Rotasjon av et stivt legeme rundt en fast akse. Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme rundt en fast akse Lov om rotasjonsbevegelse rundt en fast akse

DEFINISJON: Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp vi vil kalle en slik bevegelse der alle punkter i kroppen beveger seg i sirkler, hvis sentre ligger på samme rette linje, kalt rotasjonsaksen.

For å studere dynamikken til den roterende, legger vi til de kjente kinematiske størrelsene to mengder: maktens øyeblikk(M) og treghetsmoment(J).

1. Det er kjent av erfaring: akselerasjonen av rotasjonsbevegelse avhenger ikke bare av størrelsen på kraften som virker på kroppen, men også av avstanden fra rotasjonsaksen til linjen som kraften virker langs. For å karakterisere denne omstendigheten kalles en fysisk mengde kraftmoment.

La oss vurdere det enkleste tilfellet.

DEFINISJON: Momentet til en kraft rundt et bestemt punkt "O" er en vektormengde definert av uttrykket , hvor er radiusvektoren trukket fra punktet "O" til punktet for påføring av kraften.

Av definisjonen følger det at er en aksial vektor. Dens retning er valgt slik at rotasjonen av vektoren rundt punktet "O" i retning av kraften og vektoren danner et høyrehendt system. Modulen til kraftmomentet er lik , hvor a er vinkelen mellom retningene til vektorene og , og l= r synd a er lengden på perpendikulæren som faller fra punkt "O" til den rette linjen som kraften virker langs (kalt skulder av styrke i forhold til punkt "O") (fig. 4.2).

2. Eksperimentelle data indikerer at størrelsen på vinkelakselerasjonen påvirkes ikke bare av massen til det roterende legemet, men også av fordelingen av masse i forhold til rotasjonsaksen. Mengden som tar hensyn til denne omstendigheten kalles treghetsmoment i forhold til rotasjonsaksen.

DEFINISJON: Strengt tatt, treghetsmoment legeme i forhold til en viss rotasjonsakse kalles verdien J, lik summen av produktene av elementære masser ved kvadratene av deres avstander fra en gitt akse.

Summen utføres over alle elementære masser som kroppen ble delt inn i. Det bør huskes at denne mengden (J) eksisterer uavhengig av rotasjon (selv om begrepet treghetsmoment ble introdusert når man vurderer rotasjonen av et stivt legeme).

Hver kropp, uansett om den er i ro eller roterer, har et visst treghetsmoment i forhold til en hvilken som helst akse, akkurat som en kropp har masse uavhengig av om den er i bevegelse eller i hvile.

Med tanke på at , kan treghetsmomentet representeres som: . Denne sammenhengen er omtrentlig og jo mindre elementære volumer og de tilsvarende masseelementene er, jo mer nøyaktig vil den være. Følgelig kommer oppgaven med å finne treghetsmomenter ned til integrasjon: . Her utføres integrering over hele kroppens volum.

La oss skrive ned treghetsmomentene til noen kropper med vanlig geometrisk form.

1. Ensartet lang stang.
Ris. 4.3	Treghetsmomentet om aksen vinkelrett på stangen og som går gjennom midten er lik
2. Solid sylinder eller skive.
Ris. 4.4	Treghetsmomentet om aksen som faller sammen med den geometriske aksen er lik .
3. Tynnvegget sylinder med radius R.
Ris. 4.5
4. Treghetsmoment for en kule med radius R i forhold til en akse som går gjennom midten
Ris. 4.6
5. Treghetsmoment for en tynn skive (tykkelse b<
Ris. 4.7
6. Treghetsmoment for blokken
Ris. 4.8
7. Ringens treghetsmoment
Ris. 4.9

Beregning av treghetsmomentet her er ganske enkel, fordi Kroppen antas å være homogen og symmetrisk, og treghetsmomentet bestemmes i forhold til symmetriaksen.

For å bestemme treghetsmomentet til et legeme i forhold til en hvilken som helst akse, er det nødvendig å bruke Steiners teorem.

DEFINISJON: Treghetsmoment J om en vilkårlig akse er lik summen av treghetsmomentet Jc i forhold til en akse parallelt med den gitte og som går gjennom kroppens treghetssenter, og produktet av kroppsmassen med kvadratet av avstanden mellom aksene (fig. 4.10).

Denne artikkelen beskriver en viktig del av fysikk - "Kinematikk og dynamikk i rotasjonsbevegelse".

Grunnleggende begreper om kinematikk for rotasjonsbevegelse

Rotasjonsbevegelse av et materialpunkt rundt en fast akse kalles slik bevegelse, hvis bane er en sirkel som ligger i et plan vinkelrett på aksen, og sentrum ligger på rotasjonsaksen.

Rotasjonsbevegelse av et stivt legeme er en bevegelse der alle punkter på kroppen beveger seg langs konsentriske (hvis sentrene ligger på samme akse) sirkler i samsvar med regelen for rotasjonsbevegelsen til et materialpunkt.

La et vilkårlig stivt legeme T rotere rundt O-aksen, som er vinkelrett på tegningens plan. La oss velge punkt M på denne kroppen. Når det roteres, vil dette punktet beskrive en sirkel med radius rundt O-aksen r.

Etter en tid vil radien rotere i forhold til sin opprinnelige posisjon med en vinkel Δφ.

Retningen til høyre skrue (med klokken) tas som positiv rotasjonsretning. Endringen i rotasjonsvinkelen over tid kalles ligningen for rotasjonsbevegelse til et stivt legeme:

φ = φ(t).

Hvis φ måles i radianer (1 rad er vinkelen som tilsvarer en bue med lengde lik dens radius), så er lengden på sirkelbuen ΔS, som materialpunktet M vil passere i tiden Δt, lik:

ΔS = Δφr.

Grunnleggende elementer i kinematikken til jevn rotasjonsbevegelse

Et mål på bevegelsen til et materialpunkt over en kort periode dt fungerer som en elementær rotasjonsvektor dφ.

Vinkelhastigheten til et materialpunkt eller legeme er en fysisk størrelse som bestemmes av forholdet mellom vektoren til en elementær rotasjon og varigheten av denne rotasjonen. Retningen til vektoren kan bestemmes av regelen for høyre skrue langs O-aksen I skalarform:

ω = dφ/dt.

Hvis ω = dφ/dt = const, da kalles slik bevegelse uniform rotasjonsbevegelse. Med den bestemmes vinkelhastigheten av formelen

ω = φ/t.

I henhold til den foreløpige formelen, dimensjonen til vinkelhastighet

[ω] = 1 rad/s.

Den jevne rotasjonsbevegelsen til et legeme kan beskrives ved rotasjonsperioden. Rotasjonsperioden T er en fysisk størrelse som bestemmer tiden et legeme gjør én hel omdreining rundt rotasjonsaksen ([T] = 1 s). Hvis vi i formelen for vinkelhastighet tar t = T, φ = 2 π (en hel omdreining med radius r), så

ω = 2π/T,

Derfor definerer vi rotasjonsperioden som følger:

T = 2π/ω.

Antall omdreininger et legeme gjør per tidsenhet kalles rotasjonsfrekvensen ν, som er lik:

ν = 1/T.

Frekvensenheter: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Ved å sammenligne formlene for vinkelhastighet og rotasjonsfrekvens, får vi et uttrykk som forbinder disse størrelsene:

ω = 2πν.

Grunnleggende elementer i kinematikken til ujevn rotasjonsbevegelse

Den ujevne rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme eller materialpunkt rundt en fast akse er preget av dens vinkelhastighet, som endres med tiden.

Vektor ε , som karakteriserer endringshastigheten for vinkelhastighet, kalles vinkelakselerasjonsvektoren:

ε = dω/dt.

Hvis en kropp roterer, akselererer, altså dω/dt > 0, har vektoren en retning langs aksen i samme retning som ω.

Hvis rotasjonsbevegelsen er langsom - dω/dt< 0 , da er vektorene ε og ω motsatt rettet.

Kommentar. Når det oppstår ujevn rotasjonsbevegelse, kan vektoren ω endre seg ikke bare i størrelse, men også i retning (når rotasjonsaksen roteres).

Sammenheng mellom størrelser som karakteriserer translasjons- og rotasjonsbevegelse

Det er kjent at buelengden med radiusens rotasjonsvinkel og dens verdi er relatert til forholdet

ΔS = Δφ r.

Deretter den lineære hastigheten til et materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Den normale akselerasjonen til et materialpunkt som utfører roterende translasjonsbevegelse er definert som følger:

a = υ2/r = ω2r2/r.

Altså i skalarform

a = ω 2 r.

Tangentielt akselerert materialpunkt som utfører rotasjonsbevegelse

a = ε r.

Momentum av et materialpunkt

Vektorproduktet av radiusvektoren til banen til et materialpunkt med masse m i og dets bevegelsesmengde kalles vinkelmomentet til dette punktet om rotasjonsaksen. Retningen til vektoren kan bestemmes ved hjelp av riktig skrueregel.

Momentum av et materialpunkt ( L i) er rettet vinkelrett på planet trukket gjennom r i og υ i, og danner en høyre trippel av vektorer med dem (det vil si når man beveger seg fra enden av vektoren r jeg Til υ i høyre skrue vil vise retningen til vektoren L Jeg).

I skalar form

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Tatt i betraktning at når du beveger deg i en sirkel, er radiusvektoren og den lineære hastighetsvektoren for det i-te materialpunktet vinkelrett på hverandre,

sin(υ i, r i) = 1.

Så vinkelmomentet til et materialpunkt for rotasjonsbevegelse vil ta formen

L = m i υ i r i.

Kraftmomentet som virker på det i-te materielle punktet

Vektorproduktet av radiusvektoren, som er trukket til punktet for påføring av kraften, og denne kraften kalles kraftmomentet som virker på det i-te materialpunktet i forhold til rotasjonsaksen.

I skalar form

M i = r i F i sin(r i, F i).

Vurderer r i sinα = l i,M i = l i F i.

Omfanget l i, lik lengden på perpendikulæren senket fra rotasjonspunktet til kraftens virkningsretning, kalles kraftens arm F i.

Dynamikk av rotasjonsbevegelse

Ligningen for dynamikken til rotasjonsbevegelse er skrevet som følger:

M = dL/dt.

Formuleringen av loven er som følger: endringshastigheten for vinkelmomentet til et legeme som roterer rundt en fast akse er lik det resulterende momentet i forhold til denne aksen av alle ytre krefter som påføres kroppen.

Impulsmoment og treghetsmoment

Det er kjent at for det i-te materialepunktet er vinkelmomentet i skalarform gitt av formelen

L i = m i υ i r i.

Hvis vi i stedet for lineær hastighet erstatter uttrykket med vinkelhastighet:

υ i = ωr i ,

da vil uttrykket for vinkelmomentet ta formen

L i = m i r i 2 ω.

Omfanget I i = m i r i 2 kalles treghetsmomentet i forhold til aksen til det i-te materialpunktet til et absolutt stivt legeme som går gjennom massesenteret. Så skriver vi vinkelmomentet til materialpunktet:

Li = I i ω.

Vi skriver vinkelmomentet til et absolutt stivt legeme som summen av vinkelmomentet til de materielle punktene som utgjør denne kroppen:

L = Iω.

Kraftmoment og treghetsmoment

Loven om rotasjonsbevegelse sier:

M = dL/dt.

Det er kjent at vinkelmomentet til en kropp kan representeres gjennom treghetsmomentet:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Tatt i betraktning at vinkelakselerasjonen bestemmes av uttrykket

ε = dω/dt,

vi får en formel for kraftmomentet, representert gjennom treghetsmomentet:

M = Iε.

Kommentar. Et kraftmoment anses som positivt hvis vinkelakselerasjonen som forårsaker det er større enn null, og omvendt.

Steiners teorem. Loven om addisjon av treghetsmomenter

Hvis rotasjonsaksen til et legeme ikke går gjennom massesenteret, kan man i forhold til denne aksen finne treghetsmomentet ved å bruke Steiners teorem:
I = I 0 + ma 2,

Hvor jeg 0- første treghetsmoment av kroppen; m- kroppsmasse; en- avstand mellom akser.

Hvis et system som roterer rundt en fast akse består av n kropper, vil det totale treghetsmomentet til denne typen system være lik summen av momentene til dets komponenter (loven om tillegg av treghetsmomenter).

Bevegelsen til et stivt legeme kalles rotasjon hvis alle punkter på kroppen som befinner seg på en bestemt rett linje, kalt rotasjonsaksen, forblir ubevegelige under bevegelse(Fig. 2.15).

Kroppens posisjon under rotasjonsbevegelse bestemmes vanligvis rotasjonsvinkel kropp , som måles som den dihedrale vinkelen mellom de faste og bevegelige planene som går gjennom rotasjonsaksen. Dessuten er det bevegelige planet forbundet med et roterende legeme.

La oss introdusere bevegelige og faste koordinatsystemer, hvis opprinnelse vil bli plassert i et vilkårlig punkt O på rotasjonsaksen. Oz-aksen, felles for de bevegelige og faste koordinatsystemene, vil bli rettet langs rotasjonsaksen, aksen Åh av det faste koordinatsystemet, retter vi det vinkelrett på Oz-aksen slik at det ligger i det faste planet, aksen Å 1 La oss rette det bevegelige koordinatsystemet vinkelrett på Oz-aksen slik at det ligger i det bevegelige planet (fig. 2.15).

Hvis vi betrakter en del av et legeme ved et plan vinkelrett på rotasjonsaksen, så vil rotasjonsvinkelen φ kan defineres som vinkelen mellom den faste aksen Åh og bevegelig akse Å 1, alltid assosiert med et roterende legeme (fig. 2.16).

Referanseretningen for kroppens rotasjonsvinkel aksepteres φ mot klokken betraktes som positivt sett fra den positive retningen til Oz-aksen.

Likestilling φ = φ(t), som beskriver endringen i vinkel φ i tid kalles loven eller ligningen for rotasjonsbevegelse til et stivt legeme.

Hastigheten og retningen for endring i rotasjonsvinkelen til et stivt legeme er preget av vinkelhastighet. Den absolutte verdien av vinkelhastighet er vanligvis angitt med en bokstav i det greske alfabetet ω (omega). Den algebraiske verdien av vinkelhastighet er vanligvis betegnet med . Den algebraiske verdien av vinkelhastigheten er lik den første gangsderiverte av rotasjonsvinkelen:

. (2.33)

Enhetene for vinkelhastighet er lik vinkelenhetene delt på tidsenheten, for eksempel deg/min, rad/h. I SI-systemet er måleenheten for vinkelhastighet rad/s, men oftere skrives navnet på denne måleenheten som 1/s.

Hvis > 0, roterer kroppen mot klokken sett fra enden av koordinataksen på linje med rotasjonsaksen.

Hvis< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Hastigheten og retningen for endring i vinkelhastighet er preget av vinkelakselerasjon. Den absolutte verdien av vinkelakselerasjon er vanligvis betegnet med bokstaven i det greske alfabetet e (epsilon). Den algebraiske verdien av vinkelakselerasjon er vanligvis betegnet med . Den algebraiske verdien av vinkelakselerasjon er lik den første deriverte med hensyn til tid for den algebraiske verdien av vinkelhastighet eller den andre deriverte av rotasjonsvinkelen:

Enhetene for vinkelakselerasjon er lik vinkelenhetene delt på tidsenheten i annen. For eksempel grader/s 2, rad/t 2. I SI-systemet er måleenheten for vinkelakselerasjon rad/s 2, men oftere skrives navnet på denne måleenheten som 1/s 2.

Hvis de algebraiske verdiene for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon har samme fortegn, øker vinkelhastigheten i størrelse over tid, og hvis den er forskjellig, avtar den.

Hvis vinkelhastigheten er konstant ( ω = const), så er det vanlig å si at rotasjonen av kroppen er jevn. I dette tilfellet:

φ = t + φ 0, (2.35)

Hvor φ 0 - innledende rotasjonsvinkel.

Hvis vinkelakselerasjonen er konstant (e = const), er det vanlig å si at rotasjonen av kroppen er jevnt akselerert (jevn sakte). I dette tilfellet:

Hvor 0 - innledende vinkelhastighet.

I andre tilfeller, for å bestemme avhengigheten φ fra Og det er nødvendig å integrere uttrykk (2.33), (2.34) under gitte startbetingelser.

På tegninger er rotasjonsretningen til et legeme noen ganger vist med en buet pil (fig. 2.17).

Ofte i mekanikk anses vinkelhastighet og vinkelakselerasjon som vektorstørrelser Og . Begge disse vektorene er rettet langs kroppens rotasjonsakse. Dessuten vektoren rettet i én retning med enhetsvektoren, som bestemmer retningen til koordinataksen som sammenfaller med rotasjonsaksen, hvis >0, og omvendt hvis
Retningen til vektoren velges på samme måte (fig. 2.18).

Under rotasjonsbevegelsen til et legeme, beveger hvert av dets punkter (unntatt punkter plassert på rotasjonsaksen) seg langs en bane, som er en sirkel med en radius lik den korteste avstanden fra punktet til rotasjonsaksen (fig. 2.19).

Siden tangensen til en sirkel på et hvilket som helst punkt danner en vinkel på 90° med radiusen, vil hastighetsvektoren til et punkt i et legeme som gjennomgår rotasjonsbevegelse bli rettet vinkelrett på radiusen og ligge i sirkelens plan, som er bane for punktets bevegelse. Den tangentielle komponenten av akselerasjonen vil ligge på samme linje som hastigheten, og normalkomponenten vil være rettet radialt mot sentrum av sirkelen. Derfor kalles noen ganger de tangentielle og normale komponentene av akselerasjon under rotasjonsbevegelser henholdsvis roterende og sentripetal (aksial) komponenter (fig. 2.19)

Den algebraiske verdien av hastigheten til et punkt bestemmes av uttrykket:

, (2.37)

hvor R = OM er den korteste avstanden fra punktet til rotasjonsaksen.

Den algebraiske verdien av den tangentielle komponenten av akselerasjon bestemmes av uttrykket:

. (2.38)

Modulen til den normale akselerasjonskomponenten bestemmes av uttrykket:

. (2.39)

Akselerasjonsvektoren til et punkt under rotasjonsbevegelse bestemmes av parallellogramregelen som den geometriske summen av tangent- og normalkomponentene. Følgelig kan akselerasjonsmodulen bestemmes ved å bruke Pythagoras teoremet:

Hvis vinkelhastighet og vinkelakselerasjon er definert som vektorstørrelser , , da kan vektorene for hastighet, tangentielle og normale akselerasjonskomponenter bestemmes av formlene:

hvor er radiusvektoren tegnet til punktet M fra et vilkårlig punkt på rotasjonsaksen (fig. 2.20).

Å løse problemer som involverer rotasjonsbevegelse av en kropp, forårsaker vanligvis ingen vanskeligheter. Ved å bruke formler (2.33)-(2.40), kan du enkelt bestemme hvilken som helst ukjent parameter.

Visse vanskeligheter oppstår når man løser problemer knyttet til studiet av mekanismer som består av flere sammenkoblede kropper som utfører både rotasjons- og translasjonsbevegelse.

Den generelle tilnærmingen til å løse slike problemer er at bevegelse fra en kropp til en annen overføres gjennom ett punkt - tangenspunktet (kontakt). Dessuten har kontaktlegemene like hastigheter og tangentielle akselerasjonskomponenter ved kontaktpunktet. De normale akselerasjonskomponentene for kropper i kontakt ved kontaktpunktet er forskjellige; de ​​avhenger av banen til kroppspunktene.

Når du løser problemer av denne typen, er det praktisk, avhengig av de spesifikke omstendighetene, å bruke både formlene gitt i avsnitt 2.3 og formlene for å bestemme hastigheten og akselerasjonen til et punkt når du spesifiserer dets bevegelse som naturlig (2.7), (2.14) ) (2.16) eller koordinatmetoder (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Dessuten, hvis bevegelsen til kroppen som punktet tilhører er roterende, vil banen til punktet være en sirkel. Hvis kroppens bevegelse er rettlinjet translasjonell, vil banen til punktet være en rett linje.

Eksempel 2.4. Kroppen roterer rundt en fast akse. Rotasjonsvinkelen til kroppen endres i henhold til loven φ = π t 3 glad. For et punkt som ligger i en avstand OM = R = 0,5 m fra rotasjonsaksen, bestemme hastigheten, tangenten, normale komponentene for akselerasjon og akselerasjon i tidsøyeblikket t 1= 0,5 s. Vis retningen til disse vektorene på tegningen.

La oss se på et snitt av et legeme ved et plan som går gjennom punktet O vinkelrett på rotasjonsaksen (fig. 2.21). I denne figuren er punktet O skjæringspunktet mellom rotasjonsaksen og skjæreplanet, punkt M o Og M 1- henholdsvis start- og nåværende posisjon til punkt M. Gjennom punkt O og M o tegne en fast akse Åh, og gjennom punktene O og M 1 - bevegelig akse Å 1. Vinkelen mellom disse aksene vil være lik

Vi finner endringsloven i kroppens vinkelhastighet ved å differensiere endringsloven i rotasjonsvinkelen:

I øyeblikket t 1 vinkelhastigheten vil være lik

Vi vil finne endringsloven i kroppens vinkelakselerasjon ved å differensiere loven om endring i vinkelhastighet:

I øyeblikket t 1 vinkelakselerasjonen vil være lik:

1/s 2,

Vi finner de algebraiske verdiene til hastighetsvektorene, den tangentielle komponenten av akselerasjon, modulen til normalkomponenten av akselerasjon og akselerasjonsmodulen ved å bruke formler (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2.

Siden vinkelen φ 1>0, så vil vi flytte den fra Ox-aksen mot klokken. Og siden > 0, deretter vektorene vil bli rettet vinkelrett på radiusen OM 1 slik at vi ser dem rotere mot klokken. Vektor vil bli rettet langs radius OM 1 til rotasjonsaksen. Vektor La oss bygge etter parallellogramregelen på vektorer τ Og .

Eksempel 2.5. I henhold til den gitte ligningen for rettlinjet translasjonsbevegelse av lasten 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) bestemme hastigheten, så vel som den tangentielle, normale komponenten av akselerasjon og akselerasjonen av punkt M av mekanismen i tidspunktet for tiden t 1, når banen som kjøres av last 1 er s = 0,2 m. Når vi løser problemet, vil vi anta at det ikke er sklir ved kontaktpunktet til kropp 2 og 3, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (fig. 2.22).

Loven om rettlinjet translasjonsbevegelse av last 1 er gitt i koordinatform. La oss bestemme øyeblikket i tid t 1, for hvilken banen som kjøres av last 1 vil være lik s

s = x(t l)-x(0),

hvor vi får:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Derfor,

Etter å ha differensiert bevegelsesligningen med hensyn til tid, finner vi projeksjonene av hastigheten og akselerasjonen til last 1 på Ox-aksen:

m/s 2 ;

I øyeblikket t = t 1 projeksjonen av hastigheten til last 1 vil være lik:

det vil si at den vil være større enn null, det samme er projeksjonen av akselerasjonen til last 1. Derfor vil last 1 være i øyeblikket t 1 beveger seg jevnt akselerert ned, henholdsvis kroppen 2 vil rotere jevnt akselerert i retning mot klokken, og kroppen 3 vil rotere med klokken.

Kroppen 2 drives til rotasjon av kroppen 1 gjennom en tråd viklet på en skarptromme. Derfor er modulene for hastighetene til punktene på legemet 1, tråden og overflaten til skarptrommelen til legemet 2 like, og akselerasjonsmodulene til punktene på legemet 1, tråden og den tangentielle komponenten av akselerasjonen av punktene på overflaten til skarptrommelen til legeme 2 vil også være like. Følgelig kan modulen for vinkelhastigheten til legeme 2 defineres som

Modulen for vinkelakselerasjon til kropp 2 vil være lik:

1/s 2 .

La oss bestemme hastighetsmodulene og tangentiell akselerasjonskomponent for punkt K i kropp 2 - kontaktpunktet til kropp 2 og 3:

m/s, m/s 2

Siden legemer 2 og 3 roterer uten innbyrdes glidning, vil størrelsen på hastigheten og den tangentielle komponenten av akselerasjonen til punktet K - kontaktpunktet for disse legene være like.

la oss rette den vinkelrett på radien i kroppens rotasjonsretning, siden legeme 3 roterer jevnt akselerert

Progressiv er bevegelsen til et stivt legeme der enhver rett linje som alltid er forbundet med denne kroppen forblir parallell med dens utgangsposisjon.

Teorem. Under translasjonsbevegelsen til et stivt legeme beskriver alle dets punkter identiske baner og har i hvert gitt øyeblikk lik hastighet og akselerasjon i størrelse og retning.

Bevis. La oss trekke gjennom to punkter og , et lineært bevegelig kroppssegment
og vurder bevegelsen til dette segmentet i posisjon
. Samtidig er poenget beskriver banen
, og pek – bane
(Fig. 56).

Med tanke på at segmentet
beveger seg parallelt med seg selv, og dens lengde endres ikke, kan det fastslås at banene til poeng Og vil være det samme. Dette betyr at første del av teoremet er bevist. Vi vil bestemme plasseringen av punktene Og vektormetode i forhold til en fast opprinnelse . Dessuten er disse radius-vektorene avhengige
. Fordi. verken lengden eller retningen til segmentet
endres ikke når kroppen beveger seg, da vektoren

. La oss gå videre til å bestemme hastighetene ved å bruke avhengighet (24):

, vi får
.

La oss gå videre til å bestemme akselerasjoner ved å bruke avhengighet (26):

, vi får
.

Fra det beviste teoremet følger det at translasjonsbevegelsen til et legeme vil bli fullstendig bestemt hvis bevegelsen til bare ett punkt er kjent. Derfor kommer studiet av translasjonsbevegelsen til et stivt legeme ned til studiet av bevegelsen til et av dets punkter, dvs. til poenget kinematikkproblem.

Emne 11. Rotasjonsbevegelse av en stiv kropp

Roterende Dette er bevegelsen til en stiv kropp der to av punktene forblir ubevegelige gjennom hele bevegelsen. I dette tilfellet kalles den rette linjen som går gjennom disse to faste punktene rotasjonsakse.

Under denne bevegelsen beskriver hvert punkt på kroppen som ikke ligger på rotasjonsaksen en sirkel, hvis plan er vinkelrett på rotasjonsaksen, og dens sentrum ligger på denne aksen.

Vi trekker gjennom rotasjonsaksen et fast plan I og et bevegelig plan II, alltid koblet til kroppen og roterer med den (fig. 57). Plasseringen av plan II, og følgelig hele kroppen, i forhold til plan I i rommet, er fullstendig bestemt av vinkelen . Når en kropp roterer rundt en akse denne vinkelen er en kontinuerlig og entydig funksjon av tiden. Derfor, ved å kjenne loven om endring av denne vinkelen over tid, kan vi bestemme kroppens posisjon i rommet:

- loven om rotasjonsbevegelse av et legeme. (43)

I dette tilfellet vil vi anta at vinkelen målt fra et fast plan i retning motsatt av bevegelsen med klokken, sett fra den positive enden av aksen . Siden posisjonen til et legeme som roterer rundt en fast akse bestemmes av én parameter, sies en slik kropp å ha én frihetsgrad.

Vinkelhastighet

Endringen i rotasjonsvinkelen til et legeme over tid kalles vinkel kroppshastighet og er utpekt
(omega):

.(44)

Vinkelhastighet, akkurat som lineær hastighet, er en vektormengde, og denne vektoren bygget på kroppens rotasjonsakse. Den er rettet langs rotasjonsaksen i den retningen, slik at man ser fra enden til begynnelsen av kroppens rotasjon mot klokken (fig. 58). Modulen til denne vektoren bestemmes av avhengighet (44). Søknadspunkt på aksen kan velges vilkårlig, siden vektoren kan overføres langs handlingslinjen. Hvis vi betegner ort-vektoren til rotasjonsaksen med , så får vi vektoruttrykket for vinkelhastighet:

. (45)

Vinkelakselerasjon

Hastigheten for endring i vinkelhastigheten til et legeme over tid kalles vinkelakselerasjon kropp og er utpekt (epsilon):

. (46)

Vinkelakselerasjon er en vektormengde, og denne vektoren bygget på kroppens rotasjonsakse. Den er rettet langs rotasjonsaksen i den retningen, slik at man ser fra enden til begynnelsen, kan se rotasjonsretningen til epsilonen mot klokken (fig. 58). Modulen til denne vektoren bestemmes av avhengighet (46). Søknadspunkt på aksen kan velges vilkårlig, siden vektoren kan overføres langs handlingslinjen.

Hvis vi betegner ort-vektoren til rotasjonsaksen med , så får vi vektoruttrykket for vinkelakselerasjon:

. (47)

Hvis vinkelhastigheten og akselerasjonen har samme fortegn, roterer kroppen fremskyndet, og hvis annerledes - sakte. Et eksempel på langsom rotasjon er vist i fig. 58.

La oss vurdere spesielle tilfeller av rotasjonsbevegelse.

1. Ensartet rotasjon:

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Lik rotasjon:

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Sammenheng mellom lineære og vinkelparametre

Vurder bevegelsen av et vilkårlig punkt
roterende kropp. I dette tilfellet vil banen til punktet være en sirkel med radius
, plassert i et plan vinkelrett på rotasjonsaksen (fig. 59, EN).

La oss anta det i tidens øyeblikk punktet er i posisjon
. La oss anta at kroppen roterer i positiv retning, dvs. i retning av økende vinkel . På et øyeblikk
punktet vil ta stilling
. La oss betegne buen
. Derfor over en periode
poenget har gått veien
. Gjennomsnittshastigheten hennes , og når
,
. Men fra fig. 59, b, det er klart det
. Deretter. Endelig får vi

. (50)

Her - lineær hastighet på punktet
. Som ble oppnådd tidligere, er denne hastigheten rettet tangentielt til banen ved et gitt punkt, dvs. tangent til sirkelen.

Dermed er modulen for den lineære (omkrets)hastigheten til et punkt i et roterende legeme lik produktet av den absolutte verdien av vinkelhastigheten og avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

La oss nå koble de lineære komponentene til akselerasjonen til et punkt med vinkelparametrene.

,
. (51)

Modulen for tangentiell akselerasjon til et punkt i et stivt legeme som roterer rundt en fast akse er lik produktet av vinkelakselerasjonen til kroppen og avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

,
. (52)

Modulen for normal akselerasjon til et punkt i et stivt legeme som roterer rundt en fast akse er lik produktet av kvadratet av vinkelhastigheten til kroppen og avstanden fra dette punktet til rotasjonsaksen.

Deretter tar uttrykket for punktets totale akselerasjon formen

. (53)

Vektor retninger ,,vist i figur 59, V.

Flat bevegelse av et stivt legeme er en bevegelse der alle punkter på kroppen beveger seg parallelt med et fast plan. Eksempler på slike bevegelser:

Bevegelsen til ethvert legeme hvis base glir langs et gitt fast plan;

Rulling av et hjul langs en rett del av sporet (skinne).

Vi får ligningene for planbevegelse. For å gjøre dette bør du vurdere en flat figur som beveger seg i arkets plan (fig. 60). La oss relatere denne bevegelsen til et fast koordinatsystem
, og med selve figuren kobler vi det bevegelige koordinatsystemet
, som beveger seg med den.

Det er klart at posisjonen til en bevegelig figur på et stasjonært plan bestemmes av posisjonen til de bevegelige aksene
i forhold til faste akser
. Denne posisjonen bestemmes av posisjonen til den bevegelige origo , dvs. koordinater ,og rotasjonsvinkel , et bevegelig koordinatsystem, relativt fast, som vi vil telle fra aksen i motsatt retning av urviseren.

Følgelig vil bevegelsen til en flat figur i planet være fullstendig bestemt hvis verdiene til ,,, dvs. formens ligninger:

,
,
. (54)

Ligninger (54) er ligninger for planbevegelse av et stivt legeme, siden hvis disse funksjonene er kjente, så er det for hvert øyeblikk av tid mulig å finne ut fra disse ligningene, hhv. ,,, dvs. bestemme posisjonen til en bevegelig figur på et gitt tidspunkt.

La oss vurdere spesielle tilfeller:

1.

, da vil bevegelsen til kroppen være translasjonell, siden de bevegelige aksene beveger seg mens de forblir parallelle med deres utgangsposisjon.

2.

,

. Med denne bevegelsen endres bare rotasjonsvinkelen , dvs. kroppen vil rotere om en akse som går vinkelrett på tegneplanet gjennom punktet .

Dekomponering av bevegelsen til en flat figur til translasjon og rotasjon

Vurder to påfølgende stillinger Og
okkupert av kroppen til tider Og
(Fig. 61). Kroppen fra posisjon å posisjonere
kan overføres som følger. La oss flytte kroppen først progressivt. I dette tilfellet segmentet
vil bevege seg parallelt med seg selv til posisjon
, og så la oss snu kropp rundt et punkt (pol) i vinkel
til punktene faller sammen Og .

Derfor, enhver planbevegelse kan representeres som summen av translasjonsbevegelse sammen med den valgte polen og rotasjonsbevegelsen, i forhold til denne polen.

La oss vurdere metoder som kan brukes til å bestemme hastighetene til punktene til en kropp som utfører planbevegelse.

1. Polmetode. Denne metoden er basert på den resulterende dekomponeringen av planbevegelse til translasjon og rotasjon. Hastigheten til et hvilket som helst punkt på en flat figur kan representeres i form av to komponenter: translasjonell, med en hastighet lik hastigheten til et vilkårlig valgt punkt -poler , og roterer rundt denne stolpen.

La oss vurdere en flat kropp (fig. 62). Bevegelsesligningene er:
,
,
.

Fra disse ligningene bestemmer vi hastigheten til punktet (som med koordinatmetoden for å spesifisere)

,
,
.

Dermed hastigheten på punktet - mengden er kjent. Vi tar dette punktet som en pol og bestemmer hastigheten til et vilkårlig punkt
kropper.

Hastighet
vil bestå av en translasjonskomponent , når du beveger deg sammen med punktet , og roterende
, når du roterer punktet
i forhold til punktet . Punkthastighet flytte til punkt
parallelt med seg selv, siden under translasjonsbevegelse er hastighetene til alle punkter like både i størrelse og retning. Hastighet
vil bli bestemt av avhengighet (50)
, og denne vektoren er rettet vinkelrett på radiusen
i rotasjonsretningen
. Vektor
vil bli rettet langs diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer Og
, og modulen bestemmes av avhengigheten:

, .(55)

2. Teorem om projeksjoner av hastigheter til to punkter i et legeme.

Projeksjonene av hastighetene til to punkter i et stivt legeme på en rett linje som forbinder disse punktene er lik hverandre.

Tenk på to punkter på kroppen Og (Fig. 63). Tar et poeng utover polen bestemmer vi retningen avhengig av (55):
. Vi projiserer denne vektorlikheten på linjen
og med tanke på det
vinkelrett
, vi får

3. Øyeblikkelig hastighetssenter.

Øyeblikkelig hastighetssenter(MCS) er et punkt hvis hastighet på et gitt tidspunkt er null.

La oss vise at hvis en kropp ikke beveger seg translasjonsmessig, så eksisterer et slikt punkt til enhver tid og er dessuten unikt. La på et øyeblikk poeng Og kropper som ligger i seksjon , ha hastigheter Og , ikke parallelle med hverandre (fig. 64). Så pek
, liggende i skjæringspunktet mellom perpendikulære til vektorene Og , og det vil være en MCS, siden
.

Faktisk, hvis vi antar det
, da ifølge setning (56), vektoren
må være vinkelrett samtidig
Og
, som er umulig. Fra samme teorem er det klart at ingen andre seksjoner peker på dette tidspunktet kan ikke ha en hastighet lik null.

Ved hjelp av stolpemetoden
- pol, bestemme hastigheten på punktet (55): fordi
,
. (57)

Et lignende resultat kan oppnås for et hvilket som helst annet punkt på kroppen. Derfor er hastigheten til ethvert punkt på kroppen lik rotasjonshastigheten i forhold til MCS:

,
,
, dvs. hastighetene til kroppspunktene er proporsjonale med deres avstander til MCS.

Fra de tre betraktede metodene for å bestemme hastighetene til punktene til en flat figur, er det klart at MCS er å foretrekke, siden hastigheten her umiddelbart bestemmes både i størrelse og i retning av en komponent. Imidlertid kan denne metoden brukes hvis vi vet eller kan bestemme posisjonen til MCS for kroppen.

Bestemme posisjonen til MCS

1. Hvis vi for en gitt posisjon av legemet vet retningene til hastighetene til to punkter av legemet, så vil MCS være skjæringspunktet for perpendikulærene til disse hastighetsvektorene.

2. Hastighetene til to punkter på kroppen er antiparallelle (fig. 65, EN). I dette tilfellet vil vinkelrett på hastighetene være vanlig, dvs. MCS er plassert et sted på denne perpendikulæren. For å bestemme posisjonen til MCS, er det nødvendig å koble sammen endene av hastighetsvektorene. Skjæringspunktet for denne linjen med perpendikulæren vil være ønsket MCS. I dette tilfellet er MCS plassert mellom disse to punktene.

3. Hastighetene til to punkter på kroppen er parallelle, men ikke like store (fig. 65, b). Prosedyren for å skaffe MDS er lik den som er beskrevet i avsnitt 2.

d) Hastighetene til to punkter er like i både størrelse og retning (fig. 65, V). Vi får tilfellet med øyeblikkelig translasjonsbevegelse, der hastighetene til alle punkter i kroppen er like. Følgelig er vinkelhastigheten til kroppen i denne posisjonen null:

4. La oss bestemme MCS for et hjul som ruller uten å gli på en stasjonær overflate (fig. 65, G). Siden bevegelsen skjer uten å gli, vil hastigheten ved kontaktpunktet mellom hjulet og overflaten være den samme og lik null, siden overflaten er stasjonær. Følgelig vil kontaktpunktet for hjulet med en stasjonær overflate være MCS.

Bestemmelse av akselerasjoner av punkter i en plan figur

Når du bestemmer akselerasjonene til punktene til en flat figur, er det en analogi med metoder for å bestemme hastigheter.

1. Polmetode. Akkurat som når vi bestemmer hastigheter, tar vi som en pol et vilkårlig punkt på kroppen hvis akselerasjon vi kjenner eller kan bestemme. Deretter akselerasjonen til et hvilket som helst punkt i en flat figur er lik summen av akselerasjonene til polen og akselerasjonen i rotasjonsbevegelse rundt denne polen:

I dette tilfellet, komponenten
bestemmer akselerasjonen til et punkt mens den roterer rundt stangen . Ved rotering vil banen til punktet være krumlinjet, som betyr
(Fig. 66).

Deretter tar avhengighet (58) formen
. (59)

Tar vi hensyn til avhengigheter (51) og (52), får vi
,
.

2. Øyeblikkelig akselerasjonssenter.

Øyeblikkelig akselerasjonssenter(MCU) er et punkt hvis akselerasjon på et gitt tidspunkt er null.

La oss vise at et slikt punkt eksisterer til enhver tid. Vi tar et poeng som en pol , hvis akselerasjon
vi vet. Finne vinkelen , liggende innenfor
, og tilfredsstiller betingelsen
. Hvis
, Det
og omvendt, dvs. hjørne forsinket i retning . La oss utsette fra poenget i vinkel til vektor
linjestykke
(Fig. 67). Poenget oppnådd ved slike konstruksjoner
det vil være en MCU.

Faktisk akselerasjonen av punktet
lik summen av akselerasjoner
poler og akselerasjon
i rotasjonsbevegelse rundt stangen :
.

,
. Deretter
. På den annen side akselerasjon
dannes med retningen til segmentet
hjørne
, som tilfredsstiller betingelsen
. Et minustegn er plassert foran tangenten til vinkelen , siden rotasjon
i forhold til polen mot klokken, og vinkelen
er avsatt med klokken. Deretter
.

Derfor,
og så
.

Spesielle tilfeller for å bestemme MCU

1.
. Deretter
, og derfor eksisterer ikke MCU. I dette tilfellet beveger kroppen seg translasjonsmessig, dvs. hastighetene og akselerasjonene til alle punkter i kroppen er like.

2.
. Deretter
,
. Dette betyr at MCU ligger i skjæringspunktet mellom handlingslinjene for akselerasjonene til kroppens punkter (fig. 68, EN).

3.
. Deretter,
,
. Dette betyr at MCU ligger i skjæringspunktet mellom perpendikulærer til akselerasjonene av punkter i kroppen (fig. 68, b).

4.
. Deretter
,

. Dette betyr at MCU ligger i skjæringspunktet mellom stråler trukket til akselerasjonene av punkter i kroppen i en vinkel (fig. 68, V).

Fra de vurderte spesielle tilfellene kan vi konkludere: hvis vi aksepterer poenget
utenfor polen, så bestemmes akselerasjonen til ethvert punkt i en flat figur av akselerasjonen i rotasjonsbevegelse rundt MCU:

. (60)

Kompleks punktbevegelse en bevegelse der et punkt samtidig deltar i to eller flere bevegelser kalles. Med en slik bevegelse bestemmes posisjonen til punktet i forhold til de bevegelige og relativt stasjonære referansesystemene.

Bevegelsen av et punkt i forhold til en bevegelig referanseramme kalles relativ bevegelse av et punkt . Vi er enige om å angi parametrene for relativ bevegelse
.

Bevegelsen til det punktet av det bevegelige referansesystemet som det bevegelige punktet i forhold til det stasjonære referansesystemet for tiden sammenfaller kalles bærbar bevegelse av punktet . Vi er enige om å angi parametrene for bærbar bevegelse
.

Bevegelsen av et punkt i forhold til en fast referanseramme kalles absolutt (kompleks) punktbevegelse . Vi er enige om å angi parametrene for absolutt bevegelse
.

Som et eksempel på kompleks bevegelse kan vi vurdere bevegelsen til en person i et kjøretøy i bevegelse (trikk). I dette tilfellet er den menneskelige bevegelsen knyttet til det bevegelige koordinatsystemet - trikken og til det faste koordinatsystemet - jorden (veien). Deretter, basert på definisjonene gitt ovenfor, er bevegelsen til en person i forhold til trikken relativ, bevegelsen sammen med trikken i forhold til bakken er bærbar, og bevegelsen til en person i forhold til bakken er absolutt.

Vi vil bestemme plasseringen av punktet
radier - vektorer i forhold til bevegelsen
og ubevegelig
koordinatsystemer (fig. 69). La oss introdusere følgende notasjon: - radiusvektor som definerer posisjonen til punktet
i forhold til det bevegelige koordinatsystemet
,
;- radiusvektor som bestemmer posisjonen til begynnelsen av det bevegelige koordinatsystemet (punkt ) (prikker );- radius – en vektor som bestemmer posisjonen til et punkt
i forhold til et fast koordinatsystem
;
,.

La oss få betingelser (begrensninger) som tilsvarer relative, bærbare og absolutte bevegelser.

1. Når vi vurderer relativ bevegelse, vil vi anta at poenget
beveger seg i forhold til det bevegelige koordinatsystemet
, og selve det bevegelige koordinatsystemet
i forhold til et fast koordinatsystem
beveger seg ikke.

Deretter koordinatene til punktet
vil endre seg i relativ bevegelse, men ortvektorene til det bevegelige koordinatsystemet vil ikke endres i retning:

,

,

.

2. Når vi vurderer bærbar bevegelse, vil vi anta at koordinatene til punktet
i forhold til det bevegelige koordinatsystemet er faste, og punktet beveger seg sammen med det bevegelige koordinatsystemet
relativt stasjonær
:

,

,

,.

3. Med absolutt bevegelse beveger punktet seg også relativt
og sammen med koordinatsystemet
relativt stasjonær
:

Da har uttrykkene for hastighetene, tatt i betraktning (27), formen

,
,

Ved å sammenligne disse avhengighetene får vi uttrykket for absolutt hastighet:
. (61)

Vi fikk et teorem om addisjon av hastighetene til et punkt i kompleks bevegelse: den absolutte hastigheten til et punkt er lik den geometriske summen av de relative og bærbare hastighetskomponentene.

Ved å bruke avhengighet (31) får vi uttrykk for akselerasjoner:

,

Ved å sammenligne disse avhengighetene får vi et uttrykk for absolutt akselerasjon:
.

Vi fant at den absolutte akselerasjonen til et punkt ikke er lik den geometriske summen av de relative og bærbare akselerasjonskomponentene. La oss bestemme den absolutte akselerasjonskomponenten i parentes for spesielle tilfeller.

1. Bærbar translasjonsbevegelse av punktet
. I dette tilfellet, aksene til det bevegelige koordinatsystemet
beveger seg hele tiden parallelt med seg selv, da.

,

,

,
,
,
, Deretter
. Endelig får vi

. (62)

Hvis den bærbare bevegelsen til et punkt er translasjonell, er den absolutte akselerasjonen til punktet lik den geometriske summen av de relative og bærbare komponentene i akselerasjonen.

2. Den bærbare bevegelsen av punktet er ikke-translasjonell. Dette betyr at i dette tilfellet det bevegelige koordinatsystemet
roterer rundt den momentane rotasjonsaksen med vinkelhastighet (Fig. 70). La oss betegne punktet på slutten av vektoren gjennom . Deretter, ved å bruke vektormetoden for å spesifisere (15), får vi hastighetsvektoren til dette punktet
.

På den andre siden,
. Ved å likestille høyresiden av disse vektorlikhetene får vi:
. Fortsetter vi på samme måte for de gjenværende enhetsvektorene, får vi:
,
.

I det generelle tilfellet er den absolutte akselerasjonen til et punkt lik den geometriske summen av de relative og bærbare akselerasjonskomponentene pluss det doblede vektorproduktet av vinkelhastighetsvektoren til den bærbare bevegelsen og den lineære hastighetsvektoren til den relative bevegelsen.

Det doble vektorproduktet av vinkelhastighetsvektoren til den bærbare bevegelsen og den lineære hastighetsvektoren til den relative bevegelsen kalles Coriolis akselerasjon og er utpekt

. (64)

Coriolis-akselerasjon karakteriserer endringen i relativ hastighet i translasjonsbevegelse og endringen i translasjonshastighet i relativ bevegelse.

Ledet
i henhold til vektorproduktregelen. Coriolis-akselerasjonsvektoren er alltid rettet vinkelrett på planet som dannes av vektorene Og , på en slik måte at man ser fra enden av vektoren
, se svingen Til , gjennom den minste vinkelen, mot klokken.

Coriolis-akselerasjonsmodulen er lik.

Rotasjonsvinkel, vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

Rotasjon av et stivt legeme rundt en fast akse Det kalles en slik bevegelse der to punkter på kroppen forblir ubevegelige under hele bevegelsestiden. I dette tilfellet forblir også alle punkter på kroppen som ligger på en rett linje som går gjennom dens faste punkter ubevegelige. Denne linjen kalles kroppens rotasjonsakse.

Hvis EN Og I- faste punkter på kroppen (fig. 15 ), da er rotasjonsaksen aksen Oz, som kan ha hvilken som helst retning i rommet, ikke nødvendigvis vertikalt. En akse retning Oz blir tatt som positivt.

Vi tegner et fast plan gjennom rotasjonsaksen Av og mobil P, festet til en roterende kropp. La i det første øyeblikket av tiden begge flyene falle sammen. Så på et tidspunkt t posisjonen til det bevegelige planet og selve det roterende legemet kan bestemmes av den dihedrale vinkelen mellom planene og den tilsvarende lineære vinkelen φ mellom rette linjer plassert i disse planene og vinkelrett på rotasjonsaksen. Hjørne φ kalt kroppsrotasjonsvinkel.

Plasseringen av kroppen i forhold til det valgte referansesystemet er fullstendig bestemt i enhver

øyeblikk i tid, hvis ligningen er gitt φ =f(t) (5)

Hvor f(t)- en hvilken som helst to ganger differensierbar funksjon av tid. Denne ligningen kalles ligning for rotasjonen av et stivt legeme rundt en fast akse.

Et legeme som roterer rundt en fast akse har én frihetsgrad, siden dets posisjon bestemmes ved å spesifisere bare én parameter - vinkelen φ .

Hjørne φ anses som positivt hvis det plottes mot klokken, og negativt i motsatt retning sett fra aksens positive retning Oz. Banene til punktene til et legeme under dets rotasjon rundt en fast akse er sirkler plassert i plan vinkelrett på rotasjonsaksen.

For å karakterisere rotasjonsbevegelsen til et stivt legeme rundt en fast akse, introduserer vi begrepene vinkelhastighet og vinkelakselerasjon. Algebraisk vinkelhastighet av kroppen til enhver tid kalles den første deriverte med hensyn til tid for rotasjonsvinkelen i dette øyeblikket, dvs. dφ/dt = φ. Det er en positiv størrelse når kroppen roterer mot klokken, siden rotasjonsvinkelen øker med tiden, og negativ når kroppen roterer med klokken, fordi rotasjonsvinkelen avtar.

Vinkelhastighetsmodulen er betegnet med ω. Deretter ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensjonen på vinkelhastigheten er satt i samsvar med (6)

[ω] = vinkel/tid = rad/s = s -1.

I engineering er vinkelhastighet rotasjonshastigheten uttrykt i omdreininger per minutt. På 1 minutt vil kroppen rotere gjennom en vinkel 2πп, Hvis P- antall omdreininger per minutt. Ved å dele denne vinkelen med antall sekunder i et minutt får vi: (7)

Algebraisk vinkelakselerasjon av kroppen kalles den førstederiverte med hensyn til tid av den algebraiske hastigheten, dvs. andrederiverte av rotasjonsvinkelen d 2 φ/dt 2 = ω. La oss betegne vinkelakselerasjonsmodulen ε , Deretter ε=|φ| (8)

Dimensjonen til vinkelakselerasjon er hentet fra (8):

[ε ] = vinkelhastighet/tid = rad/s 2 = s -2

Hvis φ’’>0 på φ’>0 , så øker den algebraiske vinkelhastigheten med tiden, og derfor roterer kroppen akselerert for øyeblikket i positiv retning (mot klokken). På φ’’<0 Og φ’<0 kroppen roterer raskt i negativ retning. Hvis φ’’<0 på φ’>0 , da har vi langsom rotasjon i positiv retning. På φ’’>0 Og φ’<0 , dvs. langsom rotasjon skjer i negativ retning. Vinkelhastighet og vinkelakselerasjon i figurene er avbildet med buepiler rundt rotasjonsaksen. Buepilen for vinkelhastighet indikerer rotasjonsretningen til kroppene;

For akselerert rotasjon har buepilene for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon de samme retningene; for langsom rotasjon er retningene deres motsatte.

Spesielle tilfeller av rotasjon av en stiv kropp

Rotasjon sies å være ensartet hvis ω=const, φ= φ’t

Rotasjonen vil være jevn hvis ε=konst. φ’= φ’ 0 + φ’’t og

Generelt, hvis φ’’ ikke alltid,

Hastigheter og akselerasjoner av kroppspunkter

Ligningen for rotasjonen av et stivt legeme rundt en fast akse er kjent φ= f(t)(Fig. 16). Avstand s poeng M i et fly i bevegelse P langs en sirkelbue (punktbane), målt fra punktet M o, plassert i et fast plan, uttrykt gjennom vinkelen φ avhengighet s=hφ, Hvor h-radius av sirkelen som punktet beveger seg langs. Det er den korteste avstanden fra et punkt M til rotasjonsaksen. Dette kalles noen ganger rotasjonsradiusen til et punkt. Ved hvert punkt av kroppen forblir rotasjonsradiusen uendret når kroppen roterer rundt en fast akse.

Algebraisk hastighet til et punkt M bestemt av formelen v τ =s’=hφ Punkthastighetsmodul: v=hω(9)

Hastighetene til kroppspunkter når de roterer rundt en fast akse er proporsjonale med deres korteste avstander til denne aksen. Proporsjonalitetskoeffisienten er vinkelhastigheten. Hastighetene til punktene er rettet langs tangenter til banene og er derfor vinkelrett på rotasjonsradiene. Hastighetene til kroppspunkter plassert på et rett linjesegment OM, i samsvar med (9) er fordelt etter en lineær lov. De er innbyrdes parallelle, og endene deres er plassert på den samme rette linjen som går gjennom rotasjonsaksen. Vi dekomponerer akselerasjonen til et punkt i tangentielle og normale komponenter, dvs. a=a τ +a nτ Tangentielle og normale akselerasjoner beregnes ved hjelp av formler (10)

siden for en sirkel er krumningsradius p=t(Fig. 17 ). Dermed,

Tangent, normal og total akselerasjon av punkter, samt hastigheter, er også fordelt i henhold til en lineær lov. De avhenger lineært av punktenes avstander til rotasjonsaksen. Normal akselerasjon rettes langs sirkelens radius mot rotasjonsaksen. Retningen til den tangentielle akselerasjonen avhenger av tegnet til den algebraiske vinkelakselerasjonen. På φ’>0 Og φ’’>0 eller φ’<0 Og φ’<0 vi har akselerert rotasjon av kroppen og retninger til vektorer en τ Og v matche opp. Hvis φ’ Og φ’" har forskjellige tegn (langsom rotasjon), da en τ Og v rettet mot hverandre.

Etter å ha utpekt α vinkelen mellom den totale akselerasjonen til et punkt og dets rotasjonsradius, har vi

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

siden normal akselerasjon en s alltid positiv. Hjørne EN det samme for alle punkter på kroppen. Det bør utsettes fra akselerasjon til rotasjonsradius i retning av buepilen for vinkelakselerasjon, uavhengig av rotasjonsretningen til det stive legemet.

Vektorer for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon

La oss introdusere begrepene vektorer for vinkelhastighet og vinkelakselerasjon til et legeme. Hvis TIL er enhetsvektoren til rotasjonsaksen rettet i dens positive retning, deretter vinkelhastighetsvektorene ώ og vinkelakselerasjon ε bestemt av uttrykk (12)

Fordi k er en vektorkonstant i størrelse og retning, så av (12) følger det at

ε=dώ/dt(13)

På φ’>0 Og φ’’>0 vektorretninger ώ Og ε matche opp. De er begge rettet mot den positive siden av rotasjonsaksen Oz(Fig. 18.a)Hvis φ’>0 Og φ’’<0 , så er de rettet i motsatte retninger (fig. 18.b ). Vinkelakselerasjonsvektoren faller sammen i retning med vinkelhastighetsvektoren under akselerert rotasjon og er motsatt av den under langsom rotasjon. Vektorer ώ Og ε kan avbildes når som helst på rotasjonsaksen. De er bevegelige vektorer. Denne egenskapen følger av vektorformlene for hastigheter og akselerasjoner av kroppspunkter.

Kompleks punktbevegelse

Enkle konsepter

For å studere noen mer komplekse bevegelsestyper av en stiv kropp, er det tilrådelig å vurdere den enkleste komplekse bevegelsen til et punkt. I mange problemer må bevegelsen til et punkt betraktes i forhold til to (eller flere) referansesystemer som beveger seg i forhold til hverandre. Dermed må bevegelsen til et romfartøy som beveger seg mot månen vurderes samtidig både i forhold til jorden og i forhold til månen, som beveger seg i forhold til jorden. Enhver bevegelse av et punkt kan betraktes som kompleks, bestående av flere bevegelser. For eksempel kan bevegelsen til et skip langs en elv i forhold til jorden betraktes som kompleks, bestående av bevegelse gjennom vannet og sammen med det strømmende vannet.

I det enkleste tilfellet består den komplekse bevegelsen av et punkt av relative og translasjonsbevegelser. La oss definere disse bevegelsene. La oss ha to referansesystemer som beveger seg i forhold til hverandre. Hvis et av disse systemene O l x 1 y 1 z 1(Fig. 19 ) tatt som det viktigste eller stasjonære (dets bevegelse i forhold til andre referansesystemer vurderes ikke), så det andre referansesystemet Oxyz vil bevege seg i forhold til den første. Bevegelse av et punkt i forhold til en bevegelig referanseramme Oxyz kalt slektning. Egenskapene til denne bevegelsen, som bane, hastighet og akselerasjon, kalles slektning. De er angitt med indeksen r; for hastighet og akselerasjon v r , a r . Bevegelse av et punkt i forhold til hoved- eller fastsystemreferanserammen O 1 x 1 y 1 z 1 kalt absolutt(eller kompleks ). Det kalles også noen ganger sammensatte bevegelse. Banen, hastigheten og akselerasjonen til denne bevegelsen kalles absolutt. Hastigheten og akselerasjonen av absolutt bevegelse er angitt med bokstavene v, a ingen indekser.

Den bærbare bevegelsen til et punkt er bevegelsen den gjør sammen med en bevegelig referanseramme, som et punkt som er stivt festet til dette systemet i det aktuelle tidspunktet. På grunn av relativ bevegelse faller et bevegelig punkt til forskjellige tider sammen med forskjellige punkter på kroppen S, som det bevegelige referansesystemet er festet til. Den bærbare hastigheten og den bærbare akselerasjonen er hastigheten og akselerasjonen til det punktet på kroppen S, som bevegelsespunktet for øyeblikket sammenfaller med. Bærbar hastighet og akselerasjon angir v e, a e.

Hvis banene til alle punkter på kroppen S, festet til det bevegelige referansesystemet, avbildet i figuren (fig. 20), så får vi en familie av linjer - en familie av baner for den bærbare bevegelsen til et punkt M. På grunn av punktets relative bevegelse M i hvert øyeblikk er den på en av banene til bærbar bevegelse. Punktum M kan falle sammen med bare ett punkt på hver av banene til denne familien av overføringsbaner. I denne forbindelse antas det noen ganger at det ikke er noen baner for bærbar bevegelse, siden det er nødvendig å betrakte linjer som baner for bærbar bevegelse, der bare ett punkt faktisk er et punkt i banen.

I kinematikken til et punkt ble bevegelsen til et punkt i forhold til et hvilket som helst referansesystem studert, uavhengig av om dette referansesystemet beveger seg i forhold til andre systemer eller ikke. La oss supplere denne studien ved å vurdere kompleks bevegelse, i det enkleste tilfellet bestående av relativ og figurativ bevegelse. En og samme absolutte bevegelse, som velger forskjellige bevegelige referanserammer, kan anses å bestå av forskjellige bærbare og følgelig relative bevegelser.

Hastighetstillegg

La oss bestemme hastigheten på den absolutte bevegelsen til et punkt hvis hastighetene til de relative og bærbare bevegelsene til dette punktet er kjent. La punktet bare gjøre en relativ bevegelse i forhold til den bevegelige referanserammen Oxyz og i tidspunktet t innta posisjon M på banen til den relative bevegelsen (fig. 20). På tidspunktet t+t, på grunn av relativ bevegelse, vil punktet være i posisjon M 1, etter å ha flyttet MM 1 langs banen til relativ bevegelse. La oss anta at poenget er involvert Oxyz og med en relativ bane vil den bevege seg langs en eller annen kurve MM 2. Hvis et punkt deltar samtidig i både relative og bærbare bevegelser, så i tid A; hun vil flytte til MM" langs banen til absolutt bevegelse og i tidens øyeblikk t+Kl vil ta stillingen M". Hvis tid På lite og så gå til grensen kl På, med en tendens til null, så kan små forskyvninger langs kurver erstattes av segmenter av akkorder og tas som forskyvningsvektorer. Legger vi til vektorforskyvningene, får vi

I denne forbindelse forkastes små mengder av høyere orden, og har en tendens til null ved På, har en tendens til null. Når vi passerer til grensen, har vi (14)

Derfor vil (14) ha formen (15)

Det såkalte hastighetsaddisjonsteoremet oppnås: hastigheten til den absolutte bevegelsen til et punkt er lik vektorsummen av hastighetene til de bærbare og relative bevegelsene til dette punktet. Siden hastigheten til de bærbare og relative bevegelsene i det generelle tilfellet ikke er vinkelrett, så (15')

Relatert informasjon.