Typer funksjoner og deres grafer tabell. Grunnleggende egenskaper ved funksjoner. Egenskaper til en lineær funksjon

Power funksjon. Dette er funksjonen: y = axn, Hvor a, n– permanent. På n= 1 får vi direkte proporsjonalitet: y = øks; n = 2 - på ; n = - 1 - kvadratisk parabel omvendt proporsjonalitet eller. hyperbole Dermed er disse funksjonene spesielle tilfeller av kraftfunksjonen. Vi vet at nullpotensen til et annet tall enn null er lik 1 derfor kl n= 0 kraftfunksjonen blir til en konstant verdi: = y en , dvs. timeplanen hennes er rett linje, parallelt med aksenX, unntatt opprinnelsen ( vennligst forklar y= 1 ) Hvorfor? ). Alle disse sakene (med (n vist i fig. 13 0) og Fig. 14 ( < 0). Отрицательные значения nx vurderes ikke her, så

ringte kubikk parabel Figur 16 viser funksjonen. = 0 kraftfunksjonen blir til en konstant verdi: = n 2 Dette. funksjon er invers til en kvadratisk parabel, fås grafen ved å rotere grafen til en kvadratisk parabel rundt halveringslinjen til den første koordinatvinkelen

Dette er en metode for å få grafen til en hvilken som helst invers funksjon fra grafen til dens opprinnelige funksjon. Vi ser av grafen at dette er en funksjon med to verdier (dette er også indikert med tegnet ± foran kvadratrot 1 derfor kl). Slike funksjoner studeres ikke i elementær matematikk, så som en funksjon ser vi vanligvis på en av dens grener: øvre eller nedre.

Grunnleggende elementære funksjoner

er: konstant funksjon (konstant), rot -te grad, potensfunksjon, eksponentiell, logaritmisk funksjon, trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner. Permanent funksjon. En konstant funksjon er gitt på settet av alle reelle tall av formelen , hvor C – et reelt tall. Konstant funksjon assosierer hver faktisk verdi av den uavhengige variabelen x samme verdi av den avhengige variabelen y

- mening MED. En konstantfunksjon kalles også en konstant. Grafen til en konstant funksjon er en rett linje parallelt med x-aksen og går gjennom punktet med koordinater,(0,C) og , som i figuren under tilsvarer henholdsvis de svarte, røde og blå linjene.

Egenskaper til en konstant funksjon.

Domene: hele settet med reelle tall.

Konstantfunksjonen er jevn.

Verdiområde: sett bestående av entall samme verdi av den avhengige variabelen.

En konstant funksjon er ikke-økende og ikke-minskende (det er derfor den er konstant).

Det gir ingen mening å snakke om konveksitet og konkavitet av en konstant.

Det er ingen asymptoter.

Funksjonen går gjennom punktet MED koordinatplan.

Rot av n. grad.

La oss vurdere den grunnleggende elementære funksjonen, som er gitt av formelen, hvor 1 derfor kl – naturlig tall, større enn én.

Den n-te roten, n er et partall.

La oss starte med rotfunksjonen 1 derfor kl-te potens for jevne verdier av roteksponenten 1 derfor kl.

Som et eksempel, her er et bilde med bilder av funksjonsgrafer og , de tilsvarer svarte, røde og blå linjer.

Grafene for rotfunksjoner med jevne grader har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Egenskaper til rotfunksjonen1 derfor kl -th makt for jevn1 derfor kl .

Den n-te roten, n er et oddetall.

Root funksjon 1 derfor kl-te potens med en odde roteksponent 1 derfor kl er definert på hele settet med reelle tall. For eksempel, her er funksjonsgrafene og , de tilsvarer svarte, røde og blå kurver.

For andre oddeverdier av roteksponenten vil funksjonsgrafene ha et lignende utseende.

Egenskaper til rotfunksjonen1 derfor kl -te potens for oddetall1 derfor kl .

Bygge funksjon

Vi tilbyr din oppmerksomhet en tjeneste for å konstruere grafer over funksjoner online, alle rettigheter som tilhører selskapet Desmos. Bruk venstre kolonne for å legge inn funksjoner. Du kan gå inn manuelt eller ved å bruke det virtuelle tastaturet nederst i vinduet. For å forstørre vinduet med grafen kan du skjule både venstre kolonne og det virtuelle tastaturet.

Fordeler med online kartlegging

• Visuell visning av innlagte funksjoner
• Bygger veldig komplekse grafer
• Konstruksjon av grafer spesifisert implisitt (for eksempel ellipse x^2/9+y^2/16=1)
• Muligheten til å lagre diagrammer og motta en lenke til dem, som blir tilgjengelig for alle på Internett
• Kontroll av skala, linjefarge
• Mulighet for å plotte grafer etter punkter, ved hjelp av konstanter
• Plotte flere funksjonsgrafer samtidig
• Plotte i polare koordinater (bruk r og θ(\theta))

Hos oss er det enkelt å bygge diagrammer av ulik kompleksitet på nettet. Byggingen gjøres umiddelbart. Tjenesten er etterspurt for å finne skjæringspunkter for funksjoner, for å avbilde grafer for å flytte dem videre inn i et Word-dokument som illustrasjoner ved problemløsning, og for å analysere atferdstrekk ved funksjonsgrafer. Den optimale nettleseren for å arbeide med diagrammer på denne nettsiden er Google Chrome. Riktig drift er ikke garantert når du bruker andre nettlesere.

Kunnskap grunnleggende elementære funksjoner, deres egenskaper og grafer ikke mindre viktig enn å kunne multiplikasjonstabellene. De er som grunnlaget, alt er basert på dem, alt er bygget fra dem og alt kommer ned til dem.

I denne artikkelen vil vi liste opp alle de viktigste elementære funksjonene, gi grafene deres og gi uten konklusjon eller bevis egenskaper til grunnleggende elementære funksjoner i henhold til ordningen:

• oppførsel av en funksjon ved grensene til definisjonsdomenet, vertikale asymptoter (om nødvendig, se artikkelen klassifisering av diskontinuitetspunkter for en funksjon);
• partall og oddetall;
• intervaller for konveksitet (konveksitet oppover) og konkavitet (konveksitet nedover), bøyningspunkter (om nødvendig, se artikkelen konveksitet til en funksjon, retning av konveksitet, bøyningspunkter, konveksitets- og bøyningsbetingelser);
• skrå og horisontale asymptoter;
• entall punkter av funksjoner;
• spesielle egenskaper til noen funksjoner (for eksempel den minste positive perioden med trigonometriske funksjoner).

Hvis du er interessert i eller, kan du gå til disse delene av teorien.

Grunnleggende elementære funksjoner er: konstant funksjon (konstant), n-te rot, potensfunksjon, eksponentiell, logaritmisk funksjon, trigonometriske og inverse trigonometriske funksjoner.

Sidenavigering.

Grunnleggende elementære funksjoner

En konstant funksjon er definert på settet av alle reelle tall av formelen , hvor C er et reelt tall. En konstantfunksjon assosierer hver reelle verdi av den uavhengige variabelen x med den samme verdien av den avhengige variabelen y - verdien C. En konstantfunksjon kalles også en konstant.

Grafen til en konstant funksjon er en rett linje parallelt med x-aksen og som går gjennom punktet med koordinater (0,C). La oss for eksempel vise grafer av konstantfunksjoner y=5, y=-2 og, som i figuren nedenfor tilsvarer henholdsvis de svarte, røde og blå linjene.

Egenskaper til en konstant funksjon.

• Domene: hele settet med reelle tall.
• Konstantfunksjonen er jevn.
• Verdiområde: sett bestående av entall C.
• En konstant funksjon er ikke-økende og ikke-minskende (det er derfor den er konstant).
• Det gir ingen mening å snakke om konveksitet og konkavitet av en konstant.
• Det er ingen asymptoter.
• Funksjonen går gjennom punktet (0,C) til koordinatplanet.

Rot av n. grad.

La oss vurdere den grunnleggende elementære funksjonen, som er gitt av formelen , hvor n er et naturlig tall større enn én.

Roten av n-te grad, n er et partall.

La oss starte med den n-te rotfunksjonen for jevne verdier av roteksponenten n.

Som et eksempel, her er et bilde med bilder av funksjonsgrafer og , de tilsvarer svarte, røde og blå linjer.

Grafene for rotfunksjoner med jevne grader har et lignende utseende for andre verdier av eksponenten.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for jevn n.

Den n-te roten, n er et oddetall.

Den n-te rotfunksjonen med en oddetallseksponent n er definert på hele settet med reelle tall. For eksempel, her er funksjonsgrafene og , de tilsvarer svarte, røde og blå kurver.

For andre oddeverdier av roteksponenten vil funksjonsgrafene ha et lignende utseende.

Egenskaper til den n-te rotfunksjonen for odde-n.

Power funksjon.

Potensfunksjonen er gitt av en formel av formen.

La oss vurdere formen til grafer for en potensfunksjon og egenskapene til en potensfunksjon avhengig av verdien til eksponenten.

La oss starte med en potensfunksjon med en heltallseksponent a. I dette tilfellet avhenger typen grafer for potensfunksjoner og egenskapene til funksjonene av eksponentens jevnhet eller oddelighet, så vel som fortegn. Derfor vil vi først vurdere potensfunksjoner for odde positive verdier av eksponenten a, deretter for partall positive eksponenter, deretter for odde negative eksponenter, og til slutt, for partall negativ a.

Egenskapene til potensfunksjoner med brøk- og irrasjonelle eksponenter (så vel som typen grafer for slike potensfunksjoner) avhenger av verdien av eksponenten a. Vi vil vurdere dem for det første for en fra null til én, for det andre for en større enn én, for det tredje for en fra minus én til null, for det fjerde for en mindre enn minus én.

På slutten av denne delen vil vi for fullstendighets skyld beskrive en potensfunksjon med null eksponent.

Potensfunksjon med oddetall positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent, det vil si med a = 1,3,5,....

Figuren nedenfor viser grafer over potensfunksjoner - svart linje, - blå linje, - rød linje, - grønn linje. For a=1 har vi lineær funksjon y=x.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall positiv eksponent.

Power funksjon med jevn positiv eksponent.

La oss vurdere en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent, det vil si for a = 2,4,6,....

Som et eksempel gir vi grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje. For a=2 har vi kvadratisk funksjon, hvis graf er kvadratisk parabel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn positiv eksponent.

Potensfunksjon med oddetall negativ eksponent.

Se på grafene til potensfunksjonen for odde negative verdier av eksponenten, det vil si for a = -1, -3, -5, ....

Figuren viser grafer over potensfunksjoner som eksempler - svart linje, - blå linje, - rød linje, - grønn linje. For a=-1 har vi kvadratisk parabel, hvis graf er hyperbel.

Egenskaper til en potensfunksjon med en oddetall negativ eksponent.

Potensfunksjon med til og med negativ eksponent.

La oss gå videre til strømfunksjonen for a=-2,-4,-6,….

Figuren viser grafer over potensfunksjoner – svart linje, – blå linje, – rød linje.

Egenskaper til en potensfunksjon med en jevn negativ eksponent.

En potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent hvis verdi er større enn null og mindre enn én.

Vær oppmerksom! Hvis a er en positiv brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til potensfunksjonen er intervallet. Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og begynnelsen av analyse potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil betrakte settet som domenene for definisjon av potensfunksjoner med positive brøkeksponenter. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss vurdere en potensfunksjon med en rasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafer av potensfunksjoner for a=11/12 (svart linje), a=5/7 (rød linje), (blå linje), a=2/5 (grønn linje).

En potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent større enn én.

La oss vurdere en potensfunksjon med en ikke-heltallsrasjonell eller irrasjonell eksponent a, og .

La oss presentere grafene for potensfunksjoner, gitt av formler (hhv. svarte, røde, blå og grønne linjer).

For andre verdier av eksponenten a, vil grafene til funksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper for strømfunksjonen ved .

En potensfunksjon med en reell eksponent som er større enn minus én og mindre enn null.

Vær oppmerksom! Hvis a er en negativ brøk med en oddetall, så anser noen forfattere at definisjonsdomenet til en potensfunksjon er intervallet . Det er fastsatt at eksponenten a er en irreduserbar brøk. Nå DEFINERER IKKE forfatterne av mange lærebøker om algebra og begynnelsen av analyse potensfunksjoner med en eksponent i form av en brøkdel med en oddetall for negative verdier av argumentet. Vi vil holde oss til nettopp dette synet, det vil si at vi vil vurdere definisjonsdomenene for potensfunksjoner med brøkdeler negative eksponenter som henholdsvis et sett. Vi anbefaler at elevene finner ut lærerens mening om dette subtile punktet for å unngå uenighet.

La oss gå videre til kraftfunksjonen, kgd.

For å ha en god ide om formen til grafer av potensfunksjoner for , gir vi eksempler på grafer av funksjoner (hhv. svarte, røde, blå og grønne kurver).

Egenskaper til en potensfunksjon med eksponent a, .

En potensfunksjon med en ikke-heltalls reell eksponent som er mindre enn minus én.

La oss gi eksempler på grafer av potensfunksjoner for , de er avbildet med henholdsvis svarte, røde, blå og grønne linjer.

Egenskaper til en potensfunksjon med en ikke-heltall negativ eksponent mindre enn minus én.

Når a = 0 og vi har en funksjon - er dette en rett linje som punktet (0;1) er ekskludert fra (det ble avtalt å ikke tillegge uttrykket 0 0 noen betydning).

Eksponentiell funksjon.

En av de viktigste elementære funksjonene er eksponentialfunksjonen.

Rute eksponentiell funksjon, hvor og har forskjellige former avhengig av verdien av basen a. La oss finne ut av dette.

Tenk først på tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen tar en verdi fra null til én, det vil si .

Som et eksempel presenterer vi grafer av eksponentialfunksjonen for a = 1/2 – blå linje, a = 5/6 – rød linje. Grafene til eksponentialfunksjonen har et lignende utseende for andre verdier av basen fra intervallet.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base mindre enn én.

La oss gå videre til tilfellet når basen til eksponentialfunksjonen er større enn én, det vil si .

Som en illustrasjon presenterer vi grafer av eksponentielle funksjoner - blå linje og - rød linje. For andre verdier av basen større enn én, vil grafene til eksponentialfunksjonen ha et lignende utseende.

Egenskaper til en eksponentiell funksjon med en base større enn én.

Logaritmisk funksjon.

Den neste grunnleggende elementære funksjonen er den logaritmiske funksjonen, der , . Den logaritmiske funksjonen er definert bare for positive verdier av argumentet, det vil si for .

Grafen til en logaritmisk funksjon har forskjellige former avhengig av verdien av grunntallet a.