Matematikani francez zgjidhi problemin e shtrimit të pllakave të një aeroplani. Shembuj të problemeve të pazgjidhshme: problemi i pllakave Më pas i gjithë vëllimi tredimensional është i mbushur me këto plane, ashtu si librat mbushin një kuti paketimi. Kjo metodë quhet metoda e ndihmës.

Është e lehtë të shtrohet avioni me parket të bërë nga trekëndësha të rregullt, katrorë ose gjashtëkëndësh (nën tjegulla Ne e kuptojmë këtë rregullim në të cilin kulmet e çdo figure zbatohen vetëm në kulmet e figurave fqinje dhe nuk ka situatë kur një kulm zbatohet në anën). Shembuj të pllakave të tilla janë paraqitur në Fig. 1.

Asnjë tjetër e saktë n-nuk do të jetë e mundur të mbulohet një aeroplan me kënde pa boshllëqe dhe mbivendosje. Ja si ta shpjegosh. Siç dihet, shuma e këndeve të brendshme të çdo n-gon është e barabartë me ( n– 2) 180°. Sepse të gjitha këndet janë të drejta n-këndëshat janë identikë, atëherë masa e shkallës së secilit kënd është . Nëse aeroplani mund të mbulohet me figura të tilla, atëherë në çdo kulm ai konvergon k shumëkëndëshat (për disa k). Shuma e këndeve në këtë kulm duhet të jetë 360°, prandaj . Pas disa transformimeve të thjeshta, kjo barazi kthehet në këtë: . Por, siç është e lehtë të kontrollohet, ekuacioni i fundit ka vetëm tre palë zgjidhje, nëse supozojmë se n Dhe k numrat natyrorë: k = 3, n = 6; k = 4, n= 4 ose k = 6, n= 3. Këto çifte numrash korrespondojnë saktësisht me ato të paraqitura në Fig. 1 tjegulla.

Cilët shumëkëndësha të tjerë mund të përdoren për të shtruar një rrafsh pa boshllëqe ose mbivendosje?

Detyrë

a) Vërtetoni se çdo trekëndësh mund të përdoret për të shtruar një rrafsh.

b) Vërtetoni se çdo katërkëndësh (si konveks ashtu edhe jokonveks) mund të përdoret për të rrafshuar një rrafsh.

c) Jepni një shembull të një pesëkëndëshi që mund të përdoret për të rrafshuar një aeroplan.

d) Jepni një shembull të një gjashtëkëndëshi që nuk mund të përdoret për të shtruar një rrafsh.

e) Jepni një shembull n-katror për çdo n> 6, i cili mund të përdoret për të shtruar avionin.

Këshillë 1

Në pikat a), c), e) mund të përpiqeni të bëni "vija" nga figura identike, të cilat më pas mund të përdoren lehtësisht për të shtruar të gjithë rrafshin.

Hapi b): Palosni dy katërkëndësha identikë në një gjashtëkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte. Është mjaft e lehtë të vendosësh një aeroplan me këto gjashtëkëndësha.

Pika d): përdorni faktin që shuma e këndeve në çdo kulm duhet të jetë e barabartë me 360°.

Këshillë 2

Në pikën e) mund të përpiqeni të veproni ndryshe: ndryshoni pak shifrat ekzistuese në mënyrë që të përftohen tekste të reja.

Zgjidhje

Shembuj të përgjigjeve tregohen në foto.

c) Një pesëkëndësh në formën e një shtëpie do të bëjë:

d) Nuk do të jetë e mundur të shtrohet një aeroplan me gjashtëkëndësha të tillë: thjesht asnjë pjesë e një gjashtëkëndëshi të tillë nuk do të futet plotësisht në këndin e "prerë". Kjo është qartë e dukshme në qeliza:

Mund të gjeni shumë gjashtëkëndësha të tjerë që nuk mund të përdoren për të shtruar një aeroplan.

e) Këtu është një shembull i një dhjetëkëndëshi që mund të përdoret për të shtruar një aeroplan. Kjo metodë e shtrimit të pllakave është marrë si një modifikim i rrjetës së zakonshme katrore (shih Fig. 1, ii nga gjendja):

Pasthënie

Problemi i shtrimit me pllaka të një rrafshi me figura identike pa boshllëqe apo mbivendosje ka qenë i njohur që nga kohërat e lashta. Një nga rastet e tij të veçanta është pyetja se çfarë mund të jenë parketet (d.m.th., tjegulla e një avioni shumëkëndëshat e rregullt, dhe jo domosdoshmërisht e njëjta) dhe, në veçanti, dyshemetë e sakta të parketit. Parketi i saktë ka këtë veti: me ndihmën e transfertave paralele (ndërrime pa rrotullime), të cilat e transferojnë parketin në vetvete, mund të kombinoni një nyje të parazgjedhur me çdo nyje tjetër parketi. Në Fig. 1 prej kushteve tregon ekzaktësisht dyshemetë e duhura me parket.

Nuk është shumë e vështirë të vërtetosh se ekzistojnë vetëm 11 lloje të ndryshme të dyshemeve të rregullta me parket (shih Listën e pllakave uniforme). Kjo vërtetohet përafërsisht në të njëjtën mënyrë siç vërtetuam në deklaratën e problemit se ekzistojnë vetëm tre lloje parketi nga shumëkëndësha të rregullt identikë - dihen masat e shkallës së këndeve të çdo shumëkëndëshi të rregullt, thjesht duhet t'i zgjidhni ato në mënyrë që totali është 360°, dhe kjo bëhet thjesht nga një numërim i vogël opsionesh. Ka shumë mozaikë të lashtë të bazuar në këto dysheme me parket.

Mozaikët prej balte, guri dhe qelqi (dhe dyshemetë me parket prej druri dhe pllakash) janë zbatimi më i famshëm dhe më i kuptueshëm i kësaj teorie në jetë. Shumë prej nesh mund ta verifikojnë këtë duke shkuar në kuzhinë ose banjë. Dizajnerët e ardhshëm studiojnë në mënyrë specifike parketet matematikore, sepse ato dhe variacionet e tyre përdoren shpesh në arkitekturë dhe dekorim.

Tessellations ndodhin edhe në natyrë. Përveç huallit të njohur, shembujt më të spikatur janë formacionet gjeologjike në Kepin Stolbchaty (Ishulli Kunashir, kreshta e madhe e Ishujve Kuril) dhe "Rruga e Gjigantit" në Irlandën e Veriut.

Një përgjithësim i problemit tonë - tjegulla hapësinore - një degë moderne e rëndësishme e kristalografisë, që luan një rol të rëndësishëm në optikën e integruar dhe fizikën lazer.

Mjaft e çuditshme, deri në kohët relativisht të fundit, ishin të njohura vetëm tekste periodike (të cilat janë plotësisht të pajtueshme me veten e tyre pas një ndryshimi dhe përsëritjeve të tij). Sidoqoftë, në vitin 1974, shkencëtari anglez Roger Penrose doli me tjegulla jo periodike, të cilat tani quhen pllaka Penrose pas tij. Më vonë (në 1984) u zbuluan struktura të ngjashme jo periodike në

Të mendosh të pamendueshmen dhe të bindesh se është ende e mendueshme është një fenomen gjeometrie.

A.D.Alexandrov

Klasa: 8-9

Qëllimet:

Formimi dhe zhvillimi i ideve të nxënësve për objekte dhe koncepte të reja matematikore.
Zhvillimi interesi krijues te matematika.
Zgjerimi i horizonteve matematikore të nxënësve.
Nxitja e vullnetit të mirë dhe ndihmës reciproke kur punoni së bashku.

Objektivat e aktiviteteve jashtëshkollore:

Zbatimi praktik i njohurive matematikore në studimin e objekteve të reja matematikore.
Zhvillimi të menduarit logjik dhe aftësitë kërkimore.
Hyrje në zbatimin e njohurive të reja të fituara në shkencën moderne.
Parashtrimi i pyetjeve për studim të mëtejshëm të temës.

Përgatitja: puna në grupe, secili grup përgatit modele të shumëkëndëshave të rregullt, si dhe kopje të trekëndëshave dhe katërkëndëshave arbitrar.

Format e organizimit të punës së nxënësve: ballore, grupore.

Format e organizimit të punës së një mësuesi: udhëheqje, organizative, koordinuese.

Specifikimet: zyra multimediale.

Pajisjet e përdorura: kompjuter, projektor, ekran, CD.

Prezantimi "Parketet - shtrimi i pllakave të një avioni me poligone."

Ecuria e mësimit.

Parketet kanë tërhequr vëmendjen e njerëzve që në lashtësi. Ata mbulonin dyshemetë, mbulonin muret e dhomave, dekoronin fasadat e ndërtesave dhe përdoreshin në artet dekorative dhe të aplikuara.
Edhe pse studimi i parketit nuk përfshihet në kurrikulën e matematikës shkollore, interesi për këtë temë lindi pas zgjidhjes së një problemi të thjeshtë shkollor: “Vërtetoni se nga pllaka identike në formën e një trapezi dykëndor, është e mundur të bëhet një parket që mbulon plotësisht. çdo pjesë të avionit.” Çfarë shumëkëndëshash të tjerë mund të përdoren për të shtruar një rrafsh?

Dyshemetë e sakta me parket

Parket Kjo quhet tjegulla e një rrafshi me shumëkëndësha në të cilin i gjithë rrafshi është i mbuluar nga këta shumëkëndësh dhe çdo dy shumëkëndësh ose kanë një anë të përbashkët, ose kanë një kulm të përbashkët, ose nuk kanë pika të përbashkëta.

Parketi quhet e saktë, nëse është i përbërë nga shumëkëndësha të rregullt të barabartë.
Shembuj të dyshemeve të sakta me parket ishin të njohur për pitagorianët. Rrafshin e mbushin me: katrorë, trekëndësha barabrinjës, gjashtëkëndësha të rregullt.

Detyrë për nxënësit: Bëni dysheme të rregullta me parket nga modelet e disponueshme të poligoneve të rregullt.

Le të sigurohemi që asnjë shumëkëndësh tjetër i rregullt të mos formojë parket. Dhe këtu na duhet formula për shumën e këndeve të një shumëkëndëshi. Nëse parketi është prej n-gons, atëherë në çdo kulm të parketit do të ketë konvergjencë k = 360°/ a n shumëkëndëshat, ku a n – këndi i saktë n-gon. Është e lehtë ta gjesh atë a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° dhe 120°<a n < 180° при n > 7. Prandaj, 360° pjesëtohet në mënyrë të barabartë me a n vetëm kur n = 3; 4; 6.
Është interesante se në mesin e trekëndëshit të rregullt, katror dhe gjashtëkëndësh i rregullt Duke pasur parasysh një perimetër, gjashtëkëndëshi ka sipërfaqen më të madhe. Kjo rrethanë çon në natyrë se huallet e bletëve kanë formën e gjashtëkëndëshave të rregullt, pasi bletët, kur ndërtojnë huall mjalti, instinktivisht përpiqen t'i bëjnë ato sa më të mëdha, duke përdorur sa më pak dyllë.

Dysheme me parket gjysem te rregullt.

Le të zgjerojmë metodat për ndërtimin e parketeve nga shumëkëndëshat e rregullt, duke lejuar përdorimin e shumëkëndëshave të rregullt me numër të ndryshëm brinjësh, por në atë mënyrë që rreth çdo kulmi shumëkëndëshat e rregullt të vendosen në të njëjtin rend. Parkete të tilla quhen gjysmë i rregullt.

Detyrë nxënësi: përdorni modelet e disponueshme të poligoneve të rregullt për të krijuar dysheme me parket gjysmë të rregullta.

Për të zbuluar numrin e parketeve gjysmë të rregullta, është e nevojshme të analizohen rastet e mundshme të rregullimit të shumëkëndëshave të rregullt rreth një kulmi të përbashkët. Për ta bërë këtë, le të shënojmë me a 1 , a 2 ... janë këndet e shumëkëndëshave të rregullt që kanë një kulm të përbashkët. Le t'i renditim ato në rend rritës a 1 < a 2 < … Duke marrë parasysh që shuma e të gjitha këndeve të tilla duhet të jetë e barabartë me 360°, ne do të përpilojmë një tabelë që përmban grupe të mundshme këndesh dhe do të tregojmë parketet përkatëse.
Kështu, janë gjithsej 11 parkete të rregullta dhe gjysmë të rregullta.

Planigons

Le të shqyrtojmë një përgjithësim tjetër - parketet e bëra nga kopjet e një poligoni arbitrar, të saktë "përgjatë skajeve" (d.m.th., të cilat transformojnë çdo pllakë të caktuar në ndonjë tjetër). Shumëkëndëshat që mund të jenë pllaka në këto parkete quhen planigons.
Është e qartë se një plan mund të shtrohet me kopje të një trekëndëshi arbitrar, por është më pak e qartë se një katërkëndësh arbitrar është një planigon. E njëjta gjë është e vërtetë për çdo gjashtëkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë të barabarta dhe paralele.

Detyrë nxënësi: Bëni parkete nga kopjet e disponueshme të trekëndëshave dhe katërkëndëshave arbitrare.

Të gjithë parketet e diskutuara më sipër janë periodike, domethënë në secilin prej tyre është e mundur të zgjidhet (dhe madje në shumë mënyra) një zonë e përbërë nga disa pllaka, nga e cila merret i gjithë parketi me ndërrime paralele.
Interesi i shkencëtarëve për struktura të tilla shpjegohet me faktin se pllakat periodike, veçanërisht ato hapësinore, modelojnë struktura kristalore.

Pyetje për të ardhmen: A ka tjegulla jo periodike?

Në vend të një përfundimi

Me interes të veçantë është krijimi i dyshemeve tuaja me parket - mbushja e aeroplanit me figura identike (elemente parketi) duke përdorur, për shembull, simetrinë boshtore dhe përkthimin paralel. Gjëja kryesore është se ndërtimi bazohet në një poligon, të barabartë në madhësi me elementin e parketit.

Detyrë shtëpie. Krijoni parketin që ju pëlqen duke përdorur çdo mjet: nga letra me ngjyra deri te teknologjia kompjuterike.

Lista e literaturës së përdorur:

1. Atanasyan L.S. dhe të tjera Gjeometria, 7-9 – M.: Edukimi, 2010.
2. Atanasyan L.S. etj Gjeometria: Shto. kapituj për shkollën teksti shkollor Klasa e 8-të: Teksti mësimor. manual për nxënësit e shkollave. dhe kl. me thellësi studiuar matematikë. – M.: Arsimi, 1996.
3. Atanasyan L.S. etj Gjeometria: Shto. kapituj për shkollën teksti shkollor Klasa e 9-të: Teksti mësimor. manual për nxënësit e shkollave. dhe kl. me thellësi studiuar matematikë. – M.: Arsimi, 1997.
4. Kolmogorov A.N. Parkete prej poligonesh të rregullt.//Kvant, 1970, nr. 3.
5. Smirnov V.A. Kompjuteri ndihmon gjeometrinë //Matematika: Adj. Edukative dhe metodologjike javore. te gazi "I pari i shtatorit". – 2003, nr 21.
6. Sovertkov P.I. dhe të tjerë Parket gjeometrik në një ekran kompjuteri.//Informatikë dhe arsim, 2000, nr.
7. Enciklopedi për fëmijë. T.11.Matematikë/Kryeedaktor. M.D.Aksenova. – M.: Avanta+, 2008.

Ne do të flasim për pllakat e avionit. Tessellation është mbulimi i një rrafshi të tërë me forma që nuk mbivendosen. Ndoshta, interesi për shtrimin fillimisht u ngrit në lidhje me ndërtimin e mozaikëve, stolive dhe modeleve të tjera. Janë të njohura shumë zbukurime të përbëra nga motive të përsëritura. Një nga pllakat më të thjeshta është paraqitur në Figurën 1.

Aeroplani është i mbuluar me paralelograme, dhe të gjithë paralelogramët janë identikë. Çdo paralelogram i kësaj pllake mund të merret nga paralelogrami rozë duke e zhvendosur këtë të fundit me një vektor (vektorët dhe përcaktohen nga skajet e paralelogramit të zgjedhur, n dhe m janë numra të plotë). Duhet të theksohet se e gjithë tjegulla në tërësi shndërrohet në vetvete kur zhvendoset nga një vektor (ose). Kjo veti mund të merret si përkufizim: domethënë, një tjegull periodike me pika është një pllakë që shndërrohet në vetvete kur zhvendoset nga një vektor dhe nga një vektor. Pllakat periodike mund të jenë mjaft të ndërlikuara, disa prej tyre janë shumë të bukura.

Pllakat kuaziperiodike të aeroplanit

Ka tekste interesante dhe jo periodike të avionit. Në vitin 1974 Matematikani anglez Roger Penrose zbuloi pllaka kuaziperiodike të avionit. Vetitë e këtyre pllakave përgjithësojnë natyrshëm vetitë e atyre periodike. Një shembull i pllakave të tilla është paraqitur në Figurën 2.

I gjithë avioni është i mbuluar me rombe. Nuk ka boshllëqe midis diamanteve. Çdo gërshetim i rombit mund të merret duke përdorur vetëm dy teselacione duke përdorur ndërrime dhe rrotullime. Ky është një romb i ngushtë (36 0, 144 0) dhe një romb i gjerë (72 0, 108 0), i paraqitur në figurën 3. Gjatësia e anëve të secilit prej rombit është 1. Kjo tjegulla nuk është periodike - është e qartë nuk transformohet në vetvete nën asnjë ndryshim. Megjithatë, ajo ka disa veti të rëndësishme, të cilat e afrojnë me tjegulla periodike dhe e detyrojnë të quhet kuaziperiodike. Çështja është se çdo pjesë e fundme e një tjegull kuaziperiodike ndodh shumë herë gjatë gjithë tjegullave. Kjo tjegulla ka një bosht simetrie të rendit 5, ndërsa akse të tilla nuk ekzistojnë për tjegulla periodike.

Një tjetër tjegull kuaziperiodike e rrafshit, e ndërtuar nga Penrose, është paraqitur në figurën 4. I gjithë rrafshi është i mbuluar me katër poligone të një lloji të veçantë. Ky është një yll, një romb, një pesëkëndësh i rregullt.

A) Konvertimi i inflacionit dhe deflacionit

Secili nga tre shembujt e tjegullave thuajseperiodike të paraqitura më sipër është një mbulesë e një rrafshi duke përdorur përkthime dhe rrotullime të një numri të kufizuar figurash. Kjo mbulesë nuk shndërrohet në vetvete nën asnjë zhvendosje të ndonjë pjese të kufizuar të mbulesës, ndodh në të gjithë mbulesën shumë herë, për më tepër, po aq shpesh në të gjithë rrafshin. Pllakat e përshkruara më sipër kanë një pronë të veçantë, të cilën Penrose e quajti inflacion. Studimi i kësaj vetie na lejon të kuptojmë strukturën e këtyre veshjeve. Për më tepër, inflacioni mund të përdoret për të ndërtuar modele Penrose. Inflacioni mund të ilustrohet më qartë duke përdorur shembullin e trekëndëshave të Robinsonit. Trekëndëshat e Robinsonit janë dy trekëndësha dykëndësh P, Q me kënde (36 0, 72 0, 72 0) dhe (108 0, 36 0, 36 0) përkatësisht dhe gjatësi anësore, si në figurën 6. Këtu φ është raporti i artë:

Këta trekëndësha mund të priten në më të vegjël në mënyrë që secili nga trekëndëshat e rinj (më të vegjël) të jetë i ngjashëm me një nga ata origjinal. Prerja tregohet në figurën 7: vija e drejtë ac është përgjysmues i këndit të këndit, dhe segmentet ae, ab dhe ac janë të barabarta. Është e lehtë të shihet se trekëndëshi acb dhe ace janë kongruentë dhe të ngjashëm me trekëndëshin P, dhe trekëndëshi cde është i ngjashëm me trekëndëshin Q. Trekëndëshi Q është prerë kështu. Gjatësia e segmentit gh është e barabartë me gjatësinë e segmentit ih (dhe është e barabartë me 1). Trekëndëshi igh është i ngjashëm me trekëndëshin P dhe trekëndëshi igf është i ngjashëm me trekëndëshin Q. Dimensionet lineare të trekëndëshave të rinj janë t herë më të vogla se ato të atyre origjinale. Kjo prerje quhet deflacion.

Transformimi i kundërt - ngjitja - quhet inflacion.

Figura na tregon se nga dy trekëndësha P dhe një trekëndësh Q mund të ngjisim një trekëndësh P, dhe nga një trekëndësh P dhe Q mund të ngjisim një trekëndësh Q. Trekëndëshat e rinj (të ngjitur) kanë përmasa lineare t herë më të mëdha se trekëndëshat origjinalë.

Pra, ne kemi prezantuar konceptin e transformimeve të inflacionit dhe deflacionit. Është e qartë se transformimi i inflacionit mund të përsëritet; kjo do të rezultojë në një çift trekëndëshash, dimensionet e të cilëve janë t 2 herë më të mëdha se ato origjinale. Duke aplikuar në mënyrë të njëpasnjëshme transformimet e inflacionit, ju mund të merrni një palë trekëndësha në mënyrë arbitrare madhësi të madhe. Në këtë mënyrë, ju mund të shtroni të gjithë avionin.

Mund të tregohet se tjegulla e përshkruar më sipër nga trekëndëshat e Robinsonit nuk është periodike

Dëshmi

Le të përshkruajmë provat e kësaj deklarate. Le të argumentojmë me kontradiktë. Supozoni se tjegulla e rrafshit me trekëndëshat e Robinsonit është periodike me periodat u dhe w. Le të mbulojmë rrafshin me një rrjet paralelogramësh me brinjë u, w Le të shënojmë me p numrin e trekëndëshave P - kulmi i poshtëm majtas i të cilëve (në lidhje me rrjetin tonë) ndodhet në një paralelogram të hijezuar; Le të përcaktojmë numrin q në mënyrë të ngjashme. (Trekëndëshat e zgjedhur p+q formojnë të ashtuquajturin rajon themelor të një pllake të caktuar periodike.) Konsideroni një rreth me rreze R me qendër O. Le të shënojmë me PR (në fakt QR) numrin e trekëndëshave P (përkatësisht, Q- trekëndëshat) të shtrirë brenda këtij rrethi.

Le ta vërtetojmë këtë

1) Në të vërtetë, numri i trekëndëshave që kryqëzojnë një rreth me rreze R është proporcional me R, ndërsa numri i trekëndëshave brenda një rrethi me rreze R është proporcional me R 2. Prandaj, në kufi, raporti i numrit të trekëndëshave P me numrin e trekëndëshave Q në një rreth është i barabartë me këtë raport në rajonin themelor.

Le të marrim tani testin tonë dhe të kryejmë transformime të deflacionit. Pastaj në rajonin themelor origjinal do të ketë pґ = 2p + q trekëndësha P më të vegjël dhe qґ = p + q trekëndësha Q më të vegjël. Le të shënojmë me pґR dhe qґR numrin e trekëndëshave më të vegjël në një rreth me rreze R. Tani është e lehtë të përftohet një kontradiktë. ne fakt,

= = = = (Rregulli i L'Hopital)

Nga ku, zgjidhja e ekuacionit

p/q=(2p+q)/(p+q),

ndërsa p dhe q janë numra të plotë! Kontradikta tregon se tjegulla me trekëndëshat Robinson nuk është periodike.

Rezulton se kjo mbulesë nga trekëndëshat e Robinsonit nuk është e vetmja. Ka pafundësisht shumë mbulesa të ndryshme kuaziperiodike të aeroplanit nga trekëndëshat e Robinsonit. Përafërsisht, arsyeja e këtij fenomeni qëndron në faktin se gjatë deflacionit përgjysmuesi në figurën 7 mund të nxirret nga kulmi b, dhe jo nga kulmi a. Duke përdorur këtë arbitraritet, mund të arrihet, për shembull, që një mbulesë me trekëndësha të kthehet në një mbulesë trekëndëshi me romb.

B) Transformimi i dualitetit

Metoda për ndërtimin e pllakave kuaziperiodike e dhënë më sipër duket si një supozim. Megjithatë, ekziston një mënyrë e rregullt për të ndërtuar mbulesa kuaziperiodike. Kjo është një metodë e transformimit të dualitetit, ideja e së cilës i përket matematikanit holandez de Braun.

Le ta shpjegojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e ndërtimit të zëvendësimit të një plani me romb (shih Fig. 3). Së pari, le të ndërtojmë një rrjet G. Për ta bërë këtë, merrni një pesëkëndësh të rregullt dhe numëroni anët e tij (j = 1,2,3,4,5; Fig. 10). Le të shohim anën e numëruar j. Le të ndërtojmë një grup të pafund të drejtëzave paralele me këtë anë, në mënyrë që distanca midis dy drejtëzave më të afërta të jetë e barabartë me 1.

Le të bëjmë një ndërtim të ngjashëm për secilën nga anët e pesëkëndëshit; Ne do të vizatojmë vija të drejta në mënyrë që ato të kryqëzohen vetëm në çifte. Rezultati është një grup rreshtash që nuk është periodik (Fig. 9) Vijat në këtë grup do të shënohen me shkronjat l. Të rinumërojmë rreshtat me dy indekse: l j (n). Këtu j tregon drejtimin e drejtëzës (me cilës anë të pesëkëndëshit është paralel). Numri i plotë n numëron linja të ndryshme paralele, kalon nëpër të gjitha vlerat e numrave të plotë (si pozitive ashtu edhe negative). Ky grup vijash e ndan rrafshin në një grup të pafund të shumëkëndëshave. Këto shumëkëndësha quhen faqe rrjetë. Brinjët e shumëkëndëshave do t'i quajmë skajet e rrjetës, dhe kulmet e shumëkëndëshave kulme të rrjetës. (Në mënyrë të ngjashme për një mbulesë kuaziperiodike Q: rombet janë faqet e Q-së, anët e rombit janë skajet e Q-së, kulmet e rombeve janë kulmet e Q)

Kështu, është ndërtuar rrjeti G. Le të bëjmë tani transformimin e dualitetit. Çdo faqe e rrjetës G është e krahasueshme me një kulm të një mbulese kuaziperiodike Q (kulmi i një rombi). Ne i shënojmë kulmet me shkronja (këto janë vektorë). Së pari, ne e lidhim secilën faqe M të rrjetës me pesë numra të plotë n j = (M), j - 1,2, ....5 sipas rregullit të mëposhtëm. Pikat e brendshme të M shtrihen midis një drejtëze l j (n) dhe një drejtëze paralele me të l j (n+1).

Me këtë numër të plotë n do të përputhen faqet e M. Meqenëse rrjeta ka vija të drejta në pesë drejtime, atëherë në këtë mënyrë do të përputhim pesë numra të plotë n j (M) të çdo M të rrjetës G. Kulmi i mbulesës pothuajse periodike Q, që korrespondon me një faqe të caktuar M të rrjetës G, është ndërtuar si më poshtë:

(M) = n 1 (M) + + … +

Këtu është një vektor i gjatësisë njësi të drejtuar nga qendra e një pesëkëndëshi të rregullt në mes të numrit anësor j. Kështu, ne lidhëm një kulm mbulues me secilën faqe të rrjetës. Në këtë mënyrë mund të ndërtojmë të gjitha kulmet e Q.

Tani le të lidhim disa kulme me segmente të drejtëza. Këto do të jenë skajet e mbulesës Q (anët e rombeve). Për ta bërë këtë, merrni parasysh një palë fytyrash M1 dhe M2 që kanë një skaj të përbashkët. Ne do të lidhim kulmet e veshjes që korrespondojnë me këto fytyra dhe me segmente.

Pastaj rezulton se ndryshimi

Ndoshta e barabartë me vetëm një në dhjetë vektorë.

Kështu, çdo skaj i rrjetës shoqërohet me një faqe mbulese Q. Çdo kulm rrjetë shoqërohet me një faqe mbulesë Q (romb), në të vërtetë, çdo kulm rrjetë është ngjitur me katër faqe M R (R = 1,2,3,4). Le të shqyrtojmë katër kulmet mbuluese (M R) që u korrespondojnë atyre. Nga vetia diferencë (2) del se skajet e mbulesës që kalojnë nëpër këto kulme formojnë kufirin e rombit. Ndërtohet një mbulesë kuaziperiodike e rrafshit me rombe.

Ne kemi ilustruar metodën e transformimit të dualitetit. Kjo metodë e përgjithshme ndërtimi i një metode të mbulesave kuaziperiodike. Në këtë konstruksion, pesëkëndëshi i rregullt mund të zëvendësohet nga çdo shumëkëndësh i rregullt. Rezultati do të jetë një mbulesë e re kuaziperiodike. Metoda e transformimit të dualitetit është gjithashtu e zbatueshme për ndërtimin e strukturave kuaziperiodike në hapësirë.

B) Mbushje kuaziperiodike e hapësirës tredimensionale

Ekziston një përgjithësim tre-dimensional i modeleve Penrose. Hapësira tredimensionale mund të mbushet me paralelopipedë të një lloji të veçantë. Paralelepipedët nuk kanë pika të brendshme të përbashkëta dhe nuk ka boshllëqe midis tyre. Çdo paralelipiped i kësaj mbushjeje mund të merret vetëm nga dy paralelipipedë duke përdorur ndërrime dhe rrotullime. Këta janë të ashtuquajturit paralelopipedë Amman-Mackay. Për të përcaktuar një paralelipiped, mjafton të specifikoni tre skaje që dalin nga një kulm. Për paralelepipedin e parë Amman-Mackay, këta vektorë kanë formën:

= (0; 1; φ), = (-φ; 0; -1)

Dhe për paralelepipedin e dytë:

= (0; -1;f), = (f; 0;1), = (0;1; f)

Mbushja me këto paralelopipedë nuk shndërrohet në vetvete nën asnjë zhvendosje, megjithatë, çdo pjesë e kufizuar e saj ndodh gjatë gjithë mbushjes së panumërta. Mbushja e hapësirës me këto paralelopipedë shoqërohet me simetritë e ikozaedrit. Ikozaedroni është një trup i ngurtë platonik. Secila nga faqet e saj është një trekëndësh i rregullt. Ikozaedroni ka 12 kulme, 20 faqe dhe 30 skaje

Aplikimi

Doli se shkrirja e aluminit-manganit e ftohur me shpejtësi (e zbuluar në 1984) ka pikërisht këto simetri. Kështu, modelet e Penrose ndihmuan për të kuptuar strukturën e substancës së sapo zbuluar. Dhe jo vetëm kjo substancë, janë gjetur kuazikristale të tjera reale, eksperimentale dhe studim teorikështë në ballë të shkencës moderne.

Një ndjesi në botën e matematikës. Është zbuluar një lloj i ri pentagonësh që mbulojnë avionin pa thyerje dhe pa mbivendosje.

Ky është vetëm lloji i 15-të i pesëkëndëshave të tillë dhe i pari që është zbuluar në 30 vitet e fundit.

Aeroplani është i mbuluar me trekëndësha dhe katërkëndësha të çdo forme, por me pesëkëndësha gjithçka është shumë më e ndërlikuar dhe interesante. Pentagonët e rregullt nuk mund të mbulojnë një aeroplan, por disa pesëkëndësha të parregullt munden. Kërkimi për figura të tilla ka qenë një nga më interesantët për njëqind vjet. problemet matematikore. Kërkimi filloi në vitin 1918, kur matematikani Karl Reinhard zbuloi pesë figurat e para të përshtatshme.

Për një kohë të gjatë besohej se Reinhard kishte llogaritur të gjitha formulat e mundshme dhe se nuk ekzistonin më pesëkëndësha të tillë, por në vitin 1968 matematikani R.B. Kershner gjeti tre të tjerë, dhe Richard James në 1975 e çoi numrin e tyre në nëntë. Në të njëjtin vit, amvisa 50-vjeçare amerikane dhe entuziastja e matematikës Marjorie Rice zhvilloi metodën e saj të shënimit dhe, brenda pak vitesh, zbuloi katër pesëkëndësha të tjerë. Më në fund, në 1985, Rolf Stein e rriti numrin e shifrave në katërmbëdhjetë.

Pentagonët mbeten figura e vetme për të cilën mbeten pasiguri dhe mister. Në vitin 1963, u vërtetua se ka vetëm tre lloje gjashtëkëndëshash që mbulojnë aeroplanin. Nuk ka trekëndësha të tillë midis shtatëkëndëshave konveks, tetëkëndëshit, etj. Por me Pentagonët, jo gjithçka është ende plotësisht e qartë.

Deri më sot njiheshin vetëm 14 lloje të pesëkëndëshave të tillë. Ato janë paraqitur në ilustrim. Formulat për secilën prej tyre janë dhënë në lidhje.

Për 30 vjet askush nuk mundi të gjente asgjë të re, dhe më në fund zbulimi i shumëpritur! Është bërë nga një grup shkencëtarësh nga Universiteti i Uashingtonit: Casey Mann, Jennifer McLoud dhe David Von Derau. Ja si duket djali i vogël i pashëm.

"Ne e zbuluam formën me anë të kompjuterit duke kërkuar përmes një numri të madh, por të kufizuar variacionesh," thotë Casey Mann. "Sigurisht, ne jemi shumë të emocionuar dhe pak të befasuar që ishim në gjendje të zbulonim një lloj të ri të pesëkëndëshit."

Zbulimi duket thjesht abstrakt, por në fakt mund të gjejë aplikim praktik. Për shembull, në prodhimin e pllakave të përfundimit.

Kërkimi për pentagonët e rinj që mbulojnë avionin sigurisht që do të vazhdojë.

Pse disa organe njerëzore vijnë në çifte (për shembull, mushkëritë, veshkat), dhe të tjerët - në një kopje?

Kaustikët janë sipërfaqe dhe kthesa optike të kudogjendura të krijuara nga reflektimi dhe thyerja e dritës. Kaustikët mund të përshkruhen si vija ose sipërfaqe përgjatë të cilave përqendrohen rrezet e dritës.

Shabbat G.B.

Ne tani dimë për të njëjtën sasi për strukturën e Universit siç dinin njerëzit e lashtë për sipërfaqen e Tokës. Më saktësisht, ne e dimë se pjesa e vogël e Universit e arritshme për vëzhgimet tona është e strukturuar në të njëjtën mënyrë si një pjesë e vogël e hapësirës tredimensionale Euklidiane. Me fjalë të tjera, ne jetojmë në një manifold tre-dimensional (3-manifold).

Viktor Lavrus

Një person i dallon objektet rreth tij nga forma e tyre. Interesi për formën e një objekti mund të diktohet nga nevoja jetike, ose mund të shkaktohet nga bukuria e formës. Forma, ndërtimi i së cilës bazohet në një kombinim të simetrisë dhe raportit të artë, kontribuon në perceptimin më të mirë vizual dhe shfaqjen e një ndjenje bukurie dhe harmonie. E tëra gjithmonë përbëhet nga pjesë, pjesë të madhësive të ndryshme janë në një marrëdhënie të caktuar me njëra-tjetrën dhe me të tërën. Parimi i raportit të artë është manifestimi më i lartë i përsosmërisë strukturore dhe funksionale të tërësisë dhe pjesëve të saj në art, shkencë, teknologji dhe natyrë.

Dokumentari “Dimensions” është dy orë matematikë që gradualisht të çon në dimensionin e katërt.

Sergej Stafeev

Detyra më intensive e njohurive e popujve të lashtë ishte orientimi në hapësirë dhe kohë. Për këtë qëllim, që nga kohra të lashta, njerëzimi ka ngritur struktura të shumta megalitike - kromlechs, dromos, dolmens dhe menhirs. U shpikën pajisje tepër gjeniale që bënë të mundur numërimin e kohës me një saktësi minutash ose vizualizimin e drejtimeve me një gabim jo më shumë se gjysmë gradë. Ne do të tregojmë se si në të gjitha kontinentet njerëzit krijuan kurthe për rrezet e diellit, ndërtuan tempuj, sikur të "varur" në drejtime astronomike, gërmuan tunele të pjerrëta për shikimin e yjeve gjatë ditës ose ngritën obeliskë gnomon. Në mënyrë të pabesueshme, paraardhësit tanë të largët, për shembull, arritën të ndiqnin jo vetëm hijet diellore ose hënore, por edhe hijen e Venusit.