2 gjeni sistemin e numrave binar me shembuj. Sistemet e numrave. Sistemi i numrave pozicional është binar. Shndërrimi i numrave nga binar në dhjetor

Sistemi binar

Sistemi binar i numraveështë një sistem numrash pozicional me bazën 2. Në këtë sistem numrash, numrat natyrorë shkruhen duke përdorur vetëm dy simbole (zakonisht numrat 0 dhe 1).

Sistemi binar përdoret në pajisjet dixhitale sepse është më i thjeshti dhe plotëson kërkesat:

Sa më pak vlera të ketë sistem, aq më e lehtë është të prodhohen elementë individualë që veprojnë në këto vlera. Në veçanti, dy shifra të sistemit të numrave binar mund të përfaqësohen lehtësisht nga shumë dukuri fizike: ka një rrymë - nuk ka rrymë, induksioni i fushës magnetike është më i madh se vlera e pragut ose jo, etj.
Sa më pak gjendje të ketë një element, aq më i lartë është imuniteti ndaj zhurmës dhe aq më shpejt mund të funksionojë. Për shembull, për të koduar tre gjendje përmes madhësisë së induksionit të fushës magnetike, do t'ju duhet të vendosni dy vlera pragu, të cilat nuk do të kontribuojnë në imunitetin ndaj zhurmës dhe besueshmërinë e ruajtjes së informacionit.
Aritmetika binare është mjaft e thjeshtë. Të thjeshta janë tabelat e mbledhjes dhe shumëzimit - veprimet bazë me numrat.
Është e mundur të përdoret aparati i algjebrës logjike për të kryer operacione në bit në numra.

Lidhjet

Llogaritësi online për konvertimin e numrave nga një sistem numrash në tjetrin

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë është "Sistemi Binar" në fjalorë të tjerë:

SISTEMI BINARI, në matematikë, një sistem numrash që ka bazën 2 (sistemi dhjetor ka bazën 10). Është më i përshtatshëm për të punuar me kompjuterë sepse është i thjeshtë dhe korrespondon me dy pozicione (të hapura 0 dhe të mbyllura... ... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

sistemi binar- - Temat e telekomunikacionit, konceptet themelore EN sistemi binar... Udhëzues teknik i përkthyesit

sistemi binar- dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. sistem binar vok. Binärsystem, n rus. sistem binar, f pranc. sistem binaire, m … Përfundimtar automatik

sistemi binar- dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. sistemi binar; sistem diadik vok. Binärsystem, n; Sistemi i dyfishtë, n rus. sistem binar, f pranc. sistem binaire, m … Fizikos terminų žodynas

Jarg. kurvar. Duke bërë shaka. Intoksikim i rëndë. PBS, 2002 ... Fjalor i madh i thënieve ruse

Sistemi i numrave pozicional me bazën 2, në të cilin shifrat 0 dhe 1 përdoren për të shkruar numrat Shihni gjithashtu: Sistemet e numrave pozicional Financial Dictionary Finam ... Fjalor Financiar

Sistemi BINAR NUMERAL, një metodë e shkrimit të numrave në të cilën përdoren dy shifra 0 dhe 1. Dy njësi të shifrës së parë (d.m.th., hapësira e zënë në një numër) formojnë një njësi të shifrës së dytë, dy njësi të shifrës së dytë. një njësi e shifrës së tretë, etj... ... Enciklopedi moderne

Sistemi binar i numrave- SISTEMI NUMERAL BINAR, një metodë e shkrimit të numrave në të cilën përdoren dy shifra 0 dhe 1. Dy njësi të shifrës së parë (d.m.th., hapësira e zënë në një numër) formojnë një njësi të shifrës së dytë, dy njësi të shifrës së dytë. formoni një njësi të shifrës së tretë etj.…… Fjalor Enciklopedik i Ilustruar

Sistemi binar i numrave- një sistem që përdor grupe kombinimesh të numrave 1 dhe 0 për të përfaqësuar simbole alfanumerike dhe simbole të tjera, bazën e kodeve të përdorura në kompjuterët dixhitalë... Botimi i fjalorit-libër referencë

SISTEMI NUMERAL BINAR- një sistem numrash pozicional me bazën 2, në të cilin ka dy shifra 0 dhe 1, dhe të gjithë numrat natyrorë janë të shkruar në sekuencat e tyre. P.sh. numri 2 shkruhet si 10, numri 4 = 22 si 100, numri 900 si numër 11-shifror: 11 110 101 000 ... Enciklopedia e Madhe Politeknike

Le të kujtojmë materialin mbi sistemet e numrave. Ai deklaroi se sistemi më i përshtatshëm i numrave për sistemet kompjuterike është sistemi binar. Le të përcaktojmë këtë sistem:

Sistemi binar i numrave është një sistem numrash pozicional në të cilin baza është numri 2.

Për të shkruar çdo numër në sistemin e numrave binar, përdoren vetëm 2 shifra: 0 dhe 1.

Forma e përgjithshme e shkrimit të numrave binarë

Për numrat e plotë binarë mund të shkruajmë:

a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0

Kjo formë e shkrimit të një numri "sugjeron" rregullin për konvertimin e numrave binarë natyrorë në sistemin e numrave dhjetorë: duhet të llogarisni shumën e fuqive të dy që korrespondojnë me njësitë në formën e rrëzuar të shkrimit të një numri binar.

Rregullat për mbledhjen e numrave binarë

Rregullat themelore për shtimin e numrave me një bit

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Nga kjo është e qartë se dhe, si në sistemin e numrave dhjetorë, numrat e paraqitur në sistemin e numrave binar shtohen në mënyrë bit. Nëse një shifër tejmbushet, 1 bartet në shifrën tjetër.

Shembull i mbledhjes së numrave binarë

Rregullat për zbritjen e numrave binarë

0-0=0
1-0=0
10-1=1

Por çfarë ndodh me 0-1=? Zbritja e numrave binarë është paksa e ndryshme nga zbritja e numrave dhjetorë. Për këtë përdoren disa metoda.

Zbritja me huazim

Shkruani numrat binarë njëri nën tjetrin - numrin më të vogël nën më të madhin. Nëse numri më i vogël ka më pak shifra, vendoseni në të djathtë (në të njëjtën mënyrë që shkruani dhjetore kur i zbritni).
Disa probleme që përfshijnë zbritjen e numrave binarë nuk ndryshojnë nga zbritja e numrave dhjetorë. Shkruani numrat poshtë njëri-tjetrit dhe, duke filluar nga e djathta, gjeni rezultatin e zbritjes së çdo çifti numrash.

Këtu janë disa shembuj të thjeshtë:

1 - 0 = 1
11 - 10 = 1
1011 - 10 = 1001

Le të shqyrtojmë një problem më kompleks. Duhet të mbani mend vetëm një rregull për të zgjidhur problemet e zbritjes binare. Ky rregull përshkruan huazimin e shifrës nga e majta në mënyrë që të mund të zbrisni 1 nga 0 (0 - 1).

110 - 101 = ?

Në kolonën e parë në të djathtë ju merrni diferencën 0 - 1 . Për ta llogaritur atë, duhet të huazoni numrin në të majtë (nga vendi i dhjetësheve).

Së pari, kaloni 1 dhe zëvendësojeni atë me një 0 për të marrë një problem si ky: 1010 - 101 = ?
Ju zbritët ("huazove") 10 nga numri i parë, kështu që mund ta shkruani atë numër në vend të numrit djathtas (në vendin njës). 101100 - 101 = ?
Zbrisni numrat në kolonën e djathtë. Në shembullin tonë:
101100 - 101 = ?
Kolona e djathtë: 10 - 1 = 1 .
102 = (1 x 2) + (0 x 1) = 210(shifrat e vogla tregojnë sistemin e numrave në të cilin janë shkruar numrat).
12 = (1x1) = 110.

Kështu, në sistemin dhjetor ky ndryshim shkruhet si: 2 - 1 = 1.

Zbrisni numrat në kolonat e mbetura. Tani është e lehtë për të bërë (punoni me kolonat, duke lëvizur nga e djathta në të majtë):

101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.

Zbritja me mbledhje

Shkruani numrat binarë poshtë njëri-tjetrit në të njëjtën mënyrë që shkruani numrat dhjetorë kur i zbritni. Kjo metodë përdoret nga kompjuterët për të zbritur numrat binarë sepse bazohet në një algoritëm më efikas.

Le të shohim një shembull: 101100 2 - 11101 2 = ?

Nëse vlerat e numrave janë të ndryshme, shtoni numrin përkatës prej 0 në numrin me vlerën më të ulët në të majtë.

101100 2 - 011101 2 = ?

Në numrin që po zbritni, ndryshoni shifrat: ndryshoni secilën nga 1 në 0 dhe çdo 0 në 1.

011101 2 → 100010 2 .

Ajo që ne po bëjmë në të vërtetë është "të marrim komplementin", domethënë, duke zbritur çdo shifër nga 1. Kjo funksionon në sistemin binar sepse ky "zëvendësim" mund të ketë vetëm dy rezultate të mundshme: 1 - 0 = 1 dhe 1 - 1 = 0.

Shtoni një në nëntrupin që rezulton.

100010 2 + 1 2 = 100011 2

Tani, në vend që të zbritni, shtoni dy numra binarë.

101100 2 +100011 2 = ?

Kontrolloni përgjigjen. Një mënyrë e shpejtë është të hapni një kalkulator binar në internet dhe të futni problemin tuaj në të. Dy metodat e tjera përfshijnë kontrollimin manual të përgjigjes.

1) Le t'i konvertojmë numrat në sistemin e numrave binar:
Le të themi se nga numri 101101 duhet të zbritet 2 11011 2

2) Le të shënojmë numrin 101101 2 si A dhe numrin 11011 2 si B.

3) Shkruani numrat A dhe B në një kolonë, njëri poshtë tjetrit, duke u nisur nga shifrat më pak të rëndësishme (numërimi i shifrave fillon nga zero).

4) Zbrisni shifër për shifër nga numri A dhe numri B, duke shkruar rezultatin në C duke filluar nga shifrat më pak të rëndësishme. Rregullat për zbritjen me bit për sistemin e numrave binar janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Kredi nga kategoria aktuale Oi-1				Kredi nga kategoria tjetër O i+1

I gjithë procesi i shtimit të numrave tanë duket si ky:

(kreditë nga kategoria përkatëse tregohen me të kuqe)

Ndodhi 101101 2 - 11011 2 = 10010 2
ose në sistemin e numrave dhjetorë: 45 10 - 27 10 = 18 10

Rregulla për shumëzimin e numrave binarë.

Në përgjithësi, këto rregulla janë shumë të thjeshta dhe të qarta.

0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1

Shumëzimi i numrave binarë shumëbitësh ndodh në të njëjtën mënyrë si ata të zakonshëm. Ne e shumëzojmë çdo shifër të rëndësishme me numrin e sipërm sipas rregullave të dhëna, duke respektuar pozicionet. Shumëzimi është i thjeshtë - pasi shumëzimi me një jep të njëjtin numër.

Sistemin binar të numrave e hasim gjatë studimit të disiplinave kompjuterike. Në fund të fundit, është në bazë të këtij sistemi që procesori dhe disa lloje të kriptimit janë ndërtuar. Ekzistojnë algoritme speciale për shkrimin e një numri dhjetor në sistemin binar dhe anasjelltas. Nëse e dini parimin e ndërtimit të një sistemi, nuk do të jetë e vështirë të operoni në të.

Parimi i ndërtimit të një sistemi zero dhe njësh

Sistemi binar i numrave është ndërtuar duke përdorur dy shifra: zero dhe një. Pse këta numra të veçantë? Kjo është për shkak të parimit të ndërtimit të sinjaleve që përdoren në procesor. Në nivelin më të ulët, sinjali merr vetëm dy vlera: false dhe e vërtetë. Prandaj, ishte zakon të shënohej mungesa e një sinjali, "i rremë", me zero, dhe prania e tij, "e vërtetë", me një. Ky kombinim është i lehtë për t'u zbatuar teknikisht. Numrat në sistemin binar formohen në të njëjtën mënyrë si në sistemin dhjetor. Kur një shifër arrin kufirin e saj të sipërm, ajo rivendoset në zero dhe shtohet një shifër e re. Ky parim përdoret për të kaluar nëpër një dhjetë në sistemin dhjetor. Kështu, numrat përbëhen nga kombinime të zerave dhe njësheve, dhe ky kombinim quhet "sistemi i numrave binar".

Regjistrimi i një numri në sistem
Në dhjetor	Në binare	Në dhjetor	Në binare

Si të shkruani një numër binar si një numër dhjetor?

Ka shërbime online që konvertojnë numrat në binare dhe anasjelltas, por është më mirë të jeni në gjendje ta bëni vetë. Kur përkthehet, sistemi binar shënohet me nënshkrimin 2, për shembull, 101 2. Çdo numër në çdo sistem mund të përfaqësohet si një shumë numrash, për shembull: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - në sistemin dhjetor. Numri gjithashtu paraqitet në binar. Le të marrim një numër arbitrar 101 dhe ta konsiderojmë atë. Ai ka 3 shifra, kështu që e renditim numrin në këtë mënyrë: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, ku indeksi 10 shënon sistemin dhjetor.

Si të shkruani një numër të thjeshtë në binar?

Është shumë e lehtë të konvertohet në sistemin e numrave binar duke e ndarë numrin me dy. Është e nevojshme të ndahet derisa të jetë e mundur për ta përfunduar plotësisht. Për shembull, merrni numrin 871. Fillojmë të ndajmë, duke u siguruar që të shkruajmë pjesën e mbetur:

871:2=435 (e mbetura 1)

435:2=217 (e mbetura 1)

217:2=108 (e mbetura 1)

Përgjigja shkruhet sipas mbetjeve që rezultojnë në drejtimin nga fundi në fillim: 871 10 =101100111 2. Ju mund të kontrolloni korrektësinë e llogaritjeve duke përdorur përkthimin e kundërt të përshkruar më parë.

Pse duhet të dini rregullat e përkthimit?

Sistemi binar i numrave përdoret në shumicën e disiplinave që lidhen me elektronikën e mikroprocesorit, kodimin, transmetimin dhe enkriptimin e të dhënave dhe në fusha të ndryshme të programimit. Njohja e bazave të përkthimit nga çdo sistem në binar do ta ndihmojë programuesin të zhvillojë mikroqarqe të ndryshme dhe të kontrollojë funksionimin e procesorit dhe sistemeve të tjera të ngjashme në mënyrë programore. Sistemi i numrave binar është gjithashtu i nevojshëm për zbatimin e metodave për transmetimin e paketave të të dhënave mbi kanale të koduara dhe krijimin e projekteve softuerike klient-server bazuar në to. Në një kurs shkollor të shkencave kompjuterike, bazat e konvertimit në sistemin binar dhe anasjelltas janë materiali bazë për studimin e programimit në të ardhmen dhe krijimin e programeve të thjeshta.

Numrat janë të dytët më të zakonshëm pas dhjetorit të njohur, megjithëse pak njerëz mendojnë për të. Arsyeja e kësaj kërkese është se është ajo që përdoret në Ne do të flasim për këtë më vonë, por së pari, disa fjalë për sistemin e numrave në përgjithësi.

Kjo frazë tregon një sistem regjistrimi ose paraqitje tjetër vizuale të numrave. Ky është një përkufizim i thatë. Fatkeqësisht, jo të gjithë e kuptojnë se çfarë fshihet pas këtyre fjalëve. Sidoqoftë, gjithçka është mjaft e thjeshtë, dhe sistemi i parë i numrave u shfaq në të njëjtën kohë kur njerëzit mësuan të numëronin. Mënyra më e thjeshtë për të paraqitur numrat është të identifikoni disa objekte me të tjerët, për shembull, gishtat në duar dhe numrin e frutave të mbledhura në një kohë të caktuar. Megjithatë, ka shumë më pak gishta në duar sesa mund të ketë objekte të numërueshme. Filluan të zëvendësoheshin me shkopinj ose vija në rërë ose gurë. Ky ishte sistemi i parë i numrave, megjithëse vetë koncepti u shfaq shumë më vonë. Quhet jo-pozicionale sepse secila shifër në të ka një kuptim të përcaktuar rreptësisht, pavarësisht se çfarë pozicioni në rekord zë.

Por një regjistrim i tillë është jashtëzakonisht i papërshtatshëm, dhe më vonë lindi ideja për të grupuar objektet dhe për të caktuar secilin grup me një gur, dhe jo me shkop, ose me një vizatim të një forme tjetër gjatë regjistrimit. Ky ishte hapi i parë drejt krijimit të sistemeve pozicionale, të cilat përfshinin sistemin e numrave binar. Sidoqoftë, ato u formuan përfundimisht vetëm pas shpikjes së numrave. Për shkak të faktit se fillimisht ishte më i përshtatshëm për njerëzit të numëronin në gishta, nga të cilët një person normal ka 10, ishte sistemi dhjetor që u bë më i zakonshmi. Një person që përdor këtë sistem ka në dispozicion numrat nga 0 deri në 9. Për rrjedhojë, kur një person arrin 9 gjatë numërimit, domethënë, ai shteron furnizimin e numrave, ai shkruan një në shifrën tjetër dhe i kthen ato në zero. Dhe ky është thelbi i sistemeve të numrave pozicional: kuptimi i shifrave në një numër varet drejtpërdrejt nga pozicioni që ai zë.

Sistemi i numrave binar ofron vetëm dy shifra për llogaritjet, është e lehtë të merret me mend se këto janë 0 dhe 1. Prandaj, shifrat e reja kur shkruani shfaqen në këtë rast shumë më shpesh: tranzicioni i parë i regjistrit ndodh tashmë në numrin 2, që është i caktuar në sistemin binar si 10.

Natyrisht, ky sistem nuk është gjithashtu shumë i përshtatshëm me shkrim, kështu që pse është kaq i kërkuar? Gjë është se kur ndërtoni kompjuterë, sistemi dhjetor doli të ishte jashtëzakonisht i papërshtatshëm dhe jofitimprurës, pasi prodhimi i një pajisjeje me dhjetë gjendje të ndryshme është mjaft i shtrenjtë, dhe ato zënë shumë hapësirë. Kështu ata adoptuan sistemin binar të shpikur nga Incas.

Shndërrimi në sistemin e numrave binar nuk ka gjasa të shkaktojë ndonjë vështirësi për askënd. Mënyra më e thjeshtë dhe më e drejtpërdrejtë për ta bërë këtë është pjesëtimi i numrit me dy derisa përgjigja të jetë zero. Në këtë rast, mbetjet shkruhen veçmas nga e djathta në të majtë në mënyrë sekuenciale. Le të shohim një shembull, të marrim numrin 73: 73\2 = 36 dhe 1 në pjesën e mbetur, ne i shkruajmë njësitë në pozicionin e djathtë ekstrem, ne shkruajmë të gjitha mbetjet e mëtejshme në të majtë të kësaj njësie. Nëse keni bërë gjithçka në mënyrë korrekte, atëherë duhet të keni numrin e mëposhtëm: 1001001.

Si e shndërron një kompjuter një numër në sistemin binar të numrave, meqë numrat dhjetorë i fusim nga tastiera? A është vërtet pjesëtueshëm edhe me 2? Natyrisht jo. Çdo tast në tastierë korrespondon me një linjë specifike në tabelën e kodimit. Ne shtypim një buton, një program i quajtur shofer transmeton një sekuencë të caktuar sinjalesh te procesori. Kjo, nga ana tjetër, dërgon një kërkesë në tabelë, cili karakter korrespondon me këtë sekuencë, dhe e shfaq këtë karakter në ekran, ose kryen një veprim, nëse është e nevojshme.

Tani e dini se çfarë rëndësie ka sistemi binar i numrave në jetën tonë. Në fund të fundit, shumë në botën tonë tani bëhen me ndihmën e sistemeve kompjuterike elektronike, të cilat, nga ana tjetër, do të ishin krejtësisht të ndryshme nëse nuk do të ishte për këtë sistem.

Një sistem numrash është një grup teknikash dhe rregullash për emërtimin dhe përcaktimin e numrave. Shenjat konvencionale që përdoren për të treguar numrat quhen numra.

Në mënyrë tipike, të gjitha sistemet e numrave ndahen në dy klasa: jo pozicionale dhe pozicionale.

Në sistemet e numrave pozicional, pesha e secilës shifër ndryshon në varësi të pozicionit (pozicionit) të saj në sekuencën e shifrave që përfaqësojnë numrin. Për shembull, në numrin 757.7, shtatë e para do të thotë 7 qindra, e dyta do të thotë 7 njësi dhe e treta do të thotë 7 të dhjetat e njësisë.

Vetë shënimi i numrit 757.7 nënkupton një shënim të shkurtuar të shprehjes:

Në sistemet e numrave jopozicionalë, pesha e një shifre (d.m.th., kontributi që ajo jep në vlerën e numrit) nuk varet nga pozicioni i saj në regjistrimin e numrave. Kështu, në sistemin romak të numrave në numrin XXXII (tridhjetë e dy), pesha e numrit X në çdo pozicion është thjesht dhjetë.

Historikisht, sistemet e para të numrave ishin sisteme jo-pozicionale. Një nga disavantazhet kryesore është vështirësia për të shkruar numra të mëdhenj. Shkrimi i numrave të mëdhenj në sisteme të tilla është ose shumë i rëndë, ose alfabeti i sistemit është jashtëzakonisht i madh. Një shembull i një sistemi numrash jopozicional, i cili përdoret mjaft gjerësisht aktualisht, është i ashtuquajturi numërim romak.

Sistemi binar i numrave, d.m.th. një sistem me bazë është një sistem “minimal” në të cilin është realizuar plotësisht parimi i pozicionimit në formën dixhitale të regjistrimit të numrave. Në sistemin binar të numrave, vlera e secilës shifër "në vend" kur lëviz nga shifra më pak e rëndësishme tek ajo më e rëndësishme dyfishohet.

Historia e zhvillimit të sistemit binar të numrave është një nga faqet më të ndritshme në historinë e aritmetikës. "Lindja" zyrtare e aritmetikës binare shoqërohet me emrin e G.V. Leibniz, i cili botoi një artikull në të cilin u morën parasysh rregullat për kryerjen e të gjitha veprimeve aritmetike në numrat binarë.

Megjithatë, Leibniz nuk rekomandoi aritmetikë binare për llogaritjet praktike në vend të sistemit dhjetor, por theksoi se "llogaritja me ndihmën e dysheve, domethënë 0 dhe 1, në këmbim të gjatësive të saj, është thelbësore për shkencën dhe krijon zbulime të reja që rezultojnë të dobishme më vonë, edhe në praktikën e numrave, dhe veçanërisht në gjeometri: arsyeja për të cilën është fakti se kur numrat reduktohen në parimet më të thjeshta, si 0 dhe 1, zbulohet një renditje e mrekullueshme. kudo."

Leibniz e konsideroi sistemin binar të thjeshtë, të përshtatshëm dhe të bukur. Ai tha se "llogaritja me ndihmën e dysheve... është thelbësore për shkencën dhe krijon zbulime të reja... Kur numrat reduktohen në parimet më të thjeshta, që janë 0 dhe 1, një rend i mrekullueshëm shfaqet kudo".

Me kërkesë të shkencëtarit, një medalje u rrëzua për nder të "sistemit dyadic" - siç quhej atëherë sistemi binar. Ai përshkruante një tabelë me numra dhe veprime të thjeshta me ta. Përgjatë skajit të medaljes ishte një fjongo me mbishkrimin: "Për të nxjerrë gjithçka nga parëndësia, mjafton një".

Pastaj ata harruan sistemin binar. Për gati 200 vjet, asnjë vepër e vetme nuk u botua mbi këtë temë. Ata u kthyen në të vetëm në 1931, kur u demonstruan disa mundësi për përdorimin praktik të numërimit binar.

Parashikimet e shkëlqyera të Leibniz u realizuan vetëm dy shekuj e gjysmë më vonë, kur shkencëtari, fizikani dhe matematikani i shquar amerikan John von Neumann propozoi përdorimin e sistemit binar të numrave si një mënyrë universale për kodimin e informacionit në kompjuterët elektronikë ("Parimet e John von Neumann").