Ekuacionet diferenciale të lëvizjes. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike materiale Hyrje në dinamikë. Dispozitat themelore

DINAMIKA

Libër shkollor elektronik për disiplinën: "Mekanika teorike"

për studentët formulari i korrespondencës trajnimi

Përputhet me standardin federal arsimor

(gjenerata e tretë)

Sidorov V.N., Doktor i Shkencave Teknike, Profesor

Universiteti Teknik Shtetëror i Yaroslavl

Yaroslavl, 2016

Prezantimi…………………………………………………………………………………

Dinamika………………………………………………………………..

1.Hyrje në dinamikë. Dispozitat themelore ………………………………

1.1.Konceptet dhe përkufizimet bazë…………………………………

1.2. Ligjet e Njutonit dhe problemet e dinamikës…………………………………

1.3.Llojet kryesore të forcave………………………………………………. ...........

Forca e gravitetit……………………………………………………………

Graviteti ………………………………………………………..

Forca e fërkimit …………………………………………………………

Forca elastike……………………………………………………..

1.4.Ekuacionet diferenciale lëvizjet …………………………..

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike…………………..

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes mekanike

sistemet………………………………………………………….

2. Teorema të përgjithshme të dinamikës………………………. …………………………

2.1.Teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës ………………….. …………………

2.2.Teorema mbi ndryshimin e momentit………………………

2.3.Teorema mbi ndryshimin e momentit këndor…………

Teorema e momentit……………………………………………………………………

Momenti kinetik i një trupi të ngurtë……………………………….

Momenti boshtor i inercisë së një trupi të ngurtë ………………………………..

Teorema Huygens – Steiner – Euler…………………………..

Ekuacioni i dinamikës së lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë...

2.4.Teorema mbi ndryshimin e energjisë kinetike……………………..

Teorema mbi ndryshimin e energjisë kinetike të një materiali

pikë……………………………………………………………….

Teorema mbi ndryshimin e energjisë kinetike të mekanikës

sistemet………………………………………………………

Formulat për llogaritjen e energjisë kinetike të një trupi të ngurtë

në raste të ndryshme lëvizjeje…………………………………………………………

Shembuj të llogaritjes së punës së forcave………………………………….

2.5 Ligji i ruajtjes së energjisë mekanike………………………….

Prezantimi

“Kush nuk i njeh ligjet e mekanikës

ai nuk mund ta njohë natyrën"

Galileo Galilei

Rëndësia e mekanikës, roli i saj domethënës në përmirësimin e prodhimit, rritjen e efikasitetit të tij, përshpejtimin e procesit shkencor dhe teknik dhe prezantimin e zhvillimeve shkencore, rritjen e produktivitetit të punës dhe përmirësimin e cilësisë së produkteve, për fat të keq, nuk kuptohet qartë nga të gjithë drejtuesit e ministrive dhe departamenteve. , më i lartë institucionet arsimore, si dhe çfarë përfaqëson mekanika e ditëve tona /1/.Si rregull gjykohet nga përmbajtja e mekanikës teorike, e studiuar në të gjitha institucionet e arsimit të lartë teknik.

Studentët duhet të dinë se sa e rëndësishme është mekanika teorike, si një nga disiplinat themelore inxhinierike të arsimit të lartë, baza shkencore e seksioneve më të rëndësishme. Teknologji moderne, një lloj ure që lidh matematikën dhe fizikën me shkencat e aplikuara, me një profesion të ardhshëm. Në klasat në mekanika teorike Për herë të parë, studentëve u mësohet të menduarit sistematik dhe aftësia për të paraqitur dhe zgjidhur probleme praktike. Zgjidhini ato deri në fund, deri në rezultatin numerik. Mësoni të analizoni një zgjidhje, vendosni kufijtë e zbatueshmërisë së saj dhe kërkesat për saktësinë e të dhënave burimore.

Është po aq e rëndësishme që studentët të dinë se mekanika teorike është vetëm një pjesë hyrëse, edhe pse absolutisht e nevojshme, e ndërtesës kolosale të mekanikës moderne në kuptimin e gjerë të kësaj shkence themelore. Se do të zhvillohet në degë të tjera të mekanikës: forca e materialeve, teoria e pllakave dhe e predhave, teoria e dridhjeve, rregullimi dhe qëndrueshmëria, kinematika dhe dinamika e makinave dhe mekanizmave, mekanika e lëngjeve dhe gazit, mekanika kimike.

Arritjet në të gjitha seksionet e inxhinierisë mekanike dhe prodhimit të instrumenteve, industrisë së ndërtimit dhe inxhinierisë hidraulike, minierave dhe përpunimit të xehes, qymyrit, naftës dhe gazit, transportit hekurudhor dhe rrugor, ndërtimit të anijeve, aviacionit dhe teknologjisë hapësinore bazohen në një kuptim të thellë të ligjeve të mekanike.

Teksti shkollor është i destinuar për studentët e inxhinierisë mekanike, specialitetet auto-mekanike të kurseve të korrespondencës në një universitet teknik sipas një programi të shkurtuar kursi.

Pra, disa përkufizime.

Mekanika teorikeështë një shkencë që studion ligjet e përgjithshme të lëvizjes mekanike dhe ekuilibrit të objekteve materiale dhe ndërveprimet mekanike që rezultojnë midis objekteve materiale.

Nën lëvizja mekanike e një objekti material kuptojnë një ndryshim në pozicionin e tij në raport me objektet e tjera materiale që ndodh me kalimin e kohës.

Nën ndërveprimi mekanik nënkuptojnë veprime të tilla të trupave mbi njëri-tjetrin, gjatë të cilave lëvizjet e këtyre trupave ndryshojnë, ose ata vetë deformohen (ndryshojnë formën e tyre).

Mekanika teorike përbëhet nga tre seksione: statika, kinematika dhe dinamika.

DINAMIKA

Hyrje në dinamikë. Dispozitat themelore

Konceptet dhe përkufizimet bazë

Le të formulojmë edhe një herë në një formë pak më ndryshe përkufizimin e dinamikës si pjesë e mekanikës.

Dinamika – një degë e mekanikës që studion lëvizjen e objekteve materiale, duke marrë parasysh forcat që veprojnë mbi to.

Në mënyrë tipike, studimi i dinamikës fillon me studimin dinamika e një pike materiale dhe pastaj vazhdoni të studioni dinamika e sistemit mekanik.

Për shkak të ngjashmërisë së formulimeve të shumë teoremave dhe ligjeve të këtyre seksioneve të dinamikës, për të shmangur dyfishimet e panevojshme dhe për të zvogëluar vëllimin e tekstit të tekstit, këshillohet që këto seksione të dinamikës të paraqiten së bashku.

Le të prezantojmë disa përkufizime.

Inercia (ligji i inercisë) – Vetia e trupave për të mbajtur një gjendje pushimi ose lëvizje të njëtrajtshme drejtvizore përkthimore në mungesë të veprimit mbi të nga trupat e tjerë (d.m.th. në mungesë të forcave).

Inercia - aftësia e trupave për t'i rezistuar përpjekjeve për të ndryshuar, me ndihmën e forcave, gjendjen e tyre të prehjes ose uniformën lëvizje drejtvizore .

Një masë sasiore e inercisë është peshë(m). Standardi i masës është kilogrami (kg).

Nga kjo rrjedh se sa më inert të jetë një trup, aq më e madhe është masa e tij, aq më pak ndryshon gjendja e tij e prehjes ose lëvizja e njëtrajtshme nën ndikimin e një force të caktuar, aq më pak ndryshon shpejtësia e trupit, d.m.th. trupi është më i aftë t'i rezistojë forcës. Dhe anasjelltas, sa më e vogël të jetë masa e trupit, aq më shumë ndryshon gjendja e tij e pushimit ose lëvizja uniforme, aq më shumë ndryshon shpejtësia e trupit, d.m.th. Trupi është më pak rezistent ndaj forcës.

Ligjet dhe problemet e dinamikës

Le të formulojmë ligjet e dinamikës së një pike materiale. Në mekanikën teorike ato pranohen si aksioma. Vlefshmëria e këtyre ligjeve është për faktin se mbi bazën e tyre është ndërtuar e gjithë godina e mekanikës klasike, ligjet e së cilës kryhen me saktësi të madhe. Shkeljet e ligjeve të mekanikës klasike vërehen vetëm në shpejtësi të mëdha (mekanika relativiste) dhe në shkallë mikroskopike (mekanika kuantike).

Llojet kryesore të forcave

Para së gjithash, le të prezantojmë ndarjen e të gjitha forcave që gjenden në natyrë në aktive dhe reaktive (reaksionet e lidhjeve).

Aktiv emërtoni një forcë që mund të vërë një trup në qetësi në lëvizje.

Reagimi lidhja lind si rezultat i veprimit të një force aktive në një trup jo të lirë dhe pengon lëvizjen e trupit. Në fakt, pra, duke qenë një pasojë, një përgjigje, një efekt i mëvonshëm i një force aktive.

Le të shqyrtojmë forcat që hasen më shpesh në problemet e mekanikës.

Graviteti

Kjo forcë e tërheqjes gravitacionale midis dy trupave, e përcaktuar nga ligji i gravitetit universal:

ku është nxitimi i gravitetit në sipërfaqen e Tokës, numerikisht i barabartë me g≈ 9,8 m/s 2, m- masa e një trupi, ose sistemi mekanik, i përcaktuar si masa totale e të gjitha pikave të sistemit:

ku është vektori i rrezes k- oh pika e sistemit. Koordinatat e qendrës së masës mund të merren duke projektuar të dyja anët e barazisë (3.6) në boshtet:

(7)

Forca e fërkimit

Llogaritjet inxhinierike bazohen në ligje të vendosura eksperimentalisht të quajtura ligjet e fërkimit të thatë (në mungesë të lubrifikimit), ose Ligjet e Kulombit:

· Kur përpiqeni të lëvizni një trup përgjatë sipërfaqes së një tjetri, lind një forcë fërkimi ( forca statike e fërkimit ), vlera e së cilës mund të marrë vlera nga zero në një vlerë kufizuese.

· Madhësia e forcës përfundimtare të fërkimit është e barabartë me produktin e një koeficienti fërkimi pa dimension, të përcaktuar eksperimentalisht f në forcën e presionit normal N, d.m.th.

.

(8)

· Me arritjen e vlerës kufizuese të forcës statike të fërkimit, pasi të jenë shteruar vetitë e ngjitjes së sipërfaqeve të çiftëzimit, trupi fillon të lëvizë përgjatë sipërfaqes mbështetëse dhe forca e rezistencës ndaj lëvizjes është pothuajse konstante dhe nuk varet nga shpejtësia. (brenda kufijve të arsyeshëm). Kjo forcë quhet forca e fërkimit rrëshqitës dhe është e barabartë me vlerën kufizuese të forcës statike të fërkimit.

· sipërfaqet.

Le të paraqesim vlerat e koeficientit të fërkimit për disa trupa:

Tabela 1

Fërkimi i rrotullimit

Fig.1

Kur rrota rrotullohet pa rrëshqitur (Fig. 1), reagimi i mbështetësit lëviz pak përpara përgjatë drejtimit të lëvizjes së rrotës. Arsyeja për këtë është deformimi asimetrik i materialit të rrotave dhe i sipërfaqes mbështetëse në zonën e kontaktit. Nën ndikimin e forcës, presioni në skajin B të zonës së kontaktit rritet, dhe në skajin A zvogëlohet. Si rezultat, reagimi zhvendoset drejt lëvizjes së timonit me një sasi k, thirri koeficienti i fërkimit të rrotullimit . Një palë forcash veprojnë në timon dhe me një moment rezistence rrotullimi të drejtuar kundër rrotullimit të timonit:

Në kushte ekuilibri me rrotullim të njëtrajtshëm, momentet e çifteve të forcës , dhe , balancojnë njëra-tjetrën: , nga e cila rrjedh një vlerësim i vlerës së forcës së drejtuar kundër lëvizjes së trupit: . (10)

Raporti për shumicën e materialeve është dukshëm më i vogël se koeficienti i fërkimit f. Kjo shpjegon faktin se në teknologji, sa herë që është e mundur, ata përpiqen të zëvendësojnë rrëshqitjen me rrokullisje.

Forca elastike

Kjo është forca me të cilën një trup i deformuar përpiqet të kthehet në gjendjen e tij origjinale, të padeformuar. Nëse, për shembull, zgjasni një sustë me një sasi λ , atëherë forca elastike dhe moduli i saj janë të barabartë, përkatësisht:

.

(11)

Shenja minus në marrëdhënien vektoriale tregon se forca drejtohet në drejtim të kundërt nga zhvendosja. Madhësia Me quhet " ngurtësi "dhe ka dimensionin N/m.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës

Le t'i kthehemi shprehjes së ligjit bazë të dinamikës së një pike në formën (3.2), duke e shkruar atë në formën e ekuacioneve diferenciale vektoriale të rendit të parë dhe të dytë (nënshkrimi do të korrespondojë me numrin e forcës):

(17)

(18)

Le të krahasojmë, për shembull, sistemet e ekuacioneve (15) dhe (17). Është e lehtë të shihet se përshkrimi i lëvizjes së një pike në boshtet e koordinatave reduktohet në 3 ekuacione diferenciale të rendit të dytë, ose (pas transformimit), në 6 ekuacione të rendit të parë. Në të njëjtën kohë, përshkrimi i lëvizjes së një pike në boshtet natyrore shoqërohet me një sistem të përzier ekuacionesh, i përbërë nga një ekuacion diferencial i rendit të parë (në lidhje me shpejtësinë) dhe dy algjebrikë.

Nga kjo mund të konkludojmë se kur analizohet lëvizja e një pike materiale, ndonjëherë është më e lehtë të zgjidhen problemet e parë dhe të dytë të dinamikës, duke formuluar ekuacionet e lëvizjes në boshtet natyrore..

Problemi i parë ose i drejtpërdrejtë i dinamikës së një pike materiale përfshin probleme në të cilat, duke pasur parasysh ekuacionet e lëvizjes së pikës dhe masës së saj, është e nevojshme të gjendet forca (ose forcat) që veprojnë mbi të.

Problemi i dytë ose i kundërt i dinamikës së një pike materiale përfshin probleme në të cilat, bazuar në masën e saj, forcën (ose forcat) që veprojnë mbi të dhe kushtet e njohura fillestare kinematike, është e nevojshme të përcaktohen ekuacionet e lëvizjes së saj.

Duhet të theksohet se gjatë zgjidhjes së problemit të parë të dinamikës, ekuacionet diferenciale kthehen në ato algjebrike, zgjidhja e sistemit të të cilave është një detyrë e parëndësishme. Gjatë zgjidhjes së problemit të dytë të dinamikës, për të zgjidhur një sistem ekuacionesh diferenciale është e nevojshme të formulohet problemi Cauchy, d.m.th. shtoni të ashtuquajturat në ekuacione kushtet "edge". Në rastin tonë, këto janë kushte që vendosin kufizime në pozicionin dhe shpejtësinë në momentin fillestar (përfundimtar) të kohës, ose të ashtuquajturat. "

Meqenëse, sipas ligjit të barazisë së veprimit dhe reagimit, forcat e brendshme janë gjithmonë të çiftuara (veprojnë në secilën nga dy pikat ndërvepruese), ato janë të barabarta, të drejtuara në të kundërt dhe veprojnë përgjatë vijës së drejtë që lidh këto pika, atëherë shuma e tyre në çifte. është e barabartë me zero. Përveç kësaj, shuma e momenteve të këtyre dy forcave për çdo pikë është gjithashtu zero. Do të thotë se shuma e të gjitha forcave të brendshme Dhe shuma e momenteve të të gjitha forcave të brendshme të një sistemi mekanik veçmas është zero:

,

(22)

.

(23)

Këtu janë, përkatësisht, vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave të brendshme, të llogaritura në lidhje me pikën O.

Barazimet (22) dhe (23) reflektojnë vetitë e forcave të brendshme të një sistemi mekanik .

Le për disa k- pika e materies së një sistemi mekanik, si forcat e jashtme ashtu edhe ato të brendshme veprojnë njëkohësisht. Meqenëse ato aplikohen në një pikë, ato mund të zëvendësohen nga rezultantët e forcave të jashtme () dhe të brendshme (), përkatësisht. Pastaj ligji bazë i dinamikës k-pika e sistemit mund të shkruhet si , prandaj për të gjithë sistemin do të jetë:

(24)

Formalisht, numri i ekuacioneve në (24) korrespondon me numrin n pikat e sistemit mekanik.

Shprehjet (24) përfaqësojnë ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një sistemi në formë vektoriale , nëse zëvendësojnë vektorët e nxitimit me derivatet e parë ose të dytë të shpejtësisë dhe vektorit të rrezes, përkatësisht: Për analogji me ekuacionet e lëvizjes së një pike (15), këto ekuacione vektoriale mund të shndërrohen në një sistem prej 3. n ekuacionet diferenciale të rendit të dytë.

Teorema të përgjithshme të dinamikës

Të përgjithshme janë ato teorema të dinamikës së një pike materiale dhe të një sistemi mekanik që japin ligje që janë të vlefshme për çdo rast të lëvizjes së objekteve materiale në një kornizë inerciale referimi.

Në përgjithësi, këto teorema janë pasoja të zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh diferenciale që përshkruan lëvizjen e një pike materiale dhe një sistemi mekanik.

SEKSIONI 3. DINAMIKA.

Dinamika Trupi material- një trup që ka masë.

Pika materiale

Materiali

A - bV -

Inercia

Masa trupore

Forca -

,

. A - b- - forca tërheqëse e lokomotivës elektrike; V- -

Sistemi Inerciale

Lëvizja Hapësirë Koha

Sistemi

TEMA 1

Ligji i Parë(ligji i inercisë).

I izoluar

Për shembull: - pesha e trupit, -

- shpejtësia e fillimit).

Ligji i dytë(ligji bazë i dinamikës).

Matematikisht, ky ligj shprehet me barazinë e vektorit

Gjatë nxitimit, lëvizja e pikës është uniformisht e ndryshueshme (Fig. 5: A - lëvizje - e ngadaltë; b - lëvizja - e përshpejtuar, . - masë pikë, - vektori i nxitimit, - vektori i forcës, - vektori i shpejtësisë).

Kur - pika lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore ose kur - është në prehje (ligji i inercisë). Ligji i dytë na lejon të krijojmë një lidhje ndërmjet pesha e trupit, që ndodhet pranë sipërfaqes së tokës dhe të saj peshë , , ku është nxitimi i rënies së lirë.

Ligji i tretë(ligji i barazisë së veprimit dhe reagimit).

Dy materiale pikat veprojnë mbi njëra-tjetrën me forca të barabarta në madhësi dhe të drejtuara përgjatë vijës së drejtë që lidh këto pika në drejtime të kundërta.

Meqenëse forcat aplikohen në pika të ndryshme, sistemi i forcave nuk është i balancuar (Fig. 6). Nga ana e saj - raporti i masave të pikave ndërvepruese është në përpjesëtim të zhdrejtë me nxitimet e tyre.

Ligji i katërt(ligji i pavarësisë së veprimit të forcave).

Përshpejtimi, marrë nga një pikë kur disa forca veprojnë në të njëkohësisht, është e barabartë me shumën gjeometrike të atyre nxitimeve që pika do të merrte kur secila forcë t'i zbatohej veçmas.

Shpjegim (Fig. 7). Forca rezultante përcaktohet si . Që kur , Kjo .

Problemi i dytë (i anasjelltë).

Njohja e rrymës në pikën e forcës, masën e saj dhe kushtet fillestare të lëvizjes, përcaktojnë ligjin e lëvizjes së pikës ose ndonjë nga karakteristikat e tjera kinematike të saj.

Fillestare Kushtet për lëvizjen e një pike në boshtet karteziane janë koordinatat e pikës, , dhe projeksioni i shpejtësisë fillestare në këto boshte, dhe në momentin e kohës që korrespondon me fillimin e lëvizjes së pikës dhe merret e barabartë me zero. .

Zgjidhja e problemeve të këtij lloji zbret në përpilimin e ekuacioneve diferenciale (ose një ekuacioni) të lëvizjes së një pike materiale dhe zgjidhjen e tyre pasuese me integrim të drejtpërdrejtë ose duke përdorur teorinë e ekuacioneve diferenciale.

TEMA 2. HYRJE NË DINAMIKËN E SISTEMEVE MEKANIKE

2.1. Konceptet dhe përkufizimet bazë

Mekanike një sistem ose sistem pikash materiale është një koleksion pikash materiale që ndërveprojnë me njëra-tjetrën.

Shembuj të sistemeve mekanike:

1. një trup material, duke përfshirë një trup absolutisht të ngurtë, si një koleksion grimcash materiale që ndërveprojnë; një grup lëndësh të ngurta të ndërlidhura; një grup planetësh në sistemin diellor, etj.

2. Një tufë zogjsh fluturues nuk është një sistem mekanik, pasi nuk ka ndërveprim të forcës midis zogjve.

Falas një sistem mekanik është një sistem në të cilin nuk imponohen lidhje në lëvizjen e pikave. Për shembull: lëvizja e planetëve të sistemit diellor.

I palirë sistem mekanik - një sistem në të cilin lidhjet imponohen në lëvizjen e pikave. Për shembull: lëvizja e pjesëve në çdo mekanizëm, makinë etj.

Klasifikimi i forcave

Klasifikimi i forcave që veprojnë në një sistem mekanik jo të lirë mund të paraqitet në formën e diagramit të mëposhtëm:

E jashtme forcat - forcat që veprojnë në pikat e një sistemi mekanik të caktuar nga sisteme të tjera.

Vendase- forcat e ndërveprimit ndërmjet pikave të një sistemi mekanik.

Një pikë arbitrare e sistemit (Fig. 1) ndikohet nga: - rezultati i forcave të jashtme (indeksi - shkronja e parë fjalë franceze exterieur - (i jashtëm)); - rezultante e forcave të brendshme (indeksi - nga fjala interieur - (i brendshëm)). E njëjta forcë e reagimit të lidhjes, në varësi të kushteve të detyrës, mund të jetë si e jashtme ashtu edhe e brendshme.

Vetia e forcave të brendshme

dhe - pikat ndërvepruese të sistemit mekanik (Fig. 2). Bazuar në ligjin e tretë të dinamikës

Ne anen tjeter: . Prandaj, vektori kryesor dhe momenti kryesor i forcave të brendshme të sistemit mekanik janë të barabartë me zero:

SEKSIONI 3. DINAMIKA.

KONCEPTET THEMELORE TË MEKANIKËS KLASIKE

Dinamika- një degë e mekanikës teorike në të cilën studiohet lëvizja trupat materiale(pika) nën ndikimin e forcave të aplikuara. Trupi material- një trup që ka masë.

Pika materiale- një trup material, ndryshimi në lëvizjen e pikave të të cilit është i parëndësishëm. Ky mund të jetë ose një trup, dimensionet e të cilit gjatë lëvizjes së tij mund të neglizhohen, ose një trup me dimensione të fundme nëse lëviz në mënyrë përkthimore.

Materiali pikat quhen edhe grimca në të cilat të ngurta gjatë përcaktimit të disa karakteristikave dinamike të tij.

Shembuj të pikave materiale (Fig. 1): A - lëvizja e Tokës rreth Diellit. Toka është një pikë materiale; b- lëvizje përkthimore e një trupi të ngurtë. Trupi i fortë është një pikë materiale, sepse; V - rrotullimi i një trupi rreth një boshti. Një grimcë e një trupi është një pikë materiale.

Inercia- vetia e trupave material për të ndryshuar shpejtësinë e lëvizjes së tyre më shpejt ose më ngadalë nën ndikimin e forcave të aplikuara.

Masa truporeështë një sasi pozitive skalare që varet nga sasia e substancës që përmban një trup i caktuar dhe përcakton masën e inercisë së tij gjatë lëvizjes përkthimore. Në mekanikën klasike, masa është një sasi konstante.

Forca- një masë sasiore e bashkëveprimit mekanik ndërmjet trupave ose ndërmjet një trupi (pike) dhe një fushe (elektrike, magnetike etj.). Forca është një sasi vektoriale e karakterizuar nga madhësia, pika e aplikimit dhe drejtimi (vija e veprimit) (Fig. 2: - pika e aplikimit është vija e veprimit të forcës).

Në dinamikë, krahas forcave konstante, ka edhe forca të ndryshueshme, të cilat mund të varen nga koha, shpejtësia , largësia ose nga tërësia e këtyre sasive, d.m.th.

Shembuj të forcave të tilla janë paraqitur në Fig. 3 . A -- pesha e trupit, - forca e rezistencës së ajrit; b- - forca tërheqëse e lokomotivës elektrike; V- - forca e zmbrapsjes nga ose e terheqjes drejt qendres.

Sistemi referencë - një sistem koordinativ i lidhur me një trup në lidhje me të cilin studiohet lëvizja e një trupi tjetër. Inerciale sistem - një sistem në të cilin ligjet e para dhe të dyta të dinamikës janë të kënaqura. Ky është një sistem koordinativ fiks ose një sistem që lëviz në mënyrë uniforme dhe lineare përkthimore.

Lëvizja në mekanikë, është një ndryshim në pozicionin e një trupi në hapësirë ​​dhe kohë. Hapësirë në mekanikën klasike, tredimensionale, që i nënshtrohet gjeometrisë Euklidiane. Koha- një sasi skalare që shfaqet në mënyrë të barabartë në çdo sistem referimi.

Sistemi njësitë janë një grup njësish matëse të madhësive fizike. Për të matur të gjitha madhësitë mekanike: tri njësi bazë janë të mjaftueshme: njësitë e gjatësisë, kohës, masës ose forcës. Nga këto rrjedhin të gjitha njësitë e tjera matëse të madhësive mekanike. Përdoren dy lloje të sistemeve të njësive: sistemi ndërkombëtar i njësive SI (ose më i vogël - GHS) dhe sistemi teknik i njësive - ICG.

TEMA 1. HYRJE NË DINAMIKËN E NJË PIKË MATERIALE.

1.1. Ligjet e dinamikës së një pike materiale (ligjet Galileo-Njuton)

Ligji i Parë(ligji i inercisë).

I izoluar nga ndikimet e jashtme, një pikë materiale ruan gjendjen e saj të prehjes ose lëviz në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore derisa forcat e aplikuara ta detyrojnë atë të ndryshojë këtë gjendje.

Lëvizja e kryer nga një pikë në mungesë të forcave ose nën veprimin e një sistemi të balancuar forcash quhet lëvizje me inerci.

Për shembull: lëvizja e një trupi përgjatë një sipërfaqeje horizontale të lëmuar (forca e fërkimit është zero) (Fig. 4: - pesha e trupit, - reaksion normal në plan). Që atëherë.

Kur trupi lëviz me të njëjtën shpejtësi; kur trupi është në qetësi ( - shpejtësia e fillimit).

Rykov V.T.

Tutorial. - Krasnodar: Kuban State University, 2006. - 100 f.: 25 ill. Pjesa e parë e kursit të leksioneve me detyra mbi mekanikën teorike për specialitetet fizike të arsimit klasik universitar.
Manuali paraqet pjesën e dytë të kompleksit edukativo-metodologjik mbi mekanikën teorike dhe mekanikën e vazhdueshme. Ai përmban shënime leksionesh për tre seksione të kursit në mekanikën teorike dhe mekanikën e vazhdueshme: "Ekuacioni bazë diferencial i dinamikës", "Lëvizja në një fushë simetrike qendrore" dhe "Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë". Si pjesë e kompleksit edukativo-metodologjik, manuali përmban detyra kontrolli (opsione testimi) dhe pyetje për testimin përfundimtar kompjuterik (provimin). Ky kurs plotësohet nga një tekst elektronik me fragmente leksionesh (në disk lazer).
Manuali është i destinuar për studentët e vitit të dytë dhe të tretë të fizikës dhe fakulteteve fiziko-teknike të universiteteve, mund të jetë i dobishëm për studentët e universiteteve teknike që studiojnë bazat e mekanikës teorike dhe teknike.
Ekuacioni diferencial themelor i dinamikës (ligji i dytë i Njutonit)
Struktura e seksionit
Përshkrimi i lëvizjes së një pike materiale
Problemet e dinamikës së drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë
Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës
Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së energjisë nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës
Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit këndor nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës
Integrale të lëvizjes

Detyrë testuese
Lëvizja në një fushë simetrike qendrore
Struktura e seksionit
Koncepti i një fushe qendrore simetrike
Shpejtësia në koordinatat kurvilineare
Nxitimi në koordinata kurvilinare
Shpejtësia dhe nxitimi në koordinata sferike
Ekuacionet e lëvizjes në një fushë simetrike qendrore
Shpejtësia e sektorit dhe nxitimi i sektorit
Ekuacioni i lëvizjes së një pike materiale në një fushë graviteti dhe një fushë Kulomb
Reduktimi i problemit me dy trupa në problemin me një trup. Masa e reduktuar
Formula e Radhërfordit
Test me temën: Shpejtësia dhe nxitimi në koordinata kurvilineare
Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë
Struktura e seksionit
Koncepti i një trupi të fortë. Lëvizja rrotulluese dhe përkthimore
Energjia kinetike e një trupi të ngurtë
Tenzori i inercisë
Reduktimi i tensorit të inercisë në formë diagonale
Kuptimi fizik i komponentëve diagonale të tenzorit të inercisë
Teorema e Shtajnerit për tensorin e inercisë
Momenti i një trupi të ngurtë
Ekuacionet e lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë në një sistem koordinativ rrotullues
Këndet e Euler-it
Lëvizja në korniza joinerciale të referencës
Test me temën: Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë
Lexim i rekomanduar
Aplikacion
Aplikacion
Disa formula dhe marrëdhënie bazë
Indeksi i lëndës

Ju mund të shkruani një përmbledhje libri dhe të ndani përvojat tuaja. Lexuesit e tjerë do të jenë gjithmonë të interesuar për mendimin tuaj për librat që keni lexuar. Pavarësisht nëse e keni dashur librin apo jo, nëse jepni mendimet tuaja të sinqerta dhe të hollësishme, atëherë njerëzit do të gjejnë libra të rinj që janë të përshtatshëm për ta.

N k k = G F(t, r G (t) G , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = G F(t, r G = G (t) G F(, r t, r G (t)) k= 1 ∑FG mrG = = G (t) G , r F((t) t, r G k =) G (t), G F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Tutorial) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F((((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rykov Rykov V.T. EKUACIONI THEMELOR DIFFENCIAL I DINAMIKËS Teksti mësimor Shënime leksionesh Detyra testimi Pyetjet e testimit përfundimtar (provim i kombinuar) Krasnodar 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Recensues: Doktor i fizikës dhe matematikës. Shkencave, Profesor, Drejtor. Departamenti i Mekanikës Strukturore të Universitetit Teknologjik Kuban I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Ekuacioni bazë diferencial i dinamikës: Libër mësuesi. kompensim. Krasnodar: Kuban. shteti univ., 2006. – 100 f. Il. 25. Bibliografi 6 tituj ISBN Manuali paraqet pjesën e dytë të kompleksit edukativo-metodologjik mbi mekanikën teorike dhe mekanikën e vazhdueshme. Ai përmban shënime leksionesh për tre seksione të kursit në mekanikën teorike dhe mekanikën e vazhdueshme: "Ekuacioni bazë diferencial i dinamikës", "Lëvizja në një fushë simetrike qendrore" dhe "Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë". Si pjesë e kompleksit edukativo-metodologjik, manuali përmban detyra kontrolli (opsione testimi) dhe pyetje për testimin përfundimtar kompjuterik (provimin). Ky kurs plotësohet nga një tekst elektronik me fragmente leksionesh (në disk lazer). Manuali është i destinuar për studentët e vitit të dytë dhe të tretë të fizikës dhe fakulteteve fiziko-teknike të universiteteve; mund të jetë i dobishëm për studentët e universiteteve teknike që studiojnë bazat e mekanikës teorike dhe teknike. Botuar me vendim të Këshillit të Fakultetit të Fizikës dhe Teknologjisë të Universitetit Shtetëror Kuban UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Kuban State University, 2006 PËRMBAJTJA Parathënie................ .......................................................... ....... 6 Fjalorth.......................................... ........ ........................... 8 1. Ekuacioni bazë diferencial i dinamikës (ligji i dytë i Njutonit) .. ......... ................. 11 1.1. Struktura e seksionit................................................ ... 11 1.2. Përshkrimi i lëvizjes së një pike materiale......... 11 1.2.1. Sistemi i koordinatave karteziane.......................... 12 1.2.2. Një mënyrë e natyrshme për të përshkruar lëvizjen e një pike. Trihedron shoqërues................................................ ... .............. 13 1.3. Probleme të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të dinamikës................................. 16 1.4. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës................................... ................................................. 21 1.5. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së energjisë nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës................................... ................................................. 24 1.6. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit këndor nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës................................. ...................... 26 1.7. Integralet e lëvizjes...................................................... .... 27 1.8. Lëvizja në kornizat jo-inerciale të referencës.......................................... .......................................... 28 1.9. Detyrë testuese................................................ ... 28 1.9.1 . Një shembull i zgjidhjes së një problemi................................ 28 1.9.2. Opsione për detyra testuese................................ 31 1.10. Testet përfundimtare të kontrollit (provimit) ................. 35 1.10.1. Fusha A ................................................ ..... ............ 35 1.10.2. Fusha B ................................................ ..... ............ 36 1.10.3. Fusha C ..................................................... ..... ............ 36 2. Lëvizja në një fushë simetrike qendrore........... 38 2.1. Struktura e seksionit................................................ ... 38 2.2. Koncepti i një fushe qendrore simetrike......... 39 3 2.3. Shpejtësia në koordinatat kurvilineare........... 39 2.4. Nxitimi në koordinata kurvilinare......... 40 2.5. Shpejtësia dhe nxitimi në koordinata sferike................................................ ................ ................... 41 2.6. Ekuacionet e levizjes ne nje fushe qendrore simetrike.......................................... .......... ..... 45 2.7. Shpejtësia e sektorit dhe nxitimi i sektorit...... 46 2.8. Ekuacioni i lëvizjes së një pike materiale në një fushë gravitacionale dhe një fushë të Kulonit................................... 48 2.8.1. Energjia efektive ..................................................... ... 48 2.8.2. Ekuacioni i trajektores................................................ .... 49 2.8.3. Varësia e formës së trajektores nga energjia totale.......................................... ........... .......... 51 2.9. Reduktimi i problemit me dy trupa në problemin me një trup. Masa e reduktuar................................................ ......... 52 2.10. formula e Rutherfordit................................................ ... 54 2.11. Test me temën: Shpejtësia dhe nxitimi në koordinata kurvilineare................................. 58 2.11.1. Një shembull i përfundimit të një testi me temën e shpejtësisë dhe nxitimit në koordinatat lakorike. .......................... 58 2.11.2. Opsionet për detyrat e testimit................................ 59 2.12. Testet përfundimtare të kontrollit (provimit) ................. 61 2.12.1. Fusha A ................................................ ..... ............ 61 2.12.2. Fusha B ................................................ ..... ............ 62 2.12.3. Fusha C ..................................................... ..... ............ 63 3. Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë........................ ............. 65 3.1. Struktura e seksionit................................................ ... 65 3.2. Koncepti i një trupi të fortë. Lëvizja rrotulluese dhe përkthimore................................................ ...... 66 3.3. Energjia kinetike e trupit të ngurtë................... 69 3.4. Tenzori i inercisë................................................ ........ ..... 71 3.5. Reduktimi i tenzorit të inercisë në formë diagonale................................................. ......... ..... 72 4 3.6. Kuptimi fizik i komponentëve diagonale të tensorit të inercisë................................. ............. 74 3.7. Teorema e Shtajnerit për tensorin e inercisë.......... 76 3.8. Momenti i një trupi të ngurtë................................. 78 3.9. Ekuacionet e lëvizjes rrotulluese të një trupi të ngurtë në një sistem koordinativ rrotullues................................ ................................. 79 3.10. Këndet e Euler-it................................................ ... .......... 82 3.11. Lëvizja në kornizat jo-inerciale të referencës.......................................... .......................................... 86 3.12. Test me temën: Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë.......................................... ............. .. 88 3.12.1. Shembuj të plotësimit të detyrave të kontrollit................................................ ...................... ...................... 88 3.12.2. Test në shtëpi................................. 92 3.13. Testet përfundimtare të kontrollit (provimit) ................. 92 3.13.1. Fusha A ................................................ ..... ............ 92 3.13.2. Fusha B ................................................ ..... ............ 94 3.13.3. Fusha C ..................................................... ..... ........... 95 Lexim i rekomanduar................................ ...... .......... 97 Shtojca 1 .............................. ..... ........................... 98 Shtojca 2. Disa formula dhe marrëdhënie bazë......... ................................................ ...... ... 100 Indeksi i lëndës...................................... ............. ....... 102 5 PARATHËNIE Ky libër është një “komponent solid” i kompleksit edukativo-metodologjik për lëndën “Mekanika teorike dhe bazat e mekanikës së vazhdimësisë”, i cili është pjesë e standardit arsimor shtetëror në specialitetet: “fizikë” – 010701, “radiofizikë” dhe elektronikë” – 010801. Versioni i tij elektronik (format pdf) është postuar në faqen e internetit të Universitetit Shtetëror Kuban dhe në rrjetin lokal të Fakultetit të Fizikës dhe Teknologjisë të Universitetit Shtetëror Kuban. Në total, janë zhvilluar katër pjesë kryesore të kompleksit arsimor dhe metodologjik mbi mekanikën teorike dhe bazat e mekanikës së vazhdueshme. Analiza vektoriale dhe tensore - pjesa e parë e kompleksit - synon të forcojë, dhe në një masë të madhe, të formojë njohuri themelore në fushën e themeleve matematikore jo vetëm të kursit të mekanikës teorike, por të gjithë kursit të fizikës teorike. Vetë kursi i mekanikës teorike është i ndarë në dy pjesë, njëra prej të cilave përmban një prezantim të metodave për zgjidhjen e problemeve mekanike bazuar në ekuacionin bazë diferencial të dinamikës - Ligji i dytë i Njutonit. Pjesa e dytë është një prezantim i bazave të mekanikës analitike (pjesa e tretë e kompleksit arsimor dhe metodologjik). Pjesa e katërt e kompleksit përmban bazat e mekanikës së vazhdimësisë. Secila pjesë e kompleksit dhe të gjitha së bashku mbështeten nga kurse trajnimi elektronik - komponentë të modifikuar, të cilët janë faqe HTML, të plotësuara nga mjete mësimore aktive - elemente funksionale të trajnimit. Këto mjete vendosen në formë të arkivuar në faqen e internetit të KubSU dhe shpërndahen në disqe lazer, ose të bashkangjitura në një kopje fizike ose veçmas. Ndryshe nga komponentët e ngurtë, komponentët elektronikë do t'i nënshtrohen modifikimeve të vazhdueshme për të përmirësuar efikasitetin e tyre. 6 Baza e “komponentit të ngurtë” të kompleksit arsimor janë shënimet e leksioneve, të plotësuara nga një “glosar” që shpjegon konceptet bazë të këtij seksioni dhe një indeks alfabetik. Pas secilit prej tre seksioneve të këtij manuali, ofrohet një detyrë testimi me shembuj të zgjidhjes së problemeve. Dy detyra kontrolli të këtij komponenti kryhen në shtëpi - këto janë detyra për seksionet 2 dhe 3. Detyra 3 është e zakonshme për të gjithë dhe i paraqitet mësuesit për kontroll në fletore për klasat praktike. Në detyrën 2, secili nxënës plotëson një nga 21 opsionet e drejtuara nga mësuesi. Detyra 1 plotësohet në klasë gjatë një seance klase (dyshe) në copa të veçanta letre dhe i dorëzohet mësuesit për kontroll. Nëse detyra është e pasuksesshme, puna ose duhet të korrigjohet nga nxënësi (detyrat e shtëpisë) ose të ribëhet me një opsion tjetër (detyrat në klasë). Këto të fundit kryhen jashtë orarit të shkollës në orën e sugjeruar nga mësuesi. Pjesa e propozuar mjete mësimore përmban edhe material ndihmës: Shtojca 1 paraqet komponentët e tenzorit metrikë - qëllimet e ndërmjetme të testit 3, dhe Shtojca 2 - formulat dhe marrëdhëniet bazë, memorizimi i të cilit është i detyrueshëm për të marrë një notë të kënaqshme në provim. Çdo seksion i secilës pjesë të manualit përfundon me detyra testimi - një pjesë integrale e një provimi të kombinuar, baza e të cilit është testimi kompjuterik me plotësimin paralel të formularëve të propozuar dhe një intervistë pasuese bazuar në vlerësimet kompjuterike dhe formularin e testimit. Fusha "B" e testit kërkon një hyrje të shkurtër në formën e transformimeve matematikore që çojnë në opsionin e zgjedhur në grupin e përgjigjeve. Në fushën "C" duhet të shkruani të gjitha llogaritjet në formular dhe të shkruani përgjigjen numerike në tastierë. 7 FJALOR Një sasi shtesë është një sasi fizike vlera e së cilës për të gjithë sistemin është e barabartë me shumën e vlerave të saj për pjesë të veçanta të sistemit. Lëvizja rrotulluese është një lëvizje në të cilën shpejtësia e të paktën një pike të një trupi të ngurtë është zero. Shpejtësia e dytë e ikjes është shpejtësia e lëshimit nga një planet jo rrotullues, i cili e vendos anijen kozmike në një trajektore parabolike. Momenti i një pike materiale është prodhimi i masës së pikës dhe shpejtësisë së saj. Impulsi i një sistemi pikash materiale është një sasi shtesë, e përcaktuar si shuma e impulseve të të gjitha pikave të sistemit. Integralet e lëvizjes janë sasi që ruhen në kushte të caktuara dhe fitohen si rezultat i një integrimi të vetëm të ekuacionit diferencial themelor të dinamikës - një sistem ekuacionesh të rendit të dytë. Energjia kinetike e një pike materiale është energjia e lëvizjes e barabartë me punën e nevojshme për të dhënë një shpejtësi të caktuar në një pikë të caktuar. Energjia kinetike e një sistemi pikash materiale është një sasi shtesë, e përcaktuar si shuma e energjive të të gjitha pikave të sistemit. Komponentët kovariantë të një vektori janë koeficientët e zgjerimit të vektorit në vektorë me bazë reciproke. Koeficientët e lidhjes afine janë koeficientë të zgjerimit të derivateve të vektorëve bazë në lidhje me koordinatat në lidhje me vektorët e vetë bazës. Lakimi i një lakore është reciproke e rrezes së rrethit prekës. Qendra e menjëhershme e shpejtësive është një pikë, shpejtësia e së cilës është zero në një moment të caktuar kohor. 8 Puna mekanike e një force konstante është produkti skalar i forcës dhe zhvendosjes. Lëvizja mekanike është një ndryshim në pozicionin e një trupi në hapësirë ​​në raport me trupat e tjerë me kalimin e kohës. Problemi i anasjelltë i dinamikës është gjetja e ekuacioneve të lëvizjes së një pike materiale duke përdorur forcat e dhëna (funksionet e njohura të koordinatave, kohës dhe shpejtësisë). Lëvizja përkthimore është një lëvizje në të cilën çdo vijë e drejtë e identifikuar në një trup të ngurtë lëviz paralel me vetveten. Energjia potenciale e një pike materiale është energjia e bashkëveprimit në terren të trupave ose pjesëve të një trupi, e barabartë me punën e forcave të fushës për të lëvizur një pikë të caktuar materiale nga një pikë e caktuar në hapësirë ​​në një nivel potencial zero, i zgjedhur në mënyrë arbitrare. Masa e reduktuar është masa e një pike materiale hipotetike, lëvizja e së cilës në një fushë simetrike qendrore reduktohet në problemin e dy trupave. Detyra e drejtpërdrejtë e dinamikës është të përcaktojë forcat që veprojnë në një pikë materiale duke përdorur ekuacionet e dhëna të lëvizjes. Simbolet Christoffel janë koeficientë simetrik të lidhjes afinale. Sistemi i qendrës së masës (qendra e inercisë) - Një sistem referimi në të cilin momenti i sistemit mekanik është zero. Shpejtësia është një sasi vektoriale, numerikisht e barabartë me zhvendosjen për njësi të kohës. Një rreth oskulues është një rreth që ka kontakt të rendit të dytë me një kurbë, d.m.th. deri në infinitezimale të rendit të dytë, ekuacionet e një lakore dhe një rrethi oskulues në afërsi të një pike të caktuar janë të padallueshme nga njëri-tjetri. 9 Trihedron shoqërues - një treshe vektorësh njësi (vektorë tangjentë, normalë dhe binormalë) të përdorur për të futur një sistem koordinativ kartezian që shoqëron një pikë. Një trup i ngurtë është një trup, distanca e të cilit midis dy pikave nuk ndryshon. Tensori i inercisë është një tensor simetrik i rangut të dytë, përbërësit e të cilit përcaktojnë vetitë inerciale të një trupi të ngurtë në lidhje me lëvizjen rrotulluese. Një trajektore është një gjurmë e një pike lëvizëse në hapësirë. Ekuacionet e lëvizjes janë ekuacione që përcaktojnë pozicionin e një pike në hapësirë ​​në një moment arbitrar në kohë. Nxitimi është një sasi vektoriale, numerikisht e barabartë me ndryshimin e shpejtësisë për njësi të kohës. Nxitimi normal është një nxitim pingul me shpejtësinë, i barabartë me nxitimin centripetal kur një pikë lëviz me një shpejtësi të caktuar përgjatë një rrethi në kontakt me trajektoren. Një fushë simetrike qendrore është një fushë në të cilën energjia potenciale e një pike materiale varet vetëm nga distanca r në një qendër "O". Energjia është aftësia e një trupi ose sistemi trupash për të kryer punë. 10 1. EKUACIONI BAZË DIFEENCIAL I DINAMIKËS (LIGJI I DYTË I Njutonit) 1.1. Struktura e seksionit “gjurmë” “fasadë” Probleme të drejtpërdrejta dhe të anasjellta të dinamikës “fasada” Përshkrimi i lëvizjes së një pike materiale “gjurmë” “gjurmë” “gjurmë” “fasadë” Ligji i ruajtjes së momentit “fasada” Ekuacioni natyror i lakorja “gjurmët” “fasada” Puna testuese “ gjurmët” “fasada” Testet e kontrollit përfundimtar “fasada” Ligji i ruajtjes së energjisë “gjurmët” “gjurmët” “fasada” Algjebër vektoriale “gjurmë” “gjurmë” “fasada” Ligji i ruajtjes i momentit këndor Figura 1 - Elementet kryesore të seksionit 1. 2. Përshkrimi i lëvizjes së një pike materiale Lëvizja mekanike përkufizohet si ndryshim i pozicionit të një trupi në hapësirë ​​në raport me trupat e tjerë me kalimin e kohës. Ky përkufizim shtron dy detyra: 1) zgjedhjen e një metode me të cilën mund të dallohet një pikë në hapësirë ​​nga një tjetër; 2) zgjedhja e një trupi në lidhje me të cilin përcaktohet pozicioni i trupave të tjerë. 11 1.2.1. Sistemi i koordinatave karteziane Detyra e parë lidhet me zgjedhjen e një sistemi koordinativ. Në hapësirën tredimensionale, çdo pikë në hapësirë ​​shoqërohet me tre numra, të quajtur koordinatat e pikës. Më të dukshmet janë koordinatat drejtkëndore ortogonale, të cilat zakonisht quhen karteziane (e emërtuar sipas shkencëtarit francez Rene Descartes). 1 Rene Descartes ishte i pari që prezantoi konceptin e shkallës, i cili qëndron në themel të ndërtimit të sistemit të koordinatave karteziane. Në një pikë të caktuar në hapësirën tredimensionale ndërtohen tre vektorë reciprokisht ortogonalë, identikë në madhësi i, j, k, të cilët në të njëjtën kohë janë njësi shkallë, d.m.th. gjatësia e tyre (moduli) është, sipas përkufizimit, e barabartë me njësinë e matjes. Boshtet numerike drejtohen përgjatë këtyre vektorëve, pikat në të cilat vihen në korrespondencë me pikat në hapësirë ​​duke "projektuar" - duke tërhequr një pingul nga një pikë në një bosht numerik, siç tregohet në figurën 1. Operacioni i projeksionit në koordinatat karteziane çon në mbledhja e vektorëve ix, jy dhe kz përgjatë rregullës së paralelogramit, i cili në këtë rast degjeneron në një drejtkëndësh. Si rezultat, pozicioni i një pike në hapësirë ​​mund të përcaktohet duke përdorur vektorin r = ix + jy + kz, i quajtur "vektori i rrezes", sepse ndryshe nga vektorët e tjerë, origjina e këtij vektori përkon gjithmonë me origjinën e koordinatave. Një ndryshim në pozicionin e një pike në hapësirë ​​me kalimin e kohës çon në shfaqjen e një varësie kohore të koordinatave të pikës x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Emri i latinizuar i Rene Descartes është Cartesius, prandaj në literaturë mund të gjeni emrin "Koordinatat Karteziane". 12 dhe vektori i rrezes r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Këto marrëdhënie funksionale quhen ekuacione të lëvizjes në forma koordinative dhe vektoriale, përkatësisht z kz k r jy i y j ix x Figura 2 - Sistemi koordinativ kartezian Shpejtësia dhe nxitimi i një pike përcaktohen si derivatet e parë dhe të dytë në lidhje me kohën e rrezes. vektor v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix (t) + jy (t) + kz (t) Kudo në atë që vijon, një pikë dhe një pikë e dyfishtë mbi përcaktimin e një sasie të caktuar do të tregojë derivatin e parë dhe të dytë të kësaj sasie në lidhje me kohën. 1.2.2. Një mënyrë e natyrshme për të përshkruar lëvizjen e një pike. Trekëndëshi shoqërues Ekuacioni r = r (t) zakonisht quhet ekuacioni i një lakore në formë parametrike. Në rastin e ekuacioneve të lëvizjes, parametri është koha. Meqenëse çdo lëvizje 13 ndodh përgjatë një kurbë të caktuar të quajtur trajektore, atëherë një segment i trajektores (shtegut) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 që është një funksion monoton lidhet me këtë kohë lëvizjeje. Rruga e përshkuar nga trupi mund të konsiderohet si një parametër i ri, i cili zakonisht quhet parametri "natyror" ose "kanonik". Ekuacioni i kurbës përkatëse r = r(s) quhet ekuacion në parametrizimin kanonik ose natyror. τ m n Figura 3 – Vektori trekëndor shoqërues dr ds është një vektor tangjent me trajektoren (Figura 3), gjatësia e së cilës është e barabartë me një, sepse dr = ds. Nga τ= 14 dτ pingul me vektorin τ, d.m.th. drejtuar normalisht në trajektore. Për të zbuluar kuptimin fizik (ose më saktë, siç do ta shohim më vonë, gjeometrik) të këtij vektori, le të kalojmë në diferencimin në lidhje me parametrin t, duke e konsideruar atë si kohë. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt E fundit nga këto marrëdhënie mund të rishkruhet si më poshtë: 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 2 = 1 rrjedh se vektori τ′ = ku v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – vektor i nxitimit total dt 2. Meqenëse nxitimi total është i barabartë me shumën e nxitimeve normale (centripetale) dhe tangjenciale, vektori që po shqyrtojmë është i barabartë me vektorin normal të nxitimit të ndarë me katrorin e shpejtësisë. Kur lëvizni në një rreth, nxitimi normal është i barabartë me nxitimin tangjencial, dhe vektori a = an = n v2, R ku n është vektori normal ndaj rrethit dhe R është rrezja e rrethit. Nga kjo rrjedh se vektori τ′ mund të përfaqësohet në formën τ′ = Kn, 1 ku K = është lakimi i lakores - reciproku i rrezes së rrethit kontaktues. Një rreth oskulues është një kurbë që ka kontakt të rendit të dytë me një kurbë të caktuar 15. Kjo do të thotë se, duke e kufizuar veten në zgjerimin e ekuacionit të një kurbë në një seri fuqie në një moment në infinitezimale të rendit të dytë, ne nuk do të jemi në gjendje ta dallojmë këtë kurbë nga një rreth. Vektori n nganjëherë quhet vektori kryesor normal. Nga vektori tangjent τ dhe vektori normal, mund të ndërtojmë një vektor binormal m = [τ, n]. Tre vektorë τ, n dhe m formojnë një treshe të drejtë - një trekëndësh shoqërues, me të cilin mund të lidhni sistemin koordinativ kartezian që shoqëron pikën, siç tregohet në figurën 3. 1.3. Problemet e drejtpërdrejta dhe të anasjellta të dinamikës Në vitin 1632, Galileo Galilei zbuloi një ligj dhe më pas në 1687 Isak Njutoni formuloi një ligj që ndryshoi pikëpamjet e filozofëve mbi metodat e përshkrimit të lëvizjes: "Çdo trup ruan një gjendje pushimi ose lëvizje uniforme dhe drejtvizore derisa forcat e aplikuara e detyrojnë atë të ndryshojë.” ky është një gjendje”. 1 Rëndësia e këtij zbulimi nuk mund të mbivlerësohet. Para Galileos, filozofët besonin se karakteristika kryesore e lëvizjes ishte shpejtësia dhe se në mënyrë që një trup të lëvizë me një shpejtësi konstante, duhet të zbatohet një forcë konstante. Në fakt, përvoja duket se tregon pikërisht këtë: nëse aplikojmë forcë, trupi lëviz; nëse ndalojmë së aplikuari, trupi ndalon. Dhe vetëm Galileo vuri re se duke aplikuar forcë, ne në fakt balancojmë vetëm forcën e fërkimit që vepron në kushte reale në Tokë, përveç dëshirës sonë (dhe shpesh vëzhgimit). Rrjedhimisht, forca nuk nevojitet për të mbajtur konstante shpejtësinë, por për ta ndryshuar atë, d.m.th. raportoni përshpejtimin. 1 I. Njutoni. Parimet matematikore të filozofisë natyrore. 16 Vërtetë, në kushtet e Tokës, është e pamundur të realizohet vëzhgimi i një trupi që nuk do të ndikohej nga trupa të tjerë, prandaj mekanika është e detyruar të postulojë ekzistencën e sistemeve të veçanta të referencës (inerciale), në të cilat Njutoni (Galileo's ) duhet të përmbushet ligji i parë. 1 Formulimi matematikor i ligjit të parë të Njutonit kërkon shtimin e deklaratës së proporcionalitetit të forcës ndaj nxitimit me deklaratën e paralelizmit të tyre si sasi vektoriale? çfarë F ∼W ⎫ F skalar ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ ku Δv d v d dr = = ≡r . Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim Përvoja na tregon se një koeficient skalar mund të jetë një sasi që zakonisht quhet masë trupore. Kështu, shprehja matematikore e ligjit të parë të Njutonit, duke marrë parasysh shtimin e postulateve të reja, merr formën F = mW, 1 Por me cilat trupa realë mund të lidhet një sistem i tillë referimi nuk është ende e qartë. Hipoteza e eterit (shih "Teoria e Relativitetit") mund ta zgjidhte këtë problem, por rezultati negativ i eksperimentit të Michelson e përjashtoi këtë mundësi. Megjithatë, mekanika ka nevojë për korniza të tilla referimi dhe postulon ekzistencën e tyre. 17 i cili njihet si ligji i dytë i Njutonit. Meqenëse nxitimi përcaktohet për një trup të caktuar specifik, mbi të cilin mund të veprojnë disa forca, është e përshtatshme të shkruhet ligji i dytë i Njutonit në formën n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) . a =1 Forca në rastin e përgjithshëm konsiderohet si funksion i koordinatave, shpejtësive dhe kohës. Ky funksion varet nga koha në mënyrë eksplicite dhe implicite. Varësia e nënkuptuar nga koha do të thotë që forca mund të ndryshojë për shkak të ndryshimeve në koordinatat (forca varet nga koordinatat) dhe shpejtësia (forca varet nga shpejtësia) e një trupi në lëvizje. Varësia e dukshme nga koha sugjeron që nëse një trup është në qetësi në një pikë të caktuar fikse në hapësirë, atëherë forca ende ndryshon me kalimin e kohës. Nga pikëpamja e matematikës, ligji i dytë i Njutonit krijon dy probleme që lidhen me dy operacione matematikore reciprokisht të anasjellta: diferencimin dhe integrimin. 1. Problem i drejtpërdrejtë i dinamikës: duke përdorur ekuacionet e dhëna të lëvizjes r = r (t), përcaktoni forcat që veprojnë në pikën materiale. Ky problem është një problem i fizikës themelore; zgjidhja e tij synon gjetjen e ligjeve dhe rregullsive të reja që përshkruajnë bashkëveprimin e trupave. Një shembull i zgjidhjes së një problemi të drejtpërdrejtë të dinamikës është formulimi i I. Njutonit për ligjin e gravitetit universal bazuar në ligjet empirike të Keplerit, të cilat përshkruajnë lëvizjen e vëzhguar të planetëve të Sistemit Diellor (shih seksionin 2). 2. Problemi i anasjelltë i dinamikës: forcat e dhëna (funksionet e njohura të koordinatave, kohës dhe shpejtësisë) gjejnë ekuacionet e lëvizjes së një pike materiale. Kjo është një detyrë e fizikës së aplikuar. Nga pikëpamja e këtij problemi, ligji i dytë 18 i Njutonit është një sistem i ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit të dytë d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt zgjidhjet e të cilave janë funksione të kohës dhe konstante të integrimit. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Për të zgjedhur një zgjidhje që korrespondon me një lëvizje specifike nga një grup i pafund zgjidhjesh, është e nevojshme të plotësoni sistemin e ekuacioneve diferenciale me kushtet fillestare (problemi Cauchy) - të vendosni në një moment në kohë (t = 0) vlerat i koordinatave dhe shpejtësive të pikës: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Shënim 1. Në ligjet e I. Njutonit forca kuptohet si një sasi që karakterizon bashkëveprimin e trupave, si rezultat i së cilës trupat deformohen ose fitojnë nxitim. Megjithatë, shpesh është e përshtatshme që problemi i dinamikës të reduktohet në problemin e statikës duke prezantuar, siç bëri D'Alembert në Diskursin e tij mbi shkakun e përgjithshëm të erërave (1744), një forcë inerciale të barabartë me produktin e masës së trupi dhe nxitimi i kuadrit të referencës, në të cilin konsiderohet trupi i dhënë. Formalisht, kjo duket si transferimi i anës së djathtë të ligjit të dytë të I. New19 në anën e majtë dhe caktimi i kësaj pjese me emrin "forca e inercisë" F + (− mW) = 0, ose F + Fin = 0. Forca inerciale që rezulton padyshim që nuk e plotëson përkufizimin e forcës të dhënë më sipër. Në këtë drejtim, forcat inerciale shpesh quhen "forca fiktive", duke kuptuar se si forca ato perceptohen dhe maten vetëm nga një vëzhgues jo-inercial i shoqëruar me një kornizë referimi përshpejtues. Megjithatë, duhet theksuar se për një vëzhgues joinercial, forcat inerciale perceptohen se veprojnë në të gjitha trupat e sistemit të referencës së forcës. Është prania e këtyre forcave që "shpjegon" ekuilibrin (pa peshën) e trupave në një satelit të planetit që bie vazhdimisht dhe (pjesërisht) varësinë e përshpejtimit të rënies së lirë në Tokë nga gjerësia gjeografike e zonës. Vërejtje 2. Ligji i dytë i Njutonit si sistem i ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë shoqërohet edhe me problemin e integrimit të vetëm të këtyre ekuacioneve. Madhësitë e fituara në këtë mënyrë quhen integrale të lëvizjes dhe më të rëndësishmet janë dy rrethana që lidhen me to: 1) këto madhësi janë shtuese (mbledhëse), d.m.th. një vlerë e tillë për një sistem mekanik është shuma e vlerave përkatëse për pjesët e tij individuale; 2) në kushte të caktuara fizikisht të kuptueshme, këto sasi nuk ndryshojnë, d.m.th. janë ruajtur, duke shprehur kështu ligjet e ruajtjes në mekanikë. 20 1.4. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës Shqyrtoni një sistem me N pika materiale. Le të jetë "a" numri i pikës. Le të shkruajmë për secilën pikë "a" Ligji II i Njutonit dv (1.2) ma a = Fa , dt ku Fa është rezultante e të gjitha forcave që veprojnë në pikën "a". Duke marrë parasysh se ma = const, duke shumëzuar me dt, duke shtuar të gjitha N ekuacionet (1.2) dhe duke integruar brenda kufijve nga t në t + Δt, marrim N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = ku v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) është shpejtësia e pikës “a” në kohën t, dhe ua = ra (t + Δt) është shpejtësia e pikës “a” në kohën t + Δt. Le të imagjinojmë më tej forcat që veprojnë në pikën "a" si shuma e forcave Faex të jashtme (të jashtme - të jashtme) dhe të brendshme (të brendshme - të brendshme) Fa = Fain + Faex. Forcat e ndërveprimit të pikës "a" me pikat e tjera të përfshira në SISTEM do t'i quajmë të brendshme, dhe të jashtme - me pika që nuk përfshihen në sistem. Le të tregojmë se shuma e forcave të brendshme zhduket për shkak të ligjit të tretë të Njutonit: forcat me të cilat dy trupa veprojnë mbi njëri-tjetrin janë të barabarta në madhësi dhe të kundërta në drejtim Fab = - Fab nëse pikat "a" dhe "b" i përkasin SISTEMI. Në fakt, forca që vepron në pikën “a” nga pika të tjera të sistemit është e barabartë me 21 N Fain = ∑ Fab. b =1 Pastaj N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Kështu, shuma e të gjitha forcave që veprojnë në një sistem pikash materiale degjeneron në shumën e vetëm forcave të jashtme. Si rezultat, marrim N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) - ndryshimi në momentin e një sistemi pikash materiale është i barabartë me momentin e forcave të jashtme që veprojnë në sistem. Një sistem quhet i mbyllur nëse mbi të nuk veprojnë forca të jashtme ∑F a =1 = 0. Në këtë rast, momenti ex a i sistemit nuk ndryshon (i ruajtur) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = konst . (1.4) Zakonisht ky pohim interpretohet si ligji i ruajtjes së momentit. Megjithatë, në të folurit e përditshëm, me ruajtjen e diçkaje nuk nënkuptojmë deklaratën e pandryshueshmërisë së përmbajtjes së kësaj diçkaje në diçka tjetër, por kuptimin se në çfarë është shndërruar kjo diçka origjinale. Nëse paratë shpenzohen për të blerë një gjë të dobishme, atëherë ajo nuk zhduket, por shndërrohet në këtë gjë. Por nëse fuqia blerëse e tyre është ulur për shkak të inflacionit, atëherë gjurmimi i zinxhirit të transformimeve rezulton të jetë shumë i vështirë, gjë që krijon ndjesinë e mosruajtjes. Rezultati i matjes së një impulsi, si çdo madhësi kinematike, varet nga sistemi i referencës në të cilin bëhen matjet (instrumentet fizike që matin këtë madhësi). 22 Mekanika klasike (jo relativiste), duke krahasuar rezultatet e matjeve të madhësive kinematike në sisteme të ndryshme referimi, rrjedh në heshtje nga supozimi se koncepti i njëkohshmërisë së ngjarjeve nuk varet nga sistemi i referencës. Për shkak të kësaj, marrëdhënia ndërmjet koordinatave, shpejtësive dhe nxitimeve të një pike, e matur nga një vëzhgues i palëvizshëm dhe i lëvizshëm, janë marrëdhënie gjeometrike (Figura 4) dr du Shpejtësia u = = r dhe nxitimi W = = u, i matur nga vëzhguesi K. zakonisht quhen dr ′ shpejtësia dhe nxitimi absolut. Shpejtësia u′ = = r ′ dhe nxitimi dt du′ W ′ = = u ′ , e matur nga vëzhguesi K′ – shpejtësia relative dhe nxitimi. Dhe shpejtësia V dhe nxitimi A i sistemit të referencës janë të lëvizshme. Mr′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W =W′+ A R Figura 4 – Krahasimi i madhësive të matura Duke përdorur ligjin e konvertimit të shpejtësisë, i cili shpesh quhet teorema e mbledhjes së shpejtësisë së Galileos, marrim për momentin të një sistemi pikash materiale të matura në sistemet referencë K dhe K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Sistemi referues në të cilin momenti i sistemit mekanik është zero 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a quhet sistemi i qendrës së masës ose qendrës së inercisë. Natyrisht, shpejtësia e një kornize të tillë referimi është e barabartë me N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Meqenëse në mungesë të forcave të jashtme momenti i sistemit mekanik nuk ndryshon, atëherë shpejtësia e sistemit të qendrës së masës gjithashtu nuk ndryshon. Duke integruar (1.5) me kalimin e kohës, duke përfituar nga arbitrariteti i zgjedhjes së origjinës së koordinatave (e vendosim konstanten e integrimit të barabartë me zero), arrijmë në përcaktimin e qendrës së masës (qendrës së inercisë) të sistemit mekanik. N rc = ∑m r a =1 N a a . ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së energjisë nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës Shqyrtoni një sistem prej N pikash materiale. Për çdo pikë “a” shkruajmë ligjin II të Njutonit (1.2) dhe shumëzojmë dr në shkallë shkallëzimi me shpejtësinë e pikës va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Pas transformimeve, duke shumëzuar të dyja anët me dt, duke u integruar brenda kufijve nga t1 në t2 dhe duke supozuar se ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1 ) , ua = va (t2) , fitojmë 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Më pas, le të paraqesim forcën Fa si shuma e forcave potenciale dhe disipative Fa = Fapot + Faad. Forcat shpërhapëse janë ato që çojnë në shpërndarjen e energjisë mekanike, d.m.th. duke e kthyer atë në lloje të tjera të energjisë. Forcat potenciale janë ato, puna e të cilave në një unazë të mbyllur është zero. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L Le të tregojmë se fusha potenciale është gradient, d.m.th. ⎛ ∂Π a ∂Π a ∂Π a ⎞ +j +k Fapot = − grad Π a (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Në të vërtetë, në përputhje me teoremën e Stokes, ne mund të shkruajmë djersën e djersës ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa, ds) , L S ku S është sipërfaqja e shtrirë nga konturi L Figura 5. S L Figura 5 – Teorema e konturit dhe e sipërfaqes së Stokes çon në vërtetimin e vlefshmërisë së (1.9) për shkak të lidhjes së dukshme rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Kjo do të thotë, nëse një fushë vektoriale shprehet në terma të gradientit të një funksioni skalar, atëherë puna e saj përgjatë një konture të mbyllur është domosdoshmërisht zero. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse qarkullimi i një fushe vektoriale përgjatë një konture të mbyllur është zero, atëherë është gjithmonë e mundur të gjendet fusha skalare përkatëse, gradienti i së cilës është fusha vektoriale e dhënë. Duke marrë parasysh (1.9), relacioni (1.7) mund të përfaqësohet si R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () Gjithsej kemi N ekuacione të tilla. Duke i shtuar të gjitha këto ekuacione, marrim ligjin e ruajtjes së energjisë në mekanikën klasike 1: ndryshimi në energjinë totale mekanike të sistemit është i barabartë me punën e forcave shpërndarëse ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Nëse ka nuk ka forca shpërndarëse, energjia totale (kinetike plus potencial) e sistemit mekanik nuk ndryshon (“e konservuar”) dhe sistemi quhet konservator. 1.6. Nxjerrja e ligjit të ruajtjes së momentit këndor nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës Shqyrtoni një sistem prej N pikash materiale. Për çdo pikë "a" shkruajmë ligjin II të Njutonit (1.2) dhe shumëzojmë të dyja anët në të majtë vektorialisht me vektorin e rrezes së pikës ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Kjo ide e transformimeve të energjisë mekanike rezulton të jetë e përshtatshme për realitetin objektiv vetëm për sa kohë që marrim parasysh fenomene që nuk shoqërohen nga shndërrimi i lëndës materiale në lëndë fushore dhe anasjelltas. 26 Madhësia K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) quhet momenti i forcës Fa në raport me origjinën. Për shkak të lidhjes së dukshme d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎢ ⎢ ⎥ d , ⎣ ⎣ d ⎡ ⎣ ra, ma va ⎤⎦ = Ka. dt Si më parë, numri i ekuacioneve të tilla është N, dhe duke i mbledhur ato, fitojmë dM =K, (1.12) dt ku sasia shtesë N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 quhet momenti këndor i sistemit mekanik. Nëse momenti i forcave që veprojnë në sistem është zero, atëherë momenti këndor i sistemit ruhet N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = konst . (1.14) a =1 1.7. Integralet e lëvizjes Madhësitë e konsideruara në paragrafët 1.4–1.6 që ruhen në kushte të caktuara: momenti, energjia dhe momenti këndor fitohen si rezultat i një integrimi të vetëm të ekuacionit diferencial themelor të dinamikës - ekuacionit të lëvizjes, d.m.th. janë integralet e para të ekuacioneve diferenciale të rendit të dytë. Për shkak të kësaj, të gjitha këto sasi fizike zakonisht quhen integrale të lëvizjes. Më vonë, në seksionin kushtuar studimit të ekuacioneve të Lagranzhit të llojit të dytë (ekuacionet në të cilat është shndërruar ligji i dytë i hapësirës së konfigurimit të Njutonit27), do të tregojmë se integralet e lëvizjes mund të konsiderohen si pasoja të vetive të hapësirës dhe kohës njutoniane. . Ligji i ruajtjes së energjisë është pasojë e homogjenitetit të shkallës kohore. Ligji i ruajtjes së momentit rrjedh nga homogjeniteti i hapësirës, ​​dhe ligji i ruajtjes së momentit këndor rrjedh nga izotropia e hapësirës. 1.8. Lëvizja në sistemet e referencës joinerciale 1.9. Detyra testuese 1.9.1. Një shembull i zgjidhjes së problemit Gjeni ekuacionet e lëvizjes së një pike nën ndikimin e një force tërheqëse në qendrën C1 dhe një forcë zmbrapsëse rreth qendrës C2, në përpjesëtim me largësitë nga qendrat. Koeficientët e proporcionalitetit janë përkatësisht të barabartë me k1m dhe k2m, ku m është masa e pikës M. Koordinatat e qendrave në një moment kohor arbitrar përcaktohen nga relacionet: X1(t) = acoωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. Në momentin fillestar të kohës, pika kishte koordinata x = a; y = 0; z=0 dhe shpejtësia me komponentë vx = vy = vz =0. Zgjidheni problemin nën kushtin k1 > k2. Lëvizja e një pike materiale nën veprimin e dy forcave F1 dhe F2 (Figura 5) përcaktohet nga ekuacioni bazë diferencial i dinamikës - ligji i dytë i Njutonit: mr = F1 + F2, ku dy pika mbi simbol nënkuptojnë diferencim të përsëritur në kohë. . Sipas kushteve të problemës, forcat F1 dhe F2 përcaktohen nga relacionet: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . Sasia e kërkuar është vektori i rrezes së pikës M, prandaj vektorët r1 dhe r2 duhet të shprehen përmes vektorit të rrezes dhe vektorëve të njohur R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt dhe R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, ku i, j, k janë vektorët bazë të sistemit të koordinatave karteziane. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 “О” është origjina e koordinatave, R1 dhe R2 janë vektorët e rrezeve të qendrave tërheqëse dhe repulsive, r është vektori i rrezes së pikës M, r1 dhe r2 janë vektorë që përcaktojnë pozicionin. të pikës M në raport me qendrat. Figura 6 – Pika M në fushën e dy qendrave Nga figura 6 marrim r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Duke i zëvendësuar të gjitha këto marrëdhënie në ligjin e dytë të Njutonit dhe duke i ndarë të dyja anët e ekuacionit me masën m, marrim një ekuacion diferencial johomogjen të rendit të dytë me koeficientë konstante: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Meqenëse, sipas kushteve të problemit, k1 > k2, ka kuptim të futet shënimi - vlera pozitive k2 = k1 - k2. Atëherë ekuacioni diferencial që rezulton merr formën: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. Zgjidhja e këtij ekuacioni duhet kërkuar në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme ro të ekuacionit homogjen ro + k 2 ro = 0 dhe zgjidhjes së veçantë rch të ekuacionit johomogjen r = ro + rch. Për të ndërtuar një zgjidhje të përgjithshme, hartojmë ekuacionin karakteristik λ2 + k2 = 0, rrënjët e të cilit janë imagjinare: λ1,2 = ± ik, ku i = −1. Për shkak të kësaj, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen duhet të shkruhet në formën r = A cos kt + B sin kt, ku A dhe B janë konstante të integrimit të vektorit. Një zgjidhje e veçantë mund të gjendet nga forma e anës së djathtë duke futur koeficientët e pacaktuar α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = -ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Duke e zëvendësuar këtë zgjidhje në ekuacionin johomogjen dhe duke barazuar koeficientët për funksione kohore identike në anën e majtë dhe të djathtë të ekuacioneve, marrim një sistem ekuacionesh që përcakton koeficientët e pasigurt: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α 2 (k 2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen ka formën 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Konstantet e integrimit përcaktohen nga kushtet fillestare, të cilat mund të shkruhen në formë vektoriale: r (t = 0) = ia; r (t = 0) = 0 . Për të përcaktuar konstantet e integrimit, është e nevojshme të dihet shpejtësia e një pike në një moment arbitrar kohor ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Duke zëvendësuar kushtet fillestare në zgjidhjen e gjetur, marrim (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 j ωa. 2 k −ω k +λ k −ω Le të gjejmë konstantet e integrimit nga këtu dhe t'i zëvendësojmë ato në ekuacionin në ekuacionet e lëvizjes k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Kjo shprehje paraqet ekuacionet e kërkuara të lëvizjes në formë vektoriale. Këto ekuacione të lëvizjes, si dhe i gjithë procesi i kërkimit të tyre, mund të shkruhen në projeksione në boshtet e sistemit të koordinatave karteziane. + 1.9.2. Variantet e detyrave të provës Gjeni ekuacionet e lëvizjes së një pike materiale nën ndikimin e forcës së tërheqjes në qendrën O1 dhe forcës së zmbrapsjes nga qendra O2. Forcat janë proporcionale me distancat me qendrat, koeficientët e proporcionalitetit janë përkatësisht të barabartë me k1m dhe k2m, ku m është masa e pikës. Koordinatat e 31 qendrave, kushtet fillestare dhe kushtet e vendosura mbi koeficientët janë dhënë në tabelë. Kolona e parë përmban numrin e opsionit. Në variantet tek, merrni parasysh k1 > k2, në variantet tek, k2 > k1. Variantet e detyrave të kontrollit janë dhënë në tabelën 1. Kolonat e dytë dhe të tretë tregojnë koordinatat e qendrave tërheqëse dhe repulsive në një moment arbitrar të kohës t. Gjashtë kolonat e fundit përcaktojnë koordinatat fillestare të pikës materiale dhe përbërësit e shpejtësisë fillestare të saj, të nevojshme për të përcaktuar konstantet e integrimit. Tabela 1. Opsionet për punë testuese 1. Madhësitë a, b, c, R, λ dhe ω janë madhësi konstante Opsioni 1 1 Koordinatat e qendrës O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X 2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + achλt ; a 0 a b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X 2 = 0; Y1 = bt; Y2 = Y1 + R cos ωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = a + bt ; X 2 = X 1 + ach λt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + ashλt; Z1 = R cos ωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a + bt. Y1 = a; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Vlerat fillestare Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Koordinatat e qendrës O2 Y2 = Y1 + hiri λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Vazhdimi i tabelës 1 1 6 7 2 X 1 = hi λt ; 3 X 2 = Y1 + R cos ωt ; Y1 = ach λt ; Y2 = 0; Z1 = a + bt. Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 1 = ct; Y1 = 0; X 2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. Z1 = ae λt . 8 4 X 1 = hi λt ; X 2 = X 1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z 2 = Z1 + RSinωt. X 1 = a + bt; Y1 = a + bt; X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z 2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2; Y1 = ach λt ; Z1 = hi λt. X 2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z 2 = R sin ωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = R sin ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = hi λt; Y1 = 0; Z1 = ach λt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae 2 λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X 2 = X 1 + R cos ωt ; 0 a 0 0 b 0 Y2 = a + bt + ct; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X 2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z 2 = a cos ωt. 33 Fundi i tabelës 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = hiri λt ; Y2 = 0; Z1 = ach λt. Z2 = Z1. X 1 = R cos ωt ; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1 ; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X 2 = X 1 + hi λt ; Y1 = 0; Y2 = a + bt ; Z1 = R sin ωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = një cos ωt. X 2 = një mëkat ωt ; 16 X 1 = a + bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X 2 = a + bt ; Y1 = 0; Y2 = ashλt ; Z1 = 0. Z 2 = achλt. 0 0 a 0 b 0 X 1 = 0; X 2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z 2 = 0. X 1 = ashλt; X 2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Literatura për detyrë testuese 1. Meshchersky I.V. Mbledhja e problemave në mekanikën teorike. M., 1986. F. 202. (Problemet Nr. 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olkhovsky I.I. Kurs në mekanikën teorike për fizikantët. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Testet përfundimtare të kontrollit (provimit) 1.10.1. Fusha A A.1.1. Ekuacioni bazë diferencial për dinamikën e një pike materiale ka formën... A.1.2. Zgjidhja e një problemi të drejtpërdrejtë të dinamikës do të thotë... A1.3. Zgjidhja e problemit të anasjelltë të dinamikës do të thotë... A.1.5. Shuma e forcave të brendshme që veprojnë në një sistem pikash materiale zhduket për shkak të... A.1.6. Impulsi i forcës është... A.1.7. Qendra e sistemit të inercisë është një sistem referimi në të cilin A.1.8. Qendra e masës është... A.1.9. Koordinatat e qendrës së masës përcaktohen me formulën A.1.10. Shpejtësia e sistemit të qendrës së inercisë përcaktohet me formulën... A.1.11. Ligji i ruajtjes së momentit të një sistemi pikash materiale në formën e tij më të përgjithshme shkruhet si... A.1.12. Fusha e forcës potenciale përcaktohet nga relacioni... (përkufizimi bazë) A.1.13. Fusha e forcës potenciale përcaktohet nga relacioni... (pasojë e përkufizimit kryesor) A.1.14. Nëse fusha F është potenciale, atëherë... A.1.15. Momenti këndor i një sistemi pikash materiale është sasia... A.1.16. Momenti i forcave që veprojnë në një sistem mekanik mund të përcaktohet nga relacioni... A.1.17. Nëse momenti i forcave që veprojnë në një sistem mekanik është i barabartë me zero, atëherë ... A.1.18 ruhet. Nëse shuma e forcave të jashtme që veprojnë në një sistem mekanik është e barabartë me zero, atëherë ... A.1.19 ruhet. Nëse në sistemin mekanik nuk veprojnë forcat shpërndarëse, atëherë mbetet ... A.1.20. Një sistem mekanik quhet i mbyllur nëse 35 1.10.2. Fusha B ua B.1.1. Rezultati i njehsimit të integralit ∑ ∫ d (m d v) a a a va është shprehja ... B.1.2. Momenti i sistemit mekanik në kornizën referente K lidhet me momentin e kornizës referente K′ që lëviz në raport me të me shpejtësi V nga relacioni ... B.1.3. Nëse F = −∇Π, atëherë... B.1.4. Puna e bërë nga forca F = −∇Π përgjatë një laku të mbyllur zhduket për shkak të … d va2 B1. 5. Derivati ​​kohor është i barabartë me ... dt B.1.6. Derivati ​​kohor i momentit të impulsit d është i barabartë me ... dt 1.10.3. Fusha C C.1.1. Nëse një pikë me masë m lëviz në mënyrë që në kohën t koordinatat e saj të jenë x = x(t), y = y(t), z = z (t), atëherë mbi të veprohet nga një forcë F, komponenti Fx (Fy , Fz) që është e barabartë me... C.1.2. Nëse një pikë lëviz nën ndikimin e forcës kmr dhe nëse në t = 0 ajo kishte koordinata (m) (x0, y0, z0) dhe shpejtësi (m/s) (Vx, Vy, Vz), atëherë në momentin t = t1 s koordinata x do të jetë e barabartë me...(m) C.1.3. Në kulmet e një paralelepipedi drejtkëndor me brinjë a, b dhe c ka masa pikash m1, m2, m3 dhe m4. Gjeni koordinatën (xc, yc, zc) të qendrës së inercisë. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Figura 7 – Për detyrën C.1.3 C.1.4. Dendësia e një shufre me gjatësi ndryshon sipas ligjit ρ = ρ(x). Qendra e masës së një shufre të tillë ndodhet nga origjina në një distancë... C.1.5. Forca F = (Fx, Fy, Fz) zbatohet në një pikë me koordinata x = a, y = b, z = c. Projeksionet e momentit të kësaj force në lidhje me origjinën e koordinatave janë të barabarta me... 37 2. LËVIZJA NË FUSHË QENDRORE SIMETRIKE 2.1. Struktura e seksionit “përdoret” Shpejtësia dhe nxitimi në koordinatat kurvilineare Analiza e tensorit “gjurmë” “përdor” Integrale të lëvizjes së njësisë së kontrollit “gjurmë” “përdor” Shpejtësia e sektorit Produkt vektorial “gjurmë” “përdor” Ekuacioni i trajektores “Gjurmë” integrale të përcaktuara ” “përdor” “përdor” “Formula e Rutherford-it Steradian Figura 8 - Struktura e seksionit “fushë simetrike qendrore 38 2.2. Koncepti i një fushe qendrore simetrike Le ta quajmë një fushë simetrike qendrore në të cilën energjia potenciale e një pike materiale varet vetëm nga distanca r në një qendër "O". Nëse origjina e sistemit koordinativ kartezian vendoset në pikën “O”, atëherë kjo distancë do të jetë moduli i vektorit të rrezes së pikës, d.m.th. P = P(r), r = x 2 + y 2 + z 2. Në përputhje me përkufizimin e një fushe potenciale, forca ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er vepron në një pikë. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r Në një fushë të tillë, sipërfaqet ekuipotenciale П(r) = konst përputhen me sipërfaqet koordinative r = konst në koordinata sferike. Forca (2.1), e cila në koordinatat karteziane ka tre komponentë jo zero, në koordinatat sferike ka vetëm një komponent jozero - projeksionin në vektorin bazë er. Të gjitha sa më sipër na detyrojnë t'i drejtohemi koordinatave sferike, simetria e të cilave përkon me simetrinë e fushës fizike. Koordinatat sferike janë një rast i veçantë i koordinatave ortogonale kurvilineare. 2.3. Shpejtësia në koordinatat kurvilineare Le të jenë xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) të jenë koordinata karteziane dhe ξ = ξi(xk) të jenë koordinata kurvilineare – funksione një-për-një të koordinatave karteziane. Sipas përkufizimit, vektori i shpejtësisë dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt ku vektorët ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 formojnë e ashtuquajtura baza koordinative (ose holonomike ose e integrueshme). Katrori i vektorit të shpejtësisë është i barabartë me v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Sasitë ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j ∂ξ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ paraqesin komponentët bashkëvariantë të tenzorit metrikë. Energjia kinetike e një pike materiale në koordinata kurvilineare merr formën mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Nxitimi në koordinatat lakorore Në koordinatat lakorike nga koha varen jo vetëm koordinatat e një pike lëvizëse, por edhe vektorët e bazës që lëvizin me të, koeficientët e zgjerimit për të cilët janë komponentët e matur të shpejtësisë dhe nxitimit. Për shkak të kësaj, në koordinatat kurvilineare, jo vetëm koordinatat e pikës i nënshtrohen diferencimit, por edhe vektorët bazë dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Sipas rregullit të diferencimit të funksionit kompleks dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt Derivati ​​i një vektori në lidhje me koordinata është gjithashtu një vektor∂ei torus, prandaj secili nga nëntë vektorët mund ∂ξ j të zgjerohet në vektorë bazë ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 Koeficientët e zgjerimit Γijk quhen koeficientë të lidhjes afine. Hapësirat në të cilat janë përcaktuar koeficientët e lidhjes afine quhen hapësira të lidhjes afine. Hapësirat në të cilat koeficientët e lidhjes afine janë të barabartë me zero quhen hapësira afine. Në hapësirën afine, në rastin më të përgjithshëm, mund të futen vetëm koordinata të zhdrejta drejtvizore me shkallë arbitrare përgjatë secilit prej boshteve. Vektorët bazë në një hapësirë ​​të tillë janë të njëjtë në të gjitha pikat e saj. Nëse zgjidhet baza koordinative (2.3), atëherë koeficientët e lidhjes afine rezultojnë të jenë simetrik në nënshkrime dhe në këtë rast quhen simbole Christoffel. Simbolet e Kristofelit mund të shprehen në terma të përbërësve të tensorit metrikë dhe derivateve të tyre koordinative ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Madhësitë gij janë përbërës kundërvënie të tenzorit metrikë - elementë të matricës inverse me gij. Koeficientët e zgjerimit të vektorit të nxitimit në terma të vektorëve të bazës kryesore Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt paraqesin komponentë kundërthënës të vektorit të nxitimit. 2.5. Shpejtësia dhe nxitimi në koordinatat sferike. . 41 z θ y r ϕ x x Figura 9 – Lidhja ndërmjet koordinatave karteziane x, y, z me koordinatat sferike r, θ, ϕ. Përbërësit e tenzorit metrik i gjejmë duke i zëvendësuar këto marrëdhënie në shprehjen (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ∂x ∂z 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂g ∂2 +2 ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎜; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 mëkat 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Komponentët jo diagonale të tenzorit metrikë janë të barabartë me zero, sepse koordinatat sferike janë koordinata ortogonale kurvilineare. Kjo mund të verifikohet me llogaritje të drejtpërdrejta ose duke ndërtuar tangjente në vijat e koordinatave të vektorëve bazë (Figura 10). er eϕ θ eθ Figura 10 - Linjat e koordinatave dhe vektorët bazë në koordinatat sferike Përveç bazave kryesore dhe të ndërsjella, shpesh përdoret e ashtuquajtura bazë fizike - vektorë njësi tangjente me vijat koordinative. Në këtë bazë, dimensioni fizik i komponentëve të vektorit, të cilët zakonisht quhen edhe fizikë, përkon me dimensionin e modulit të tij, i cili përcakton emrin e bazës. Duke zëvendësuar përbërësit rezultues të tensorit metrikë në (2.5), marrim një shprehje për energjinë kinetike të një pike materiale në koordinatat sferike 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θφ2 . 2 2 Meqenëse koordinatat sferike pasqyrojnë simetrinë e një fushe simetrike qendrore, shprehja (2.10) përdoret për të përshkruar lëvizjen e një pike materiale në një fushë simetrike qendrore. () 43 Për të gjetur komponentët kontravariantë të nxitimit duke përdorur formulën (2.9), fillimisht duhet të gjeni përbërësit kontravariantë të tensorit metrikë si elementë të matricës, matricë e anasjelltë gij, dhe më pas simbolet Christoffel sipas formulave (2.8). Meqenëse matrica gij është diagonale në koordinata ortogonale, elementët e matricës së saj të kundërt (gjithashtu diagonale) janë thjesht inversi i elementeve gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sin–2θ. Së pari, le të zbulojmë se cili nga simbolet e Christoffel do të jetë jo zero. Për ta bërë këtë, shkruajmë relacionin (2.8), duke vendosur mbishkrimin të barabartë me 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Meqenëse përbërësit jo-diagonale të tenzorit metrikë janë të barabartë me zero dhe komponenti g11 = 1 (konstante), dy termat e fundit në kllapa bëhen zero, dhe termi i parë do të jetë jo- zero për i = j = 2 dhe i = j = 3. Kështu, midis simboleve Christoffel me indeksin 1 në krye, vetëm Γ122 dhe Γ133 do të jenë jozero. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë simbole jo zero Christoffel me indekset 2 dhe 3 në krye. Gjithsej janë 6 simbole Christoffel jozero: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2 Γ12 = Γ 221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r 1 3 Γ13 = Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Duke i zëvendësuar këto relacione në shprehjen (1.3), marrim komponentët e nxitimit kontravariant në koordinatat sferike: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θφ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θφ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r 2.6. Ekuacionet e lëvizjes në një fushë simetrike qendrore Në koordinatat sferike, vektori i forcës ka vetëm një komponent jozero d Π (r) (2.13) Fr = − dr Për shkak të kësaj, ligji i dytë i Njutonit për një pikë materiale merr formën d Π (r ) (2,14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θφ2 = − dr 2 (2,15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θφ2 = 0 r 2 (2,16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r Ekuacioni (2.15 ) ka dy zgjidhje të pjesshme ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 E para nga këto zgjidhje bie ndesh me kushtin e vendosur në koordinatat kurvilineare; në θ = 0, jakobiani i transformimeve zhduket J = g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Duke marrë parasysh zgjidhjen e dytë (2.17), ekuacionet (2.14) dhe (2.16) marrin formën d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r Ekuacioni (2.19) lejon ndarjen e variablave d ϕ dr = r ϕ dhe integralit të parë r 2ϕ = C , (2.20) ku C është konstanta e integrimit. Në paragrafin tjetër do të tregohet se kjo konstante përfaqëson dyfishin e shpejtësisë së sektorit, dhe, për rrjedhojë, vetë integrali (2.20) është ligji i dytë i Keplerit ose integrali i zonës. Për të gjetur integralin e parë të ekuacionit (2.18), ne zëvendësojmë me (2. 18) relacioni (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ dhe veçoni variablat dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Si rezultat i integrimit, marrim ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = konst = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 t. e. ligji i ruajtjes së energjisë mekanike, i cili është i lehtë për t'u verifikuar duke zëvendësuar (2.17) dhe (2.20) në (2.10). 2.7. Shpejtësia e sektorit dhe nxitimi i sektorit Shpejtësia e sektorit – vlera, numerikisht e barabartë me sipërfaqen, i përfshirë nga vektori i rrezes së pikës për njësi të kohës dS σ= . dt Siç mund të shihet nga figura 11 46 1 1 [r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 dhe shpejtësia e sektorit përcaktohet nga relacioni 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 Në rastin e lëvizjes së rrafshët në koordinatat cilindrike r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) merr formën i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Figura 11 – Sipërfaqja e përfshirë nga vektori i rrezes Kështu, konstanta e integrimit C është dyfishi i shpejtësisë së sektorit. Duke llogaritur derivatin kohor të shprehjes (2.22), marrim nxitimin e sektorit 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Sipas ligjit të dytë të Njutonit, shprehja (2.24) përfaqëson gjysmën e momentit të forcës të ndarë me masën, dhe kthimi i këtij momenti në zero çon në ruajtjen e momentit këndor (shih seksionin 1.2). Shpejtësia e sektorit është gjysma e momentit këndor të ndarë me masën. Me fjalë të tjera, integralet e para të ekuacioneve të lëvizjes në një fushë simetrike qendrore mund të shkruheshin pa integruar në mënyrë eksplicite ekuacionet diferenciale të lëvizjes, bazuar vetëm në faktin se 1) lëvizja ndodh në mungesë të forcave shpërndarëse; 2) momenti i forcave 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m bëhet zero. σ= 2,8. Ekuacioni i lëvizjes së një pike materiale në një fushë graviteti dhe një fushë të Kulonit 2.8.1. Energjia efektive Variablat në relacionin (2.21) ndahen lehtësisht dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ dhe lidhja që rezulton (2.26) mund të analizohet. Në rastet e Kulonit dhe fushave gravitacionale, energjia potenciale është në përpjesëtim të zhdrejtë me distancën nga qendra α ⎧α > 0 – forca e tërheqjes; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Energjia totale një pikë e vendosur në sipërfaqen e një planeti me masë M dhe rreze R përcaktohet nga relacioni mv 2 GMm α2 − = − . E= 2 R2 2mC 2 2. 0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. Trajektorja e një pike është një hiperbolë. Energjia totale e një pike është më e madhe se zero. 2.9. Reduktimi i problemit me dy trupa në problemin me një trup. Masa e reduktuar Le të shqyrtojmë problemin e lëvizjes së dy trupave nën ndikimin e forcës së bashkëveprimit vetëm me njëri-tjetrin (Figura 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – origjina e koordinatave; m1 dhe m2 – masat e trupave që ndërveprojnë Figura 14 – Problemi me dy trupa Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për secilin prej trupave 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) Për vektorin r kemi r = r2 − r1 . (2.36) Le të parashtrojmë problemin e shprehjes së vektorëve r1 dhe r2 përmes vektorit r. Për këtë nuk mjafton vetëm ekuacioni (2.36). Paqartësia në përcaktimin e këtyre vektorëve është për shkak të arbitraritetit të zgjedhjes së origjinës së koordinatave. Pa kufizuar në asnjë mënyrë këtë zgjedhje, është e pamundur të shprehen në mënyrë unike vektorët r1 dhe r2 në terma të vektorit r. Meqenëse pozicioni i origjinës së koordinatave duhet të përcaktohet vetëm nga pozicioni i këtyre dy trupave, ka kuptim ta kombinojmë atë me qendrën e masës (qendrën e inercisë) të sistemit, d.m.th. vendos m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Duke shprehur vektorin r2 duke përdorur vektorin r1 duke përdorur (2.37) dhe duke e zëvendësuar atë në (2.36), marrim m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Duke i zëvendësuar këto marrëdhënie në (2.35) në vend të dy ekuacioneve fitojmë një mr = F (r), ku futet sasia m, e quajtur masa e reduktuar mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Kështu, problemi i lëvizjes së dy trupave në një fushë të veprimit të ndërsjellë mbi njëri-tjetrin reduktohet në problemin e lëvizjes së një pike me masë të reduktuar në një fushë qendrore simetrike në qendër të sistemit të inercisë. 53 2.10. Formula e Rutherford-it Në përputhje me rezultatet e paragrafit të mëparshëm, problemi i përplasjes së dy grimcave dhe lëvizjes së tyre pasuese mund të reduktohet në lëvizjen e një grimce në fushën qendrore të një qendre të palëvizshme. Ky problem u konsiderua nga E. Rutherford për të shpjeguar rezultatet e një eksperimenti mbi shpërndarjen e grimcave α nga atomet e materies (Figura 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Figura 15 – rm ϕ ϕ χ Shpërndarja e një grimce α nga një atom i palëvizshëm Trajektorja e grimcës së devijuar nga atomi duhet të jetë simetrike në lidhje me pingulën me trajektoren, e ulur nga qendra e shpërndarjes ( përgjysmuesin e këndit të formuar nga asimptotat). Në këtë moment grimca është në distancën më të shkurtër rm nga qendra. distanca në të cilën ndodhet burimi i grimcave α është shumë më e madhe se rm, kështu që mund të supozojmë se grimca lëviz nga pafundësia. Shpejtësia e kësaj grimce në pafundësi tregohet në figurën 15 me V∞. Distanca ρ e drejtëzës së vektorit të shpejtësisë V∞ nga një drejtëz paralele me të që kalon nëpër qendrën e shpërndarjes quhet distancë e goditjes. Këndi χ i formuar nga asimptota e trajektores së grimcave të shpërndara me vijën qendrore (në të njëjtën kohë boshti polar 54 i sistemit të koordinatave polar) quhet kënd i shpërndarjes. E veçanta e eksperimentit është se distanca e ndikimit, në parim, nuk mund të përcaktohet gjatë eksperimentit. Rezultati i matjeve mund të jetë vetëm numri dN i grimcave, këndet e shpërndarjes së të cilave i përkasin një intervali të caktuar [χ,χ + dχ]. Nuk mund të përcaktohet as numri N i grimcave N që bien për njësi të kohës dhe as dendësia e fluksit të tyre n = (S është zona e prerjes tërthore të rrezes rënëse). Për shkak të kësaj, i ashtuquajturi seksion kryq i shpërndarjes efektive dσ, i përcaktuar me formulën (2.39) dN, konsiderohet si një karakteristikë e shpërndarjes. (2.39) dσ = n Shprehja dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ e përftuar si rezultat i një llogaritjeje të thjeshtë nuk varet nga dendësia e fluksit të grimcave rënëse, por gjithsesi varet nga distanca e goditjes. Nuk është e vështirë të shihet se këndi i shpërndarjes është një funksion monoton (monotonik në rënie) i distancës së goditjes, i cili lejon që seksioni kryq efektiv i shpërndarjes të shprehet si më poshtë: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным ekuacionet lineare rendit të dytë, ose duke përdorur një ndryshore komplekse ndihmëse ω = ω1 + iω2. Duke shumëzuar të dytin e këtyre ekuacioneve me i = −1 dhe duke mbledhur me të parën për vlerën komplekse ω fitojmë ekuacionin dω = iΩω, zgjidhja dt e të cilit ka formën ω = AeiΩt, ku A është konstanta e integrimit. Duke barazuar pjesët reale dhe imagjinare, marrim ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. Projeksioni i vektorit të shpejtësisë këndore në një rrafsh pingul me boshtin e simetrisë së majës ω⊥ = ω12 + ω22 = konst, duke mbetur konstant në madhësi, përshkruan një rreth rreth boshtit x3 me shpejtësi këndore (3.26), i quajtur këndor shpejtësia e precesionit. 3.10. Këndet e Euler-it Teorema e Euler-it: Rrotullimi arbitrar i një trupi të ngurtë rreth një pike fikse mund të realizohet 82 nga tre rrotullime të njëpasnjëshme rreth tre boshteve që kalojnë nëpër pikën fikse. Dëshmi. Le të supozojmë se pozicioni përfundimtar i trupit jepet dhe përcaktohet nga pozicioni i sistemit koordinativ Oξηζ (Figura 25). Konsideroni drejtëzën ON të kryqëzimit të planeve Oxy dhe Oξηζ. Kjo vijë e drejtë quhet vija e nyjeve. Le të zgjedhim një drejtim pozitiv në vijën e nyjeve ON në mënyrë që kalimi më i shkurtër nga boshti Oz në boshtin Oζ të përcaktohet në drejtim pozitiv (në drejtim të kundërt) kur shikohet nga drejtimi pozitiv i linjës së nyjeve. z ζ ηθ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Figura 25 – Këndet e Euler-it Rrotullimi i parë sipas këndit ϕ (këndi ndërmjet drejtimeve pozitive të boshtit Ox dhe linja e nyjeve ON) kryhet rreth boshtit Oz. Pas rrotullimit të parë, boshti Oξ, i cili në momentin fillestar koincidoi me boshtin Ox, do të përkojë me vijën e nyjeve ON, boshti Oη me vijën e drejtë Oy". Bëhet rrotullimi i dytë me kënd θ. rreth vijës së nyjeve. Pas rrotullimit të dytë, rrafshi Oξη do të përkojë me pozicionin e tij përfundimtar. Boshti Oξ do të përkojë ende me vijën e nyjeve ON, boshti Oη do të përputhet me vijën e drejtë 83 Oy". Boshti Oζ. do të përkojë me pozicionin e tij përfundimtar.Rrotullimi i tretë (i fundit) bëhet rreth boshtit Oζ me një kënd ψ. Pas rrotullimit të tretë të boshtit të sistemit në lëvizje koordinatat do të marrin pozicionin e tyre përfundimtar, të paracaktuar. Teorema vërtetohet. sa më sipër është e qartë se këndet ϕ, θ dhe ψ përcaktojnë pozicionin e një trupi që lëviz rreth një pike fikse.Këto kënde quhen: ϕ - këndi i precesionit, θ - këndi i nuancës dhe ψ - këndi i rrotullimit të vet. e kohës i përgjigjet një pozicioni të caktuar të trupit dhe vlerave të caktuara të këndeve të Euler-it. Për rrjedhojë, këndet e Euler-it janë funksione të kohës ϕ = ϕ(t), θ = θ(t) dhe ψ = ψ(t) . Këto varësi funksionale quhen ekuacionet e lëvizjes së një trupi të ngurtë rreth një pike fikse, pasi ato përcaktojnë ligjin e lëvizjes së tij. Për të qenë në gjendje të shkruani çdo vektor në një sistem koordinativ rrotullues, është e nevojshme të shprehni vektorët bazë të një sistemi koordinativ të palëvizshëm i, j, k përmes vektorëve e1, e2, e3 të një sistemi koordinativ rrotullues të ngrirë në një trup të ngurtë. Për këtë qëllim, ne prezantojmë tre vektorë ndihmës. Le ta shënojmë vektorin njësi të linjës së nyjeve me n. Le të ndërtojmë dy trekëndëshe koordinative ndihmëse: n, n1, k dhe n, n2, k, të orientuara si sisteme koordinative djathtas (Figura 22), me vektorin n1 të shtrirë në rrafshin Oxy dhe vektorin n2 në rrafshin Oξη. Le të shprehim vektorët njësi të sistemit të koordinatave në qetësi përmes këtyre vektorëve ndihmës 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sin ϕ + n1 cos ϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. Vektorët ndihmës, nga ana tjetër, mund të shprehen lehtësisht përmes vektorëve të sistemit koordinativ rrotullues n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n 2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n 2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Duke zëvendësuar (3.27) në (3.28), marrim lidhjen përfundimtare midis vektorëve bazë të sistemit të koordinatave stacionare dhe vektorëve bazë të sistemit koordinativ rrotullues i = (e1 cos ψ - e2 sin ψ) cos ϕ - - - [(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 mëkat ϕ sin θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 mëkat ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Këto shndërrime mund të shkruhen në formën e matricës L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23. L31 L32 L33 Matrica e rrotullimit përcaktohet nga elementët L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Pastaj përbërësit e një vektori arbitrar të shpejtësisë këndore të rrotullimit rreth origjinës së përbashkët mund të shprehen përmes komponentëve të shpejtësisë këndore në një sistem koordinativ rrotullues të ngrirë në një trup të ngurtë si më poshtë: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . L33 Detyra. Shkruani transformimet e anasjellta, nga një sistem koordinativ i palëvizshëm në një sistem koordinativ rrotullues. 3.11. Lëvizja në sistemet e referencës jo-inerciale Në paragrafin 1. 4. kemi konsideruar kalimin nga një sistem referimi (K) në tjetrin (K´), duke lëvizur në mënyrë përkthimore në raport me të parin, vektorët e rrezes së një pike arbitrare "M", të matur në këto sisteme referimi (nga këta vëzhgues) janë të lidhur nga relacioni (Figura 4, f. 23) r = r′ + R . Le të llogarisim, si në paragrafin 1.4, derivatin kohor të kësaj shprehje dr dr ′ dR , = + dt dt dt tani duke supozuar se sistemi referencë K´ dhe sistemi koordinativ i lidhur me të rrotullohen me një shpejtësi të caktuar këndore ω(t) . Në rastin e lëvizjes përkthimore, termi i parë në anën e djathtë të shprehjes së fundit ishte shpejtësia e pikës M, e matur nga vëzhguesi K´. Në rastin e lëvizjes rrotulluese, rezulton se vektori r ′ matet nga vëzhguesi K′, dhe derivati ​​i kohës llogaritet nga vëzhguesi K. Për të izoluar shpejtësinë relative të pikës M, përdorim formulën (3.22), e cila përcakton lidhja midis derivatit kohor të vektorit në një kornizë referimi lëvizëse në mënyrë përkthimore me derivatin në një kornizë referuese rrotulluese dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt ku d ′r ′ u′ = dt Derivati ​​i kohës i matur nga vëzhguesi K′. Kështu, duke zgjedhur si pol origjinën e koordinatave të sistemit K´, të përcaktuar nga vektori i rrezes R, marrim teoremën për mbledhjen e shpejtësive për një sistem koordinativ rrotullues u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) ku shënimet korrespondojnë me shënimet e paragrafit 1.4. Llogaritja e derivatit kohor të shprehjes (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ ⎣ dhe duke transformuar ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt marrim lidhjen ndërmjet nxitimeve du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Emërtimet e zakonshme për këto nxitime korrespondojnë me kuptimin e tyre fizik: du Wabs = – nxitimi i pikës M, i matur nga një vëzhgues në qetësi dt – nxitimi absolut; 87 dV ′ – nxitimi i vëzhguesit K′ në raport me vëzhguesin dt K – nxitimi i lëvizshëm; d ′u′ Wrel = – nxitimi i pikës M, i matur nga vëzhguesi K′ – nxitimi relativ; WCor = 2 [ ω, u′] – nxitimi që lind për shkak të lëvizjes së Wper = lëvizja e pikës M në një kornizë referente rrotulluese me një shpejtësi jo paralele me vektorin e shpejtësisë këndore, – Nxitimi i Coriolis; [ ε, r ′] – nxitimi për shkak të pabarazisë së lëvizjes rrotulluese të sistemit referues K′, nuk ka një emër të pranuar përgjithësisht; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – nxitim normal ose centripetal, kuptimi i të cilit bëhet i dukshëm në rastin e veçantë të një disku rrotullues, kur vektori ω është pingul me vektorin r ′. Në të vërtetë, në këtë rast Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – vektori është i drejtuar pingul (normalisht) me shpejtësinë lineare përgjatë rrezja në qendër. 3.12. Test

Ligjet e mekanikës së Galileo-Njutonit

Dinamika bazohet në ligje (aksioma), të cilat janë një përgjithësim i veprimtarisë praktike njerëzore. Nga këto ligje rrjedhin logjikisht parime të ndryshme të mekanikës. Këto ligje u përgjithësuan nga Galileo dhe Njutoni dhe u formuluan në lidhje me një pikë materiale.

Ligji i parë i Njutonit(ligji i inercisë). Një pikë materiale, mbi të cilën nuk veprohet nga forcat ose mbi të cilën veprohet nga një sistem ekuilibri forcash, ka aftësinë të ruajë gjendjen e prehjes ose lëvizjen uniforme dhe lineare.

Si në rastin e parë ashtu edhe në rastin e dytë nxitimi i pikës është zero.Kjo gjendje kinematike e pikës quhet inerciale.

Të gjitha sistemet e referencës në lidhje me të cilat vlen ligji i inercisë quhen inerciale.

Ligji i dytë i Njutonit(ligji bazë i dinamikës). Nxitimi i një pike materiale në raport me kornizën inerciale të referencës është proporcional me forcën e aplikuar në pikë dhe drejtohet përgjatë kësaj force (Fig. 1).

Ky ligj mund të shprehet në formë

(1)

Ku m një koeficient pozitiv që karakterizon vetitë inerciale të një pike materiale quhet masa e pikës. Masa në mekanikën klasike konsiderohet një sasi konstante. Njësia e masës SI është kilogrami (kg); – nxitimi i pikës; – forca e aplikuar në një pikë.

Oriz. 1

Oriz. 2

Masa zakonisht përcaktohet nga forca e gravitetit dhe nxitimi për shkak të gravitetit në sipërfaqen e Tokës. Sipas (1), kemi

Ligji i tretë i Njutonit(ligji për barazinë e forcave të veprimit dhe reagimit). Forcat e bashkëveprimit ndërmjet dy pikave materiale janë të barabarta në madhësi dhe të kundërta në drejtim (Fig. 2), d.m.th.

Ligji i katërt(ligji i pavarësisë së veprimit të forcave). Me veprimin e njëkohshëm të disa forcave, një pikë materiale fiton një nxitim të barabartë me shumën gjeometrike të atyre nxitimeve që do të fitonte nën veprimin e secilës prej këtyre forcave veç e veç. Kështu, forcat e aplikuara në një pikë materiale veprojnë mbi të në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra.

Le të zbatohet një sistem forcash në një pikë materiale atëherë, sipas ligjit të dytë të Njutonit, nxitimi nga veprimi i secilës forcë përcaktohet nga shprehja (1):

Nxitimi me veprim të njëkohshëm të të gjitha forcave

(3)

Duke përmbledhur (2) dhe duke përdorur (3), marrim ekuacionin bazë për dinamikën e një pike:

Por pika fiton të njëjtin nxitim nën ndikimin e një force

Që nga sistemi i forcave dhe forca i jep të njëjtin nxitim pikës, atëherë ky sistem forcash dhe forca janë ekuivalente.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike materiale

3.1.2.1. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike të lirë

Oriz. 3

Lëreni një pikë të lirë materiale të veprohet nga një sistem forcash që ka një rezultante, shih Fig. 3. Më pas, sipas ligjit bazë të dinamikës,

(4)

Nxitimi i një pike mund të paraqitet si , prandaj barazia (4) merr formën:

. (5)

Ekuacioni (5) është një ekuacion diferencial vektorial i lëvizjes së një pike materiale. Nëse e projektojmë në boshtet e një sistemi koordinativ kartezian, do të marrim ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike materiale në projeksione mbi këto boshte:

Kur një pikë lëviz në një rrafsh Oksi sistemi i ekuacioneve (6) merr formën:

Kur një pikë lëviz në vijë të drejtë përgjatë një boshti kau marrim një ekuacion diferencial të lëvizjes:

Duke pasur barazinë e projektuar (5) në boshtet e koordinatave natyrore, marrim ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike në projeksione në boshtet e koordinatave natyrore:

1.2.2. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike jo të lirë

Bazuar në parimin e çlirimit nga lidhjet, një pikë jo e lirë mund të shndërrohet në një pikë të lirë duke zëvendësuar veprimin e lidhjeve me reagimet e tyre. Le të jetë rezultante e reaksioneve të lidhjes, atëherë ekuacioni bazë i dinamikës së pikës do të marrë formën:

(7)

Pasi kemi projektuar (7) në boshtet e sistemit të koordinatave karteziane, marrim ekuacione diferenciale të lëvizjes së një pike jo të lirë në projeksione në këto boshte:

Për të zgjidhur problemet, është e nevojshme të shtohen ekuacione kufizimesh në këto ekuacione.

Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së një pike në projeksione në boshtet e koordinatave natyrore:

1.2.3. Ekuacionet diferenciale për lëvizjen relative të një pike

Ekuacioni bazë i dinamikës së pikës e vlefshme për një kornizë referimi inerciale ku nxitimi është absolut. Sipas teoremës së Koriolisit, nxitimi absolut

ku është nxitimi i lëvizjes portative; – nxitimi relativ i pikës në raport me sistemin e koordinatave lëvizëse; – Nxitimi i Coriolis.

Duke zëvendësuar shprehjen për nxitimin absolut në ekuacionin bazë të dinamikës së një pike, marrim

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: – forca e inercisë e lëvizshme; – Forca inerciale Coriolis.

Atëherë ekuacioni (9) merr formën

(10)

Barazia që rezulton shpreh teoremën dinamike të Coriolis.

Teorema e Koriolisit. Lëvizja relative e një pike materiale mund të konsiderohet absolute nëse forcat e inercisë së transferimit dhe Coriolis u shtohen forcave që veprojnë në pikë.

Le të shqyrtojmë rastin e ekuilibrit relativ të një pike Pastaj nxitimi i Coriolis Duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionin (10), marrim kushtin për ekuilibrin relativ të një pike:

Në mënyrë që ligji bazë i dinamikës që lëvizja relative e një pike të përputhet me ligjin bazë të lëvizjes së saj absolute, duhet të plotësohen kushtet e mëposhtme:

Ky kusht plotësohet nëse sistemi i koordinatave lëvizëse lëviz në mënyrë përkthimore drejt dhe madje Në lidhje me këto sisteme referimi, si dhe në lidhje me ato stacionare, kur do të përmbushet ligji i inercisë. Prandaj, të gjitha sistemet e referencës që lëvizin në mënyrë përkthimore, drejtvizore dhe uniforme, si dhe ato në qetësi, janë inerciale.

Meqenëse ligjet e dinamikës janë të njëjta në të gjitha sistemet e referencës inerciale, atëherë në të gjitha këto sisteme dukuritë mekanike vazhdojnë saktësisht në të njëjtën mënyrë nëse e njëjta ngjarje merret si pikë referimi. Kjo ndjek parimin e relativitetit të mekanikës klasike.

Parimi i relativitetit të mekanikës klasike. Asnjë eksperiment mekanik nuk mund të zbulojë lëvizjen inerciale të sistemit të referencës, duke marrë pjesë me të në këtë lëvizje.

Dridhjet e lira të një pike materiale. Efekti i forcës konstante në lëkundjen e lirë

Dridhje të lira(ose tuajën luhatjet) - këto janë luhatje sistemi oscilues, i realizuar vetëm për shkak të energjisë së dhënë fillimisht (potenciale ose kinetike) në mungesë të ndikimeve të jashtme

Ekuacioni diferencial i dridhjeve të lira në mungesë të rezistencës:

Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni ka formën ku

Në rastin kur forca e pozicionit që vepron në një pikë materiale tenton ta kthejë atë në pozicionin e saj origjinal, lëvizja e pikës do të jetë në natyrë osciluese. Kjo forcë zakonisht quhet restauruese.

Nën veprimin e një force rivendosëse, një pikë materiale lëviz sipas një ligji sinusoidal, d.m.th. lëvizje osciluese harmonike.

Një forcë konstante P nuk e ndryshon natyrën e lëkundjeve të bëra nga një pikë nën ndikimin e një force rivendosëse F, por vetëm zhvendos qendrën e këtyre lëkundjeve drejt veprimit të forcës P me sasinë e devijimit statik.

Lëvizja e një pike materiale në kushtet e rezonancës

Në rastin kur, d.m.th. kur frekuenca e forcës shqetësuese është e barabartë me frekuencën e lëkundjeve natyrore, ndodh i ashtuquajturi fenomen i rezonancës.

Rezonanca është një rritje e mprehtë e amplitudës së lëkundjeve të detyruara. Ndodh kur frekuenca e lëkundjeve natyrore përkon me frekuencën e forcës lëvizëse

Gama e lëkundjeve të detyruara gjatë rezonancës do të rritet pafundësisht me kalimin e kohës

Lëkundjet e detyruara të një pike materiale me rezistencë proporcionale me shpejtësinë.

Lëvizja rrotulluese

Në këtë rast . Pastaj

– energjia kinetike e një trupi gjatë lëvizjes rrotulluese është e barabartë me gjysmën e produktit të momentit të inercisë së trupit në raport me boshtin e rrotullimit dhe katrorin e shpejtësisë këndore të tij.

Teorema e Koenigut

Energjia kinetike e një sistemi mekanik është energjia e lëvizjes së qendrës së masës plus energjia e lëvizjes në lidhje me qendrën e masës:

T=T0+Tr(\shfaqja e stilit (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Ku T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt është energjia totale kinetike e sistemit, (\displaystyle T_(0))T0 është energjia kinetike e lëvizjes së qendrës së masës, (\displaystyle T_(r))Tr është energjia kinetike relative e sistemit.

Me fjalë të tjera, energjia totale kinetike e një trupi ose sistemi trupash në lëvizje komplekse është e barabartë me shumën e energjisë së sistemit në lëvizjen përkthimore dhe energjinë e sistemit në lëvizjen e tij sferike në raport me qendrën e masës.

Një formulim më i saktë: energjia totale kinetike e të gjithë sistemit është e barabartë me shumën e energjisë kinetike të të gjithë masës së sistemit, e përqendruar në qendrën e masës dhe që lëviz me shpejtësinë e qendrës së masës, plus kinetike energjia e të njëjtit sistem në sistemin e tij relativ në raport me qendrën e masës

Figura 1 - Rënia e lirë e një trupi.

Meqenëse ngarkesa është e vogël, rezistenca e ajrit është mjaft e vogël dhe energjia për ta kapërcyer është e vogël dhe mund të neglizhohet. Shpejtësia e trupit nuk është e lartë dhe në një distancë të shkurtër nuk arrin momentin kur balancohet nga fërkimi me ajrin dhe nxitimi ndalon.

Në momentin e përplasjes me tokën, energjia kinetike është maksimale. Meqenëse trupi ka shpejtësinë e tij maksimale. Dhe energjia potenciale është zero, pasi trupi ka arritur në sipërfaqen e tokës dhe lartësia është zero. Kjo do të thotë, ajo që ndodh është se energjia maksimale potenciale në pikën e sipërme, ndërsa lëviz, kthehet në energji kinetike, e cila nga ana tjetër arrin një maksimum në pikën e poshtme. Por shuma e të gjitha energjive në sistem gjatë lëvizjes mbetet konstante. Ndërsa energjia potenciale zvogëlohet, energjia kinetike rritet.

Lidhjet ideale

Kur një pikë lëviz përgjatë një sipërfaqeje ose përgjatë një kurbë, reagimi i lidhjes mund të zbërthehet në komponentë normalë dhe tangjencialë. Komponenti tangjencial i reaksionit paraqet forcën e fërkimit. Sa më e lëmuar të jetë sipërfaqja ose kurba, aq më i vogël do të jetë komponenti tangjencial i reaksionit. Nëse sipërfaqja ose kurba është plotësisht e lëmuar, atëherë reagimi është normal në sipërfaqe

Lidhjet ideale quhen lidhje pa fërkime, reaksionet e të cilave nuk kanë përbërës tangjencialë

Parimi i çlirimit nga lidhjet, sipas të cilit një trup jo i lirë mund të konsiderohet i lirë nëse i hedhim lidhjet që veprojnë mbi të dhe i zëvendësojmë me forca - reaksione të lidhjeve.

Reagimi i komunikimit Forca me të cilën një lidhje e caktuar vepron në trup, duke penguar një ose një tjetër lëvizje të tij, quhet reagimi i lidhjes. Reagimi i komunikimit drejtuar në drejtim të kundërt me vendin ku lidhja pengon lëvizjen e trupit.

Vulë e fortë

Gjetja e reagimit të ngurtësisë së ngurtë zbret në përcaktimin e komponentëve X A Dhe Y A duke parandaluar lëvizjen lineare të rrezes në rrafshin e veprimit të forcave dhe vlerën algjebrike të momentit m A, duke parandaluar rrotullimin e rrezes nën ndikimin e forcave të aplikuara në të.

Fig.4

Zgjidhje. Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur metoda të njohura statike duke kompozuar ekuacione ekuilibri. Por në këtë rast, së pari do të duhet të gjeni forcat në shufra. Parimi i lëvizjeve të mundshme na lejon të gjejmë forcë F më e thjeshtë, duke përdorur ekuacionin e përgjithshëm të statikës.

Ne tregojmë forca aktive dhe. Ne i japim sistemit lëvizje të mundshme duke e kthyer shufrën SHA në një kënd (Fig. 66). Meqenëse gryka do të bëjë një lëvizje përkthimore, lëvizjet e të gjitha pikave të saj do të jenë të njëjta:

Ku a=AO=BD.

Krijojmë një ekuacion të punës: . Këndi .

Prandaj marrim. Nga këtu.

Ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës.

Sipas parimit të d'Alembert, një sistem material që lëviz nën ndikimin e forcave të caktuara mund të konsiderohet të jetë në ekuilibër nëse forcat e tyre inerciale zbatohen në të gjitha pikat e sistemit. Kjo do të thotë që ju mund të përdorni parimin e lëvizjeve të mundshme.

Shuma e punës së forcave të inercisë së pikave në lëvizjet e tyre të mundshme do t'i shtohet ekuacionit të punës (1):

Ose sipas parimit të shpejtësive të mundshme (2):

Këto ekuacione quhen ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës . Kjo ju lejon të zgjidhni një klasë të madhe problemesh që përfshijnë studimin e lëvizjes së sistemeve materiale mjaft komplekse.

Ekuacionet (3) dhe (4) tregojnë se në çdo moment të caktuar kohor shuma e punëve elementare të forcave aktive dhe forcave inerciale në çdo zhvendosje virtuale është e barabartë me zero, me kusht që sistemit të vendosen lidhje ideale dhe frenuese.

Vlen të theksohet një tjetër avantazh i rëndësishëm i kësaj metode, ekuacioni i përgjithshëm i dinamikës, - reaksionet e lidhjeve (ideale) përjashtohen gjatë studimit të lëvizjes së sistemit.

Ndonjëherë ky ekuacion mund të përdoret për të studiuar lëvizjen e sistemeve mekanike dhe në rastet kur jo të gjitha lidhjet janë ideale, për shembull, kur ka lidhje me fërkim. Për ta bërë këtë, është e nevojshme t'i shtohen forcave aktive ato përbërës të reaksioneve që shkaktohen nga prania e forcave të fërkimit.

Fig.11

Ekuilibri konsiderohet i qëndrueshëm nëse trupit në këtë pozicion i jepet një shpejtësi e ulët ose zhvendoset në një distancë të vogël dhe këto devijime nuk rriten në të ardhmen.

Mund të vërtetohet (teorema Lagranzh-Dirichlet) se nëse në pozicionin e ekuilibrit të një sistemi konservator energjia e tij potenciale ka një minimum, atëherë ky pozicion ekuilibri është i qëndrueshëm.

Për një sistem konservator me një shkallë lirie, kushti për energjinë minimale potenciale, dhe për rrjedhojë qëndrueshmërinë e pozicionit të ekuilibrit, përcaktohet nga derivati ​​i dytë, vlera e tij në pozicionin e ekuilibrit,

Ligjet e mekanikës klasike. Ekuacioni diferencial i lëvizjes së një pike materiale.

Ekzistojnë sisteme të tilla referimi, të quajtura inerciale, në lidhje me të cilat pikat materiale, kur nuk veprojnë forca mbi to (ose forca të balancuara reciproke mbi to), janë në gjendje pushimi ose lëvizje lineare uniforme.

Në një kornizë referimi inerciale, nxitimi i marrë nga një pikë materiale me një masë konstante është drejtpërdrejt proporcionale me rezultanten e të gjitha forcave të aplikuara në të dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me masën e saj.

Pikat materiale ndërveprojnë me njëra-tjetrën nga forca të së njëjtës natyrë, të drejtuara përgjatë vijës së drejtë që lidh këto pika, të barabarta në madhësi dhe të kundërta në drejtim.

ΣX = m(d 2 x/dt 2); ΣY = m(d 2 y/dt 2),

ku ΣX dhe ΣY janë shuma algjebrike të projeksioneve të forcave që veprojnë në një pikë në pikën përkatëse boshtet koordinative; x dhe y janë koordinatat aktuale të pikës.

Duke përdorur varësitë diferenciale të marra, zgjidhen dy probleme kryesore të dinamikës:

• në bazë të lëvizjes së dhënë të një pike përcaktohen forcat që veprojnë në të;
• Duke ditur forcat që veprojnë në një pikë, ata përcaktojnë lëvizjen e saj.