Ligning av et segment. Rett linje. Ligning av en rett linje. Hva skal vi gjøre med det mottatte materialet?
La noe affint koordinatsystem OXY gis.
Teorem 2.1. Enhver rett linje l koordinatsystem OX er gitt ved en lineær ligning av formen
EN x+B y+ C = O, (1)
hvor A, B, C R og A 2 + B 2 0. Motsatt definerer enhver ligning av formen (1) en rett linje.
Ligning som (1) - generell ligning av en linje .
La alle koeffisientene A, B og C i ligning (1) være forskjellige fra null. Deretter
Ah-By=-C, og .
La oss betegne -C/A=a, -C/B=b. Vi får
-ligning i segmenter .
Faktisk, tallene |a| og |b| angi størrelsen på segmentene avskåret med en rett linje l på henholdsvis OX- og OY-aksene.
La det være rett l er gitt ved den generelle ligningen (1) i et rektangulært koordinatsystem og la punktene M 1 (x 1,y 1) og M 2 (x 2,y 2) tilhøre l. Deretter
EN x 1 + V på 1 + C = A X 2 + V på 2 + C, det vil si A( x 1 -x 2) + B( på 1 -på 2) = 0.
Den siste likheten betyr at vektoren =(A,B) er ortogonal på vektoren =(x 1 -x 2,y 1 -y 2). de. Vektor (A,B) kalles normalvektor for linjen l.
Tenk på vektoren =(-B,A). Deretter
A(-B)+BA=0. de. ^.
Derfor er vektoren =(-B,A) retningsvektoren til krydret l.
Parametriske og kanoniske ligninger av linjen
Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter
La en rett linje gis i det affine koordinatsystemet (0, X, Y) l, dens retningsvektor = (m,n) og punktet M 0 ( x 0 ,y 0) eid l. Så for et vilkårlig punkt M ( x,på) av denne linjen vi har
og siden da 
.
Hvis vi betegner og
Radiusvektorer for henholdsvis punktene M og M 0, da
- ligning av en linje i vektorform.
Siden =( X,på), =(X 0 ,på 0), da
x= x 0 + mt,
y= y 0 + nt
- parametrisk ligning for en linje .
Det følger at
- kanonisk ligning av linjen .
Til slutt, hvis på en rett linje l gitt to poeng M 1 ( X 1 ,på 1) og
M2( x 2 ,på 2), deretter vektor =( X 2 -X 1 ,y 2 -på 1) er guider vektor av en rett linje l. Deretter
- ligningen av en linje som går gjennom to gitte punkter.
Gjensidig ordning to rette linjer.
Slipp rett l 1 og l 2 er gitt ved deres generelle ligninger
l 1: A 1 X+ B 1 på+ C 1 = 0, (1)
l 2: A 2 X+ B 2 på+ C2 = 0.
Teorem. Slipp rett l 1 og l 2 er gitt ved ligning (1). Da og først da:
1) linjer krysser hverandre når det ikke er et tall λ slik at
A1 = λA 2, B 1 = λB 2;
2) linjene faller sammen når det er et tall λ slik at
A1 = λA 2, B 1 = λB 2, C 1 = λC 2;
3) linjene er distinkte og parallelle når det er et tall λ slik at
A 1 = λA 2, B 1 = λB 2, C 1 λC 2.
En haug med rette linjer
En haug med rette linjer er settet av alle linjer i planet som går gjennom et bestemt punkt kalt senter stråle.
For å spesifisere stråleligningen er det nok å kjenne til to rette linjer l 1 og l 2 som går gjennom midten av strålen.
La de rette linjene i det affine koordinatsystemet l 1 og l 2 er gitt av ligningene
l 1: A 1 x+ B 1 y+ C 1 = 0,
l 2: A 2 x+ B 2 y+ C2 = 0.
Ligningen:
A 1 x+ B 1 y+ C + λ (A 2 X+ B 2 y+ C) = 0
- ligning av en blyant av linjer definert av ligningene l 1 og l 2.
I fremtiden vil vi med et koordinatsystem forstå et rektangulært koordinatsystem .
Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer
La linjene være gitt l 1 og l 2. deres generelle ligninger; = (A 1 ,B 1), = (A 2 ,B 2) – normale vektorer av disse linjene; k 1 = tgα 1, k 2 = tanα 2 – vinkelkoeffisienter; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) – retningsvektorer. Så rett l 1 og l 2 er parallelle hvis og bare hvis en av følgende betingelser er oppfylt:
eller enten k 1 =k 2, eller.
La det være rett nå l 1 og l 2 er vinkelrett. Da, åpenbart, det vil si A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.
Hvis rett l 1 og l 2 er gitt henholdsvis av ligningene
l 1: på=k 1 x+ b 1 ,
l 2: på=k 2 x+ b 2 ,
deretter tanα 2 = tan(90º+α) = 
.
Det følger at
Til slutt, hvis og retningsvektorene er rette, så ^, det vil si
m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0
Det siste forholdet uttrykker den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for vinkelrettheten til to plan.
Vinkel mellom to rette linjer
I en vinkel φ mellom to rette linjer l 1 og l 2 vil vi forstå den minste vinkelen som en rett linje må roteres med slik at den blir parallell med eller sammenfaller med en annen rett linje, det vil si 0 £ φ £
La linjene være gitt ved generelle ligninger. Det er åpenbart det
cosφ= 
La det være rett nå l 1 og l 2 er gitt ved ligninger med helningskoeffisienter k 1 tommer k 2 henholdsvis. Deretter
Det er åpenbart at det vil si ( X-X 0) + B( på-på 0) + C( z-z 0) = 0
La oss åpne parentesene og angi D= -A x 0 - V på 0 - C z 0 . Vi får
EN x+B y+ C z+ D = 0 (*)
- planligning i generell form eller generell planligning.
Teorem 3.1 Lineær ligning(*) (A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0) er en likning av planet og omvendt, enhver likning av planet er lineær.
1) D = 0, så går flyet gjennom origo.
2) A = 0, da er planet parallelt med OX-aksen
3) A = 0, B = 0, da er planet parallelt med OXY-planet.
La alle koeffisientene i ligningen være forskjellige fra null.
- planligning i segmenter. Tall |a|, |b|, |c| angi verdiene til segmentene avskåret av flyet kl koordinatakser.
Og vi vil analysere det i detalj spesiell type likninger av linjen -. La oss starte med formen til ligningen av en rett linje i segmenter og gi et eksempel. Etter dette vil vi fokusere på å konstruere en rett linje, som er gitt ved ligningen av en rett linje i segmenter. Avslutningsvis vil vi vise hvordan overgangen fra den komplette generelle ligningen til en linje til ligningen til en linje i segmenter utføres.
Sidenavigering.
Ligning av en linje i segmenter - beskrivelse og eksempel.
La Oxy festes på flyet.
Ligning av en linje i segmenter på et plan i et rektangulært koordinatsystem har Oxy formen , der a og b er noen reelle tall som ikke er null.
Det er ingen tilfeldighet at ligningen til en linje i segmenter fikk dette navnet - de absolutte verdiene av tallene a og b er lik lengdene til segmentene som linjen skjærer av på koordinataksene Ox og Oy, tellende fra Opprinnelsen.
La oss avklare dette punktet. Vi vet at koordinatene til ethvert punkt på en linje tilfredsstiller ligningen til den linjen. Da er det tydelig synlig at linjen definert av ligningen til linjen i segmenter går gjennom punktene og , siden 
Og 
. Og punktene og er nøyaktig plassert på koordinataksene Ox og Oy, henholdsvis, og er fjernt fra opprinnelsen til koordinatene med a og b enheter. Tegnene til tallene a og b indikerer retningen segmentene skal legges i. "+"-tegnet betyr at segmentet er plottet i positiv retning av koordinataksen, "-"-tegnet betyr det motsatte.
La oss skildre en skjematisk tegning som forklarer alt det ovennevnte. Den viser plasseringen av linjene i forhold til det faste rektangulære koordinatsystemet Oxy, avhengig av verdiene til tallene a og b i ligningen til linjen i segmenter.
Nå har det blitt klart at likningen av en rett linje i segmenter gjør det enkelt å konstruere denne rette linjen i det rektangulære koordinatsystemet Oxy. For å konstruere en rett linje, som er gitt ved ligningen av en rett linje i segmenter av formen , bør du markere punktene og i et rektangulært koordinatsystem på planet, og deretter koble dem med en rett linje ved hjelp av en linjal.
La oss gi et eksempel.
Eksempel.
Konstruer en rett linje gitt av ligningen til en linje i segmenter av formen.
Løsning.
Basert på den gitte ligningen for en linje i segmenter, kan det ses at linjen går gjennom punktene 
. Vi merker dem og kobler dem med en rett linje.
Redusere den generelle ligningen til en linje til ligningen til en linje i segmenter.
Når du løser noen problemer knyttet til en linje på et plan, er det praktisk å jobbe med ligningen til en linje i segmenter. Imidlertid er det andre typer ligninger som definerer en linje på et plan. Derfor er det nødvendig å utføre overgangen fra en gitt ligning av en linje til ligningen til denne linjen i segmenter.
I dette avsnittet vil vi vise hvordan man får ligningen til en linje i segmenter hvis den fullstendige generelle ligningen for linjen er gitt.
La oss få vite den fullstendige generelle ligningen for en linje på et plan 
. Siden A, B og C ikke er lik null, kan du flytte tallet C til høyre side av likheten, dele begge sider av den resulterende likheten med –C, og sende koeffisientene for x og y til nevnerne: 
.
(I den siste overgangen brukte vi likheten 
).
Så vi fra den generelle ligningen av den rette linjen gått til ligningen av en rett linje i segmenter, hvor 
.
Eksempel.
Den rette linjen i det rektangulære koordinatsystemet Oxy er gitt av ligningen 
. Skriv ligningen til denne linjen i segmenter.
Løsning.
La oss gå ett sekund til høyre side av den gitte likheten: 
. La oss nå dele den resulterende likheten på begge sider: 
. Det gjenstår å transformere den resulterende likheten til ønsket form: 
. Dette er hvordan vi oppnådde den nødvendige ligningen for linjen i segmenter.
Svar:
Hvis en rett linje definerer
Ligning av en linje i segmenter
La den generelle ligningen for en rett linje gis:
Ligningen av en rett linje i segmenter, hvor er segmentene som den rette linjen skjærer av på de tilsvarende koordinataksene.
Konstruer en rett linje gitt av den generelle ligningen:
Fra hvilken vi kan konstruere en ligning av denne linjen i segmenter:
Den relative plasseringen av linjer på et plan.
Uttalelse 1.
For rette linjer og gitt ved ligninger:
Tilfeldigheter er nødvendig og tilstrekkelig slik at:
Bevis: og sammenfaller, retningsvektorene deres og er kollineære, dvs.:
La oss ta punktet M 0 med denne rette linjen, så:
Ved å multiplisere den første ligningen med og legge til den andre med (2) får vi:
Så formlene (2), (3) og (4) er likeverdige. La (2) være tilfredsstilt, da er likningene til systemet (*) ekvivalente; de tilsvarende rette linjene faller sammen.
Uttalelse 2.
Linjene og gitt av ligninger (*) er parallelle og faller ikke sammen hvis og bare hvis:
Bevis:
Selv om de ikke samsvarer:
Inkonsekvent, dvs. ifølge Kronecker-Capelli-teoremet:
Dette er bare mulig hvis:
Det vil si når vilkår (5) er oppfylt.
Når den første likheten (5) er oppfylt, - unnlatelse av å tilfredsstille den andre likheten resulterer i inkompatibilitet av systemet (*) linjene er parallelle og faller ikke sammen.
Merknad 1.
Polar koordinatsystem.
La oss fikse et punkt på flyet og kalle det en stolpe. Strålen som kommer fra polen vil bli kalt polaraksen.
La oss velge en skala for å måle lengdene på segmenter og bli enige om at rotasjonen rundt punktet mot klokken vil bli ansett som positiv. Vurder ethvert poeng på gitt fly, angir med avstanden til polen og kaller den polarradius. Vinkelen som polaraksen skal roteres med slik at den faller sammen med vil bli betegnet med og kalt polarvinkelen.
Definisjon 3.
De polare koordinatene til et punkt er dets polare radius og polarvinkel:
Merknad 2. i stanga. Verdien for andre poeng enn et poeng bestemmes opp til et ledd.
Tenk på et kartesisk rektangulært koordinatsystem: polen sammenfaller med origo, og polaraksen sammenfaller med den positive halvaksen. Her. Deretter:
Hva er forholdet mellom rektangulære kartesiske og polare koordinatsystemer.
Bernoullis lemniscat-ligning. Skriv det i det polare koordinatsystemet.
Normal ligning for en linje på et plan. La polaraksen falle sammen med, - aksen som går gjennom origo. La være:
La da:
Betingelse (**) for punkt:
Ligning av en rett linje i et polart koordinatsystem.
Her - lengden trukket fra origo til den rette linjen, - helningsvinkelen til normalen til aksen.
Ligning (7) kan skrives om:
Normal ligning for en linje på et plan.
Hvis i den generelle ligningen til linjen Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, så får vi ved å dele med –С: eller
Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten EN er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med okseaksen, og b– koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.
Eksempel. Det er gitt den generelle ligningen til linjen x – y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normal ligning av en linje.
Hvis begge sider av ligningen Ax + By + C = 0 deles med et tall kalt normaliserende faktor, så får vi
Xcosj + ysinj - p = 0 -
normal ligning av en linje.
Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at m×С< 0.
p er lengden på perpendikulæren som er droppet fra origo til den rette linjen, og j er vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til Ox-aksen.
Eksempel. Det er gitt den generelle ligningen til linjen 12x – 5y – 65 = 0. Det er påkrevd å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.
ligningen for denne linjen i segmenter:
likning av denne linjen med helning: (del med 5)
normal ligning av en linje:
; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5.
Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo for koordinater.
Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en likning av en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.
Ligningen til den rette linjen har formen: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 er ikke egnet i henhold til forholdene for problemet.
Totalt: eller x + y – 4 = 0.
Eksempel. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet A(-2, -3) og origo.
Den rette linjeligningen har formen: , hvor x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.
Ligning av en linje som går gjennom dette punktet
Vinkelrett på en gitt linje.
Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:
Vinkelen mellom rette linjer på et plan.
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som
To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2.
To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/k 2.
Teorem. De rette linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = lA, B 1 = lB er proporsjonale. Hvis også С 1 = lС, så faller linjene sammen.
Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Avstand fra et punkt til en linje.
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til linjen som går gjennom gitt poeng M 0 er vinkelrett på en gitt rett linje.
Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel . Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2 tgj = ; j = p/4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Vi finner ligningen til siden AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punktet C, så tilfredsstiller dens koordinater denne ligningen: hvorav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Andre ordens kurver.
En andreordenskurve kan gis av ligningen
Axe 2 + 2Bhu + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.
Det er et koordinatsystem (ikke nødvendigvis kartesisk rektangulært) der denne ligningen kan representeres i en av formene gitt nedenfor.
1) - ellipsens ligning.
2) - ligning av en "imaginær" ellipse.
3) - hyperbelligning.
4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – likning av to kryssende linjer.
5) y 2 = 2px – ligning av en parabel.
6) y 2 – a 2 = 0 – ligning av to parallelle linjer.
7) y 2 + a 2 = 0 – likning av to "imaginære" parallelle linjer.
8) y 2 = 0 – et par sammenfallende linjer.
9) (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – likning av en sirkel.
Sirkel.
I en sirkel (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 har sentrum koordinater (a; b).
Eksempel. Finn koordinatene til sentrum og radiusen til sirkelen hvis ligningen er gitt på formen:
2x 2 + 2y 2 – 8x + 5y – 4 = 0.
For å finne koordinatene til sirkelens sentrum og radius, må denne ligningen bringes til formen angitt ovenfor i avsnitt 9. For å gjøre dette, velg komplette firkanter:
x 2 + y 2 – 4x + 2,5 y – 2 = 0
x 2 – 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Herfra finner vi O(2; -5/4); R = 11/4.
Ellipse.
Definisjon. Ellipse kalles kurven gitt av ligningen.
Definisjon. Fokuserer kalles slike to punkter, summen av avstandene som til et hvilket som helst punkt på ellipsen er en konstant verdi.
F 1, F 2 – fokuserer. F1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)
c – halve avstanden mellom fokusene;
a – semimajor akse;
b – semi-molakse.
Teorem. Brennvidden og halvaksene til ellipsen er relatert av forholdet:
a 2 = b 2 + c 2.
Bevis: Hvis punktet M er i skjæringspunktet mellom ellipsen og den vertikale aksen, r 1 + r 2= 2 (ifølge Pythagoras teorem). Hvis punktet M er i skjæringspunktet mellom ellipsen og den horisontale aksen, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Fordi per definisjon beløpet r 1 + r 2 er en konstant verdi, så, som likner, får vi:
a 2 = b 2 + c 2
r 1 + r 2 = 2a.
Definisjon. Formen på ellipsen bestemmes av karakteristikken, som er forholdet mellom brennvidden og hovedaksen og kalles eksentrisitet.
Fordi Med< a, то е < 1.
Definisjon. Mengden k = b/a kalles kompresjonsforhold ellipse, og mengden 1 – k = (a – b)/a kalles kompresjon ellipse.
Kompresjonsforholdet og eksentrisiteten er relatert av forholdet: k 2 = 1 – e 2 .
Hvis a = b (c = 0, e = 0, fociene smelter sammen), blir ellipsen til en sirkel.
Hvis betingelsen er oppfylt for punktet M(x 1, y 1): så er den plassert inne i ellipsen, og hvis , så er punktet utenfor ellipsen.
Teorem. For et vilkårlig punkt M(x, y) som tilhører en ellipse, er følgende relasjoner sanne::
R 1 = a – eks, r 2 = a + eks.
Bevis. Det ble vist ovenfor at r 1 + r 2 = 2a. I tillegg kan vi fra geometriske betraktninger skrive:
Etter å kvadre og bringe lignende termer:
Det er bevist på lignende måte at r 2 = a + eks. Teoremet er bevist.
En ellipse er koblet til to rette linjer kalt rektorer. Deres ligninger er:
X = a/e; x = -a/e.
Teorem. For at et punkt skal ligge på en ellipse, er det nødvendig og tilstrekkelig at forholdet mellom avstanden til fokuset og avstanden til den tilsvarende retningslinjen er lik eksentrisiteten e.
Eksempel. Skriv en ligning for linjen som går gjennom venstre fokus og det nedre toppunktet av ellipsen gitt av ligningen:
1) Koordinatene til det nederste toppunktet: x = 0; y2 = 16; y = -4.
2) Koordinater til venstre fokus: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).
3) Ligning av en linje som går gjennom to punkter:
Eksempel. Skriv en ligning for en ellipse hvis brennpunktene er F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), og hovedaksen er 2.
Likningen av ellipsen har formen: . Fokusavstand:
2c = altså a 2 – b 2 = c 2 = ½
ved betingelse 2a = 2, derfor a = 1, b =
Hyperbel.
Definisjon. Overdrivelse er settet med punkter i planet som modulen til forskjellen i avstander fra to gitte punkter, kalt triks er en konstant verdi mindre enn avstanden mellom brennpunktene.
Per definisjon ïr 1 – r 2 ï= 2a. F 1, F 2 – fokusene til hyperbelen. F 1 F 2 = 2c.
La oss velge et vilkårlig punkt M(x, y) på hyperbelen. Deretter:
la oss betegne c 2 – a 2 = b 2 (geometrisk er denne mengden den mindre halvaksen)
Vi fikk den kanoniske ligningen til hyperbelen.
Hyperbelen er symmetrisk om midten av segmentet som forbinder brennpunktene og om koordinataksene.
Akse 2a kalles den reelle aksen til hyperbelen.
Akse 2b kalles hyperbelens imaginære akse.
En hyperbel har to asymptoter, hvis likninger er
Definisjon. Forholdet kalles eksentrisitet hyperbler, hvor c er halve avstanden mellom brennpunktene, og er den reelle halvaksen.
Ta i betraktning det faktum at c 2 – a 2 = b 2:
Hvis a = b, e = , kalles hyperbelen likesidet (likesidet).
Definisjon. To rette linjer vinkelrett på hyperbelens reelle akse og plassert symmetrisk i forhold til sentrum i en avstand a/e fra det kalles rektorer overdrivelse. Ligningene deres er: .
Teorem. Hvis r er avstanden fra et vilkårlig punkt M i hyperbelen til et hvilket som helst fokus, er d avstanden fra samme punkt til retningslinjen som tilsvarer dette fokuset, så er forholdet r/d en konstant verdi lik eksentrisiteten.
Bevis. La oss skjematisk skildre en hyperbole.
Fra de åpenbare geometriske sammenhengene kan vi skrive:
a/e + d = x, derfor d = x – a/e.
(x – c) 2 + y 2 = r 2
Fra den kanoniske ligningen: , tar hensyn til b 2 = c 2 – a 2:
Da fordi с/a = e, så r = ex – a.
For venstre gren av hyperbelen er beviset likt. Teoremet er bevist.
Eksempel. Finn ligningen til en hyperbel hvis toppunkter og foci er ved de tilsvarende toppunktene og fociene til ellipsen.
For en ellipse: c 2 = a 2 – b 2.
For en hyperbel: c 2 = a 2 + b 2.
Hyperbelligning: .
Eksempel. Skriv en ligning for en hyperbel hvis eksentrisiteten er 2 og dens foci sammenfaller med fociene til ellipsen, og ligningen er parameteren til parablen. La oss utlede den kanoniske ligningen til parablen.
Fra geometriske sammenhenger: AM = MF; AM = x + p/2;
MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2
(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2
x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4
Directrix-ligning: x = -p/2.
Eksempel . På parabelen y 2 = 8x, finn et punkt hvis avstand fra retningslinjen er 4.
Fra parabelligningen finner vi at p = 4.
r = x + p/2 = 4; derfor:
x = 2; y2 = 16; y = ±4. Søkte punkter: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Eksempel. Ligningen til en kurve i et polart koordinatsystem har formen:
Finn ligningen til en kurve i et kartesisk rektangulært koordinatsystem, bestem kurvetypen, finn foci og eksentrisitet. Tegn skjematisk kurven.
La oss bruke forbindelsen mellom det kartesiske rektangulære og polare koordinatsystemet: ;
Vi fikk den kanoniske ligningen til hyperbelen. Fra ligningen er det klart at hyperbelen er forskjøvet langs Ox-aksen med 5 til venstre, den store halvaksen a er lik 4, den lille halvaksen b er lik 3, hvorfra vi får c 2 = a 2 + b2; c = 5; e = c/a = 5/4.
Fokuserer F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).
La oss konstruere en graf av denne hyperbelen.
Oppgaven er å bruke de gitte koordinatene til enden av et segment for å konstruere en rett linje som går gjennom det.
Vi mener at segmentet er ikke-degenerert, dvs. har en lengde større enn null (ellers er det selvfølgelig uendelig mange forskjellige linjer som går gjennom den).
Todimensjonal kasse
La et segment gis, dvs. koordinatene til dens ender , , , er kjent.
Nødvendig for å bygge ligning av en linje i et plan, som passerer gjennom dette segmentet, dvs. finn koeffisientene , , i ligningen for den rette linjen:
Merk at de nødvendige trippelene som passerer gjennom et gitt segment er uendelig mange: Du kan multiplisere alle tre koeffisientene med et vilkårlig tall som ikke er null og få den samme rette linjen. Derfor er vår oppgave å finne en av disse trillingene.
Det er lett å verifisere (ved å erstatte disse uttrykkene og koordinatene til punktene og inn i ligningen til den rette linjen) at følgende sett med koeffisienter er egnet:
Heltallsak
En viktig fordel med denne metoden for å konstruere en rett linje er at hvis koordinatene til endene var heltall, vil de resulterende koeffisientene også være heltall. I noen tilfeller lar dette geometriske operasjoner utføres uten å ty til reelle tall i det hele tatt.
Imidlertid er det en liten ulempe: for samme linje kan forskjellige tripletter av koeffisienter oppnås. For å unngå dette, men ikke gå bort fra heltallskoeffisienter, kan du bruke følgende teknikk, ofte kalt rasjonering. La oss finne den største felles divisor av tallene , , , dividere alle tre koeffisientene med den, og deretter normalisere tegnet: hvis eller , multipliser så alle tre koeffisientene med . Som et resultat vil vi komme til den konklusjon at for identiske linjer vil vi få identiske trillinger av koeffisienter, noe som vil gjøre det enkelt å kontrollere linjer for likhet.
Reelt verdsatt sak
Når du arbeider med reelle tall, bør du alltid være oppmerksom på feil.
Koeffisientene vi får er av størrelsesordenen til de opprinnelige koordinatene, koeffisienten er allerede i størrelsesorden kvadratet av dem. Disse kan allerede være ganske store tall, og når for eksempel linjene krysser hverandre, vil de bli enda større, noe som kan føre til store avrundingsfeil selv med de opprinnelige ordenskoordinatene .
Derfor, når du arbeider med reelle tall, er det tilrådelig å utføre den såkalte normalisering direkte: nemlig å gjøre koeffisientene slik at 
. For å gjøre dette må du beregne tallet:
og dele alle tre koeffisientene , , med det.
Dermed vil rekkefølgen av koeffisientene og ikke lenger avhenge av rekkefølgen til inngangskoordinatene, og koeffisienten vil være av samme rekkefølge som inngangskoordinatene. I praksis fører dette til en betydelig forbedring i beregningsnøyaktigheten.
Til slutt, la oss nevne sammenligning rette linjer - etter en slik normalisering for den samme rette linjen, kan bare to tripletter av koeffisienter oppnås: opptil multiplikasjon med . Følgelig, hvis vi utfører ytterligere normalisering under hensyntagen til tegnet (hvis eller , så multipliser med ), vil de resulterende koeffisientene være unike.
Laster inn...