Y er heltallsdelen av x. Legg til og trekk fra i stedet for å multiplisere. Noen egenskaper ved antie

Studerer algebra i 10. klasse ved å bruke læreboken til A.G. Mordkovich og P.V. Semenov, studenter møtte først funksjonen til heltallsdelen av tallet y = [x]. Noen var interessert i det, men det var veldig lite teoretisk informasjon, og til og med oppgaver som inneholdt en heltallsdel av et tall. For å støtte barnas interesse for emnet, oppsto ideen om å lage denne håndboken.

Gjennomføringen av kursopplegget er tilrettelagt for 1. halvdel av 10. trinn for studenter i fysikk og matematikk.

Formålet med kurset: å utvide studentenes kunnskap om matematiske funksjoner og utvikle evnen til å bruke kunnskap om funksjoner ved løsning av likninger og ulikheter av ulik grad av kompleksitet. Den presenterte læreboken inneholder teoretisk informasjon av referansekarakter. Dette er informasjon om funksjonen til heltallsdelen av tallet y = [x] og funksjonen til brøkdelen av tallet y = (x), deres grafer. Transformasjonene av grafer som inneholder en heltallsdel av et tall er forklart. Løsninger på de enkleste ligningene og ulikhetene som inneholder et heltall eller en brøkdel av et tall vurderes. I tillegg til metoder for å løse andregrads-, brøk- og rasjonelle ligninger og ulikheter, ligningssystemer som inneholder et heltall eller en brøkdel av et tall.

Manualen inneholder oppgaver for uavhengig avgjørelse.

Håndboken inneholder følgende punkter:

Introduksjon.

§1. Introduksjon til funksjonene y = [x] og y = (x).

§2. Ligninger som inneholder en brøk- eller heltallsdel av et tall.

2.1 De enkleste ligningene.

2.2 Løse ligninger på formen = g (x).

2.3 Grafisk metode for å løse likninger.

2.4 Løse ligninger ved å introdusere en ny variabel.

2.5 Ligningssystemer.

§3. Konvertering av grafer for funksjoner som inneholder en heltallsdel av et tall.

3.1 Plotte grafer for funksjoner på formen y =

3.2 Plotte grafer av funksjoner på formen y = f ([x]).

§4. Ulikheter som inneholder et heltall eller en brøkdel av et tall.

§5. Heltall og brøkdeler av tall i OL-oppgaver.

Svar på oppgaver for selvstendig løsning.

Manualen sikrer utvikling av ideer om funksjonen og dannelsen av anvendte ferdigheter.

Rettet til lærere som løser problemer med spesialisert utdanning.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Rozina T.A

Problemer som inneholder en helhet

eller brøkdel av et tall

Mezhdurechensk 2011

Kjære videregående elever!

Du er i ferd med å starte en dybdestudie av emnet "Heltall og brøkdeler av et tall." Denne håndboken lar deg utvide kunnskapen din om matematiske funksjoner når du løser likninger og ulikheter av ulik grad av kompleksitet. Den presenterte håndboken inneholder teoretisk informasjon av referansekarakter, forklarer transformasjoner av grafer som inneholder et heltall eller brøkdel av et tall, og vurderer løsninger på de enkleste ligningene. Samt metoder for å løse andregrads-, brøkrasjonelle likninger og ulikheter, ligningssystemer. Manualen inneholder oppgaver for selvstendig løsning. Opplæringen vil hjelpe deg å systematisere og generalisere kunnskapen du har tilegnet deg om emnet "Heltall og brøkdeler av et tall."

Lykke til!

§1. Introduksjon til funksjonene y = [x] og y = (x)………………………4

§2. Ligninger som inneholder et heltall eller en brøkdel av et tall......7

1. De enkleste ligningene…………………………………………7

1. Løse ligninger på formen = g(x)…………………………..8.

2.3 Grafisk metode for å løse ligninger………………10

1. Løse ligninger ved å introdusere en ny variabel……11

1. Ligningssystemer……………………………………………….12

§3. Transformasjoner av grafer av funksjoner som inneholder et heltall

En del av nummeret…………………………………………………………………....13

1. 3.1 Plotte grafer for funksjoner på formen y = …………………13
2. 3.2 Plotte grafer for funksjoner på formen y = f([x])……………15

§4. Ulikheter som inneholder et heltall eller brøkdel av et tall...17

……

§5. Heltall eller brøkdel av et tall i Olympiadeoppgaver......20

Svar på oppgaver for selvstendig løsning…………………23

Referanser……………………………………………………………………………… 25

§1. Introduksjon til funksjoner y = [x]

og y = (x)

Historie og definisjon av heltalls- og brøkdeler av et tall

Konseptet med en heltallsdel av et tall ble introdusert av den tyske matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss (1771-1855), forfatter av Transactions on Number Theory. Gauss avanserte også teorien om spesielle funksjoner, serier, numeriske metoder, løse problemer med matematisk fysikk, opprettet matematisk teori potensiell.

Heltallsdelen av et reelt tall x er merket med symbolet [x] eller E(x).

Symbol [x] ble introdusert av K. Gauss i 1808.

Funksjonen til heltallsdelen av et tall ble introdusert av Adrien Marie Legendre ( 1752-1833). - Fransk matematiker. Hans verk "An Experience in theory of Numbers", som ble utgitt i 1798, er et grunnleggende verk, et resultat av aritmetiske prestasjoner på 1700-tallet. Det er til ære for ham at funksjonen y = [x] kalles fransk ord"Antje" (fransk "entier" - helhet) betyr E(x).

Definisjon: heltallsdelen av et tall x er det største heltall c som ikke overstiger x, dvs. hvis [x] = c, c ≤ x

For eksempel: = 2;

[-1,5] = -2.

Ved å bruke noen verdier av funksjonen kan du bygge grafen. Det ser slik ut:

Egenskaper for funksjonen y = [x]:

1. Definisjonsdomenet til funksjonen y = [x] er settet av alle reelle tall R.

2. Området til funksjonen y = [x] er settet av alle heltall Z.

3. Funksjonen y = [x] er stykkevis konstant, ikke avtagende.

4. Generell funksjon.

5. Funksjonen er ikke periodisk.

6. Funksjonen er ikke begrenset.

7. Funksjonen har et knekkpunkt.

8. y=0, ved x.

For eksempel: (3,7) = 0,7

{-2,4} = 0,6.

La oss plotte funksjonen y = (x). Det ser slik ut:

De enkleste egenskapene til funksjonen y = (x):

1. Definisjonsdomenet til funksjonen y = (x) er settet av alle reelle tall R.

2. Verdiområdet til funksjonen y = (x) er et halvt intervall og y = (x) vil hjelpe deg med å fullføre noen oppgaver.

OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING

1) Bygg funksjonsgrafer:

A) y = [x] + 5;

B) y = (x) - 2;

B) y = |[x]|.

2) Hva kan tallene x og y være hvis:

A) [x + y] = y;

B) [x - y] = x;

B) (x - y) = x;

D) (x + y) = y.

3) Hva kan sies om størrelsen på forskjellen x - y hvis:

A) [x] = [y];

B) (x) = (y).

4) Hvilken er størst: [a] eller (a)?

§2. Ligninger som inneholder et heltall eller en brøkdel av et tall

2.1. De enkleste ligningene

De enkleste ligningene inkluderer ligninger av formen [x] = a.

Ligninger av denne typen løses per definisjon:

a ≤ x

Hvis a er et brøktall, vil en slik likning ikke ha noen røtter.

La oss se på et eksempel på en løsningen av disse ligningene:

[x + 1,3] = - 5. Per definisjon forvandles en slik ligning til en ulikhet:

5 ≤ x + 1,3

Dette vil være løsningen på ligningen.

Svar: x[-6.3;-5.3).

La oss vurdere en annen ligning som tilhører den enkleste kategorien:

[x+1] + [x-2]-[x+3] = 2

For å løse ligninger av denne typen, er det nødvendig å bruke egenskapen til heltallsfunksjonen: Hvis p er et heltall, så er likheten sann

[x ± p] = [x] ± p

Bevis: x = [x] + (x)

[ [x] + (x) ± p] = [ [x] + (x)] ± p

x = k + a, hvor k = [x], a = (x)

[k + a ± p] = [k + a] ± p = [x] ±p.

La oss løse den foreslåtte ligningen ved å bruke den påviste egenskapen: Vi får [x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 2. La oss ta med lignende ledd og få den enkleste ligningen [x] = 6. Løsningen er halvintervallet x = 1

La oss transformere ligningen til ulikhet: 1 ≤ x 2 -5x+6

x 2 - 5x + 6

x 2 - 5x + 6 ≥ 1 og løs det;

x 2 - 5x + 4

x 2 - 5x + 5>0

Vi får x(1;4)

Х(-∞;(5 -)/2][(5 +)/2; +∞),

X(1; (5-)/2][(5+)/2;4).

Svar: x(1; (5 -)/2][(5 +)/2;4).

Løs ligningene:

1) = 1

2) = 0,487

3) – = 2

4) [x 2] = 4

5) [x] 2 = 4

6) = - 5

7) [x 2 – x + 4] = 2

8) = - 1

9) = 4,2

10) (x) – [x] + x = 0

11) x + (x) + [x] = 0

12) [4x – 5] = 7

2.2 Løse ligninger på formen =g(x)

En ligning på formen =g(x) kan løses ved å redusere dem til ligningen

[x] = a.

La oss se på eksempel 1.

Løs ligningen

La oss erstatte høyre side av ligningen med en ny variabel a og uttrykke herfra x

11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,

Så = =

La oss nå løse ligningen for variabelen A .

La oss utvide tegnet til heltallsdelen per definisjon og skrive det ved å bruke systemet med ulikheter:

Fra intervallet velger vi alle heltallsverdier a: 3;4;5;6;7 og utfører omvendt erstatning:

Svar:

Eksempel 2.

Løs ligningen:

Del hvert tellerledd i parentes med nevneren:

Fra definisjonen av heltallsdelen av et tall følger det at (a+1) må være et heltall, som betyr at a er et heltall.Tallene a, (a+1), (a+2) er tre påfølgende tall, som betyr at ett av dem nødvendigvis er delelig med 2, og ett med 3. Derfor er produktet av tall delelig med 6.

Det er et heltall. Midler

La oss løse denne ligningen.

a(a+1)(a+2) - 6(a+1) = 0

(a+1)(a(a+2) - 6) = 0

a + 1 = 0 eller a 2 + 2a – 6 = 0

a = -1 D = 28

A = -1 ± (er ikke heltall).

Svar: -1.

Løs ligningen:

2.3. Grafisk måte å løse ligninger på

Eksempel 1. [x] = 2(x)

Løsning. La oss løse denne ligningen grafisk. La oss plotte funksjonene y = [x] og y = 2(x). La oss finne abscissene til skjæringspunktene deres.

Svar: x = 0; x = 1,5.

I noen tilfeller er det mer praktisk å bruke en graf for å finne ordinatene til skjæringspunktene til grafene. Bytt deretter inn den resulterende verdien i en av ligningene og finn de ønskede x-verdiene.

OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING

Løs ligningene grafisk:

1. (x) = 1 – x;
2. (x) + 1 = [x];
3. = 3x;
4. 3(x) = x;
5. (x) = 5x + 2;
6. [|x|] = x;
7. [|x|] = x + 4;
8. [|x|] = 3|x| - 1;
9. 2(x) – 1 = [x] + 2;

10) Hvor mange løsninger har ligningen 2(x) = 1?.

2.4. Løse ligninger ved å introdusere en ny variabel.

La oss se på det første eksemplet:

(x) 2-8(x)+7 = 0

Erstatt (x) med a, 0 a

en 2 - 8a + 7 = 0, som vi løser ved å bruke teoremet invers til Vietas teorem: De resulterende røttene er a = 7 og a = 1. La oss gjennomføre den omvendte substitusjonen og få to nye ligninger: (x) = 7 og (x) = 1. Begge disse ligningene har ingen røtter. Derfor har ligningen ingen løsninger.

Svar: det finnes ingen løsninger.

La oss vurdere en annen sakløse ligningen ved å introdusere en ny

variabel:

3[x]3 + 2[x]2 + 5[x]-10 = 0

La oss gjøre endringen [x] = a, az. og vi får en ny kubikkligning For 3 +2a 2 +5a-10=0. Vi finner den første roten av denne ligningen ved å velge: a=1 er roten av ligningen. Vi deler ligningen vår med (a-1). Vi får kvadratisk ligning 3a 2 + 5a +10=0. Denne ligningen har en negativ diskriminant, noe som betyr at den ikke har noen løsninger. Det vil si at a=1 er den eneste roten til ligningen. Vi utfører den omvendte substitusjonen: [x]=a=1. Vi løser den resulterende ligningen ved å definere heltallsdelen av et tall: x 2 + 8[x]-9 = 0

3(x-[x])2 + 2([x]-x)-16 = 0

[x] 4 -14 [x] 2 +25 = 0

(2(x)+1) 3 – (2(x)-1) 3 = 2

(x-[x]) 2 = 4

1. 5[x]2-7[x]-6 = 0
2. 6(x)2+(x)-1 =0
3. 1/([x]-1) - 1/([x]+1) = 3-[x]
4. 12(x)3 -25(x)2+(x)+2 = 0

10) 10[x] 3 -11[x] 2 -31[x]-10 = 0

2.5. Ligningssystemer.

Tenk på ligningssystemet:

2[x] + 3[y] = 8,

3[x] – [y] = 1.

Det kan løses enten ved addisjon eller substitusjon. La oss fokusere på den første metoden.

2[x] + 3[y] = 8,

9[x] – 3[y] = 3.

Etter å ha lagt til de to ligningene får vi 11[x] = 11. Derfor

[x] = 1. Sett inn denne verdien i den første ligningen i systemet og få

[y] = 2.

[x] = 1 og [y] = 2 er løsninger av systemet. Det er x= 18 år

18-x-y

3) 3[x] – 2(y) = 6

[x] 2 – 4(y) = 4

4) 3(x) – 4(y) = -6

6(x) – (y) 2 = 3.

§3. Transformasjoner av grafer av funksjoner som inneholder en heltallsdel av et tall

3.1. Plotte grafer for funksjoner på formen y =

La det være en graf for funksjonen y = f(x). For å plotte funksjonen y =, fortsett som følger:

1. Vi markerer skjæringspunktene til de rette linjene y = n, y = n + 1 med grafen til funksjonen y = f(x). Disse punktene tilhører grafen til funksjonen y =, siden ordinatene deres er heltall (i figuren er disse punktene A, B, C, D).

La oss plotte funksjonen y = [x]. For dette

1. Tegn rette linjer y = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ... og tenk på en av stripene som dannes av de rette linjene y = n, y = n + 1.
2. Vi markerer skjæringspunktene til linjene y = n, y = n + 1 med grafen

Funksjoner y = [x]. Disse punktene tilhører grafen til funksjonen y = [x],

Siden deres koordinater er heltall.

1. For å få de gjenværende punktene på grafen til funksjonen y = [x] i den angitte stripen, projiser den delen av grafen y = x som faller inn i stripen parallelt med O-aksen på til den rette linjen y = n, y = n + 1. Siden ethvert punkt M i denne delen av grafen til funksjonen y = x har en slik ordinat y 0 at n 0 0 ] = n
2. I hver annen stripe hvor det er punkter på grafen til funksjonen y = x, utføres konstruksjonen på lignende måte.

OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING

Tegn grafiske funksjoner:

3.2. Plotte en funksjon av formen y = f([x])

La en graf for en funksjon y = f(x) gis. Grafen til funksjonen y = f([x]) er konstruert som følger:

1. Tegn rette linjer x = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; ...
2. La oss vurdere en av stripene som dannes av linjene y = n og y = n + 1. Punktene A og B i skjæringspunktet mellom grafen til funksjonen y = f(x) med disse linjene tilhører grafen til funksjonen y = f([x]), siden abscissene deres er hele tall.

1. For å få de resterende punktene på grafen til funksjonen y = f([x]) i den indikerte stripen, projiserer vi den delen av grafen til funksjonen y = f(x) som faller i denne stripen parallelt med O-aksen y til den rette linjen y = f(n).
2. I hver annen stripe hvor det er punkter på grafen til funksjonen y = f(x), utføres konstruksjonen på lignende måte.

Vurder å plotte funksjonen y =. For å gjøre dette vil vi tegne en graf av funksjonen y = med en stiplet linje. Lengre

tall.

3. I annenhver stripe der det er punkter på grafen til funksjonen y =, utføres konstruksjonen på lignende måte.

OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING

Tegn grafiske funksjoner:

§4. Ulikheter som inneholder hele eller brøkdeler av et tall

La oss kalle følgende relasjoner hovedulikhetene med [x] og (x): [x] > b og (x) > b. En praktisk metode for å løse dem er den grafiske metoden. La oss forklare det med to eksempler.

Eksempel 1. [x] ≥ b

Løsning. La oss introdusere to funksjoner y = [x] og y = b og tegne grafene deres på samme tegning. Det er klart at da bør to tilfeller skilles: b – heltall og b – ikke-heltall.

Tilfelle 1. b – heltall

Det kan ses av figuren at grafene sammenfaller ved .

Derfor vil løsningen på ulikheten [x] ≥ b være strålen x ≥ b.

Tilfelle 2. b er ikke-heltall.

I dette tilfellet skjærer ikke grafene til funksjonene y = [x] og y = b hverandre. Men den delen av grafen y = [x] som ligger over linjen begynner på punktet med koordinater ([b] + 1; [b] + 1). Dermed er løsningen på ulikheten [x] ≥ b strålen x ≥ [b] + 1.

Andre typer grunnleggende ulikheter studeres på nøyaktig samme måte. Resultatene av disse studiene er oppsummert i tabellen nedenfor.

[X]

(x) ≥ b, (x) > b, b ≥1

Ingen løsninger

(x) ≥ b, (x) > b, b

(-∞; +∞)

(x) ≥ b, (x) > b, 0 ≤ b

n + b ≤ x n+b

(x) ≤ b, (x)

(-∞; +∞)

(x) ≤ b, (x)

Ingen løsninger

(x) ≤ b, (x)

n≤x≤b+n

La oss se på et eksempel løsninger på ulikhet:

La oss erstatte [x] med variabelen a, der a er et heltall.

>1; >0; >0; >0.

Ved å bruke intervallmetoden finner vi en > -4 [x] > -4

For å løse de oppnådde ulikhetene bruker vi den kompilerte tabellen:

x ≥ -3,

Svar: [-3;1).

OPPGAVER FOR UAVHENGIG LØSNING.

1) [x]

2) [x] ≤ 2

3) [x] > 2.3

4) [x] 2

5) [x] 2 -5 [x] -6

6) [x] 2 - 7 [x] + 6 0

7) 30[x]2 -121[x] + 80

8) [x] 2 + 3[x]-4 0

9) 3(x)2-8(x)-4

10) 110[x]2 -167[x] + 163 0

11) > 2

12) > 1

13) 0

14) 0

§5. Heltall eller brøkdel av et tall i OL-oppgaver

Eksempel 1.

Bevis at et tall er delelig med 5 for et hvilket som helst naturlig tall n.

Bevis: La n være et partall, dvs. n=2m, hvor m N,

Derfor.

Deretter dette uttrykket har formen: ,

de. den er delelig med 5 for en hvilken som helst partall n.

Hvis, n = 2m -1, da

da ser dette uttrykket slik ut:

Dette tallet er delelig med 5 for en hvilken som helst oddetall n.

Så dette uttrykket er delelig med 5 for enhver naturlig n.

Eksempel 2.

Finn alle primtall i formen, der n N.

Løsning. La være. Hvis n=3k så p=3k 2 . Dette tallet vil være primtall og lik 3, med k=1.

Hvis n=3k+1, k0, så

At

Dette tallet vil være primtall og lik 5 når k=1.

Hvis n = 3k + 2, k 0, så

Sammensatt tall for enhver kN.

Svar: 3;5

Eksempel 3.

Tall skrives i en rad som er multipler av to, tre og seks. Finn tallet som kommer på tusende plass i denne serien.

Løsning:

La x være det ønskede tallet, så er en tallrekke som er multipler av to i denne serien - , er multipler av tre - , er multipler av seks - . Men tall er multipler av seks, multipler av to og tre, dvs. vil telles tre ganger. Derfor, fra summen av tall. For multipler av to, tre, seks, må du trekke fra to ganger antallet multipler av seks. Da er ligningen for å løse det problemet:

La oss introdusere følgende notasjon:

Så a+b-c=1000 (*) og ved definisjonen av heltallsdelen av et tall har vi:

Ved å multiplisere hvert ulikhetsledd med 6 får vi:

6a3x

6b2x

Legger vi til de to første ulikhetene og trekker den tredje ulikheten fra dem, får vi:

6(a+b+c) 4x

La oss bruke likhet (*), så: 60004x

1500x

Løsningene på ligningen vil være tallene: 1500 og 1501, men i henhold til forholdene til problemet er det bare tallet 1500 som passer.

Svar: 1500

Eksempel 4.

Det er kjent at den yngre broren ikke er mer enn 8, men ikke mindre enn 7 år gammel. Hvis antallet hele år til den yngre broren dobles, og antall delår (dvs. måneder) av hans alder tredobles, vil summen være alderen til den eldre broren. Angi alderen til hver av brødrene, nøyaktig til måneder, hvis det er kjent at deres totale alder er 21 år og 8 måneder.

Løsning:

La x (år) være alderen til den yngre broren, da(måneder) av hans alder. I henhold til forholdene for problemet(år) – alderen til den eldre broren. Den totale alderen til begge brødrene er:

(årets).

3( , 3x + ,

Siden (x)=x - [x], da. (Formens ligning = bx + c, hvor a,b,c R)

N=6, n=7.

Når n=6, x = - tilfredsstiller ikke betingelsene for problemet.

Når n=7, x = .

Alderen til den yngre broren er 7 år og 2 måneder.

Eldre brors alder er 14 år og 6 måneder.

Svar: alderen til den yngre broren er 7 år og 2 måneder,

Eldre brors alder er 14 år og 6 måneder.

Oppgaver for selvstendig løsning.

1. Løs ligningene: a) x+2[x] = 3,2; b) x 3 –[x] =3

2. Naturlige tall m og n er coprime og n

Eller

3. Gitt et tall x større enn 1. Er likhet nødvendig?

Løs ligningssystemet: x+[y]+(z) = 1,1

Y+[z]+(x)=2,2

Z+[x]+(y)=3,3.

4. Det er kjent at antall hele meter i en tape er 4 ganger større enn antall delmeter (dvs. centimeter). Bestem maksimal mulig lengde på båndet.

Svar på oppgaver for selvstendig løsning.

§1 2. a) xЄ d) x Є Z; y Є >(a), hvis a ≥ 1, (a) ≥ [a], hvis a

§2. 2.1 1) , nЄ Z

3), n Z

6) (- ∞; 2);, n≥3, n Z

§5. 1. a) x = 1,2

Hvis (x) er brøkdelen av tallet x, så er [x] + (x) = x.

Da er [x] + (x) + 2[x] = 3,2. 3[x] + (x) = 3,2. Siden 3[x] er et heltall og 0 ≤ (x)

B) x =.

Merk. [x] = x- (x), hvor 0 ≤ (x)

X 3 - x + (x) = 3, hvorav 2 2 - 1) ≤ 3.

1. Den første summen er større enn den andre med m – n.

1. Nødvendigvis.

Merk. Hvis [√] = n, så n 4 ≤ x 4. Nå er det enkelt

Bevis at [√ ] = n.

1. (1; 0,2; 2,1)
2. 3m 75 cm.

Bibliografi

1. Alekseeva V., Uskova N. Problemer som inneholder heltalls- og brøkdeler av et tall // Matematikk. 1997. Nr. 17. S.59-63.
2. Voronova A.N. Ligning med en variabel under tegnet til heltalls- eller brøkdelen // Matematikk på skolen. 2002.Nr.4. s. 58-60.
3. Voronova A.N. Ulikheter med en variabel under tegnet til heltallsdelen // Matematikk på skolen. 2002. Nr. 2. S.56-59.
4. Galkin E.V. Ikke-standardoppgaver i matematikk. Algebra: Lærebok. manual for elever 7-11 klassetrinn. Chelyabinsk: "Vzglyad", 2004.
5. Ytterligere kapitler om 10. klasses matematikkkurs for valgfag: En manual for studenter / Komp. BAK. Eunuk. M.: Utdanning, 1979.
6. Erovenko V.A., O.V. Mikhaskova O.V. Occams metodiske prinsipp ved å bruke eksempelet på funksjoner til heltalls- og brøkdelene av et tall // Matematikk på skolen. 2003. Nr. 3. S.58-66.

7. Kirzimov V. Løsning av ligninger og ulikheter som inneholder et heltall og

Brøkdel av et tall // Matematikk. 2002.№30. s. 26-28.

8. Shreiner A.A. "Oppgaver til regionale matematiske olympiader

Novosibirsk-regionen". Novosibirsk 2000.

9. Katalog "Matematikk", Moskva "AST-PRESS" 1997.

10. Raichmist R.B. "Graffer over funksjoner. Oppgaver og øvelser." Moskva.

"Skole - presse" 1997.

11. Mordkovich A.G., Semenov P.V. og andre. «Algebra og begynnelsen av analyse. 10

Klasse. Del 2. Oppgavebok. Profilnivå» Smolensk

"Mnemosyne" 2007.

y=b(bZ)

y=b(bZ)

Johann Gauss

Adrien Legendre

Funksjon [ x] er lik den største helt nummer, overlegen x (x– et hvilket som helst reelt tall). For eksempel:

Funksjon [ x] har "bruddpunkter": for heltallsverdier x det "endrer seg brått."

Figur 2 viser en graf av denne funksjonen, og den venstre enden av hvert av de horisontale segmentene tilhører grafen (fet prikker), og den høyre enden ikke.

Prøv å bevise at hvis den kanoniske dekomponering av et tall n! det er da

Lignende formler holder for

Når du vet dette, er det lett å bestemme for eksempel hvor mange nuller tallet 100 ender på! Faktisk, la det være. Deretter

Og .

Derfor 100! Delt på, dvs. slutter med tjuefire nuller.

Figurer fra firkantede stykker

Nyttig og spennende underholdning inkluderer å komponere figurer fra syv stykker av en firkant, kuttet i samsvar med fig. 3, (a), og når du komponerer de gitte figurene, må alle syv stykker brukes, og de må overlappe, selv delvis, med hver annen.

I fig. Figur 4 viser symmetriske figurer 1. Prøv å sette disse figurene sammen fra deler av firkanten vist i fig. 3, (a).

Fra de samme tegningene kan du lage mange andre figurer (for eksempel bilder av forskjellige gjenstander, dyr, etc.).

En mindre vanlig versjon av spillet er å lage figurer fra biter av firkanten vist i fig. 3, (b).

Magiske firkanter

Magisk firkant "n 2 -torget" la oss kalle et kvadrat delt på n 2 cellene fylles først n 2 naturlige tall slik at summene av tallene i en hvilken som helst horisontal eller vertikal rad, så vel som på alle diagonalene i kvadratet, er lik det samme tallet

Hvis bare summene av tall i en horisontal og vertikal rad er den samme, kalles kvadratet semi-magisk.

Den magiske 4 2-plassen er oppkalt etter Dürer, en matematiker og kunstner fra 1500-tallet som avbildet en firkant i det berømte maleriet «Melankoli».

Forresten, de to nedre midterste tallene på denne firkanten danner tallet 1514, datoen for opprettelsen av maleriet.

Det er bare åtte ni-cellers magiske firkanter. To av dem, som er speilbilder av hverandre, er vist på figuren; de resterende seks kan fås fra disse firkantene ved å rotere dem rundt midten med 90°, 180°, 270°

2. Det er ikke vanskelig å fullt ut undersøke spørsmålet om magiske kvadrater for n=3

Faktisk, S 3 = 15, og det er bare åtte måter å representere tallet 15 som en sum forskjellige tall(fra en til ni):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Merk at hvert av tallene 1, 3, 7, 9 er inkludert i to, og hvert av tallene 2, 4, 6, 8 er inkludert i tre spesifiserte summer, og bare tallet 5 er inkludert i fire summer. På den annen side, av åtte tre-cellerader: tre horisontale, tre vertikale og to diagonale, går tre rader gjennom hver av hjørnecellene i kvadratet, fire gjennom den sentrale cellen og to rader gjennom hver av de gjenværende cellene . Derfor må tallet 5 nødvendigvis være i den sentrale cellen, tallene 2, 4, 6, 8 - i hjørnecellene, og tallene 1, 3, 7, 9 - i de resterende cellene i kvadratet.

Shkolnik forlag

Volgograd, 2003
A.P. Domoryad

BBK 22.1я2я72

Domoryad Alexander Petrovich

Matematiske spill og underholdning

Favoritter

Redaktør Kopylova A.N.

Tech. redaktør Murashova N.Ya.

Korrekturleser Secheiko L.O.

Levert for rekruttering 26. september 2003. Signert for publisering 14. desember 2003. Format 84x 108 ¼.Phys.print.l. 8,375. Betinget ovn 13,74. Akademiker-ed.l. 12,82. Opplag 200 000 eksemplarer. Best.nr. 979. Prisen på boken er 50 rubler.

Domoryad A.P.

Matematiske spill og underholdning: Favoritter - Volgograd: VSPU, 2003. - 20 s.

Boken presenterer utvalgte problemer fra monografien til Domoryad A.P. "Matematiske spill og underholdning", som ble utgitt i 1961 av det statlige forlaget for fysisk og matematisk litteratur i Moskva.

ISBN5-09-001292-Х BBK22.1я2я72

© Forlaget "VGPU", 2003

Forord 6

Bestem det tiltenkte antallet ved hjelp av tre tabeller 7

Kabal 8

Legge til og subtrahere i stedet for å multiplisere 11

Funksjon [x] (heltallsdel av x) 12

Figurer fra firkantede deler 14

Magiske firkanter 16

Vedlegg 17

Forord

Fra et mangfold av materiale, forent av forskjellige forfattere under et felles navn mattespill og underholdning, kan vi skille flere grupper av "klassisk underholdning" som lenge har tiltrukket seg oppmerksomheten til matematikere:

1. 
   Underholdning knyttet til jakten på originale løsninger på problemer som gir rom for et nesten uuttømmelig mangfold av løsninger; Vanligvis er de interessert i å etablere antall løsninger, utvikle metoder som gir store grupper av løsninger eller løsninger som tilfredsstiller noen spesielle krav.
2. 
   Matematiske spill, dvs. spill der to "trekk" som spilles side om side, gjort vekselvis i samsvar med de spesifiserte reglene, strever mot et bestemt mål, og det viser seg å være mulig for enhver startposisjon å forhåndsbestemme vinneren og indikere hvordan - med eventuelle trekk av motstanderen - han kan oppnå seier.
3. 
   «Spill av én person», dvs. underholdning der det, gjennom en serie operasjoner utført av en spiller i samsvar med disse reglene, er nødvendig for å oppnå et bestemt, forhåndsspesifisert mål; her er de interessert i hvilke forutsetninger målet kan nås under, og ser etter minste antall bevegelsene som kreves for å oppnå det.

En stor del av denne boken er viet klassiske spill og underholdning.

Alle kan prøve, ved å vise utholdenhet og oppfinnsomhet, å få interessante (sine egne!) resultater.

Hvis slik klassisk underholdning som for eksempel å komponere "magiske firkanter" kan appellere til en relativt smal krets av mennesker, så komponerer du for eksempel symmetriske figurer fra detaljene i en kuttet firkant, søker etter numeriske kuriositeter osv., uten å kreve enhver matematisk trening, kan bringe glede til både amatører og ikke-elskere av matematikk. Det samme kan sies om underholdning som krever forberedelse i 9-11 klassetrinn på videregående.

Mange underholdninger og til og med individuelle problemer kan foreslå emner for uavhengig forskning for matematikkelskere.

Generelt er boken ment for lesere med matematisk bakgrunn på 10.-11. trinn, selv om det meste av stoffet er tilgjengelig for niendeklassinger, og noen spørsmål er til og med tilgjengelig for elever på 5.-8. trinn.

Mange avsnitt kan brukes av matematikklærere til å organisere fritidsaktiviteter.

1. 
   Ulike kategorier av lesere kan bruke denne boken på forskjellige måter: mennesker som ikke er opptatt av matematikk, kan bli kjent med de merkelige egenskapene til tall, figurer osv., uten å fordype seg i begrunnelsen for spill og underholdning, ta individuelle utsagn om tro; Vi anbefaler matematikkelskere å studere enkelte deler av boken med blyant og papir, løse de foreslåtte problemene og svare på individuelle spørsmål foreslått for refleksjon.

Bestem det tiltenkte antallet ved hjelp av tre tabeller

Ved å plassere tall fra 1 til 60 på rad i hver av tre tabeller slik at de i den første tabellen er i tre kolonner med tjue tall hver, i den andre - i fire kolonner med 15 tall hver, og i den tredje - fem kolonner med 12 tall hver (se fig. 1), er det enkelt å raskt bestemme tallet N (N≤60) som er unnfanget av noen hvis tallene α, β, γ i kolonnene som inneholder det unnfangede tallet i 1., 2. og 3. er indikerte tabeller: N vil være nøyaktig resten av å dele tallet 40α+45β+36γ med 60 eller, med andre ord, N vil være nøyaktig den minste positivt tall, sammenlignbar med summen (40α+45β+36γ) modulo 60. For eksempel med α=3, β=2, γ=1:

40α+45β+36γ≡0+30+36≡6 (mod60), dvs. N=6.

Jeg	II	III	IV	V
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
51	52	53	54	55
56	57	58	59	60

Jeg		II		III
1		2		3
4		5		6
7		8		9
.		.		.
.		.		.
.		.		.
55		56		57
58		59		60
Jeg	II		III		IV
1	2		3		4
5	6		7		8
.	.		.		.
.	.		.		.
.	.		.		.
53	54		55		56
57	58		59		60

Et lignende spørsmål kan løses for tall opp til 420, plassert i fire tabeller med tre, fire, fem og syv kolonner: hvis - tallene på kolonnene der det tiltenkte tallet er, er det lik resten etter deling av tall 280α+105β+336γ+120δ ved 420.

Bendelorm

		737773	747774	757775
		636663	642264	656665
515551	555252	535553	544554	554455	555556	555557
414441	424442	434443	444444	454445	464446	474447
313331	323332	333333	343334	353335	363336	373337
		232223	242224	252225
		131113	141114	111115

Et spill som heter bendelorm spilles på et brett med trettitre ruter. Dette brettet kan enkelt skaffes ved å dekke sjakkbrettet med et pappark med en korsformet utskjæring.
Nyttig og spennende underholdning inkluderer å komponere figurer fra syv stykker av en firkant, kuttet i samsvar med fig. 3, (a), og når du komponerer de gitte figurene, må alle syv stykker brukes, og de må overlappe, selv delvis, med hver annen.

I fig. Figur 4 viser symmetriske figurer 1. Prøv å sette disse figurene sammen fra deler av firkanten vist i fig. 3, (a).

(a) (b)
Fig.3

Ris. 4
Fra de samme tegningene kan du lage mange andre figurer (for eksempel bilder av forskjellige gjenstander, dyr, etc.).

En mindre vanlig versjon av spillet er å lage figurer fra biter av firkanten vist i fig. 3, (b).

Magiske firkanter

Magisk firkant "n 2 -torget" la oss kalle et kvadrat delt på n 2 cellene fylles først n 2 naturlige tall slik at summene av tallene i en hvilken som helst horisontal eller vertikal rad, så vel som på alle diagonalene i kvadratet, er lik det samme tallet

Hvis bare summene av tall i en horisontal og vertikal rad er den samme, kalles kvadratet semi-magisk.

, matematiker og kunstner på 1500-tallet, som viser en firkant på kjent maleri"Melankoli".

Forresten, de to nedre midterste tallene på denne firkanten danner tallet 1514, datoen for opprettelsen av maleriet.
Det er bare åtte ni-cellers magiske firkanter. To av dem, som er speilbilder av hverandre, er vist på figuren; de resterende seks kan fås fra disse firkantene ved å rotere dem rundt midten med 90°, 180°, 270°

2. Det er ikke vanskelig å fullt ut undersøke spørsmålet om magiske kvadrater for n=3

Faktisk, S 3 = 15, og det er bare åtte måter å representere tallet 15 som en sum av forskjellige tall (fra en til ni):

15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

Merk at hvert av tallene 1, 3, 7, 9 er inkludert i to, og hvert av tallene 2, 4, 6, 8 er inkludert i tre spesifiserte summer, og bare tallet 5 er inkludert i fire summer. På den annen side, av åtte tre-cellerader: tre horisontale, tre vertikale og to diagonale, går tre rader gjennom hver av hjørnecellene i kvadratet, fire gjennom den sentrale cellen og to rader gjennom hver av de gjenværende cellene . Derfor må tallet 5 nødvendigvis være i den sentrale cellen, tallene 2, 4, 6, 8 - i hjørnecellene, og tallene 1, 3, 7, 9 - i de resterende cellene i kvadratet. 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.

Merk at hvert av tallene 1, 3, 7, 9 er inkludert i to, og hvert av tallene 2, 4, 6, 8 er inkludert i tre spesifiserte summer, og bare tallet 5 er inkludert i fire summer. På den annen side, av åtte tre-cellerader: tre horisontale, tre vertikale og to diagonale, går tre rader gjennom hver av hjørnecellene i kvadratet, fire gjennom den sentrale cellen og to rader gjennom hver av de gjenværende cellene . Derfor må tallet 5 nødvendigvis være i den sentrale cellen, tallene 2, 4, 6, 8 - i hjørnecellene, og tallene 1, 3, 7,9 - i de resterende cellene i kvadratet.

Fantastiske møter med morsom matematikk

Et mest interessant sett med problemer

Det vakre ansiktet til dronningen av naturvitenskap MATEMATIKK

1 Figurene er lånt fra boken til V.I. Obreimov "Trippelpuslespill"

FANTASTISK HELE STK(METODE FOR LØSE LIGNINGER MED HELTALLSDEL AV ET TAL)

Le Thanh Dat

klasse 10 f/m, GBOU PO "Provincial Lyceum-Boarding School for Gifted Children", Penza

Tsepkova Natalya Mikhailovna

vitenskapelig veileder, lærer i matematikk av den høyeste kategorien av den statlige budsjettmessige utdanningsinstitusjonen PO "Provincial Lyceum-Boarding School for Gifted Children", søker til Institutt for pedagogikk og psykologi for yrkesopplæring ved State Pedagogical University oppkalt etter. V.G. Belinsky, Penza

Nylig, oftere og oftere på olympiader, matematiske konkurranser, så vel som i mange Unified State Exam-alternativer i matematikk (C6) er det problemer som inneholder heltallsdelen av tallet x.

I forskjellige spørsmål om tallteori, matematisk analyse, teorien om rekursive funksjoner og andre områder av matematikken bruker begrepene heltall og brøkdeler av et reelt tall. I programmet for skoler og klasser med dybdestudie Matematikk inkluderer individuelle spørsmål knyttet til disse begrepene, men kun 34 linjer er viet til deres presentasjon i algebra-læreboken for 9. klasse.

La oss introdusere konseptet med heltallsdelen av et reelt tall og vurdere noen av dets egenskaper.

Definisjon. Heltallsdelen av et reelt tall x er det største heltall som ikke er større enn x.

Egenskaper for hele delen:

1. [x]=x hvis x€Z.

2. [x]≤x<[x]+1.

3. =[x]+m, hvis m€ Z.

Når vi så gjennom og analyserte oppgavene vi møtte som inneholdt en heltallsdel av et tall, la vi merke til deres ensartethet, noe som førte til en standardløsning - å erstatte et uttrykk med en variabel.

For eksempel ++=6.

Erstatt x+2,6 = y, så

[y]++=6,

[y]+[y]+1+[y]+2=6,

Gå tilbake til erstatning: y= x+2,6, deretter

1x+2,6<2,

1,6 x<-0,6.

Svar: [-1,6; -0,6).

La oss vurdere en annen ligning hentet fra Interregional Mathematics Olympiad for skolebarn på grunnlag av 2011-2012, som også løses ved hjelp av substitusjon:

La oss erstatte =k.

. (2)

La oss erstatte uttrykk (1) med x i uttrykk (2), da

K

40k-39 10k<40k+1,

1) 40k-39 10k, 2) 10k<40k+1,

K 1,3, k>.

Fra 1) og 2) => k=0; k=1.

Når k=0 x= ;

Ved k=1 x=0,8.

Svar: ; 0,8.

Spørsmålet oppstår: er det mulig å finne en ligning der metoden for disse substitusjonene ikke fører til å finne resultatet, og hvordan løses det?

Tenk på ligningen: +-=5.

Kompleksiteten til denne ligningen ligger i tvetydigheten til tallet x.

La x=0,4, så =1; =1; =4, og ved x=0,8=1; =2; =5.

For å ta hensyn til tvetydigheten til det ukjente i en ligning med heltallsdeler, må vi finne punktene der hvert ledd endrer verdien av heltallsdelen med 1. La oss kalle dem kritiske punkter og tenk på et spesifikt eksempel.

X=t+a, t er heltallsdelen av tallet, a er brøkdelen av tallet.

T+t-t+4-3-3++-=5,

T++-=7,

A=0,7; a=0,4; a=0,5 – kritiske punkter.

1) a€=a € N,

0≤t<1,

(2c-3) 2 =3a 2 -12c+46,

4c 2 -12c+9-3a 2 +12c-46=0,

4c 2 -37-3a 2 =0,

4c 2 -37-3[c] 2 =0,

4(a+t)2 -37-3a2 =0,

(a+t) 2 = ,

T=- -a - passer ikke til betingelsene for problemet,