Shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave- këto janë rregulla që ju lejojnë të zbuloni relativisht shpejt, pa pjesëtuar, nëse ky numër është i pjesëtueshëm me një numër të caktuar pa mbetje.
Disa nga shenjat e pjesëtueshmërisë mjaft e thjeshtë, disa më e ndërlikuar. Në këtë faqe do të gjeni të dy shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave të thjeshtë, si p.sh., 2, 3, 5, 7, 11, dhe shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave të përbërë, si p.sh. 6 ose 12.
Shpresa, ky informacion do të jetë e dobishme për ju.
Gëzuar mësimin!

Test për pjesëtueshmërinë me 2

Kjo është një nga shenjat më të thjeshta të pjesëtueshmërisë. Tingëllon kështu: nëse shënimi i një numri natyror përfundon me një shifër çift, atëherë ai është çift (i pjesëtueshëm pa mbetje me 2), dhe nëse shënimi i një numri natyror përfundon me një shifër tek, atëherë ky numër është tek .
Me fjalë të tjera, nëse shifra e fundit e një numri është 2 , 4 , 6 , 8 ose 0 - numri është i pjesëtueshëm me 2, nëse jo, atëherë nuk është i pjesëtueshëm
Për shembull, numrat: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 pjesëtohen me 2 sepse janë çift.
Numrat: 23 5 , 137 , 2303
Ato nuk pjesëtohen me 2 sepse janë tek.

Test për pjesëtueshmërinë me 3

Kjo shenjë e pjesëtueshmërisë ka rregulla krejtësisht të ndryshme: nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë numri pjesëtohet me 3; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 3, atëherë numri nuk pjesëtohet me 3.
Kjo do të thotë që për të kuptuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 3, thjesht duhet të mblidhni së bashku numrat që e përbëjnë atë.
Duket kështu: 3987 dhe 141 pjesëtohen me 3, sepse në rastin e parë 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - pjesëtohet me 3), kurse në të dytin 1+4+1= 6 (6:3=2 - gjithashtu i pjesëtueshëm me 3).
Por numrat: 235 dhe 566 nuk plotpjestohen me 3, sepse 2+3+5= 10 dhe 5+6+6= 17 (dhe ne e dimë se as 10 dhe as 17 nuk pjesëtohen me 3 pa mbetje).

Test për pjesëtueshmërinë me 4

Kjo shenjë e pjesëtueshmërisë do të jetë më e ndërlikuar. Nëse 2 shifrat e fundit të një numri formojnë një numër të pjesëtueshëm me 4 ose është 00, atëherë numri pjesëtohet me 4, përndryshe numri i dhënë nuk pjesëtohet me 4 pa mbetje.
Për shembull: 1 00 dhe 3 64 pjesëtohen me 4 sepse në rastin e parë numri përfundon me 00 , dhe në të dytën në 64 , i cili nga ana e tij plotpjesëtohet me 4 pa mbetje (64:4=16)
Numrat 3 57 dhe 8 86 nuk pjestohen me 4 sepse as 57 as 86 nuk janë të pjesëtueshëm me 4, që do të thotë se nuk korrespondojnë me këtë kriter të pjesëtueshmërisë.

Testi i pjesëtueshmërisë me 5

Dhe përsëri kemi një shenjë mjaft të thjeshtë të pjesëtueshmërisë: nëse shënimi i një numri natyror përfundon me numrin 0 ose 5, atëherë ky numër pjesëtohet me 5 pa mbetje. Nëse shënimi i një numri përfundon me një shifër tjetër, atëherë numri nuk pjesëtohet me 5 pa mbetje.
Kjo do të thotë se çdo numër që mbaron me shifra 0 Dhe 5 , për shembull 1235 5 dhe 43 0 , bien në rregull dhe pjesëtohen me 5.
Dhe, për shembull, 1549 3 dhe 56 4 mos mbaroni me numrin 5 ose 0, që do të thotë se ato nuk mund të ndahen me 5 pa një mbetje.

Test për pjesëtueshmërinë me 6

Para nesh kemi numrin e përbërë 6, i cili është prodhimi i numrave 2 dhe 3. Prandaj, edhe shenja e pjesëtueshmërisë me 6 është e përbërë: që një numër të plotpjesëtohet me 6, ai duhet të korrespondojë me dy shenja të pjesëtueshmëria në të njëjtën kohë: shenja e pjesëtueshmërisë me 2 dhe shenja e pjesëtueshmërisë me 3. Ju lutemi vini re se një numër i tillë i përbërë si 4 ka një shenjë individuale të pjesëtueshmërisë, sepse është prodhim i numrit 2 në vetvete. Por le të kthehemi te testi i pjesëtueshmërisë me 6.
Numrat 138 dhe 474 janë çift dhe plotësojnë kriteret e pjesëtueshmërisë me 3 (1+3+8=12, 12:3=4 dhe 4+7+4=15, 15:3=5), që do të thotë se janë të pjesëtueshëm. me 6. Por 123 dhe 447, edhe pse pjesëtohen me 3 (1+2+3=6, 6:3=2 dhe 4+4+7=15, 15:3=5), por janë tek, që do të thotë se ato nuk korrespondojnë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 2, dhe për rrjedhojë nuk korrespondojnë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 6.

Test për pjesëtueshmërinë me 7

Ky test i pjesëtueshmërisë është më kompleks: një numër pjesëtohet me 7 nëse rezultati i zbritjes së dyfishit të shifrës së fundit nga numri i dhjetësheve të këtij numri është i pjesëtueshëm me 7 ose i barabartë me 0.
Tingëllon mjaft konfuze, por në praktikë është e thjeshtë. Shihni vetë: numrin 95 9 pjesëtohet me 7 sepse 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 pjesëtohet me 7 pa mbetje). Për më tepër, nëse lindin vështirësi me numrin e marrë gjatë transformimit (për shkak të madhësisë së tij është e vështirë të kuptohet nëse është i pjesëtueshëm me 7 apo jo, atëherë kjo procedurë mund të vazhdohet sa herë që ju e gjykoni të nevojshme).
Për shembull, 45 5 dhe 4580 1 ka vetitë e pjesëtueshmërisë me 7. Në rastin e parë, gjithçka është mjaft e thjeshtë: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. Në rastin e dytë do të bëjmë këtë: 4580 -2*1=4580-2=4578. Është e vështirë për ne të kuptojmë nëse 457 8 me 7, kështu që le të përsërisim procesin: 457 -2*8=457-16=441. Dhe përsëri do të përdorim testin e pjesëtueshmërisë, pasi kemi ende një numër treshifror përpara 44 1. Pra, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, d.m.th. 42 pjesëtohet me 7 pa mbetje, që do të thotë se 45801 pjesëtohet me 7.
Këtu janë numrat 11 1 dhe 34 5 nuk pjesëtohet me 7 sepse 11 -2*1=11-2=9 (9 nuk pjesëtohet me 7) dhe 34 -2*5=34-10=24 (24 nuk pjesëtohet me 7 pa mbetje).

Testi i pjesëtueshmërisë me 8

Testi për pjesëtueshmërinë me 8 tingëllon kështu: nëse 3 shifrat e fundit formojnë një numër të pjesëtueshëm me 8, ose është 000, atëherë numri i dhënë pjesëtohet me 8.
Numrat 1 000 ose 1 088 pjesëtohet me 8: i pari mbaron me 000 , i dyti 88 :8=11 (pjesëtohet me 8 pa mbetje).
Dhe këtu janë numrat 1 100 ose 4 757 nuk pjesëtohen me 8 sepse numrat 100 Dhe 757 nuk pjesëtohen me 8 pa mbetje.

Testi i pjesëtueshmërisë me 9

Kjo shenjë e pjesëtueshmërisë është e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me 3: nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë numri pjesëtohet me 9; Nëse shuma e shifrave të një numri nuk pjesëtohet me 9, atëherë numri nuk pjesëtohet me 9.
Për shembull: 3987 dhe 144 pjesëtohen me 9, sepse në rastin e parë 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - pjesëtohet me 9 pa mbetje), dhe në të dytin 1+4+4= 9 (9:9=1 - gjithashtu i pjesëtueshëm me 9).
Por numrat: 235 dhe 141 nuk plotpjestohen me 9, sepse 2+3+5= 10 dhe 1+4+1= 6 (dhe ne e dimë se as 10 dhe as 6 nuk pjesëtohen me 9 pa mbetje).

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100, 1000 dhe njësi të tjera shifrore

I kombinova këto shenja pjesëtueshmërie sepse ato mund të përshkruhen në të njëjtën mënyrë: një numër pjesëtohet me një njësi shifrore nëse numri i zeros në fund të numrit është më i madh ose i barabartë me numrin e zeros në një njësi të caktuar shifrore. .
Me fjalë të tjera, për shembull, kemi numrat e mëposhtëm: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . nga të cilat të gjitha pjesëtohen me 1 0 ; 46400 dhe 867 000 pjesëtohen gjithashtu me 1 00 ; dhe vetëm njëri prej tyre është 867 000 pjesëtueshëm me 1 000 .
Çdo numër që ka më pak zero pasuese se njësia shifrore nuk pjesëtohet me atë njësi shifrore, për shembull 600 30 dhe 7 93 e papjestueshme 1 00 .

Testi i pjesëtueshmërisë me 11

Për të kuptuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 11, duhet të merrni diferencën midis shumave të shifrave çift dhe tek të këtij numri. Nëse ky ndryshim është i barabartë me 0 ose pjesëtohet me 11 pa mbetje, atëherë vetë numri pjesëtohet me 11 pa mbetje.
Për ta bërë më të qartë, unë sugjeroj të shikoni shembuj: 2 35 4 pjesëtohet me 11 sepse ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 gjithashtu pjesëtohet me 11, pasi ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Këtu është 1 1 1 ose 4 35 4 nuk pjesëtohet me 11, pasi në rastin e parë marrim (1+1)- 1 =1, dhe në të dytën ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Testi i pjesëtueshmërisë me 12

Numri 12 është i përbërë. Shenja e tij e pjesëtueshmërisë është pajtueshmëria me shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 dhe 4 në të njëjtën kohë.
Për shembull, 300 dhe 636 korrespondojnë me të dyja shenjat e pjesëtueshmërisë me 4 (2 shifrat e fundit janë zero ose pjesëtohen me 4) dhe shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 (shuma e shifrave të të dy numrave të parë dhe të tretë janë të pjesëtueshme. me 3), por së fundi, ato pjesëtohen me 12 pa mbetje.
Por 200 ose 630 nuk pjesëtohen me 12, sepse në rastin e parë numri plotëson vetëm kriterin e pjesëtueshmërisë me 4, dhe në të dytin - vetëm kriterin e pjesëtueshmërisë me 3. por jo të dy kriteret në të njëjtën kohë.

Testi i pjesëtueshmërisë me 13

Një shenjë e pjesëtueshmërisë me 13 është se nëse numri i dhjetësheve të një numri të shtuar në njësitë e këtij numri i shumëzuar me 4 është shumëfish i 13 ose i barabartë me 0, atëherë vetë numri është i pjesëtueshëm me 13.
Le të marrim për shembull 70 2. Pra, 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 pjesëtohet me 13 pa mbetje), që do të thotë 70 2 pjesëtohet me 13 pa mbetje. Një shembull tjetër është një numër 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Numri 130 plotpjesëtohet me 13 pa mbetje, që do të thotë se numri i dhënë korrespondon me kriterin e pjesëtueshmërisë me 13.
Nëse marrim numrat 12 5 ose 21 2, atëherë marrim 12 +4*5=32 dhe 21 +4*2=29, përkatësisht, dhe as 32 dhe as 29 nuk pjesëtohen me 13 pa mbetje, që do të thotë se numrat e dhënë nuk pjesëtohen me 13 pa mbetje.

Pjesëtueshmëria e numrave

Siç shihet nga sa më sipër, mund të supozohet se për ndonjë prej numrat natyrorë ju mund të zgjidhni shenjën tuaj individuale të pjesëtueshmërisë ose një shenjë "të përbërë" nëse numri është shumëfish i disa numrave të ndryshëm. Por siç tregon praktika, në përgjithësi, sa më i madh të jetë numri, aq më komplekse është shenja e tij. Është e mundur që koha e kaluar për të kontrolluar kriterin e pjesëtueshmërisë mund të jetë e barabartë ose më e madhe se vetë pjesëtimi. Kjo është arsyeja pse ne zakonisht përdorim shenjat më të thjeshta të pjesëtueshmërisë.

Artikulli shqyrton konceptin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje. Le të vërtetojmë teoremën mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me një mbetje dhe të shikojmë lidhjet midis dividentëve dhe pjesëtuesve, herësve jo të plotë dhe mbetjeve. Le të shohim rregullat gjatë ndarjes së numrave të plotë me mbetje, duke i parë ato në detaje duke përdorur shembuj. Në fund të zgjidhjes do të kryejmë një kontroll.

Kuptimi i përgjithshëm i ndarjes së numrave të plotë me mbetje

Ndarja e numrave të plotë me një mbetje konsiderohet si një pjesëtim i përgjithësuar me një mbetje të numrave natyrorë. Kjo bëhet sepse numrat natyrorë janë një komponent i numrave të plotë.

Pjesëtimi me një mbetje të një numri arbitrar thotë se numri i plotë a pjesëtohet me një numër b të ndryshëm nga zero. Nëse b = 0, atëherë mos e ndani me një mbetje.

Ashtu si pjesëtimi i numrave natyrorë me një mbetje, numrat e plotë a dhe b pjesëtohen, me b jo zero, me c dhe d. Në këtë rast, a dhe b quhen divident dhe pjesëtues, dhe d është pjesa e mbetur e pjesëtimit, c është një herës i plotë ose jo i plotë.

Nëse supozojmë se pjesa e mbetur nuk është një e tërë një numër negativ, atëherë vlera e tij nuk është më e madhe se moduli i numrit b. Le ta shkruajmë në këtë mënyrë: 0 ≤ d ≤ b. Ky zinxhir pabarazish përdoret kur krahasohen 3 ose më shumë numra.

Nëse c është një herës jo i plotë, atëherë d është pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit të plotë a me b, që mund të thuhet shkurtimisht: a: b = c (mbetja d).

Mbetja kur pjesëtohen numrat a me b mund të jetë zero, atëherë ata thonë se a është plotësisht i pjesëtueshëm me b, domethënë pa mbetje. Pjesëtimi pa mbetje konsiderohet rast i veçantë i pjesëtimit.

Nëse e pjesëtojmë zeron me një numër, rezultati është zero. Pjesa e mbetur e ndarjes do të jetë gjithashtu zero. Kjo mund të gjurmohet nga teoria e pjesëtimit të zeros me një numër të plotë.

Tani le të shohim kuptimin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Dihet se numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, atëherë kur pjesëtohet me mbetje do të fitohet i njëjti kuptim si kur pjesëtohen numrat natyrorë me mbetje.

Pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b ka kuptim. Le të shohim një shembull. Imagjinoni një situatë ku ne kemi një borxh artikujsh në shumën e një që duhet të shlyhet nga b person. Për ta arritur këtë, të gjithë duhet të kontribuojnë në mënyrë të barabartë. Për të përcaktuar shumën e borxhit për secilin, duhet t'i kushtoni vëmendje vlerës së privatit. Pjesa e mbetur d tregon se numri i artikujve pas shlyerjes së borxheve është i njohur.

Le të shohim shembullin e mollëve. Nëse 2 persona kanë borxh 7 mollë. Nëse llogarisim se secili duhet të kthejë 4 mollë, pas llogaritjes së plotë do t'i mbetet edhe 1 mollë. Le ta shkruajmë këtë si barazi: (− 7) : 2 = − 4 (nga t. 1) .

Pjesëtimi i çdo numri a me një numër të plotë nuk ka kuptim, por është i mundur si opsion.

Teorema mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me mbetje

Kemi identifikuar që a është dividenti, pastaj b është pjesëtuesi, c është herësi i pjesshëm dhe d është mbetja. Ata janë të lidhur me njëri-tjetrin. Ne do ta tregojmë këtë lidhje duke përdorur barazinë a = b · c + d. Lidhja ndërmjet tyre karakterizohet nga teorema e pjesëtueshmërisë me mbetjen.

Teorema

Çdo numër i plotë mund të përfaqësohet vetëm përmes një numri të plotë dhe jozero b në këtë mënyrë: a = b · q + r, ku q dhe r janë disa numra të plotë. Këtu kemi 0 ≤ r ≤ b.

Le të vërtetojmë mundësinë e ekzistencës së a = b · q + r.

Dëshmi

Nëse ka dy numra a dhe b, dhe a është i pjesëtueshëm me b pa mbetje, atëherë nga përkufizimi del se ka një numër q dhe barazia a = b · q do të jetë e vërtetë. Atëherë barazia mund të konsiderohet e vërtetë: a = b · q + r për r = 0.

Atëherë është e nevojshme të merret q e tillë që jepet nga pabarazia b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Kemi se vlera e shprehjes a − b · q është më e madhe se zero dhe jo më e madhe se vlera e numrit b, rrjedh se r = a − b · q. Konstatojmë se numri a mund të paraqitet në formën a = b · q + r.

Tani duhet të konsiderojmë paraqitjen e a = b · q + r për vlerat negative të b.

Moduli i numrit rezulton pozitiv, atëherë marrim a = b · q 1 + r, ku vlera q 1 është një numër i plotë, r është një numër i plotë që plotëson kushtin 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Dëshmi e veçantisë

Le të supozojmë se a = b q + r, q dhe r janë numra të plotë me kushtin 0 ≤ r të vërtetë< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Dhe r 1 janë disa numra ku q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Kur pabarazia zbritet nga ana e majtë dhe e djathtë, atëherë marrim 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, që është ekuivalente me r - r 1 = b · q 1 - q. Meqenëse moduli përdoret, marrim barazinë r - r 1 = b · q 1 - q.

Kushti i dhënë thotë se 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Dhe q 1- e tërë, dhe q ≠ q 1, pastaj q 1 - q ≥ 1. Nga këtu kemi se b · q 1 - q ≥ b. Pabarazitë që rezultojnë r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Nga kjo rezulton se numri a nuk mund të përfaqësohet në asnjë mënyrë tjetër përveçse duke shkruar a = b · q + r.

Lidhja ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes

Duke përdorur barazinë a = b · c + d, mund të gjeni dividentin e panjohur a kur pjesëtuesi b me herësin jo të plotë c dhe mbetjen d dihet.

Shembulli 1

Përcaktoni dividentin nëse, pas pjesëtimit, marrim - 21, herësi i pjesshëm është 5 dhe pjesa e mbetur është 12.

Zgjidhje

Është e nevojshme të llogaritet dividenti a me një pjesëtues të njohur b = - 21, herës jo të plotë c = 5 dhe mbetje d = 12. Duhet të kthehemi te barazia a = b · c + d, nga këtu marrim a = (− 21) · 5 + 12. Nëse ndjekim rendin e veprimeve, shumëzojmë - 21 me 5, pas së cilës marrim (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.

Përgjigje: - 93 .

Lidhja ndërmjet pjesëtuesit dhe herësit të pjesshëm dhe mbetjes mund të shprehet duke përdorur barazitë: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b dhe d = a − b · c . Me ndihmën e tyre, ne mund të llogarisim pjesëtuesin, herësin e pjesshëm dhe mbetjen. Kjo vjen në gjetjen e vazhdueshme të mbetjes kur pjesëtohet një numër i plotë i numrave a me b me një dividend të njohur, pjesëtues dhe koeficient të pjesshëm. Zbatohet formula d = a − b · c. Le të shqyrtojmë zgjidhjen në detaje.

Shembulli 2

Gjeni pjesën e mbetur kur pjesëtoni numrin e plotë - 19 me numrin e plotë 3 me një herës të njohur jo të plotë të barabartë me - 7.

Zgjidhje

Për të llogaritur pjesën e mbetur të pjesëtimit, aplikojmë një formulë të formës d = a − b · c. Sipas kushteve, të gjitha të dhënat janë të disponueshme: a = - 19, b = 3, c = - 7. Nga këtu marrim d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (diferenca − 19 − (− 21) Ky shembull është llogaritur duke përdorur rregullin e zbritjes një numër të plotë negativ.

Përgjigje: 2 .

Të gjithë numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë. Nga kjo rezulton se pjesëtimi kryhet sipas të gjitha rregullave të pjesëtimit me një mbetje numrash natyrorë. Shpejtësia e pjesëtimit me pjesën e mbetur të numrave natyrorë është e rëndësishme, pasi në të bazohen jo vetëm ndarja e numrave pozitivë, por edhe rregullat për ndarjen e numrave të plotë arbitrar.

Metoda më e përshtatshme e ndarjes është një kolonë, pasi është më e lehtë dhe më e shpejtë për të marrë një të paplotë ose thjesht një koeficient me një mbetje. Le të shohim zgjidhjen në më shumë detaje.

Shembulli 3

Ndani 14671 me 54.

Zgjidhje

Kjo ndarje duhet të bëhet në një kolonë:

Kjo do të thotë, herësi i pjesshëm është i barabartë me 271, dhe pjesa e mbetur është 37.

Përgjigje: 14671: 54 = 271. (Pushimi 37)

Rregulli për pjesëtimin me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ, shembuj

Për të kryer pjesëtimin me një mbetje të një numri pozitiv me një numër të plotë negativ, është e nevojshme të formulohet një rregull.

Përkufizimi 1

Herësi jo i plotë i pjesëtimit të numrit të plotë pozitiv a me numrin e plotë negativ b jep një numër që është i kundërt me hersin jo të plotë të pjesëtimit të moduleve të numrave a me b. Atëherë mbetja është e barabartë me mbetjen kur a pjesëtohet me b.

Prandaj kemi që herësi jo i plotë i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ konsiderohet një numër i plotë jo pozitiv.

Ne marrim algoritmin:

• pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, atëherë marrim një herës jo të plotë dhe
• mbetje;
• Le të shkruajmë numrin e kundërt me atë që kemi marrë.

Le të shohim shembullin e algoritmit për pjesëtimin e një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Shembulli 4

Ndani me mbetjen 17 me - 5.

Zgjidhje

Le të zbatojmë algoritmin për pjesëtimin me mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ. Është e nevojshme të ndani modulin 17 me - 5. Nga këtu marrim se herësi i pjesshëm është i barabartë me 3, dhe pjesa e mbetur është e barabartë me 2.

Ne marrim se numri i kërkuar nga pjesëtimi i 17 me - 5 = - 3 me një mbetje të barabartë me 2.

Përgjigje: 17: (− 5) = − 3 (2 të mbetura).

Shembulli 5

Ju duhet të ndani 45 me - 15.

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndahet moduli i numrave. Ndani numrin 45 me 15, marrim herësin 3 pa mbetje. Kjo do të thotë që numri 45 pjesëtohet me 15 pa mbetje. Përgjigja është - 3, pasi ndarja u krye me modul.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Përgjigje: 45: (− 15) = − 3 .

Formulimi i rregullit për pjesëtimin me mbetje është si më poshtë.

Përkufizimi 2

Për të marrë një herës jo të plotë c kur pjesëtoni një numër të plotë negativ a me një pozitiv b, duhet të aplikoni të kundërtën e numrit të dhënë dhe të zbrisni 1 prej tij, atëherë mbetja d do të llogaritet me formulën: d = a - b · c.

Bazuar në rregull, mund të konkludojmë se gjatë pjesëtimit marrim një numër të plotë jo negativ. Për të siguruar saktësinë e zgjidhjes, përdorni algoritmin për pjesëtimin e a me b me një mbetje:

• gjeni modulet e dividendit dhe pjesëtuesit;
• modulin e ndarjes;
• shkruaj të kundërtën e numrit të dhënë dhe zbrit 1;
• përdorni formulën për mbetjen d = a − b · c.

Le të shohim një shembull të një zgjidhjeje ku përdoret ky algoritëm.

Shembulli 6

Gjeni herësin e pjesshëm dhe pjesën e mbetur të pjesëtimit - 17 me 5.

Zgjidhje

Ndajmë modulin e numrave të dhënë. Ne gjejmë se kur pjesëtojmë, herësi është 3 dhe mbetja është 2. Meqë kemi marrë 3, e kundërta është 3. Duhet të zbrisni 1.

− 3 − 1 = − 4 .

Vlera e dëshiruar është e barabartë me - 4.

Për të llogaritur pjesën e mbetur, ju nevojitet a = − 17, b = 5, c = − 4, pastaj d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Kjo do të thotë se herësi jo i plotë i pjesëtimit është numri - 4 me një mbetje të barabartë me 3.

Përgjigje:(− 17) : 5 = − 4 (3 të mbetura).

Shembulli 7

Ndani numrin e plotë negativ - 1404 me 26 pozitiv.

Zgjidhje

Është e nevojshme të ndahet sipas kolonës dhe modulit.

Morëm ndarjen e moduleve të numrave pa mbetje. Kjo do të thotë që ndarja kryhet pa mbetje, dhe herësi i dëshiruar = - 54.

Përgjigje: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Rregulla e ndarjes me mbetje për numrat e plotë negativë, shembuj

Është e nevojshme të formulohet një rregull për ndarjen me një mbetje të numrave të plotë negativë.

Përkufizimi 3

Për të marrë një herës jo të plotë c nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë negativ b, është e nevojshme të kryhen llogaritjet e modulit, pastaj të shtohet 1, pastaj mund të kryejmë llogaritjet duke përdorur formulën d = a − b · c.

Nga kjo rrjedh se herësi jo i plotë i pjesëtimit të numrave të plotë negativ do të jetë një numër pozitiv.

Le të formulojmë këtë rregull në formën e një algoritmi:

• gjeni modulet e dividendit dhe pjesëtuesit;
• pjesëtojeni modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit për të marrë një herës jo të plotë me
• mbetje;
• duke i shtuar 1 herësit jo të plotë;
• llogaritja e mbetjes bazuar në formulën d = a − b · c.

Le të shohim këtë algoritëm duke përdorur një shembull.

Shembulli 8

Gjeni herësin e pjesshëm dhe mbetjen kur pjesëtoni - 17 me - 5.

Zgjidhje

Për korrektësinë e zgjidhjes zbatojmë algoritmin e pjesëtimit me mbetje. Së pari, ndani modulin e numrave. Nga kjo marrim se herësi jo i plotë = 3 dhe pjesa e mbetur është 2. Sipas rregullit, duhet të shtoni koeficientin jo të plotë dhe 1. Ne marrim se 3 + 1 = 4. Nga këtu marrim se herësi i pjesshëm i pjesëtimit të numrave të dhënë është i barabartë me 4.

Për të llogaritur pjesën e mbetur do të përdorim formulën. Me kusht kemi që a = − 17, b = − 5, c = 4, atëherë, duke përdorur formulën, marrim d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Përgjigja e kërkuar, domethënë pjesa e mbetur, është e barabartë me 3, dhe herësi i pjesshëm është i barabartë me 4.

Përgjigje:(− 17) : (− 5) = 4 (3 të mbetura).

Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje

Pas pjesëtimit të numrave me një mbetje, duhet të kryeni një kontroll. Ky kontroll përfshin 2 faza. Së pari, pjesa e mbetur d kontrollohet për jonegativitet, kushti 0 ≤ d plotësohet< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Le të shohim shembuj.

Shembulli 9

Ndarja është bërë - 521 me - 12. Koeficienti është 44, pjesa e mbetur është 7. Kryeni kontrollin.

Zgjidhje

Meqenëse pjesa e mbetur është një numër pozitiv, vlera e tij është më e vogël se moduli i pjesëtuesit. Pjesëtuesi është - 12, që do të thotë se moduli i tij është 12. Mund të kaloni në pikën tjetër të kontrollit.

Me kusht, kemi që a = - 521, b = - 12, c = 44, d = 7. Nga këtu ne llogarisim b · c + d, ku b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Nga kjo rrjedh se barazia është e vërtetë. Verifikimi kaloi.

Shembulli 10

Kryeni kontrollin e pjesëtimit (− 17): 5 = − 3 (të mbetura − 2). A është e vërtetë barazia?

Zgjidhje

Qëllimi i fazës së parë është se është e nevojshme të kontrollohet ndarja e numrave të plotë me një mbetje. Nga kjo është e qartë se veprimi është kryer gabimisht, pasi është dhënë një mbetje e barabartë me - 2. Pjesa e mbetur nuk është një numër negativ.

Kemi që kushti i dytë është plotësuar, por jo i mjaftueshëm për këtë rast.

Përgjigje: Nr.

Shembulli 11

Numri - 19 u nda me - 3. Koeficienti i pjesshëm është 7 dhe pjesa e mbetur është 1. Kontrolloni nëse kjo llogaritje është kryer saktë.

Zgjidhje

Jepet një mbetje e barabartë me 1. Ai është pozitiv. Vlera është më e vogël se moduli ndarës, që do të thotë se faza e parë është duke u përfunduar. Le të kalojmë në fazën e dytë.

Le të llogarisim vlerën e shprehjes b · c + d. Me kusht kemi që b = − 3, c = 7, d = 1, që do të thotë zëvendësim vlerat numerike, marrim b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Nga kjo rrjedh se a = b · c + d barazia nuk vlen, pasi kushti jep a = - 19.

Nga kjo del se ndarja është bërë me gabim.

Përgjigje: Nr.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në këtë artikull do të shikojmë ndarja e numrave të plotë me mbetjen. Le të fillojmë me parimin e përgjithshëm të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje, të formulojmë dhe vërtetojmë teoremën mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me një mbetje dhe të gjurmojmë lidhjet ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit jo të plotë dhe mbetjes. Më pas, ne do të përshkruajmë rregullat me të cilat numrat e plotë ndahen me një mbetje dhe do të shqyrtojmë zbatimin e këtyre rregullave kur zgjidhim shembuj. Pas kësaj, ne do të mësojmë se si të kontrollojmë rezultatin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Navigimi i faqes.

Kuptimi i përgjithshëm i pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje

Ne do të konsiderojmë ndarjen e numrave të plotë me një mbetje si përgjithësim pjesëtimi me mbetjen e numrave natyrorë. Kjo është për shkak se numra të plotë janë pjesë integrale numra të plotë.

Le të fillojmë me termat dhe emërtimet që përdoren në përshkrim.

Për analogji me pjesëtimin e numrave natyrorë me një mbetje, do të supozojmë se rezultati i pjesëtimit me një mbetje prej dy numrash të plotë a dhe b (b nuk është i barabartë me zero) është dy numra të plotë c dhe d. Numrat a dhe b quhen i ndashëm Dhe ndarës në përputhje me rrethanat, numri d - pjesa e mbetur nga pjesëtimi i a me b, dhe numri i plotë c quhet private jo të plota(ose thjesht private, nëse pjesa e mbetur është zero).

Le të pranojmë të supozojmë se ka një mbetje numër i plotë jo negativ, dhe vlera e tij nuk e kalon b, pra (zinxhirë të ngjashëm pabarazish kemi hasur kur folëm për duke krahasuar tre ose më shumë numra të plotë).

Nëse numri c është një herës jo i plotë, dhe numri d është pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit të plotë a me numrin e plotë b, atëherë shkurtimisht do ta shkruajmë këtë fakt si barazi të formës a:b=c (dja e mbetur).

Vini re se kur pjesëtoni një numër të plotë a me një numër të plotë b, pjesa e mbetur mund të jetë zero. Në këtë rast themi se a është i pjesëtueshëm me b pa lënë gjurmë(ose plotësisht). Kështu, ndarja e numrave të plotë pa mbetjeështë një rast i veçantë i pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje.

Vlen gjithashtu të thuhet se kur pjesëtojmë zeron me një numër të plotë, gjithmonë kemi të bëjmë me pjesëtim pa mbetje, pasi në këtë rast herësi do të jetë i barabartë me zero (shiko seksionin e teorisë pjesëtimi i zeros me një numër të plotë), dhe pjesa e mbetur gjithashtu do të jetë zero.

Ne kemi vendosur për terminologjinë dhe shënimin, tani le të kuptojmë kuptimin e ndarjes së numrave të plotë me një mbetje.

Pjestimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë numër pozitiv b mund t'i jepet edhe kuptimi. Për ta bërë këtë, merrni parasysh numër i plotë negativ si borxh. Le ta imagjinojmë këtë situatë. Borxhi që përbën artikujt duhet të shlyhet nga b persona duke dhënë një kontribut të barabartë. Vlera absolute e koeficientit jo të plotë c në këtë rast do të përcaktojë shumën e borxhit të secilit prej këtyre njerëzve, dhe pjesa e mbetur d do të tregojë se sa artikuj do të mbeten pasi të paguhet borxhi. Le të japim një shembull. Le të themi se 2 persona kanë borxh 7 mollë. Nëse supozojmë se secili prej tyre ka 4 mollë borxh, atëherë pas shlyerjes së borxhit do t'u mbetet edhe 1 mollë. Kjo situatë korrespondon me barazinë (−7):2=−4 (mbetja 1).

Ne nuk do t'i japim asnjë kuptim pjesëtimit me një mbetje të një numri të plotë arbitrar a me një numër të plotë negativ, por do të rezervojmë të drejtën e tij për të ekzistuar.

Teorema mbi pjesëtueshmërinë e numrave të plotë me mbetje

Kur folëm për pjesëtimin e numrave natyrorë me një mbetje, zbuluam se dividenti a, pjesëtuesi b, herësi i pjesshëm c dhe mbetja d lidhen me barazinë a=b·c+d. Numrat e plotë a, b, c dhe d kanë të njëjtën marrëdhënie. Kjo lidhje konfirmohet si më poshtë teorema e pjesëtueshmërisë me mbetje.

Teorema.

Çdo numër i plotë a mund të përfaqësohet në mënyrë unike përmes një numri të plotë dhe jozero b në formën a=b·q+r, ku q dhe r janë disa numra të plotë, dhe .

Dëshmi.

Së pari, vërtetojmë mundësinë e paraqitjes së a=b·q+r.

Nëse numrat e plotë a dhe b janë të tillë që a është i pjesëtueshëm me b, atëherë sipas përkufizimit ekziston një numër i plotë q i tillë që a=b·q. Në këtë rast vlen barazia a=b·q+r në r=0.

Tani do të supozojmë se b është një numër i plotë pozitiv. Le të zgjedhim një numër të plotë q në mënyrë që prodhimi b·q të mos e kalojë numrin a, dhe prodhimi b·(q+1) është tashmë më i madh se a. Domethënë, marrim q të tillë që pabarazitë b q

Mbetet të vërtetohet mundësia e paraqitjes së a=b·q+r për negativin b.

Meqenëse moduli i numrit b në këtë rast është një numër pozitiv, atëherë ekziston një paraqitje ku q 1 është një numër i plotë, dhe r është një numër i plotë që plotëson kushtet. Pastaj, duke marrë q=−q 1, marrim paraqitjen që na nevojitet a=b·q+r për negativin b.

Le të kalojmë te vërtetimi i veçantisë.

Supozoni se përveç paraqitjes a=b·q+r, q dhe r janë numra të plotë dhe , ekziston një paraqitje tjetër a=b·q 1 +r 1, ku q 1 dhe r 1 janë disa numra të plotë, dhe q 1 ≠ q dhe .

Pasi të kemi zbritur përkatësisht anën e majtë dhe të djathtë të barazisë së dytë nga ana e majtë dhe e djathtë e barazisë së parë, fitojmë 0=b·(q−q 1)+r−r 1, që është ekuivalente me barazinë r− r 1 =b·(q 1 −q) . Pastaj një barazi e formës , dhe për shkak të vetive të modulit të numrave, barazisë .

Nga kushtet mund të konkludojmë se. Meqenëse q dhe q 1 janë numra të plotë dhe q≠q 1, atëherë konkludojmë se . Nga pabarazitë e fituara dhe rrjedh se një barazi e formës e pamundur sipas supozimit tonë. Prandaj, nuk ka paraqitje tjetër të numrit a përveç a=b·q+r.

Marrëdhëniet ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes

Barazia a=b·c+d ju lejon të gjeni dividendën e panjohur a nëse dihen pjesëtuesi b, herësi i pjesshëm c dhe mbetja d. Le të shohim një shembull.

Shembull.

Sa është vlera e dividentit nëse, kur pjesëtohet me numrin e plotë −21, rezultati është një herës jo i plotë prej 5 dhe një mbetje prej 12?

Zgjidhje.

Duhet të llogarisim dividentin a kur dihen pjesëtuesi b=−21, herësi i pjesshëm c=5 dhe mbetja d=12. Duke iu kthyer barazisë a=b·c+d, marrim a=(−21)·5+12. Duke vëzhguar , fillimisht shumëzojmë me numrat e plotë −21 dhe 5 rregulli i shumëzimit të numrave të plotë me shenja të ndryshme, pas së cilës ne ekzekutojmë shtimi i numrave të plotë me shenja të ndryshme: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Përgjigje:

−93 .

Lidhjet ndërmjet dividendit, pjesëtuesit, herësit të pjesshëm dhe mbetjes shprehen edhe me barazi të formës b=(a−d):c, c=(a−d):b dhe d=a−b·c. Këto barazi ju lejojnë të llogaritni përkatësisht pjesëtuesin, herësin e pjesshëm dhe mbetjen. Shpesh do të na duhet të gjejmë mbetjen kur pjesëtojmë një numër të plotë a me një numër të plotë b kur dividenti, pjesëtuesi dhe herësi i pjesshëm janë të njohur, duke përdorur formulën d=a−b·c. Për të shmangur çdo pyetje të mëtejshme, le të shohim një shembull të llogaritjes së pjesës së mbetur.

Shembull.

Gjeni pjesën e mbetur kur pjesëtoni numrin e plotë −19 me numrin e plotë 3 nëse e dini se herësi i pjesshëm është i barabartë me −7.

Zgjidhje.

Për të llogaritur pjesën e mbetur të pjesëtimit, ne përdorim një formulë të formës d=a−b·c. Nga kushti kemi të gjitha të dhënat e nevojshme a=−19, b=3, c=−7. Marrim d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (diferencën −19−(−21) e kemi llogaritur duke përdorur rregulli për zbritjen e një numri të plotë negativ).

Përgjigje:

Ndarja me mbetje të numrave të plotë pozitivë, shembuj

Siç kemi vërejtur më shumë se një herë, numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë. Prandaj, pjesëtimi me një mbetje të numrave të plotë pozitiv kryhet sipas të gjitha rregullave për pjesëtimin me një mbetje të numrave natyrorë. Është shumë e rëndësishme të jesh në gjendje të performosh lehtësisht pjesëtimi me mbetjen e numrave natyrorë, pasi që është pikërisht kjo që qëndron në themel të ndarjes jo vetëm të numrave të plotë pozitivë, por edhe të bazës së të gjitha rregullave për ndarjen me një pjesë të mbetur të numrave të plotë arbitrar.

Nga këndvështrimi ynë, është më i përshtatshëm për t'u kryer pjesëtimi me kolonë, kjo metodë ju lejon të merrni edhe herësin jo të plotë (ose thjesht herësin) dhe pjesën e mbetur. Le të shohim një shembull të ndarjes me një pjesë të mbetur të numrave të plotë pozitivë.

Shembull.

Ndani me pjesën e mbetur 14671 me 54.

Zgjidhje.

Le t'i ndajmë këta numra të plotë pozitivë me një kolonë:

Koeficienti i pjesshëm doli të jetë i barabartë me 271, dhe pjesa e mbetur është e barabartë me 37.

Përgjigje:

14 671:54=271 (pushimi 37) .

Rregulli për pjesëtimin me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ, shembuj

Le të formulojmë një rregull që na lejon të kryejmë pjesëtimin me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Herësi i pjesshëm i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv a me një numër të plotë negativ b është e kundërta e herësit të pjesshëm të pjesëtimit të a me modulin e b, dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të a me b është e barabartë me pjesën e mbetur të pjesëtimit me.

Nga ky rregull rezulton se herësi i pjesshëm i pjesëtimit të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ është numër i plotë jo pozitiv.

Le ta transformojmë rregullin e deklaruar në një algoritëm për ndarjen me një mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ:

• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, duke marrë herësin e pjesshëm dhe mbetjen. (Nëse mbetja është e barabartë me zero, atëherë numrat origjinalë ndahen pa mbetje, dhe sipas rregullit të pjesëtimit të numrave të plotë me shenja të kundërta, herësi i kërkuar është i barabartë me numrin e kundërt me herësin nga ndarja e moduleve. )
• Shkruajmë numrin e kundërt me herësin e paplotë që rezulton dhe pjesën e mbetur. Këta numra janë, përkatësisht, herësi i kërkuar dhe pjesa e mbetur e pjesëtimit të numrit të plotë pozitiv origjinal me një numër të plotë negativ.

Le të japim një shembull të përdorimit të algoritmit për pjesëtimin e një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Shembull.

Pjestojeni me një mbetje të numrit të plotë pozitiv 17 me numrin e plotë negativ −5.

Zgjidhje.

Le të përdorim algoritmin për pjesëtimin me mbetje të një numri të plotë pozitiv me një numër të plotë negativ.

Duke e ndarë

Numri, numër i kundërt 3 është −3. Kështu, herësi i pjesshëm i kërkuar i pjesëtimit të 17 me -5 është -3, dhe pjesa e mbetur është 2.

Përgjigje:

17 :(−5)=−3 (2 të mbetura).

Shembull.

Ndani 45 me −15.

Zgjidhje.

Modulet e dividentit dhe pjesëtuesit janë përkatësisht 45 dhe 15. Numri 45 pjesëtohet me 15 pa mbetje, dhe herësi është 3. Prandaj, numri i plotë pozitiv 45 ndahet me numrin e plotë negativ -15 pa mbetje, dhe herësi është i barabartë me numrin përballë 3, domethënë -3. Në të vërtetë, sipas rregull për ndarjen e numrave të plotë me shenja të ndryshme ne kemi .

Përgjigje:

45:(−15)=−3 .

Pjesëtimi me mbetjen e një numri të plotë negativ me një numër të plotë pozitiv, shembuj

Le të japim formulimin e rregullit për pjesëtimin me mbetje të një numri të plotë negativ me një numër të plotë pozitiv.

Për të marrë një herës jo të plotë c nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b, duhet të merrni numrin e kundërt me herës jo të plotë nga pjesëtimi i moduleve të numrave origjinal dhe të zbrisni një prej tij, pas së cilës llogaritet mbetja d. duke përdorur formulën d=a−b·c.

Nga ky rregull i pjesëtimit me një mbetje del se herësi i pjesshëm i pjesëtimit të një numri të plotë negativ me një numër të plotë pozitiv është një numër i plotë negativ.

Nga rregulli i deklaruar vijon një algoritëm për ndarjen me një mbetje të një numri të plotë negativ a me një numër të plotë pozitiv b:

• Gjetja e moduleve të dividendit dhe pjesëtuesit.
• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, duke marrë herësin e pjesshëm dhe mbetjen. (Nëse mbetja është zero, atëherë numrat e plotë origjinalë ndahen pa mbetje dhe herësi i kërkuar është i barabartë me numrin e kundërt me herësin e ndarjes së modulit.)
• Shkruajmë numrin e kundërt me herësin e paplotë që rezulton dhe prej tij zbresim numrin 1. Numri i llogaritur është herësi i pjesshëm c i dëshiruar nga pjesëtimi i numrit të plotë negativ origjinal me një numër të plotë pozitiv.

Le të analizojmë zgjidhjen e shembullit, në të cilin përdorim algoritmin e shkrimit të ndarjes me një mbetje.

Shembull.

Gjeni herësin e pjesshëm dhe mbetjen kur pjesëtoni numrin e plotë negativ −17 me numrin e plotë pozitiv 5.

Zgjidhje.

Moduli i dividendit −17 është i barabartë me 17, dhe moduli i pjesëtuesit 5 është i barabartë me 5.

Duke e ndarë 17 me 5, marrim herësin e pjesshëm 3 dhe pjesën e mbetur 2.

E kundërta e 3 është −3. Zbrisni një nga −3: −3−1=−4. Pra, herësi i kërkuar i pjesshëm është i barabartë me -4.

E vetmja gjë që mbetet është të llogaritet pjesa e mbetur. Në shembullin tonë a=−17, b=5, c=−4, pastaj d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

Kështu, herësi i pjesshëm i pjesëtimit të numrit të plotë negativ -17 me numrin e plotë pozitiv 5 është -4, dhe pjesa e mbetur është 3.

Përgjigje:

(−17):5=−4 (3 të mbetura) .

Shembull.

Ndani numrin e plotë negativ −1,404 me numrin e plotë pozitiv 26.

Zgjidhje.

Moduli i dividentit është 1404, moduli i pjesëtuesit është 26.

Ndani 1,404 me 26 duke përdorur një kolonë:

Meqenëse moduli i dividentit ndahet me modulin e pjesëtuesit pa mbetje, numrat e plotë origjinalë ndahen pa mbetje, dhe herësi i dëshiruar është i barabartë me numrin përballë 54, domethënë -54.

Përgjigje:

(−1 404):26=−54 .

Rregulla e ndarjes me mbetje për numrat e plotë negativë, shembuj

Le të formulojmë rregullin e pjesëtimit me një mbetje të numrave të plotë negativë.

Për të marrë një herës jo të plotë c nga pjesëtimi i një numri të plotë negativ a me një numër të plotë negativ b, duhet të llogarisni herësin jo të plotë nga pjesëtimi i moduleve të numrave origjinalë dhe t'i shtoni atij një, pas së cilës pjesa e mbetur d llogaritet duke përdorur formulën d. =a−b·c.

Nga ky rregull del se herësi i pjesshëm i pjesëtimit të numrave të plotë negativ është një numër i plotë pozitiv.

Le të rishkruajmë rregullin e deklaruar në formën e një algoritmi për ndarjen e numrave të plotë negativë:

• Gjetja e moduleve të dividendit dhe pjesëtuesit.
• Pjesëtojmë modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit, duke marrë herësin e pjesshëm dhe mbetjen. (Nëse mbetja është zero, atëherë numrat e plotë origjinalë ndahen pa mbetje dhe herësi i kërkuar është i barabartë me herësin e modulit të pjesëtuesit të ndarë me modulin e pjesëtuesit.)
• I shtojmë një koeficientit jo të plotë që rezulton; ky numër është herësi jo i plotë i dëshiruar nga ndarja e numrave të plotë negativë origjinalë.
• Ne llogarisim pjesën e mbetur duke përdorur formulën d=a−b·c.

Le të shqyrtojmë përdorimin e algoritmit për ndarjen e numrave të plotë negativë kur zgjidhim një shembull.

Shembull.

Gjeni herësin e pjesshëm dhe mbetjen kur pjesëtoni një numër të plotë negativ −17 me një numër të plotë negativ −5.

Zgjidhje.

Le të përdorim algoritmin e duhur të ndarjes me një mbetje.

Moduli i dividentit është 17, moduli i pjesëtuesit është 5.

Divizioni 17 mbi 5 jep herësin e pjesshëm 3 dhe pjesën e mbetur 2.

Herësit jo të plotë 3 i shtojmë një: 3+1=4. Prandaj, herësi i pjesshëm i kërkuar i pjesëtimit të −17 me −5 është i barabartë me 4.

E vetmja gjë që mbetet është të llogaritet pjesa e mbetur. Në këtë shembull a=−17, b=−5, c=4, pastaj d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 .

Pra, herësi i pjesshëm i pjesëtimit të një numri të plotë negativ −17 me një numër të plotë negativ −5 është 4, dhe pjesa e mbetur është 3.

Përgjigje:

(−17):(−5)=4 (3 të mbetura) .

Kontrollimi i rezultatit të pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje

Pas ndarjes së numrave të plotë me një mbetje, është e dobishme të kontrolloni rezultatin. Verifikimi kryhet në dy faza. Në fazën e parë, kontrollohet nëse pjesa e mbetur d është një numër jo negativ dhe gjithashtu kontrollohet nëse kushti është i plotësuar. Nëse plotësohen të gjitha kushtet e fazës së parë të verifikimit, atëherë mund të vazhdoni në fazën e dytë të verifikimit, përndryshe mund të argumentohet se është bërë një gabim diku gjatë ndarjes me një mbetje. Në fazën e dytë kontrollohet vlefshmëria e barazisë a=b·c+d. Nëse kjo barazi është e vërtetë, atëherë ndarja me mbetje është kryer saktë, përndryshe diku është bërë një gabim.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve në të cilët kontrollohet rezultati i pjesëtimit të numrave të plotë me një mbetje.

Shembull.

Kur pjesëtoni numrin -521 me -12, herësi i pjesshëm ishte 44 dhe pjesa e mbetur ishte 7, kontrolloni rezultatin.

Zgjidhje. −2 për b=−3, c=7, d=1. Ne kemi b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Pra, barazia a=b·c+d është e pasaktë (në shembullin tonë a=−19).

Prandaj, ndarja me një mbetje është kryer gabimisht.

Le të shohim një shembull të thjeshtë:
15:5=3
Në këtë shembull kemi ndarë numrin natyror 15 plotësisht me 3, pa mbetje.

Ndonjëherë një numër natyror nuk mund të ndahet plotësisht. Për shembull, merrni parasysh problemin:
Në dollap kishte 16 lodra. Në grup ishin pesë fëmijë. Secili fëmijë mori të njëjtin numër lodrash. Sa lodra ka secili fëmijë?

Zgjidhja:
Ndani numrin 16 me 5 duke përdorur një kolonë dhe marrim:

Ne e dimë se 16 nuk mund të pjesëtohet me 5. Numri më i afërt më i vogël që pjesëtohet me 5 është 15 me një mbetje 1. Numrin 15 mund ta shkruajmë si 5⋅3. Si rezultat (16 – divident, 5 – pjesëtues, 3 – herësi jo i plotë, 1 – mbetje). Mora formulë pjesëtimi me mbetje të cilat mund të bëhen duke kontrolluar zgjidhjen.

a= b⋅ c+ d
a - i ndashëm,
b - ndarës,
c - herësi jo i plotë,
d - mbetje.

Përgjigje: çdo fëmijë do të marrë 3 lodra dhe një lodër do të mbetet.

Pjesa e mbetur e ndarjes

Pjesa e mbetur duhet të jetë gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi.

Nëse gjatë pjesëtimit mbetja është zero, atëherë kjo do të thotë se dividenti ndahet plotësisht ose pa mbetje në pjesëtuesin.

Nëse gjatë pjesëtimit mbetja është më e madhe se pjesëtuesi, kjo do të thotë se numri i gjetur nuk është më i madhi. Ka një numër më të madh që do të ndajë dividentin dhe pjesa e mbetur do të jetë më e vogël se pjesëtuesi.

Pyetje mbi temën "Ndarja me mbetje":
A mund të jetë pjesa e mbetur më e madhe se pjesëtuesi?
Përgjigje: jo.

A mund të jetë pjesa e mbetur e barabartë me pjesëtuesin?
Përgjigje: jo.

Si të gjejmë dividentin duke përdorur herësin jo të plotë, pjesëtuesin dhe mbetjen?
Përgjigje: Zëvendësojmë vlerat e herësit të pjesshëm, pjesëtuesit dhe mbetjes në formulë dhe gjejmë dividentin. Formula:
a=b⋅c+d

Shembulli #1:
Kryeni pjesëtimin me mbetje dhe kontrolloni: a) 258:7 b) 1873:8

Zgjidhja:
a) Ndani sipas kolonës:

258 - dividenti,
7 - ndarës,
36 – herësi jo i plotë,
6 - mbetje. Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Ndani sipas kolonës:

1873 - i ndashëm,
8 - pjesëtues,
234 - herësi jo i plotë,
1 - mbetje. Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi 1<8.

Le ta zëvendësojmë atë në formulë dhe të kontrollojmë nëse e kemi zgjidhur saktë shembullin:
8⋅234+1=1872+1=1873

Shembulli #2:
Çfarë mbetjesh fitohen gjatë pjesëtimit të numrave natyrorë: a) 3 b)8?

Përgjigje:
a) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 3. Në rastin tonë, mbetja mund të jetë 0, 1 ose 2.
b) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 8. Në rastin tonë, mbetja mund të jetë 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ose 7.

Shembulli #3:
Cila është mbetja më e madhe që mund të fitohet gjatë pjesëtimit të numrave natyrorë: a) 9 b) 15?

Përgjigje:
a) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 9. Por duhet të tregojmë mbetjen më të madhe. Kjo është, numri më i afërt me pjesëtuesin. Ky është numri 8.
b) Pjesa e mbetur është më e vogël se pjesëtuesi, pra më e vogël se 15. Por duhet të tregojmë mbetjen më të madhe. Kjo është, numri më i afërt me pjesëtuesin. Ky numër është 14.

Shembulli #4:
Gjeni dividentin: a) a:6=3(pushim.4) b) c:24=4(pushim.11)

Zgjidhja:
a) Zgjidheni duke përdorur formulën:
a=b⋅c+d
(a – divident, b – pjesëtues, c – herësi i pjesshëm, d – mbetje.)
a:6=3 (pushim.4)
(a - dividenti, 6 - pjesëtuesi, 3 - herësi i pjesshëm, 4 - mbetja.) Le t'i zëvendësojmë numrat në formulë:
a=6⋅3+4=22
Përgjigje: a=22

b) Zgjidheni duke përdorur formulën:
a=b⋅c+d
(a – divident, b – pjesëtues, c – herësi i pjesshëm, d – mbetje.)
s:24=4 (pushim.11)
(c - dividenti, 24 - pjesëtuesi, 4 - herësi i pjesshëm, 11 - mbetja.) Le t'i zëvendësojmë numrat në formulë:
с=24⋅4+11=107
Përgjigje: c=107

Detyra:

Tela 4 m. duhet të pritet në copa 13 cm. Sa pjesë të tilla do të ketë?

Zgjidhja:
Së pari ju duhet të konvertoni metra në centimetra.
4m.=400cm.
Mund të ndajmë me një kolonë ose në mendjen tonë marrim:
400:13=30 (10 të mbetura)
Le të kontrollojmë:
13⋅30+10=390+10=400

Përgjigje: Do të merrni 30 copë dhe do të mbeten 10 cm tela.