Årsaken til demping er at i ethvert oscillerende system, i tillegg til gjenopprettingskraften, er det alltid forskjellige typer luftmotstand

etc., som bremser bevegelsen. Ved hver svinging brukes en del på arbeid mot friksjonskrefter. Til syvende og sist bruker dette arbeidet hele tilførselen av energi som opprinnelig ble levert til det oscillerende systemet.

Når vi vurderte , hadde vi å gjøre med ideelle, strengt periodiske naturlige svingninger. Ved å bruke en slik modell for å beskrive reelle svingninger, åpner vi bevisst for unøyaktighet i beskrivelsen. Imidlertid er en slik forenkling egnet på grunn av det faktum at for mange oscillerende systemer Dempingen av svingninger forårsaket av friksjon er veldig liten: systemet klarer å gjøre mange svingninger før de reduseres merkbart.

Grafer over dempede svingninger

I nærvær av demping slutter den naturlige svingningen (fig. 1) å være harmonisk. Dessuten slutter en dempet oscillasjon å være en periodisk prosess - friksjon påvirker ikke bare amplituden til svingningene (det vil si at den forårsaker demping), men også varigheten av svingningene. Når friksjonen øker, øker tiden det tar for systemet å fullføre en komplett svingning. Grafen over dempede svingninger er vist i fig. 2.

Fig.1. Gratis harmonisk graf

Fig.2. Dempet oscillasjonsgraf

Et karakteristisk trekk ved oscillerende systemer er at svak friksjon påvirker svingeperioden i mye mindre grad enn amplituden. Denne omstendigheten spilte en stor rolle i forbedringen av klokker. Den første klokken ble bygget av den nederlandske fysikeren og matematikeren Christiaan Huygens i 1673. Dette året kan betraktes som fødselsdatoen til moderne klokkemekanismer. Bevegelsen til pendelklokker er lite følsom for endringer på grunn av friksjon, som generelt avhenger av mange faktorer, mens hastigheten til de tidligere pendelklokkene var veldig avhengig av friksjon.

I praksis er det behov for både å redusere og øke demping av svingninger. Når de for eksempel designer urverk, streber de etter å redusere dempingen av svingningene til klokkebalanseren. For å gjøre dette er balanseringsaksen utstyrt med skarpe spisser, som hviler på godt polerte koniske lagre laget av hard stein (agat eller rubin). Tvert imot, i mange måleinstrumenter er det svært ønskelig at den bevegelige delen av enheten installeres raskt under måleprosessen, men stort antall nøling. For å øke dempningen i dette tilfellet brukes forskjellige dempere - enheter som øker friksjonen og generelt energitap.

1.21. 3DEMPEDE, TVUNGTE OSCILLASJONER

Differensialligning av dempede svingninger og løsningen av den. Dempningskoeffisient. Logaritmisk kortstokkforfallstid.Oscillasjonskvalitetsfaktorkroppens system.Aperiodisk prosess. Differensialligning for tvangssvingninger og dens løsning.Amplitude og fase av tvungne oscillasjoner. Prosessen med å etablere svingninger. Tilfellet av resonans.Selvsvingninger.

Demping av oscillasjoner er en gradvis nedgang i amplituden av oscillasjoner over tid, på grunn av tap av energi fra oscillerende systemet.

Naturlige svingninger uten demping er en idealisering. Årsakene til demping kan være forskjellige. I et mekanisk system dempes vibrasjoner av tilstedeværelsen av friksjon. Når all energien som er lagret i svingesystemet er brukt opp, vil svingningene stoppe. Derfor amplituden dempet svingninger avtar til det blir lik null.

Dempede svingninger, som naturlige oscillasjoner, i systemer som er forskjellige i naturen, kan betraktes fra et enkelt synspunkt - vanlige egenskaper. Imidlertid krever slike egenskaper som amplitude og periode omdefinering, og andre krever tillegg og klargjøring sammenlignet med de samme egenskapene for naturlige udempede svingninger. De generelle egenskapene og konseptene for dempede oscillasjoner er som følger:

Differensialligningen må oppnås under hensyntagen til reduksjonen i vibrasjonsenergi under oscillasjonsprosessen.

Oscillasjonsligningen er en løsning på en differensialligning.

Amplituden til dempede svingninger avhenger av tid.

Frekvensen og perioden avhenger av graden av dempning av svingningene.

Fase og startfase har samme betydning som for kontinuerlige svingninger.

Mekanisk dempede svingninger.

Mekanisk system : fjærpendel som tar hensyn til friksjonskrefter.

Krefter som virker på en pendel :

Elastisk kraft., hvor k er fjærstivhetskoeffisienten, x er forskyvningen av pendelen fra likevektsposisjonen.

Motstandskraft. La oss vurdere motstandskraften proporsjonal med bevegelseshastigheten v (denne avhengigheten er typisk for en stor klasse motstandskrefter): . Minustegnet viser at retningen til motstandskraften er motsatt av retningen til kroppens hastighet. Motstandskoeffisienten r er numerisk lik motstandskraften som oppstår ved en enhetshastighet for kroppsbevegelse:

Lov om bevegelse vårpendel - dette er Newtons andre lov:

m en = F eks. + F motstand

Med tanke på at begge deler , skriver vi Newtons andre lov i formen:

. (21.1)

Ved å dele alle ledd i ligningen med m og flytte dem alle til høyre side, får vi differensialligning dempede oscillasjoner:

La oss angi hvor β – dempningskoeffisient , , Hvor ω 0 – frekvens av udempede frie svingninger i fravær av energitap i svingesystemet.

I nye notasjoner differensialligning dempede oscillasjoner har formen:

. (21.2)

Dette er en lineær differensialligning av andre orden.

Denne lineære differensialligningen løses ved å endre variabler. La oss representere funksjonen x, avhengig av tid t, i formen:

.

La oss finne den første og andre deriverte av denne funksjonen som en funksjon av tid, og ta i betraktning at funksjonen z også er en funksjon av tid:

, .

La oss erstatte uttrykkene i differensialligningen:

La oss presentere lignende termer i ligningen og redusere hvert ledd med , vi får ligningen:

.

La oss angi mengden .

Løse ligningen er funksjonene, .

Når vi går tilbake til variabelen x, får vi formlene for likningene til dempede oscillasjonene:

Slik , ligning av dempede svingninger er en løsning på differensialligningen (21.2):

Dempet frekvens :

(bare den virkelige roten har fysisk betydning, derfor).

Periode med dempede svingninger :

(21.5)

Betydningen som ble lagt inn i begrepet en periode for udempede svingninger er ikke egnet for dempede svingninger, siden oscillerende systemet aldri går tilbake til sin opprinnelige tilstand på grunn av tap av oscillerende energi. I nærvær av friksjon er vibrasjonene langsommere: .

Periode med dempede svingninger er minimumsperioden som systemet passerer likevektsposisjonen to ganger i én retning.

For det mekaniske systemet til en fjærpendel har vi:

, .

Amplitude av dempede oscillasjoner :

For en fjærpendel.

Amplituden til dempede oscillasjonene er ikke en konstant verdi, men endres over tid, jo raskere jo større koeffisient β. Derfor må definisjonen for amplitude, gitt tidligere for udempede frie oscillasjoner, endres for dempede oscillasjoner.

For små dempinger amplitude av dempede svingninger kalles det største avviket fra likevektsposisjonen over en periode.

Diagrammer Forskyvning mot tid og amplitude mot tid er presentert i figur 21.1 og 21.2.

Figur 21.1 – Avhengighet av forskyvning av tid for dempede svingninger.

Figur 21.2 – Amplitudens avhengighet av tid for dempede svingninger

Kjennetegn på dempede oscillasjoner.

1. Dempningskoeffisient β .

Amplituden til dempede oscillasjonene endres i henhold til en eksponentiell lov:

La oscillasjonsamplituden avta med "e" ganger i løpet av tiden τ ("e" er basisen til den naturlige logaritmen, e ≈ 2,718). Så, på den ene siden, , og på den annen side, etter å ha beskrevet amplitudene A zat. (t) og A zat. (t+τ), har vi . Fra disse relasjonene følger det βτ = 1, derav .

Tidsforløp τ , hvor amplituden reduseres med "e" ganger, kalles avslapningstiden.

Dempningskoeffisient β – en mengde omvendt proporsjonal med avslapningstiden.

2. Logaritmisk dempingsreduksjon δ - en fysisk størrelse numerisk lik den naturlige logaritmen av forholdet mellom to påfølgende amplituder adskilt i tid med en periode.

Dersom dempningen er liten, dvs. verdien av β er liten, deretter endres amplituden litt i løpet av perioden, og den logaritmiske reduksjonen kan defineres som følger:

,

hvor er A zat. (t) og A zat. (t+NT) – amplituder av oscillasjoner ved tidspunkt e og etter N perioder, dvs. ved tidspunkt (t + NT).

3. Kvalitetsfaktor Q oscillerende system – dimensjonsløs fysisk mengde lik produktet av mengden (2π) ν og forholdet mellom energien W(t) til systemet i tilfeldig øyeblikk tid til energitap for én periode med dempede svingninger:

.

Siden energi er proporsjonal med kvadratet av amplituden, da

For små verdier av den logaritmiske dekrementet δ, er kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet lik

,

hvor N e er antall svingninger der amplituden reduseres med "e" ganger.

Således er kvalitetsfaktoren til en fjærpendel Jo høyere kvalitetsfaktoren til oscillerende systemet er, jo mindre dempning, jo lenger vil den periodiske prosessen i et slikt system vare. Kvalitetsfaktoren til det oscillerende systemet - en dimensjonsløs mengde som kjennetegner spredningen av energi over tid.

4. Når koeffisienten β øker, avtar frekvensen av dempede oscillasjonene og perioden øker. Ved ω 0 = β blir frekvensen av dempede oscillasjonene lik null ω zat. = 0, og T zat. = ∞. I dette tilfellet mister oscillasjonene sin periodiske karakter og kalles

aperiodisk. Ved ω 0 = β antar systemparametrene som er ansvarlige for reduksjonen i vibrasjonsenergi verdier kalt . kritisk For en fjærpendel vil betingelsen ω 0 = β skrives som følger: derfra finner vi mengden

.

kritisk motstandskoeffisient:

Ris. 21.3. Avhengighet av amplituden til aperiodiske oscillasjoner på tid

Tvungede vibrasjoner.

Alle reelle svingninger er dempet. For at ekte oscillasjoner skal skje lenge nok, er det nødvendig å periodisk etterfylle energien til det oscillerende systemet ved å virke på det med en ekstern periodisk skiftende kraft La oss vurdere fenomenet svingninger hvis det ytre (tvinger) kraft endres med tiden i henhold til en harmonisk lov. I dette tilfellet vil det oppstå svingninger i systemene, hvis natur i en eller annen grad vil gjenta drivkraftens natur. Slike svingninger kalles .

tvunget

Generelle tegn på tvungne mekaniske vibrasjoner. (1. La oss se på de tvungne mekaniske oscillasjonene til en fjærpendel, som påvirkes av en ekstern ) overbevisende periodisk kraft

Lov om bevegelse . Kreftene som virker på pendelen, når de er fjernet fra likevektsposisjonen, utvikles i selve oscillerende systemet. Disse er elastisk kraft og motstandskraft.

(21.6)

(Newtons andre lov) vil bli skrevet som følger: differensialligning La oss dele begge sider av ligningen med m, ta hensyn til det og få

tvangssvingninger: β – dempningskoeffisient La oss betegne ( differensialligning ), (ω 0 – frekvens av udempede frie oscillasjoner), kraft som virker på en masseenhet. I disse notasjonene

(21.7)

tvangssvingninger vil ha formen:

.

Dette er en andreordens differensialligning med en høyreside som ikke er null. Løsningen til en slik ligning er summen av to løsninger

– generell løsning av en homogen differensialligning, dvs. differensialligning uten høyre side når den er lik null. Vi kjenner en slik løsning - dette er ligningen for dempede oscillasjoner, skrevet nøyaktig til en konstant, hvis verdi bestemmes av de innledende betingelsene til det oscillerende systemet:

Hvis vi vurderer prosessen med oscillasjoner av pendelen etter en tilstrekkelig lang tidsperiode Δt etter å ha slått på drivkraften (Figur 21.2), vil de dempede oscillasjonene i systemet praktisk talt stoppe. Og da vil løsningen på differensialligningen med høyre side være løsningen.

Løsningen er en spesiell løsning på den inhomogene differensialligningen, dvs. ligninger med høyre side. Fra teorien om differensiallikninger er det kjent at med høyre side som endres i henhold til en harmonisk lov, vil løsningen være en harmonisk funksjon (sin eller cos) med en endringsfrekvens som tilsvarer frekvensen Ω for endring av høyre. -hånd side:

hvor A ampl. – amplitude av tvungne oscillasjoner, φ 0 – faseforskyvning , de. faseforskjellen mellom drivkraftfasen og den tvungne oscillasjonsfasen. Og amplitude A ampl. , og faseforskyvningen φ 0 avhenger av systemparametrene (β, ω 0) og av frekvensen til drivkraften Ω.

Periode med tvangssvingninger lik (21.9)

Graf over tvungne vibrasjoner i figur 4.1.

Fig.21.3. Tvunget oscillasjonsgraf

Steady-state tvungne oscillasjoner er også harmoniske.

Avhengighet av amplituden til tvangssvingninger og faseskift på frekvensen av ytre påvirkning. Resonans.

1. La oss gå tilbake til det mekaniske systemet til en fjærpendel, som påvirkes av en ytre kraft som varierer i henhold til en harmonisk lov. For et slikt system har henholdsvis differensialligningen og dens løsning formen:

, .

La oss analysere avhengigheten av oscillasjonsamplituden og faseforskyvningen av frekvensen til den eksterne drivkraften for å gjøre dette, vi vil finne den første og andre deriverte av x og erstatte dem i differensialligningen.

La oss bruke vektordiagrammetoden. Ligningen viser at summen av de tre vibrasjonene på venstre side av ligningen (Figur 4.1) må være lik vibrasjonen på høyre side. Vektordiagrammet er laget for et vilkårlig tidspunkt t. Fra det kan du bestemme.

Figur 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Tar vi i betraktning verdien av , ,, får vi formler for φ 0 og A ampl. mekanisk system:

,

.

2. Vi studerer avhengigheten av amplituden til tvangssvingninger av frekvensen til drivkraften og størrelsen på motstandskraften i et oscillerende mekanisk system, ved å bruke disse dataene konstruerer vi en graf . Resultatene av studien gjenspeiles i figur 21.5, som viser at ved en viss drivkraftfrekvens amplituden til oscillasjonene øker kraftig. Og denne økningen er større, jo lavere dempningskoeffisienten β er. Når amplituden til oscillasjonene blir uendelig stor.

Fenomenet med en kraftig økning i amplitude tvangssvingninger ved en drivkraftfrekvens lik , kalles resonans.

(21.12)

Kurvene i figur 21.5 gjenspeiler sammenhengen og blir kalt amplitude resonanskurver .

Figur 21.5 – Grafer over avhengigheten av amplituden til tvungne oscillasjoner av frekvensen til drivkraften.

Amplituden til resonansoscillasjoner vil ha formen:

Tvungen vibrasjoner er udempet svingninger. De uunngåelige energitapene på grunn av friksjon kompenseres ved tilførsel av energi fra en ekstern kilde med periodisk virkende kraft. Det er systemer der udempede oscillasjoner ikke oppstår på grunn av periodiske ytre påvirkninger, men som et resultat av slike systemers evne til å regulere tilførselen av energi fra en konstant kilde. Slike systemer kalles selvsvingende, og prosessen med udempede oscillasjoner i slike systemer er selvsvingninger.

I et selvoscillerende system kan tre karakteristiske elementer skilles - et oscillerende system, en energikilde og en tilbakemeldingsenhet mellom oscillerende systemet og kilden. Ethvert mekanisk system som er i stand til å utføre sine egne dempede svingninger (for eksempel pendelen til en veggklokke) kan brukes som et oscillerende system.

Energikilden kan være deformasjonsenergien til en fjær eller den potensielle energien til en last i et gravitasjonsfelt. En tilbakemeldingsenhet er en mekanisme som et selvoscillerende system regulerer strømmen av energi fra en kilde. I fig. Figur 21.6 viser et diagram over samspillet mellom ulike elementer i et selvoscillerende system.

Et eksempel på et mekanisk selvsvingende system er en klokkemekanisme med anker fremdrift (Fig. 21.7.). Løpehjulet med skrå tenner er stivt festet til en tanntrommel, gjennom hvilken en kjede med en vekt kastes. I den øvre enden av pendelen er det et anker (anker) med to plater av hardt materiale, bøyd langs en sirkelbue med sentrum på pendelens akse. I håndklokker erstattes vekten med en fjær, og pendelen erstattes av en balanserer - et håndhjul koblet til en spiralfjær.

Balanseren utfører torsjonsvibrasjoner rundt sin akse. Det oscillerende systemet i en klokke er en pendel eller balanserer. Energikilden er en løftet vekt eller en sårfjær. Enheten som den utføres med tilbakemelding, er et anker som lar løpehjulet snu én tann i en halv syklus.

Tilbakemelding gis av samspillet mellom ankeret og løpehjulet. Med hver oscillasjon av pendelen skyver en tann på løpehjulet ankergaffelen i pendelens bevegelsesretning, og overfører til den en viss del av energien, som kompenserer for energitap på grunn av friksjon. Dermed overføres den potensielle energien til vekten (eller vridd fjær) gradvis, i separate deler, til pendelen.

Mekaniske selvsvingende systemer er utbredt i livet rundt oss og i teknologien. Selvsvingninger forekommer i dampmaskiner, forbrenningsmotorer, elektriske klokker, strenger av bøyde musikkinstrumenter, luftsøyler i rørene til blåseinstrumenter, stemmebånd når man snakker eller synger, etc.

Når du studerer denne delen, vær så snill å huske på det svingninger av ulik fysisk natur beskrives fra vanlige matematiske posisjoner. Her er det nødvendig å tydelig forstå slike begreper som harmonisk oscillasjon, fase, faseforskjell, amplitude, frekvens, oscillasjonsperiode.

Det må tas i betraktning at i ethvert reelt oscillerende system er det motstand av mediet, dvs. svingningene vil bli dempet. For å karakterisere dempingen av svingninger innføres en dempningskoeffisient og en logaritmisk demping.

Hvis svingninger oppstår under påvirkning av en ekstern, periodisk skiftende kraft, kalles slike oscillasjoner tvunget. De vil være udempede. Amplituden til tvungne oscillasjoner avhenger av frekvensen til drivkraften. Når frekvensen av tvangssvingninger nærmer seg frekvensen til naturlige svingninger, øker amplituden til tvangssvingninger kraftig. Dette fenomenet kalles resonans.

Når du går videre til studiet av elektromagnetiske bølger, må du tydelig forstå detelektromagnetisk bølgeer et elektromagnetisk felt som forplanter seg i rommet. Det enkleste systemet som sender ut elektromagnetiske bølger er en elektrisk dipol. Hvis dipolen lager harmoniske vibrasjoner, så sender den ut en monokromatisk bølge.

Formeltabell: svingninger og bølger

Dempede svingninger

Dempede svingninger av en fjærpendel

Dempede svingninger- vibrasjoner hvis energi avtar over tid. En uendelig varig prosess av arter er umulig i naturen. Frie oscillasjoner av enhver oscillator før eller siden falmer og stopper. Derfor har vi i praksis vanligvis å gjøre med dempede svingninger. De er preget av det faktum at amplituden av svingninger EN er en avtagende funksjon. Vanligvis skjer dempning under påvirkning av motstandskrefter til mediet, oftest uttrykt som en lineær avhengighet av oscillasjonshastigheten eller kvadratet.

I akustikk: demping - reduserer signalnivået til fullstendig uhørlighet.

Dempede svingninger av en fjærpendel

La det være et system som består av en fjær (underlagt Hookes lov), hvor den ene enden er stivt festet, og på den andre er det et masselegeme m. Oscillasjoner oppstår i et medium hvor motstandskraften er proporsjonal med hastigheten med en koeffisient c(se viskøs friksjon).

Røttene som er beregnet av følgende formel

Løsninger

Avhengig av verdien av dempningskoeffisienten er løsningen delt inn i tre mulige alternativer.

• Aperiodisitet

Hvis , så er det to reelle røtter, og løsningen på differensialligningen har formen:

I dette tilfellet avtar oscillasjonene eksponentielt helt fra begynnelsen.

• Aperiodisitetsgrense

Hvis , to reelle røtter faller sammen, og løsningen på ligningen er:

I i dette tilfellet Det kan være en midlertidig økning, men deretter et eksponentielt forfall.

• Svak demping

Hvis , så er løsningen på den karakteristiske ligningen to komplekse konjugerte røtter

Da er løsningen på den opprinnelige differensialligningen

Hvor er egenfrekvensen til dempede svingninger.

Konstantene og i hvert tilfelle bestemmes fra startbetingelsene:

Se også

• Reduksjon av demping

Litteratur

Lit.: Savelyev I.V., Kurs i generell fysikk: Mekanikk, 2001.

Wikimedia Foundation.

2010.

Dempede svingninger Se hva "dempede oscillasjoner" er i andre ordbøker: - Dempede svingninger. DEMPTE VIBRASJONER, oscillasjoner hvis amplitude A avtar over tid på grunn av energitap: konvertering av oscillasjonsenergi til varme som et resultat av friksjon i mekaniske systemer (for eksempel ved et opphengspunkt ... ...

Illustrert encyklopedisk ordbok Naturlige oscillasjoner, hvis amplitude A avtar med tiden t i henhold til loven til eksponentiell A(t) = Аоexp (?t) (? indikator for dempning på grunn av energispredning på grunn av viskøse friksjonskrefter for mekaniske dempede oscillasjoner og ohmske. .. ...

Stor encyklopedisk ordbok

Oscillasjoner hvis amplitude gradvis avtar, f.eks. svingninger av en pendel som opplever luftmotstand og friksjon i fjæringen. Alle frie vibrasjoner som forekommer i naturen er, i større eller mindre grad, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary dempet svingninger - Mekaniske svingninger med synkende verdier av området til den generaliserte koordinaten eller dens deriverte med hensyn til tid. [Samling av anbefalte vilkår. Utgave 106. Mekaniske vibrasjoner. USSRs vitenskapsakademi. Vitenskapelig og teknisk komité ... ...

Dempede svingninger Teknisk oversetterveiledning - (VIBRASJON) oscillasjoner (vibrasjoner) med synkende svingverdier... Russisk leksikon

om arbeidsvern Naturlige oscillasjoner av systemet, hvis amplitude A avtar med tiden t i henhold til eksponentiell lov A(t) = A0exp(?α t) (α er dempningsindeksen) på grunn av energispredning på grunn av viskøse friksjonskrefter for mekanisk dempet svingninger og ohmske ... ...

Dempede svingninger Encyklopedisk ordbok - 31. Dempede svingninger Oscillasjoner med synkende svingverdier Kilde...

Ordbok-referansebok med vilkår for normativ og teknisk dokumentasjon Naturlige oscillasjoner av systemet, amplituden A til ryx avtar med tiden t i henhold til den eksponentielle loven A(t) = = Aoeхр(at) (en dempende indeks) på grunn av energispredning på grunn av kreftene til viskøs friksjon for mekanisk. 3. til og ohmsk motstand for elektrisk ...

Oscillasjoner hvis amplitude gradvis avtar, f.eks. svingninger av en pendel som opplever luftmotstand og friksjon i fjæringen. Alle frie vibrasjoner som forekommer i naturen er, i større eller mindre grad, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. dempet oscillasjon vok. gedämpfte Schwingung, f rus. dempede svingninger, n pranc. svingninger amortier, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas

Oscillasjoner hvis amplitude gradvis avtar, f.eks. svingninger av en pendel som opplever luftmotstand og friksjon i fjæringen. Alle frie vibrasjoner som forekommer i naturen er, i større eller mindre grad, Z.K Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. dempet svingninger; dempet vibrasjoner; døende svingninger vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. dempede svingninger, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Så langt har vi vurdert harmoniske oscillasjoner som oppstår, som allerede nevnt, når det er en den eneste kraften- elastisk kraft eller kvasi-elastisk kraft. I naturen rundt oss finnes det strengt tatt ikke slike svingninger. I virkelige systemer er det, i tillegg til elastiske eller kvasi-elastiske krefter, alltid andre krefter som skiller seg i handlingens natur fra elastiske krefter – dette er krefter som oppstår når systemets kropper samhandler med miljø - dissipative krefter. Sluttresultatet av deres handling er overgangen mekanisk energi flytte kroppen inn i varme. Med andre ord oppstår spredning eller dissipasjon mekanisk energi. Prosessen med energispredning er ikke rent mekanisk og krever for beskrivelsen bruk av kunnskap fra andre grener av fysikk. I rammeverket av mekanikk kan vi beskrive denne prosessen ved å introdusere friksjons- eller motstandskrefter. Som et resultat av energispredning reduseres oscillasjonsamplituden. I dette tilfellet er det vanlig å si at vibrasjonene til en kropp eller et system av kropper demper. Dempede oscillasjoner er ikke lenger harmoniske, siden deres amplitude og frekvens endres over tid.

Oscillasjoner som på grunn av energispredning i et oscillerende system oppstår med en kontinuerlig synkende amplitude kalles falmer. Hvis et oscillerende system, fjernet fra en likevektstilstand, svinger under påvirkning av bare indre krefter, uten motstand og spredning (spredning) av energi, kalles svingningene som oppstår i det gratis(eller egne) udempede svingninger. I virkelige mekaniske systemer med energispredning er frie svingninger alltid dempet. Deres frekvens co skiller seg fra frekvensen co 0 for oscillasjoner av systemet uten demping (jo større påvirkning av motstandskrefter, jo større påvirkning av motstandskrefter.

La oss vurdere dempede svingninger ved å bruke eksemplet med en fjærpendel. La oss begrense oss til å vurdere små svingninger. Ved lave oscillasjonshastigheter kan motstandskraften antas å være proporsjonal med hastigheten til oscillerende forskyvninger

Hvor v = 4 - oscillasjonshastighet; G - en proporsjonalitetsfaktor kalt luftmotstandskoeffisienten. Minustegnet i uttrykk (2.79) for motstandskraften skyldes at den er rettet i motsatt retning av bevegelseshastigheten til det oscillerende legemet.

Kjenne til uttrykkene for den kvasi-elastiske kraften i^p = - og motstandskraften F c= ved å ta i betraktning den kombinerte virkningen av disse kreftene, kan vi skrive ned den dynamiske bevegelsesligningen til en kropp som utfører dempede svingninger

I denne ligningen erstatter vi koeffisienten (3 i henhold til formel (2.49) med Du], hvoretter vi deler den siste ligningen og får

Vi vil se etter en løsning på ligning (2.81) som en funksjon av tiden til formen

Her er konstantverdien y fortsatt udefinert. For enkelhets skyld vil startfasen i vår vurdering antas å være lik null, dvs. vi kan "slå på" stoppeklokken når den oscillerende forskyvningen passerer gjennom likevektsposisjonen (nullkoordinat).

Vi kan bestemme verdien y ved å erstatte den antatte løsningen (2.82) i differensialligningen for dempede oscillasjoner (2.81), samt hastighetene oppnådd fra den

og akselerasjon

Å erstatte (2.83) og (2.84) sammen med (2.82) i (2.81) gir Etter å ha redusert med /1 () e": " og multiplisert med "-1" får vi Løsning av dette andregradsligning i forhold til y, har vi

Setter vi y inn i (2.82), finner vi hvordan forskyvningen avhenger av tid under dempede oscillasjoner. La oss introdusere notasjonen

hvor symbolet co angir vinkelfrekvensen til dempede svingninger og coo vinkelfrekvensen til frie svingninger uten demping. Det kan sees at for S > 0 er frekvensen av dempede oscillasjonene alltid mindre enn frekvensen

Slik, og derfor kan forskyvningen under dempede oscillasjoner uttrykkes som

Valget av "+" eller "-" tegnet i den andre eksponenten er vilkårlig og tilsvarer en faseforskyvning av oscillasjoner med l. Vi vil skrive ned dempede svingninger under hensyntagen til valget av "+"-tegnet, deretter vil uttrykket (2,90) være

Dette er den ønskede avhengigheten av forskyvningen på tid. Den kan også skrives om i trigonometrisk form(begrenset til den virkelige delen)

Ønsket amplitudeavhengighet På) fra tid til annen kan representeres som

Hvor EN(,- amplitude til tider t = 0.

Konstant 8, lik i henhold til (2.88) forholdet mellom motstandskoeffisienten G for å doble massen T oscillerende kropp kalles vibrasjonsdempningskoeffisient. La oss finne ut den fysiske betydningen av denne koeffisienten. La oss finne tiden t hvor amplituden til de dempede oscillasjonene vil avta med e (grunnlaget for naturlige logaritmer e = 2,72) ganger. For å gjøre dette, la oss sette

Ved å bruke relasjon (2.93), får vi: eller

hvorfra følger

Derfor, dempningskoeffisient 8 er det resiproke av tiden t, hvoretter amplituden til dempede oscillasjonene vil avta e ganger. Mengden m, som har dimensjonen tid, kalles tidskonstant for en dempet oscillerende prosess.

I tillegg til koeffisient 8, den såkalte logaritmisk demping dekrement X, lik den naturlige logaritmen av forholdet mellom to oscillasjonsamplituder adskilt fra hverandre med et tidsintervall lik perioden T

Uttrykket under logaritmen, angitt med symbolet d, kalt enkelt reduksjon av svingninger (redusering av demping).

Ved å bruke amplitudeuttrykket (2.93) får vi:

La oss finne ut den fysiske betydningen av den logaritmiske dempingsreduksjonen. La amplituden til svingninger avta e ganger etter N svingninger. Tiden t som kroppen vil fullføre N svingninger kan uttrykkes gjennom perioden t = N.T. Ved å erstatte denne verdien m i (2,97), får vi 8NT= 1. Siden 67 "= A., da NX = 1, eller

Derfor, logaritmisk demping er den gjensidige av antall svingninger hvor amplituden til dempede svingningene vil avta e ganger.

I noen tilfeller er avhengigheten av oscillasjonsamplituden på tid På) Det er praktisk å uttrykke det i form av logaritmisk demping A. Eksponent 6 1 Uttrykk (2.93) kan skrives i henhold til (2.99) som følger:

Deretter får uttrykk (2,93) formen

hvor verdien er lik tallet N svingninger laget av systemet i løpet av tiden t.

Tabell 2.1 viser omtrentlige verdier (i størrelsesorden) av de logaritmiske dempingsreduksjonene til enkelte oscillerende systemer.

Tabell 2.1

Verdier av dempningsreduksjoner for noen oscillerende systemer

La oss nå analysere påvirkningen av motstandskrefter på oscillasjonsfrekvensen. Når et legeme beveger seg fra en likevektsposisjon og går tilbake til en likevektsposisjon, vil en motstandskraft virke på det hele tiden, noe som får det til å bremse.

Dette betyr at de samme delene av banen under dempede svingninger vil dekkes av kroppen i et større tidsintervall enn ved frie svingninger. Periode med dempede svingninger T, derfor vil det være en større periode med naturlige frie svingninger. Fra uttrykk (2.89) er det klart at forskjellen i frekvenser blir større, jo større dempningskoeffisienten b er. For store b (b > coo) degenererer dempede svingninger til aperiodisk (ikke-periodisk) prosess, der systemet, avhengig av startforholdene, returnerer til likevektsposisjonen umiddelbart uten å passere gjennom det, eller før det stopper passerer det likevektsposisjonen én gang (utfører bare en svingning) - se fig. 2.16.

Ris. 2.16. Dempede svingninger:

I figur 2.16, EN viser en avhengighetsgraf %(t) Og På)(ved 5 > co 0 og startfasen со er oscillasjoner helt umulige (dette tilfellet tilsvarer den imaginære verdien av frekvensen bestemt ut fra likhet (2.89). Systemet blir dempende, og den oscillerende prosessen blir aperiodisk (fig. 2.16, b).

• Notasjonen exp(x) tilsvarer e*. Vi vil bruke begge skjemaene.
• I en generell betraktning av svingninger er den fulle verdien av oscillasjonsfasen gitt av startforholdene, dvs. størrelsen på forskyvningen 4(0 og hastighet 4(0) ved det første tidspunktet (t = 0) og inkluderer begrepet