Një numër kompleks është një numër i formës z =x + i * y, ku x dhe y janë reale numrat, dhe i = njësi imagjinare (d.m.th. një numër katrori i të cilit është -1). Për të përcaktuar përfaqësimin argument gjithëpërfshirëse numrat, ju duhet të shikoni një numër kompleks në planin kompleks në sistemin e koordinatave polar.

Udhëzimet

1. Rrafshi në të cilin paraqiten komplekset komplekse numrat, quhet kompleks. Në këtë plan, boshti horizontal është i zënë nga real numrat(x), dhe boshti vertikal është imagjinar numrat(y). Në një plan të tillë, numri jepet me dy koordinata z = (x, y). Në sistemin e koordinatave polar, koordinatat e një pike janë moduli dhe argumenti. Moduli është distanca |z| nga një pikë në origjinë. A quhet një kënd argument? ndërmjet vektorit që lidh pikën dhe parathënien e koordinatave dhe boshtit horizontal të sistemit të koordinatave (shih figurën).

2. Figura tregon se moduli kompleks numrat z = x + i * y gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës: |z| = ? (x^2 + y^2). Argument i mëtejshëm numrat z gjendet si kënd i mprehtë i trekëndëshit - përmes vlerave të funksioneve trigonometrike sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Le të themi, le të jepet numri z = 5 * (1 + ?3 * i). Para së gjithash, zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezulton se pjesa reale është x = 5, dhe pjesa imagjinare është y = 5 * ?3. Llogaritni modulin numrat: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Më pas, gjeni sinusin e këndit?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Nga atje marrim argumentin numrat z është e barabartë me 30°.

4. Shembulli 2. Le të jepet numri z = 5 * i. Nga foto mund të shihni se këndi? = 90°. Kontrolloni këtë vlerë duke përdorur formulën e dhënë më sipër. Shkruani koordinatat e kësaj numrat në planin kompleks: z = (0, 5). Moduli numrat|z| = 5. Tangjentja e këndit tg? = 5 / 5 = 1. Nga këtu rrjedh çfarë? = 90°.

5. Shembulli 3. Le të themi se duhet të gjejmë argumentin për shumën e 2 numrave kompleks z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Sipas rregullave të shtimit, ju i shtoni këto dy komplekse numrat: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Më pas, sipas diagramit të mësipërm, llogaritni argumentin: tg? = 9/3 = 3.

Shënim!
Nëse numri z = 0, atëherë vlera e argumentit për të nuk është e përcaktuar.

Këshilla të dobishme
Vlera e argumentit të një numri kompleks përcaktohet me një saktësi prej 2 * ? * k, ku k është çdo numër i plotë. Kuptimi i argumentit? sikurse -?

Përkufizimi 8.3 (1).

Gjatësia |z| vektori z = (x,y) quhet moduli i numrit kompleks z = x + yi

Meqenëse gjatësia e secilës anë të trekëndëshit nuk e kalon shumën e gjatësive të dy brinjëve të tjera të tij, dhe vlera absolute e diferencës në gjatësitë e dy brinjëve të trekëndëshit nuk është më e vogël se gjatësia e brinjës së tretë. , atëherë për çdo dy numra kompleksë z 1 dhe z 2 vlejnë pabarazitë

Përkufizimi 8.3 (2).

Argumenti i numrit kompleks. Nëse φ është këndi i formuar nga një vektor jozero z me boshtin real, atëherë çdo kënd i formës (φ + 2πn, ku n është një numër i plotë dhe vetëm një kënd i këtij lloji, do të jetë gjithashtu një kënd i formuar nga vektori z me bosht real.

Bashkësia e të gjithë këndeve të formuar nga vektori jozero z = = (x, y) me bosht real quhet argument i numrit kompleks z = x + yi dhe shënohet me arg z. Çdo element i kësaj bashkësie quhet vlera e argumentit të numrit z (Fig. 8.3(1)).

Oriz. 8.3 (1).

Meqenëse një vektor jozero i një rrafshi përcaktohet në mënyrë unike nga gjatësia e tij dhe këndi që formon me boshtin x, atëherë dy numra kompleksë të ndryshëm nga zero janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse vlerat dhe argumentet e tyre absolute janë të barabarta.

Nëse, për shembull, kushti 0≤φ vendoset në vlerat e argumentit φ të numrit z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Përkufizimi 8.3.(3)

Forma trigonometrike e shkrimit të një numri kompleks. Pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks z = x + уi ≠ 0 shprehen nëpërmjet modulit të tij r= |z| dhe argumenti φ si më poshtë (nga përkufizimi i sinusit dhe kosinusit):

Ana e djathtë e kësaj barazie quhet forma trigonometrike e shkrimit të numrit kompleks z. Do ta përdorim edhe për z = 0; në këtë rast, r = 0, dhe φ mund të marrë çdo vlerë - argumenti i numrit 0 është i padefinuar. Pra, çdo numër kompleks mund të shkruhet në formë trigonometrike.

Është gjithashtu e qartë se nëse numri kompleks z shkruhet në formë

atëherë numri r është moduli i tij, pasi

Dhe φ është një nga vlerat e argumentit të tij

Forma trigonometrike e shkrimit të numrave kompleks mund të jetë e përshtatshme për t'u përdorur kur shumëzoni numra kompleksë; në veçanti, ju lejon të zbuloni kuptimin gjeometrik të produktit të numrave kompleks.

Le të gjejmë formulat për shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave kompleksë në formë trigonometrike. Nëse

pastaj sipas rregullit të shumëzimit të numrave kompleks (duke përdorur formulat për sinusin dhe kosinusin e shumës)

Kështu, kur shumëzohen numrat kompleksë, vlerat e tyre absolute shumëzohen dhe argumentet shtohen:

Duke e zbatuar këtë formulë në mënyrë sekuenciale në n numra kompleksë, marrim

Nëse të gjithë n numrat janë të barabartë, marrim

Ku për

kryer

Prandaj, për një numër kompleks vlera absolute e të cilit është 1 (prandaj, ai ka formën

Kjo barazi quhet formulat e Moivre

Me fjalë të tjera, kur pjesëtohen numrat kompleks, modulet e tyre ndahen,

dhe argumentet zbriten.

Shembujt 8.3 (1).

Vizatoni në planin kompleks C një grup pikash që plotësojnë kushtet e mëposhtme:

I cili paraqet një numër kompleks të dhënë $z=a+bi$ quhet modul i numrit kompleks të dhënë.

Moduli i një numri të caktuar kompleks llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Shembulli 1

Njehsoni modulin e numrave kompleksë të dhënë $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Ne llogarisim modulin e një numri kompleks $z=a+bi$ duke përdorur formulën: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Për numrin kompleks origjinal $z_(1) =13$ marrim $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Për numrin kompleks origjinal $\, z_(2) =4i$ marrim $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Për numrin kompleks origjinal $\, z_(3) =4+3i$ marrim $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Përkufizimi 2

Këndi $\varphi $ i formuar nga drejtimi pozitiv i boshtit real dhe vektori i rrezes $\overrightarrow(OM) $, i cili i përgjigjet një numri kompleks të dhënë $z=a+bi$, quhet argument i këtij numri dhe shënohet me $\arg z$.

Shënim 1

Moduli dhe argumenti i një numri kompleks të caktuar përdoren në mënyrë eksplicite kur përfaqësohet një numër kompleks në formë trigonometrike ose eksponenciale:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - forma trigonometrike;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - forma eksponenciale.

Shembulli 2

Shkruani një numër kompleks në forma trigonometrike dhe eksponenciale, të dhënë nga të dhënat e mëposhtme: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Zëvendësoni të dhënat $r=3;\varphi =\pi $ në formulat përkatëse dhe merrni:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - forma trigonometrike

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - forma eksponenciale.

2) Zëvendësoni të dhënat $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ në formulat përkatëse dhe merrni:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - forma trigonometrike

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - forma eksponenciale.

Shembulli 3

Përcaktoni modulin dhe argumentin e numrave kompleksë të dhënë:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi)(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4)) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modulin dhe argumentin do ta gjejmë duke përdorur formulat për shkrimin e një numri të caktuar kompleks në forma trigonometrike dhe eksponenciale, përkatësisht.

\ \

1) Për numrin kompleks origjinal $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ marrim $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Për numrin kompleks fillestar $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ne merrni $r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi)(3) $.

3) Për numrin kompleks fillestar $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ marrim $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Për numrin kompleks origjinal $z=13\cdot e^(i\pi ) $ fitojmë $r=13;\varphi =\pi $.

Argumenti $\varphi $ i një numri të caktuar kompleks $z=a+bi$ mund të llogaritet duke përdorur formulat e mëposhtme:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

Në praktikë, për të llogaritur vlerën e argumentit të një numri kompleks të dhënë $z=a+bi$, zakonisht përdoret formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\fille(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, a

ose zgjidhni një sistem ekuacionesh

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\djathtas. $. (**)

Shembulli 4

Njehsoni argumentin e numrave kompleksë të dhënë: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Meqenëse $z=3$, atëherë $a=3,b=0$. Le të llogarisim argumentin e numrit kompleks origjinal duke përdorur formulën (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Meqenëse $z=4i$, atëherë $a=0,b=4$. Le të llogarisim argumentin e numrit kompleks origjinal duke përdorur formulën (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Meqenëse $z=1+i$, atëherë $a=1,b=1$. Le të llogarisim argumentin e numrit kompleks origjinal duke zgjidhur sistemin (**):

\[\left\(\fille(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\djathtas. .\]

Nga kursi i trigonometrisë dihet se $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ për këndin që i përgjigjet tremujorit të parë koordinativ dhe i barabartë me $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Meqenëse $z=-5$, atëherë $a=-5,b=0$. Le të llogarisim argumentin e numrit kompleks origjinal duke përdorur formulën (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Meqenëse $z=-2i$, atëherë $a=0,b=-2$. Le të llogarisim argumentin e numrit kompleks origjinal duke përdorur formulën (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Shënim 2

Numri $z_(3)$ përfaqësohet nga pika $(0;1)$, prandaj, gjatësia e vektorit të rrezes përkatëse është e barabartë me 1, d.m.th. $r=1$, dhe argumenti $\varphi =\frac(\pi )(2) $ sipas Shënimit 3.

Numri $z_(4)$ përfaqësohet nga pika $(0;-1)$, prandaj, gjatësia e vektorit të rrezes përkatëse është 1, d.m.th. $r=1$, dhe argumenti $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ sipas Shënimit 3.

Numri $z_(5) $ përfaqësohet nga pika $(2;2)$, prandaj, gjatësia e vektorit të rrezes përkatëse është e barabartë me $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, d.m.th. $r=2\sqrt(2) $, dhe argumenti $\varphi =\frac(\pi )(4) $ nga vetia e një trekëndëshi kënddrejtë.

Një numër kompleks është një numër i formës z =x + i * y, ku x dhe y janë reale numrat, dhe i = njësi imagjinare (d.m.th. një numër katrori i të cilit është -1). Për të përcaktuar konceptin argument gjithëpërfshirëse numrat, është e nevojshme të merret parasysh një numër kompleks në planin kompleks në sistemin koordinativ polar.

Udhëzimet

Rrafshi në të cilin paraqiten komplekset komplekse numrat, quhet kompleks. Në këtë plan, boshti horizontal është i zënë nga real numrat(x), dhe boshti vertikal është imagjinar numrat(y). Në një plan të tillë, numri jepet me dy koordinata z = (x, y). Në sistemin e koordinatave polar, koordinatat e një pike janë moduli dhe argumenti. Moduli është distanca |z| nga një pikë në origjinë. Argumenti është këndi ndërmjet vektorit që lidh pikën dhe origjinën dhe boshtit horizontal të sistemit të koordinatave (shih figurën).

Figura tregon se moduli kompleks numrat z = x + i * y gjendet duke përdorur teoremën e Pitagorës: |z| = ? (x^2 + y^2). Argumenti i radhës numrat z gjendet si një kënd i mprehtë i një trekëndëshi - përmes vlerave të funksioneve trigonometrike sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.

Për shembull, le të jepet numri z = 5 * (1 + ?3 * i). Para së gjithash, zgjidhni pjesët reale dhe imagjinare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezulton se pjesa reale është x = 5, dhe pjesa imagjinare është y = 5 * ?3. Llogaritni modulin numrat: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Më pas, gjeni sinusin e këndit: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Kjo jep argumentin numrat z është e barabartë me 30°.

Shembulli 2. Le të jepet numri z = 5 * i. Figura tregon se këndi = 90°. Kontrolloni këtë vlerë duke përdorur formulën e dhënë më sipër. Shkruani koordinatat e kësaj numrat në planin kompleks: z = (0, 5). Moduli numrat|z| = 5. Tangjentja e këndit tg = 5 / 5 = 1. Nga kjo rrjedh se = 90°.

Shembulli 3. Le të jetë e nevojshme të gjendet argumenti i shumës së dy numrave kompleks z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Sipas rregullave të shtimit, ju i shtoni këto dy komplekse numrat: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Më pas, duke përdorur diagramin e mësipërm, llogaritni argumentin: tg = 9 / 3 = 3.