Kjo metodë propozon përafrimin e integrandit në një segment të pjesshëm nga një parabolë që kalon nëpër pika
(x j, f(x j)), ku j = i-1; i-0.5; i, domethënë, ne përafrojmë funksionin e integrandit me një polinom të interpolimit të Lagranzhit të shkallës së dytë:

Pas kryerjes së integrimit, marrim:

Kjo është ajo që është Formula e Simpsonit ose formula parabolike. Në segmentin
[a, b] Formula e Simpsonit merr formën

Një paraqitje grafike e metodës Simpson është paraqitur në Fig. 2.4.

Oriz. 10.4. Metoda Simpson

Le të heqim qafe indekset thyesore në shprehjen (2.16) duke ridizenjuar variablat:

Pastaj formula e Simpson merr formën

Gabimi i formulës (2.18) vlerësohet me shprehjen e mëposhtme:

Ku h·n = b-a, . Kështu, gabimi i formulës së Simpsonit është proporcional me O(h 4).

Komentoni. Duhet të theksohet se në formulën e Simpson segmenti i integrimit ndahet domosdoshmërisht në madje numri i intervaleve.

10.5. Llogaritja e integraleve të caktuar me metoda
Monte Karlo

Metodat e diskutuara më parë quhen përcaktuese , pra pa elementin e rastësisë.

Metodat e Monte Karlos(MMK) janë metoda numerike për zgjidhjen e problemeve matematikore duke përdorur modelimin e ndryshoreve të rastit. MMC-të lejojnë që dikush të zgjidhë me sukses problemet matematikore të shkaktuara nga proceset probabiliste. Për më tepër, kur zgjidhni probleme që nuk lidhen me ndonjë probabilitet, mund të dilni artificialisht me një model probabilistik (dhe madje edhe më shumë se një) që ju lejon të zgjidhni këto probleme. Merrni parasysh llogaritjen e integralit të caktuar

Kur llogaritet ky integral duke përdorur formulën drejtkëndëshe, intervali [ a, b] ndaje në N intervale identike, në mes të të cilave janë llogaritur vlerat e integrandit. Duke llogaritur vlerat e funksionit në nyje të rastësishme, mund të merrni një rezultat më të saktë:

Këtu γ i është një numër i rastësishëm i shpërndarë në mënyrë uniforme në interval
. Gabimi në llogaritjen e integralit MMC është ~, i cili është dukshëm më i madh se ai i metodave deterministe të studiuara më parë.

Në Fig. Figura 2.5 paraqet një zbatim grafik të metodës Monte Carlo për llogaritjen e një integrali të vetëm me nyje të rastësishme (2.21) dhe (2.22).

(2.23)

Oriz. 10.6. Integrimi me metodën Monte Carlo (rasti i dytë)

Siç mund të shihet në Fig. 2.6, kurba integrale qëndron në katrorin e njësisë, dhe nëse jemi në gjendje të marrim çifte numrash të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme gjatë intervalit, atëherë vlerat rezultuese (γ 1, γ 2) mund të interpretohen si koordinatat e një pike. në sheshin e njësisë. Atëherë, nëse fitohen mjaft nga këto çifte numrash, mund të supozojmë përafërsisht këtë
. Këtu Sështë numri i çifteve të pikave që bien nën kurbë, dhe N– numri i përgjithshëm i çifteve të numrave.

Shembulli 2.1. Llogaritni integralin e mëposhtëm:

Problemi u zgjidh duke përdorur metoda të ndryshme. Rezultatet e marra janë përmbledhur në tabelë. 2.1.

Tabela 2.1

Komentoni. Zgjedhja e një integrali tabele na lejoi të krahasojmë gabimin e secilës metodë dhe të zbulojmë efektin e numrit të ndarjeve në saktësinë e llogaritjeve.

11 ZGJIDHJE E PËRAFARTË E JOLINEARE
DHE EKUACIONET TRANCENDENTE

Për të gjetur integralin e caktuar me metodën trapezoidale, zona e një trapezi lakor ndahet gjithashtu në n trapezoide drejtkëndëshe me lartësi h dhe baza 1, 2, 3,..у n, ku n është numri i trapezit drejtkëndor. . Integrali do të jetë numerikisht i barabartë me shumën e sipërfaqeve të trapezoideve drejtkëndëshe (Figura 4).

Oriz. 4

n - numri i ndarjeve

Gabimi i formulës trapezoidale vlerësohet me numrin

Gabimi i formulës së trapezit zvogëlohet më shpejt me rritjen sesa gabimi i formulës së drejtkëndëshit. Prandaj, formula trapezoidale lejon saktësi më të madhe sesa metoda drejtkëndëshe.

Formula e Simpsonit

Nëse për çdo çift segmentesh ndërtojmë një polinom të shkallës së dytë, pastaj e integrojmë në segment dhe përdorim vetinë e aditivitetit të integralit, marrim formulën e Simpsonit.

Në metodën e Simpsonit, për të llogaritur një integral të caktuar, i gjithë intervali i integrimit ndahet në nënintervale me gjatësi të barabartë h=(b-a)/n. Numri i segmenteve të ndarjes është një numër çift. Më pas, në çdo çift nënintervalesh ngjitur, funksioni i integrandit f(x) zëvendësohet me një polinom të Lagranzhit të shkallës së dytë (Figura 5).

Oriz. 5 Funksioni y=f(x) në segment zëvendësohet me një polinom të rendit të dytë

Le të shqyrtojmë integranin në një segment. Le ta zëvendësojmë këtë integrand me një polinom të interpolimit të Lagranzhit të shkallës së dytë, që përkon me y= në pikat:

Le të integrohemi në segmentin:

Le të prezantojmë një ndryshim të variablave:

Duke marrë parasysh formulat e zëvendësimit,

Pas kryerjes së integrimit, marrim formulën e Simpson:

Vlera e fituar për integralin përkon me sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe një parabolë që kalon nëpër pika. Në një segment, formula e Simpson do të duket si kjo:

Në formulën e parabolës, vlera e funksionit f(x) në pikat tek të ndarjes x 1, x 3, ..., x 2n-1 ka një koeficient 4, në pikat çift x 2, x 4, . .., x 2n-2 - koeficienti 2 dhe në dy pika kufitare x 0 =a, x n =b - koeficienti 1.

Kuptimi gjeometrik i formulës së Simpson: zona e një trapezi lakor nën grafikun e funksionit f(x) në një segment zëvendësohet afërsisht nga shuma e zonave të figurave që shtrihen nën parabolat.

Nëse funksioni f(x) ka një derivat të vazhdueshëm të rendit të katërt, atëherë vlera absolute e gabimit të formulës Simpson nuk është më shumë se

ku M është vlera më e madhe në segment. Meqenëse n 4 rritet më shpejt se n 2, gabimi i formulës Simpson zvogëlohet me rritjen n shumë më shpejt se gabimi i formulës trapezoidale.

Le të llogarisim integralin

Ky integral është i lehtë për t'u llogaritur:

Le të marrim n të barabartë me 10, h=0.1, të llogarisim vlerat e integrandit në pikat e ndarjes, si dhe pikat gjysmë të plotë.

Duke përdorur formulën e drejtkëndëshave mesatarë, marrim I drejt = 0,785606 (gabimi është 0,027%), duke përdorur formulën e trapezit I kurth = 0,784981 (gabimi është rreth 0,054. Kur përdorni metodën e drejtkëndëshave djathtas dhe majtas, gabimi është më shumë se 3%.

Për të krahasuar saktësinë e formulave të përafërta, le të llogarisim përsëri integralin

por tani sipas formulës së Simpsonit me n=4. Le ta ndajmë segmentin në katër pjesë të barabarta me pika x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 dhe llogaritim afërsisht vlerat e funksionit f(x)=1/( 1+x) në këto pika: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Duke përdorur formulën e Simpson-it marrim

Le të vlerësojmë gabimin e rezultatit të marrë. Për funksionin integrand f(x)=1/(1+x) kemi: f (4) (x)=24/(1+x) 5, që do të thotë se në segmentin . Prandaj, mund të marrim M=24, dhe gabimi i rezultatit nuk kalon 24/(2880 4 4)=0.0004. Duke krahasuar vlerën e përafërt me atë të saktë, konkludojmë se gabimi absolut i rezultatit të marrë duke përdorur formulën Simpson është më i vogël se 0.00011. Kjo është në përputhje me vlerësimin e gabimit të dhënë më sipër dhe, përveç kësaj, tregon se formula Simpson është shumë më e saktë se formula trapezoidale. Prandaj, formula e Simpson-it përdoret më shpesh për llogaritjen e përafërt të integraleve të përcaktuara sesa formula trapezoidale.

Le të ndajmë segmentin e integrimit [ A, b] në një numër çift n pjesë të barabarta në rritje h. Në çdo segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],..., [ x n-2, x n] funksion integrand f(X) zëvendësojmë me një polinom interpolimi të shkallës së dytë:

Koeficientët e këtyre trinomeve kuadratike mund të gjenden nga kushtet për barazinë e polinomit në pikat e të dhënave tabelare përkatëse. Mund të marrim si një polinom interpolimi të Lagranzhit të shkallës së dytë që kalon nëpër pika :

Shuma e zonave elementare dhe (Fig. 3.3) mund të llogaritet duke përdorur një integral të caktuar. Duke marrë parasysh barazitë që marrim

-

Oriz. 3.3. Ilustrim për metodën e Simpson

Pasi kemi kryer llogaritjet e tilla për secilin segment elementar, ne përmbledhim shprehjet që rezultojnë:

Kjo shprehje për S merret si vlera e integralit të caktuar:

(3.35)

Marrëdhënia që rezulton quhet Formula e Simpsonit ose formula e parabolës.

Kjo formulë mund të merret në mënyra të tjera, për shembull, duke përdorur metodën trapezoidale dy herë kur ndahet segmenti [ A, b] në pjesë me hapa h dhe 2 h ose duke kombinuar formulat e drejtkëndëshave dhe trapezoideve (shih seksionin 3.2.6).

Ndonjëherë formula e Simpson shkruhet duke përdorur indekse gjysmë të plotë. Në këtë rast, numri i segmenteve të ndarjes P arbitrare (jo domosdoshmërisht edhe), dhe formula e Simpson-it ka formën

(3.36)

Është e lehtë të shihet se formula (3.36) përkon me (3.35) nëse formula (3.35) zbatohet për numrin e segmenteve të ndarjes 2 n dhe hap h/2.

Shembull. Llogaritni integralin duke përdorur metodën e Simpsonit

Vlerat e funksionit në n = 10, h = 0.1 janë dhënë në tabelë. 3.3. Duke aplikuar formulën (3.35), gjejmë

Rezultati i integrimit numerik duke përdorur metodën e Simpson-it u zbulua se përkon me vlerën e saktë (gjashtë shifra të rëndësishme).

Një nga algoritmet e mundshme për llogaritjen e një integrali të caktuar duke përdorur metodën e Simpson është paraqitur në Fig. 3.4. Kufijtë e segmentit të integrimit [ A, b], gabim ε, si dhe një formulë për llogaritjen e vlerave të integrandit y =f(x) .

Oriz. 3.4. Algoritmi i metodës Simpson

Fillimisht, segmenti ndahet në dy pjesë me një hap h =(b- a)/2. Llogaritet vlera e integralit I 1. Pastaj numri i hapave dyfishohet, vlera llogaritet I 2 në rritje h/2. Kushti për përfundimin e llogarisë merret në formularin . Nëse ky kusht nuk plotësohet, një hap i ri ndahet në gjysmë, etj.

Vini re se tregohet në Fig. 3.4 algoritmi nuk është optimal: kur llogaritet çdo përafrim I 2 vlera funksioni nuk përdoren f(x), gjetur tashmë në fazën e mëparshme. Më shumë algoritme ekonomike do të diskutohen në seksion. 3.2.7.

Ngrihet një problem në lidhje me llogaritjen numerike të një integrali të caktuar, i cili mund të zgjidhet duke përdorur formula të quajtura formula kuadratike.

Le të kujtojmë formulat më të thjeshta për integrimin numerik.

Le të llogarisim vlerën e përafërt numerike. Intervalin e integrimit [a, b] e ndajmë në n pjesë të barabarta duke ndarë pikat
, të quajtura nyje të formulës së kuadraturës. Le të dihen vlerat në nyje
:

Madhësia

i quajtur intervali ose hapi i integrimit. Vini re se në praktikë - llogaritjet, numri i zgjidhet i vogël, zakonisht nuk është më shumë se 10-20. Në një interval të pjesshëm

integrandi zëvendësohet me një polinom interpolimi

që përafërsisht paraqet funksionin f (x) në intervalin në shqyrtim.

a) Le të mbajmë vetëm një term të parë në polinomin e interpolimit

Formula kuadratike që rezulton

quhet formula e drejtkëndëshit.

b) Le t'i mbajmë dy termat e parë në polinomin e interpolimit, atëherë

(2)

Formula (2) quhet formula trapezoidale.

c) Intervali i integrimit
do ta ndajmë në një numër çift prej 2n pjesësh të barabarta dhe hapi i integrimit h do të jetë i barabartë me . Në intervalin
me gjatësi 2h, ne e zëvendësojmë integrandin me një polinom interpolimi të shkallës së dytë, d.m.th., mbajmë tre termat e parë në polinom:

Formula e kuadraturës që rezulton quhet formula e Simpsonit

(3)

Formulat (1), (2) dhe (3) kanë një kuptim të thjeshtë gjeometrik. Në formulën e drejtkëndëshave, funksioni i integrandit f(x) në interval
zëvendësohet nga një segment i drejtë y = yk, paralel me boshtin e abshisës, dhe në formulën trapezoidale - nga një segment i drejtë.
dhe llogaritet përkatësisht sipërfaqja e drejtkëndëshit dhe e trapezit drejtvizor, të cilat më pas përmblidhen. Në formulën e Simpsonit, funksioni f(x) në interval
gjatësia 2h zëvendësohet nga një trinom katror - një parabolë
Llogaritet sipërfaqja e një trapezi parabolik lakor, pastaj përmblidhen zonat.

PËRFUNDIM

Në fund të punës, do të doja të shënoja një numër karakteristikash të aplikimit të metodave të diskutuara më sipër. Çdo metodë e zgjidhjes së përafërt të një integrali të caktuar ka avantazhet dhe disavantazhet e veta; në varësi të detyrës në fjalë, duhet të përdoren metoda specifike.

Metoda e zëvendësimit të variablaveështë një nga metodat kryesore për llogaritjen e integraleve të pacaktuara. Edhe në rastet kur ne integrohemi me ndonjë metodë tjetër, shpesh duhet t'i drejtohemi ndryshimit të variablave në llogaritjet e ndërmjetme. Suksesi i integrimit varet në një masë të madhe nga fakti nëse jemi në gjendje të zgjedhim një ndryshim kaq të suksesshëm të variablave që do të thjeshtonte integralin e dhënë.

Në thelb, studimi i metodave të integrimit zbret në zbulimin e llojit të zëvendësimit të variablave që duhet bërë për këtë apo atë lloj integrand.

Kështu, integrimi i çdo thyese racionale reduktohet në integrimin e një polinomi dhe disa thyesave të thjeshta.

Integrali i çdo funksioni racional mund të shprehet përmes funksioneve elementare në formën përfundimtare, përkatësisht:

përmes logaritmeve - në rastet e thyesave të thjeshta të tipit 1;

përmes funksioneve racionale - në rastin e thyesave të thjeshta të tipit 2

përmes logaritmeve dhe arktangjentëve - në rastin e fraksioneve të thjeshta të tipit 3

përmes funksioneve racionale dhe arktangjentëve - në rastin e fraksioneve të thjeshta të tipit 4. Zëvendësimi universal trigonometrik gjithmonë racionalizon integrandin, por shpesh çon në fraksione racionale shumë të rënda, për të cilat, në veçanti, është pothuajse e pamundur të gjesh rrënjët e emëruesit. Prandaj, sa herë që është e mundur, përdoren zëvendësime të pjesshme, të cilat gjithashtu racionalizojnë integrandin dhe çojnë në fraksione më pak komplekse.

Formula Njuton-Leibnizështë një qasje e përgjithshme për gjetjen e integraleve të caktuar.

Sa i përket teknikave për llogaritjen e integraleve të përcaktuara, ato praktikisht nuk ndryshojnë nga të gjitha ato teknika dhe metoda.

Aplikoni saktësisht në të njëjtën mënyrë metodat e zëvendësimit(ndryshimi i ndryshores), metoda e integrimit sipas pjesëve, të njëjtat teknika për gjetjen e antiderivativëve për funksionet trigonometrike, irracionale dhe transcendentale. E vetmja veçori është se gjatë përdorimit të këtyre teknikave është e nevojshme të shtrihet transformimi jo vetëm në funksionin integrand, por edhe në kufijtë e integrimit. Kur zëvendësoni variablin e integrimit, mos harroni të ndryshoni kufijtë e integrimit në përputhje me rrethanat.

Si duhet nga teorema, kushti për vazhdimësinë e funksionitështë një kusht i mjaftueshëm për integrueshmërinë e një funksioni. Por kjo nuk do të thotë se integrali i caktuar ekziston vetëm për funksionet e vazhdueshme. Klasa e funksioneve të integrueshme është shumë më e gjerë. Për shembull, ekziston një integral i caktuar funksionesh që kanë një numër të kufizuar pikash ndërprerjeje.

Llogaritja e një integrali të caktuar të një funksioni të vazhdueshëm duke përdorur formulën e Njuton-Leibnizit rezulton në gjetjen e antiderivativit, i cili ekziston gjithmonë, por nuk është gjithmonë një funksion elementar ose një funksion për të cilin janë përpiluar tabela që bëjnë të mundur marrjen e vlerës së integralen. Në shumë aplikacione, funksioni i integrueshëm është specifikuar në një tabelë dhe formula e Newton-Leibniz nuk është drejtpërdrejt e zbatueshme.

Nëse keni nevojë të merrni rezultatin më të saktë, ai është ideal Metoda Simpson.

Nga sa u studiua më sipër, mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm se integrali përdoret në shkenca të tilla si fizika, gjeometria, matematika dhe shkenca të tjera. Duke përdorur integralin, llogaritet puna e forcës, gjenden koordinatat e qendrës së masës dhe shtegu i përshkuar nga pika materiale. Në gjeometri përdoret për të llogaritur vëllimin e një trupi, për të gjetur gjatësinë e harkut të një lakore etj.

Departamenti i Matematikës së Lartë

Përfunduar nga: Matveev F.I.

Kontrolluar nga: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Metodat numerike të integrimit

2. Nxjerrja e formulës së Simpsonit

3.Ilustrim gjeometrik

4.Përzgjedhja e hapit të integrimit

5.Shembuj

1. Metodat numerike të integrimit

Problemi i integrimit numerik është llogaritja e integralit

Nëpërmjet një sërë vlerash të integrandit.

Problemet e integrimit numerik duhet të zgjidhen për funksionet e specifikuara në tabela, funksionet integralet e të cilëve nuk merren në funksionet elementare, etj. Le të shqyrtojmë vetëm funksionet e një ndryshoreje.

Në vend të funksionit që duhet të integrohet, ne integrojmë polinomin e interpolimit. Metodat e bazuara në zëvendësimin e integrandit me një polinom interpolimi bëjnë të mundur vlerësimin e saktësisë së rezultatit duke përdorur parametrat e polinomit ose zgjedhjen e këtyre parametrave bazuar në saktësinë e dhënë.

Metodat numerike mund të grupohen me kusht sipas metodës së përafrimit të integrandit.

Metodat Newton-Cotes bazohen në përafrimin e një funksioni me një polinom shkallë. Algoritmi i kësaj klase ndryshon vetëm në shkallën e polinomit. Si rregull, nyjet e polinomit të përafërt janë të barabarta.

Metodat e integrimit spline bazohen në përafrimin e një funksioni me anë të një polinomi të ndarë në pjesë.

Metodat e saktësisë më të lartë algjebrike (metoda Gaussian) përdorin nyje të pabarabarta të zgjedhura posaçërisht që ofrojnë një gabim minimal integrimi për një numër të caktuar (të zgjedhur) nyjesh.

Metodat Monte Carlo përdoren më shpesh kur llogariten integrale të shumëfishta; nyjet zgjidhen në mënyrë të rastësishme dhe përgjigja është probabiliste.

gabim total

gabim shkurtimi

gabim rrumbullakimi

Pavarësisht nga metoda e zgjedhur, në procesin e integrimit numerik është e nevojshme të llogaritet vlera e përafërt e integralit dhe të vlerësohet gabimi. Gabimi zvogëlohet me rritjen e numrit n

ndarjet e segmenteve. Megjithatë, kjo rrit gabimin e rrumbullakosjes

duke mbledhur vlerat e integraleve të llogaritura në segmente të pjesshme.

Gabimi i shkurtimit varet nga vetitë e integrandit dhe gjatësia e segmentit të pjesshëm.

2. Nxjerrja e formulës së Simpsonit

Nëse për çdo çift segmentesh ndërtojmë një polinom të shkallës së dytë, pastaj e integrojmë dhe përdorim vetinë e aditivitetit të integralit, marrim formulën e Simpsonit.

Le të shqyrtojmë integrandin në segmentin . Le ta zëvendësojmë këtë integrand me një polinom të interpolimit të Lagranzhit të shkallës së dytë, që përkon me në pikat:

Le të integrojmë:

dhe quhet formula e Simpsonit.

Vlera e marrë për integralin përkon me sipërfaqen e një trapezi lakor të kufizuar nga boshti, vijat e drejta dhe një parabolë që kalon nëpër pika

Tani le të vlerësojmë gabimin e integrimit duke përdorur formulën e Simpson. Do të supozojmë se ka derivate të vazhdueshme në interval . Le të bëjmë dallimin

Tashmë është e mundur të zbatohet teorema e vlerës mesatare për secilin prej këtyre dy integraleve, pasi funksioni është i vazhdueshëm dhe jo negativ në intervalin e parë të integrimit dhe jo pozitiv në të dytin (d.m.th., ai nuk ndryshon shenjë në secilin të këtyre intervaleve). Kjo është arsyeja pse:

(ne kemi përdorur teoremën e vlerës mesatare pasi - është një funksion i vazhdueshëm; ).

Duke diferencuar dy herë dhe më pas duke aplikuar teoremën e vlerës mesatare, marrim një shprehje tjetër për:

, Ku

Nga të dy vlerësimet për këtë rrjedh se formula e Simpsonit është e saktë për polinomet e shkallës jo më të lartë se tre. Le të shkruajmë formulën e Simpsonit, për shembull, në formën:

Nëse segmenti i integrimit është shumë i madh, atëherë ai ndahet në pjesë të barabarta (duke supozuar ), dhe më pas në çdo çift segmentesh ngjitur, ,..., aplikoni formulën Simpson, përkatësisht:

Le të shkruajmë formulën e Simpsonit në formë të përgjithshme:

Gabim i formulës së Simpson - metoda e rendit të katërt:

, (3)

Meqenëse metoda Simpson ju lejon të merrni saktësi të lartë, nëse jo shumë të lartë. Përndryshe, metoda e rendit të dytë mund të japë saktësi më të madhe.

Për shembull, për një funksion, forma trapezoidale për for jep rezultatin e saktë, ndërsa duke përdorur formulën e Simpson-it marrim

3. Ilustrim gjeometrik

Në një segment me gjatësi 2h, ndërtohet një parabolë që kalon nëpër tre pika, . Zona nën parabolë, e mbyllur midis boshtit OX dhe vijave të drejta, merret e barabartë me integralin.

Një tipar i veçantë i aplikimit të formulës së Simpsonit është fakti se numri i ndarjeve të segmentit të integrimit është çift.

Nëse numri i segmenteve të ndarjes është tek, atëherë për tre segmentet e para duhet të aplikohet një formulë duke përdorur një parabolë të shkallës së tretë që kalon nëpër katër pikat e para për të përafruar integrandin.

(4)

Kjo është formula e tre të tetat e Simpson.

Për një segment arbitrar të integrimit, formula (4) mund të "vazhdohet"; në këtë rast, numri i segmenteve të pjesshme duhet të jetë shumëfish i tre (pikave).

, m=2,3,... (5)

E gjithë pjesa

Ju mund të merrni formulat Newton-Cotes të porosive më të larta:

(6)

Numri i segmenteve të ndarjes;

Shkalla e polinomit të përdorur;

Derivati ​​i rendit të th në pikën ;

Hapi i ndarjes.

Tabela 1 tregon koeficientët. Çdo rresht i korrespondon një grupi intervalesh nga nyjet për të ndërtuar një polinom të shkallës k. Për të përdorur këtë skemë për më shumë grupe (për shembull, me k=2 dhe n=6), ju duhet të "vazhdoni" koeficientët dhe më pas t'i shtoni ato.

Tabela 1:

Algoritmi i vlerësimit të gabimit për formulat trapezoidale dhe Simpson mund të shkruhet si: (7),

ku është një koeficient në varësi të metodës së integrimit dhe vetive të integrandit;

h - hapi i integrimit;

p - renditja e metodës.

Rregulli i Runge përdoret për të llogaritur gabimin duke llogaritur integralin dy herë me hapat h dhe kh.

(8) - një vlerësim posteriori. Pastaj Iref.= +Ro (9), vlera e rafinuar e integralit.

Nëse rendi i metodës është i panjohur, është e nevojshme të llogaritet I për herë të tretë me hapin , që është:

nga një sistem me tre ekuacione:

me të panjohurat I, A dhe p marrim:

Nga (10) vijon (11)

Kështu, metoda e dyfishtë e llogaritjes, e përdorur numrin e kërkuar të herë, lejon që dikush të llogarisë integralin me një shkallë të caktuar saktësie. Numri i kërkuar i ndarjeve zgjidhet automatikisht. Në këtë rast, ju mund të përdorni thirrje të shumta në nënprogramet e metodave përkatëse të integrimit pa ndryshuar algoritmet e këtyre metodave. Megjithatë, për metodat që përdorin nyje të lidhura njësoj, është e mundur të modifikohen algoritmet dhe të përgjysmohet numri i llogaritjeve të integrandit duke përdorur shumat integrale të grumbulluara gjatë ndarjeve të shumta të mëparshme të intervalit të integrimit. Dy vlera të përafërta të integralit dhe, të llogaritura duke përdorur metodën trapezoidale me hapa dhe, lidhen me relacionin:

Në mënyrë të ngjashme, për integralet e llogaritura duke përdorur formulën me hapa dhe , relacionet e mëposhtme janë të vërteta:

,

(13)

4. Zgjedhja e hapit të integrimit

Për të zgjedhur hapin e integrimit, mund të përdorni shprehjen e termit të mbetur. Merrni, për shembull, pjesën e mbetur të formulës së Simpson:

Nëse ê ê, atëherë ê ê .

Bazuar në saktësinë e dhënë e të metodës së integrimit, përcaktojmë hapin e duhur nga pabarazia e fundit.

, .

Megjithatë, kjo metodë kërkon vlerësim (gjë që nuk është gjithmonë e mundur në praktikë). Prandaj, ata përdorin metoda të tjera për përcaktimin e vlerësimit të saktësisë, të cilat bëjnë të mundur zgjedhjen e hapit të dëshiruar h gjatë llogaritjeve.

Le të shohim një nga këto teknika. Le

,

ku është vlera e përafërt e integralit me hapin . Le ta zvogëlojmë hapin përgjysmë, duke e ndarë segmentin në dy pjesë të barabarta dhe ().

Le të supozojmë tani se nuk ndryshon shumë shpejt, kështu që është pothuajse konstante: . Pastaj Dhe , ku , kjo eshte .

Nga kjo mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: nëse , pra, nëse , , a është saktësia e kërkuar, atëherë hapi është i përshtatshëm për llogaritjen e integralit me saktësi të mjaftueshme. Nëse, atëherë llogaritja përsëritet me hapa dhe më pas krahasohet, etj. Ky rregull quhet rregulli i Runge.

Sidoqoftë, kur zbatohet rregulli i Runge, është e nevojshme të merret parasysh madhësia e gabimit të llogaritjes: ndërsa zvogëlohet, gabimi absolut i llogaritjes së integralit rritet (varësia nga është në përpjesëtim të zhdrejtë) dhe, nëse është mjaft i vogël, ai mund të rezultojë të jetë më i madh se gabimi i metodës. Nëse tejkalon , atëherë rregulli i Runge nuk mund të zbatohet për këtë hap dhe nuk mund të arrihet saktësia e dëshiruar. Në raste të tilla është e nevojshme të rritet vlera.

Kur nxirrni rregullin e Runge, në thelb keni përdorur supozimin se . Nëse ekziston vetëm një tabelë vlerash, atëherë kontrolli për “qëndrueshmërinë” mund të bëhet direkt nga tabela.Zhvillimi i mëtejshëm i algoritmeve të mësipërm na lejon të kalojmë në algoritme adaptive, në të cilat, duke zgjedhur një hap të ndryshëm integrimi në pjesë të ndryshme të segmentit të integrimit, në varësi të vetive, numri i llogaritjeve të integrandit zvogëlohet.

Një tjetër skemë për rafinimin e vlerave integrale është procesi Eithnen. Integrali llogaritet me hapa, dhe . Llogaritja e vlerave. Pastaj (14).

Masa e saktësisë së metodës Simpson merret si:

5. Shembuj

Shembulli 1. Llogaritni integralin duke përdorur formulën e Simpsonit nëse jepet nga një tabelë. Vlerësoni gabimin.

Tabela 3.

Zgjidhje: Le të llogarisim me formulën (1) për dhe integrale .

Sipas rregullit të Runge ne marrim Prano.

Shembulli 2. Llogarit integralin .

Zgjidhja: Ne kemi. Prandaj h==0.1. Rezultatet e llogaritjes janë paraqitur në tabelën 4.

Tabela 4.

Llogaritja e integralit duke përdorur formulën e Simpsonit

		y0=1.00000; -0,329573 £ 3. Vlerësimet për gabimin e metodës Simpson: £ 0,0000017 për =0,1, £ 0,0000002 për =0,05. Për të parandaluar që gabimet e rrumbullakimit të shtrembërojnë një rezultat kaq të saktë për formulën e Simpson, të gjitha llogaritjet u kryen me gjashtë shifra dhjetore. Rezultatet përfundimtare: