Ligninger av en rett linje i rommet. En rett linje definert av skjæringspunktet mellom to plan Hvordan finne skjæringspunktet mellom plan

Med dette online kalkulator du kan finne skjæringslinjen til flyene. Gitt detaljert løsning med forklaringer. For å finne ligningen for skjæringslinjen for fly, skriv inn koeffisientene i likningene til flyene og klikk på "Løs"-knappen. Se teoridelen og talleksempler nedenfor.

×

Advarsel

Vil du fjerne alle celler?

Lukk Slett

Instruksjoner for dataregistrering. Tall legges inn som heltall (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), desimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken må angis på formen a/b, der a og b (b>0) er heltall eller desimaler. Eksempler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 osv.

Skjæringslinje av fly - teori, eksempler og løsninger

To plan i rommet kan være parallelle, sammenfallende eller krysse hverandre. I denne artikkelen vil vi definere relativ posisjon to plan, og hvis disse planene skjærer hverandre, utleder vi ligningen for skjæringslinjen til planene.

La et kartesisk rektangulært koordinatsystem gis Oxyz og la flyene spesifiseres i dette koordinatsystemet α 1 og α 2:

Siden vektorene n 1 og n 2 er kollineære, så er det et slikt tall λ ≠0, at likestillingen er tilfredsstilt n 1 =λ n 2, dvs. EN 1 =λ EN 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

Multiplisere ligning (2) med λ , vi får:

Hvis likestillingen D 1 =λ D 2, deretter flyet α 1 og α 2 faller sammen, hvis D 1 ≠λ D 2 deretter fly α 1 og α 2 er parallelle, det vil si at de ikke krysser hverandre.

2. Normale vektorer n 1 og n 2 fly α 1 og α 2 er ikke kollineære (fig. 2).

Hvis vektorene n 1 og n 2 ikke er kollineære, så løser vi systemet med lineære ligninger (1) og (2). For å gjøre dette overfører vi de frie leddene til høyre side av ligningene og komponerer den tilsvarende matriseligningen:

Hvor x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l reelle tall og t- variabel.

Likhet (5) kan skrives i følgende form:

Eksempel 1. Finn skjæringslinjen for plan α 1 og α 2:

La oss løse systemet med lineære ligninger (9) mht x, y, z. For å løse systemet konstruerer vi en utvidet matrise:

Andre trinn. Omvendt gaussisk trekk.

La oss ekskludere elementer i den andre kolonnen i matrisen over elementet en 22. For å gjøre dette, legg til linje 1 med linje 2 multiplisert med −2/5:

Vi får løsningen:

Vi fikk ligningen for skjæringslinjen for plan α 1 og α 2 i parametrisk form. La oss skrive det i kanonisk form.

Svare. Ligning for skjæringslinjen for plan α 1 og α 2 ser slik ut:

α 1 har en normalvektor n 1 ={EN 1 , B 1 , C 1)=(1, 2, 7). Fly α 2 har en normalvektor n 2 ={EN 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

n 1 og n 2 collinear ( n 1 kan fås ved multiplikasjon n 2 med tallet 1/2), deretter flyet α 1 og α 2 er parallelle eller sammenfallende.

α 2 multiplisert med tallet 1/2:

Løsning. La oss først bestemme den relative posisjonen til disse planene. Fly α 1 har en normalvektor n 1 ={EN 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Fly α 2 har en normalvektor n 2 ={EN 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Siden retningsvektorene n 1 og n 2 collinear ( n 1 kan fås ved multiplikasjon n 2 med tallet 1/3), deretter flyet α 1 og α 2 er parallelle eller sammenfallende.

Når du multipliserer en ligning med et tall som ikke er null, endres ikke ligningen. La oss transformere ligningen til planet α 2 multiplisert med tallet 1/3:

Siden normalvektorene til ligningene (17) og (19) sammenfaller og de frie leddene er like, så er planene α 1 og α 2 kamp.

La inn de kanoniske ligningene til den rette linjen

koeffisienten er forskjellig fra null, dvs. den rette linjen er ikke parallell med xOy-planet. La oss skrive disse ligningene separat i denne formen:

Under våre betingelser definerer ligningene (6) fullstendig den rette linjen. Hver av dem uttrykker individuelt et plan, med det første parallelt med Oy-aksen, og det andre med aksen

Således, som representerer en rett linje med ligninger av formen (6), anser vi den som skjæringspunktet mellom to plan som projiserer denne rette linjen på koordinatplanet xOz og yOz. Den første av ligning (6), sett i et plan, bestemmer projeksjonen av en gitt rett linje på dette planet; på samme måte bestemmer den andre av ligning (6), betraktet i planet, projeksjonen av en gitt rett linje på yOz-planet. Så vi kan si at å gi likningene til en rett linje i formen (6) betyr å gi dens projeksjon på koordinatplanet xOz og yOz.

Hvis den ledende koeffisienten var null, ville minst én av de to andre koeffisientene, for eksempel, være forskjellig fra null, dvs. den rette linjen ville ikke være parallell med yOz-planet. I dette tilfellet kan vi uttrykke den rette linjen

ligninger av fly som projiserer den på koordinere fly skrive ligninger (5) i skjemaet

Dermed kan enhver rett linje uttrykkes ved likningene til to plan som går gjennom den og projiserer den på koordinatplan. Men det er slett ikke nødvendig å definere en rett linje ved nettopp et slikt par fly.

Det er utallige fly som passerer gjennom hver rett linje. Hvilke som helst to av dem, kryssende, definerer det i rommet. Følgelig representerer likningene til alle to slike plan, sett sammen, likningene til denne linjen.

Generelt, alle to plan som ikke er parallelle med hverandre med generelle ligninger

bestemme den rette linjen i skjæringspunktet deres.

Ligninger (7), sett sammen, kalles generelle likninger av linjen.

Fra de generelle ligningene til den rette linjen (7) kan vi gå til dens kanoniske ligninger. For dette formålet må vi kjenne et punkt på linjen og en retningsvektor.

Vi kan enkelt finne koordinatene til et punkt fra et gitt likningssystem ved å velge en av koordinatene vilkårlig og deretter løse et system med to likninger ved å bruke vilkårene til de to gjenværende koordinatene.

For å finne retningsvektoren til en rett linje, merker vi at denne vektoren, rettet langs skjæringslinjen til disse planene, må være vinkelrett på begge normalvektorene til disse planene. Omvendt er hver vektor vinkelrett på parallell med begge planene, og derfor med den gitte linjen.

Men vektor produkt har også denne egenskapen. Derfor kan vektorproduktet til normalvektorene til disse planene tas som retningsvektor for den rette linjen.

Eksempel 1. Reduser ligningen til en linje til kanonisk form

La oss velge en av koordinatene vilkårlig. La for eksempel . Da

fra hvor Så fant vi punktet (2, 0, 1) liggende på linjen,

Når vi nå finner vektorproduktet til vektorer, får vi retningsvektoren til den rette linjen. Derfor vil de kanoniske ligningene være:

Kommentar. Fra generelle rettlinjede ligninger på formen (7) kan du gå til kanoniske uten å ty til vektormetoden.

La oss først dvele litt mer detaljert ved ligningene

La oss uttrykke x og y fra dem gjennom . Da får vi:

hvor den skal være

Ligninger (6) kalles lineære ligninger i projeksjoner på planet

La oss installere geometrisk betydning konstantene M og N: M er vinkelkoeffisienten for projeksjonen av en gitt linje på koordinatplanet (tangensen til vinkelen til denne projeksjonen med Oz-aksen), og N er vinkelkoeffisienten for projeksjonen av denne rette linjen på koordinatplanet (tangensen til vinkelen til denne projeksjonen med Oz-aksen). Dermed bestemmer tallene retningene for projeksjoner av en gitt rett linje på to koordinatplan, noe som betyr at de også karakteriserer retningen til selve den gitte rette linjen. Derfor kalles tallene M og N vinkelkoeffisientene til en gitt linje.

For å finne ut den geometriske betydningen av konstantene, la oss sette en rett linje i ligningene (6), så får vi: det vil si at punktet ligger på en gitt rett linje. Dette punktet er åpenbart skjæringspunktet for denne rette linjen med planet. Så dette er koordinatene til sporet til denne rette linjen på koordinatplanet

Nå er det enkelt å gjøre overgangen fra projeksjonsligninger til kanoniske. La for eksempel ligning (6) gis. Ved å løse disse ligningene for finner vi:

hvorfra vi direkte henter de kanoniske ligningene i formen

Eksempel 2. Gi linjens kanoniske ligninger

til ligninger i projeksjoner på planet

Vi omskriver disse ligningene i skjemaet

Ved å løse den første av disse likningene for x, og den andre for y, finner vi de nødvendige likningene i projeksjoner:

Eksempel 3. Gi likninger i ppojeksjoner

til den kanoniske formen.

Ved å løse disse ligningene for får vi:

Oppgaven krever finn skjæringslinjen til to plan og bestem den faktiske størrelsen på ett av dem ved planparallell bevegelsesmetode.

For å løse et slikt klassisk problem i beskrivende geometri, må du kjenne til følgende teoretiske materiale:

— tegne projeksjoner av rompunkter på en kompleks tegning ved gitte koordinater;

– metoder for å spesifisere et plan i en kompleks tegning, et generelt og spesielt plan;

— flyets hovedlinjer;

— bestemmelse av skjæringspunktet for en rett linje med et plan (funn "møtepunkter");

— metode for planparallell bevegelse for å bestemme den naturlige størrelsen til en flat figur;

— bestemme synligheten av rette linjer og plan i en tegning ved bruk av konkurrerende punkter.

Prosedyre for å løse problemet

1. I henhold til tildelingsalternativet ved bruk av punktkoordinater, plotter vi to plan på en kompleks tegning, spesifisert i form av trekanter ABC(A', B', C'; A, B, C) og DKE(D', K', E'; D, K, E) ( Fig.1.1).

Fig.1.1

2 . For å finne skjæringslinjen bruker vi projeksjonsplanmetoden. Dens essens er at den ene siden (linjen) av det første planet (trekanten) er tatt og innelukket i det projiserte planet. Skjæringspunktet for denne linjen med planet til den andre trekanten bestemmes. Gjenta denne oppgaven igjen, men for linjen til den andre trekanten og planet til den første trekanten, bestemmer vi det andre skjæringspunktet. Siden de resulterende punktene samtidig tilhører begge planene, må de være på skjæringslinjen mellom disse planene. Ved å koble disse punktene med en rett linje vil vi få ønsket skjæringslinje for planene.

3. Problemet løses som følger:

EN) omsluttes i projeksjonsplanet F(F’) side AB(EN’ B’) den første trekanten i frontalplanet av projeksjoner V. Vi markerer skjæringspunktene til det projiserte planet med sidene DK Og DE andre trekant, får poeng 1(1') og 2 (2'). Vi overfører dem langs kommunikasjonslinjer til det horisontale projeksjonsplanet H til de tilsvarende sidene av trekanten, pek 1 (1) på siden DE og periode 2(2) på siden DK.

Fig.1.2

b) forbinder projeksjonene av punktene 1 og 2, vil vi ha en projeksjon av projiseringsplanet F. Deretter skjæringspunktet for linjen AB med trekantens plan bestemmes DKE (i henhold til regelen) sammen med skjæringspunktet for projeksjonen av det projiserte planet 1-2 og projeksjonen av linjen med samme navn AB. Dermed fikk vi en horisontal projeksjon av det første skjæringspunktet mellom planene - M, der vi bestemmer (projiserer langs kommunikasjonslinjer) dens frontale projeksjon – M’ på en rett linje EN’ B’ (Fig.1.2.a);

V) vi finner det andre punktet på lignende måte. Vi omslutter den i projiseringsplanet G(G) siden av den andre trekanten DK(DK) . Vi markerer skjæringspunktene til det projiserte planet med sidene til den første trekanten A.C.OgB.C. i horisontal projeksjon, oppnå projeksjoner av punkter 3 og 4. Vi projiserer dem på de tilsvarende sidene i frontalplanet, får vi 3’ og 4'. Ved å koble dem med en rett linje har vi projeksjonen av det projiserte planet. Da vil det andre skjæringspunktet for flyene være i skjæringspunktet mellom linjen 3’-4’ med siden av trekanten D’ K’ , som var innelukket i projeksjonsplanet. Dermed fikk vi en frontal projeksjon av det andre skjæringspunktet - N’ , langs kommunikasjonslinjen finner vi den horisontale projeksjonen - N (Fig.1.2.b).

G) koble sammen de resulterende punktene MN(MN) Og (M’ N’) på horisontal- og frontplanet har vi ønsket skjæringslinje for de gitte planene.

4. Ved å bruke konkurrerende poeng bestemmer vi synligheten til fly. La oss ta et par konkurrerende poeng, for eksempel, 1’=5’ i frontal projeksjon. Vi projiserer dem på de tilsvarende sidene inn i horisontalplanet, og vi får 1 og 5. Vi ser at poenget 1 , liggende på siden DE har en stor koordinat til aksen x enn et poeng 5 , liggende på siden ENI. Derfor, i henhold til regelen, jo større koordinat, punktet 1 og siden av trekanten D'E' i frontalplanet vil være synlig. Dermed bestemmes synligheten til hver side av trekanten i horisontal- og frontplanet. Synlige linjer i tegningene er tegnet som en hel konturlinje, og ikke-synlige linjer er tegnet som en stiplet linje. Husk at ved skjæringspunktene mellom flyene ( M— N OgM’- N’ ) vil det være en endring i synlighet.

Fig.1.3

RFig.1.4 .

Diagrammet viser i tillegg bestemmelsen av sikt i horisontalplanet ved bruk av konkurrerende punkter 3 Og 6 på rette linjer DK Og AB.

5. Ved å bruke metoden for planparallell bevegelse bestemmer vi den naturlige størrelsen på trekantens plan ABC, For hva:

EN) i det angitte planet gjennom et punkt C(C) utføre frontalen C— F(MED-FOgC’- F’) ;

b) på det frie feltet til tegningen i den horisontale projeksjonen tar (merker) vi et vilkårlig punkt C 1, med tanke på at dette er en av toppunktene i trekanten (nærmere bestemt toppunktet C). Fra den gjenoppretter vi vinkelrett på frontplanet (gjennom x-aksen);

Fig.1.5

V) ved planparallell bevegelse oversetter vi den horisontale projeksjonen av trekanten ABC, til en ny stilling EN 1 B 1 C 1 slik at den i frontprojeksjonen tar en fremspringende posisjon (forvandles til en rett linje). For å gjøre dette: på vinkelrett fra punktet C 1, sett til side den frontale horisontale projeksjonen C 1 — F 1 (lengde l CF) vi får et poeng F 1 . Kompassløsning fra et punkt F 1 størrelse F-A vi gjør et buehakk, og fra punktet C 1 - hakk størrelse C.A., så i skjæringspunktet mellom buelinjer får vi et punkt EN 1 (andre toppunkt i trekanten);

– På samme måte skjønner vi poenget B 1 (fra punkt C 1 gjør et hakk i størrelsen C— B(57 mm), og fra punktet F 1 størrelse F— B(90mm Merk at med riktig løsning er det tre punkter). EN 1 F’ 1 Og B’ 1 må ligge på samme rette linje (siden av trekanten EN 1 — B 1 )to andre sider MED 1 — EN 1 Og C 1 — B 1 oppnås ved å koble deres hjørner;

G) fra rotasjonsmetoden følger det at når du flytter eller roterer et punkt i et eller annet projeksjonsplan - på det konjugerte planet, må projeksjonen av dette punktet bevege seg i en rett linje, i vårt spesielle tilfelle langs en rett parallell akse X. Så trekker vi fra punktene EN’ B’ C’ fra frontalprojeksjonen disse rette linjene (de kalles rotasjonsplan av punkter), og fra frontale projeksjoner av de forskjøvne punktene EN 1 B 1C 1 gjenopprette perpendikulære (forbindelseslinjer) ( Fig.1.6).

Fig.1.6

Skjæringspunktet mellom disse linjene med de tilsvarende perpendikulærene gir nye posisjoner for frontprojeksjonen av trekanten ABC, spesifikt EN’ 1 B' 1C’ 1 som skal bli projektiv (rett linje), siden den horisontale h 1 vi tegnet vinkelrett på frontalplanet av projeksjoner ( Fig.1.6);

5) deretter, for å oppnå trekantens naturlige størrelse, er det nok å rotere frontprojeksjonen til den er parallell med horisontalplanet. Svingen utføres ved hjelp av et kompass gjennom et punkt A' 1, med tanke på det som rotasjonssenteret, plasserer vi en trekant EN’ 1 B' 1C’ 1 parallelt med aksen X, får vi EN’ 2 B' 2C’ 2 . Som nevnt ovenfor, når et punkt roteres, beveger de seg på den konjugerte (nå horisontale) projeksjonen langs rette linjer parallelt med aksen X. Utelatelse av perpendikulære (forbindelseslinjer) fra frontale projeksjoner av punkter EN’ 2 B' 2C’ 2 ved å krysse dem med de tilsvarende linjene finner vi den horisontale projeksjonen av trekanten ABC (EN 2 B 2C 2 ) naturlig størrelse ( Fig.1.7).

Ris. 1.7

Jeg har alle de ferdige løsningene på problemer med slike koordinater, du kan kjøpe dem

Pris 55 rubler., tegninger på beskrivende geometri fra Frolovs bok kan du enkelt laste ned umiddelbart etter betaling eller jeg sender den til deg på e-post. De er i et ZIP-arkiv i forskjellige formater:
*.jpg – en vanlig fargetegning av en tegning i en skala fra 1 til 1 i god oppløsning 300 dpi;
*.cdw – Compass-programformat 12 og høyere eller LT-versjon;
*.dwg og .dxf — AUTOCAD, nanoCAD programformat;

På grunn av dens betydning kalles problemet med skjæringspunktet mellom fly "posisjonsproblem nr. 2" av en rekke forfattere.

Fra stereometri er det kjent at skjæringslinjen mellom to plan er en rett linje. I tidligere foreløpige problemer, hvor vi snakket om spesielle tilfeller av kryssing av fly, gikk vi ut fra denne definisjonen.

Som kjent, for å konstruere en eller annen linje, er det i det enkleste tilfellet nødvendig å finne to punkter som tilhører denne linjen. Når det gjelder å spesifisere et plan med spor, er disse to punktene skjæringspunktene til de samme sporene av kryssende plan.

Eksempler på selvstendig arbeid

Oppgave 5.1

Konstruer skjæringslinjer for planene definert av sporene (fig. 72):

• a) horisontalt projeksjon I og frontalt projeksjon A;
• b) horisontalt utstikkende Z og plan generell stilling Q;
• c) to plan med generell posisjon I og 0.

Ris. 72

I fig. 73 gir svarene på denne øvelsen.

For tilfeller der fly er spesifisert med lokale planfigurer, er det hensiktsmessig å bruke minst to ulike løsningsveier.

Ris. 73

Den første løsningen er ved hjelp av en tre-trinns algoritme for å finne møtepunktet for en generell linje med et generelt plan. For å finne skjæringslinjen mellom to trekanter, forblir en av trekantene uendret, og den andre er mentalt delt inn i separate segmenter, som representerer dem som rette linjer i generell posisjon. Finn først skjæringspunktet mellom en av de generelle linjene med trekantens plan. Så finner de et annet manglende punkt som tilhører ønsket linje. Dette gjøres på lignende måte, og gjentar hele den beskrevne handlingssekvensen.

Oppgave 5.2

Gitt koordinatene til toppunktene til to trekanter LAN Og DEK konstruer et diagram over sistnevnte og finn skjæringslinjen deres. Angi synligheten til elementene i begge trekantene på diagrammet: EN(0, 9, 2); a(10, 1, 16); C (23, 14, 9); D(3, 17, 18); (22, 11, 17); ?(12,0, 2). For å finne skjæringslinjene til trekanter, anbefales det å først finne møtepunktet for den rette linjen KD med trekant ABC, og deretter møtepunktet for den rette linjen NE med trekant EDK.

Den generelle oversikten over det resulterende diagrammet er vist i fig. 74.

Den andre løsningen er bruk av to hjelpeskjæreplan på nivået.

Gitt kryssende flate figurer bør krysses to ganger av hjelpenivåplan (enten samme navn eller det motsatte - det spiller ingen rolle), for eksempel to horisontale nivåplan.

Det er lett å forstå at en engangsdisseksjon lar deg finne to kryssende linjer h l Og og 2, gir ett poeng EN, tilhørende ønsket skjæringslinje (fig. 75). Tegner et annet lignende hjelpeplan på litt avstand

Ris. 74

Ris. 75

fra den første får de en lignende konstruksjon og ett poeng til. Ved å koble projeksjonene med samme navn av de to oppnådde punktene, blir den ønskede skjæringslinjen mellom de to planene funnet.

Oppgave 5.3

Bruk de gitte koordinatene til punktene til to trekantede figurer, konstruer et diagram av sistnevnte, som du kan konstruere en skjæringslinje for trekantene ved å bruke hjelpeplan. Angi synligheten til elementene i begge trekantene på diagrammet:

til ABC. EN(16, 5, 17); jeg (10, 19,

EN DEF: D (24, 12, 14); ? (4, 18,

Den generelle oversikten over det løste problemet er vist i fig. 76.

Oppgave 5.4

For å styrke ferdighetene til å finne skjæringslinjen mellom to plan, er det gitt et problem, hvis løsning er gitt i dynamikken til konstruksjoner i samsvar med stadiene i algoritmen.

Finn skjæringslinjen mellom to plan i felles posisjon p er jq

sjoner definert av to trekanter ABC Og DEF og bestemme synligheten av deres interpenetrering (fig. 77).

Å løse eksemplet kommer ned til å finne skjæringspunktene for sidene (rette linjer) A ABC med et generisk plan gitt av A DEF. Algoritmen for å løse dette eksempelet er kjent.

Vi konkluderer siden (rett) SOM LAN inn i det frontalt fremspringende hjelpeplanet t _1_ P 2 (fig. 78).

Frontsporet til dette hjelpeplanet skjærer projeksjonene av sidene D 2 E 2 gE 2 - 1 2 og D 2 F 2 pt 2 = 2 2 på punktene 1 2 og 2 2 . Projeksjonskommunikasjonslinjer gjør det mulig å bestemme skjæringslinjen (1 !~2 2) = n A på det horisontale projeksjonsplanet D X E X F ( . Så pek K 1 og dens projeksjon K 2 bestemme skjæringspunktet for linjen AC med A DEF.

Vi gjentar algoritmen for å finne skjæringspunktet til side A ABC direkte Sol med ADEF. Vi omslutter solen i det frontalt fremspringende hjelpeplanet p_L P 2 (fig. 79).

Vi finner projeksjonene av punktene 3 og 4 og på horisontalplanet av projeksjonene bestemmer vi projeksjonen av linjens skjæringspunkt B 1 C [ med skjæringslinjen (3,-4,):

Projeksjonskommunikasjonslinjen lar deg finne frontprojeksjonspunktet M 2.

Koble sammen de funnet punktene Ki Mi finn skjæringslinjen til to generiske plan A ABC n A DEF= AF (fig. 80).

Synlighet av sider AABC relativt ADEF bestemmes ved hjelp av konkurrerende poeng. Først bestemmer vi sikten geometriske former på projeksjonsplanet P 2. For å gjøre dette, gjennom konkurrerende poeng 5 og 6 (5 2 = 6 2) tegne en projeksjonskommunikasjonslinje vinkelrett på projeksjonsaksen x n(Fig. 81).

I henhold til horisontale anslag 5 U Og 6 { punktene 5 og 6, hvor projeksjonsforbindelseslinjen henholdsvis skjærer de kryssende linjene AC 4 D.F. det viser seg at punkt 6 er mer fjernt fra projeksjonsplanet P 2 enn punkt 5. Derfor er punkt 6 en rett linje D.F. som den tilhører, er synlige i forhold til projeksjonsplanet P 2 . Det følger at segmentet (K 2 -6 2) vil være usynlig. På samme måte bestemmer vi synligheten til sidene A LAN og A DEF - sol Og D.F. de. segmentet (F 2 -8 2) vil være usynlig.

Synlighet AABC Og ADEF i forhold til projeksjonsplanet Пj, er etablert på samme måte. For å bestemme synligheten til kryssende linjer AC * DF Og BC ±DF i forhold til projeksjonsplanet P] gjennom konkurrerende punkter 9 1 = 10 1 og 11 1 = 12 1 tegner vi projeksjonskommunikasjonslinjer vinkelrett x s. Basert på frontale projeksjoner av disse konkurrerende punktene, fastslår vi at projeksjonene av punktene 10 2 og 12 2 er mer fjernt fra projeksjonsplanet P (. Følgelig vil segmentene (А^-УД og (M g 2 1) vil være usynlig. Derav sikten AABC Og ADEF er tydelig presentert i fig. 82.