Të material metodologjikështë vetëm për referencë dhe vlen për një gamë të gjerë temash. Artikulli ofron një përmbledhje të grafikëve të funksioneve themelore elementare dhe shqyrton çështjen më të rëndësishme - si të ndërtohet një grafik saktë dhe SHPEJT. Gjatë studimit matematikë e lartë pa njohuri për oraret kryesore funksionet elementare Do të jetë e vështirë, ndaj është shumë e rëndësishme të mbani mend se si duken grafikët e një parabole, hiperbole, sinusi, kosinusi etj. dhe të mbani mend disa nga vlerat e funksionit. Do të flasim gjithashtu për disa veti të funksioneve kryesore.

Unë nuk pretendoj plotësinë dhe tërësinë shkencore të materialeve; theksi do të vendoset, para së gjithash, në praktikë - ato gjëra me të cilat ndeshet fjalë për fjalë në çdo hap, në çdo temë të matematikës së lartë. Listat për dummies? Dikush mund të thotë kështu.

Për shkak të kërkesave të shumta të lexuesve tabela e përmbajtjes e klikueshme:

Përveç kësaj, ekziston një përmbledhje ultra e shkurtër mbi temën
– zotëroni 16 lloje tabelash duke studiuar GJASHTË faqe!

Seriozisht, gjashtë, edhe unë u habita. Kjo përmbledhje përmban grafikë të përmirësuar dhe është në dispozicion për një tarifë nominale; një version demo mund të shikohet. Është i përshtatshëm për të printuar skedarin në mënyrë që grafikët të jenë gjithmonë pranë. Faleminderit për mbështetjen e projektit!

Dhe le të fillojmë menjëherë:

Si të ndërtojmë saktë boshtet e koordinatave?

Në praktikë, pothuajse gjithmonë testet plotësohen nga nxënësit në fletore të veçanta, të rreshtuara në katror. Pse keni nevojë për shenja me kuadrate? Në fund të fundit, puna, në parim, mund të bëhet në fletë A4. Dhe kafazi është i nevojshëm vetëm për dizajn me cilësi të lartë dhe të saktë të vizatimeve.

Çdo vizatim i një grafiku funksioni fillon me boshtet e koordinatave .

Vizatimet mund të jenë dy-dimensionale ose tre-dimensionale.

Le të shqyrtojmë së pari rastin dydimensional Sistemi koordinativ drejtkëndor kartezian:

1) Vizatoni boshtet e koordinatave. Boshti quhet boshti x , dhe boshti është boshti y . Ne gjithmonë përpiqemi t'i vizatojmë ato i zoti dhe jo i shtrembër. Shigjetat gjithashtu nuk duhet t'i ngjajnë mjekrës së Papa Carlo.

2) Ne i nënshkruajmë boshtet me shkronja të mëdha "X" dhe "Y". Mos harroni të etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve: vizatoni një zero dhe dy njëshe. Kur bëni një vizatim, shkalla më e përshtatshme dhe e përdorur shpesh është: 1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë) - nëse është e mundur, ngjituni në të. Sidoqoftë, herë pas here ndodh që vizatimi të mos përshtatet në fletën e fletores - atëherë zvogëlojmë shkallën: 1 njësi = 1 qelizë (vizatimi në të djathtë). Është e rrallë, por ndodh që shkalla e vizatimit duhet të zvogëlohet (ose të rritet) edhe më shumë

NUK KA NEVOJË për "mitraloz" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Për plan koordinativ nuk është një monument i Dekartit dhe studenti nuk është një pëllumb. Ne kemi vënë zero Dhe dy njësi përgjatë akseve. Ndonjehere në vend të njësitë, është e përshtatshme të "shënoni" vlera të tjera, për shembull, "dy" në boshtin e abshisës dhe "tre" në boshtin e ordinatave - dhe ky sistem (0, 2 dhe 3) gjithashtu do të përcaktojë në mënyrë unike rrjetin e koordinatave.

Është më mirë të vlerësohen dimensionet e vlerësuara të vizatimit PARA se të ndërtohet vizatimi. Kështu, për shembull, nëse detyra kërkon vizatimin e një trekëndëshi me kulme , , , atëherë është plotësisht e qartë se shkalla popullore prej 1 njësi = 2 qeliza nuk do të funksionojë. Pse? Le të shohim pikën - këtu do të duhet të matni pesëmbëdhjetë centimetra poshtë, dhe, padyshim, vizatimi nuk do të përshtatet (ose mezi përshtatet) në një fletë fletoreje. Prandaj, ne zgjedhim menjëherë një shkallë më të vogël: 1 njësi = 1 qelizë.

Nga rruga, rreth centimetra dhe qeliza fletore. A është e vërtetë që 30 qeliza fletoresh përmbajnë 15 centimetra? Për argëtim, matni 15 centimetra në fletoren tuaj me një vizore. Në BRSS, kjo mund të ketë qenë e vërtetë... Është interesante të theksohet se nëse matni të njëjtat centimetra horizontalisht dhe vertikalisht, rezultatet (në qeliza) do të jenë të ndryshme! Në mënyrë të rreptë, fletoret moderne nuk janë me kuadrate, por drejtkëndëshe. Kjo mund të duket e pakuptimtë, por vizatimi, për shembull, një rreth me busull në situata të tilla është shumë i papërshtatshëm. Për të qenë i sinqertë, në momente të tilla filloni të mendoni për korrektësinë e shokut Stalin, i cili u dërgua në kampe për punë haker në prodhim, për të mos përmendur industrinë vendase të automobilave, rënien e avionëve ose shpërthimin e termocentraleve.

Duke folur për cilësinë, ose një rekomandim të shkurtër për shkrimi. Sot, pjesa më e madhe e fletoreve në shitje janë, për të mos thënë më pak, mut. Për arsye se lagen, dhe jo vetëm nga stilolapsat xhel, por edhe nga stilolapsat! Ata kursejnë para në letër. Për regjistrim testet Unë rekomandoj përdorimin e fletoreve nga Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fletë, rrjet) ose "Pyaterochka", megjithëse është më e shtrenjtë. Këshillohet që të zgjidhni një stilolaps xhel; edhe rimbushja më e lirë kineze me xhel është shumë më e mirë se një stilolaps, i cili ose njollos ose gris letrën. E vetmja stilolaps "konkurruese" që mund të kujtoj është Erich Krause. Ajo shkruan qartë, bukur dhe vazhdimisht – qoftë me një bërthamë të plotë apo me një bërthamë pothuajse bosh.

Për më tepër: Vizioni i një sistemi koordinativ drejtkëndor përmes syve të gjeometrisë analitike është mbuluar në artikull Varësia lineare (jo) e vektorëve. Baza e vektorëve, informacione të hollësishme rreth tremujorëve koordinativ mund të gjenden në paragrafin e dytë të mësimit Pabarazitë lineare.

kasë 3D

Është pothuajse e njëjta gjë këtu.

1) Vizatoni boshtet e koordinatave. Standard: aks aplikojnë - i drejtuar lart, boshti - i drejtuar djathtas, boshti - i drejtuar poshtë në të majtë në mënyrë rigoroze në një kënd prej 45 gradë.

2) Etiketoni sëpatat.

3) Vendosni shkallën përgjatë boshteve. Shkalla përgjatë boshtit është dy herë më e vogël se shkalla përgjatë boshteve të tjera. Vini re gjithashtu se në vizatimin e duhur kam përdorur një "notch" jo standarde përgjatë boshtit (kjo mundësi është përmendur tashmë më lart). Nga këndvështrimi im, kjo është më e saktë, më e shpejtë dhe më e këndshme nga ana estetike - nuk ka nevojë të kërkoni mesin e qelizës nën një mikroskop dhe të "skalitni" një njësi afër origjinës së koordinatave.

Kur bëni një vizatim 3D, përsëri, jepni përparësi shkallës
1 njësi = 2 qeliza (vizatimi në të majtë).

Për çfarë janë të gjitha këto rregulla? Rregullat jane bere per tu thyer. Kjo është ajo që do të bëj tani. Fakti është se vizatimet e mëvonshme të artikullit do të bëhen nga unë në Excel, dhe boshtet e koordinatave do të duken të pasakta nga pikëpamja dizajn i saktë. Mund t'i vizatoja të gjithë grafikët me dorë, por është në të vërtetë e frikshme t'i vizatosh pasi Excel ngurron t'i vizatojë shumë më saktë.

Grafikët dhe vetitë themelore të funksioneve elementare

Një funksion linear jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksioneve lineare është e drejtpërdrejtë. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të njihni dy pika.

Shembulli 1

Ndërtoni një grafik të funksionit. Le të gjejmë dy pika. Është e dobishme të zgjidhni zero si një nga pikat.

Nese atehere

Le të marrim një pikë tjetër, për shembull, 1.

Nese atehere

Kur plotësoni detyrat, koordinatat e pikave zakonisht përmblidhen në një tabelë:

Dhe vetë vlerat llogariten me gojë ose në një draft, një kalkulator.

Janë gjetur dy pika, le të bëjmë një vizatim:

Kur përgatitim një vizatim, ne gjithmonë nënshkruajmë grafikën.

Do të ishte e dobishme të kujtoheshin raste të veçanta të një funksioni linear:

Vini re se si i vendosa nënshkrimet, nënshkrimet nuk duhet të lejojnë mospërputhje gjatë studimit të vizatimit. NË në këtë rast Ishte jashtëzakonisht e padëshirueshme të vendosej një nënshkrim pranë pikës së kryqëzimit të vijave, ose në fund të djathtë midis grafikëve.

1) Një funksion linear i formës () quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë. Për shembull, . Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë kalon gjithmonë përmes origjinës. Kështu, ndërtimi i një vije të drejtë është thjeshtuar - mjafton të gjesh vetëm një pikë.

2) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit vizatohet menjëherë, pa gjetur asnjë pikë. Kjo do të thotë, hyrja duhet të kuptohet si më poshtë: "y është gjithmonë i barabartë me -4, për çdo vlerë të x".

3) Një ekuacion i formës specifikon një vijë të drejtë paralele me boshtin, në veçanti, vetë boshti jepet nga ekuacioni. Grafiku i funksionit gjithashtu vizatohet menjëherë. Hyrja duhet të kuptohet si më poshtë: "x është gjithmonë, për çdo vlerë të y, e barabartë me 1."

Disa do të pyesin, pse e mbani mend klasën e 6-të?! Kështu është, ndoshta është kështu, por gjatë viteve të praktikës kam takuar një duzinë të mirë studentësh që ishin të hutuar nga detyra për të ndërtuar një grafik si ose.

Ndërtimi i një vije të drejtë është veprimi më i zakonshëm kur bëni vizatime.

Vija e drejtë diskutohet në detaje në kursin e gjeometrisë analitike dhe të interesuarit mund t'i referohen artikullit Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan.

Grafiku i një funksioni kuadratik, kub, grafiku i një polinomi

Parabola. Orari funksion kuadratik () përfaqëson një parabolë. Konsideroni rastin e famshëm:

Le të kujtojmë disa veti të funksionit.

Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: – pikërisht në këtë pikë ndodhet kulmi i parabolës. Pse është kështu mund të gjendet në artikullin teorik mbi derivatin dhe mësimin mbi ekstremet e funksionit. Ndërkohë, le të llogarisim vlerën përkatëse "Y":

Kështu, kulmi është në pikën

Tani gjejmë pika të tjera, ndërsa përdorim paturpësisht simetrinë e parabolës. Duhet theksuar se funksioni – nuk është madje, por, megjithatë, askush nuk e anuloi simetrinë e parabolës.

Në çfarë rendi për të gjetur pikat e mbetura, mendoj se do të jetë e qartë nga tabela përfundimtare:

Ky algoritëm ndërtimi në mënyrë figurative mund të quhet "shuttle" ose parimi "para dhe mbrapa" me Anfisa Chekhova.

Le të bëjmë vizatimin:

Nga grafikët e ekzaminuar, një tjetër veçori e dobishme vjen në mendje:

Për një funksion kuadratik () sa vijon është e vërtetë:

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart.

Nëse , atëherë degët e parabolës janë të drejtuara poshtë.

Njohuri të thella për kurbën mund të merren në mësimin Hiperbola dhe parabola.

Një parabolë kubike jepet nga funksioni. Këtu është një vizatim i njohur nga shkolla:

Le të rendisim vetitë kryesore të funksionit

Grafiku i një funksioni

Ai përfaqëson një nga degët e një parabole. Le të bëjmë vizatimin:

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Në këtë rast, boshti është asimptotë vertikale për grafikun e një hiperbole në .

Do të ishte një gabim i rëndë nëse, kur hartoni një vizatim, lejoni pa kujdes grafikun të kryqëzohet me një asimptotë.

Gjithashtu kufijtë e njëanshëm na tregojnë se hiperbola nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë.

Le të shqyrtojmë funksionin në pafundësi: , domethënë, nëse fillojmë të lëvizim përgjatë boshtit majtas (ose djathtas) deri në pafundësi, atëherë "lojërat" do të jenë në një hap të rregullt pafundësisht afër afrohen zero, dhe, në përputhje me rrethanat, degët e hiperbolës pafundësisht afër afrohen boshtit.

Pra, boshti është asimptotë horizontale për grafikun e një funksioni, nëse "x" tenton në pafundësi plus ose minus.

Funksioni është i çuditshëm, dhe, për rrjedhojë, hiperbola është simetrike në lidhje me origjinën. Ky fakt është i dukshëm nga vizatimi, përveç kësaj, verifikohet lehtësisht në mënyrë analitike: .

Grafiku i një funksioni të formës () paraqet dy degë të hiperbolës.

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e parë dhe të tretë të koordinatave(shih foton më lart).

Nëse , atëherë hiperbola ndodhet në tremujorin e dytë dhe të katërt të koordinatave.

Modeli i treguar i qëndrimit të hiperbolës është i lehtë për t'u analizuar nga pikëpamja e transformimeve gjeometrike të grafikëve.

Shembulli 3

Ndërtoni degën e djathtë të hiperbolës

Ne përdorim metodën e ndërtimit me pikë dhe është e dobishme të zgjedhim vlerat në mënyrë që ato të ndahen me një të tërë:

Le të bëjmë vizatimin:

Nuk do të jetë e vështirë të ndërtohet dega e majtë e hiperbolës; çuditshmëria e funksionit do të ndihmojë këtu. Në mënyrë të përafërt, në tabelën e ndërtimit me pikë, ne çdo numër i shtojmë mendërisht një minus, vendosim pikat përkatëse dhe vizatojmë degën e dytë.

Informacione të detajuara gjeometrike rreth vijës së konsideruar mund të gjenden në artikullin Hiperbola dhe parabola.

Grafiku i një funksioni eksponencial

NË këtë paragraf Do të shqyrtoj menjëherë funksionin eksponencial, pasi në problemet e matematikës së lartë në 95% të rasteve është eksponenciali ai që shfaqet.

Më lejoni t'ju kujtoj se ky është një numër irracional: , kjo do të kërkohet kur ndërtoj një grafik, të cilin, në fakt, do ta ndërtoj pa ceremoni. Tre pika janë ndoshta të mjaftueshme:

Le ta lëmë grafikun e funksionit vetëm për momentin, më shumë për të më vonë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Grafikët e funksioneve, etj., duken në thelb të njëjtë.

Duhet të them që rasti i dytë ndodh më rrallë në praktikë, por ndodh, ndaj e pashë të nevojshme ta përfshija në këtë artikull.

Grafiku i një funksioni logaritmik

Konsideroni një funksion me një logaritëm natyror.
Le të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nëse keni harruar se çfarë është logaritmi, ju lutemi referojuni teksteve shkollore.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Domeni:

Gama e vlerave: .

Funksioni nuk është i kufizuar nga lart: , megjithëse ngadalë, por dega e logaritmit shkon deri në pafundësi.
Le të shqyrtojmë sjelljen e funksionit afër zeros në të djathtë: . Pra, boshti është asimptotë vertikale sepse grafiku i një funksioni si “x” priret në zero nga e djathta.

Është e domosdoshme të dihet dhe të mbahet mend vlera tipike e logaritmit: .

Në parim, grafiku i logaritmit ndaj bazës duket i njëjtë: , , (logaritmi dhjetor në bazën 10), etj. Për më tepër, sa më e madhe të jetë baza, aq më i sheshtë do të jetë grafiku.

Ne nuk do ta shqyrtojmë rastin; nuk më kujtohet hera e fundit kur kam ndërtuar një grafik me një bazë të tillë. Dhe logaritmi duket se është një mysafir shumë i rrallë në problemet e matematikës së lartë.

Në fund të këtij paragrafi do të them edhe një fakt: Funksioni eksponencial dhe funksioni logaritmik– këto janë dy funksione reciprokisht të anasjellta. Nëse shikoni nga afër grafikun e logaritmit, mund të shihni se ky është i njëjti eksponent, thjesht ndodhet pak më ndryshe.

Grafikët e funksioneve trigonometrike

Ku fillon mundimi trigonometrik në shkollë? E drejta. Nga sinusi

Le të vizatojmë funksionin

Kjo linjë quhet sinusoid.

Më lejoni t'ju kujtoj se "pi" është një numër irracional: , dhe në trigonometri ju bën sytë të verbojnë.

Karakteristikat kryesore të funksionit:

Ky funksion është periodike me periudhë. Çfarë do të thotë? Le të shohim segmentin. Në të majtë dhe në të djathtë të tij, saktësisht e njëjta pjesë e grafikut përsëritet pafundësisht.

Domeni: , domethënë, për çdo vlerë të "x" ka një vlerë sinus.

Gama e vlerave: . Funksioni është kufizuar: , domethënë, të gjitha "lojërat" qëndrojnë rreptësisht në segmentin .
Kjo nuk ndodh: ose, më saktë, ndodh, por këto ekuacione nuk kanë zgjidhje.

1. Funksioni linear thyesor dhe grafiku i tij

Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.

Ju ndoshta jeni njohur tashmë me konceptin e numrave racionalë. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.

Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës

y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.

Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni thyesor linear është përcaktuar për të gjithë numrat realë përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Quhet një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar të x në vlerë absolute, funksioni y = 1/x zvogëlohet në vlerë absolute të pakufizuar dhe të dy degët e grafikut i afrohen abshisës: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.

Shembulli 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segmente njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke u zhvendosur me 2. segmentet e njësisë lart.

Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshteve koordinative dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.

Për të ndërtuar një grafik të çdo funksioni thyesor-linear arbitrar, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.

Shembulli 2.

Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).

Zgjidhje.

Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben si asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.

Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Kjo do të thotë se asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.

Shembulli 3.

Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.

Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.

Përgjigje: Figura 1.

2. Funksioni racional thyesor

Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome të shkallës më të lartë se e para.

Shembuj të funksioneve të tilla racionale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.

Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.

Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore

Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.

Shembulli 4.

Vizatoni një grafik të funksionit y = 1/x 2 .

Zgjidhje.

Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.

Domeni D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).

Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.

Përgjigje: Figura 2.

Shembulli 5.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Zgjidhje.

Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.

Përgjigje: Figura 3.

Shembulli 6.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.

Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.

Përgjigje: Figura 4.

Shembulli 7.

Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. pika më e lartë në gjysmën e djathtë të grafikut. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Le të zëvendësojmë ekuacionin fillestar me një kuadratik: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A = 1/2.

Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Një nga funksionet më të famshme eksponenciale në matematikë është eksponenti. Ai përfaqëson numrin Euler të ngritur në fuqinë e specifikuar. Në Excel ekziston një operator i veçantë që ju lejon ta llogaritni atë. Le të shohim se si mund të përdoret në praktikë.

Eksponenti është numri i Euler-it i ngritur në një fuqi të caktuar. Vetë numri i Euler-it është afërsisht 2.718281828. Ndonjëherë quhet edhe numri Napier. Funksioni i eksponentit duket si ky:

ku e është numri i Euler-it dhe n është shkalla e ngritjes.

Për të llogaritur këtë tregues në Excel, përdoret një operator i veçantë - EXP. Përveç kësaj, ky funksion mund të shfaqet si grafik. Ne do të flasim për punën me këto mjete më tej.

Metoda 1: Llogaritni eksponentin duke futur manualisht funksionin

EXP (numri)

Kjo do të thotë, kjo formulë përmban vetëm një argument. Është pikërisht fuqia në të cilën duhet të rritet numri i Euler-it. Ky argument mund të jetë i formës vlerë numerike, dhe marrin formën e një referimi për një qelizë që përmban një eksponent.

Metoda 2: Përdorimi i magjistarit të funksionit

Megjithëse sintaksa për llogaritjen e eksponentit është jashtëzakonisht e thjeshtë, disa përdorues preferojnë ta përdorin Funksioni Wizard. Le të shohim se si bëhet kjo me një shembull.

Nëse një referencë qelize që përmban një eksponent përdoret si argument, atëherë duhet të vendosni kursorin në fushë "Numri" dhe thjesht zgjidhni atë qelizë në fletë. Koordinatat e tij do të shfaqen menjëherë në fushë. Pas kësaj, për të llogaritur rezultatin, klikoni në butonin "NE RREGULL".

Metoda 3: komplot

Përveç kësaj, në Excel është e mundur të ndërtohet një grafik duke përdorur si bazë rezultatet e marra nga llogaritja e eksponentit. Për të ndërtuar një grafik, fleta duhet të ketë tashmë vlerat e llogaritura të eksponentit të fuqive të ndryshme. Ato mund të llogariten duke përdorur një nga metodat e përshkruara më sipër.

y (x) = e x, derivati ​​i të cilit është i barabartë me vetë funksionin.

Eksponenti shënohet si , ose .

Numri e

Baza e shkallës së eksponentit është numri e. Ky është një numër irracional. Është afërsisht e barabartë
e ≈ 2,718281828459045...

Numri e përcaktohet përmes kufirit të sekuencës. Ky është i ashtuquajturi kufiri i dytë i mrekullueshëm:
.

Numri e mund të përfaqësohet gjithashtu si një seri:
.

Grafiku eksponencial

Grafiku eksponencial, y = e x.

Grafiku tregon eksponencialin e deri në një shkallë X.
y (x) = e x
Grafiku tregon se eksponenti rritet në mënyrë monotonike.

Formulat

Formulat bazë janë të njëjta si për funksioni eksponencial me bazë fuqie e.

;
;
;

Shprehja e një funksioni eksponencial me një bazë arbitrare të shkallës a përmes një eksponenciale:
.

Vlerat private

Le të y (x) = e x. Pastaj
.

Vetitë e eksponentit

Eksponenti ka vetitë e një funksioni eksponencial me bazë fuqie e > 1 .

Domeni, grup vlerash

Eksponenti y (x) = e x të përcaktuara për të gjitha x.
Fusha e përkufizimit të saj:
- ∞ < x + ∞ .
Shumë kuptime të tij:
0 < y < + ∞ .

Ekstreme, në rritje, në rënie

Eksponenciali është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e eksponentit është logaritmi natyror.
;
.

Derivati ​​i eksponentit

Derivat e deri në një shkallë X e barabartë me e deri në një shkallë X :
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Numrat kompleks

Veprimet me numra komplekse kryhet duke përdorur formulat e Euler-it:
,
ku është njësia imagjinare:
.

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

; ;
.

Shprehje duke përdorur funksione trigonometrike

; ;
;
.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.