Formula për llogaritjen e vëllimeve të trupave të revolucionit. Si të llogarisni vëllimin e një trupi rrotullues duke përdorur një integral të caktuar? Zona e një figure të sheshtë

Përkufizimi 3. Një trup rrotullues është një trup që përftohet duke rrotulluar një figurë të sheshtë rreth një boshti që nuk e pret figurën dhe shtrihet në të njëjtin rrafsh me të.

Boshti i rrotullimit mund të presë figurën nëse është boshti i simetrisë së figurës.

Teorema 2.
, boshti
dhe segmente të drejta
Dhe

rrotullohet rreth një boshti
. Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i rrotullimit mund të llogaritet duke përdorur formulën

(2)

Dëshmi. Për një trup të tillë, prerja tërthore me abshisë është një rreth me rreze
, Do të thotë
dhe formula (1) jep rezultatin e kërkuar.

Nëse figura kufizohet nga grafikët e dy funksioneve të vazhdueshme
Dhe
, dhe segmentet e linjës
Dhe
, dhe
Dhe
, pastaj me rrotullim rreth boshtit x fitojmë një trup vëllimi i të cilit

Shembulli 3. Llogaritni vëllimin e një torusi të marrë duke rrotulluar një rreth të kufizuar nga një rreth

rreth boshtit të abshisë.

R vendim. Rrethi i treguar më poshtë është i kufizuar nga grafiku i funksionit
, dhe nga lart -
. Dallimi i katrorëve të këtyre funksioneve:

Vëllimi i kërkuar

(grafiku i integrandit është gjysmërrethi i sipërm, kështu që integrali i shkruar më sipër është sipërfaqja e gjysmërrethit).

Shembulli 4. Segment parabolik me bazë
, dhe lartësia , rrotullohet rreth bazës. Llogaritni vëllimin e trupit që rezulton ("limoni" nga Cavalieri).

R vendim. Parabolën do ta vendosim siç tregohet në figurë. Pastaj ekuacioni i tij
, dhe
. Le të gjejmë vlerën e parametrit :
. Pra, vëllimi i kërkuar:

Teorema 3. Le të jetë një trapez lakor i kufizuar nga grafiku i një funksioni të vazhdueshëm jo negativ
, boshti
dhe segmente të drejta
Dhe
, dhe
, rrotullohet rreth një boshti
. Pastaj vëllimi i trupit që rezulton i rrotullimit mund të gjendet me formulën

(3)

Ideja e provës. Ne ndajmë segmentin
pika

, në pjesë dhe vizatoni vija të drejta
. I gjithë trapezi do të zbërthehet në shirita, të cilët mund të konsiderohen afërsisht drejtkëndësha me një bazë
dhe lartësia
.

Ne e presim cilindrin që rezulton duke rrotulluar një drejtkëndësh të tillë përgjatë gjeneratorit të tij dhe e shpalosim atë. Ne marrim një paralelipiped "pothuajse" me dimensione:
,
Dhe
. Vëllimi i saj
. Pra, për vëllimin e një trupi revolucioni do të kemi barazinë e përafërt

Për të marrë barazi të saktë, duhet shkuar në kufirin në
. Shuma e shkruar më sipër është shuma integrale për funksionin
, pra, në limit marrim integralin nga formula (3). Teorema është vërtetuar.

Shënim 1. Në teoremat 2 dhe 3 kushti
mund të hiqet: formula (2) është përgjithësisht e pandjeshme ndaj shenjës
, dhe në formulën (3) është e mjaftueshme
zëvendësohet nga
.

Shembulli 5. Segmenti parabolik (bazë
, lartësia ) rrotullohet rreth lartësisë. Gjeni vëllimin e trupit që rezulton.

Zgjidhje. Le të vendosim parabolën siç tregohet në figurë. Dhe megjithëse boshti i rrotullimit kryqëzon figurën, ai - boshti - është boshti i simetrisë. Prandaj, duhet të marrim parasysh vetëm gjysmën e djathtë të segmentit. Ekuacioni i parabolës
, dhe
, Do të thotë
. Për vëllimin kemi:

Shënim 2. Nëse kufiri lakor i një trapezi lakor është dhënë me ekuacione parametrike
,
,
Dhe
,
atëherë mund të përdorni formulat (2) dhe (3) me zëvendësimin në
Dhe
në
kur ndryshon t nga
përpara .

Shembulli 6. Shifra kufizohet nga harku i parë i cikloidit
,
,
, dhe boshti x. Gjeni vëllimin e trupit që përftohet duke rrotulluar këtë figurë rreth: 1) boshtit
; 2) sëpata
.

Zgjidhje. 1) Formula e përgjithshme
Në rastin tonë:

2) Formula e përgjithshme
Për figurën tonë:

Ftojmë studentët të kryejnë vetë të gjitha llogaritjet.

Shënim 3. Le të jetë një sektor i lakuar i kufizuar nga një vijë e vazhdueshme
dhe rrezet
,

, rrotullohet rreth një boshti polar. Vëllimi i trupit që rezulton mund të llogaritet duke përdorur formulën.

Shembulli 7. Pjesë e një figure të kufizuar nga një kardioid
, i shtrirë jashtë rrethit
, rrotullohet rreth një boshti polar. Gjeni vëllimin e trupit që rezulton.

Zgjidhje. Të dyja linjat, dhe për rrjedhojë figura që ato kufizojnë, janë simetrike rreth boshtit polar. Prandaj, është e nevojshme të merret parasysh vetëm ajo pjesë për të cilën
. Kurbat kryqëzohen në
Dhe

në
. Më tej, figura mund të konsiderohet si diferencë e dy sektorëve, dhe për këtë arsye vëllimi mund të llogaritet si diferencë e dy integraleve. Ne kemi:

Detyrat për një vendim të pavarur.

1. Një segment rrethor baza e të cilit
, lartësia , rrotullohet rreth bazës. Gjeni vëllimin e trupit të revolucionit.

2. Gjeni vëllimin e një paraboloidi të revolucionit, baza e të cilit , dhe lartësia është .

3. Figura e kufizuar nga një astroid
,
rrotullohet rreth boshtit të abshisës. Gjeni vëllimin e trupit që rezulton.

4. Figura e kufizuar me vija
Dhe
rrotullohet rreth boshtit x. Gjeni vëllimin e trupit të revolucionit.

Tema: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të revolucionit duke përdorur një integral të caktuar"

Lloji i mësimit: të kombinuara.

Qëllimi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

të konsolidojë aftësinë për të identifikuar trapezoidët lakuar nga një numër figurash gjeometrike dhe të zhvillojë aftësinë e llogaritjes së zonave të trapezoidëve lakor;

të njihen me konceptin e një figure tredimensionale;

mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të revolucionit;

promovojnë zhvillimin e të menduarit logjik, fjalimin kompetent matematikor, saktësinë gjatë ndërtimit të vizatimeve;

për të kultivuar interes për lëndën, për të vepruar me koncepte dhe imazhe matematikore, për të kultivuar vullnet, pavarësi dhe këmbëngulje në arritjen e rezultatit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Pershendetje nga grupi. T'u komunikoni nxënësve objektivat e mësimit.

Do të doja ta filloja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Njëherë e një kohë jetonte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një burrë donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke mbajtur një flutur në pëllëmbët e tij, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras; nëse thotë i vdekuri, do ta liroj". I urti, pasi u mendua, u përgjigj: "Gjithçka është në duart tuaja".

Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të fitojmë një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e ardhshme dhe në aktivitetet praktike. "Gjithçka është në duart tuaja."

II. Përsëritja e materialit të studiuar më parë.

Le të kujtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, le të përfundojmë detyrën "Eliminoni fjalën shtesë".

(Studentët thonë një fjalë shtesë.)

E drejta "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura me një fjalë të përbashkët. (Llogaritja integrale.)

Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale.

Ushtrimi. Rikuperoni boshllëqet. (Nxënësi del dhe shkruan fjalët e kërkuara me një shënues.)

Puna në fletore.

Formula Njuton-Leibniz u përftua nga fizikani anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha e folur nga vetë natyra.

Le të shqyrtojmë se si përdoret kjo formulë për të zgjidhur problemet praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në planin koordinativ . Le të zgjedhim zonën e figurës që duhet të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

Në hapësirë, në tokë dhe në jetën e përditshme hasim jo vetëm figura të sheshta, por edhe tredimensionale, por si mund të llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull: vëllimi i një planeti, komete, meteori etj.

Njerëzit mendojnë për vëllimin si kur ndërtojnë shtëpi ashtu edhe kur derdhin ujë nga një enë në tjetrën. Rregullat dhe teknikat për llogaritjen e vëllimeve duhej të dilnin; sa të sakta dhe të justifikuara ishin ato është një çështje tjetër.

Viti 1612 ishte shumë i frytshëm për banorët e qytetit austriak të Linzit, ku jetonte astronomi i njohur Johannes Kepler, veçanërisht për rrushin. Njerëzit po përgatisnin fuçi vere dhe donin të dinin se si të përcaktonin praktikisht vëllimet e tyre.

Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit shënuan fillimin e një rryme të tërë kërkimesh që kulmoi në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Lajbnici i njehsimit diferencial dhe integral. Që nga ajo kohë, matematika e variablave zuri një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

Sot ju dhe unë do të përfshihemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të rrotullimit duke përdorur një integral të caktuar".

Ju do të mësoni përkufizimin e një trupi revolucioni duke plotësuar detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

IVLlogaritja e vëllimeve.

Duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni vëllimin e një trupi të caktuar, në veçanti, të një trupi rrotullues.

Një trup rrotullues është një trup i marrë duke rrotulluar një trapez të lakuar rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet duke përdorur një nga formulat:

1. rreth boshtit OX.

2. , nëse rrotullimi i një trapezi të lakuar rreth boshtit të op-amp.

Nxënësit shënojnë formulat bazë në një fletore.

Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjet e shembujve në tabelë.

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të ordinatave të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Zgjidhje.

Përgjigje: 1163 cm3.

2. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth boshtit x y = , x = 4, y = 0.

Zgjidhje.

V. Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar,

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Konsolidimi i materialit të ri

Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y = x2, y2 = x.

Le të ndërtojmë grafikët e funksionit. y = x2, y2 = x. Le ta shndërrojmë grafikun y2 = x në formën y = .

Ne kemi V = V1 - V2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion:

konkluzioni:

Integrali i caktuar është një bazë e caktuar për studimin e matematikës, e cila jep një kontribut të pazëvendësueshëm në zgjidhjen e problemeve praktike.

Tema “Integrali” tregon qartë lidhjen mes matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.

Zhvillimi i shkencës moderne është i paimagjinueshëm pa përdorimin e integralit. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

VI. Notimi.(Me koment.)

I madhi Omar Khayyam - matematikan, poet, filozof. Ai na inkurajon që të jemi zotërues të fatit tonë. Le të dëgjojmë një fragment nga puna e tij:

Ju thoni, kjo jetë është një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.

Përdorimi i integraleve për të gjetur vëllimet e trupave të revolucionit

Dobia praktike e matematikës është për faktin se pa

Njohuritë specifike matematikore e bëjnë të vështirë kuptimin e parimeve të pajisjes dhe përdorimin e teknologjisë moderne. Çdo person në jetën e tij duhet të kryejë llogaritje mjaft komplekse, të përdorë pajisjet e përdorura zakonisht, të gjejë formulat e nevojshme në librat e referencës dhe të krijojë algoritme të thjeshta për zgjidhjen e problemeve. Në shoqërinë moderne, gjithnjë e më shumë specialitete që kërkojnë një nivel të lartë arsimimi shoqërohen me aplikimin e drejtpërdrejtë të matematikës. Kështu, matematika bëhet një lëndë e rëndësishme profesionalisht për një student. Roli kryesor i përket matematikës në formimin e të menduarit algoritmik; ajo zhvillon aftësinë për të vepruar sipas një algoritmi të caktuar dhe për të ndërtuar algoritme të reja.

Gjatë studimit të temës së përdorimit të integralit për llogaritjen e vëllimeve të trupave të revolucionit, unë sugjeroj që studentët në klasat me zgjedhje të marrin në konsideratë temën: "Vëllimet e trupave të revolucionit duke përdorur integrale". Më poshtë janë rekomandimet metodologjike për shqyrtimin e kësaj teme:

1. Sipërfaqja e një figure të sheshtë.

Nga kursi i algjebrës dimë se problemet e natyrës praktike çuan në konceptin e një integrali të caktuar..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Për të gjetur vëllimin e një trupi rrotullues të formuar nga rrotullimi i një trapezi lakor rreth boshtit Ox, i kufizuar nga një vijë e thyer y=f(x), boshti Ox, drejtëza x=a dhe x=b, llogarisim duke përdorur formulën

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Vëllimi i cilindrit.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Koni fitohet duke rrotulluar trekëndëshin kënddrejtë ABC (C = 90) rreth boshtit Ox në të cilin shtrihet këmba AC.

Segmenti AB shtrihet në vijën e drejtë y=kx+c, ku https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit), pastaj Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.Vëllimi i një koni të cunguar.

Një kon i cunguar mund të merret duke rrotulluar një trapezoid drejtkëndor ABCD (CDOx) rreth boshtit Ox.

Segmenti AB shtrihet në drejtëzën y=kx+c, ku , c=r.

Meqenëse drejtëza kalon në pikën A (0;r).

Kështu, vija e drejtë duket si https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Le të a=0, b=H (H është lartësia e konit të cunguar), pastaj https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Vëllimi i topit.

Topi mund të merret duke rrotulluar një rreth me qendër (0;0) rreth boshtit Ox. Gjysmërrethi i vendosur mbi boshtin Ox jepet nga ekuacioni

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Lloji i mësimit: i kombinuar.

Qëllimi i mësimit: Mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të rrotullimit duke përdorur integrale.

Detyrat:

të konsolidojë aftësinë për të identifikuar trapezoidët lakuar nga një numër figurash gjeometrike dhe të zhvillojë aftësinë e llogaritjes së zonave të trapezoidëve lakor;
të njihen me konceptin e një figure tredimensionale;
mësoni të llogarisni vëllimet e trupave të revolucionit;
promovojnë zhvillimin e të menduarit logjik, fjalimin kompetent matematikor, saktësinë gjatë ndërtimit të vizatimeve;
për të kultivuar interes për lëndën, për të vepruar me koncepte dhe imazhe matematikore, për të kultivuar vullnet, pavarësi dhe këmbëngulje për arritjen e rezultatit përfundimtar.

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Pershendetje nga grupi. T'u komunikoni nxënësve objektivat e mësimit.

Reflektimi. Melodi e qetë.

– Do të doja ta nisja mësimin e sotëm me një shëmbëlltyrë. “Njëherë e një kohë jetonte një njeri i mençur që dinte gjithçka. Një burrë donte të provonte se i urti nuk di gjithçka. Duke mbajtur një flutur në pëllëmbët e tij, ai pyeti: "Më thuaj, i urtë, cila flutur është në duart e mia: e vdekur apo e gjallë?" Dhe ai vetë mendon: "Nëse i gjalli thotë, do ta vras, i vdekuri do të thotë, do ta liroj". I urti, pasi mendoi, u përgjigj: "Të gjitha në duart tuaja". (Prezantimi.Rrëshqitje)

– Prandaj, le të punojmë me fryt sot, të marrim një depo të re njohurish dhe aftësitë dhe aftësitë e fituara do t'i zbatojmë në jetën e ardhshme dhe në aktivitetet praktike. "Të gjitha në duart tuaja".

II. Përsëritja e materialit të studiuar më parë.

– Le të kujtojmë pikat kryesore të materialit të studiuar më parë. Për ta bërë këtë, le të përfundojmë detyrën "Eliminoni fjalën shtesë."(Rrëshqitje.)

(Nxënësi shkon në I.D. përdor një gomë për të hequr fjalën shtesë.)

- E drejta "Diferencial". Mundohuni të emërtoni fjalët e mbetura me një fjalë të përbashkët. (Llogaritja integrale.)

– Le të kujtojmë fazat dhe konceptet kryesore që lidhen me llogaritjen integrale..

"Grupi matematikor".

Ushtrimi. Rikuperoni boshllëqet. (Nxënësi del dhe shkruan me stilolaps fjalët e kërkuara.)

– Do të dëgjojmë një abstrakt për zbatimin e integraleve më vonë.

Puna në fletore.

– Formula Njuton-Leibniz është nxjerrë nga fizikani anglez Isaac Newton (1643-1727) dhe filozofi gjerman Gottfried Leibniz (1646-1716). Dhe kjo nuk është për t'u habitur, sepse matematika është gjuha e folur nga vetë natyra.

– Le të shqyrtojmë se si përdoret kjo formulë për të zgjidhur problemet praktike.

Shembulli 1: Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhje: Të ndërtojmë grafikët e funksioneve në planin koordinativ . Le të zgjedhim zonën e figurës që duhet të gjendet.

III. Mësimi i materialit të ri.

– Kushtojini vëmendje ekranit. Çfarë tregohet në foton e parë? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë të sheshtë.)

– Çfarë tregohet në foton e dytë? A është e sheshtë kjo shifër? (Rrëshqitje) (Figura tregon një figurë tre-dimensionale.)

– Në hapësirë, në tokë dhe në jetën e përditshme hasim jo vetëm figura të sheshta, por edhe tredimensionale, por si mund ta llogarisim vëllimin e trupave të tillë? Për shembull, vëllimi i një planeti, komete, meteori, etj.

– Njerëzit mendojnë për vëllimin si kur ndërtojnë shtëpi ashtu edhe kur derdhin ujë nga një enë në tjetrën. Rregullat dhe teknikat për llogaritjen e vëllimeve duhej të dilnin; sa të sakta dhe të arsyeshme ishin ato është një çështje tjetër.

Mesazh nga një student. (Tyurina Vera.)

– Kështu, veprat e konsideruara të Keplerit hodhën themelet për një rrjedhë të tërë kërkimesh që kulmoi në çerekun e fundit të shekullit të 17-të. dizajni në veprat e I. Newton dhe G.V. Lajbnici i njehsimit diferencial dhe integral. Që nga ajo kohë, matematika e variablave zuri një vend kryesor në sistemin e njohurive matematikore.

– Sot ju dhe unë do të përfshihemi në aktivitete të tilla praktike, prandaj,

Tema e mësimit tonë: "Llogaritja e vëllimeve të trupave të rrotullimit duke përdorur një integral të caktuar". (Rrëshqitje)

– Do të mësoni përkufizimin e një trupi rrotullues duke kryer detyrën e mëposhtme.

"Labirinti".

Labyrinth (fjala greke) do të thotë të shkosh nën tokë. Një labirint është një rrjet i ndërlikuar i shtigjeve, kalimeve dhe dhomave të ndërlidhura.

Por përkufizimi ishte "i prishur", duke lënë të dhëna në formën e shigjetave.

Ushtrimi. Gjeni një rrugëdalje nga situata konfuze dhe shkruani përkufizimin.

Rrëshqitje. “Udhëzim hartash” Llogaritja e vëllimeve.

Duke përdorur një integral të caktuar, mund të llogarisni vëllimin e një trupi të caktuar, në veçanti, të një trupi rrotullues.

Një trup rrotullues është një trup i marrë duke rrotulluar një trapez të lakuar rreth bazës së tij (Fig. 1, 2)

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet duke përdorur një nga formulat:

1. rreth boshtit OX.

2. , nëse rrotullimi i një trapezi të lakuar rreth boshtit të op-amp.

Çdo student merr një kartë udhëzimi. Mësuesi thekson pikat kryesore.

– Mësuesi/ja shpjegon zgjidhjet e shembujve në tabelë.

Le të shqyrtojmë një fragment nga përralla e famshme e A. S. Pushkin "Përralla e Car Saltan, e djalit të tij të lavdishëm dhe të fuqishëm Princit Guidon Saltanovich dhe e Princeshës së bukur Swan" (Rrëshqitje 4):

…..
Dhe lajmëtari i dehur solli
Në të njëjtën ditë, rendi është si më poshtë:
"Mbreti urdhëron djemtë e tij,
Pa humbur kohë,
Dhe mbretëresha dhe pasardhësit
Hidhe fshehurazi në humnerën e ujit.”
Nuk ka asgjë për të bërë: djem,
Shqetësimi për sovranin
Dhe për mbretëreshën e re,
Një turmë erdhi në dhomën e saj të gjumit.
Ata deklaruan vullnetin e mbretit -
Ajo dhe djali i saj kanë një pjesë të keqe,
Ne e lexojmë dekretin me zë të lartë,
Dhe mbretëresha në të njëjtën orë
Më futën në një fuçi me djalin tim,
Katranin dhe u larguan
Dhe ata më lanë në okiyan -
Kështu urdhëroi Car Saltan.

Sa duhet të jetë vëllimi i fuçisë në mënyrë që mbretëresha dhe djali i saj të mund të futen në të?

– Merrni parasysh detyrat e mëposhtme

1. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të ordinatave të një trapezi lakor të kufizuar me vija: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Përgjigje: 1163 cm 3 .

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i një trapezi parabolik rreth boshtit të abshisës y = , x = 4, y = 0.

IV. Konsolidimi i materialit të ri

Shembulli 2. Llogaritni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi i petalit rreth boshtit x y = x 2, y 2 = x.

Le të ndërtojmë grafikët e funksionit. y = x 2, y 2 = x. Orari y2 = x konvertohet në formë y= .

Ne kemi V = V 1 – V 2 Le të llogarisim vëllimin e secilit funksion

– Tani, le të shohim kullën e radiostacionit në Moskë në Shabolovka, e ndërtuar sipas projektit të inxhinierit të shquar rus, akademikut të nderit V. G. Shukhov. Ai përbëhet nga pjesë - hiperboloidet e rrotullimit. Për më tepër, secila prej tyre është bërë nga shufra metalike të drejta që lidhin rrathët ngjitur (Fig. 8, 9).

- Le të shqyrtojmë problemin.

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi i harqeve të hiperbolës rreth boshtit të tij imagjinar, siç tregohet në Fig. 8, ku

kubik njësi

Detyrat në grup. Nxënësit hedhin short me detyra, vizatojnë vizatime në letër whatman dhe një nga përfaqësuesit e grupit mbron punën.

Grupi 1.

Goditi! Goditi! Një tjetër goditje!
Topi fluturon në portë - BALL!
Dhe ky është një top shalqi
E gjelbër, e rrumbullakët, e shijshme.
Hidhini një sy më mirë - çfarë topi!
Ai është bërë nga asgjë tjetër përveç rrathëve.
Pritini shalqinin në rrathë
Dhe shijoni ato.

Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit OX të funksionit të kufizuar

Gabim! Faqerojtësi nuk është i përcaktuar.

– Ju lutem më tregoni ku e takojmë këtë shifër?

Shtëpia. detyrë për 1 grup. CILINDRI (rrëshqitje) .

"Cilindër - çfarë është?" – e pyeta babin.
Babai qeshi: Kapela e sipërme është kapelë.
Për të pasur një ide të saktë,
Një cilindër, le të themi, është një kanaçe.
Tubi i varkës me avull - cilindër,
Tubi në çatinë tonë gjithashtu,

Të gjithë tubat janë të ngjashëm me një cilindër.
Dhe unë dhashë një shembull si ky -
Kaleidoskopi im i dashur,
Nuk mund t'i heqësh sytë nga ai,
Dhe gjithashtu duket si një cilindër.

- Ushtrimi. Detyrë shtëpie: grafikoni funksionin dhe llogarisni vëllimin.

Grupi i 2-të. KONI (rrëshqitje).

Mami tha: Dhe tani
Historia ime do të jetë për konin.
Stargazer me një kapelë të lartë
Numëron yjet gjatë gjithë vitit.
KON - kapele e yjeve.
Kështu është ai. Kuptohet? Kjo eshte.
Nëna qëndronte në tryezë,
Hidha vaj në shishe.
-Ku është hinka? Asnjë gyp.
Kërkoni atë. Mos qëndroni mënjanë.
- Mami, nuk do të lëviz.
Më trego më shumë për konin.
– Hinka është në formë koni për ujitje.
Hajde, më gjeje shpejt.
Nuk e gjeta hinkën
Por nëna bëri një çantë,
E mbështjella kartonin rreth gishtit tim
Dhe ajo e siguroi me shkathtësi me një kapëse letre.
Vaji po rrjedh, nëna është e lumtur,
Koni doli ashtu siç duhet.

Ushtrimi. Njehsoni vëllimin e një trupi që përftohet duke u rrotulluar rreth boshtit të abshisës

Shtëpia. detyrë për grupin e dytë. PIRAMIDA(rrëshqitje).

Unë pashë foton. Ne kete pikture
Ka një PIRAMIdë në shkretëtirën me rërë.
Gjithçka në piramidë është e jashtëzakonshme,
Ka një lloj misteri dhe misteri në të.
Dhe Kulla Spasskaya në Sheshin e Kuq
Është shumë e njohur si për fëmijët ashtu edhe për të rriturit.
Nëse shikoni kullën, duket e zakonshme,
Çfarë ka në krye të saj? Piramida!

Ushtrimi. Detyrë shtëpie: grafikoni funksionin dhe llogarisni vëllimin e piramidës

– Llogaritëm vëllimet e trupave të ndryshëm bazuar në formulën bazë për vëllimet e trupave duke përdorur një integral.

Ky është një tjetër konfirmim se integrali i caktuar është një bazë për studimin e matematikës.

- Epo, tani le të pushojmë pak.

Gjeni një palë.

Luhet melodia matematikore e dominosë.

"Rruga që unë vetë kërkoja nuk do të harrohet kurrë..."

Punë kërkimore. Zbatimi i integralit në ekonomi dhe teknologji.

Teste për nxënës të fortë dhe futboll matematikor.

Simulator matematike.

2. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një funksioni të caktuar quhet

A) një integral i pacaktuar,

B) funksioni,

B) diferencimi.

7. Gjeni vëllimin e trupit të marrë nga rrotullimi rreth boshtit të abshisave të një trapezi lakor të kufizuar me vija:

D/Z. Llogaritni vëllimet e trupave të revolucionit.

Reflektimi.

Pritja e reflektimit në formë sinkronizoj(pesë rreshta).

Rreshti i parë - emri i temës (një emër).

Rreshti i dytë - përshkrimi i temës me dy fjalë, dy mbiemra.

Rreshti i tretë – përshkrimi i veprimit në këtë temë me tre fjalë.

Rreshti i 4-të është një frazë prej katër fjalësh që tregon qëndrimin ndaj temës (një fjali e tërë).

Rreshti i 5-të është një sinonim që përsërit thelbin e temës.

Vëllimi.
Funksion integral i caktuar, i integrueshëm.
Ne ndërtojmë, rrotullojmë, llogarisim.
Trup i përftuar nga rrotullimi i një trapezi të lakuar (rreth bazës së tij).
Trupi i rrotullimit (trupi gjeometrik vëllimor).

konkluzioni (rrëshqitje).

Një integral i caktuar është një bazë e caktuar për studimin e matematikës, e cila jep një kontribut të pazëvendësueshëm në zgjidhjen e problemeve praktike.
Tema “Integrali” tregon qartë lidhjen mes matematikës dhe fizikës, biologjisë, ekonomisë dhe teknologjisë.
Zhvillimi i shkencës moderne është i paimagjinueshëm pa përdorimin e integralit. Në këtë drejtim, është e nevojshme të fillohet studimi i tij në kuadër të arsimit të mesëm të specializuar!

Notimi. (Me koment.)

I madhi Omar Khayyam - matematikan, poet, filozof. Ai na inkurajon që të jemi zotërues të fatit tonë. Le të dëgjojmë një fragment nga puna e tij:

Do të thuash, kjo jetë është një moment.
Vlerësoni atë, merrni frymëzim prej tij.
Si ta shpenzoni, ashtu do të kalojë.
Mos harroni: ajo është krijimi juaj.