilfredsstille for at det skal være et balansert system?

Det andre problemet oppstår ofte i tilfeller hvor likevekt er kjent for å oppstå, for eksempel når det er kjent på forhånd at kroppen er i likevekt, noe som sikres av forbindelsene som pålegges kroppen. I dette tilfellet etablerer likevektsforholdene et forhold mellom alle krefter som påføres kroppen. Ved å bruke disse betingelsene er det mulig å bestemme støttereaksjonene. Det må tas i betraktning at bestemmelsen av bindingsreaksjoner (eksterne og interne) er nødvendig for den påfølgende beregningen av strukturens styrke.

I et mer generelt tilfelle, når et system av kropper som har evnen til å bevege seg i forhold til hverandre vurderes, er et av hovedproblemene ved statikk problemet med å bestemme mulige likevektsposisjoner.

Å bringe et system med konvergerende krefter til resultanten

Krefter kalles konvergerende hvis handlingslinjene til alle kreftene som utgjør systemet, krysser hverandre på ett punkt. La oss bevise teoremet: Et system med konvergerende krefter er ekvivalent med én kraft (resultant), som er lik summen av alle disse kreftene og går gjennom skjæringspunktet mellom deres handlingslinjer. La et system med konvergerende krefter F 1, F 2, F 3, ..., F n gis, påført et absolutt stivt legeme (Fig. 2.1, a). La oss flytte påføringspunktene for krefter langs linjene for deres virkning til skjæringspunktet mellom disse linjene (21, b). Vi mottok et styrkesystem, brukt på ett punkt. Det tilsvarer den gitte. La oss legge til F 1 og F 2 og få deres resultant: R 2 =F 1 + F 2. La oss legge til R 2 med F 3: R 3 = R 2 + F 3 = F 1 + F 2 + F 3. La oss legge til F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . Etc. I stedet for parallellogrammer kan du konstruere en kraftpolygon. La systemet bestå av 4 krefter (Fig. 2.2.). Fra slutten av vektoren F 1 setter vi vektoren F 2 til side. Vektoren som forbinder begynnelsen av O og slutten av vektoren F 2 vil være vektoren R 2 . Deretter vil vi utsette vektoren F 3, og plassere begynnelsen på slutten av vektoren F 2. Da får vi en vektor R 8 som går fra punkt O til enden av vektoren F 3. La oss legge til vektoren F 4 på samme måte; i dette tilfellet finner vi at vektoren som går fra begynnelsen av den første vektoren F 1 til slutten av vektoren F 4 er resultanten R. En slik romlig polygon kalles en kraftpolygon. Hvis slutten av den siste kraften ikke sammenfaller med begynnelsen av den første kraften, kalles kraftpolygonet åpen. Hvis et geometer brukes til å finne resultanten, kalles denne metoden geometrisk.

De bruker den analytiske metoden oftere for å bestemme resultatet. Projeksjonen av summen av vektorer på en viss akse er lik summen av projeksjonene av summandvektorene på samme akse, vi får R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; Rz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz; hvor F kx, F ky, F kz er projeksjonene av kraften F k på aksene, og R x, R y, R z er projeksjonene av resultanten på de samme aksene. Projeksjoner av det resulterende systemet med konvergerende krefter på koordinatakser er lik de algebraiske summene av projeksjonene av disse kreftene på de tilsvarende aksene. Modulen til den resulterende R er lik: R=(R x 2 +R y 2 + R z 2) 1/2. Retningscosinusene er like: cos(x,R)=Rx/R, cos(y,R)=Ry/R, cos(z,R)=Rz/R. Hvis kreftene er fordelt i samme retning, så er alt det samme, det er ingen Z-akse.

Likevektsbetingelser for et system med konvergerende krefter

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => for likevekten til et legeme under påvirkning av et system av konvergerende krefter, er det nødvendig og tilstrekkelig at deres resultant er lik null: R = 0 Følgelig, i kraftpolygonen til et balansert system av konvergerende krefter, må slutten av den siste kraften falle sammen med begynnelsen av den første kraften; i dette tilfellet sier de at kraftpolygonet er lukket (fig. 2.3). Denne tilstanden brukes når grafisk løsning problemer for flystyrkesystemer. Vektorlikheten R=0 er ekvivalent med tre skalarlikheter: R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; Rz =åF kz =F1z +F2z +…+Fnz =0; hvor F kx, F ky, F kz er projeksjonene av kraften F k på aksene, og R x, R y, R z er projeksjonene av resultanten på de samme aksene. Det vil si at for likevekten til et konvergerende kraftsystem er det nødvendig og tilstrekkelig at de algebraiske summene av projeksjonene av alle kreftene til et gitt system på hver av koordinataksene er lik null. For et plan kraftsystem forsvinner tilstanden knyttet til Z-aksen. Likevektsforhold lar deg sjekke om dette systemet styrke

Addisjon av to parallelle krefter

1) La parallelle og identisk rettede krefter F 1 og F 2 påføres punktene A og B på kroppen, og du må finne deres resultant (fig. 3.1). La oss bruke like store og motsatt rettede krefter Q 1 og Q 2 til punktene A og B (deres modul kan være hvilken som helst); en slik addisjon kan gjøres basert på aksiom 2. Da får vi i punktene A og B to krefter R 1 og R 2: R 1 ~(F 1, Q 1) og R 2 ~(F 2, Q 2). Virkningslinjene til disse kreftene skjærer hverandre i et bestemt punkt O. La oss overføre kreftene R 1 og R 2 til punkt O og dekomponere hver til komponenter: R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') og R 2 ~( F2', Q2'). Fra konstruksjonen er det klart at Q 1 ’=Q 1 og Q 2 ’=Q 2 , derfor kan Q 1 ’= –Q 2 ’ og disse to kreftene, i henhold til aksiom 2, forkastes. I tillegg er F 1 ’=F 1 , F 2 ’=F 2 . Kreftene F 1 ’ og F 2 ’ virker i én rett linje, og de kan erstattes av én kraft R = F 1 + F 2, som vil være den ønskede resultanten. Modulen til resultanten er lik R = F 1 + F 2. Virkningslinjen til resultanten er parallell med handlingslinjene F 1 og F 2. Fra likheten mellom trekanter Oac 1 og OAC, samt Obc 2 og OBC, får vi forholdet: F 1 /F 2 =BC/AC. Dette forholdet bestemmer påføringspunktet for resultanten R. Et system med to parallelle krefter rettet i én retning har en resultant parallell med disse kreftene, og dens modulus lik summen moduler av disse kreftene.

2) La to parallelle krefter virke på kroppen, rettet i forskjellige retninger og ikke like store. Gitt: F 1, F 2; Fi >F2.

Ved å bruke formlene R = F 1 + F 2 og F 1 /F 2 =BC/AC kan vi dekomponere kraften F 1 i to komponenter, F" 2 og R, rettet mot kraften F 1. La oss gjøre dette slik at kraften F" 2 viste seg å bli påført punkt B, og vi satte F" 2 = –F 2. Dermed, (F l, F 2)~(R, F" 2, F 2). Krafter F 2 , F 2 ' kan forkastes som ekvivalent med null (aksiom 2), derfor, (F1,F2)~R, dvs. kraften R er resultanten. La oss definere kraften R som tilfredsstiller denne utvidelsen av kraften F 1 . Formler R = F 1 + F 2 og F1/F2=BC/AC gir R+F 2 '=F 1, R/F2 =AB/AC (*). dette innebærer R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, og siden kreftene F t og F 2 er rettet i forskjellige retninger, så er R=F 1 –F 2. Ved å erstatte dette uttrykket med den andre formelen (*) får vi etter enkle transformasjoner F 1 /F 2 =BC/AC. forholdet bestemmer påføringspunktet for resultanten R. To ulik størrelse motsatt rettede parallelle krefter har en resultant parallell til disse kreftene, og dens modul er lik differansen i modulene til disse kreftene.

3) La to parallelle krefter virke på kroppen, like store, men motsatte i retning. Dette systemet kalles et par krefter og er merket med symbolet (F 1, F 2). La oss anta at modulen F 2 øker gradvis, og nærmer seg verdien av modulen F 1 . Da vil forskjellen i moduler tendere til null, og kraftsystemet (F 1, F 2) vil tendere til et par. I dette tilfellet |R|Þ0, og handlingslinjen beveger seg bort fra handlingslinjene til disse kreftene. Et kraftpar er et ubalansert system som ikke kan erstattes av en enkelt kraft. Et par krefter har ingen resultat.

Moment av en kraft i forhold til et punkt og en akse Moment av et par av krefter

Momentet til en kraft i forhold til et punkt (sentrum) er en vektor som er numerisk lik produktet av kraftmodulen til armen, dvs. med den korteste avstanden fra det spesifiserte punktet til kraftens virkningslinje . Den er rettet vinkelrett på planet som går gjennom det valgte punktet og kraftlinjen. Hvis dreiemomentet er i retning med klokken, så er dreiemomentet negativt, og hvis det er mot klokken, så er det positivt. Hvis O er punktet, er relasjonen kraftmomentet F, så er kraftmomentet betegnet med symbolet M o (F). Hvis påføringspunktet for kraften F bestemmes av radiusvektoren r i forhold til O, er forholdet Mo (F) = r x F gyldig.(3.6) Dvs. kraftmomentet er lik vektorproduktet til vektor r ved vektor F. Modulen til vektorproduktet er lik М о (F)=rF sin a=Fh, (3.7) hvor h er kraftens arm. Vektor Mo (F) er rettet vinkelrett på planet som går gjennom vektorene r og F, og mot klokken. Dermed bestemmer formel (3.6) fullstendig modulen og retningen til kraftmomentet F. Formel (3.7) kan skrives på formen M O (F) = 2S, (3.8) hvor S er arealet av trekanten OAB . La x, y, z være koordinatene for påføringspunktet for kraften, og F x , F y , F z være projeksjonene av kraften på koordinataksene. Om oss. ved opprinnelsen, deretter kraftmomentet:

Dette betyr at projeksjonene av kraftmomentet på koordinataksene bestemmes av f-mi: M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3,10 ).

La oss introdusere konseptet med projeksjon av kraft på et plan. La en kraft F og en viss kraft gis. La oss slippe perpendikulære fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren på dette planet (fig. 3.5). Projeksjonen av en kraft på et plan er en vektor hvis begynnelse og slutt faller sammen med projeksjonen av begynnelsen og projeksjonen av slutten av kraften på dette planet. Projeksjonen av kraften F på området xOy vil være F xy. Kraftmoment F xy rel. t. O (hvis z=0, F z =0) vil være Mo (F xy)=(xF y –yF x)k. Dette momentet er rettet langs z-aksen, og dets projeksjon på z-aksen sammenfaller nøyaktig med projeksjonen på samme akse av kraftmomentet F i forhold til punktet O.T.e, M Oz (F) = М Оz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Det samme resultatet kan oppnås hvis vi projiserer kraften F på et hvilket som helst annet plan parallelt med xOy-planet. I dette tilfellet vil skjæringspunktet for aksen med planet være forskjellig (betegnet O 1). Imidlertid vil alle mengdene x, y, F x, F y inkludert i høyre side av likhet (3.11) forbli uendret: M Oz (F) = M Olz (F xy). Projeksjonen av kraftmomentet i forhold til et punkt på en akse som går gjennom dette punktet, avhenger ikke av valget av et punkt på aksen. I stedet for M Oz (F) skriver vi M z (F). Denne projeksjonen av øyeblikket kalles kraftmomentet rundt z-aksen. Før beregninger projiseres kraft F på kvadrat- og vinkelaksen. Mz(F)=Mz(Fxy)=±Fxyh (3,12). h- skulder. Hvis med klokken, så +, mot klokken, så –. For å beregne m.m. krefter du trenger: 1) velg et vilkårlig punkt på aksen og konstruer et plan vinkelrett på aksen; 2) projisere en kraft på dette flyet; 3) bestemme projeksjonsarmen til kraften h. Kraftmomentet i forhold til aksen er lik produktet av modulen for projeksjonen av kraften på skulderen, tatt med passende fortegn. Av (3.12) følger det at kraftmomentet i forhold til aksen er lik null: 1) når projeksjonen av kraften på et plan vinkelrett på aksen er lik null, dvs. når kraften og aksen er parallelle; 2) når projeksjonsarmen h er lik null, det vil si når kraftlinjen skjærer aksen. Eller: momentet til en kraft om en akse er null hvis og bare hvis kraftlinjen og aksen er i samme plan.

La oss introdusere konseptet et par øyeblikk. La oss finne summen av momentene til kreftene som utgjør paret i forhold til et vilkårlig punkt. La O være et vilkårlig punkt i rommet (fig. 3.8), og F og F" er kreftene som utgjør paret. Da er M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF", hvorfra M o (F) + Mo (F")=OAxF+OBxF", men siden F"=–F, så M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF. Tar vi hensyn til likheten OA –OB = BA, finner vi til slutt: M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF. Det vil si at summen av kreftmomentene som utgjør paret ikke avhenger av posisjonen til punktet i forhold til som momentene er tatt. Vektorproduktet BAxF kalles øyeblikket av paret. Momentet til et par er merket med symbolet M(F,F"), med M(F,F")=BAxF=ABxF", eller M=BAxF=ABxF". (3.13). Momentet til et par er en vektor vinkelrett på parets plan, lik i størrelsesorden produktet av modulen til en av kreftene til paret ved armen til paret (dvs. den korteste avstanden mellom handlingslinjene) av kreftene som utgjør paret) og rettet i retningen hvorfra "rotasjonen" til paret er synlig skjer mot klokken. Hvis h er skulderen til paret, så er M(F,F") = hF. For at kraftparet skal balanseres, er det nødvendig at momentet til paret = 0, eller skulderen = 0.

Parteoremer

Teorem 1.To par som ligger i samme plan kan erstattes av ett par som ligger i samme plan, med et moment lik summen av momentene til disse to parene . For bevis, vurder to par (F 1, F` 1) og (F 2, F` 2) (Fig. 3.9) og flytt påføringspunktene for alle krefter langs handlingslinjene til punktene A og B, henholdsvis . Legger vi sammen kreftene i henhold til aksiom 3, får vi R=F 1 +F 2 og R"=F` 1 +F` 2, men F" 1 =–F 1 og F` 2 =–F 2. Følgelig danner R=–R", dvs. kreftene R og R" et par. Momentet til dette paret: M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14) Når kreftene som utgjør paret overføres langs linjene av deres handling, endres hverken skulderen eller rotasjonsretningen til paret, derfor endres ikke momentet til paret. Dette betyr at VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2, og formelen (3.14) vil ha formen M=M 1 +M 2, (3.15) osv. La oss komme med to kommentarer. 1. Virkelinjene til kreftene som utgjør parene kan vise seg å være parallelle. Teoremet forblir gyldig i dette tilfellet også. 2. Etter addisjon kan det vise seg at M(R,R")=0; basert på bemerkning 1 følger det at settet med to par (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0 .

Teorem 2.To par med like momenter er likeverdige. La et par (F 1 ,F` 1) virke på en kropp i plan I med et moment M 1 . La oss vise at dette paret kan erstattes av et annet par (F 2, F` 2), plassert i plan II, hvis bare momentet M 2 er lik M 1. Merk at plan I og II må være parallelle; spesielt kan de falle sammen. Faktisk, av parallelliteten til momentene M 1 og M 2 følger det at handlingsplanene til parene, vinkelrett på momentene, også er parallelle. La oss introdusere et nytt par (F 3 , F` 3) og påføre det sammen med paret (F 2 , F` 2) på kroppen, og plassere begge parene i plan II. For å gjøre dette, i henhold til aksiom 2, må du velge et par (F 3, F` 3) med et moment M 3 slik at det påførte kraftsystemet (F 2, F` 2, F 3, F` 3) er balansert. La oss sette F 3 =–F` 1 og F` 3 =–F 1 og kombinere påføringspunktene for disse kreftene med projeksjonene A 1 og B 1 av punktene A og B på plan II (se fig. 3.10). I samsvar med konstruksjonen vil vi ha: M 3 ​​​​=–M 1 eller, tatt i betraktning at M 1 = M 2, M 2 + M 3 = 0, vi får (F 2 , F` 2 , F 3 , F` 3)~0. Dermed er parene (F 2 , F` 2) og (F 3 , F` 3) gjensidig balansert og deres tilknytning til kroppen bryter ikke med dens tilstand (aksiom 2), så (F 1 , F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3). (3.16). På den annen side kan kreftene F 1 og F 3, samt F` 1 og F` 3 adderes etter regelen for å legge til parallelle krefter rettet i én retning. De er like i modul, derfor må resultatene deres R og R " påføres i skjæringspunktet mellom diagonalene til rektangelet ABB 1 A 1, i tillegg er de like i modul og rettet i motsatte retninger. Dette betyr at de utgjør et system ekvivalent med null. Så , (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0. Nå kan vi skrive (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17). Ved å sammenligne relasjoner (3.16) og (3.17), får vi (F 1 , F` 1)~(F 2 , F` 2) osv. Fra denne teoremet følger det at et par krefter kan beveges og roteres i handlingsplanet, overføres til et parallelt plan; i et par kan du endre kreftene og innflytelsen samtidig, og opprettholde bare rotasjonsretningen til paret og momentmodulen (F 1 h 1 = F 2 h 2).

Teorem 3. To par som ligger i kryssende plan tilsvarer ett par hvis moment er lik summen av momentene til de to gitte parene. La parene (F 1 , F` 1) og (F 2 , F` 2) ligge i henholdsvis kryssende plan I og II. Ved å bruke konsekvensen av teorem 2, bringer vi begge parene til arm AB (fig. 3.11), plassert på skjæringslinjen mellom plan I og II. La oss betegne de transformerte parene med (Q 1 , Q` 1) og (Q 2 , Q` 2). I dette tilfellet må følgende likheter være oppfylt: M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) og M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F 2, F` 2). La oss legge til, i henhold til aksiom 3, kreftene som påføres på henholdsvis punkt A og B. Da får vi R=Q 1 +Q 2 og R"=Q` 1 +Q` 2. Tatt i betraktning at Q` 1 =–Q 1 og Q` 2 = –Q 2, får vi: R=–R". Dermed har vi bevist at et system med to par er ekvivalent med ett par (R, R"). La oss finne øyeblikket M for dette paret. M(R, R")=BAxR, men R=Q 1 +Q 2 og M(R, R")=BAx(Q 1 + Q 2)=BAxQ 1 + BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1)+M(Q 2, Q` 2)=M(F 1, F" 1)+ M(F 2 , F` 2), eller M=M 1 +M 2, dvs. teoremet er bevist.

Konklusjon: øyeblikket til paret er en fri vektor og bestemmer fullstendig handlingen til paret på en absolutt stiv kropp. For deformerbare kropper er teorien om par ikke anvendelig.

Redusere et system av par til sin enkleste form Likevekt av et system av par

La et system med n par (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n) gis, vilkårlig plassert i rommet, hvis momenter er lik M 1, M 2 ..., M n . De to første parene kan erstattes med ett par (R 1,R` 1) med øyeblikket M* 2:M* 2 =M 1 +M 2. Vi legger til det resulterende paret (R 1, R` 1) med paret (F 3, F` 3), så får vi et nytt par (R 2, R` 2) med momentet M* 3: M* 3 = M * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3. Ved å fortsette den sekvensielle addisjonen av momentene til parene, får vi det siste resulterende paret (R, R") med øyeblikket M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k. (3.18). par reduseres til ett par, hvis moment er lik summen av momentene til alle parene. Nå er det lett å løse det andre problemet med statikk, dvs. finne likevektsbetingelsene til et legeme som et parsystem på virker. For at et system av par skal være ekvivalent med null, dvs. redusert til to balanserte krefter, er det nødvendig og det er nok at momentet til det resulterende paret er lik null. Så får vi fra formel (3.18) følgende likevektstilstand i vektorform: M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

I projeksjoner på koordinataksene gir likning (3.19) tre skalarlikninger. Likevektsbetingelsen (3.19) forenkles når alle parene ligger i samme plan. I dette tilfellet er alle momenter vinkelrett på dette planet, og derfor er det nok å projisere ligning (3.19) på kun én akse, for eksempel aksen vinkelrett på planet til parene. La dette være z-aksen (fig. 3.12). Så får vi fra ligning (3.19): М 1Z + М 2Z +...+ М nZ =0. Det er tydelig at M Z = M hvis rotasjonen til paret er synlig fra den positive retningen til z-aksen mot klokken, og M Z = –M i motsatt rotasjonsretning. Begge disse tilfellene er vist i fig. 3.12.

Lemma om parallell kraftoverføring

La oss bevise lemmaet:En kraft påført på et hvilket som helst punkt av et stivt legeme er ekvivalent med den samme kraften påført på et hvilket som helst annet punkt på denne kroppen, og et par krefter hvis moment er lik momentet til den gitte kraften i forhold til det nye påføringspunktet. La en kraft F påføres ved punkt A av et stivt legeme (fig. 4.1). La oss nå ved punkt B av legemet bruke et system med to krefter F" og F²-, tilsvarende null, og velge F"=F (derav F"=–F). Deretter kraften F~(F, F" , F"), siden (F",F")~0. Men på den annen side er kraftsystemet (F, F", F") ekvivalent med kraften F" og kraftparet (F) , F"); derfor er kraften F ekvivalent med kraften F" og kraftpar (F, F"). Momentet til paret (F, F") er lik M=M(F,F" )=BAxF, dvs. lik kraftmomentet F i forhold til punkt B M=M B (F) Dermed er lemmaet om parallell kraftoverføring bevist.

Grunnleggende teorem for statikk

La et vilkårlig kraftsystem (F 1, F 2,..., F n) gis. Summen av disse kreftene F=åF k kalles kraftsystemets hovedvektor. Summen av kreftmomentene i forhold til en hvilken som helst pol kalles hovedmomentet til kraftsystemet som vurderes i forhold til denne polen.

Grunnleggende teorem for statikk (Poinsots teorem ):I det generelle tilfellet kan ethvert romlig system av krefter erstattes av et ekvivalent system som består av en kraft påført på et eller annet punkt av kroppen (reduksjonssenter) og lik hovedvektoren til dette kraftsystemet, og ett par krefter , hvis moment er lik hovedmomentet til alle krefter i forhold til det valgte adduksjonssenteret. La O være reduksjonssenteret, tatt som opprinnelsen til koordinatene, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - de tilsvarende radiusvektorene til påføringspunktene for kreftene F 1 , F 2 , F 3 , ..., F n , som utgjør disse systemkreftene (fig. 4.2, a). La oss flytte kreftene F 1, F a, F 3, ..., F n til punkt O. La oss legge til disse kreftene som konvergerende; får vi én kraft: F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, som er lik hovedvektoren (fig. 4.2, b). Men med sekvensiell overføring av krefter F 1, F 2,..., F n til punkt O, hver gang vi oppnår det tilsvarende paret av krefter (F 1, F" 1), (F 2, F" 2), ...,( F n, F" n). Momentene til disse parene er henholdsvis lik momentene til disse kreftene i forhold til punkt O: M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1 = M o (F 1), M 2 = M (F 2 , F” 2)=r 2 x F 2 = M o (F 2), ..., M n =M(F n, F" n) =rn x Fn =Mo (Fn). Basert på regelen for å redusere et system av par til den enkleste formen, kan alle disse parene erstattes med ett par. Dens moment er lik summen av momentene til alle systemets krefter i forhold til punkt O, dvs. det er lik hovedmomentet, siden vi ifølge formlene (3.18) og (4.1) har (fig. 4.2, c) M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F k. Et kraftsystem, vilkårlig plassert i rommet, kan erstattes ved et vilkårlig valgt reduksjonssenter med kraften F o =åF k (4.2) og et par krefter med et moment M 0 =åM 0 (F k)=år k x F k . (4.3). I teknologi er det ofte lettere å spesifisere ikke en kraft eller et par, men deres øyeblikk. For eksempel inkluderer egenskapene til en elektrisk motor ikke kraften som statoren virker på rotoren med, men dreiemomentet.

Betingelser for likevekt i et romlig kraftsystem

Teorem.For likevekten til et romlig kraftsystem er det nødvendig og tilstrekkelig at hovedvektoren og hovedmomentet til dette systemet er lik null. Tilstrekkelighet: ved F o =0 er systemet med konvergerende krefter påført ved reduksjonssenteret O ekvivalent med null, og ved Mo =0 er systemet med kraftpar ekvivalent med null. Følgelig tilsvarer det opprinnelige kraftsystemet null. Nødvendighet: La dette kraftsystemet være ekvivalent med null. Etter å ha redusert systemet til to krefter, merker vi at kraftsystemet Q og P (Fig. 4.4) må være ekvivalent med null, derfor må disse to kreftene ha en felles virkelinje og likheten Q = –P må være fornøyd. Men dette kan være hvis virkningslinjen til kraften P går gjennom punkt O, det vil si hvis h = 0. Dette betyr at hovedmomentet er null (M o =0). Fordi Q + P = 0, a Q = F o + P ", deretter F o + P " + P = 0, og derfor F o = 0. De nødvendige og tilstrekkelige forholdene er lik det romlige kraftsystemet i form: F o = 0 , Mo = 0 (4,15),

eller, i projeksjoner på koordinatakser, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4,16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0. (4,17)

At. Når du løser problemer med 6 nivåer, kan du finne 6 ukjente. Merk: et par krefter kan ikke reduseres til en resultant. Spesielle tilfeller: 1) Likevekt av et romlig system av parallelle krefter. La Z-aksen være parallell med kraftens virkningslinjer (Figur 4.6), da er projeksjonene av kreftene på x og y lik 0 (F kx = 0 og F ky = 0), og bare F oz gjenstår . Når det gjelder øyeblikkene, er det bare M ox og M oy igjen, og M oz mangler. 2) Likevekt av et plan kraftsystem. De resterende nivåene er F ox , F oy og momentet M oz (Figur 4.7). 3) Likevekt av et plansystem med parallelle krefter. (Fig. 4.8). Bare 2 nivåer gjenstår: F oy og M oz. Når du kompilerer likevektsnivåene, kan et hvilket som helst punkt velges som sentrum av spøkelsen.

Redusere et flatt kraftsystem til sin enkleste form

La oss vurdere et kraftsystem (F 1, F 2,..., F n) plassert i samme plan. La oss kombinere koordinatsystemet Oxy med planet for plassering av krefter, og ved å velge dets opprinnelse som reduksjonssenter, reduserer vi det aktuelle kraftsystemet til én kraft F 0 =åF k , (5.1) lik hovedvektoren , og til et kraftpar, hvis moment er lik hovedmomentet M 0 =åM 0 (F k), (5.2) hvor M o (F k) er kraftmomentet F k i forhold til sentrum av reduksjon O. Siden kreftene ligger i ett plan, ligger kraften F o også i dette planet. Momentet til paret Mo er rettet vinkelrett på dette planet, fordi selve paret befinner seg i handlingen til kreftene som vurderes. For et plan kraftsystem er således hovedvektoren og hovedmomentet alltid vinkelrett på hverandre (fig. 5.1). Momentet er fullstendig preget av den algebraiske mengden M z , lik produktet av armen til paret med verdien av en av kreftene som utgjør paret, tatt med et plusstegn hvis "rotasjon-" av paret oppstår mot klokken, og med et minustegn hvis det oppstår med klokken piler. La for eksempel gis to par, (F 1, F` 1) og (F 2, F` 2) (Fig. 5.2); da har vi ifølge denne definisjonen M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2. Kraftmomentet i forhold til et punkt vil være en algebraisk størrelse lik projeksjonen av momentvektorkraften i forhold til dette punktet på en akse vinkelrett på planet, dvs. lik produktet av kraftmodulen ved skulderen, tatt med passende fortegn.For tilfellene vist i Fig. 5.3, a og b, henholdsvis, vil det være M oz (F 1) = hF 1 , M oz (F 2) = –hF 2 (5.4) Indeksen z i formlene (5.3) og (5.4) er bevart for å indikere momentenes algebraiske natur Modulene til momentet til paret og kraftmomentet er angitt som følger: M(F ,F")=| М z (F,F`)|, М о (F)=|М Оz (F)|. Vi får M oz =åM oz (F z). For analytisk å bestemme hovedvektoren brukes følgende formler: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5,8); cos(x, Fo)=Foks/Fo, cos(y, Fo)=F Oy/Fo.(5,9). Og hovedmomentet er lik М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) hvor x k, y k er koordinatene til påføringspunktet for kraften F k.

La oss bevise at hvis hovedvektoren til et plan kraftsystem ikke er lik null, så er dette kraftsystemet ekvivalent med én kraft, det vil si at det reduseres til en resultant. La Fo≠0, MOz ≠0 (fig. 5.4, a). Buepil i fig. 5.4, ​​men skildrer symbolsk et par med moment MOz. La oss representere et par krefter, hvis moment er lik hovedmomentet, i form av to krefter F1 og F`1, like store som hovedvektoren Fo, dvs. F1=F`1 =Fo. I dette tilfellet vil vi påføre en av kreftene (F`1) som utgjør paret til reduksjonssenteret og rette den i retning motsatt retningen til kraften Fo (Fig. 5.4, b). Da er kraftsystemet Fo og F`1 ekvivalent med null og kan forkastes. Derfor er det gitte kraftsystemet ekvivalent den eneste kraften F1 brukt på punkt 01; denne kraften er resultatet. Vi vil betegne resultanten med bokstaven R, dvs. F1=R. Åpenbart kan avstanden h fra det forrige reduksjonssenteret O til virkningslinjen til resultanten finnes fra betingelsen |MOz|=hF1 =hFo, dvs. h=|MOz|/Fo. Avstanden h må settes til side fra punkt O slik at momentet til kraftparet (F1, F`1) faller sammen med hovedmomentet MOz (Fig. 5.4, b). Som et resultat av å bringe et kraftsystem til et gitt senter, kan følgende tilfeller oppstå: (1) Fo≠0, MOz≠0. I dette tilfellet kan kraftsystemet reduseres til én kraft (resultant), som vist i fig. 5,4, ​​c. (2) Fo≠0, MOz=0. I dette tilfellet reduseres kraftsystemet til en kraft (resultant) som går gjennom et gitt reduksjonssenter. (3) Fo=0, MOz≠0. I dette tilfellet tilsvarer kraftsystemet ett kraftpar. (4) Fo=0, MOz=0. I dette tilfellet er kreftsystemet som vurderes ekvivalent med null, det vil si at kreftene som utgjør systemet er gjensidig balansert.

Varignons teorem

Varignons teorem. Hvis det plane systemet av krefter som vurderes reduseres til en resultant, er momentet til denne resultanten i forhold til et hvilket som helst punkt lik den algebraiske summen av momentene til alle kreftene til det gitte systemet i forhold til det samme punktet. La oss anta at kraftsystemet reduseres til en resulterende R som går gjennom punkt O. La oss nå ta et annet punkt O 1 som reduksjonssenter. Hovedmomentet (5.5) om dette punktet er lik summen av momentene til alle krefter: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). På den annen side har vi M O1Z =M Olz (R), (5.12) siden hovedmomentet for reduksjonssenteret O er lik null (M Oz =0). Ved å sammenligne relasjoner (5.11) og (5.12), får vi M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) osv. Ved å bruke Varignons teorem kan man finne ligningen for virkningslinjen til resultanten. La resultanten R 1 påføres på et eller annet punkt O 1 med koordinatene x og y (Fig. 5.5) og la hovedvektoren F o og hovedmomentet M O være kjent i reduksjonssenteret ved origo. Siden R 1 =F o, er komponentene til resultanten langs x- og y-aksene lik R lx =F Ox =F Ox i og R ly =F Oy =F oy j. I følge Varignons teorem er momentet til resultanten i forhold til origo lik hovedmomentet i reduksjonssenteret ved origo, dvs. Моz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox. (5.14). Mengdene M Oz, F Ox og Foy endres ikke når påføringspunktet for resultanten flyttes langs dens handlingslinje; derfor kan koordinatene x og y i ligning (5.14) sees på som gjeldende koordinater for linjen virkningen av resultatet. Således er ligning (5.14) ligningen for virkningslinjen til resultanten. Når F ox ≠0 kan den skrives om som y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Likevektsbetingelser for et plan kraftsystem

En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for likevekten til et kraftsystem er likheten mellom hovedvektoren og hovedmomentet til null. For et plan kraftsystem har disse forholdene formen F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), hvor O er et vilkårlig punkt i kreftenes handlingsplan. . Vi får: F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, М Оz =åM Oz (F k) = M oz (F 1)+M oz (F 2)+...+M oz (F n)=0, dvs. For likevekten til et plan kraftsystem er det nødvendig og tilstrekkelig at de algebraiske summene av projeksjonene av alle krefter på to koordinatakser og den algebraiske summen av momentene til alle krefter i forhold til et vilkårlig punkt er lik null. Den andre formen for likevektslikningen er likheten til null av de algebraiske summene av momentene til alle krefter i forhold til hvilke som helst tre punkter som ikke ligger på samme rette linje; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), hvor A, B og C er de angitte punktene. Nødvendigheten av å oppfylle disse likestillingene følger av vilkår (5.15). La oss bevise deres tilstrekkelighet. La oss anta at alle likheter (5.17) er oppfylt. Likheten mellom hovedmomentet og null ved reduksjonssenteret ved punkt A er mulig enten hvis systemet reduseres til resultanten (R≠0) og handlingslinjen går gjennom punkt A, eller R=0; på samme måte betyr likheten mellom hovedmomentet og null i forhold til punktene B og C at enten R≠0 og resultanten går gjennom begge punktene, eller R=0. Men resultanten kan ikke passere gjennom alle disse tre punktene A, B og C (etter betingelse ligger de ikke på samme rette linje). Følgelig er likheter (5.17) bare mulig når R = 0, dvs. kraftsystemet er i likevekt. Merk at hvis punktene A, B og C ligger på samme rette linje, vil oppfyllelsen av betingelsene (5.17) ikke være en tilstrekkelig betingelse for likevekt - i dette tilfellet kan systemet reduseres til en resultant hvis handlingslinje passerer gjennom disse punktene.

Den tredje formen for likevektsligninger for et plan kraftsystem

Den tredje formen av likevektslikningene for et plan kraftsystem er likheten til null av de algebraiske summene av momentene til alle kreftene i systemet i forhold til hvilke som helst to punkter og likheten til null av den algebraiske summen av projeksjonene av alle systemets krefter på en akse som ikke er vinkelrett på linjen som går gjennom to utvalgte punkter; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (x-aksen er ikke vinkelrett på segmentet A B) Behovet for å oppfylle disse likhetene for kraftbalansen følger direkte fra forhold (5.15). La oss sørge for at oppfyllelsen av disse betingelsene er tilstrekkelig for styrkebalansen. Fra de to første likhetene, som i det forrige tilfellet, følger det at hvis et kraftsystem har en resultant, så går dets handlingslinje gjennom punktene A og B (fig. 5.7). Da vil projeksjonen av resultanten på x-aksen, som ikke er vinkelrett på segmentet AB, være forskjellig fra null. Men denne muligheten er utelukket av den tredje ligningen (5.18) siden R x =åF hx). Derfor må resultanten være lik null og systemet er i likevekt. Hvis x-aksen er vinkelrett på segmentet AB, vil ikke ligningene (5.18) være tilstrekkelige likevektsbetingelser, siden systemet i dette tilfellet kan ha en resultant hvis aksjonslinje går gjennom punktene A og B. Dermed er likevektssystemet likninger kan inneholde en momentlikning og to projeksjonerslikninger, eller to momentlikninger og en projeksjonsligning, eller tre momentlikninger. La virkningslinjene til alle kreftene være parallelle med y-aksen (fig. 4.8). Da vil likevektslikningene for systemet med parallelle krefter som vurderes være åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19). åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) og punktene A og B skal ikke ligge på en rett linje parallelt med y-aksen. Et system av krefter som virker på et fast legeme kan bestå av både konsentrerte (isolerte) krefter og fordelte krefter. Det er krefter fordelt langs en linje, over en overflate og over volumet til en kropp.

Likevekt av et legeme i nærvær av glidende friksjon

Hvis to kropper I og II (fig. 6.1) interagerer med hverandre, berører ved punkt A, kan alltid reaksjonen RA, som virker for eksempel fra kropp II og påføres kropp I, dekomponeres i to komponenter: N A, rettet langs den felles normalen til overflaten av kontaktlegemene i punkt A, og TA som ligger i tangentplanet. Komponenten N A kalles normalreaksjonen, kraften TA kalles glidfriksjonskraften – den hindrer kropp I å skli over kropp II. I samsvar med aksiom 4 (Newtons tredje lov), påvirkes legeme II av en reaksjonskraft av lik størrelse og motsatt retning fra legeme I. Dens komponent vinkelrett på tangentplanet kalles normaltrykkkraften. Friksjonskraft T A = 0 hvis kontaktflatene er helt glatte. Under reelle forhold er overflater ru og i mange tilfeller kan friksjonskraften ikke neglisjeres. Den maksimale friksjonskraften er tilnærmet proporsjonal med normaltrykket, dvs. Tmax =fN. (6.3) – Amonton-Coulomb lov. Koeffisienten f kalles glidefriksjonskoeffisienten. Verdien avhenger ikke av arealet til kontaktflatene, men avhenger av materialet og graden av ruhet av kontaktflatene. Friksjonskraften kan kun beregnes fra formelen T=fN hvis det oppstår et kritisk tilfelle. I andre tilfeller bør friksjonskraften bestemmes fra ligninger. Figuren viser reaksjonen R (her har de aktive kreftene en tendens til å bevege kroppen mot høyre). Vinkelen j mellom den begrensende reaksjonen R og normalen til overflaten kalles friksjonsvinkelen. tgj=T maks /N=f.

Geometrisk sted for alle mulige veibeskrivelser den begrensende reaksjonen R danner en konisk overflate - en friksjonskjegle (fig. 6.6, b). Hvis friksjonskoeffisienten f er den samme i alle retninger, vil friksjonskjeglen være sirkulær. I tilfeller hvor friksjonskoeffisienten f avhenger av retningen for mulig bevegelse av kroppen, vil friksjonskjeglen ikke være sirkulær. Hvis resultatet av aktive krefter. er inne i friksjonskjeglen, og økning av modulen kan ikke forstyrre kroppens balanse; For at et legeme skal begynne å bevege seg, er det nødvendig (og tilstrekkelig) at resultanten av de aktive kreftene F er utenfor friksjonskjeglen. La oss vurdere friksjonen til fleksible legemer (fig. 6.8). Eulers formel hjelper til med å finne den minste kraften P som kan balansere kraften Q. P=Qe -fj*. Du kan også finne en kraft P som er i stand til å overvinne friksjonsmotstand sammen med kraft Q. I dette tilfellet vil bare tegnet på f endres i Eulers formel: P=Qe fj*.

Likevekt av et legeme i nærvær av rullende friksjon

La oss se på en sylinder (rulle) som hviler på et horisontalt plan når den påvirkes av en horisontal aktiv kraft S; i tillegg til den virker tyngdekraften P, samt normalreaksjonen N og friksjonskraften T (Fig. 6.10, a). Ved en tilstrekkelig liten kraftmodul S forblir sylinderen i ro. Men dette faktum kan ikke forklares hvis vi er fornøyd med introduksjonen av kreftene vist i fig. 6.10, a. I følge dette skjemaet er likevekt umulig, siden hovedmomentet til alle krefter som virker på sylinderen M Cz = –Sr er ikke null, og en av likevektsbetingelsene ikke er oppfylt. Årsaken til dette avviket er at vi forestiller oss at denne kroppen er helt solid og antar at sylinderens kontakt med overflaten skjer langs en generatrise. For å eliminere den bemerkede avviket mellom teori og eksperiment, er det nødvendig å forlate hypotesen om en absolutt stiv kropp og ta i betraktning at i virkeligheten er sylinderen og planet nær punkt C deformert og det er et visst kontaktområde med begrenset bredde. Som et resultat blir sylinderen i sin høyre del presset hardere enn i venstre, og hele reaksjonen R påføres til høyre for punkt C (se punkt C 1 i fig. 6.10, b). Det resulterende diagrammet over de virkende kreftene er statisk tilfredsstillende, siden momentet til paret (S, T) kan balanseres med momentet til paret (N, P). I motsetning til det første skjemaet (Fig. 6.10, a), påføres et par krefter med et moment M T = Nh. (6.11) på sylinderen. Dette øyeblikket kalles det rullende friksjonsmomentet. h=Sr/, hvor h er avstanden fra C til C 1. (6.13). Når den aktive kraftmodulen S øker, øker avstanden h. Men denne avstanden er relatert til kontaktflaten og kan derfor ikke øke i det uendelige. Dette betyr at en tilstand vil komme når en økning i kraften S vil føre til ubalanse. La oss angi den maksimalt mulige verdien av h med bokstaven d. Verdien av d er proporsjonal med radiusen til sylinderen og er forskjellig for forskjellige materialer. Derfor, hvis likevekt oppstår, er betingelsen oppfylt: h<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Senter for parallelle styrker

Betingelsene for å bringe et system med parallelle krefter til en resulterende kraft reduseres til én ulikhet F≠0. Hva skjer med resultanten R når virkningslinjene til disse parallelle kreftene samtidig roterer med samme vinkel, hvis påføringspunktene for disse kreftene forblir uendret og rotasjonene til kreftenes virkelinjer skjer rundt parallelle akser. Under disse forholdene roterer også resultanten av et gitt kraftsystem samtidig gjennom samme vinkel, og rotasjonen skjer rundt et bestemt fast punkt, som kalles sentrum av parallelle krefter. La oss gå videre til beviset på denne uttalelsen. La oss anta at for systemet med parallelle krefter F 1 , F 2 ,...,F n under vurdering, er hovedvektoren ikke lik null, derfor reduseres dette kraftsystemet til en resultant. La punkt O 1 være et hvilket som helst punkt på handlingslinjen til denne resultanten. La nå r være radiusvektoren til punktet 0 1 i forhold til den valgte polen O, a r k være radiusvektoren til kraftpåføringspunktet F k (Fig. 8.1). I følge Varignons teorem er summen av momentene til alle kreftene i systemet i forhold til punktet 0 1 lik null: å(r k –r)xF k =0, dvs. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. La oss introdusere en enhetsvektor e, så kan enhver kraft F k representeres som F k =F * k e (hvor F * k =F h, hvis retningen til kraften F h og vektor e sammenfaller, og F * k = –F h, hvis F k og e er rettet motsatt av hverandre); åF k =eåF * k . Vi får: år k xF * k e–rxeåF * k =0, hvorfra [år k F * k –råF * k ]xe=0. Den siste likheten er oppfylt for enhver kraftretning (dvs. retningen til enhetsvektoren e) bare under forutsetning av at den første faktoren er lik null: år k F * k –råF * k =0. Denne ligningen har en unik løsning med hensyn til radiusvektoren r, som bestemmer et påføringspunkt for resultanten som ikke endrer sin posisjon når kraftlinjene roterer. Dette punktet er sentrum for parallelle krefter. Angir radiusvektoren til sentrum av parallelle krefter gjennom r c: r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 + F * 2 +...+ F * n). La x с, у с, z с – koordinater til sentrum av parallelle krefter, a x k, y k, z k – koordinater for påføringspunktet for en vilkårlig kraft F k; da kan koordinatene til sentrum av parallelle krefter finnes fra formlene:

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +...+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

Uttrykkene x k F * k , y k F * k , z k F * k kalles henholdsvis de statiske momentene til et gitt kraftsystem i forhold til koordinatplanene yOz, xOz, xOy. Hvis opprinnelsen til koordinatene er valgt i sentrum av parallelle krefter, så er x c = y c = z c = 0, og de statiske momentene til et gitt kraftsystem er lik null.

Tyngdepunkt

Et legeme med vilkårlig form plassert i et tyngdefelt kan deles inn i elementære volumer ved seksjoner parallelt med koordinatplan (fig. 8.2). Hvis vi neglisjerer størrelsen på kroppen sammenlignet med jordens radius, kan gravitasjonskreftene som virker på hvert elementært volum betraktes som parallelle med hverandre. La oss betegne med DV k volumet til et elementært parallellepiped med senter i punktet M k (se fig. 8.2), og tyngdekraften som virker på dette elementet med DP k. Da kalles den gjennomsnittlige egenvekten til et volumelement forholdet DP k /DV k. Ved å trekke sammen parallellepipedet til punktet M k, får vi den spesifikke vekten ved et gitt punkt på kroppen som grensen for den gjennomsnittlige egenvekten g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10). Dermed er egenvekt en funksjon av koordinater, dvs. g=g(x, y, z). Vi vil anta at sammen med de geometriske egenskapene til kroppen, er den spesifikke tyngdekraften på hvert punkt av kroppen også gitt. La oss gå tilbake til å bryte kroppen i elementære volumer. Hvis vi ekskluderer volumene til de elementene som grenser til overflaten av kroppen, kan vi få en trinnformet kropp som består av et sett med parallellepipeder. La oss påføre tyngdekraften til sentrum av hvert parallellepiped DP k =g k DV k , hvor g h er den spesifikke tyngdekraften ved punktet av kroppen som sammenfaller med sentrum av parallellepipedet. For et system med n parallelle tyngdekrefter dannet på denne måten kan man finne sentrum av parallelle krefter r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + …+rn DP n) / (DP 1 + DP 2 + …+ DP n). Denne formelen bestemmer posisjonen til et bestemt punkt C n. Tyngdepunktet er punktet som er grensepunktet for punktene C n ved n®µ.

Statikk er en gren av teoretisk mekanikk der forholdene for likevekt av materielle legemer under påvirkning av krefter studeres.

I statikk forstås en likevektstilstand som en tilstand der alle deler av et mekanisk system er i ro (i forhold til et fast koordinatsystem). Selv om metodene for statikk også er anvendelige på bevegelige kropper, og med deres hjelp er det mulig å studere problemer med dynamikk, er de grunnleggende studieobjektene for statikk stasjonære mekaniske kropper og systemer.

Makt er et mål på innflytelsen av en kropp på en annen. Kraft er en vektor som har et påføringspunkt på overflaten av kroppen. Under påvirkning av en kraft mottar et fritt legeme en akselerasjon proporsjonal med kraftvektoren og omvendt proporsjonal med kroppens masse.

Loven om likhet mellom handling og reaksjon

Kraften som det første legemet virker med på det andre er lik absolutt verdi og motsatt i retning av kraften som det andre legemet virker på det første.

Herdeprinsipp

Hvis et deformerbart legeme er i likevekt, vil dets likevekt ikke bli forstyrret hvis kroppen anses som absolutt solid.

Statikk av et materialpunkt

La oss vurdere et materiell punkt som er i likevekt. Og la n krefter virke på den, k = 1, 2, ..., n.

Hvis et materialpunkt er i likevekt, er vektorsummen av kreftene som virker på det lik null:
(1) .

I likevekt er den geometriske summen av kreftene som virker på et punkt null.

Geometrisk tolkning. Hvis du plasserer begynnelsen av den andre vektoren på slutten av den første vektoren, og plasserer begynnelsen av den tredje på slutten av den andre vektoren, og deretter fortsetter denne prosessen, vil slutten av den siste, n-te vektoren bli justert med begynnelsen av den første vektoren. Det vil si at vi får en lukket geometrisk figur, lengdene på sidene er lik modulene til vektorene. Hvis alle vektorer ligger i samme plan, får vi en lukket polygon.

Det er ofte praktisk å velge rektangulært koordinatsystem Oxyz. Da er summen av projeksjonene til alle kraftvektorene på koordinataksene lik null:

Hvis du velger en hvilken som helst retning spesifisert av en vektor, er summen av projeksjonene av kraftvektorene på denne retningen lik null:
.
La oss multiplisere ligning (1) skalært med vektoren:
.
Her er skalarproduktet av vektorene og .
Merk at projeksjonen av vektoren på retningen til vektoren bestemmes av formelen:
.

Stiv kroppsstatikk

Kraftmoment om et punkt

Bestemmelse av kraftmoment

Et øyeblikk av makt, påført kroppen ved punkt A, i forhold til det faste senteret O, kalles en vektor lik vektorproduktet av vektorer og:
(2) .

Geometrisk tolkning

Kraftmomentet er lik produktet av kraft F og arm OH.

La vektorene og være plassert i tegneplanet. I henhold til egenskapen til vektorproduktet er vektoren vinkelrett på vektorene og det vil si vinkelrett på planen til tegningen. Dens retning bestemmes av den riktige skrueregelen. På figuren er dreiemomentvektoren rettet mot oss. Absolutt dreiemomentverdi:
.
Siden da
(3) .

Ved hjelp av geometri kan vi gi en annen tolkning av kraftmomentet. For å gjøre dette, tegn en rett linje AH gjennom kraftvektoren. Fra sentrum O senker vi den perpendikulære OH til denne rette linjen. Lengden på denne perpendikulæren kalles skulder av styrke. Deretter
(4) .
Siden , så er formlene (3) og (4) likeverdige.

Dermed, absolutt verdi av kraftmomentet i forhold til sentrum O er lik kraftprodukt per skulder denne kraften i forhold til det valgte senteret O.

Ved beregning av dreiemoment er det ofte praktisk å dekomponere kraften i to komponenter:
,
Hvor . Kraften går gjennom punkt O. Derfor er øyeblikket null. Deretter
.
Absolutt dreiemomentverdi:
.

Momentkomponenter i et rektangulært koordinatsystem

Hvis vi velger et rektangulært koordinatsystem Oxyz med senter i punktet O, vil kraftmomentet ha følgende komponenter:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Her er koordinatene til punkt A i det valgte koordinatsystemet:
.
Komponentene representerer verdiene av kraftmomentet om henholdsvis aksene.

Kraftmomentets egenskaper i forhold til sentrum

Momentet om senteret O, på grunn av kraften som går gjennom dette senteret, er lik null.

Hvis punktet for påføring av kraften flyttes langs en linje som går gjennom kraftvektoren, vil øyeblikket, med en slik bevegelse, ikke endres.

Momentet fra vektorsummen av krefter påført ett punkt av kroppen er lik vektorsummen av momenter fra hver av kreftene påført det samme punktet:
.

Det samme gjelder krefter hvis fortsettelseslinjer skjærer hverandre i ett punkt.

Hvis vektorsummen av krefter er null:
,
da avhenger ikke summen av momentene fra disse kreftene av posisjonen til senteret i forhold til som momentene er beregnet til:
.

Et par krefter

Et par krefter- dette er to krefter, like i absolutt størrelse og med motsatte retninger, påført forskjellige punkter i kroppen.

Et par krefter er preget av øyeblikket de skaper. Siden vektorsummen av kreftene som kommer inn i paret er null, avhenger ikke momentet som er opprettet av paret av punktet i forhold til som momentet beregnes. Fra synspunktet om statisk likevekt, spiller arten av kreftene involvert i paret ingen rolle. Et par krefter brukes for å indikere at et kraftmoment av en viss verdi virker på en kropp.

Kraftmoment om en gitt akse

Det er ofte tilfeller der vi ikke trenger å vite alle komponentene i momentet til en kraft om et valgt punkt, men bare trenger å vite momentet til en kraft rundt en valgt akse.

Kraftmomentet rundt en akse som går gjennom punktet O er projeksjonen av vektoren til kraftmomentet, i forhold til punktet O, på aksens retning.

Egenskaper til kraftmomentet om aksen

Momentet rundt aksen på grunn av kraften som går gjennom denne aksen er lik null.

Momentet om en akse på grunn av en kraft parallelt med denne aksen er lik null.

Beregning av kraftmomentet rundt en akse

La en kraft virke på kroppen i punkt A. La oss finne øyeblikket til denne kraften i forhold til O′O′′-aksen.

La oss konstruere et rektangulært koordinatsystem. La Oz-aksen falle sammen med O′O′′. Fra punkt A senker vi den perpendikulære OH til O′O′′. Gjennom punktene O og A tegner vi okseaksen. Vi tegner Oy-aksen vinkelrett på Ox og Oz. La oss dekomponere kraften i komponenter langs aksene til koordinatsystemet:
.
Kraften skjærer O′O′′-aksen. Derfor er øyeblikket null. Kraften er parallell med O′O′′-aksen. Derfor er øyeblikket også null. Ved å bruke formel (5.3) finner vi:
.

Legg merke til at komponenten er rettet tangentielt til sirkelen hvis sentrum er punktet O. Retningen til vektoren bestemmes av riktig skrueregel.

Betingelser for likevekt til et stivt legeme

I likevekt er vektorsummen av alle krefter som virker på kroppen lik null og vektorsummen av momentene til disse kreftene i forhold til et vilkårlig fast senter er lik null:
(6.1) ;
(6.2) .

Vi understreker at sentrum O, i forhold til hvilket kraftmomentene beregnes, kan velges vilkårlig. Punkt O kan enten tilhøre kroppen eller være plassert utenfor den. Vanligvis velges sentrum O for å gjøre beregningene enklere.

Likevektsbetingelsene kan formuleres på en annen måte.

I likevekt er summen av projeksjonene av krefter i en hvilken som helst retning spesifisert av en vilkårlig vektor lik null:
.
Summen av kreftmomentene i forhold til en vilkårlig akse O′O′′ er også lik null:
.

Noen ganger viser slike forhold seg å være mer praktiske. Det er tilfeller hvor beregninger kan gjøres enklere ved å velge akser.

Kroppens tyngdepunkt

La oss vurdere en av de viktigste kreftene - tyngdekraften. Her påføres ikke kreftene på visse punkter av kroppen, men blir kontinuerlig fordelt over hele volumet. For hvert område av kroppen med et uendelig lite volum ΔV, virker tyngdekraften. Her er ρ tettheten til kroppens stoff, og er tyngdeakselerasjonen.

La være massen til en uendelig liten del av kroppen. Og la punktet A k bestemme posisjonen til denne delen. La oss finne størrelsene knyttet til gravitasjon som er inkludert i likevektsligningene (6).

La oss finne summen av gravitasjonskrefter dannet av alle deler av kroppen:
,
hvor er kroppsmassen. Dermed kan summen av gravitasjonskreftene til individuelle infinitesimale deler av kroppen erstattes med en vektor av gravitasjonskraften til hele kroppen:
.

La oss finne summen av tyngdemomentene, på en relativt vilkårlig måte for det valgte senteret O:

.
Her har vi introdusert punkt C, som kalles tyngdepunkt kropper. Plasseringen av tyngdepunktet, i et koordinatsystem sentrert ved punkt O, bestemmes av formelen:
(7) .

Så når man bestemmer statisk likevekt, kan summen av gravitasjonskreftene til individuelle deler av kroppen erstattes av den resulterende
,
påføres massesenteret til kroppen C, hvis posisjon bestemmes av formel (7).

Plasseringen av tyngdepunktet for ulike geometriske figurer finnes i de tilsvarende oppslagsbøkene. Hvis et legeme har en akse eller symmetriplan, er tyngdepunktet plassert på denne aksen eller planet. Således er tyngdepunktene til en kule, sirkel eller sirkel plassert i sentrum av sirklene til disse figurene. Tyngdepunktene til et rektangulært parallellepiped, rektangel eller firkant er også plassert i sentrene deres - i skjæringspunktene mellom diagonalene.

Jevnt (A) og lineært (B) fordelt last.

Det er også tilfeller som ligner på tyngdekraften, når krefter ikke påføres på visse punkter av kroppen, men kontinuerlig fordeles over overflaten eller volumet. Slike krefter kalles fordelte krefter eller .

(Figur A). Også, som i tilfellet med tyngdekraften, kan den erstattes av en resulterende styrkekraft , påført ved tyngdepunktet til diagrammet. Siden diagrammet i figur A er et rektangel, er tyngdepunktet til diagrammet plassert i sentrum - punkt C: | AC| = | CB|.

(Figur B). Den kan også erstattes av resultanten. Størrelsen på resultanten er lik arealet av diagrammet:
.
Påføringspunktet er i tyngdepunktet i diagrammet. Tyngdepunktet til en trekant, høyde h, er plassert i en avstand fra basen. Derfor .

Friksjonskrefter

Glidende friksjon. La kroppen stå på en flat overflate. Og la være kraften vinkelrett på overflaten som overflaten virker på kroppen med (trykkkraft). Da er den glidende friksjonskraften parallell med overflaten og rettet til siden, og forhindrer bevegelse av kroppen. Dens største verdi er:
,
hvor f er friksjonskoeffisienten. Friksjonskoeffisienten er en dimensjonsløs størrelse.

Rullende friksjon. La en rund kropp rulle eller være i stand til å rulle på overflaten. Og la være trykkkraften vinkelrett på overflaten som overflaten virker på kroppen fra. Da virker et øyeblikk med friksjonskrefter på kroppen, ved kontaktpunktet med overflaten, og hindrer kroppens bevegelse. Den største verdien av friksjonsmomentet er lik:
,
hvor δ er rullefriksjonskoeffisienten. Den har lengdedimensjonen.

Referanser:
S. M. Targ, Kortkurs i teoretisk mekanikk, “Higher School”, 2010.

Som en del av ethvert utdanningskurs begynner fysikkstudiet med mekanikk. Ikke fra teoretisk, ikke fra anvendt eller beregningsmessig, men fra god gammel klassisk mekanikk. Denne mekanikken kalles også newtonsk mekanikk. Ifølge legenden gikk en vitenskapsmann i hagen og så et eple falle, og det var dette fenomenet som fikk ham til å oppdage loven om universell gravitasjon. Selvfølgelig har loven alltid eksistert, og Newton ga den bare en form som var forståelig for folk, men hans fortjeneste er uvurderlig. I denne artikkelen vil vi ikke beskrive lovene til newtonsk mekanikk så detaljert som mulig, men vi vil skissere grunnleggende, grunnleggende kunnskap, definisjoner og formler som alltid kan spille i hendene dine.

Mekanikk er en gren av fysikk, en vitenskap som studerer bevegelsen til materielle kropper og samspillet mellom dem.

Selve ordet er av gresk opprinnelse og er oversatt som «kunsten å bygge maskiner». Men før vi bygger maskiner, er vi fortsatt som månen, så la oss følge i fotsporene til våre forfedre og studere bevegelsen av steiner kastet i vinkel mot horisonten, og epler som faller på hodet fra en høyde h.

Hvorfor begynner studiet av fysikk med mekanikk? Fordi dette er helt naturlig, burde vi ikke starte med termodynamisk likevekt?!

Mekanikk er en av de eldste vitenskapene, og historisk begynte studiet av fysikk nettopp med grunnlaget for mekanikk. Plassert innenfor rammen av tid og rom, kunne folk faktisk ikke begynne med noe annet, uansett hvor mye de ville. Bevegelige kropper er det første vi legger merke til.

Hva er bevegelse?

Mekanisk bevegelse er en endring i posisjonen til legemer i rommet i forhold til hverandre over tid.

Det er etter denne definisjonen vi ganske naturlig kommer til begrepet en referanseramme. Endre posisjonen til kropper i rommet i forhold til hverandre. Stikkord her: i forhold til hverandre . Tross alt beveger en passasjer i en bil seg i forhold til personen som står på siden av veien med en viss hastighet, og er i ro i forhold til naboen i setet ved siden av ham, og beveger seg i en annen hastighet i forhold til passasjeren i bilen som kjører forbi dem.

Det er derfor, for å normalt måle parametrene til bevegelige objekter og ikke bli forvirret, trenger vi referansesystem - stivt sammenkoblet referanselegeme, koordinatsystem og klokke. For eksempel beveger jorden seg rundt solen i en heliosentrisk referanseramme. I hverdagen utfører vi nesten alle våre målinger i et geosentrisk referansesystem knyttet til jorden. Jorden er et referanselegeme i forhold til hvilke biler, fly, mennesker og dyr beveger seg.

Mekanikk, som vitenskap, har sin egen oppgave. Mekanikkens oppgave er å vite posisjonen til en kropp i rommet til enhver tid. Mekanikk bygger med andre ord en matematisk beskrivelse av bevegelse og finner sammenhenger mellom de fysiske størrelsene som kjennetegner den.

For å komme videre trenger vi konseptet " materiell poeng " De sier at fysikk er en eksakt vitenskap, men fysikere vet hvor mange tilnærminger og antakelser som må gjøres for å bli enige om akkurat denne nøyaktigheten. Ingen har noen gang sett et materiell punkt eller luktet en ideell gass, men de eksisterer! De er rett og slett mye lettere å leve med.

Et materiell punkt er en kropp hvis størrelse og form kan neglisjeres i sammenheng med dette problemet.

Seksjoner av klassisk mekanikk

Mekanikk består av flere seksjoner

• Kinematikk
• Dynamikk
• Statikk

Kinematikk fra et fysisk synspunkt studerer den nøyaktig hvordan en kropp beveger seg. Denne delen tar med andre ord for seg de kvantitative egenskapene til bevegelse. Finn hastighet, vei - typiske kinematikkproblemer

Dynamikk løser spørsmålet om hvorfor den beveger seg som den gjør. Det vil si at den tar hensyn til kreftene som virker på kroppen.

Statikk studerer balansen mellom kropper under påvirkning av krefter, det vil si svarer på spørsmålet: hvorfor faller det ikke i det hele tatt?

Anvendelsesgrenser for klassisk mekanikk.

Klassisk mekanikk hevder ikke lenger å være en vitenskap som forklarer alt (på begynnelsen av forrige århundre var alt helt annerledes), og har en klar ramme for anvendelighet. Generelt gjelder lover for klassisk mekanikk i den verden vi er vant til i størrelse (makroworld). De slutter å virke i tilfellet med partikkelverdenen, når kvantemekanikk erstatter klassisk mekanikk. Klassisk mekanikk er heller ikke aktuelt i tilfeller der bevegelser av kropper skjer med en hastighet nær lysets hastighet. I slike tilfeller blir relativistiske effekter uttalt. Grovt sett, innenfor rammen av kvante- og relativistisk mekanikk – klassisk mekanikk, er dette et spesialtilfelle når kroppens dimensjoner er store og hastigheten er liten. Du kan lære mer om det fra artikkelen vår.

Generelt sett forsvinner aldri kvanteeffekter og relativistiske effekter; de oppstår også under den vanlige bevegelsen til makroskopiske legemer med en hastighet som er mye lavere enn lysets hastighet. En annen ting er at effekten av disse effektene er så liten at den ikke går utover de mest nøyaktige målingene. Klassisk mekanikk vil dermed aldri miste sin grunnleggende betydning.

Vi vil fortsette å studere det fysiske grunnlaget for mekanikk i fremtidige artikler. For en bedre forståelse av mekanikken kan du alltid henvende deg til dem, som individuelt vil kaste lys over den mørke flekken til den vanskeligste oppgaven.

Teoretisk mekanikk er en del av mekanikken som beskriver de grunnleggende lovene for mekanisk bevegelse og mekanisk interaksjon mellom materielle legemer.

Teoretisk mekanikk er en vitenskap som studerer kroppens bevegelse over tid (mekaniske bevegelser). Det tjener som grunnlag for andre grener av mekanikk (teori om elastisitet, materialers styrke, teori om plastisitet, teori om mekanismer og maskiner, hydroaerodynamikk) og mange tekniske disipliner.

Mekanisk bevegelse- dette er en endring over tid i den relative posisjonen i rommet til materielle legemer.

Mekanisk interaksjon- dette er en interaksjon som et resultat av at den mekaniske bevegelsen endres eller den relative posisjonen til kroppsdeler endres.

Stiv kroppsstatikk

Statikk er en del av teoretisk mekanikk som omhandler problemer med likevekt mellom faste kropper og transformasjon av ett kraftsystem til et annet, tilsvarende det.

Grunnleggende begreper og lover for statikk
• Helt stiv kropp(fast kropp, kropp) er en materiell kropp, hvor avstanden mellom alle punkter ikke endres.
• Materialpunkt er en kropp hvis dimensjoner, i henhold til forholdene til problemet, kan neglisjeres.
• Fri kropp- Dette er et organ på bevegelsen som det ikke er pålagt restriksjoner på.
• Ufri (bundet) kropp er en kropp hvis bevegelse er underlagt restriksjoner.
• Tilkoblinger– dette er kropper som hindrer bevegelsen av den aktuelle gjenstanden (en kropp eller et system av kropper).
• Kommunikasjonsreaksjon er en kraft som karakteriserer virkningen av en binding på et fast legeme. Hvis vi anser kraften som et fast legeme virker på en binding som en handling, så er bindingens reaksjon en reaksjon. I dette tilfellet påføres kraften - handlingen på forbindelsen, og reaksjonen av forbindelsen påføres den faste kroppen.
• Mekanisk system er en samling av sammenkoblede kropper eller materielle punkter.
• Fast kan betraktes som et mekanisk system, hvis posisjoner og avstander mellom punktene ikke endres.
• Makt er en vektormengde som karakteriserer den mekaniske virkningen av en materialkropp på en annen.
  Kraft som vektor er preget av påføringspunkt, handlingsretning og absolutt verdi. Enheten for kraftmodul er Newton.
• kraftlinje er en rett linje som kraftvektoren er rettet langs.
• Fokusert kraft– kraft påført på ett punkt.
• Fordelte krefter (fordelt last)- dette er krefter som virker på alle punkter av volumet, overflaten eller lengden av et legeme.
  Den fordelte lasten er spesifisert av kraften som virker per volumenhet (overflate, lengde).
  Dimensjonen på den fordelte lasten er N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Ekstern kraft er en kraft som virker fra et legeme som ikke tilhører det mekaniske systemet som vurderes.
• Indre styrke er en kraft som virker på et materialpunkt i et mekanisk system fra et annet materialpunkt som tilhører det aktuelle systemet.
• Force system er et sett med krefter som virker på et mekanisk system.
• Flat kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ligger i samme plan.
• Romlig kraftsystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke ligger i samme plan.
• System av konvergerende krefter er et system av krefter hvis handlingslinjer krysser hverandre i ett punkt.
• Vilkårlig styrkesystem er et system av krefter hvis handlingslinjer ikke krysser hverandre på ett punkt.
• Ekvivalente kraftsystemer- dette er kraftsystemer, hvis utskifting med en annen ikke endrer kroppens mekaniske tilstand.
  Akseptert betegnelse:.
• Likevekt- dette er en tilstand der en kropp, under påvirkning av krefter, forblir ubevegelig eller beveger seg jevnt i en rett linje.
• Balansert kraftsystem- dette er et kraftsystem som, når det påføres et fritt fast legeme, ikke endrer sin mekaniske tilstand (ikke kaster det ut av balanse).
  .
• Resulterende kraft er en kraft hvis virkning på et legeme tilsvarer virkningen av et kraftsystem.
  .
• Kraftens øyeblikk er en størrelse som karakteriserer rotasjonsevnen til en kraft.
• Et par krefter er et system med to parallelle krefter av samme størrelse og motsatt rettet.
  Akseptert betegnelse:.
  Under påvirkning av et par krefter vil kroppen utføre en rotasjonsbevegelse.
• Projeksjon av kraft på aksen- dette er et segment innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til denne aksen.
  Projeksjonen er positiv hvis retningen til segmentet faller sammen med den positive retningen til aksen.
• Projeksjon av kraft på et fly er en vektor på et plan, innelukket mellom perpendikulære tegnet fra begynnelsen og slutten av kraftvektoren til dette planet.
• Lov 1 (treghetslov). Et isolert materialpunkt er i ro eller beveger seg jevnt og rettlinjet.
  Den jevne og rettlinjede bevegelsen til et materialpunkt er treghetsbevegelse. Likevektstilstanden til et materiell punkt og en stiv kropp forstås ikke bare som en hviletilstand, men også som bevegelse ved treghet. For et stivt legeme finnes det ulike typer treghetighetsbevegelser, for eksempel jevn rotasjon av et stivt legeme rundt en fast akse.
• lov 2. Et stivt legeme er i likevekt under påvirkning av to krefter bare hvis disse kreftene er like store og rettet i motsatte retninger langs en felles handlingslinje.
  Disse to kreftene kalles balansering.
  Generelt kalles krefter balansert hvis det faste legemet som disse kreftene påføres er i ro.
• lov 3. Uten å forstyrre tilstanden (ordet "tilstand" betyr her tilstanden av bevegelse eller hvile) til en stiv kropp, kan man legge til og avvise balanserende krefter.
  Konsekvens. Uten å forstyrre tilstanden til den faste kroppen, kan kraften overføres langs dens virkelinje til et hvilket som helst punkt på kroppen.
  To kraftsystemer kalles ekvivalente hvis det ene av dem kan erstattes av det andre uten å forstyrre tilstanden til det faste legemet.
• lov 4. Resultaten av to krefter påført på ett punkt, påført på samme punkt, er lik diagonalen til et parallellogram konstruert på disse kreftene, og er rettet langs denne
  diagonaler.
  Den absolutte verdien av resultanten er:
  
• Lov 5 (loven om like handling og reaksjon). Kraftene som to legemer virker på hverandre med er like store og rettet i motsatte retninger langs den samme rette linjen.
  Det bør man ha i bakhodet handling- kraft påført kroppen B, Og motstand- kraft påført kroppen EN, er ikke balansert, siden de brukes på forskjellige kropper.
• Lov 6 (lov om størkning). Likevekten til et ikke-fast legeme blir ikke forstyrret når det størkner.
  Det bør ikke glemmes at likevektsforholdene, som er nødvendige og tilstrekkelige for et fast legeme, er nødvendige, men utilstrekkelige for det tilsvarende ikke-faste legeme.
• Lov 7 (lov om frigjøring fra bånd). En ikke-fri fast kropp kan betraktes som fri hvis den er mentalt frigjort fra bindinger, og erstatter virkningen av bindingene med de tilsvarende reaksjonene til bindingene.

Forbindelser og deres reaksjoner
• Glatt overflate begrenser bevegelsen normalt på støtteflaten. Reaksjonen er rettet vinkelrett på overflaten.
• Leddet bevegelig støtte begrenser kroppens bevegelse normalt til referanseplanet. Reaksjonen er rettet normalt mot underlagets overflate.
• Leddet fast støtte motvirker enhver bevegelse i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen.
• Leddet vektløs stang motvirker kroppens bevegelse langs stangens linje. Reaksjonen vil bli rettet langs linjen til stangen.
• Blind tetning motvirker enhver bevegelse og rotasjon i planet. Virkningen kan erstattes av en kraft representert i form av to komponenter og et par krefter med et moment.

Kinematikk

Kinematikk- en del av teoretisk mekanikk som undersøker de generelle geometriske egenskapene til mekanisk bevegelse som en prosess som skjer i rom og tid. Objekter i bevegelse betraktes som geometriske punkter eller geometriske kropper.

Grunnleggende begreper i kinematikk
• Lov om bevegelse av et punkt (kropp)– dette er avhengigheten av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet på tid.
• Punktbane– dette er den geometriske plasseringen av et punkt i rommet under dets bevegelse.
• Hastigheten til et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av posisjonen til et punkt (kropp) i rommet.
• Akselerasjon av et punkt (kropp)– dette er en karakteristikk av endringen i tid av hastigheten til et punkt (kropp).

Bestemmelse av kinematiske egenskaper til et punkt
• Punktbane
  I et vektorreferansesystem beskrives banen ved uttrykket: .
  I koordinatreferansesystemet er banen bestemt av punktets bevegelseslov og beskrives av uttrykkene z = f(x,y)- i verdensrommet, eller y = f(x)- i et fly.
  I et naturlig referansesystem er banen spesifisert på forhånd.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et vektorkoordinatsystem
  Når du spesifiserer bevegelsen til et punkt i et vektorkoordinatsystem, kalles forholdet mellom bevegelse og et tidsintervall gjennomsnittsverdien av hastighet over dette tidsintervallet: .
  Ved å ta tidsintervallet til å være en uendelig liten verdi, får vi hastighetsverdien på et gitt tidspunkt (øyeblikkelig hastighetsverdi): .
  Gjennomsnittshastighetsvektoren er rettet langs vektoren i retningen av punktets bevegelse, den momentane hastighetsvektoren er rettet tangentielt til banen i retningen av punktets bevegelse.
  Konklusjon: hastigheten til et punkt er en vektormengde lik den tidsderiverte av bevegelsesloven.
  Avledet egenskap: den deriverte av enhver mengde med hensyn til tid bestemmer endringshastigheten for denne mengden.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et koordinatreferansesystem
  Hastighet for endring av punktkoordinater:
  .
  Modulen til den totale hastigheten til et punkt med et rektangulært koordinatsystem vil være lik:
  .
  Retningen til hastighetsvektoren bestemmes av cosinusene til retningsvinklene:
  ,
  hvor er vinklene mellom hastighetsvektoren og koordinataksene.
• Bestemme hastigheten til et punkt i et naturlig referansesystem
  Hastigheten til et punkt i det naturlige referansesystemet er definert som den deriverte av punktets bevegelseslov: .
  I følge tidligere konklusjoner er hastighetsvektoren rettet tangentielt til banen i retning av punktets bevegelse og i aksene bestemmes kun av én projeksjon.

Stiv kroppskinematikk
• I kinematikken til stive legemer løses to hovedproblemer:
  1) å stille inn bevegelsen og bestemme de kinematiske egenskapene til kroppen som helhet;
  2) bestemmelse av kinematiske egenskaper til kroppspunkter.
• Translasjonsbevegelse av en stiv kropp
  Translasjonsbevegelse er en bevegelse der en rett linje trukket gjennom to punkter på en kropp forblir parallell med dens opprinnelige posisjon.
  Teorem: under translasjonsbevegelse beveger alle punkter i kroppen seg langs identiske baner og har i hvert øyeblikk samme størrelse og retning av hastighet og akselerasjon.
  Konklusjon: translasjonsbevegelsen til et stivt legeme bestemmes av bevegelsen til noen av dets punkter, og derfor reduseres oppgaven og studien av bevegelsen til punktets kinematikk.
• Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp rundt en fast akse
  Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse er bevegelsen til et stivt legeme der to punkter som tilhører kroppen forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden.
  Kroppens posisjon bestemmes av rotasjonsvinkelen. Måleenheten for vinkel er radian. (En radian er den sentrale vinkelen til en sirkel, hvis buelengde er lik radiusen; den totale vinkelen til sirkelen inneholder 2π radian.)
  Loven om rotasjonsbevegelse av et legeme rundt en fast akse.
  Vi bestemmer vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen til kroppen ved å bruke differensieringsmetoden:
  — vinkelhastighet, rad/s;
  — vinkelakselerasjon, rad/s².
  Hvis du dissekerer kroppen med et plan vinkelrett på aksen, velg et punkt på rotasjonsaksen MED og et vilkårlig poeng M, så pek M vil beskrive rundt et punkt MED sirkelradius R. I løpet av dt det er en elementær rotasjon gjennom en vinkel , og punktet M vil bevege seg langs banen et stykke .
  Lineær hastighetsmodul:
  .
  Punktakselerasjon M med en kjent bane bestemmes den av komponentene:
  ,
  Hvor .
  Som et resultat får vi formlene
  tangentiell akselerasjon: ;
  normal akselerasjon: .

Dynamikk

Dynamikk er en del av teoretisk mekanikk der de mekaniske bevegelsene til materielle legemer studeres avhengig av årsakene som forårsaker dem.

Grunnleggende begreper om dynamikk
• Treghet- dette er egenskapen til materielle kropper for å opprettholde en hviletilstand eller jevn rettlinjet bevegelse inntil ytre krefter endrer denne tilstanden.
• Vekt er et kvantitativt mål på tregheten til en kropp. Masseenheten er kilogram (kg).
• Materialpunkt- dette er en kropp med masse, hvis dimensjoner blir neglisjert når du løser dette problemet.
• Massesenteret til et mekanisk system- et geometrisk punkt hvis koordinater bestemmes av formlene:
  
  Hvor m k, x k, y k, z k— masse og koordinater k- det punktet av det mekaniske systemet, m— massen til systemet.
  I et ensartet tyngdefelt faller posisjonen til massesenteret sammen med posisjonen til tyngdepunktet.
• Treghetsmoment for en materiell kropp i forhold til en akse er et kvantitativt mål på treghet under rotasjonsbevegelse.
  Treghetsmomentet til et materialpunkt i forhold til aksen er lik produktet av punktets masse med kvadratet av avstanden til punktet fra aksen:
  .
  Treghetsmomentet til systemet (kroppen) i forhold til aksen er lik den aritmetiske summen av treghetsmomentene til alle punkter:
  
• Treghetskraften til et materialpunkt er en vektormengde lik i modul med produktet av massen til et punkt og akselerasjonsmodulen og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren:
• Treghetskraften til en materiell kropp er en vektormengde som i modul er lik produktet av kroppsmassen og akselerasjonsmodulen til kroppens massesenter og rettet motsatt av akselerasjonsvektoren til massesenteret: ,
  hvor er akselerasjonen til kroppens massesenter.
• Elementær kraftimpuls er en vektormengde lik produktet av kraftvektoren og en uendelig liten tidsperiode dt:
  .
  Den totale kraftimpulsen for Δt er lik integralet av de elementære impulsene:
  .
• Elementært kraftarbeid er en skalar mengde dA, lik skalar proi