La oss finne trekanten ved å bruke Herons formel. Arealet av en trekant. Beregning av arealet av firkanter
Denne formelen lar deg beregne arealet til en trekant basert på sidene a, b og c:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),hvor p er halvomkretsen av trekanten, dvs. p = (a + b + c)/2.
Formelen er oppkalt etter den gamle greske matematikeren Heron fra Alexandria (ca. 1. århundre). Heron vurderte trekanter med heltallssider hvis arealer også er heltall. Slike trekanter kalles heronske trekanter. For eksempel er dette trekanter med sidene 13, 14, 15 eller 51, 52, 53.
Det er analoger av Herons formel for firkanter. På grunn av det faktum at problemet med å konstruere en firkant langs sidene a, b, c og d har mer enn én løsning, for å beregne arealet til en firkant i det generelle tilfellet, er det ikke nok bare å vite lengdene av sidene. Du må angi flere parametere eller pålegge begrensninger. For eksempel er arealet av en innskrevet firkant funnet av formelen: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Hvis en firkant er både innskrevet og omskrevet på samme tid, er arealet det ved å bruke en enklere formel: S=√(abcd).
Hegre av Alexandria - Gresk matematiker og mekaniker.
Han var den første som oppfant automatiske dører, et automatisk dukketeater, en salgsautomat, en selvlastende armbrøst med hurtig ild, damp turbin, automatiske dekorasjoner, en enhet for å måle lengden på veier (en eldgammel kilometerteller), etc. Han var den første som laget programmerbare enheter (en aksel med pinner med et tau viklet rundt).
Han studerte geometri, mekanikk, hydrostatikk og optikk. Hovedverk: Metrikk, Pneumatikk, Automatopoetikk, Mekanikk (verket er bevart i sin helhet i arabisk oversettelse), Catoptrics (vitenskapen om speil; kun bevart i latinsk oversettelse) osv. I 1814 ble Herons essay «On Diopter» funnet, som fastsetter reglene landmåling, egentlig basert på bruk av rektangulære koordinater. Heron brukte prestasjonene til sine forgjengere: Euclid, Archimedes, Strato of Lampsacus. Mange av bøkene hans er ugjenkallelig tapt (rullene ble oppbevart i biblioteket i Alexandria).
I sin avhandling "Mechanics" beskrev Heron fem typer enkle maskiner: spak, port, kile, skrue og blokk.
I sin avhandling "Pneumatics" beskrev Heron forskjellige sifoner, smart utformede fartøyer og automater drevet av trykkluft eller damp. Dette er en aeolipile, som var den første dampturbinen - en ball rotert av kraften fra vanndampstråler; en maskin for å åpne dører, en maskin for salg av «hellig» vann, en brannpumpe, et vannorgel, et mekanisk dukketeater.
Boken "Om dioptrien" beskriver dioptrien - den enkleste enheten som brukes til geodetisk arbeid. Heron angir i sin avhandling reglene for landmåling, basert på bruk av rektangulære koordinater.
I Catoptrics underbygger Heron rettheten til lysstråler med en uendelig høy forplantningshastighet. Heron vurderer ulike typer speil, og legger særlig vekt på sylindriske speil.
Herons "Metrics" og "Geometrics" og "Stereometrics" hentet fra den er oppslagsverk om anvendt matematikk. Blant informasjonen i Metrica:
Formler for arealer av vanlige polygoner.
Volumer av vanlige polyedre, pyramide, kjegle, avkortet kjegle, torus, sfærisk segment.
Herons formel for å beregne arealet til en trekant fra lengdene på sidene (oppdaget av Archimedes).
Regler for numerisk løsning av andregradsligninger.
Algoritmer for å trekke ut kvadrat- og kuberøtter.
Herons bok "Definisjoner" er en omfattende samling av geometriske definisjoner, for det meste sammenfallende med definisjonene til Euklids "Elementer".
Leksjonssammendrag
Emne: "Herons formel og andre formler for arealet av en trekant."
Leksjonstype : en leksjon i å oppdage ny kunnskap.
Klasse: 10.
Leksjonens mål: i løpet av leksjonen, sørg for bevisst repetisjon av formler for å beregne arealet av en trekant, som studeres i skolepensum. Vis behovet for å kjenne Herons formel II, formelen for arealet av en trekant gitt i et rektangulært koordinatsystem. Sørg for bevisst assimilering og anvendelse av disse formlene når du løser problemer.
Oppgaver:
Pedagogisk: utvikling logisk tenkning, evne til å bestemme selvstendig Læringsmål; utviklingsnysgjerrighetstudenter, kognitiv interesse for faget; utvikling av kreativ tenkning og matematisk tale til elever;
Pedagogisk: pleie interesse for matematikk; skape forutsetninger fordannelse av kommunikasjonsevner og viljesterke egenskaper personlighet.
Pedagogisk: utdype kunnskapmodul av et reelt tall; lære evnen til å løse typiske problemer.
Universelle læringsaktiviteter:
Personlig: respekt for individet og dets verdighet; stabil kognitiv interesse; evne til å føre dialog på grunnlag av likeverdige relasjoner og gjensidig respekt.
Forskrift: sette mål for aktiviteter i leksjonen; planlegge måter å oppnå målet på; ta avgjørelser i en problemsituasjon basert på forhandlinger.
Kognitiv: V beherske generelle teknikker for å løse problemer, utføre oppgaver og beregninger; utføre oppgaver basert på bruk av reelle tallmodulegenskaper.
Kommunikativ: EN bruke tale tilstrekkelig til å planlegge og regulere ens aktiviteter; formulere din egen mening.
Teknisk støtte : datamaskin, projektor, interaktiv tavle.
Leksjonsstruktur
Motivasjonsstadiet – 2 min.
Lekser – 1 min.
Stadiet med å oppdatere kunnskap om det foreslåtte emnet og utføre den første prøvehandlingen - 10 minutter.
Identifisere vanskeligheter: hva er kompleksiteten til det nye materialet, nøyaktig hva som skaper problemet, leting etter motsetninger - 4 min.
Utvikling av et prosjekt, en plan for å løse deres eksisterende vanskeligheter, vurdering av mange alternativer, søk etter den optimale løsningen - 2 min.
Implementering av den valgte planen for å løse problemet - 5 min.
Primær konsolidering av ny kunnskap - 10 min.
Selvstendig arbeid og sjekk mot standard - 5 min.
Refleksjon, som inkluderer refleksjon over læringsaktiviteter, selvanalyse og refleksjon over følelser og følelser – 1 min.
I løpet av timene.
Motivasjonsstadiet.
Hei folkens, sett deg. I dag vil leksjonen vår følge følgende plan: i løpet av leksjonen vil vi studere et nytt emne: " Herons formel og andre formler for arealet av en trekant "; La oss gjenta formlene du kjenner; La oss lære hvordan du bruker disse formlene når du løser problemer. Så la oss sette i gang.
Stadiet for å oppdatere kunnskap om det foreslåtte emnet og utføre den første prøvehandlingen.
Lysbilde 1.
Skriv ned emnet for leksjonen. Før du fortsetter direkte til formlene, la oss huske hvilke formler for å beregne arealet til en trekant vet du?
Lysbilde 2.
Skriv disse formlene.
Hvilke formler vet du for å beregne arealet av en trekant?(elevene husker alle formlene de har lært)
Lysbilde 3.
Arealet av en rettvinklet trekant. S=ab. Skriv ned formelen
Lysbilde 4.
Arealet av en hvilken som helst trekant. S= EN . en = , = Skriv ned formelen.
Lysbilde 5. Arealet til en trekant basert på to sider og vinkelen mellom dem.
S=½·ab·sinα. Skriv ned formelen.
Nå skal vi studere nye formler for å finne areal.
Lysbilde 6.
Arealet av en trekant i form av radiusen til den innskrevne sirkelen. S= P r. Skriv ned formelen.
Lysbilde 7.
Arealet av en trekant i form av R-radius av den omskrevne sirkelen.
Skriv ned formelen.
Lysbilde 8.
Herons formel.
Før vi begynner beviset, la oss huske to teoremer om geometri - sinussetningen og cosinussetningen.
1. a=2R; b=2R; c=2R
2., cosγ = .
Lysbilde 9-10
Bevis på Herons formel. Skriv ned formelen.
Lysbilde 11.
Formelen for arealet av en trekant basert på tre sider ble oppdaget av Arkimedes i det 3. århundre f.Kr. Det tilsvarende arbeidet har imidlertid ikke nådd våre dager. Denne formelen finnes i "Metrics" til Heron of Alexandria (1. århundre e.Kr.) og er oppkalt etter ham. Heron var interessert i trekanter med heltallssider hvis arealer også er heltall. Slike trekanter kalles heronske trekanter. Den enkleste heroniske trekanten er den egyptiske trekanten
Identifisere vanskeligheten: hva er kompleksiteten til det nye materialet, nøyaktig hva som skaper problemet, søke etter en motsigelse.
Lysbilde 12.
Finn arealet av en trekant med de gitte sidene: 4,6,8. Er det nok informasjon til å løse problemet? Hvilken formel kan du bruke for å løse dette problemet?
Utvikling av et prosjekt, en plan for å løse deres eksisterende vanskeligheter, vurdering av mange alternativer, søk etter en optimal løsning.
Dette problemet kan løses ved hjelp av Herons formel. Først må du finne halvomkretsen til trekanten, og deretter erstatte de resulterende verdiene i formelen.
Implementering av den valgte planen for å løse problemet.
Finne s
s=(13+14+15)/2=21
s- en=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Svar :84
Oppgave nr. 2
Finn sidene i trekantenABC, hvis arealet av trekanteneABO, BCO, ET KOMPANI, hvor O er sentrum av den innskrevne sirkelen, lik 17,65,80 dc 2 .
Løsning: 
S=17+65+80=162 – legg sammen arealene til trekantene. I henhold til formelen
S ABO =1/2 AB* r, derfor 17=1/2AB* r; 65=1/2°C* r; 80=1/2 A.C.* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Finn s
s= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(R- b)=162-130=32
I følge Herons formelS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
Fordi S=162, derforr = 1152/162=3128/18
Svar: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Primær konsolidering av ny kunnskap.
№10(1)
Finn arealet av en trekant med de gitte sidene:
№12
Selvstendig arbeid og testing mot standard.
№10.(2)
Hjemmelekser . S.83, nr. 10(3), nr. 15
Refleksjon, som inkluderer refleksjon over pedagogiske aktiviteter, introspeksjon og refleksjon over følelser og følelser.
Hvilke formler gjentok du i dag?
Hvilke formler lærte du akkurat i dag?
Finnes ved å kjenne grunnen og høyden. Hele enkelheten til diagrammet ligger i det faktum at høyden deler basen a i to deler a 1 og en 2, og selve trekanten i to rette trekanter, hvis areal er og. Da vil arealet av hele trekanten være summen av de to angitte områdene, og hvis vi tar ett sekund av høyden ut av braketten, får vi tilbake basen i summen:
En vanskeligere metode for beregninger er Herons formel, som du trenger å kjenne alle tre sidene for. For denne formelen må du først beregne halvomkretsen til trekanten: 
Herons formel i seg selv innebærer kvadratroten av halvperimeteren, multiplisert i sin tur med forskjellen på hver side.
Følgende metode, også relevant for enhver trekant, lar deg finne arealet av trekanten gjennom to sider og vinkelen mellom dem. Beviset for dette kommer fra formelen med høyde - vi tegner høyden på hvilken som helst av de kjente sidene og gjennom sinusen til vinkelen α får vi at h=a⋅sinα. For å beregne arealet, multipliser halve høyden med den andre siden.
En annen måte er å finne arealet av en trekant, kjenne til 2 vinkler og siden mellom dem. Beviset for denne formelen er ganske enkelt og kan tydelig sees fra diagrammet.
Vi senker høyden fra toppunktet til den tredje vinkelen til den kjente siden og kaller de resulterende segmentene x tilsvarende. Fra rette trekanter det er tydelig at det første segmentet x er lik produktet
Teorem. Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av siden og høyden:
Beviset er veldig enkelt. Denne trekanten ABC(Fig. 1.15) la oss bygge det opp til et parallellogram ABDC. Trekanter ABC Og DCB er like på tre sider, så arealene deres er like. Så arealet av trekanten ABC lik halve arealet av parallellogrammet ABDC, dvs.
Men her oppstår følgende spørsmål: hvorfor er de tre mulige halvproduktene av basen og høyden for en trekant like? Dette er imidlertid lett å bevise fra likheten mellom rektangler med en vanlig spiss vinkel. Tenk på en trekant ABC(Fig. 1.16):
Og derfor
Imidlertid, i skole lærebøker Det er ikke slik det gjøres. Tvert imot er likheten mellom de tre halvproduktene etablert på grunnlag av at alle disse halvproduktene uttrykker trekantens areal. Dermed blir eksistensen av en enkelt funksjon implisitt utnyttet. Men her kommer en praktisk og lærerik mulighet til å demonstrere et eksempel matematisk modellering. Det er faktisk en fysisk realitet bak begrepet område, men direkte verifisering av likheten til tre halvprodukter viser kvaliteten på oversettelsen av dette konseptet til matematikkspråket.
Ved å bruke trekantarealteoremet ovenfor, er det ofte praktisk å sammenligne arealene til to trekanter. Nedenfor presenterer vi noen åpenbare, men viktige konsekvenser fra teoremet.
Konsekvens 1. Hvis toppunktet til en trekant flyttes langs en rett linje parallelt med basen, endres ikke arealet.
I fig. 1,17 trekanter ABC Og ABD ha et felles grunnlag AB og like høyder senket ned på denne basen, siden en rett linje EN, som inneholder toppunktene MED Og D parallelt med basen AB, og derfor er arealene til disse trekantene like.
Konsekvens 1 kan omformuleres som følger.
Konsekvens 1?. La et segment bli gitt AB. Mange poeng M slik at arealet av trekanten AMV lik gitt verdi S, er det to linjer parallelle med segmentet AB og de som ligger i avstand fra den (fig. 1. 18)
Konsekvens 2. Hvis en av sidene i en trekant ved siden av en gitt vinkel økes med k ganger, vil arealet også øke med k en gang.
I fig. 1,19 trekanter ABC Og ABD ha felles høyde BH, derfor er forholdet mellom deres arealer lik forholdet mellom basene
Viktige spesialtilfeller følger av konklusjon 2:
1. Medianen deler trekanten i to små deler.
2. Halvlinje for en vinkel i en trekant, innelukket mellom sidene EN Og b, deler den inn i to trekanter, hvis arealer er relatert som en : b.
Konsekvens 3. Hvis to trekanter har en felles vinkel, er arealene deres proporsjonale med produktet av sidene som omslutter denne vinkelen.
Dette følger av at (fig. 1.19)
Spesielt gjelder følgende uttalelse:
Hvis to trekanter er like og siden til en av dem er k ganger større enn de tilsvarende sidene til den andre, så er området k 2 ganger arealet av den andre.
Vi utleder Herons formel for arealet av en trekant på følgende to måter. I den første bruker vi cosinus-teoremet:
der a, b, c er lengdene på sidene i trekanten, r er vinkelen motsatt side c.
Fra (1.3) finner vi.
Merker det
hvor er halvomkretsen av trekanten, får vi.
Laster inn...