Sa është frekuenca e lëkundjeve harmonike. Ekuacioni i dridhjeve harmonike. Shndërrimet e energjisë gjatë lëkundjeve harmonike
Bazat e teorisë së Maxwell për fushën elektromagnetike
Fusha elektrike e vorbullës
Nga ligji i Faradeit ξ=dФ/dt vijon se ndonjë një ndryshim në fluksin e induksionit magnetik i lidhur me qarkun çon në shfaqjen e një force elektromotore të induksionit dhe, si rezultat, shfaqet një rrymë induksioni. Rrjedhimisht, shfaqja e emf. Induksioni elektromagnetik është gjithashtu i mundur në një qark të palëvizshëm të vendosur në një fushë magnetike alternative. Megjithatë, e.m.f. në çdo qark ndodh vetëm kur forcat e jashtme veprojnë mbi bartësit e rrymës në të - forcat me origjinë joelektrostatike (shih § 97). Prandaj, lind pyetja për natyrën e forcave të jashtme në këtë rast.
Përvoja tregon se këto forca të jashtme nuk shoqërohen as me procese termike dhe as kimike në qark; shfaqja e tyre gjithashtu nuk mund të shpjegohet nga forcat e Lorencit, pasi ato nuk veprojnë me ngarkesa të palëvizshme. Maxwell hipotezoi se çdo fushë magnetike e alternuar ngacmon një fushë elektrike në hapësirën përreth, e cila
dhe është shkaku i shfaqjes së rrymës së induktuar në qark. Sipas ideve të Maxwell-it, qarku në të cilin shfaqet emf luan një rol dytësor, duke qenë vetëm një lloj "pajisje" që zbulon këtë fushë.
ekuacioni i parë Maxwell thotë se ndryshimet në fushën elektrike gjenerojnë një fushë magnetike vorbullash.
Ekuacioni i dytë Maxwell shpreh ligjin e Faradeit për induksionin elektromagnetik: Emf në çdo lak të mbyllur është i barabartë me shpejtësinë e ndryshimit (d.m.th., derivatin kohor) të fluksit magnetik. Por EMF është e barabartë me komponentin tangjencial të vektorit të forcës së fushës elektrike E, shumëzuar me gjatësinë e qarkut. Për të shkuar te rotori, si në ekuacionin e parë të Maxwell, mjafton të ndash emf-në me sipërfaqen e konturit dhe ta drejtosh këtë të fundit në zero, d.m.th., të marrësh një kontur të vogël që mbulon pikën në hapësirën në shqyrtim (Fig. 9, c). Pastaj në anën e djathtë të ekuacionit nuk do të ketë më një fluks, por një induksion magnetik, pasi fluksi është i barabartë me induksionin e shumëzuar me zonën e qarkut.
Pra, marrim: rotE = - dB/dt.
Kështu, fusha elektrike e vorbullës krijohet nga ndryshimet në fushën magnetike, e cila tregohet në Fig. 9,c dhe përfaqësohet nga formula e sapo dhënë.
Ekuacionet e treta dhe të katërta Maxwell merret me ngarkesat dhe fushat e krijuara prej tyre. Ato bazohen në teoremën e Gausit, e cila thotë se fluksi i vektorit të induksionit elektrik nëpër çdo sipërfaqe të mbyllur është i barabartë me ngarkesën brenda asaj sipërfaqe.
Një shkencë e tërë bazohet në ekuacionet e Maxwell-it - elektrodinamika, e cila lejon strikte metodat matematikore zgjidh shumë të dobishme probleme praktike. Është e mundur të llogaritet, për shembull, fusha e rrezatimit të antenave të ndryshme si në hapësirën e lirë ashtu edhe pranë sipërfaqes së Tokës ose pranë trupit të ndonjë avion, për shembull, një aeroplan ose një raketë. Elektrodinamika bën të mundur llogaritjen e dizajnit të përcjellësve të valëve dhe rezonatorëve të zgavrës - pajisje të përdorura në frekuenca shumë të larta në intervalet e valëve centimetra dhe milimetra, ku linjat konvencionale të transmetimit dhe qarqet osciluese nuk janë më të përshtatshme. Pa elektrodinamikë, zhvillimi i radarit, radio komunikimeve hapësinore, teknologjisë së antenave dhe shumë fushave të tjera të inxhinierisë moderne të radios do të ishte i pamundur.
Rryma e paragjykimit
RRYMË E ZVENDOSJES, një vlerë proporcionale me shpejtësinë e ndryshimit të një fushe elektrike alternative në një dielektrik ose vakum. Emri "rrymë" është për shkak të faktit se rryma e zhvendosjes, si rryma e përcjelljes, gjeneron një fushë magnetike.
Kur ndërtoi teorinë e fushës elektromagnetike, J. C. Maxwell parashtroi një hipotezë (më vonë u konfirmua eksperimentalisht) se fusha magnetike krijohet jo vetëm nga lëvizja e ngarkesave (rryma e përcjelljes, ose thjesht rryma), por edhe nga çdo ndryshim në kohën e fushën elektrike.
Koncepti i rrymës së zhvendosjes u prezantua nga Maxwell për të vendosur marrëdhënie sasiore midis ndryshimit fushe elektrike dhe fushës magnetike që shkakton.
Sipas teorisë së Maxwell-it, në një qark të rrymës alternative që përmban një kondensator, fusha elektrike alternative në kondensator në çdo moment të kohës krijon të njëjtën fushë magnetike që do të krijohej nga rryma (e quajtur rryma e zhvendosjes) nëse do të rrjedhë midis pllakave të kondensatorin. Nga ky përkufizim del se J cm = J(d.m.th., vlerat numerike të densitetit të rrymës së përcjelljes dhe densitetit të rrymës së zhvendosjes janë të barabarta), dhe, për rrjedhojë, linjat e densitetit të rrymës së përcjelljes brenda përcjellësit shndërrohen vazhdimisht në linjat e densitetit të rrymës së zhvendosjes midis pllakave të kondensatorit. Dendësia e rrymës së paragjykimit j cm karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të induksionit elektrik D në kohë:
J cm = + ?D/?t.
Rryma e zhvendosjes nuk prodhon nxehtësi xhaul; është kryesore pronë fizike- aftësia për të krijuar një fushë magnetike në hapësirën përreth.
Një fushë magnetike vorbull krijohet nga një rrymë totale, dendësia e së cilës është j, është e barabartë me shumën e densitetit të rrymës së përcjelljes dhe rrymës së zhvendosjes?D/?t. Prandaj është futur emri rrymë për sasinë ?D/?t.
Oscilator harmonikështë një sistem që lëkundet, i përshkruar me një shprehje të formës d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 ose
ku dy pikat e mësipërme nënkuptojnë diferencim të dyfishtë në kohë. Lëkundjet e një oshilatori harmonik janë një shembull i rëndësishëm i lëvizjes periodike dhe shërbejnë si një model i saktë ose i përafërt në shumë probleme të klasikëve dhe fizika kuantike. Shembujt e një oshilatori harmonik përfshijnë lavjerrësit e pranverës, lavjerrësit fizikë dhe matematikorë dhe një qark oshilator (për rrymat dhe tensionet aq të vogla sa elementët e qarkut mund të konsiderohen linearë).
Së bashku me progresive dhe lëvizjet rrotulluese Në mekanikën e trupave, lëvizjet osciluese janë gjithashtu me interes të rëndësishëm. Dridhjet mekanike quhen lëvizjet e trupave që përsëriten saktësisht (ose afërsisht) në intervale të barabarta kohore. Ligji i lëvizjes së një trupi që lëkundet përcaktohet duke përdorur një funksion të caktuar periodik të kohës x = f (t). Një paraqitje grafike e këtij funksioni jep një paraqitje vizuale të rrjedhës së procesit oscilues me kalimin e kohës.
Shembuj të sistemeve të thjeshta lëkundëse janë një ngarkesë në një sustë ose një lavjerrës matematikor (Fig. 2.1.1).
Dridhjet mekanike, si proceset osciluese të çdo natyre tjetër fizike, mund të jenë falas Dhe i detyruar. Dridhje të lira kryhen nën ndikim forcat e brendshme sistemi pasi sistemi është nxjerrë nga ekuilibri. Lëkundjet e një peshe në një susta ose lëkundjet e një lavjerrës janë lëkundje të lira. Dridhjet që ndodhin nën ndikim e jashtme quhen forca që ndryshojnë periodikisht i detyruar Lloji më i thjeshtë i procesit oscilues është i thjeshtë dridhjet harmonike , të cilat përshkruhen nga ekuacioni
Frekuenca e lëkundjeve f tregon se sa lëkundje ndodhin në 1 s. Njësia e frekuencës - herc(Hz). Frekuenca e lëkundjeve f lidhur me frekuencën ciklike ω dhe periudhën e lëkundjes T raportet:
jep varësinë e sasisë luhatëse S nga koha t; ky është ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira në formë eksplicite. Megjithatë, zakonisht ekuacioni i vibrimit kuptohet si një paraqitje e ndryshme e këtij ekuacioni, në formë diferenciale. Për definicion, le të marrim ekuacionin (1) në formën
Le ta dallojmë dy herë në lidhje me kohën:
Mund të shihet se lidhja e mëposhtme qëndron:
që quhet ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira (në formë diferenciale). Ekuacioni (1) është një zgjidhje për ekuacionin diferencial (2). Meqenëse ekuacioni (2) është një ekuacion diferencial i rendit të dytë, nevojiten dy kushte fillestare për të marrë një zgjidhje të plotë (d.m.th., përcaktimi i konstanteve të përfshira në ekuacionin (1) A dhe j 0); për shembull, pozicioni dhe shpejtësia e sistemit oscilues në t = 0.
Shtimi i dridhjeve harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë. Rrahje
Le të ketë dy lëkundje harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë
Ekuacioni për lëkundjen që rezulton do të ketë formën
Le ta verifikojmë këtë duke shtuar ekuacionet e sistemit (4.1)
Zbatimi i teoremës së shumës së kosinusit dhe kryerja e shndërrimeve algjebrike:
Është e mundur të gjenden vlerat e A dhe φ0 të tilla që ekuacionet të jenë të kënaqura
Duke e konsideruar (4.3) si dy ekuacione me dy të panjohura A dhe φ0, gjejmë duke i vendosur në katror dhe duke i mbledhur dhe më pas duke e pjesëtuar të dytin me të parën:
Duke zëvendësuar (4.3) në (4.2), marrim:
Ose më në fund, duke përdorur teoremën e shumës së kosinusit, kemi:
Një trup, që merr pjesë në dy lëkundje harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë, kryen gjithashtu një lëkundje harmonike në të njëjtin drejtim dhe me të njëjtën frekuencë si lëkundjet e shtuara. Amplituda e lëkundjes që rezulton varet nga diferenca fazore (φ2-φ1) e lëkundjeve të lëmuara.
Në varësi të ndryshimit të fazës (φ2-φ1):
1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), pastaj A= A1+A2, pra amplituda e lëkundjes që rezulton A është e barabartë me shumën e amplitudave të lëkundjeve të shtuara;
2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), atëherë A= |A1-A2|, pra amplituda e lëkundjes që rezulton është e barabartë me diferencën në amplitudat e lëkundjeve të shtuara
Ndryshimet periodike në amplituda e vibrimeve që ndodhin kur shtohen dy dridhje harmonike me frekuenca të ngjashme quhen rrahje.
Lërini dy lëkundjet të ndryshojnë pak në frekuencë. Atëherë amplituda e lëkundjeve të shtuara është e barabartë me A, dhe frekuencat janë të barabarta me ω dhe ω+Δω, dhe Δω është shumë më pak se ω. Ne zgjedhim pikën e referencës në mënyrë që fazat fillestare të të dy lëkundjeve të jenë të barabarta me zero:
Le të zgjidhim sistemin
Zgjidhja e sistemit:
Lëkundja që rezulton mund të konsiderohet si harmonike me frekuencën ω, amplitudë A, e cila ndryshon si më poshtë ligji periodik:
Frekuenca e ndryshimit të A është dyfishi i frekuencës së ndryshimit të kosinusit. Frekuenca e goditjes është e barabartë me diferencën në frekuencat e lëkundjeve të shtuara: ωb = Δω
Periudha e goditjes:
Përcaktimi i frekuencës së një tone (një tingull i një lartësie të caktuar ritmi nga një referencë dhe dridhjet e matura është metoda më e përdorur për krahasimin e një vlere të matur me një vlerë referencë. Metoda e ritmit përdoret për akordimin e instrumenteve muzikore, analizën e dëgjimit etj. .
Informacione të lidhura.
2. Momenti i inercisë dhe llogaritja e tij
Sipas përkufizimit, momenti i inercisë së një trupi në lidhje me një bosht është i barabartë me shumën e produkteve të masave të grimcave nga katrorët e distancave të tyre me boshtin e rrotullimit ose
Megjithatë, kjo formulë nuk është e përshtatshme për llogaritjen e momentit të inercisë; meqenëse masa e një trupi të ngurtë shpërndahet vazhdimisht, shuma duhet të zëvendësohet me një integral. Prandaj, për të llogaritur momentin e inercisë, trupi ndahet në vëllime pafundësisht të vogla dV me masë dm=dV. Pastaj
ku R është distanca e elementit dV nga boshti i rrotullimit.
Nëse dihet momenti i inercisë I C rreth boshtit që kalon nëpër qendrën e masës, atëherë mund të llogaritet lehtësisht momenti i inercisë rreth çdo boshti paralel O që kalon në një distancë d nga qendra e masës ose
I O = I C + md 2,
Ky raport quhet Teorema e Shtajnerit: momenti i inercisë së një trupi rreth një boshti arbitrar e barabartë me shumën momenti i inercisë në lidhje me një bosht paralel me të dhe që kalon përmes qendrës së masës dhe produktit të masës trupore me katrorin e distancës midis boshteve.
3. Energjia kinetike e rrotullimit
Energjia kinetike e një trupi të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks
Duke diferencuar formulën në lidhje me kohën, marrim ligjin e ndryshimit të energjisë kinetike të një trupi të ngurtë që rrotullohet rreth një boshti fiks:
–
shpejtësia e ndryshimit të energjisë kinetike të lëvizjes rrotulluese është e barabartë me fuqinë e momentit të forcës.
rrotullimi dK =M Z Z dt=M Z d K K 2 -K 1 =
ato. ndryshimi i energjisë kinetike të rrotullimit është i barabartë me punën e bërë nga çift rrotullimi.
4. Lëvizja e sheshtë
Lëvizja e një trupi të ngurtë në të cilin qendra e masës lëviz në një plan fiks dhe boshti i rrotullimit të tij që kalon nëpër qendrën e masës mbetet pingul me këtë plan quhet lëvizje e sheshtë. Kjo lëvizje mund të reduktohet në një kombinim të lëvizjes përkthimore dhe rrotullimit përreth aks fiks (fiks)., pasi në sistemin C boshti i rrotullimit në fakt mbetet i palëvizshëm. Prandaj, lëvizja në plan përshkruhet nga një sistem i thjeshtuar i dy ekuacioneve të lëvizjes:
Energjia kinetike e një trupi që kryen lëvizje plani do të jetë:
dhe në fund
,
që në në këtë rast i " - shpejtësia e rrotullimit të pikës i-të rreth një boshti fiks.
Lëkundjet
1. Oscilator harmonik
Lëkundjet Në përgjithësi, lëvizjet që përsëriten me kalimin e kohës quhen.
Nëse këto përsëritje vijojnë në intervale të rregullta, d.m.th. x(t+T)=x(t), atëherë thirren lëkundjet periodike. Sistemi që bën
quhen dridhje oshilator. Lëkundjet që bën një sistem, i lënë në vetvete, quhen të natyrshme dhe frekuenca e lëkundjeve në këtë rast është frekuencë natyrore.
Dridhjet harmonike dridhjet që ndodhin sipas ligjit sin ose cos quhen. Për shembull,
x(t)=A cos(t+ 0),
ku x(t) është zhvendosja e grimcës nga pozicioni i ekuilibrit, A është maksimumi
kompensuar ose amplituda, t+ 0 -- faza lëkundjet, 0 -- faza fillestare (në t=0), 
-- frekuencë ciklike, është thjesht frekuenca e lëkundjes.
Një sistem që kryen lëkundje harmonike quhet oshilator harmonik. Është e rëndësishme që amplituda dhe frekuenca e lëkundjeve harmonike të jenë konstante dhe të pavarura nga njëra-tjetra.
Kushtet për shfaqjen e lëkundjeve harmonike: mbi një grimcë (ose sistem grimcash) duhet të veprohet nga një forcë ose moment force në përpjesëtim me zhvendosjen e grimcës nga pozicioni i ekuilibrit dhe
duke u përpjekur ta kthejë atë në një pozicion ekuilibri. Një forcë e tillë (ose momenti i forcës)
thirrur pothuajse elastike; ka formën , ku k quhet kuazi-ngurtësi.
Në veçanti, mund të jetë thjesht një forcë elastike që vibron një lavjerrës sustë që lëkundet përgjatë boshtit x. Ekuacioni i lëvizjes së një lavjerrës të tillë ka formën:
ose 
,
ku futet emërtimi.
Me zëvendësim të drejtpërdrejtë është e lehtë të verifikohet se duke zgjidhur ekuacionin
është një funksion
x=A cos( 0 t+ 0),
ku A dhe 0 -- konstante, për të përcaktuar se cilat duhet të specifikoni dy kushtet fillestare: pozicioni x(0)=x 0 i grimcës dhe shpejtësia e saj v x (0)=v 0 në momentin fillestar (zero) të kohës.
Ky ekuacion është ekuacioni dinamik i cilitdo
dridhje harmonike me frekuencë natyrore 0. Për peshën në
periudha e lëkundjes së një lavjerrës pranveror
.
2. Lavjerrëse fizike dhe matematikore
Lavjerrësi fizik- është çdo trup fizik që kryen
lëkundjet rreth një boshti që nuk kalon nga qendra e masës në fushën e gravitetit.
Që lëkundjet natyrore të sistemit të jenë harmonike, është e nevojshme që amplituda e këtyre lëkundjeve të jetë e vogël. Meqë ra fjala, e njëjta gjë vlen edhe për sustën: F kontroll = -kx vetëm për deformime të vogla të sustës x.
Periudha e lëkundjes përcaktohet me formulën:
.
Vini re se momenti kuazi-elastik këtu është momenti i gravitetit
M i = - mgd , proporcionale me devijimin këndor .
Një rast i veçantë i lavjerrësit fizik është lavjerrës matematik-- një masë pikësh e varur në një fije të pazgjatur pa peshë me gjatësi l. Periudha luhatje të vogla lavjerrës matematik
3. Lëkundjet harmonike të amortizuara
Në një situatë reale, oshilatori shikohet nga jashtë mjedisi Forcat shpërndarëse veprojnë gjithmonë (fërkimi viskoz, rezistenca mjedisore)
, të cilat ngadalësojnë lëvizjen. Ekuacioni i lëvizjes atëherë merr formën:
.
Duke treguar dhe , marrim ekuacionin dinamik të lëkundjeve harmonike të amortizuara natyrore:
.
Ashtu si me lëkundjet e pamposhtura, kjo është forma e përgjithshme e ekuacionit.
Nëse rezistenca mesatare nuk është shumë e lartë
Funksioni 
paraqet një amplitudë në rënie eksponenciale të lëkundjeve. Kjo ulje e amplitudës quhet relaksim(dobësimi) i lëkundjeve, dhe quhet koeficienti i dobësimit hezitim.
Koha gjatë së cilës amplituda e lëkundjeve zvogëlohet me e=2,71828 herë,
thirrur koha e relaksimit.
Përveç koeficientit të zbutjes, futet një karakteristikë tjetër,
thirrur zvogëlimi i amortizimit logaritmik-- është e natyrshme
logaritmi i raportit të amplitudave (ose zhvendosjeve) gjatë një periudhe:
Frekuenca e lëkundjeve natyrore të amortizuara
varet jo vetëm nga madhësia e forcës kuazi-elastike dhe masa trupore, por edhe nga
rezistenca mjedisore.
4. Shtimi i dridhjeve harmonike
Le të shqyrtojmë dy raste të një shtimi të tillë.
a) Oscilatori merr pjesë në dy reciprokisht pingul luhatjet.
Në këtë rast, dy forca kuazi-elastike veprojnë përgjatë boshteve x dhe y. Pastaj
Për të gjetur trajektoren e oshilatorit, koha t duhet të përjashtohet nga këto ekuacione.
Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është nëse frekuenca të shumta:
Ku n dhe m janë numra të plotë.
Në këtë rast, trajektorja e oshilatorit do të jetë disa mbyllur kurba e quajtur Figura Lissajous.
Shembull: frekuencat e lëkundjeve në x dhe y janë të njëjta ( 1 = 2 =), dhe ndryshimi në fazat e lëkundjes 
(për thjeshtësi vendosim 1 =0).
.
Nga këtu gjejmë: - figura Lissajous do të jetë një elips.
b) Oscilatori lëkundet nje drejtim.
Le të ketë dy lëkundje të tilla tani për tani; Pastaj
Ku 
Dhe 
-- fazat e lëkundjes.
Është shumë e papërshtatshme të shtohen dridhjet në mënyrë analitike, veçanërisht kur ato janë
jo dy, por disa; prandaj zakonisht përdoret gjeometria metoda e diagramit vektorial.
5. Dridhjet e detyruara
Dridhjet e detyruara lindin kur veprojnë në oshilator
forcë e jashtme periodike që ndryshon sipas një ligji harmonik
me frekuencë ext: 
.
Ekuacioni dinamik lëkundjet e detyruara:
Për lëkundje në gjendje të qëndrueshme zgjidhja e ekuacionit është funksioni harmonik:
ku A është amplituda e lëkundjeve të detyruara, dhe është vonesa e fazës
nga forca imponuese.
Amplituda e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme:
Vonesa e fazës së lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme nga jashtë
forca lëvizëse:
.
\hs Pra: ndodhin lëkundje të detyruara në gjendje të qëndrueshme
me një amplitudë konstante, të pavarur nga koha, d.m.th. mos u zbeh
pavarësisht rezistencës së mjedisit. Kjo shpjegohet me faktin se vepra
vjen deri te forca e jashtme
rritja e energjisë mekanike të oshilatorit dhe kompenson plotësisht
zvogëlimi i tij, që ndodh për shkak të veprimit të forcës së rezistencës shpërhapëse
6. Rezonanca
Siç shihet nga formula, amplituda e lëkundjeve të detyruara
Dhe ext varet nga frekuenca e forcës lëvizëse të jashtme ext. Grafiku i kësaj marrëdhënie quhet kurba e rezonancës ose përgjigjen amplitudë-frekuencë të oshilatorit.
Ekuacioni i dridhjeve harmonike
Ekuacioni i lëkundjes harmonike përcakton varësinë e koordinatave të trupit nga koha
Grafiku i kosinusit në momentin fillestar ka një vlerë maksimale, dhe grafiku i sinusit ka një vlerë zero në momentin fillestar. Nëse fillojmë të shqyrtojmë lëkundjen nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë lëkundja do të përsërisë një sinusoid. Nëse fillojmë të marrim parasysh lëkundjen nga pozicioni i devijimit maksimal, atëherë lëkundjet do të përshkruhen nga një kosinus. Ose një lëkundje e tillë mund të përshkruhet me formulën e sinusit me një fazë fillestare.
Ndryshimi i shpejtësisë dhe nxitimit gjatë lëkundjeve harmonike
Jo vetëm koordinata e trupit ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit. Por sasi të tilla si forca, shpejtësia dhe nxitimi gjithashtu ndryshojnë në mënyrë të ngjashme. Forca dhe nxitimi janë maksimale kur trupi lëkundës është në pozicionet ekstreme ku zhvendosja është maksimale dhe janë zero kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit. Shpejtësia, përkundrazi, në pozicionet ekstreme është zero, dhe kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit, ai arrin vlerën e tij maksimale.
Nëse lëkundja përshkruhet me ligjin e kosinusit
Nëse lëkundja përshkruhet sipas ligjit të sinusit
Vlerat maksimale të shpejtësisë dhe nxitimit
Pasi kemi analizuar ekuacionet e varësisë v(t) dhe a(t), mund të hamendësojmë se shpejtësia dhe nxitimi marrin vlera maksimale në rastin kur faktori trigonometrik është i barabartë me 1 ose -1. Përcaktohet nga formula
Zgjedhja e fazës fillestare na lejon të kalojmë nga funksioni sinus në funksionin kosinus kur përshkruajmë lëkundjet harmonike:Lëkundje harmonike e përgjithësuar në formë diferenciale:
Në mënyrë që dridhjet e lira të ndodhin sipas ligjit harmonik, është e nevojshme që forca që tenton ta kthejë trupin në pozicionin e ekuilibrit të jetë proporcionale me zhvendosjen e trupit nga pozicioni i ekuilibrit dhe të drejtohet në drejtim të kundërt me zhvendosjen:
ku është masa e trupit që lëkundet.
Një sistem fizik në të cilin mund të ekzistojnë lëkundje harmonike quhet oshilator harmonik, dhe ekuacioni i dridhjeve harmonike është ekuacioni i oshilatorit harmonik.
1.2. Shtimi i dridhjeve
Shpesh ka raste kur një sistem merr pjesë njëkohësisht në dy ose disa lëkundje të pavarura nga njëra-tjetra. Në këto raste, një kompleks lëvizje osciluese, e cila krijohet duke mbivendosur (shtuar) dridhjet njëra mbi tjetrën. Natyrisht, rastet e shtimit të lëkundjeve mund të jenë shumë të ndryshme. Ato varen jo vetëm nga numri i lëkundjeve të shtuara, por edhe nga parametrat e lëkundjeve, nga frekuencat, fazat, amplituda dhe drejtimet e tyre. Nuk është e mundur të shqyrtojmë të gjithë shumëllojshmërinë e mundshme të rasteve të shtimit të lëkundjeve, kështu që ne do të kufizohemi në shqyrtimin e vetëm shembujve individualë.
Mbledhja e lëkundjeve harmonike të drejtuara përgjatë një vije të drejtë
Le të shqyrtojmë shtimin e lëkundjeve të drejtuara në mënyrë identike të së njëjtës periudhë, por të ndryshme në fazën fillestare dhe amplituda. Ekuacionet e lëkundjeve të shtuara janë dhënë në formën e mëposhtme:
ku dhe janë zhvendosjet; dhe – amplituda; dhe janë fazat fillestare të lëkundjeve të palosura.
| Fig.2. |
Është i përshtatshëm për të përcaktuar amplituda e lëkundjes që rezulton duke përdorur një diagram vektorial (Fig. 2), në të cilin vizatohen vektorët e amplitudave dhe lëkundjet e shtuara në kënde dhe në bosht, dhe sipas rregullit të paralelogramit, vektori i amplitudës së fitohet lëkundje totale.
Nëse rrotulloni në mënyrë të njëtrajtshme një sistem vektorësh (paralelogram) dhe projektoni vektorët në bosht , atëherë projeksionet e tyre do të kryejnë lëkundje harmonike në përputhje me ekuacionet e dhëna. Marrëveshje e ndërsjellë vektorë, dhe në të njëjtën kohë mbetet i pandryshuar, prandaj edhe lëvizja osciluese e projeksionit të vektorit që rezulton do të jetë harmonike.
Nga kjo rrjedh se lëvizja totale është një lëkundje harmonike që ka një frekuencë të caktuar ciklike. Le të përcaktojmë modulin e amplitudës A lëkundjen që rezulton. Në një kënd (nga barazia e këndeve të kundërta të një paralelogrami).
Prandaj,
nga këtu: .
Sipas teoremës së kosinusit,
Faza fillestare e lëkundjes që rezulton përcaktohet nga:
Marrëdhëniet për fazën dhe amplituda na lejojnë të gjejmë amplituda dhe fazën fillestare të lëvizjes që rezulton dhe të hartojmë ekuacionin e saj: .
Rrahje
Le të shqyrtojmë rastin kur frekuencat e dy lëkundjeve të shtuara ndryshojnë pak nga njëra-tjetra, dhe le të jenë amplituda të njëjta dhe fazat fillestare, d.m.th.
Le të shtojmë këto ekuacione në mënyrë analitike:
Le të transformohemi
| Oriz. 3. |
Rrahja mund të vërehet kur tingëllojnë dy pirunët akordues nëse frekuencat dhe dridhjet janë afër njëra-tjetrës.
Shtimi i dridhjeve reciproke pingule
Le pika materiale merr pjesë njëkohësisht në dy lëkundje harmonike që ndodhin me perioda të barabarta në dy drejtime pingul reciprokisht. Një sistem koordinativ drejtkëndor mund të shoqërohet me këto drejtime duke e vendosur origjinën në pozicionin e ekuilibrit të pikës. Le të shënojmë zhvendosjen e pikës C përgjatë boshteve dhe, përkatësisht, përmes dhe . (Fig. 4).
Le të shqyrtojmë disa raste të veçanta.
1). Fazat fillestare të lëkundjeve janë të njëjta
Le të zgjedhim pikën e fillimit të kohës në mënyrë që fazat fillestare të të dy lëkundjeve të jenë të barabarta me zero. Pastaj zhvendosjet përgjatë boshteve dhe mund të shprehen me ekuacionet:
Duke i ndarë këto barazi terma me term, marrim ekuacionet për trajektoren e pikës C:
ose .
Rrjedhimisht, si rezultat i shtimit të dy lëkundjeve reciproke pingule, pika C lëkundet përgjatë një segmenti të drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave (Fig. 4).
| Oriz. 4. |
Ekuacionet e lëkundjeve në këtë rast kanë formën:
Ekuacioni i trajektores së pikës:
Rrjedhimisht, pika C lëkundet përgjatë një segmenti të drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave, por që shtrihet në kuadrate të ndryshme se në rastin e parë. Amplituda A Lëkundjet që rezultojnë në të dy rastet e konsideruara janë të barabarta me:
3). Diferenca e fazës fillestare është .
Ekuacionet e lëkundjeve kanë formën:
Pjesëtojeni ekuacionin e parë me , të dytin me:
Le t'i vendosim në katror të dy barazitë dhe t'i mbledhim ato. Ne marrim ekuacionin e mëposhtëm për trajektoren e lëvizjes rezultuese të pikës lëkundëse:
Pika lëkundëse C lëviz përgjatë një elipsi me gjysmë boshte dhe. Me amplituda të barabarta, trajektorja e lëvizjes totale do të jetë një rreth. Në rastin e përgjithshëm, për , por shumëfish, d.m.th. , kur shtohen lëkundjet reciproke pingule, pika lëkundëse lëviz përgjatë kthesave të quajtura figura Lissajous.
Shifrat Lissajous
Shifrat Lissajous– trajektoret e mbyllura të tërhequra nga një pikë që kryen njëkohësisht dy lëkundje harmonike në dy drejtime pingul reciprokisht.
Studuar së pari nga shkencëtari francez Jules Antoine Lissajous. Shfaqja e figurave varet nga marrëdhënia midis periudhave (frekuencave), fazave dhe amplitudave të të dy lëkundjeve(Fig. 5).
| Fig.5. |
Në rastin më të thjeshtë të barazisë së të dy periudhave, figurat janë elipsa, të cilat, me një ndryshim fazor, ose degjenerohen në segmente të drejta, dhe me një ndryshim fazor dhe amplituda të barabarta, kthehen në një rreth. Nëse periudhat e të dy lëkundjeve nuk përkojnë saktësisht, atëherë ndryshimi i fazës ndryshon gjatë gjithë kohës, si rezultat i së cilës elipsi deformohet gjatë gjithë kohës. Në periudha dukshëm të ndryshme, shifrat e Lissajous nuk vërehen. Sidoqoftë, nëse periudhat lidhen si numra të plotë, atëherë pas një periudhe kohe të barabartë me shumëfishin më të vogël të të dy periudhave, pika lëvizëse kthehet përsëri në të njëjtin pozicion - fitohen figura Lissajous të një forme më komplekse.
Figurat Lissajous përshtaten në një drejtkëndësh, qendra e të cilit përkon me origjinën, dhe anët janë paralele me boshtet e koordinatave dhe të vendosura në të dy anët e tyre në distanca të barabarta me amplitudat e lëkundjeve (Fig. 6).
Temat Kodifikuesi i Unifikuar i Provimit të Shtetit: dridhje harmonike; amplituda, periudha, frekuenca, faza e lëkundjeve; dridhje të lira, dridhje të detyruara, rezonancë.
Lëkundjet - Këto janë ndryshime në gjendjen e sistemit që përsëriten me kalimin e kohës. Koncepti i lëkundjeve mbulon një gamë shumë të gjerë fenomenesh.
Dridhjet e sistemeve mekanike, ose dridhjet mekanike- kjo është lëvizja mekanike e një trupi ose sistemi trupash, e cila është e përsëritshme në kohë dhe ndodh në afërsi të pozicionit të ekuilibrit. Pozicioni i ekuilibritështë një gjendje e një sistemi në të cilin ai mund të qëndrojë pafundësisht pa përjetuar ndikime të jashtme.
Për shembull, nëse lavjerrësi devijohet dhe lëshohet, ai do të fillojë të lëkundet. Pozicioni i ekuilibrit është pozicioni i lavjerrësit në mungesë të devijimit. Lavjerrësi, nëse lihet i patrazuar, mund të qëndrojë në këtë pozicion për aq kohë sa dëshironi. Ndërsa lavjerrësi lëkundet, ai kalon nëpër pozicionin e tij të ekuilibrit shumë herë.
Menjëherë pasi u lirua lavjerrësi i devijuar, ai filloi të lëvizte, kaloi pozicionin e ekuilibrit, arriti në pozicionin ekstrem të kundërt, u ndal atje për një moment, lëvizi në drejtim të kundërt, kaloi përsëri pozicionin e ekuilibrit dhe u kthye prapa. Një gjë ka ndodhur ritëm të plotë. Pastaj ky proces do të përsëritet periodikisht.
Amplituda e lëkundjes së trupit është madhësia e devijimit të tij më të madh nga pozicioni i ekuilibrit.
Periudha e lëkundjeve - kjo është koha e një lëkundjeje të plotë. Mund të themi se gjatë një periudhe trupi përshkon një rrugë me katër amplituda.
Frekuenca e lëkundjeve është reciproke e periudhës: . Frekuenca matet në herc (Hz) dhe tregon se sa lëkundje të plota ndodhin në një sekondë.
Dridhjet harmonike.
Do të supozojmë se pozicioni i trupit oscilues përcaktohet nga një koordinatë e vetme. Pozicioni i ekuilibrit korrespondon me vlerën . Detyra kryesore e mekanikës në këtë rast është të gjejë një funksion që jep koordinatat e trupit në çdo kohë.
Për një përshkrim matematikor të lëkundjeve është e natyrshme të përdoret funksionet periodike. Ka shumë funksione të tilla, por dy prej tyre - sinusi dhe kosinusi - janë më të rëndësishmit. Ato kanë shumë veti të mira dhe janë të lidhura ngushtë me një gamë të gjerë fenomenesh fizike.
Meqenëse funksionet sinus dhe kosinus merren nga njëri-tjetri duke zhvendosur argumentin me , ne mund të kufizohemi vetëm në njërin prej tyre. Për saktësi, ne do të përdorim kosinusin.
Dridhjet harmonike- këto janë lëkundje në të cilat koordinata varet nga koha sipas ligjit harmonik:
(1)
Le të zbulojmë kuptimin e sasive të përfshira në këtë formulë.
Një vlerë pozitive është vlera më e madhe e modulit të koordinatës (pasi vlera maksimale e modulit të kosinusit është e barabartë me unitetin), d.m.th., devijimi më i madh nga pozicioni i ekuilibrit. Prandaj - amplituda e lëkundjeve.
Argumenti kosinus quhet faza hezitim. Madhësia, e barabartë me vlerën faza në , quhet faza fillestare. Fazës fillestare i përgjigjet koordinata fillestare e trupit: .
Sasia quhet frekuencë ciklike. Le të gjejmë lidhjen e tij me periudhën dhe frekuencën e lëkundjeve. Një lëkundje e plotë korrespondon me një rritje faze të barabartë me radianet: , prej nga
(2)
(3)
Frekuenca ciklike matet në rad/s (radianë për sekondë).
Në përputhje me shprehjet (2) dhe (3), marrim dy forma të tjera të shkrimit të ligjit harmonik (1):
Grafiku i funksionit (1), që shpreh varësinë e koordinatës nga koha gjatë lëkundjeve harmonike, është paraqitur në Fig. 1 .
Ligji harmonik i formës (1) është më i madhi karakter të përgjithshëm. Ai i përgjigjet, për shembull, situatave kur dy veprime fillestare u kryen njëkohësisht në lavjerrës: ai u devijua nga një sasi dhe iu dha një shpejtësi e caktuar fillestare. Janë dy raste të veçanta të rëndësishme kur një nga këto veprime nuk është kryer.
Lëreni lavjerrësin të devijohet, por shpejtësia fillestare nuk u raportua (u lëshua pa shpejtësinë fillestare). Është e qartë se në këtë rast, prandaj mund të vendosim. Ne marrim ligjin e kosinusit:
Grafiku i lëkundjeve harmonike në këtë rast është paraqitur në Fig. 2.
 |
| Oriz. 2. Ligji i kosinusit |
Le të supozojmë tani se lavjerrësi nuk u devijua, por shpejtësia fillestare nga pozicioni i ekuilibrit iu dha atij nga ndikimi. Në këtë rast, kështu që ju mund të vendosni . Ne marrim ligjin e sinusit:
Grafiku i lëkundjeve është paraqitur në Fig. 3.
 |
| Oriz. 3. Ligji i sinusit |
Ekuacioni i dridhjeve harmonike.
Le t'i kthehemi ligjit të përgjithshëm harmonik (1). Le të dallojmë këtë barazi:
. (4)
Tani ne dallojmë barazinë që rezulton (4):
. (5)
Le të krahasojmë shprehjen (1) për koordinatën dhe shprehjen (5) për projeksionin e nxitimit. Ne shohim që projeksioni i nxitimit ndryshon nga koordinata vetëm nga një faktor:
. (6)
Ky raport quhet ekuacioni harmonik. Mund të rishkruhet edhe në këtë formë:
. (7)
Nga pikëpamja matematikore, ekuacioni (7) është ekuacioni diferencial. Zgjidhjet ekuacionet diferenciale Funksionet shërbejnë (dhe jo numrat, si në algjebrën e zakonshme).
Pra, mund të vërtetohet se:
Zgjidhja e ekuacionit (7) është çdo funksion i formës (1) me arbitrar;
Asnjë funksion tjetër nuk është zgjidhje për këtë ekuacion.
Me fjalë të tjera, relacionet (6), (7) përshkruajnë lëkundjet harmonike me një frekuencë ciklike dhe vetëm ato. Dy konstante përcaktohen nga kushtet fillestare - nga vlerat fillestare të koordinatës dhe shpejtësisë.
Lavjerrësi pranveror.
Lavjerrësi pranveror është një ngarkesë e lidhur me një sustë që mund të lëkundet në drejtimin horizontal ose vertikal.
Le të gjejmë periudhën e lëkundjeve të vogla horizontale të lavjerrësit të sustës (Fig. 4). Lëkundjet do të jenë të vogla nëse sasia e deformimit të sustës është shumë më e vogël se dimensionet e saj. Për deformime të vogla mund të përdorim ligjin e Hukut. Kjo do të bëjë që lëkundjet të jenë harmonike.
Ne e neglizhojmë fërkimin. Ngarkesa ka një masë dhe ngurtësia e sustës është e barabartë me .
Koordinata korrespondon me pozicionin e ekuilibrit në të cilin susta nuk deformohet. Rrjedhimisht, madhësia e deformimit të sustës është e barabartë me modulin e koordinatave të ngarkesës.
 |
| Oriz. 4. Lavjerrësi pranveror |
Në drejtimin horizontal, vetëm forca elastike nga susta vepron në ngarkesë. Ligji i dytë i Njutonit për ngarkesën në projeksion në bosht ka formën:
. (8)
Nëse (ngarkesa zhvendoset djathtas, si në figurë), atëherë forca elastike drejtohet në drejtim të kundërt, dhe . Në të kundërt, nëse , atëherë . Shenjat janë të kundërta gjatë gjithë kohës, kështu që ligji i Hukut mund të shkruhet si më poshtë:
Atëherë lidhja (8) merr formën:
Kemi marrë një ekuacion të lëkundjeve harmonike të formës (6), në të cilin
Frekuenca ciklike e lëkundjes së lavjerrësit të sustës është pra e barabartë me:
. (9)
Nga këtu dhe nga marrëdhënia gjejmë periudhën e lëkundjeve horizontale të lavjerrësit të pranverës:
. (10)
Nëse varni një ngarkesë në një susta, ju merrni një lavjerrës susta që lëkundet në drejtim vertikal. Mund të tregohet se në këtë rast, formula (10) është e vlefshme për periudhën e lëkundjes.
Lavjerrësi matematikor.
Lavjerrësi i matematikës është një trup i vogël i varur në një fije të pazgjatur pa peshë (Fig. 5). Një lavjerrës matematikor mund të lëkundet në një plan vertikal në fushën e gravitetit.
 |
| Oriz. 5. Lavjerrësi matematik |
Le të gjejmë periudhën e lëkundjeve të vogla të lavjerrësit matematik. Gjatësia e fillit është . Ne e neglizhojmë rezistencën e ajrit.
Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për lavjerrësin:
dhe projektojeni atë në bosht:
Nëse lavjerrësi merr një pozicion si në figurë (d.m.th.), atëherë:
Nëse lavjerrësi është në anën tjetër të pozicionit të ekuilibrit (d.m.th.), atëherë:
Pra, për çdo pozicion të lavjerrësit kemi:
. (11)
Kur lavjerrësi është në qetësi në pozicionin e ekuilibrit, barazia plotësohet. Për lëkundjet e vogla, kur devijimet e lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit janë të vogla (në krahasim me gjatësinë e fillit), plotësohet barazia e përafërt. Le ta përdorim atë në formulën (11):
Ky është një ekuacion i lëkundjeve harmonike të formës (6), në të cilën
Prandaj, frekuenca ciklike e lëkundjeve të një lavjerrës matematik është e barabartë me:
. (12)
Prandaj periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematikor:
. (13)
Ju lutemi vini re se formula (13) nuk përfshin masën e ngarkesës. Ndryshe nga një lavjerrës pranveror, periudha e lëkundjes së një lavjerrësi matematikor nuk varet nga masa e tij.
Dridhje të lira dhe të detyruara.
Ata thonë se sistemi po dridhje të lira, nëse një herë hiqet nga pozicioni i ekuilibrit dhe më pas lihet në vetvete. Asnjë e jashtme periodike
Në këtë rast, sistemi nuk përjeton asnjë ndikim, dhe nuk ka burime të brendshme të energjisë që mbështesin lëkundjet në sistem.
Lëkundjet e sustës dhe lavjerrësit matematikor të diskutuar më sipër janë shembuj të lëkundjeve të lira.
Frekuenca me të cilën ndodhin dridhjet e lira quhet frekuencë natyrore sistemi oscilues. Kështu, formulat (9) dhe (12) japin frekuencat natyrore (ciklike) të lëkundjeve të sustës dhe lavjerrësit matematikor.
Në një situatë të idealizuar në mungesë të fërkimit, lëkundjet e lira janë të pamposhtura, domethënë ato kanë një amplitudë konstante dhe zgjasin pafundësisht. Në sistemet reale osciluese, fërkimi është gjithmonë i pranishëm, kështu që vibrimet e lira gradualisht shuhen (Fig. 6).
Dridhjet e detyruara- këto janë lëkundje të bëra nga një sistem nën ndikimin e një force të jashtme që ndryshon periodikisht me kalimin e kohës (e ashtuquajtura forca lëvizëse).
Le të supozojmë se frekuenca natyrore e lëkundjeve të sistemit është e barabartë me , dhe forca lëvizëse varet nga koha sipas ligjit harmonik:
Me kalimin e një kohe, krijohen lëkundje të detyruara: sistemi bën një lëvizje komplekse, e cila është një mbivendosje e lëkundjeve të detyruara dhe të lira. Lëkundjet e lira gradualisht shuhen, dhe në një gjendje të qëndrueshme sistemi kryen lëkundje të detyruara, të cilat gjithashtu rezultojnë të jenë harmonike. Frekuenca e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme përkon me frekuencën
forca e detyruar (një forcë e jashtme, si të thuash, imponon frekuencën e saj në sistem).
Amplituda e lëkundjeve të detyruara të vendosura varet nga frekuenca e forcës lëvizëse. Grafiku i kësaj varësie është paraqitur në Fig. 7.
 |
| Oriz. 7. Rezonanca |
Ne shohim që rezonanca ndodh afër frekuencës - fenomeni i rritjes së amplitudës së lëkundjeve të detyruara. Frekuenca rezonante është afërsisht e barabartë me frekuencën natyrore të lëkundjeve të sistemit: , dhe kjo barazi plotësohet më saktë, aq më pak fërkime në sistem. Në mungesë të fërkimit, frekuenca rezonante përkon me frekuencën natyrore të lëkundjeve dhe amplituda e lëkundjeve rritet deri në pafundësi në .
Po ngarkohet...