Uttrykk en variabel fra en online kalkulator for ligninger. Løs ligninger med brøker online. Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:

1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.

For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetode

Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen på ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y. La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved hjelp av term-for-ledd addisjon (subtraksjon) metoden.

Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trekk den andre fra den første likningen for å bli kvitt variabelen x. Løs den lineære likningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.

Bruken av ligninger er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket brukte ligninger i oldtiden, og siden har bruken bare økt. Potens- eller eksponentialligninger er likninger der variablene er i potenser og grunntallet er et tall. For eksempel:

Å løse en eksponentiell ligning kommer ned til 2 ganske enkle trinn:

1. Du må sjekke om grunnlaget for ligningen til høyre og venstre er like. Hvis årsakene ikke er de samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.

2. Etter at basene er blitt like, setter vi likhetstegn mellom gradene og løser den resulterende nye ligningen.

Anta at vi får en eksponentiell ligning av følgende form:

Det er verdt å starte løsningen av denne ligningen med en analyse av grunnlaget. Basene er forskjellige - 2 og 4, men for å løse det trenger vi at de er like, så vi transformerer 4 ved å bruke følgende formel -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Vi legger til den opprinnelige ligningen:

La oss ta det ut av parentes \

La oss uttrykke \

Siden gradene er de samme, forkaster vi dem:

Svar: \

Hvor kan jeg løse en eksponentiell ligning ved å bruke en online løser?

Du kan løse ligningen på vår nettside https://site. Den gratis online løseren lar deg løse online ligninger av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjoner og lære hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Bli med i gruppen vår, vi er alltid glade for å hjelpe deg.

Ligninger

Hvordan løse likninger?

I denne delen vil vi huske (eller studere, avhengig av hvem du velger) de mest elementære ligningene. Så hva er ligningen? På menneskelig språk er dette et slags matematisk uttrykk hvor det er et likhetstegn og et ukjent. Som vanligvis betegnes med bokstaven "X". Løs ligningen- dette er å finne slike verdier av x som, når de erstattes med opprinnelig uttrykk vil gi oss riktig identitet. La meg minne deg på at identitet er et uttrykk som er hevet over tvil selv for en person som absolutt ikke er belastet med matematisk kunnskap. Som 2=2, 0=0, ab=ab osv. Så hvordan løser man ligninger? La oss finne ut av det.

Det er alle slags ligninger (jeg er overrasket, ikke sant?). Men all deres uendelige variasjon kan deles inn i bare fire typer.

4. Annen.)

Alt det andre, selvfølgelig, mest av alt, ja...) Dette inkluderer kubikk, eksponentiell, logaritmisk, trigonometrisk og alle mulige andre. Vi vil jobbe tett med dem i de aktuelle delene.

Jeg vil si med en gang at noen ganger ligningene til den første tre typer de vil jukse deg så mye at du ikke en gang vil gjenkjenne dem... Ingenting. Vi vil lære å slappe av dem.

Og hvorfor trenger vi disse fire typene? Og så hva lineære ligninger løst på en måte torget andre, brøkrasjonaler - tredje, EN hvile De tør ikke i det hele tatt! Vel, det er ikke det at de ikke kan bestemme seg i det hele tatt, det er at jeg tok feil med matematikk.) Det er bare at de har sine egne spesielle teknikker og metoder.

Men for enhver (jeg gjentar - for noen!) ligninger gir et pålitelig og feilsikkert grunnlag for løsning. Fungerer overalt og alltid. Dette grunnlaget - Høres skummelt ut, men det er veldig enkelt. Og veldig (Veldig!) viktig.

Faktisk består løsningen av ligningen av nettopp disse transformasjonene. 99 % Svar på spørsmålet: " Hvordan løse likninger?" ligger nettopp i disse transformasjonene. Er hintet klart?)

Identiske transformasjoner av ligninger.

I noen ligninger For å finne det ukjente, må du transformere og forenkle det originale eksemplet. Og slik at når utseendet endrer seg essensen av ligningen har ikke endret seg. Slike transformasjoner kalles identisk eller tilsvarende.

Merk at disse transformasjonene gjelder spesielt til ligningene. Det er også identitetstransformasjoner i matematikk uttrykkene. Dette er et annet tema.

Nå skal vi gjenta alt, alt, alt grunnleggende identiske transformasjoner av ligninger.

Grunnleggende fordi de kan brukes på noen ligninger - lineære, kvadratiske, brøkdeler, trigonometriske, eksponentielle, logaritmiske, etc. og så videre.

Første identitetstransformasjon: du kan legge til (subtrahere) til begge sider av en hvilken som helst ligning noen(men ett og samme!) tall eller uttrykk (inkludert et uttrykk med ukjent!). Dette endrer ikke essensen av ligningen.

Forresten, du brukte hele tiden denne transformasjonen, du trodde bare at du overfører noen termer fra en del av ligningen til en annen med et fortegnsskifte. Type:

Saken er kjent, vi flytter de to til høyre, og vi får:

Egentlig deg tatt bort fra begge sider av ligningen er to. Resultatet er det samme:

x+2 - 2 = 3 - 2

Å flytte termer til venstre og høyre med skifte av tegn er ganske enkelt en forkortet versjon av den første identitetstransformasjonen. Og hvorfor trenger vi så dyp kunnskap? - du spør. Ingenting i ligningene. For guds skyld, tål det. Bare ikke glem å endre skiltet. Men i ulikheter kan vanen med overføring føre til en blindvei...

Andre identitetstransformasjon: begge sider av ligningen kan multipliseres (deltes) med det samme ikke-null tall eller uttrykk. Her dukker det allerede opp en forståelig begrensning: å multiplisere med null er dumt, og å dele er helt umulig. Dette er transformasjonen du bruker når du løser noe kult som

Det er klart X= 2. Hvordan fant du det? Ved valg? Eller gikk det opp for deg? For ikke å velge og ikke vente på innsikt, må du forstå at du er rettferdig delt begge sider av ligningen med 5. Ved deling av venstre side (5x), ble de fem redusert, og etterlot ren X. Det er akkurat det vi trengte. Og når man deler høyre side av (10) med fem, blir resultatet selvfølgelig to.

Det er alt.

Det er morsomt, men disse to (bare to!) identiske transformasjonene er grunnlaget for løsningen alle matematikkens ligninger. Wow! Det er fornuftig å se på eksempler på hva og hvordan, ikke sant?)

Eksempler på identiske transformasjoner av ligninger. Hovedproblemer.

La oss begynne med først identitetstransformasjon. Overfør venstre-høyre.

Et eksempel for de yngre.)

La oss si at vi må løse følgende ligning:

3-2x=5-3x

La oss huske trolldommen: "med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre!" Denne trollformelen er instruksjoner for bruk av den første identitetstransformasjonen.) Hvilket uttrykk med X er til høyre? 3x? Svaret er feil! På vår høyre side - 3x! Minus tre x! Derfor, når du flytter til venstre, vil skiltet endres til pluss. Det vil vise seg:

3-2x+3x=5

Så X-ene ble samlet i en haug. La oss komme inn på tallene. Det er en treer til venstre. Med hvilket skilt? Svaret "med ingen" godtas ikke!) Foran de tre er det faktisk ingenting som trekkes. Og dette betyr at før de tre er det Plus. Så matematikerne var enige. Ingenting er skrevet, noe som betyr Plus. Derfor vil trippelen overføres til høyre side med minus. Vi får:

-2x+3x=5-3

Det er bare småtterier igjen. Til venstre - ta med lignende, til høyre - tell. Svaret kommer umiddelbart:

I dette eksemplet var én identitetstransformasjon nok. Den andre var ikke nødvendig. Vel ok.)

Et eksempel for eldre barn.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

I denne videoen vil vi analysere hele settet lineære ligninger, som løses ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

Utvid parenteser, hvis noen;
Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

Først av alt, må du utvide parentesene, hvis det er noen (som i vårt siste eksempel);
Kombiner deretter lignende
Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytt alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel gi lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med selve enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

Utvid parentesene, hvis noen.
Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
Vi presenterer lignende termer.
Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid; det er visse finesser og triks i den, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette trinnet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker kun om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet av forskjellige tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatte. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Å forstå dette enkle faktum vil hjelpe deg å unngå å gjøre dumme og sårende feil på videregående, når det å gjøre slike ting tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer komplekse og når man utfører ulike transformasjoner vil en kvadratisk funksjon vises. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon under transformasjonsprosessen helt sikkert kanselleres.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens av elementære transformasjoner, hvor manglende evne til tydelig og kompetent å utføre enkle handlinger fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er følgende: så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva en algebraisk sum er. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For å løse slike oppgaver må vi legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

Åpne brakettene.
Separate variabler.
Ta med lignende.
Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

Bli kvitt brøker.
Åpne brakettene.
Separate variabler.
Ta med lignende.
Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi har fått den endelige løsningen, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Viktige punkter

Nøkkelfunn er:

Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
Evne til å åpne parentes.
Ikke bekymre deg hvis du ser kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i prosessen med ytterligere transformasjoner vil de avta.
Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!

En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, tar formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.

For eksempel, alle ligninger:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.

Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi riktig likhet 3 2 +7 = 13. Dette betyr at verdien x = 2 er løsningen eller roten av ligningen.

Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 2 +7 ≠ 13. Dette betyr at verdien x = 3 ikke er en løsning eller en rot av ligningen.

Å løse eventuelle lineære ligninger reduseres til å løse formens ligninger

ax + b = 0.

La oss flytte frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran b til det motsatte, vi får

Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .

Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.

La oss flytte 2 fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran 2 til det motsatte, vi får
3x = 11 – 2.

La oss gjøre subtraksjonen, da
3x = 9.

For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, altså
x = 9:3.

Dette betyr at verdien x = 3 er løsningen eller roten av ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Løsningen til denne likningen er et hvilket som helst tall.

Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

La oss utvide parentesene:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Her er noen lignende termer:
0x = 0.

Svar: x - et hvilket som helst tall.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0x = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

La oss gruppere termer som inneholder ukjente på venstre side, og gratis termer på høyre side:
x – x = 5 – 8.

Her er noen lignende termer:
0х = ‒ 3.

Svar: ingen løsninger.

På Figur 1 viser et diagram for å løse en lineær ligning

La oss lage et generelt skjema for å løse likninger med én variabel. La oss vurdere løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. Anta at vi må løse ligningen

1) Multipliser alle ledd i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.

2) Etter reduksjon får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) For å skille vilkår som inneholder ukjente og gratis vilkår, åpne parentesene:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) La oss gruppere i den ene delen termene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) La oss presentere lignende termer:
- 22x = - 154.

6) Del med – 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roten av ligningen syv.

Generelt slik ligninger kan løses ved hjelp av følgende skjema:

a) bringe ligningen til sin heltallsform;

b) åpne brakettene;

c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og de frie begrepene i den andre;

d) ta med lignende medlemmer;

e) løs en ligning av formen aх = b, som ble oppnådd etter å ha brakt lignende ledd.

Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, må du ikke starte fra den første, men fra den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1. 3) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

La oss se på å løse noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Svar: - 0,125

Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen