Shpërndarja binomiale. Shpërndarjet diskrete në EXCEL. Shpërndarja binomiale e një ndryshoreje të rastësishme Shpërndarja binomiale Excel

Le të shqyrtojmë shpërndarjen Binomial, të llogarisim pritshmërinë, variancën dhe mënyrën e tij matematikore. Duke përdorur funksionin MS EXCEL BINOM.DIST(), ne do të vizatojmë grafikët e funksionit të shpërndarjes dhe densitetit të probabilitetit. Le të vlerësojmë parametrin e shpërndarjes p, pritshmërinë matematikore të shpërndarjes dhe devijimin standard. Le të shqyrtojmë gjithashtu shpërndarjen e Bernoulli.

Përkufizimi. Lërini të zënë vend n prova, në secilën prej të cilave mund të ndodhin vetëm 2 ngjarje: ngjarja "sukses" me probabilitetin fq ose një ngjarje "dështimi" me një probabilitet q =1-p (i ashtuquajturi Skema Bernoulli,Bernoulligjykimet).

Probabiliteti për të marrë saktësisht x sukses në këto n testet janë të barabarta me:

Numri i sukseseve në kampion x është një ndryshore e rastësishme që ka Shpërndarja binomiale(anglisht) Binomshpërndarja) fq Dhe n – janë parametrat e kësaj shpërndarjeje.

Ju lutemi mbani mend që ta përdorni Skemat Bernoulli dhe përkatësisht Shpërndarja binomiale, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme:

• Çdo test duhet të ketë saktësisht dy rezultate, të quajtura në mënyrë konvencionale "sukses" dhe "dështim".
• rezultati i çdo testi nuk duhet të varet nga rezultatet e testeve të mëparshme (pavarësia e testit).
• probabiliteti i suksesit fq duhet të jetë konstante për të gjitha testet.

Shpërndarja binomiale në MS EXCEL

Në MS EXCEL, duke filluar nga versioni 2010, për ekziston një funksion BINOM.DIST(), Emri anglisht- BINOM.DIST(), i cili ju lejon të llogaritni probabilitetin që mostra të përmbajë saktësisht X"sukses" (d.m.th. funksioni i densitetit të probabilitetit p(x), shih formulën e mësipërme), dhe funksioni kumulativ i shpërndarjes(probabiliteti që do të ketë kampioni x ose më pak "sukses", duke përfshirë 0).

Përpara MS EXCEL 2010, EXCEL kishte një funksion BINOMDIST(), i cili gjithashtu ju lejon të llogaritni funksioni i shpërndarjes Dhe dendësia e probabilitetit p(x). BINOMIST() është lënë në MS EXCEL 2010 për pajtueshmëri.

Skedari shembull përmban grafikë Shpërndarja e densitetit të probabilitetit Dhe .

Shpërndarja binomiale ka emërtimin B (n ; fq) .

shënim: Për ndërtim funksioni kumulativ i shpërndarjes diagrami i tipit perfekt Orari, Për dendësia e shpërndarjes – Histogram me grupim. Për më shumë informacion rreth krijimit të grafikëve, lexoni artikullin Llojet bazë të grafikëve.

shënim: Për lehtësinë e shkrimit të formulave, emrat për parametrat janë krijuar në skedarin e shembullit Shpërndarja binomiale: n dhe p.

Skedari shembull tregon llogaritje të ndryshme të probabilitetit duke përdorur funksionet MS EXCEL:

Siç mund ta shihni në foton e mësipërme, supozohet se:

• Popullata e pafundme nga e cila është marrë kampioni përmban 10% (ose 0.1) elementë të vlefshëm (parametër fq, argumenti i funksionit të tretë = BINOM.DIST() )
• Për të llogaritur probabilitetin që në një kampion prej 10 elementësh (parametër n, argumenti i dytë i funksionit) do të ketë saktësisht 5 elementë të vlefshëm (argumenti i parë), duhet të shkruani formulën: =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• Elementi i fundit, i katërt është vendosur = FALSE, d.m.th. kthehet vlera e funksionit dendësia e shpërndarjes .

Nëse vlera e argumentit të katërt = TRUE, atëherë funksioni BINOM.DIST() kthen vlerën funksioni kumulativ i shpërndarjes ose thjesht Funksioni i shpërndarjes. Në këtë rast, mund të llogarisni probabilitetin që numri i elementeve të mira në një mostër të jetë nga një gamë e caktuar, për shembull, 2 ose më pak (duke përfshirë 0).

Për ta bërë këtë ju duhet të shkruani formulën: = BINOM.DIST(2; 10; 0.1; E VËRTETË)

shënim: Për një vlerë jo të plotë të x, . Për shembull, formulat e mëposhtme do të kthejë të njëjtën vlerë: =BINOM.DIST( 2 ; 10; 0.1; E VËRTETË)=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0.1; E VËRTETË)

shënim: Në skedarin e shembullit dendësia e probabilitetit Dhe funksioni i shpërndarjes llogaritur gjithashtu duke përdorur përkufizimin dhe funksionin NUMBERCOMB() .

Treguesit e shpërndarjes

NË shembull skedari në fletën e punës Shembull Ekzistojnë formula për llogaritjen e disa treguesve të shpërndarjes:

• =n*p;
• (devijimi standard në katror) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Le të nxjerrim formulën pritje matematikoreShpërndarja binomiale duke përdorur Qarku i Bernulit .

Sipas përkufizimit, ndryshorja e rastësishme X in Skema Bernoulli(ndryshorja e rastit Bernoulli) ka funksioni i shpërndarjes :

Kjo shpërndarje quhet Shpërndarja e Bernoulli .

shënim : Shpërndarja e Bernoulli– rast i veçantë Shpërndarja binomiale me parametrin n=1.

Le të gjenerojmë 3 vargje me nga 100 numra secila me probabilitete të ndryshme suksesi: 0.1; 0.5 dhe 0.9. Për ta bërë këtë në dritare Gjenerimi i numrave të rastësishëm Le të vendosim parametrat e mëposhtëm për çdo probabilitet p:

shënim: Nëse vendosni opsionin Shpërndarje e rastësishme (Farë e rastësishme), atëherë mund të zgjidhni një grup specifik të rastësishëm numrash të gjeneruar. Për shembull, duke vendosur këtë opsion =25, mund të gjeneroni të njëjtat grupe numrash të rastësishëm në kompjuterë të ndryshëm (nëse, sigurisht, parametrat e tjerë të shpërndarjes janë të njëjtë). Vlera e opsionit mund të marrë vlera të plota nga 1 në 32,767. Emri i opsionit Shpërndarje e rastësishme mund të jetë konfuze. Do të ishte më mirë të përkthehej si Thirrni numrin me numra të rastit .

Si rezultat, ne do të kemi 3 kolona me 100 numra, në bazë të të cilave mund të vlerësojmë, për shembull, probabilitetin e suksesit fq sipas formulës: Numri i sukseseve/100(cm. Shembull i fletës së skedarit GenerationBernoulli).

shënim: Për Shpërndarjet e Bernoulli me p=0.5 mund të përdorni formulën =RANDBETWEEN(0;1) që i përgjigjet .

Gjenerimi i numrave të rastësishëm. Shpërndarja binomiale

Le të supozojmë se ka 7 produkte me defekt në mostër. Kjo do të thotë se ka "shumë të ngjarë" që përqindja e produkteve me defekt të ketë ndryshuar fq, e cila është një karakteristikë e procesit tonë të prodhimit. Megjithëse një situatë e tillë është "shumë e mundshme", ekziston një mundësi (rreziku alfa, gabimi i tipit 1, "alarmi i rremë") që fq mbeti i pandryshuar, dhe rritja e numrit të produkteve me defekt ishte si rezultat i kampionimit të rastësishëm.

Siç mund të shihet në figurën më poshtë, 7 është numri i produkteve me defekt që është i pranueshëm për një proces me p=0.21 në të njëjtën vlerë. Alfa. Kjo ilustron se kur tejkalohet vlera e pragut të artikujve me defekt në një mostër, fq"Me shumë gjasa" është rritur. Shprehja "me shumë gjasa" do të thotë se ka vetëm një probabilitet 10% (100%-90%) që devijimi i përqindjes së produkteve me defekt mbi pragun të jetë vetëm për arsye të rastësishme.

Kështu, tejkalimi i numrit të pragut të produkteve me defekt në mostër mund të shërbejë si një sinjal se procesi është mërzitur dhe ka filluar të prodhojë produkte të përdorura. O përqindje më e lartë e produkteve me defekt.

shënim: Përpara MS EXCEL 2010, EXCEL kishte një funksion CRITBINOM(), i cili është ekuivalent me BINOM.INV(). CRITBINOM() është lënë në MS EXCEL 2010 dhe më lart për pajtueshmëri.

Lidhja e shpërndarjes binomiale me shpërndarjet e tjera

Nëse parametri nShpërndarja binomiale priret në pafundësi, dhe fq tenton në 0, atëherë në këtë rast Shpërndarja binomiale mund të përafrohet. Mund të formulojmë kushte kur përafrimi Shpërndarja Poisson funksionon mirë:

• fq(sa më pak fq dhe me shume n, sa më i saktë të jetë përafrimi);
• fq >0,9 (duke pasur parasysh atë q =1- fq, llogaritjet në këtë rast duhet të bëhen përmes q(A X duhet zëvendësuar me n - x). Prandaj, aq më pak q dhe me shume n, aq më i saktë është përafrimi).

Në 0.110 Shpërndarja binomiale mund të përafrohet.

Nga ana e tij, Shpërndarja binomiale mund të shërbejë si një përafrim i mirë kur madhësia e popullsisë është N Shpërndarja hipergjeometrike shumë më e madhe se madhësia e kampionit n (d.m.th., N>>n ose n/N). Mund të lexoni më shumë rreth marrëdhënies midis shpërndarjeve të mësipërme në artikull. Janë dhënë edhe shembuj të përafrimit, si dhe kushtet se kur është të mundshme dhe me çfarë saktësie shpjegohen.

KËSHILLA: Mund të lexoni për shpërndarjet e tjera të MS EXCEL në artikull.

Shpërndarja binomiale është një nga shpërndarjet më të rëndësishme të probabilitetit të një diskrete të ndryshueshme ndryshore e rastësishme. Shpërndarja binomiale është shpërndarja e probabilitetit të numrit m ndodhja e një ngjarjeje A V n vëzhgime të pavarura reciproke. Shpesh një ngjarje A quhet "sukses" i një vëzhgimi, dhe ngjarja e kundërt quhet "dështim", por ky emërtim është shumë i kushtëzuar.

Kushtet binomiale të shpërndarjes:

• në total të kryera n gjykimet në të cilat ngjarja A mund të ndodhë ose jo;
• ngjarje A në çdo provë mund të ndodhë me të njëjtën probabilitet fq;
• testet janë reciprokisht të pavarura.

Probabiliteti që në n ngjarje testuese A do të vijë pikërisht m herë, mund të llogaritet duke përdorur formulën e Bernoulli:

Ku fq- probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje A;

q = 1 - fq- probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes së kundërt.

Le ta kuptojmë pse shpërndarja binomiale lidhet me formulën e Bernulit në mënyrën e përshkruar më sipër? . Ngjarja - numri i sukseseve në n testet ndahen në një numër opsionesh, në secilën prej të cilave arrihet suksesi m testet, dhe dështimi - në n - m testet. Le të shqyrtojmë një nga këto opsione - B1 . Duke përdorur rregullin për shtimin e probabiliteteve, ne shumëzojmë probabilitetet e ngjarjeve të kundërta:

,

dhe nëse shënojmë q = 1 - fq, Kjo

.

Çdo opsion tjetër në të cilin m sukses dhe n - m dështimet. Numri i opsioneve të tilla është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mundeni n test marr m sukses.

Shuma e të gjitha probabiliteteve m numrat e ngjarjeve A(numrat nga 0 në n) është e barabartë me një:

ku çdo term përfaqëson një term në binomin e Njutonit. Prandaj, shpërndarja në shqyrtim quhet shpërndarje binomiale.

Në praktikë, shpesh është e nevojshme të llogariten probabilitetet "jo më shumë se m sukses në n teste" ose "të paktën m sukses në n teste". Për këtë përdoren formulat e mëposhtme.

Funksioni integral, pra probabiliteti F(m) çfarë ka n ngjarje vëzhguese A nuk do të vijë më m një herë, mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Nga ana e saj probabiliteti F(≥m) çfarë ka n ngjarje vëzhguese A do të vijë jo më pak m një herë, llogaritet me formulën:

Ndonjëherë është më e përshtatshme për të llogaritur probabilitetin që n ngjarje vëzhguese A nuk do të vijë më m herë, përmes probabilitetit të ngjarjes së kundërt:

.

Cila formulë të përdoret varet nga ajo se cila prej tyre ka shumën që përmban më pak terma.

Karakteristikat e shpërndarjes binomiale llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme .

Vlera e pritshme: .

Dispersioni: .

Devijimi standard: .

Shpërndarja binomiale dhe llogaritjet në MS Excel

Probabiliteti binomial P n ( m) dhe vlerat e funksionit integral F(m) mund të llogaritet duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST. Dritarja për llogaritjen përkatëse shfaqet më poshtë (klikoni majtas për ta zmadhuar).

MS Excel kërkon që të futni të dhënat e mëposhtme:

• numri i sukseseve;
• numri i testeve;
• probabiliteti i suksesit;
• integrale - vlera logjike: 0 - nëse duhet të llogarisni probabilitetin P n ( m) dhe 1 - nëse probabiliteti F(m).

Shembulli 1. Menaxheri i kompanisë përmblodhi informacionin mbi numrin e kamerave të shitura gjatë 100 ditëve të fundit. Tabela përmbledh informacionin dhe llogarit probabilitetet që një numër i caktuar kamerash të shiten në ditë.

Dita përfundon me fitim nëse shiten 13 ose më shumë kamera. Probabiliteti që dita të funksionojë me fitim:

Probabiliteti që një ditë do të punohet pa fitim:

Le të jetë probabiliteti që një ditë të punohet me fitim të jetë konstante dhe e barabartë me 0.61, dhe numri i kamerave të shitura në ditë nuk varet nga dita. Pastaj mund të përdorim shpërndarjen binomiale, ku ndodh ngjarja A- dita do të punohet me fitim, - pa fitim.

Probabiliteti që të gjitha 6 ditët të përpunohen me fitim:

.

Ne marrim të njëjtin rezultat duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST (vlera e vlerës integrale është 0):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

Probabiliteti që nga 6 ditë 4 ose më shumë ditë do të punohen me fitim:

Ku ,

,

Duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST, ne llogarisim probabilitetin që nga 6 ditë jo më shumë se 3 ditë të përfundojnë me fitim (vlera e vlerës integrale është 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0.61; 1) = 0.435.

Probabiliteti që të gjitha 6 ditët të përpunohen me humbje:

,

Mund të llogarisim të njëjtin tregues duke përdorur funksionin MS Excel BINOM.DIST:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

Zgjidheni problemin vetë dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 2. Në urnë ka 2 topa të bardhë dhe 3 topa të zinj. Nga urna nxirret një top, vendoset ngjyra dhe vendoset përsëri. Përpjekja përsëritet 5 herë. Numri i shfaqjes së topave të bardhë është një ndryshore e rastësishme diskrete X, të shpërndara sipas ligjit binomial. Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme. Përcaktoni mënyrën, pritjen matematikore dhe shpërndarjen.

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemet së bashku

Shembulli 3. Nga shërbimi korrier shkuam në faqet n= 5 korrierë. Çdo korrier ka të ngjarë fq= 0.3, pavarësisht nga të tjerët, është vonë për objektin. Ndryshore diskrete e rastësishme X- numri i korrierëve të vonuar. Ndërtoni një seri shpërndarjeje për këtë ndryshore të rastësishme. Gjeni pritshmërinë e tij matematikore, variancën, devijimin standard. Gjeni probabilitetin që të paktën dy korrierë të vonohen për objektet.

Në këtë dhe në postimet e ardhshme do të shikojmë modelet matematikore të ngjarjeve të rastësishme. Modeli matematikështë një shprehje matematikore që përfaqëson një ndryshore të rastësishme. Për variabla diskrete të rastësishme, kjo shprehje matematikore njihet si funksioni i shpërndarjes.

Nëse problemi ju lejon të shkruani në mënyrë eksplicite një shprehje matematikore që përfaqëson një ndryshore të rastësishme, mund të llogarisni probabilitetin e saktë të cilësdo prej vlerave të saj. Në këtë rast, mund të llogaritni dhe listoni të gjitha vlerat e funksionit të shpërndarjes. Një shumëllojshmëri e shpërndarjeve të variablave të rastësishëm hasen në aplikime biznesi, sociologjike dhe mjekësore. Një nga shpërndarjet më të dobishme është binomi.

Shpërndarja binomiale përdoret për të simuluar situata të karakterizuara nga veçoritë e mëposhtme.

• Mostra përbëhet nga një numër fiks elementësh n, që përfaqëson rezultatet e një testi të caktuar.
• Çdo element i mostrës i përket njërës prej dy kategorive ekskluzive reciproke që shterojnë të gjithë hapësirën e mostrës. Zakonisht këto dy kategori quhen sukses dhe dështim.
• Probabiliteti i suksesit Rështë konstante. Prandaj, probabiliteti i dështimit është 1 – fq.
• Rezultati (d.m.th. suksesi ose dështimi) i çdo prove nuk varet nga rezultati i një prove tjetër. Për të siguruar pavarësinë e rezultateve, elementët e mostrës zakonisht merren duke përdorur dy metoda të ndryshme. Çdo element në kampion është nxjerrë rastësisht nga një popullatë e pafundme pa rikthim ose nga një popullatë e fundme me rikthim.

Shkarkoni shënimin në ose format, shembuj në format

Shpërndarja binomiale përdoret për të vlerësuar numrin e sukseseve në një kampion të përbërë nga n vëzhgimet. Le të marrim porosinë si shembull. Për të bërë një porosi, klientët e Saxon Company mund të përdorin formularin elektronik interaktiv dhe ta dërgojnë atë në kompani. Sistemi i informacionit më pas kontrollon për gabime, informacione të paplota ose të pasakta në porosi. Çdo urdhër në fjalë shënohet dhe përfshihet në raportin ditor të përjashtimit. Të dhënat e mbledhura nga kompania tregojnë se probabiliteti i gabimeve në porosi është 0.1. Një kompani do të donte të dinte se cila është probabiliteti për të gjetur një numër të caktuar porosish të gabuara në një mostër të caktuar. Për shembull, supozoni se klientët kanë përfunduar katër forma elektronike. Sa është probabiliteti që të gjitha porositë të jenë pa gabime? Si të llogarisni këtë probabilitet? Me sukses do të kuptojmë një gabim gjatë plotësimit të formularit dhe të gjitha rezultatet e tjera do të konsiderohen si dështim. Kujtojmë që ne jemi të interesuar për numrin e porosive të gabuara në një mostër të caktuar.

Çfarë rezultatesh mund të vëzhgojmë? Nëse kampioni përbëhet nga katër rend, një, dy, tre ose të katër mund të jenë të pasakta dhe të gjitha mund të jenë të sakta. A mund të marrë ndonjë vlerë tjetër një ndryshore e rastësishme që përshkruan numrin e formularëve të plotësuar gabimisht? Kjo nuk është e mundur sepse numri i formularëve të pasaktë nuk mund të kalojë madhësinë e mostrës n ose të jetë negativ. Kështu, një ndryshore e rastësishme që i bindet ligjit të shpërndarjes binomiale merr vlera nga 0 në n.

Le të supozojmë se në një kampion prej katër rendesh vërehen rezultatet e mëposhtme:

Sa është probabiliteti për të gjetur tre urdhra të gabuar në një kampion prej katër renditjesh, sipas rendit të specifikuar? Sepse studimet paraprake tregoi se probabiliteti i një gabimi gjatë plotësimit të formularit është 0.10, probabilitetet e rezultateve të mësipërme llogariten si më poshtë:

Meqenëse rezultatet nuk varen nga njëra-tjetra, probabiliteti i sekuencës së specifikuar të rezultateve është i barabartë me: p*p*(1–p)*p = 0.1*0.1*0.9*0.1 = 0.0009. Nëse keni nevojë të llogarisni numrin e zgjedhjeve X n elemente, duhet të përdorni formulën e kombinimit (1):

ku n! = n * (n –1) * (n – 2) * … * 2 * 1 - faktorial i një numri n, dhe 0! = 1 dhe 1! = 1 sipas përkufizimit.

Kjo shprehje shpesh referohet si . Kështu, nëse n = 4 dhe X = 3, numri i sekuencave që përbëhen nga tre elementë të nxjerrë nga një madhësi kampion prej 4 përcaktohet nga formula e mëposhtme:

Prandaj, probabiliteti i zbulimit të tre porosive të gabuara llogaritet si më poshtë:

(Numri i sekuencave të mundshme) *
(probabiliteti i një sekuence të veçantë) = 4 * 0.0009 = 0.0036

Në mënyrë të ngjashme, mund të llogarisni probabilitetin që midis katër urdhrave të ketë një ose dy të gabuara, si dhe probabilitetin që të gjitha urdhrat të jenë të gabuara ose të gjitha të jenë të sakta. Megjithatë, me rritjen e madhësisë së mostrës n përcaktimi i probabilitetit të një sekuence të caktuar rezultatesh bëhet më i vështirë. Në këtë rast, e përshtatshme modeli matematik, duke përshkruar shpërndarjen binomiale të numrit të zgjedhjeve X objekte nga një përzgjedhje që përmban n elementet.

Shpërndarja binomiale

Ku P(X)- probabiliteti X sukses për një madhësi të caktuar kampioni n dhe probabilitetin e suksesit R, X = 0, 1, … n.

Ju lutemi vini re se formula (2) është një zyrtarizim i përfundimeve intuitive. Vlera e rastësishme X, e cila i bindet shpërndarjes binomiale, mund të marrë çdo vlerë të plotë në rangun nga 0 në n. Puna RX(1 – p)n – X paraqet probabilitetin e një sekuence të caktuar që përbëhet nga X sukses në një madhësi kampion të barabartë me n. Vlera përcakton numrin e kombinimeve të mundshme që përbëhen nga X sukses në n testet. Prandaj, për një numër të caktuar testesh n dhe probabilitetin e suksesit R probabiliteti i një sekuence të përbërë nga X sukses, i barabartë

P(X) = (numri i sekuencave të mundshme) * (probabiliteti i një sekuence të caktuar) =

Le të shqyrtojmë shembuj që ilustrojnë zbatimin e formulës (2).

1. Le të supozojmë se probabiliteti për të plotësuar gabimisht formularin është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, tre të jenë të pasaktë? Duke përdorur formulën (2), ne gjejmë se probabiliteti i zbulimit të tre urdhrave të gabuar në një kampion të përbërë nga katër rend është i barabartë me

2. Le të supozojmë se probabiliteti i plotësimit të gabuar të formularit është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, të paktën tre të jenë të pasaktë? Siç tregohet në shembullin e mëparshëm, probabiliteti që midis katër formularëve të plotësuar, tre të jenë të pasaktë është 0.0036. Për të llogaritur probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar të paktën tre të jenë të pasaktë, duhet të shtoni probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar tre të jenë të pasaktë dhe probabilitetin që midis katër formularëve të plotësuar të gjithë të jenë të pasaktë. Probabiliteti i ngjarjes së dytë është

Kështu, probabiliteti që midis katër formularëve të plotësuar të paktën tre të jenë të pasaktë është i barabartë me

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Le të supozojmë se probabiliteti i plotësimit të gabuar të formularit është 0.1. Sa është probabiliteti që nga katër formularët e plotësuar, më pak se tre të jenë të pasaktë? Probabiliteti i kësaj ngjarje

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Duke përdorur formulën (2), ne llogarisim secilën nga këto probabilitete:

Prandaj, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Probabiliteti P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Pastaj P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

Ndërsa madhësia e kampionit rritet n llogaritjet e ngjashme me ato të kryera në shembullin 3 bëhen të vështira. Për të shmangur këto komplikime, shumë probabilitete binomiale janë tabeluar paraprakisht. Disa nga këto probabilitete janë paraqitur në Fig. 1. Për shembull, për të marrë probabilitetin që X= 2 në n= 4 dhe fq= 0.1, duhet të nxirrni nga tabela numrin në kryqëzimin e vijës X= 2 dhe kolona R = 0,1.

Oriz. 1. Probabiliteti binomial në n = 4, X= 2 dhe R = 0,1

Shpërndarja binomiale mund të llogaritet duke përdorur funksionin Excel =BINOM.DIST() (Fig. 2), i cili ka 4 parametra: numri i sukseseve - X, numri i testeve (ose madhësia e mostrës) - n, probabiliteti i suksesit - R, parametri integrale, e cila merr vlerën TRUE (në këtë rast, probabiliteti llogaritet jo më pak X ngjarje) ose FALSE (në këtë rast probabiliteti llogaritet pikërisht X ngjarje).

Oriz. 2. Parametrat e funksionit =BINOM.DIST()

Për tre shembujt e mësipërm, llogaritjet janë paraqitur në Fig. 3 (shih gjithashtu skedarin Excel). Çdo kolonë përmban një formulë. Numrat tregojnë përgjigjet e shembujve të numrit përkatës).

Oriz. 3. Llogaritja e shpërndarjes binomiale në Excel për n= 4 dhe fq = 0,1

Vetitë e shpërndarjes binomiale

Shpërndarja binomiale varet nga parametrat n Dhe R. Shpërndarja binomiale mund të jetë ose simetrike ose asimetrike. Nëse p = 0,05, shpërndarja binomiale është simetrike pavarësisht nga vlera e parametrit n. Megjithatë, nëse p ≠ 0.05, shpërndarja bëhet e anuar. Sa më afër vlera e parametrit R në 0.05 dhe sa më e madhe të jetë madhësia e kampionit n, aq më pak e theksuar është asimetria e shpërndarjes. Kështu, shpërndarja e numrit të formularëve të plotësuar gabimisht anon djathtas sepse fq= 0,1 (Fig. 4).

Oriz. 4. Histogrami i shpërndarjes binomiale në n= 4 dhe fq = 0,1

Pritja e shpërndarjes binomiale e barabartë me produktin e madhësisë së kampionit n mbi probabilitetin e suksesit R:

(3) M = E(X) =n.p.

Mesatarisht, me një seri mjaftueshëm të gjatë testesh në një kampion të përbërë nga katër urdhra, mund të ketë p = E(X) = 4 x 0.1 = 0.4 formularë të plotësuar gabimisht.

Devijimi standard i shpërndarjes binomiale

Për shembull, devijimi standard i numrit të formularëve të plotësuar gabimisht në një kontabilitet sistemi i informacionit barazohet me:

Janë përdorur materiale nga libri Levin et al Statistics for Managers. – M.: Williams, 2004. – f. 307–313

Teoria e probabilitetit është në mënyrë të padukshme e pranishme në jetën tonë. Ne nuk i kushtojmë vëmendje, por çdo ngjarje në jetën tonë ka një probabilitet ose një tjetër. Duke marrë parasysh numrin e madh të skenarëve të mundshëm, bëhet e nevojshme që ne të përcaktojmë më të mundshmit dhe më pak të mundshëm prej tyre. Është më e përshtatshme që të analizohen grafikisht të dhëna të tilla probabiliste. Shpërndarja mund të na ndihmojë me këtë. Binomi është një nga më të lehtat dhe më të saktat.

Përpara se të kalojmë drejtpërdrejt në matematikë dhe teorinë e probabilitetit, le të kuptojmë se kush ishte i pari që doli me këtë lloj shpërndarjeje dhe cila është historia e zhvillimit të aparatit matematikor për këtë koncept.

Histori

Koncepti i probabilitetit është i njohur që nga kohërat e lashta. Megjithatë, matematikanët e lashtë nuk i kushtuan shumë rëndësi dhe ishin në gjendje të vendosnin vetëm themelet për teorinë që më vonë u bë teoria e probabilitetit. Ata krijuan disa metoda kombinuese që ndihmuan shumë ata që më vonë krijuan dhe zhvilluan vetë teorinë.

Në gjysmën e dytë të shekullit të shtatëmbëdhjetë filloi formimi i koncepteve dhe metodave bazë të teorisë së probabilitetit. U prezantuan përkufizimet e variablave të rastësishëm dhe metodat për llogaritjen e probabilitetit të ngjarjeve të thjeshta dhe disa komplekse të pavarura dhe të varura. Ky interes për variablat dhe probabilitetet e rastësishme u diktua nga kumari: çdo person donte të dinte se cilat ishin shanset e tij për të fituar lojën.

Faza tjetër ishte aplikimi i metodave të analizës matematikore në teorinë e probabilitetit. Matematikanë të shquar si Laplace, Gauss, Poisson dhe Bernoulli morën këtë detyrë. Ishin ata që e avancuan këtë fushë të matematikës në një nivel të ri. Ishte James Bernoulli ai që zbuloi ligjin e shpërndarjes binomiale. Nga rruga, siç do të zbulojmë më vonë, në bazë të këtij zbulimi u bënë disa të tjera, të cilat bënë të mundur krijimin e ligjit të shpërndarjes normale dhe shumë të tjerë.

Tani, përpara se të fillojmë të përshkruajmë shpërndarjen binomiale, do të rifreskojmë pak kujtesën tonë për konceptet e teorisë së probabilitetit, të cilat ndoshta i kemi harruar tashmë nga shkolla.

Bazat e teorisë së probabilitetit

Ne do të shqyrtojmë sisteme të tilla, si rezultat i të cilave janë të mundshme vetëm dy rezultate: "sukses" dhe "dështim". Kjo është e lehtë për t'u kuptuar me një shembull: ne hedhim një monedhë, duke shpresuar se ajo do të dalë në krye. Probabilitetet e secilës prej ngjarjeve të mundshme (rënia e kokës - "sukses", rënia e kokës - "dështimi") janë të barabarta me 50 për qind nëse monedha është e balancuar në mënyrë të përsosur dhe nuk ka faktorë të tjerë që mund të ndikojnë në eksperiment.

Ishte ngjarja më e thjeshtë. Por ka edhe sisteme komplekse, në të cilat kryhen veprime të njëpasnjëshme dhe probabilitetet e rezultateve të këtyre veprimeve do të ndryshojnë. Për shembull, merrni parasysh sistemin e mëposhtëm: në një kuti, përmbajtjen e së cilës nuk mund ta shohim, ka gjashtë topa absolutisht identikë, tre palë ngjyra blu, të kuqe dhe të bardhë. Duhet të marrim disa topa në mënyrë të rastësishme. Prandaj, duke nxjerrë së pari një nga topat e bardhë, ne do të zvogëlojmë ndjeshëm gjasat që të marrim edhe një top të bardhë më pas. Kjo ndodh sepse numri i objekteve në sistem ndryshon.

Në seksionin tjetër, ne do të shikojmë konceptet më komplekse matematikore që na afrojnë me fjalët " shpërndarje normale", "shpërndarje binomiale" dhe të ngjashme.

Elementet e statistikës matematikore

Në statistikat, e cila është një nga fushat e zbatimit të teorisë së probabilitetit, ka shumë shembuj ku të dhënat për analizë nuk jepen në mënyrë eksplicite. Kjo është, jo numerikisht, por në formën e ndarjes sipas karakteristikave, për shembull, sipas gjinisë. Për të aplikuar mjete matematikore në të dhëna të tilla dhe për të nxjerrë disa përfundime nga rezultatet e marra, është e nevojshme të konvertohen të dhënat origjinale në një format numerik. Në mënyrë tipike, për ta bërë këtë, një rezultati pozitiv i caktohet një vlerë prej 1, dhe një rezultati negativ i caktohet një vlerë prej 0. Kështu, marrim të dhëna statistikore që mund të analizohen duke përdorur metoda matematikore.

Hapi tjetër për të kuptuar se çfarë është një shpërndarje binomiale e një ndryshoreje të rastësishme është përcaktimi i variancës së ndryshores së rastësishme dhe pritshmërisë matematikore. Ne do të flasim për këtë në pjesën tjetër.

Vlera e pritshme

Në fakt, të kuptosh se çfarë është pritshmëria matematikore nuk është e vështirë. Konsideroni një sistem në të cilin ka shumë ngjarje të ndryshme me probabilitetet e tyre të ndryshme. Pritshmëria matematikore do të jetë sasia e barabartë me shumën produktet e vlerave të këtyre ngjarjeve (në formën matematikore që diskutuam në pjesën e fundit) nga probabiliteti i ndodhjes së tyre.

Pritshmëria matematikore e një shpërndarjeje binomiale llogaritet duke përdorur të njëjtën skemë: marrim vlerën e një ndryshoreje të rastësishme, e shumëzojmë atë me probabilitetin e një rezultati pozitiv dhe pastaj mbledhim të dhënat që rezultojnë për të gjitha variablat. Është shumë i përshtatshëm për t'i paraqitur këto të dhëna grafikisht - në këtë mënyrë diferenca midis pritjeve matematikore të vlerave të ndryshme perceptohet më mirë.

Në pjesën tjetër do t'ju tregojmë pak për një koncept tjetër - variancën e një ndryshoreje të rastësishme. Ai është gjithashtu i lidhur ngushtë me konceptin e shpërndarjes së probabilitetit binomial dhe është karakteristikë e tij.

Varianca e shpërndarjes binomiale

Kjo vlerë është e lidhur ngushtë me atë të mëparshmen dhe karakterizon gjithashtu shpërndarjen e të dhënave statistikore. Ai përfaqëson katrorin mesatar të devijimeve të vlerave nga pritshmëria e tyre matematikore. Kjo do të thotë, varianca e një ndryshoreje të rastësishme është shuma e diferencave në katror midis vlerës së ndryshores së rastësishme dhe saj. pritje matematikore, shumëzuar me probabilitetin e kësaj ngjarjeje.

Në përgjithësi, kjo është gjithçka që duhet të dimë për variancën për të kuptuar se çfarë është një shpërndarje probabiliteti binomial. Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në temën tonë kryesore. Domethënë, çfarë qëndron pas një fraze të tillë në dukje mjaft komplekse "ligji i shpërndarjes binomiale".

Shpërndarja binomiale

Le të kuptojmë së pari pse kjo shpërndarje është binomiale. Vjen nga fjala "binom". Ndoshta keni dëgjuar për binomin e Njutonit - një formulë që mund të përdoret për të zgjeruar shumën e çdo dy numrash a dhe b në çdo fuqi jo negative n.

Siç e keni menduar tashmë, formula binomiale e Njutonit dhe formula e shpërndarjes binomiale janë pothuajse të njëjtat formula. Me përjashtimin e vetëm që i dyti ka rëndësi praktike për sasi të veçanta, dhe i pari është vetëm një mjet i përgjithshëm matematikor, aplikimet e të cilit në praktikë mund të jenë të ndryshme.

Formulat e shpërndarjes

Funksioni i shpërndarjes binomiale mund të shkruhet si shuma e termave të mëposhtëm:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Këtu n është numri i eksperimenteve të pavarura të rastësishme, p është numri i rezultateve të suksesshme, q është numri i rezultateve të pasuksesshme, k është numri i eksperimentit (mund të marrë vlera nga 0 në n),! - emërtimi i faktorialit, një funksion i një numri vlera e të cilit është e barabartë me prodhimin e të gjithë numrave që vijnë përpara tij (për shembull, për numrin 4: 4!=1*2*3*4=24).

Përveç kësaj, funksioni i shpërndarjes binomiale mund të shkruhet si një funksion beta jo i plotë. Sidoqoftë, ky është një përkufizim më kompleks, i cili përdoret vetëm kur zgjidhen probleme komplekse statistikore.

Shpërndarja binomiale, shembujt e së cilës i pamë më lart, është një nga më të shumtët lloje të thjeshta shpërndarjet në teorinë e probabilitetit. Ekziston edhe një shpërndarje normale, e cila është një lloj binomi. Përdoret më shpesh dhe është më e lehta për t'u llogaritur. Ekzistojnë gjithashtu shpërndarje Bernoulli, shpërndarje Poisson dhe shpërndarje të kushtëzuara. Të gjithë ata karakterizojnë grafikisht diapazonin e probabilitetit të një procesi të caktuar në kushte të ndryshme.

Në pjesën tjetër do të shqyrtojmë aspektet që lidhen me përdorimin e këtij aparati matematikor në jeta reale. Në pamje të parë, natyrisht, duket se kjo është vetëm një gjë tjetër matematikore, e cila, si zakonisht, nuk gjen zbatim në jetën reale dhe në përgjithësi nuk i nevojitet askujt përveç vetë matematikanëve. Megjithatë, ky nuk është rasti. Në fund të fundit, të gjitha llojet e shpërndarjeve dhe paraqitjet e tyre grafike u krijuan ekskluzivisht për qëllime praktike, dhe jo si një teka e shkencëtarëve.

Aplikacion

Sigurisht, aplikimi më i rëndësishëm i shpërndarjeve është në statistikë, sepse ato kërkojnë analiza komplekse të shumë të dhënave. Siç tregon praktika, shumë grupe të dhënash kanë afërsisht të njëjtat shpërndarje vlerash: rajonet kritike me vlera shumë të ulëta dhe shumë të larta, si rregull, përmbajnë më pak elementë se vlerat mesatare.

Analiza e grupeve të mëdha të të dhënave kërkohet jo vetëm në statistika. Është e domosdoshme, për shembull, në kimia fizike. Në këtë shkencë, përdoret për të përcaktuar shumë sasi që shoqërohen me dridhje dhe lëvizje të rastësishme të atomeve dhe molekulave.

Në pjesën tjetër do të kuptojmë se sa e rëndësishme është përdorimi i koncepteve statistikore si binomi shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme në Jeta e përditshme për ty dhe mua.

Pse më duhet?

Shumë njerëz ia bëjnë vetes këtë pyetje kur bëhet fjalë për matematikën. Meqë ra fjala, matematika nuk quhet kot mbretëresha e shkencave. Është baza e fizikës, kimisë, biologjisë, ekonomisë dhe në secilën nga këto shkenca përdoret edhe një shpërndarje: nëse është një shpërndarje binomiale diskrete apo normale, nuk ka rëndësi. Dhe nëse hedhim një vështrim më të afërt në botën përreth nesh, do të shohim se matematika përdoret kudo: në jetën e përditshme, në punë, madje edhe marrëdhëniet njerëzore mund të përfaqësohen në formën e të dhënave statistikore dhe të analizohen (kjo, meqë ra fjala , është ajo që punojnë në organizata të veçanta të përfshira në mbledhjen e informacionit).

Tani le të flasim pak se çfarë të bëni nëse keni nevojë të dini shumë më tepër për këtë temë sesa ato që kemi përshkruar në këtë artikull.

Informacioni që kemi dhënë në këtë artikull nuk është i plotë. Ka shumë nuanca në lidhje me formën që mund të marrë shpërndarja. Shpërndarja binomiale, siç kemi zbuluar tashmë, është një nga llojet kryesore në të cilën e tëra statistikat e matematikës dhe teoria e probabilitetit.

Nëse interesoheni, ose në lidhje me punën tuaj duhet të dini shumë më tepër për këtë temë, do t'ju duhet të studioni literaturë të specializuar. Ju duhet të filloni me një kurs universitar analiza matematikore dhe shkoni atje te seksioni mbi teorinë e probabilitetit. Njohja e serive do të jetë gjithashtu e dobishme, sepse një shpërndarje binomiale e probabilitetit nuk është gjë tjetër veçse një seri termash të njëpasnjëshme.

konkluzioni

Përpara se të përfundojmë artikullin, dëshirojmë t'ju tregojmë edhe një gjë interesante. Ka të bëjë drejtpërdrejt me temën e artikullit tonë dhe të gjithë matematikën në përgjithësi.

Shumë njerëz thonë se matematika është një shkencë e padobishme dhe asgjë që ata kanë studiuar në shkollë nuk ishte e dobishme për ta. Por njohuria nuk është kurrë e tepërt, dhe nëse diçka nuk është e dobishme për ju në jetë, do të thotë që thjesht nuk e mbani mend atë. Nëse keni njohuri, ata mund t'ju ndihmojnë, por nëse nuk keni, atëherë nuk mund të prisni ndihmë prej tyre.

Pra, ne shikuam konceptin e shpërndarjes binomiale dhe të gjitha përkufizimet që lidhen me të dhe folëm se si zbatohet në jetën tonë.