Testsum og produktpermutasjon av faktorer. En fortelling om russisk matematikk, en snill bonde og dumme kunder. Problemer med å finne summen

Hvor morsomt det er å se det syder av dritt i hodet på folk som er langt fra matematikk, fysikk, naturvitenskap generelt og om metodene for å undervise dem i videregående skoler.

Jeg snakker om den utbredte diskusjonen om lærerens "urettferdige" vurdering av denne løsningen på et enkelt problem:

Når folk ser en slik vurdering, oppstår vanligvis en kognitiv dissonans i hodet på grunn av at flertallet, om enn intuitivt, husker at multiplikasjonsoperasjonen er kommunikativ, dvs. Omorganisering av stedene til faktorene endrer ikke produktet, dvs. a*b = b*a.

Men her må du forstå at problemet under diskusjon tilhører kategorien av de mest grunnleggende, når barnet ikke bare ikke kjenner egenskapene til multiplikasjon, men har nettopp for første gang møtt begrepet multiplikasjon, introdusert som tillegg av identiske termer.

Så fra et matematisk synspunkt bør løsningen på problemet se slik ut:

2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l + 2l = 2l * 9 = 18l

Og rekkefølgen på faktorene er veldig viktig for å forstå multiplikasjonsoperasjonen. Og dette er ikke et særpreg for moderne russiske metodologer. Dette er nøyaktig hva de skrev i matematikk lærebøker for 130 år siden: § 42. Hva er multiplikasjon. Multiplikasjon er addisjon av identiske ledd. I dette tilfellet kalles tallet som gjentas som addisjon multiplikasjon (det multipliseres), og tallet som viser hvor mange slike identiske tillegg som tas, kalles en multiplikator.(Kiselev, første utgave 1884).

Det samme ble skrevet om i kommunistiske lærebøker på begynnelsen av forrige århundre (Stat pedagogisk institutt dem. Herzen, I.N Kavun, N.S. Popova, "Metoder for å undervise i aritmetikk. For grunnskolelærere og studenter ved pedagogiske høyskoler." Godkjent av People's Commissariat of Education of the RSFSR, 1934):

Det er åpenbart at løsningen foreslått av studenten viser hans manglende forståelse av essensen av multiplikasjonsoperasjonen, som ble vurdert deretter av læreren.

Selv om man antar at studenten er et geni selv gjettet (eller til og med visste) om den kommunikative karakteren til multiplikasjonsoperasjonen, er løsningen hans fortsatt feil. Poenget er at hvis han hadde skrevet i avgjørelsen:

da ville svaret vært riktig. Liter, som en dimensjon, er imidlertid fraværende på venstre side av ligningen og dukker opp fra ingensteds til høyre. Opptaket er

i dette tilfellet er det riktig, til tross for fraværet av dimensjon (l) på venstre side, fordi denne dimensjonen er utelatt basert på oppgavens begynnelsesbetingelser, som innebærer at dimensjonen til svaret vil være den samme som dimensjonen til multiplikaden, som alltid kommer først.

Forresten, misforståelse av dimensjoner fører til triste konsekvenser i voksenlivet. Les den sinte opusen biglebowsky som med et selvtilfreds smil skriver direkte tull og beregner avstanden en bil kjørte på 2 timer med en hastighet på 60 kilometer i timen: S = 60 km/t * 2 t = 120 km/t. Deretter husker vi den fysiske betydningen av problemet og forkaster halen av løsningen "/h".

Og slike analfabeter, som ikke forstår elementær matematikk og fysikk, anser det som mulig og akseptabelt å kritisere det halvannet århundrets metoder for å lære barn det grunnleggende om matematikk.

Dessuten studerte de selv (og alle dere også) multiplikasjon på skolen i sin tid. I Sovjetunionen var det én lærebok for alle skoler, og i den var rekkefølgen av faktorer når man studerte driften av multiplikasjon viktig. Og på samme måte ble karakterer for omorganisering av faktorer redusert, siden dette viste studentens manglende forståelse av essensen av multiplikasjonsoperasjonen og indikerte et enkelt utvalg av faktorer, uten å forstå essensen av fenomenene.

En annen ting er at senere, etter å ha studert lovene om multiplikasjon og konsolidert kunnskap om kommunikativiteten til multiplikasjonsalternativet, blir ferdigheten til å skrive faktorer riktig unødvendig og blir glemt. Men vi må ikke glemme den riktige dimensjonen. Til slutt er all videre studier av fysikk bygget på dette.

Generelt ønsket jeg å formidle en enkel idé. Hvis en person ikke forstår hva læreren forteller ham, så er det som regel ikke lærerens feil, men personens problem.

Måten barn blir introdusert for denne regelen (loven) bestemmes av den tidligere introduserte betydningen av multiplikasjonshandlingen. Ved å bruke objektmodeller av sett, beregner barn resultatene av å gruppere elementene sine på forskjellige måter, og sørger for at resultatene ikke endres hvis grupperingsmetodene endres.

Å telle elementer i et bilde (sett) i par horisontalt sammenfaller med å telle elementer i trillinger vertikalt. Betraktning av flere varianter av lignende tilfeller gir læreren grunnlag for å gjøre en induktiv generalisering (det vil si en generalisering av flere spesialtilfeller i en generalisert regel) om at omorganisering av faktorer ikke endrer verdien av produktet.

Basert på denne regelen, brukt som en metode for telling, kompileres en multiplikasjonstabell med 2.

For eksempel: Bruk multiplikasjonstabellen for tallet 2, beregn og husk multiplikasjonstabellen for 2:

Basert på samme teknikk blir en multiplikasjonstabell med 3 kompilert:

Samlingen av de to første tabellene er fordelt over to leksjoner, noe som følgelig øker tiden som er tildelt for å memorere dem. Hver av de to siste tabellene er satt sammen i en leksjon, siden det antas at barn, som kjenner den originale tabellen, ikke skal huske resultatene av tabeller oppnådd ved å omorganisere faktorer separat. Faktisk lærer mange barn hver tabell separat, siden det utilstrekkelige utviklingsnivået for fleksibilitet av tenkning ikke lar dem enkelt gjenoppbygge modellen til det lagrede tabelldiagrammet i omvendt rekkefølge. Ved beregning av tilfeller av formen 9 2 eller 8 3 går barn igjen tilbake til sekvensiell addisjon, noe som naturlig nok tar tid å få et resultat. Denne situasjonen er mest sannsynlig generert av det faktum at for et betydelig antall barn, tillater ikke en slik separasjon i tid av sammenkoblede tilfeller av multiplikasjon (de som er forbundet med regelen om omorganisering av faktorer) dannelsen av en assosiativ kjede som er spesifikt fokusert på sammenkobling .

Når man setter sammen en multiplikasjonstabell for tallet 5 i klasse 3, oppnås kun det første produktet ved å legge til identiske ledd: 5 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. De resterende tilfellene oppnås ved å legge til fem til forrige resultat:

5 6 = 5 5+ 5 = 30 5 7 = 5 6+ 5 = 35 5 8 = 5 7 + 5 = 40 5 9 = 5 8 + 5 = 45

Samtidig med denne tabellen kompileres en sammenkoblet multiplikasjonstabell for 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.

Multiplikasjonstabellen for tallet 6 inneholder fire tilfeller: 6 6; 6 7; 6 8; 6 9.

6-multiplikasjonstabellen inneholder tre tilfeller: 7 6; 8 6; 9 6.

Teoretisk tilnærming til en slik konstruksjon av et system for å studere tabellmultiplikasjon antar at det er i denne korrespondansen at barnet vil huske tilfeller av tabellmultiplikasjon.

Den enkleste å huske multiplikasjonstabellen for tallet 2 inneholder det største antallet tilfeller, og den vanskeligste å huske multiplikasjonstabellen for tallet 9 inneholder bare ett tilfelle. I virkeligheten, med tanke på hver nye "del" av multiplikasjonstabellen, gjenoppretter læreren vanligvis hele volumet av hver tabell (alle tilfeller). Selv om læreren gjør barna oppmerksom på at et nytt tilfelle i denne leksjonen for eksempel bare er tilfellet 9 9, a 9 8, 9 7it. elementer ble studert i tidligere leksjoner, de fleste barn oppfatter hele det foreslåtte volumet som materiale for ny læring. Dermed er faktisk multiplikasjonstabellen for tallet 9 for mange barn den største og mest komplekse (og dette er faktisk tilfelle, hvis du husker listen over alle tilfeller som er relatert til det).

Et stort volum av materiale som krever memorering, vanskeligheten med å danne assosiative forbindelser når man memorerer sammenhengende saker, behovet for alle barn for å oppnå solid memorering av alle tabellformede tilfeller utenat innen tidsgrensene fastsatt av programmet - alt dette gjør temaet studere tabellmultiplikasjon i grunnskole en av de mest metodologisk komplekse. I denne forbindelse er spørsmål knyttet til hvordan et barn husker multiplikasjonstabellene viktige.

Demonstrasjonstime i matematikk i 2. klasse

Ruting mattetime

i 2. klasse om temaet "Permutasjon av faktorer"

Punkt: matematikk Klasse: 2-a

Leksjonens tema : Omorganisering av multiplikatorer.

Mål: skape forutsetninger for elevene å oppnå pedagogiske resultater:

- personlig: 1) ha en positiv holdning til skole og læring; demonstrere kognitive behov og læringsmotiver; Vær organisert og disiplinert i klassen.

2) vis oppmerksomhet og tålmodighet til samtalepartneren, evnen til å selvvurdere ens aktiviteter.

- meta-emne:

Kognitiv UUD:min ny kunnskap, finne nødvendig informasjon, behandle informasjon (analyse, sammenligning) presentert i ulike former.

Regulatorisk UUD:sammen med læreren, oppdage og formulere et pedagogisk problem,bestemme formålet med arbeidet ditt, evaluer ditt eget resultat og resultatet til kameratene dine, skille en riktig utført oppgave fra en feil.

Kommunikasjon UUD:lytte og gå i dialog,forsvare sin posisjon, uttrykke sin mening, delta i gruppediskusjoner,samarbeide i par, snakke foran klassen,

- Emne: forstå hva den "kommutative egenskapen til multiplikasjon" er, være i stand til å anvende den, konsolidere betydningen av multiplikasjonshandlingen og utvikle beregningsevner i mental regning.

Leksjonens mål:

introdusere studentene til den kommutative egenskapen til multiplikasjon ved å bruke spesifikke eksempler;

utvikle evnen til å anvende det i praksis; konsolidere betydningen av multiplikasjon;

utvikling av matematisk tale basert på bruk av det studerte mønsteret; utvikle beregningsevner, mentale operasjoner for sammenligning, klassifisering;

Metoder og former for opplæring : Forklarende og illustrerende; individuelle, frontale, dampbad.

Teknikker for å organisere studentenes pedagogiske aktiviteter: søke etter ny kunnskap gjennom intervjuer og pararbeid; selvstendig arbeid med pedagogisk støtte til de elevene som trenger det

I løpet av timene:

(leksjonsstadier

Læreraktiviteter

Aktivitet
studenter

Planlagte resultater

1.Motivasjon for læringsaktiviteter .

Mottak: uttrykke gode ønsker til studenter

Klokken ringte oss alle til timen,

Vi har en mattetime.

La oss tenke og resonnere.

Det er på tide for oss å starte leksjonen vår.

Vil du lære noe nytt? (Ja)

Så alle kan sette seg ned!

La oss starte leksjonen vår.

Vær oppmerksom, aktiv og flittig, alle sammen.

Åpne notatbøkene og skriv ned antallet og klassearbeidet.

Uttrykke gode ønsker til hverandre.

Skriv ned dato og type arbeid.

Organisering av tid.

Kunne i fellesskap bli enige om reglene for kommunikasjonsatferd på skolen og følge dem.

Oppdatering av kunnskap.

Se på numeriske uttrykk

(Lysbilde)

2 + 2 + 2 + 2

5 + 5 + 55 + 5

6 + 6 + 6

Finn det ekstra uttrykket.

Hvorfor valgte du det tredje uttrykket?

Hva har alle uttrykk til felles?

Hvilken handling kan brukes for å erstatte summen av identiske termer?

Presenter summene som et produkt og finn verdiene.

Sjekker fra et lysbilde(lysbilde)

Hva består verket av?

Hva er resultatet av multiplikasjonshandlingen?

Hvilken handling jobber vi videre med?

Finn et unødvendig uttrykk.

- vilkårene er ikke de samme

- multiplikasjon

2*4=8

6*3=18

-Fra multiplikatorer.

-meningen med arbeidet

-Med handlingen multiplikasjon

(Kommunikativ UUD)

Kunne uttale sekvensering,

gjør din gjetning.(Regulativ UUD)

Kunne formulere tankene dine verbalt.(Kommunikativ UUD)

Formulering av problemet. Leksjonens tema.

Målsetting

Det ligger konvolutter på pultene dine (konvolutt nr. 1).

Analyser innholdet i konvolutten, hva vet du allerede?

Hvaer ukjent og nytt for deg.

Det vi har lært, vet vi, legg det tilbake i konvolutten.

Og la det som er nytt for deg ligge foran deg.

Hvilket tema skal vi jobbe med?

Hvordan vil dette hjelpe oss å sjekke emnet for leksjonen?

La oss sjekke og sammenligne om vi har rett.

La oss definere målene for leksjonen vår.

- Hva trenger vi å vite?

- Hva lærer vi da?

La oss prøve å vurdere kunnskapen vår om emnet i begynnelsen av leksjonen. Og så sammenligner vi resultatet på slutten av timen på slutten av timen.

Fullfør oppgaven i konvolutt nr. 1

Sjekk på lysbildet

- lærebokens innhold

Hva er permutasjon av faktorer?

Lær å bruke regelen når du utfører ulike oppgaver

Kunne formulere tankene dine verbalt.(Kommunikativ UUD)

Kunne navigere i kunnskapssystemet ditt: skille det nye fra det allerede kjente.(Kognitiv UUD)

Innledende vurdering av kunnskap om temaet

La oss prøve å vurdere kunnskapen vår om emnet i begynnelsen av leksjonen. Og så sammenligner vi resultatet på slutten av timen på slutten av timen.

Kunnskap vurderes i begynnelsen av timen.

(trafikklys)

(Personlig UUD)

Oppdagelse av ny kunnskap.

Nå skal vi leke soldater litt. Vi vil jobbe i par.

Det er små soldater i konvolutter på bordene dine. (konvolutt nr. 2)

Prøv (parvis) å ordne alle soldatene i en kolonne med 2

Hva gjorde du7 Hvem kan demonstrere ved brettet ved å bruke eksemplet med sjømenn?

(Alternativ 2: Hvis barn synes det er vanskelig, åpne lærebøkene deres)

Se på illustrasjonen der Masha og Misha leker soldater og krangler.

Misha forteller søsteren at han arrangerte soldatene i 2 rekker, hver med 5 soldater. Men Masha mener at soldatene er stilt opp i 5 rader. Det er 2 soldater på hver rad. Hvilket barn har rett?

Skriv det ned totalt antall soldater i form av et verkto veier.

- Er det mulig å si at verdiene til produktene vil være like?

Hvilket skilt skal vi sette mellom verkene? Hvorfor?

5*2=2*5

Hvordan kan du sjekke at denne likheten er sann?

Hva overrasket deg?

Vi er oppdagere! La oss sjekke om dette utsagnet er sant for andre uttrykk?

Jobber i par med soldater

Jeg gir deg tid til å fullføre oppgaven.

Forklaring ved styret.

Barn som forklarer nytt materiale ved tavlen

Vi lytter til barnas meninger og foreslår at de ordner sjetongene på samme måte som soldatene står

To barn skriver to alternativer på tavlen

Vi sjekker muntlig og skriver på tavlen: 5 2 Og 2 5

-Ja, siden dette er like mange soldater.

- Multiplikatorene er de samme, bare de byttes,

Erstatt multiplikasjon med summen av identiske ledd.

Du kan kalle to elever til styret, og be den ene om å beregne verdien av produktet 5 2, og den andre om å beregne 2 5 (5 2 = 5 + 5 = 10, 2 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10).

Faktorene byttes, men verdien på produktene er den samme

Kunne uttale rekkefølgen av handlinger i leksjonen.(Regulativ UUD)

Primær konsolidering.

Anvendelse av kunnskap

La oss sjekke våre antakelser (funn) igjen.

La oss fullføre oppgave nr. 2

3 ss. - 1 rad

4 m - 2. rad.

5 m - 3 rad

Hvilken regel brukte du for å fullføre denne oppgaven?

- Har funnene våre blitt bekreftet?

Hvilken konklusjon kan man trekke?

- La oss sammenligne våre antakelser med regelen i læreboken på s. 109.

Vet du hva omorganiseringsfaktorer kalles i matematikk? Kommutativ egenskap ved multiplikasjon eller kommutativ multiplikasjonslov.

Oppgave nr. 3 (muntlig)

2 8 = 8 2

9 4 = 4 9

5 3 = 3 5

8 4 = 4 8

5 9 = 9 5

3 7 = 7 3

Utfør 1 og 2 kolonner - sammen ved brettet.

Bytt notatbøker med naboen din og evaluer arbeidet hans (gjensidig sjekk).

regel for omorganisering av faktorer

De konkluderer: Å omorganisere faktorene endrer ikke verdien av produktet.

Les regelen

Kunne uttrykke tankene dine muntlig og skriftlig: lytte og forstå andres tale ( Kommunikativ UUD), (Regulatory UUD)

Kunne formulere tankene dine verbalt. (Kommunikativ UUD

Selvkontroll

Evaluering av resultater

av deres handlinger

Oppgave nr. 4 (U-1, s. 109)

Bruke kunnskapen som er oppnådd. Fullfør oppgaven selv.

- La oss lese ordlyden i oppgaven. (Finn verdiene til det første produktet) Hvordan skal vi gjøre det?(

Vi illustrerer et eksempel på tavlen skriftlig form verbalt svar.

Selvverifisering(svar på lysbilde)

Som gjorde to feil – 4

Hvem gjorde 3 feil - 3

Selvstendig arbeid.

Kan ordnes pararbeid,

Hvis barna dine synes det er vanskelig, spør naboen din!

-For å finne verdien av produktet 5 4 brukte vi

likhet 4 5 = 20.)

5 4 = 4 5 = 20.

Elevene finner selvstendig de gjenværende betydningene av verkene og gjør notater

Evaluer den fullførte oppgaven

Kunne uttale rekkefølgen av handlinger i klassen og uttrykke gjetning. (Regulativ UUD)

Være i stand til å vurdere dine handlinger, dine antakelser. (Regulativ UUD)

Refleksjon av aktivitet. Leksjonssammendrag

Hvilken oppgave ble gitt i leksjonen?

Klarte du å nå målet ditt?

Hvor skal vi bruke den nye egenskapen multiplikasjon?

Hvem sine resultater endret seg? Fullfør setningene….

Takk for leksjonen!

Vurdering ved bruk av trafikklys.

Evnen til selvevaluering basert på suksesskriteriet i pedagogiske aktiviteter (Personlig UUD)

Definisjon. Multiplikasjon er handlingen for å finne summen av identiske ledd. Multiplisere Antall EN per nummer b betyr å finne summen b ledd, som hver er lik a.

Tallene som multipliseres kalles faktorer (eller faktorer), og resultatet av multiplikasjonen kalles et produkt.

På multiplikasjon naturlige tall produktet er alltid et positivt tall. Hvis en av faktorene er lik 0 (null), så er produktet lik 0. Hvis produktet er lik null, er minst én av faktorene lik 0.

Hvis en av de to faktorene er lik 1 (en), da arbeid lik den andre faktoren.

• For eksempel:
• 5 * 6 * 8 * 0 = 0
• 132 * 1 = 132

Multiplikasjonslover

Kombinasjonslov

Regel. For å multiplisere produktet av to faktorer med en tredje faktor, kan du multiplisere den første faktoren med produktet av den andre og tredje faktoren.

• For eksempel:
• (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
• (a * b) * c = a * (b * c)

Reiselov

Regel. Omorganisering av faktorene endrer ikke produktet.

• For eksempel:
• 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
• a * b * c = c * b * a

Fordelingslov

Regel. For å multiplisere et tall med en sum, kan du multiplisere dette tallet med hvert av leddene og legge til de resulterende produktene.

• For eksempel:
• 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
• a * (b + c) = ab + ac

Fordelingsloven gjelder også for subtraksjonshandlingen.

• For eksempel:
• 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7

Lovene for multiplikasjon gjelder for et hvilket som helst antall faktorer i numerisk eller alfabetisk uttrykk. Den distributive loven om multiplikasjon brukes til å ta den felles faktoren ut av parentes.

Regel. For å konvertere en sum (differanse) til et produkt, er det nok å ta den samme faktoren av leddene ut av parentes, og skrive de resterende faktorene i parentes som summen (differansen).