Ndryshore dydimensionale e rastësishme. Variabla dydimensionale diskrete të rastit Gjeni shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Lëreni një dy-dimensionale vlerë e rastësishme$(X,Y)$.

Përkufizimi 1

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale $(X,Y)$ është bashkësia e çifteve të mundshme të numrave $(x_i,\ y_j)$ (ku $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) dhe të tyre probabilitetet $p_(ij)$ .

Më shpesh, ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale shkruhet në formën e një tabele (Tabela 1).

Figura 1. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale.

Le të kujtojmë tani teorema mbi mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura.

Teorema 1

Probabiliteti i shumës së një numri të kufizuar ngjarjesh të pavarura $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ llogaritet me formulën:

Duke përdorur këtë formulë, ju mund të merrni ligjet e shpërndarjes për çdo komponent të një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale, që është:

Nga kjo do të rrjedhë se shuma e të gjitha probabiliteteve të një sistemi dydimensional ka formën e mëposhtme:

Le të shqyrtojmë në detaje (hap pas hapi) problemin që lidhet me konceptin e ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale.

Shembulli 1

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale jepet nga tabela e mëposhtme:

Figura 2.

Gjeni ligjet e shpërndarjes së ndryshoreve të rastësishme $X,\ Y$, $X+Y$ dhe kontrolloni në secilin rast që shuma totale e probabiliteteve është e barabartë me një.

Le të gjejmë fillimisht shpërndarjen e ndryshores së rastësishme $X$. Ndryshorja e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Për të gjetur shpërndarjen do të përdorim teoremën 1.

Le të gjejmë së pari shumën e probabiliteteve $x_1$ si më poshtë:

Figura 3.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë $P\left(x_2\right)$ dhe $P\left(x_3\djathtas)$:

\ \

Figura 4.

Le të gjejmë tani shpërndarjen e ndryshores së rastësishme $Y$. Ndryshorja e rastësishme $Y$ mund të marrë vlerat $x_1=1, $ $x_2=3$, $x_3=4$. Për të gjetur shpërndarjen do të përdorim teoremën 1.

Le të gjejmë së pari shumën e probabiliteteve $y_1$ si më poshtë:

Figura 5.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë $P\left(y_2\djathtas)$ dhe $P\left(y_3\djathtas)$:

\ \

Kjo do të thotë se ligji i shpërndarjes së vlerës $X$ ka formën e mëposhtme:

Figura 6.

Le të kontrollojmë barazinë e shumës totale të probabiliteteve:

Mbetet për të gjetur ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X+Y$.

Për lehtësi, le ta shënojmë me $Z$: $Z=X+Y$.

Së pari, le të gjejmë se çfarë vlerash mund të marrë kjo sasi. Për ta bërë këtë, ne do të shtojmë vlerat e $X$ dhe $Y$ në çifte. Ne marrim vlerat e mëposhtme: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Tani, duke hedhur poshtë vlerat që përputhen, gjejmë se ndryshorja e rastësishme $X+Y$ mund të marrë vlerat $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $

Le të gjejmë fillimisht $P(z_1)$. Meqenëse vlera e $z_1$ është një, ajo gjendet si më poshtë:

Figura 7.

Të gjitha probabilitetet përveç $P(z_4)$ gjenden në mënyrë të ngjashme:

Le të gjejmë tani $P(z_4)$ si më poshtë:

Figura 8.

Kjo do të thotë se ligji i shpërndarjes së vlerës $Z$ ka formën e mëposhtme:

Figura 9.

Le të kontrollojmë barazinë e shumës totale të probabiliteteve:

dy dimensionale shpërndarje diskrete e rastit

Shpesh rezultati i një eksperimenti përshkruhet nga disa ndryshore të rastësishme: . Për shembull, moti në një vend të caktuar në një kohë të caktuar të ditës mund të karakterizohet nga variablat e mëposhtëm të rastësishëm: X 1 - temperatura, X 2 - presioni, X 3 - lagështia e ajrit, X 4 - shpejtësia e erës.

Në këtë rast, flasim për një ndryshore të rastësishme shumëdimensionale ose për një sistem variablash të rastësishëm.

Konsideroni një ndryshore të rastësishme dydimensionale, vlerat e mundshme të së cilës janë çifte numrash. Gjeometrikisht, një ndryshore e rastësishme dydimensionale mund të interpretohet si një pikë e rastësishme në një plan.

Nëse komponentët X Dhe Y janë variabla të rastësishme diskrete, atëherë është një ndryshore e rastësishme diskrete dy-dimensionale, dhe nëse X Dhe Y janë të vazhdueshme, atëherë është një ndryshore e rastësishme dydimensionale e vazhdueshme.

Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është korrespondenca midis vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dydimensionale mund të specifikohet në formën e një tabele me një hyrje të dyfishtë (shih tabelën 6.1), ku është probabiliteti që komponenti X mori kuptimin x i, dhe komponentin Y- kuptimi y j .

Tabela 6.1.1.

	y 1	y 2	y j	y m
x 1	fq 11	fq 12	fq 1j	fq 1 m
x 2	fq 21	fq 22	fq 2j	fq 2 m

x i	fq i1	fq i2	fq ij	fq une jam

x n	fq n1	fq n2	fq nj	fq nm

Meqenëse ngjarjet përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift, shuma e probabiliteteve është e barabartë me 1, d.m.th.

Nga tabela 6.1 mund të gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve njëdimensionale X Dhe Y.

Shembull 6.1.1 . Gjeni ligjet e shpërndarjes së komponentëve X Dhe Y, nëse shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale jepet në formën e tabelës 6.1.2.

Tabela 6.1.2.

Nëse rregullojmë vlerën e njërit prej argumenteve, për shembull, atëherë shpërndarja rezultuese e vlerës X quhet shpërndarje e kushtëzuar. Shpërndarja e kushtëzuar përcaktohet në mënyrë të ngjashme Y.

Shembull 6.1.2 . Sipas shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale të dhënë në tabelë. 6.1.2, gjeni: a) ligjin e shpërndarjes së kushtëzuar të përbërësit X duke pasur parasysh se; b) ligji i shpërndarjes me kusht Y me kusht që.

Zgjidhje. Probabilitetet e kushtëzuara të komponentëve X Dhe Y llogaritur duke përdorur formula

Ligji i shpërndarjes me kusht X me kusht që të ketë formën

Kontrolli: .

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale mund të specifikohet në formë funksionet e shpërndarjes, i cili përcakton për çdo çift numrash probabilitetin që X do të marrë një vlerë më të vogël se X, dhe ku Y do të marrë një vlerë më të vogël se y:

Gjeometrikisht, funksioni nënkupton probabilitetin që një pikë e rastësishme të bjerë në një katror të pafund me kulmin e saj në pikë (Fig. 6.1.1).

Le të shënojmë vetitë.

1. Gama e vlerave të funksionit është , d.m.th. .
2. Funksioni - një funksion jo-zvogëlues për çdo argument.
3. Ekzistojnë marrëdhënie kufizuese:

Kur funksioni i shpërndarjes së sistemit bëhet i barabartë me funksionin e shpërndarjes së komponentit X, d.m.th. .

Po kështu,.

Duke e ditur këtë, ju mund të gjeni probabilitetin që një pikë e rastësishme të bjerë brenda drejtkëndëshit ABCD.

Domethënë,

Shembulli 6.1.3. Një ndryshore e rastësishme diskrete dydimensionale specifikohet nga një tabelë shpërndarjeje

Gjeni funksionin e shpërndarjes.

Zgjidhje. Vlera në rastin e komponentëve diskretë X Dhe Y gjendet duke mbledhur të gjitha probabilitetet me indekse i Dhe j, per cilin, . Pastaj, nëse dhe, atëherë (ngjarjet dhe janë të pamundura). Në mënyrë të ngjashme marrim:

nëse dhe, atëherë;

nëse dhe, atëherë.

Le t'i paraqesim rezultatet e marra në formën e një tabele (6.1.3) të vlerave:

Për dydimensionale të vazhdueshme ndryshore e rastësishme, prezantohet koncepti i densitetit të probabilitetit

Dendësia e probabilitetit gjeometrik është një sipërfaqe e shpërndarjes në hapësirë

Dendësia dydimensionale e probabilitetit ka këto veti:

3. Funksioni i shpërndarjes mund të shprehet përmes formulës

4. Probabiliteti që një variabël e rastësishme e vazhdueshme të bjerë në rajon është e barabartë me

5. Në përputhje me vetinë (4) të funksionit, vlejnë formulat e mëposhtme:

Shembulli 6.1.4.Është dhënë funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Përkufizimi. Nëse jepen dy ndryshore të rastësishme në të njëjtën hapësirë të ngjarjeve elementare X Dhe Y, pastaj thonë se është dhënë ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) .

Shembull. Makina stampon pllaka çeliku. Gjatësia e kontrolluar X dhe gjerësia Y. − SV dydimensionale.

NE X Dhe Y kanë funksionet e tyre të shpërndarjes dhe karakteristika të tjera.

Përkufizimi. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale (X,Y) i quajtur funksion.

Përkufizimi. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale diskrete (X, Y) i quajtur tabela

			…


…

Për një SV diskrete dydimensionale.

Vetitë :

2) nëse , atëherë ; nese atehere ;

4) − funksioni i shpërndarjes X;

− funksioni i shpërndarjes Y.

Probabiliteti i rënies së vlerave SV dy-dimensionale në një drejtkëndësh:

Përkufizimi. Ndryshore dydimensionale e rastësishme (X,Y) thirrur të vazhdueshme , nëse funksioni i shpërndarjes së tij është i vazhdueshëm dhe ka kudo (përveç, ndoshta, një numri të kufizuar kthesash) një derivat të pjesshëm të përzier të vazhdueshëm të rendit të dytë .

Përkufizimi. Dendësia e shpërndarjes së përbashkët të probabilitetit të një SV të vazhdueshme dydimensionale i quajtur funksion.

Pastaj padyshim .

Shembulli 1. Një SV e vazhdueshme dydimensionale specifikohet nga funksioni i shpërndarjes

Atëherë dendësia e shpërndarjes ka formën

Shembulli 2. Një SV e vazhdueshme dydimensionale specifikohet nga dendësia e shpërndarjes

Le të gjejmë funksionin e tij të shpërndarjes:

Vetitë :

3) për çdo zonë.

Le të dihet dendësia e shpërndarjes së përbashkët. Pastaj dendësia e shpërndarjes së secilit prej përbërësve të SV-së dy-dimensionale gjendet si më poshtë:

Shembulli 2 (vazhdim).

Disa autorë e quajnë densitetin e shpërndarjes së komponentëve SW dy-dimensionale margjinale dendësia e shpërndarjes së probabilitetit .

Ligjet e kushtëzuara të shpërndarjes së përbërësve të një sistemi SV diskrete.

Probabiliteti i kushtëzuar, ku .

Ligji i shpërndarjes së kushtëzuar të komponentit X në:

X			…
R			…

Në mënyrë të ngjashme për , ku .

Le të krijojmë një ligj të shpërndarjes së kushtëzuar X në Y= 2.

Pastaj ligji i shpërndarjes me kusht

X	-1
R

Përkufizimi. Dendësia e shpërndarjes së kushtëzuar e komponentit X në një vlerë të caktuar Y=y thirrur .

I ngjashëm: .

Përkufizimi. E kushtëzuar matematikore duke pritur për SV Y diskrete at quhet , ku − shih më sipër.

Prandaj, .

Për të vazhdueshme NE Y .

Natyrisht, ky është një funksion i argumentit X. Ky funksion quhet Funksioni i regresionit të Y në X .

Përcaktuar në mënyrë të ngjashme Funksioni i regresionit X në Y : .

Teorema 5. (Për funksionin e shpërndarjes së SV-ve të pavarura)

NE X Dhe Y

Pasoja. SV e vazhdueshme X Dhe Y janë të pavarur nëse dhe vetëm nëse .

Në shembullin 1 në. Prandaj, SV X Dhe Y të pavarur.

Karakteristikat numerike të përbërësve të një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale

Për SV diskrete:

Për CB të vazhdueshme: .

Dispersioni dhe devijimi standard për të gjitha SV-të përcaktohen duke përdorur të njëjtat formula të njohura për ne:

Përkufizimi. Pika quhet qendra e dispersionit SV dydimensionale.

Përkufizimi. Kovarianca (momenti i korrelacionit) SV quhet

Për SV diskrete: .

Për CB të vazhdueshme: .

Formula për llogaritjen: .

Për SV-të e pavarura.

Shqetësimi i karakteristikës është dimensioni i saj (katrori i njësisë matëse të përbërësve). Sasia e mëposhtme është pa këtë pengesë.

Përkufizimi. Koeficienti i korrelacionit NE X Dhe Y thirrur

Për SV-të e pavarura.

Për çdo palë SV . Dihet se nëse dhe vetëm nëse, kur, ku.

Përkufizimi. NE X Dhe Y quhen të pakorreluara , Nëse .

Marrëdhënia midis korrelacionit dhe varësisë SV:

− nëse SV X Dhe Y të ndërlidhura, d.m.th. , atëherë ata janë të varur; e kundërta nuk është e vërtetë;

− nëse SV X Dhe Y atëherë janë të pavarur ; e kundërta nuk është e vërtetë.

Shënim 1. Nëse NE X Dhe Y shpërndahet sipas ligjit normal dhe , atëherë ata janë të pavarur.

Shënim 2. Rëndësia praktike si masë varësie justifikohet vetëm kur shpërndarja e përbashkët e çiftit është normale ose afërsisht normale. Për SV arbitrare X Dhe Y mund të arrish në një përfundim të gabuar, d.m.th. Ndoshta madje edhe kur X Dhe Y janë të lidhura me varësi të rreptë funksionale.

Shënim 3. NË statistika matematikore korrelacioni është një varësi probabiliste (statistikore) midis sasive që, në përgjithësi, nuk ka një natyrë rreptësisht funksionale. Varësia e korrelacionit ndodh kur njëra nga madhësitë varet jo vetëm nga e dyta, por edhe nga një sërë faktorësh të rastësishëm, ose kur midis kushteve nga të cilat varet njëra ose tjetra sasi, ekzistojnë kushte të përbashkëta për të dyja.

Shembulli 4. Për SV X Dhe Y nga shembulli 3 gjeni .

Zgjidhje.

Shembulli 5.Është dhënë dendësia e shpërndarjes së përbashkët të SV dydimensionale.

Një grup variablash të rastësishëm X 1 ,X 2 ,...,X f, të përcaktuara në format e hapësirës së probabilitetit (). P- ndryshore e rastit dimensionale ( X 1 ,X 2 ,...,X f). Nëse procesi ekonomik përshkruar duke përdorur dy ndryshore të rastësishme X 1 dhe X 2, atëherë përcaktohet një ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X 1 ,X 2) ose ( X,Y).

Funksioni i shpërndarjes sistemet e dy variablave të rastit ( X,Y), konsiderohet si funksion i variablave quhet probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje :

Vlerat e funksionit të shpërndarjes plotësojnë pabarazinë

ME pikë gjeometrike pamja e funksionit të shpërndarjes F(x,y) përcakton probabilitetin që një pikë e rastësishme ( X,Y) do të bjerë në një kuadrant të pafund me kulmin në pikën ( X,në), që nga pika ( X,Y) do të jetë poshtë dhe në të majtë të kulmit të treguar (Fig. 9.1).

X,Y) në një gjysmë-shirit (Fig. 9.2) ose në një gjysmë-shirit (Fig. 9.3) shprehet me formulat:

përkatësisht. Probabiliteti i goditjes së vlerave X,Y) në një drejtkëndësh (Fig. 9.4) mund të gjendet duke përdorur formulën:

Fig.9.2 Fig.9.3 Fig.9.4

Diskret quhet një madhësi dydimensionale, përbërësit e së cilës janë diskrete.

Ligji i shpërndarjes ndryshore e rastit diskrete dydimensionale ( X,Y) është grupi i të gjitha vlerave të mundshme ( x i, y j), , variabla diskrete të rastësishme X Dhe Y dhe probabilitetet përkatëse të tyre , duke karakterizuar probabilitetin që komponenti X do të marrë vlerën x i dhe në të njëjtën kohë një komponent Y do të marrë vlerën y j, dhe

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dy-dimensionale ( X,Y) jepen në formë tabele. 9.1.

Tabela 9.1

Ω X Ω Y	x 1	x 2	…	x i	…
y 1	fq(x 1 ,y 1)	fq(x 2 ,y 1)	…	p( x i,y 1)	…
y 2	fq(x 1 ,y 2)	fq(x 2 ,y 2)	…	p( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y i	fq(x 1 ,y i)	fq(x 2 ,y i)	…	p( x i,y i)	…
…	…	…	…	…	…

E vazhdueshme quhet një ndryshore e rastësishme dydimensionale, përbërësit e së cilës janë të vazhdueshëm. Funksioni R(X,në), e barabartë me kufirin raporti i probabilitetit për të goditur një ndryshore të rastësishme dy-dimensionale ( X,Y) në një drejtkëndësh me brinjë dhe në sipërfaqen e këtij drejtkëndëshi, kur të dyja anët e drejtkëndëshit priren në zero, quhet Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit:

Duke ditur densitetin e shpërndarjes, mund të gjeni funksionin e shpërndarjes duke përdorur formulën:

Në të gjitha pikat ku ka një derivat të përzier të rendit të dytë të funksionit të shpërndarjes , dendësia e shpërndarjes së probabilitetit mund të gjendet duke përdorur formulën:

Probabiliteti për të goditur një pikë të rastësishme ( X,në) në zonë D përcaktohet nga barazia:

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme X mori kuptimin X<х me kusht që ndryshorja e rastit Y mori një vlerë fikse Y=y, llogaritet me formulën:

Po kështu,

Formulat për llogaritjen e densitetit të shpërndarjes së probabilitetit të kushtëzuar të komponentëve X Dhe Y :

Grup probabilitetesh të kushtëzuara fq(x 1 |y i), fq(x 2 |y i), …, fq(x i |y i), … përmbushja e kushtit Y=y i, quhet shpërndarja e kushtëzuar e komponentit X në Y=y iX,Y), Ku

Në mënyrë të ngjashme, shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=x i ndryshore e rastësishme diskrete dy-dimensionale ( X,Y) është një grup probabilitetesh të kushtëzuara që plotësojnë kushtin X=x i, Ku

Momenti fillestar i porosisëk+s ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y dhe , d.m.th. .

Nëse X Dhe Y - variabla të rastësishme diskrete, atëherë

Nëse X Dhe Y - variabla të rastësishme të vazhdueshme, atëherë

Momenti qendror urdhëroj k+s ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y) quhet pritshmëri matematikore e produkteve Dhe , ato.

Nëse sasitë përbërëse janë diskrete, atëherë

Nëse sasitë përbërëse janë të vazhdueshme, atëherë

Ku R(X,y) – dendësia e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale ( X,Y).

Pritshmëria matematikore e kushtëzuarY(X) në X=x(në Y=y) quhet shprehje e formës:

– për një ndryshore të rastësishme diskrete Y(X);

– për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme Y(X).

Pritjet matematikore të komponentëve X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale llogariten duke përdorur formulat:

Momenti i korrelacionit variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y përfshirë në variablin e rastësishëm dydimensional ( X,Y), quhet pritshmëria matematikore e produkteve të devijimeve të këtyre sasive:

Momenti i korrelacionit të dy variablave të rastësishëm të pavarur XX,Y), është e barabartë me zero.

Koeficienti i korrelacionit variablat e rastësishëm X dhe Y të përfshira në variablin e rastësishëm dydimensional ( X,Y), quhet raporti i momentit të korrelacionit me produktin e devijimeve standarde të këtyre sasive:

Koeficienti i korrelacionit karakterizon shkallën (afërsinë) e korrelacionit linear ndërmjet X Dhe Y.Ndryshoret e rastësishme për të cilat , quhen të pakorreluara.

Koeficienti i korrelacionit plotëson vetitë e mëposhtme:

1. Koeficienti i korrelacionit nuk varet nga njësitë e matjes së variablave të rastit.

2. Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon një:

3. Nëse atëherë ndërmjet komponentëve X Dhe Y ndryshore e rastit ( X, Y) ekziston një marrëdhënie funksionale lineare:

4. Nëse atëherë komponentët X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale janë të pakorreluara.

5. Nëse atëherë komponentët X Dhe Y variablat e rastësishëm dydimensionale janë të varura.

Ekuacionet M(X|Y=y)=φ( në) Dhe M(Y|X=x)=ψ( x) quhen ekuacione regresioni, kurse linjat e përcaktuara prej tyre quhen vija regresioni.

Detyrat

9.1. Ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete (X, Y) jepet nga ligji i shpërndarjes:

Tabela 9.2

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Gjeni: a) ligjet e shpërndarjes së komponentëve X Dhe Y;

b) ligji i kushtëzuar i shpërndarjes së vlerës Y në X =1;

c) funksionin e shpërndarjes.

Zbuloni nëse sasitë janë të pavarura X Dhe Y. Llogarit probabilitetin dhe karakteristikat bazë numerike M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

Zgjidhje. a) Variabla të rastësishme X dhe Y përcaktohen në një grup të përbërë nga rezultate elementare, i cili ka formën:

Ngjarja ( X= 1) korrespondon me një grup rezultatesh, komponenti i parë i të cilave është i barabartë me 1: (1;0), (1;1), (1;2). Këto rezultate janë të papajtueshme. Probabiliteti që X do të marrë vlerën x i, sipas aksiomës 3 të Kolmogorov, është e barabartë me:

Po kështu

Prandaj, shpërndarja margjinale e komponentit X, mund të specifikohet në formën e një tabele. 9.3.

Tabela 9.3

b) Bashkësia e gjasave të kushtëzuara R(1;0), R(1;1), R(1;2) plotësimi i kushtit X=1, quhet shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=1. Probabiliteti i vlerave të vlerës Y në X=1 gjejmë duke përdorur formulën:

Që atëherë, duke zëvendësuar vlerat e probabiliteteve përkatëse, marrim

Pra, shpërndarja e kushtëzuar e komponentit Y në X=1 ka formën:

Tabela 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

Meqenëse ligjet e shpërndarjes së kushtëzuar dhe të pakushtëzuar nuk përkojnë (shih Tabelat 9.4 dhe 9.5), vlerat X Dhe Y i varur. Ky konkluzion vërtetohet nga fakti se barazia

për çdo çift vlerash të mundshme X Dhe Y.

Për shembull,

c) Funksioni i shpërndarjes F(x,y) ndryshore e rastësishme dydimensionale (X,Y) ka formën:

ku shuma kryhet mbi të gjitha pikat (), për të cilat pabarazitë plotësohen në të njëjtën kohë x i Dhe y j . Pastaj për një ligj të caktuar të shpërndarjes, marrim:

Është më e përshtatshme të paraqitet rezultati në formën e tabelës 9.6.

Tabela 9.6

X y

0,20 0,35 0,43 0,48
0,30 0,5 0,63 0,78
0,35 0,62 0,83
Le të përdorim formulat për momentet fillestare dhe rezultatet e tabelave 9.3 dhe 9.4 dhe të llogarisim pritshmëritë matematikore të komponentëve X Dhe Y:

Ne llogarisim variancat duke përdorur momentin e dytë fillestar dhe rezultatet e tabelës. 9.3 dhe 9.4:

Për të llogaritur kovariancën TE(X, Y) ne përdorim një formulë të ngjashme gjatë momentit fillestar:

Koeficienti i korrelacionit përcaktohet nga formula:

Probabiliteti i kërkuar përcaktohet si probabiliteti i rënies në një rajon në rrafshin e përcaktuar nga pabarazia përkatëse:

9.2. Anija transmeton një mesazh "SOS", i cili mund të merret nga dy stacione radio. Ky sinjal mund të merret nga një stacion radio në mënyrë të pavarur nga tjetri. Probabiliteti që sinjali të merret nga radiostacioni i parë është 0,95; probabiliteti që sinjali të merret nga radiostacioni i dytë është 0.85. Gjeni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale që karakterizon marrjen e një sinjali nga dy stacione radio. Shkruani funksionin e shpërndarjes.

Zgjidhja: Le X– një ngjarje që konsiston në faktin se sinjali merret nga stacioni i parë i radios. Y– ngjarja është se sinjali merret nga një stacion i dytë radio.

Kuptime të shumta .

X=1 – sinjali i marrë nga radiostacioni i parë;

X=0 – sinjali nuk u mor nga radiostacioni i parë.

Kuptime të shumta .

Y=l – sinjali i marrë nga radiostacioni i dytë,

Y=0 – sinjali nuk merret nga radiostacioni i dytë.

Probabiliteti që sinjali të mos merret as nga radiostacioni i parë dhe as i dyti është:

Probabiliteti i marrjes së sinjalit nga stacioni i parë i radios:

Probabiliteti që sinjali të merret nga stacioni i dytë i radios:

Probabiliteti që sinjali të merret si nga radiostacioni i parë ashtu edhe nga i dyti është i barabartë me: .

Atëherë ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale është i barabartë me:

y x
0,007 0,142
0,042 0,807
X,y) kuptimi F(X,y) është e barabartë me shumën e probabiliteteve të atyre vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme ( X,Y), të cilat bien brenda drejtkëndëshit të specifikuar.

Atëherë funksioni i shpërndarjes do të duket si ky:

9.3. Dy kompani prodhojnë produkte të njëjta. Secili, pavarësisht nga tjetri, mund të vendosë të modernizojë prodhimin. Probabiliteti që firma e parë të ketë marrë një vendim të tillë është 0.6. Probabiliteti për të marrë një vendim të tillë nga firma e dytë është 0.65. Shkruani ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme dydimensionale që karakterizon vendimin për modernizimin e prodhimit të dy firmave. Shkruani funksionin e shpërndarjes.

Përgjigje: Ligji i shpërndarjes:

0,14 0,21
0,26 0,39
Për çdo vlerë fikse të një pike me koordinata ( x,y) vlera është e barabartë me shumën e probabiliteteve të atyre vlerave të mundshme që bien brenda drejtkëndëshit të specifikuar .

9.4. Unazat e pistonit për motorët e makinave bëhen në një torno automatike. Matet trashësia e unazës (vlera e rastësishme X) dhe diametri i vrimës (vlera e rastësishme Y). Dihet se rreth 5% e të gjitha unazave të pistonit janë me defekt. Për më tepër, 3% e defekteve shkaktohen nga diametra jo standarde të vrimave, 1% - nga trashësia jo standarde dhe 1% - refuzohen për të dyja arsyet. Gjeni: shpërndarjen e përbashkët të një ndryshoreje të rastësishme dy-dimensionale ( X,Y); shpërndarjet njëdimensionale të komponentëve X Dhe Y;pritshmëritë matematikore të komponentëve X Dhe Y; momenti i korrelacionit dhe koeficienti i korrelacionit ndërmjet komponentëve X Dhe Y ndryshore e rastësishme dydimensionale ( X,Y).

Përgjigje: Ligji i shpërndarjes:

0,01 0,03
0,01 0,95
; ; ; ; ; .

9.5. Produktet e fabrikës janë me defekt për shkak të defekteve Aështë 4%, dhe për shkak të një defekti NË– 3.5%. Prodhimi standard është 96%. Përcaktoni se sa përqind e të gjitha produkteve kanë të dy llojet e defekteve.

9.6. Vlera e rastësishme ( X,Y)shpërndarë me dendësi konstante brenda sheshit R, kulmet e të cilit kanë koordinata (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Përcaktoni densitetin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme ( X,Y) dhe dendësitë e shpërndarjes së kushtëzuar R(X\në), R(në\X).

Zgjidhje. Le të ndërtojmë në një aeroplan x 0y katror i dhënë (Fig. 9.5) dhe përcaktoni ekuacionet e brinjëve të katrorit ABCD, duke përdorur ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna: Zëvendësimi i koordinatave të kulmeve A Dhe NË marrim në mënyrë sekuenciale ekuacionin e anës AB: ose .

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë ekuacionin e anës dielli: ;anët CD: dhe anët D.A.: . : .D X, Y) është një hemisferë me qendër në origjinën e rrezes R.Gjeni densitetin e shpërndarjes së probabilitetit.

Përgjigje:

9.10. Jepet një ndryshore e rastësishme dydimensionale diskrete:

0,25 0,10
0,15 0,05
0,32 0,13
Gjeni: a) ligjin e shpërndarjes së kushtëzuar X, me kusht që y= 10;

b) ligji i shpërndarjes me kusht Y, me kusht që x =10;

c) pritshmëria matematikore, dispersioni, koeficienti i korrelacionit.

9.11. Ndryshore e vazhdueshme dydimensionale e rastësishme ( X,Y)shpërndarë në mënyrë të barabartë brenda një trekëndëshi kënddrejtë me kulme RRETH(0;0), A(0;8), NË(8,0).

Gjeni: a) dendësinë e shpërndarjes së probabilitetit;