Koordinatat gjeografike. Forma dhe madhësia e tokës. sistemet e koordinatave. Lartësitë

Sistemi i koordinatave polar përcaktohet duke specifikuar një pikë të caktuar O, i quajtur pol, që buron nga kjo pikë e rrezes O.A.(e shënuar gjithashtu si kau), i quajtur boshti polar, dhe një shkallë për ndryshimin e gjatësive. Përveç kësaj, kur specifikohet një sistem koordinativ polar, duhet të përcaktohet se cilat rrotullime rreth pikës O konsiderohen pozitive (në vizatime, kthesat në drejtim të kundërt të akrepave të orës zakonisht konsiderohen pozitive).

Pra, le të zgjedhim një pikë të caktuar në aeroplan (figura më lart) O(pol) dhe disa rreze që dalin prej saj kau. Përveç kësaj, ne tregojmë njësinë e shkallës. Koordinatat polare të një pike M quhen dy numra ρ dhe φ, i pari prej të cilëve (rrezja polare ρ) është e barabartë me distancën e pikës M nga shtylla O, dhe e dyta (këndi polar φ, i cili gjithashtu quhet amplitudë) është këndi me të cilin rrezja duhet të rrotullohet në drejtim të kundërt të akrepave të orës kau përpara se të rreshtohen me traun OM.

Ndalesa e plotë M me koordinatat polare ρ dhe φ caktohen me simbol M(ρ, φ) .

Lidhja ndërmjet koordinatave polare dhe koordinatave karteziane

Le të instalojmë marrëdhënia midis koordinatave polare të një pike dhe koordinatave të saj karteziane . Ne do të supozojmë se origjina e sistemit të koordinatave drejtkëndore karteziane është në pol, dhe gjysmë-boshti pozitiv i abshisës përkon me boshtin polar. Lëreni pikën M ka koordinata karteziane x Dhe y dhe koordinatat polare ρ dhe φ. Pastaj

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Koordinatat polare ρ dhe φ të një pike M përcaktohen nga koordinatat karteziane si më poshtë:

Për të gjetur vlerën e këndit φ, duhet të përdorni shenjat x Dhe y, përcaktoni kuadrantin në të cilin ndodhet pika M, dhe, përveç kësaj, përfitoni nga fakti se tangjentja e këndit φ është e barabartë me .

Formulat e mësipërme quhen formula për kalimin nga koordinatat karteziane në polare.

Probleme rreth pikave në sistemin koordinativ polar

Shembulli 1.

A(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Gjeni koordinatat polare të pikave simetrike me këto pika rreth boshtit polar.

Zgjidhje. Me simetri, gjatësia e rrezes nuk ndryshon. Rrjedhimisht, koordinata e parë - gjatësia e rrezes - për një pikë simetrike në lidhje me boshtin polar do të jetë e njëjtë si për pikën e dhënë. Siç shihet nga figura në fillim të mësimit, kur ndërtohet një pikë simetrike në lidhje me boshtin polar, kjo pikë duhet të rrotullohet rreth boshtit polar me të njëjtin kënd φ. Rrjedhimisht, në sistemin e koordinatave polar, koordinata e dytë e pikës simetrike do të jetë këndi për pikën fillestare, i marrë me shenjën e kundërt, pra -φ. Pra, koordinatat polare të një pike simetrike me atë të dhënë në lidhje me boshtin polar do të ndryshojnë vetëm në koordinatën e dytë dhe kjo koordinatë do të ketë shenjën e kundërt. Koordinatat polare të pikave simetrike të kërkuara do të jenë si më poshtë:

A"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Shembulli 2. Në sistemin e koordinatave polar, pikat jepen në rrafsh

A(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Gjeni koordinatat polare të pikave simetrike me këto pika në raport me polin.

Zgjidhje. Me simetri, gjatësia e rrezes nuk ndryshon. Rrjedhimisht, koordinata e parë - gjatësia e rrezes - për një pikë simetrike në raport me polin do të jetë e njëjtë si për pikën e dhënë. Një pikë simetrike në lidhje me polin merret duke rrotulluar pikën e fillimit 180 gradë në të kundërt të akrepave të orës, domethënë nga këndi π . Rrjedhimisht, koordinata e dytë e një pike simetrike me atë të dhënë në lidhje me polin llogaritet si φ + π (nëse rezultati është një numërues më i madh se emëruesi, atëherë zbritni një revolucion të plotë nga numri që rezulton, domethënë 2 π ). Ne marrim koordinatat e mëposhtme të pikave simetrike me të dhënat në lidhje me polin:

A"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Shembulli 3. Poli i sistemit të koordinatave polar përkon me origjinën e koordinatave drejtkëndore karteziane, dhe boshti polar përkon me gjysmë-boshtin pozitiv të abshisës. Pikat janë dhënë në sistemin e koordinatave polar

A(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Gjeni koordinatat karteziane të këtyre pikave.

Zgjidhje. Ne përdorim formula për kalimin nga koordinatat polare në karteziane:

x= ρ cos φ)

y= ρ sin φ) .

Ne marrim koordinatat karteziane të mëposhtme të këtyre pikave:

A(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Shembulli 4. Poli i sistemit të koordinatave polar përkon me origjinën e koordinatave drejtkëndore karteziane, dhe boshti polar përkon me gjysmë-boshtin pozitiv të abshisës. Pikat jepen në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian

A(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Gjeni koordinatat polare të këtyre pikave.

Sistemet e koordinatave të përdorura në topografi: koordinatat gjeografike, drejtkëndore të sheshta, polare dhe bipolare, thelbi dhe përdorimi i tyre

Koordinatat quhen madhësi (numra) këndore dhe lineare që përcaktojnë pozicionin e një pike në çdo sipërfaqe ose në hapësirë.

Në topografi përdoren sisteme koordinative që bëjnë të mundur përcaktimin më të thjeshtë dhe të qartë të pozicionit të pikave në sipërfaqen e tokës, si nga rezultatet e matjeve direkte në tokë ashtu edhe nga hartat. Sisteme të tilla përfshijnë koordinatat gjeografike, të sheshta drejtkëndore, polare dhe bipolare.

Koordinatat gjeografike(Fig. 1) - vlerat këndore: gjerësia (Y) dhe gjatësia (L), të cilat përcaktojnë pozicionin e një objekti në sipërfaqen e tokës në lidhje me origjinën e koordinatave - pika e kryqëzimit të meridianit kryesor (Greenwich) me ekuatorin. Në një hartë, rrjeti gjeografik tregohet nga një shkallë në të gjitha anët e kornizës së hartës. Faqet perëndimore dhe lindore të kornizës janë meridiane, dhe anët veriore dhe jugore janë paralele. Në cepat e fletës së hartës shkruhen koordinatat gjeografike të pikave të kryqëzimit të anëve të kornizës.

Oriz. 1. Sistemi i koordinatave gjeografike në sipërfaqen e tokës

Në sistemin e koordinatave gjeografike, pozicioni i çdo pike në sipërfaqen e tokës në lidhje me origjinën e koordinatave përcaktohet në masë këndore. Në vendin tonë dhe në shumicën e vendeve të tjera, pika e kryqëzimit të meridianit të thjeshtë (Greenwich) me ekuatorin merret si fillim. Duke qenë kështu uniform për të gjithë planetin tonë, sistemi i koordinatave gjeografike është i përshtatshëm për zgjidhjen e problemeve duke përcaktuar pozicioni i ndërsjellë objekte të vendosura në largësi të konsiderueshme nga njëri-tjetri.

Prandaj, në çështjet ushtarake ky sistem përdoret kryesisht për kryerjen e llogaritjeve në lidhje me përdorimin e armëve luftarake. rreze të gjatë, për shembull, raketat balistike, aviacioni, etj.

Koordinatat e planit drejtkëndor(Fig. 2) - sasi lineare që përcaktojnë pozicionin e një objekti në një plan në lidhje me origjinën e pranuar të koordinatave - kryqëzimi i dy vijave pingule reciproke ( boshtet koordinative X dhe Y).

Në topografi, çdo zonë me 6 gradë ka sistemin e vet të koordinatave drejtkëndore. Boshti X është meridiani boshtor i zonës, boshti Y është ekuatori dhe pika e kryqëzimit të meridianit boshtor me ekuatorin është origjina e koordinatave.

Oriz. 2. Sistemi i koordinatave drejtkëndore të sheshta në harta

Sistemi koordinativ drejtkëndor i rrafshët është zonal; është krijuar për secilën zonë me gjashtë shkallë në të cilën ndahet sipërfaqja e Tokës kur e përshkruan atë në harta në projeksionin Gaussian, dhe synon të tregojë pozicionin e imazheve të pikave të sipërfaqes së tokës në një plan (hartë) në këtë projeksion. .

Origjina e koordinatave në një zonë është pika e kryqëzimit të meridianit boshtor me ekuatorin, në lidhje me të cilën pozicioni i të gjitha pikave të tjera në zonë përcaktohet në një masë lineare. Origjina e zonës dhe boshtet e saj koordinative zënë një pozicion të përcaktuar rreptësisht në sipërfaqen e tokës. Prandaj, sistemi i koordinatave drejtkëndore të sheshta të secilës zonë është i lidhur si me sistemet e koordinatave të të gjitha zonave të tjera, ashtu edhe me sistemin e koordinatave gjeografike.

Përdorimi i sasive lineare për të përcaktuar pozicionin e pikave e bën sistemin e koordinatave të sheshta drejtkëndëshe shumë të përshtatshëm për kryerjen e llogaritjeve si gjatë punës në tokë ashtu edhe në hartë. Prandaj, ky sistem përdoret më gjerësisht në mesin e trupave. Koordinatat drejtkëndore tregojnë pozicionin e pikave të terrenit, formacionet e tyre të betejës dhe objektivat, dhe me ndihmën e tyre përcaktojnë pozicionin relativ të objekteve brenda një zone koordinative ose në zonat ngjitur me dy zona.

Sistemet e koordinatave polare dhe bipolare janë sisteme lokale. Në praktikën ushtarake, ato përdoren për të përcaktuar pozicionin e disa pikave në raport me të tjerat në zona relativisht të vogla të terrenit, për shembull, kur përcaktohen objektivat, shënohen pikat referuese dhe objektivat, hartohen diagramet e terrenit, etj. Këto sisteme mund të shoqërohen me sistemet e koordinatave drejtkëndore dhe gjeografike.

Nëse futim një sistem koordinativ në një plan ose në hapësirën tredimensionale, do të jemi në gjendje të përshkruajmë figurat gjeometrike dhe vetitë e tyre duke përdorur ekuacione dhe pabarazi, domethënë do të mund të përdorim metoda algjebër. Prandaj, koncepti i një sistemi koordinativ është shumë i rëndësishëm.

Në këtë artikull do të tregojmë se si përcaktohet një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian në një plan dhe në hapësirën tredimensionale dhe do të zbulojmë se si përcaktohen koordinatat e pikave. Për qartësi, ne ofrojmë ilustrime grafike.

Navigimi i faqes.

Sistemi i koordinatave karteziane drejtkëndëshe në një rrafsh.

Le të prezantojmë një sistem koordinativ drejtkëndor në aeroplan.

Për ta bërë këtë, vizatoni dy vija pingule reciproke në aeroplan dhe zgjidhni në secilën prej tyre drejtim pozitiv, duke e treguar atë me një shigjetë dhe zgjidhni në secilën prej tyre shkallë(njësia e gjatësisë). Le të shënojmë pikën e kryqëzimit të këtyre rreshtave me shkronjën O dhe ta konsiderojmë atë pikënisje. Kështu që ne morëm sistem koordinativ drejtkëndor në sipërfaqe.

Quhet secila nga drejtëzat me origjinë të zgjedhur O, drejtim dhe shkallë vijë koordinative ose boshti koordinativ.

Një sistem koordinativ drejtkëndor në një aeroplan zakonisht shënohet me Oxy, ku Ox dhe Oy janë boshtet e tij koordinative. Boshti Ox quhet boshti x, dhe boshti Oy - boshti y.

Tani le të biem dakord për imazhin e një sistemi koordinativ drejtkëndor në një aeroplan.

Në mënyrë tipike, njësia matëse e gjatësisë në boshtet Ox dhe Oy zgjidhet të jetë e njëjtë dhe vizatohet nga origjina në secilin bosht koordinativ në drejtim pozitiv (shënohet me një vizë në boshtet e koordinatave dhe njësia shkruhet pranë ajo), boshti i abshisave drejtohet djathtas dhe boshti i ordinatave drejtohet lart. Të gjitha opsionet e tjera për drejtimin e boshteve të koordinatave reduktohen në atë të shprehur (boshti Ox - djathtas, boshti Oy - lart) duke e rrotulluar sistemin e koordinatave në një kënd të caktuar në lidhje me origjinën dhe duke e parë atë nga ana tjetër të avionit (nëse është e nevojshme).

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe shpesh quhet Kartezian, pasi u prezantua për herë të parë në aeroplan nga Rene Descartes. Edhe më shpesh, një sistem koordinativ drejtkëndor quhet një sistem koordinativ drejtkëndor Kartezian, duke i bashkuar të gjitha së bashku.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe në hapësirën tredimensionale.

Sistemi i koordinatave drejtkëndëshe Oxyz është vendosur në mënyrë të ngjashme në hapësirën Euklidiane tre-dimensionale, nuk merren vetëm dy, por tre vija reciproke pingule. Me fjalë të tjera, boshteve të koordinatave Ox dhe Oy i shtohet një bosht koordinativ Oz, i cili quhet aks aplikojnë.

Në varësi të drejtimit të boshteve të koordinatave, dallohen sistemet e koordinatave drejtkëndore djathtas dhe majtas në hapësirën tredimensionale.

Nëse shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz dhe rrotullimi më i shkurtër nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox në drejtimin pozitiv të boshtit Oy ndodh në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë sistemi i koordinatave quhet drejtë.

Nëse shikohet nga drejtimi pozitiv i boshtit Oz dhe rrotullimi më i shkurtër nga drejtimi pozitiv i boshtit Ox në drejtimin pozitiv të boshtit Oy ndodh në drejtim të akrepave të orës, atëherë sistemi i koordinatave quhet majtas.

Koordinatat e një pike në një sistem koordinativ kartezian në një plan.

Së pari, merrni parasysh vijën koordinative Ox dhe merrni një pikë M mbi të.

Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme M në këtë vijë koordinative. Për shembull, një pikë e vendosur në një vijë koordinative në një distancë nga origjina në drejtim pozitiv korrespondon me numrin , dhe numri -3 korrespondon me një pikë të vendosur në një distancë prej 3 nga origjina në drejtim negativ. Numri 0 korrespondon me pikën e fillimit.

Nga ana tjetër, çdo pikë M në vijën koordinative Ox korrespondon me një numër real. Ky numër real është zero nëse pika M përkon me origjinën (pika O). Ky numër real është pozitiv dhe i barabartë me gjatësinë e segmentit OM në një shkallë të caktuar nëse pika M hiqet nga origjina në drejtim pozitiv. Ky numër real është negativ dhe i barabartë me gjatësinë e segmentit OM me shenjë minus nëse pika M hiqet nga origjina në drejtim negativ.

Numri thirret koordinoj pikat M në vijën koordinative.

Tani merrni parasysh një rrafsh me sistemin koordinativ kartezian drejtkëndor të futur. Le të shënojmë një pikë arbitrare M në këtë plan.

Le të jetë projeksioni i pikës M në drejtëzën Ox dhe le të jetë projeksioni i pikës M në vijën koordinative Oy (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, nëse përmes pikës M vizatojmë drejtëza pingul me boshtet koordinative Ox dhe Oy, atëherë pikat e prerjes së këtyre drejtëzave me drejtëzat Ox dhe Oy janë pika dhe, përkatësisht.

Lëreni që numri t'i korrespondojë një pike në boshtin koordinativ Ox dhe numri me një pikë në boshtin Oy.

Çdo pikë M e planit në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor kartezian korrespondon me një çift unik të renditur numrash realë, të quajtur koordinatat e pikës M në sipërfaqe. Koordinata quhet abshisa e pikës M, A - ordinata e pikës M.

Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: çdo çift i renditur i numrave realë korrespondon me një pikë M në plan në një sistem të caktuar koordinativ.

Koordinatat e një pike në një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirën tredimensionale.

Le të tregojmë se si përcaktohen koordinatat e pikës M në një sistem koordinativ drejtkëndor të përcaktuar në hapësirën tredimensionale.

Le të jenë dhe projeksionet e pikës M në boshtet koordinative Ox, Oy dhe Oz, përkatësisht. Le të korrespondojnë këto pika në boshtet koordinative Ox, Oy dhe Oz me numra realë dhe.

Projeksionet e pikës M në boshtet e koordinatave mund të merren gjithashtu duke ndërtuar plane pingul me drejtëzat Ox, Oy dhe Oz dhe duke kaluar nëpër pikën M. Këto plane do të kryqëzojnë vijat koordinative Ox, Oy dhe Oz në pikat dhe, përkatësisht.

Çdo pikë në hapësirën tredimensionale në një sistem të caktuar koordinativ kartezian korrespondon me një treshe të renditur të numrave realë, të quajtur koordinatat e pikës M, quhen numrat abshissa, ordinator Dhe aplikojnë pikat M përkatësisht. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: çdo treshe e renditur e numrave realë në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor korrespondon me një pikë M në hapësirën tredimensionale.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Gjeometria. Klasat 7 – 9: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G.. Gjeometri. Libër mësuesi për klasat 10-11 të shkollës së mesme.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 7-të. Pjesa 1: Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm.

Përcaktimi i pozicionit të një pike në hapësirë

Pra, pozicioni i një pike në hapësirë ​​mund të përcaktohet vetëm në lidhje me disa pika të tjera. Pika në lidhje me të cilën merret parasysh pozicioni i pikave të tjera quhet pike referimi . Ne gjithashtu do të përdorim një emër tjetër për pikën e referencës - pikë vëzhgimi . Zakonisht një pikë referimi (ose një pikë vëzhgimi) shoqërohet me disa sistemi i koordinatave , e cila quhet sistemi i referencës. Në sistemin e përzgjedhur të referencës, pozicioni i secilës pikë përcaktohet nga TRE koordinata.

Sistemi i koordinatave karteziane (ose drejtkëndore) në të djathtë

Ky sistem koordinativ përbëhet nga tre vija të drejtuara reciproke pingule, të quajtura gjithashtu boshtet koordinative , duke u kryqëzuar në një pikë (origjina). Pika e origjinës zakonisht shënohet me shkronjën O.

Boshtet e koordinatave emërtohen:

1. Aksi i abshisave – i caktuar si OX;

2. Boshti Y – i shënuar si OY;

3. Aksi aplikativ – i caktuar si OZ

Tani le të shpjegojmë pse ky sistem koordinativ quhet i djathtë. Le të shikojmë rrafshin XOY nga drejtimi pozitiv i boshtit OZ, për shembull nga pika A, siç tregohet në figurë.

Le të supozojmë se fillojmë të rrotullojmë boshtin OX rreth pikës O. Pra - sistemi i duhur i koordinatave ka një veti të tillë që nëse shikoni rrafshin XOY nga çdo pikë në gjysmë-boshtin pozitiv OZ (për ne kjo është pika A) , atëherë, kur e ktheni boshtin OX me 90 në të kundërt të akrepave të orës, drejtimi i tij pozitiv do të përkojë me drejtimin pozitiv të boshtit OY.

Ky vendim është marrë në botën shkencore, thjesht duhet ta pranojmë ashtu siç është.

Pra, pasi kemi vendosur për sistemin e referencës (në rastin tonë, sistemi i koordinatave karteziane të djathtë), pozicioni i çdo pike përshkruhet përmes vlerave të koordinatave të saj ose, me fjalë të tjera, përmes vlerave. të projeksioneve të kësaj pike në boshtet koordinative.

Shkruhet kështu: A(x, y, z), ku x, y, z janë koordinatat e pikës A.

Një sistem koordinativ drejtkëndor mund të mendohet si vijat e kryqëzimit të tre rrafsheve pingul reciprokisht.

Duhet të theksohet se ju mund të orientoni një sistem koordinativ drejtkëndor në hapësirë ​​në çdo mënyrë që dëshironi, dhe duhet të plotësohet vetëm një kusht - origjina e koordinatave duhet të përkojë me qendrën e referencës (ose pikën e vëzhgimit).

Sistemi i koordinatave sferike

Pozicioni i një pike në hapësirë ​​mund të përshkruhet në një mënyrë tjetër. Le të supozojmë se kemi zgjedhur një rajon të hapësirës në të cilin ndodhet pika e referencës O (ose pika e vëzhgimit) dhe dimë gjithashtu distancën nga pika e referencës deri në një pikë të caktuar A. Le t'i lidhim këto dy pika me një vijë të drejtë OA . Kjo linjë quhet vektori i rrezes dhe shënohet si r. Të gjitha pikat që kanë të njëjtën vlerë vektoriale të rrezes shtrihen në një sferë, qendra e së cilës është në pikën e referencës (ose pikën e vëzhgimit), dhe rrezja e kësaj sfere është e barabartë, përkatësisht, me vektorin e rrezes.

Kështu, na bëhet e qartë se njohja e vlerës së vektorit të rrezes nuk na jep një përgjigje të qartë për pozicionin e pikës së interesit për ne. Ju duhen edhe DY koordinata, sepse për të përcaktuar në mënyrë të qartë vendndodhjen e një pike, numri i koordinatave duhet të jetë TRE.

Më tej, ne do të vazhdojmë si më poshtë - do të ndërtojmë dy plane reciproke pingul, të cilat, natyrisht, do të japin një vijë kryqëzimi, dhe kjo linjë do të jetë e pafundme, sepse vetë avionët nuk janë të kufizuar nga asgjë. Le të vendosim një pikë në këtë vijë dhe ta caktojmë atë, për shembull, si pikën O1. Tani le ta kombinojmë këtë pikë O1 me qendrën e sferës - pikën O dhe të shohim se çfarë ndodh?

Dhe rezulton një foto shumë interesante:

· Si njëri ashtu edhe avioni tjetër do të jenë qendrore aeroplanët.

· Prerja e këtyre rrafsheve me sipërfaqen e sferës shënohet me i madh rrathët

· Një nga këto qarqe - në mënyrë arbitrare, ne do të thërrasim EKUATORI, atëherë do të thirret rrethi tjetër MERIDIAN KRYESOR.

· Vija e kryqëzimit të dy planeve do të përcaktojë në mënyrë unike drejtimin LINJAT E MERIDIANIT KRYESOR.

Pikat e kryqëzimit të vijës së meridianit kryesor me sipërfaqen e sferës i shënojmë si M1 dhe M2

Përmes qendrës së sferës, pikës O në rrafshin e meridianit kryesor, vizatojmë një vijë të drejtë pingul me vijën e meridianit kryesor. Kjo vijë e drejtë quhet AKSI POLAR .

Boshti polar do të presë sipërfaqen e sferës në dy pika të quajtura POLET E SFERËS. Le t'i caktojmë këto pika si P1 dhe P2.

Përcaktimi i koordinatave të një pike në hapësirë

Tani do të shqyrtojmë procesin e përcaktimit të koordinatave të një pike në hapësirë, dhe gjithashtu do t'u japim emra këtyre koordinatave. Për të plotësuar figurën, kur përcaktojmë pozicionin e një pike, tregojmë drejtimet kryesore nga të cilat numërohen koordinatat, si dhe drejtimin pozitiv gjatë numërimit.

1. Vendosni pozicionin në hapësirë ​​të pikës së referencës (ose pikës së vëzhgimit). Le ta shënojmë këtë pikë me shkronjën O.

2. Ndërtoni një sferë rrezja e së cilës është e barabartë me gjatësinë e vektorit të rrezes së pikës A. (Vektori i rrezes së pikës A është distanca ndërmjet pikave O dhe A). Qendra e sferës ndodhet në pikën e referencës O.

3. Vendosim pozicionin në hapësirë ​​të rrafshit EKUATOR, dhe në përputhje me rrethanat rrafshin e MERIDIANIT KRYESOR. Duhet kujtuar se këto rrafshe janë reciproke pingule dhe janë qendrore.

4. Prerja e këtyre planeve me sipërfaqen e sferës përcakton për ne pozicionin e rrethit të ekuatorit, rrethin e meridianit kryesor, si dhe drejtimin e vijës së meridianit kryesor dhe boshtit polar.

5. Përcaktoni pozicionin e poleve të boshtit polar dhe poleve të vijës kryesore të meridianit. (Polet e boshtit polar janë pikat e prerjes së boshtit polar me sipërfaqen e sferës. Polet e vijës së meridianit kryesor janë pikat e kryqëzimit të vijës së meridianit kryesor me sipërfaqen e sferës. ).

6. Nëpër pikën A dhe boshtin polar ndërtojmë një rrafsh, të cilin do ta quajmë rrafshi i meridianit të pikës A. Kur ky rrafsh kryqëzohet me sipërfaqen e sferës, do të fitohet një rreth i madh, të cilin do ta quajmë MERIDIAN i pikës A.

7. Meridiani i pikës A do të presë rrethin e EKUATORIT në një moment, të cilin do ta caktojmë si E1.

8. Pozicioni i pikës E1 në rrethin ekuatorial përcaktohet nga gjatësia e harkut të mbyllur midis pikave M1 dhe E1. Numërimi mbrapsht është në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Harku i rrethit ekuatorial i mbyllur midis pikave M1 dhe E1 quhet GJITHËSIA e pikës A. Gjatësia shënohet me shkronjën  .

Le të përmbledhim rezultatet e ndërmjetme. Për momentin, ne dimë DY nga TRE koordinatat që përshkruajnë pozicionin e pikës A në hapësirë ​​- ky është vektori i rrezes (r) dhe gjatësia (). Tani do të përcaktojmë koordinatën e tretë. Kjo koordinatë përcaktohet nga pozicioni i pikës A në meridianin e saj. Por pozicioni i pikës së fillimit nga ku bëhet numërimi nuk është përcaktuar qartë: mund të fillojmë të numërojmë si nga poli i sferës (pika P1) ashtu edhe nga pika E1, domethënë nga pika e kryqëzimit të vijave meridiane. e pikës A dhe ekuatorit (ose thënë ndryshe - nga vija ekuatorit).

Në rastin e parë, pozicioni i pikës A në meridian quhet DISTANCA POLARE (shënohet si R) dhe përcaktohet nga gjatësia e harkut të mbyllur midis pikës P1 (ose pikës së poleve të sferës) dhe pikës A. Numërimi kryhet përgjatë vijës meridiane nga pika P1 në pikën A.

Në rastin e dytë, kur numërimi mbrapsht është nga vija ekuatorit, pozicioni i pikës A në vijën e meridianit quhet GJERËSIA (shënohet si   dhe përcaktohet nga gjatësia e harkut të mbyllur midis pikës E1 dhe pikës A.

Tani më në fund mund të themi se pozicioni i pikës A në një sistem koordinativ sferik përcaktohet nga:

· gjatësia e rrezes së sferës (r),

gjatësia e harkut të gjatësisë (),

gjatësia e harkut të distancës polare (p)

Në këtë rast, koordinatat e pikës A do të shkruhen si më poshtë: A(r, , p)

Nëse përdorim një sistem tjetër referimi, atëherë pozicioni i pikës A në sistemin e koordinatave sferike përcaktohet përmes:

· gjatësia e rrezes së sferës (r),

gjatësia e harkut të gjatësisë (),

· gjatësia e harkut të gjerësisë gjeografike ()

Në këtë rast, koordinatat e pikës A do të shkruhen si më poshtë: A(r, , )

Metodat për matjen e harqeve

Shtrohet pyetja - si t'i masim këto harqe? Mënyra më e thjeshtë dhe më e natyrshme është matja e drejtpërdrejtë e gjatësisë së harqeve me një vizore fleksibël, dhe kjo është e mundur nëse madhësia e sferës është e krahasueshme me madhësinë e një personi. Por çfarë duhet bërë nëse ky kusht nuk plotësohet?

Në këtë rast, ne do të drejtohemi në matjen e gjatësisë RELATIVE të harkut. Ne do të marrim perimetrin si standard, pjesë cili është harku që na intereson. Si mund ta bëj këtë?

Sistemi i koordinatave- një mënyrë për të specifikuar pikat në hapësirë ​​duke përdorur numra. Numri i numrave të nevojshëm për të përcaktuar në mënyrë unike çdo pikë në hapësirë ​​përcakton dimensionin e saj. Një element i detyrueshëm i sistemit të koordinatave është origjinën- pika nga e cila numërohen distancat. Një tjetër element i kërkuar është njësia e gjatësisë, e cila ju lejon të matni distancat. Të gjitha pikat e hapësirës njëdimensionale mund të specifikohen me një origjinë të zgjedhur duke përdorur një numër. Për hapësirën dydimensionale nevojiten dy numra, për hapësirën tredimensionale tre. Këta numra quhen koordinatat.

1. Historia

Zhvillimi i sistemeve të koordinatave në historinë e njerëzimit shoqërohet si me probleme matematikore ashtu edhe me probleme praktike në artin e lundrimit, bazuar në hartografi dhe astronomi. Sistemi i njohur koordinatat, drejtkëndëshe, u propozua nga Rene Descartes në vit. Koncepti i një sistemi koordinativ polar në matematikën evropiane u zhvillua rreth këtyre kohërave, por idetë e para për të ekzistonin në Greqinë e Lashtë, te matematikanët arabë mesjetarë, të cilët zhvilluan metoda për llogaritjen e drejtimit të Qabesë.

Shfaqja e konceptit të sistemeve të koordinatave çoi në zhvillimin e seksioneve të reja të gjeometrisë: analitike, projektive, përshkruese.

2. Sistemi i koordinatave karteziane

Sistemi më i zakonshëm i koordinatave në matematikë është sistemi i koordinatave karteziane, i quajtur pas René Descartes. Sistemi i koordinatave karteziane specifikohet nga origjina dhe tre vektorë që përcaktojnë drejtimin e boshteve të koordinatave. Çdo pikë në hapësirë ​​specifikohet me numra që korrespondojnë me distancën nga kjo pikë në plane koordinative.

Koordinatat e sistemit kartezian në një zgavër zakonisht shënohen me hapësirën.

Sisteme të ndryshme të koordinatave karteziane janë të ndërlidhura me transformime afine: zhvendosje dhe rrotullime.

3. Sistemet e koordinatave kurvilineare

Bazuar në sistemin e koordinatave karteziane, është e mundur të përcaktohet një sistem koordinativ lakor, që është, për shembull, për një hapësirë ​​tre-dimensionale të numrave të lidhur me koordinatat karteziane:

ku të gjitha funksionet janë me një vlerë të vetme dhe të diferencuara vazhdimisht, dhe Jacobian është:

Një shembull i një sistemi koordinativ lakor në një plan është sistemi i koordinatave polar, në të cilin pozicioni i një pike përcaktohet nga dy numra: distanca midis pikës dhe origjinës dhe këndi midis rrezes që lidh origjinën me pika dhe boshti i zgjedhur. Koordinatat karteziane dhe polare të një pike lidhen me njëra-tjetrën me formulat:

Për hapësirën tre-dimensionale, sistemet e koordinatave cilindrike dhe sferike janë të njohura. Kështu, pozicioni i një avioni në hapësirë ​​mund të përcaktohet me tre numra: lartësia, distanca deri në pikën në sipërfaqen e Tokës mbi të cilën ai fluturon dhe këndi midis drejtimit drejt avionit dhe drejtimit në veri. Kjo detyrë korrespondon me një sistem koordinativ cilindrik.Përndryshe, pozicioni i avionit mund të specifikohet nga distanca me të dhe dy kënde: polare dhe azimutale. Kjo detyrë korrespondon me një sistem koordinativ sferik.

Shumëllojshmëria e sistemeve të koordinatave nuk kufizohet vetëm në ato të listuara. Ka shumë sisteme të koordinatave lakuar që janë të përshtatshme për t'u përdorur kur zgjidhni një ose një tjetër problem matematikor.

3.1. Vetitë

Secili prej ekuacioneve specifikon plan koordinativ. Prerja e dy planeve koordinative me të ndryshme i grupe vijë koordinative.Çdo pikë në hapësirë ​​përcaktohet nga kryqëzimi i tre planeve koordinative.

Karakteristikat e rëndësishme të sistemeve të koordinatave kurvilineare janë gjatësia e elementit të harkut dhe elementi i vëllimit në to. Këto sasi përdoren në integrim. Gjatësia e elementit të harkut jepet nga forma kuadratike:

Ato janë përbërës të tenzorit metrikë.

Elementi i vëllimit është i barabartë në sistemin e koordinatave lakor

Katrori i jakobianit është i barabartë me përcaktorin e tenzorit metrikë:

Sistemi i koordinatave quhet drejtë, nëse prekin vijat e koordinatave, drejtohen në drejtim të rritjes së koordinatave përkatëse, ato formojnë një treshe vektorësh në të djathtë.

Kur përshkruhen vektorët në një sistem koordinativ lakor, është i përshtatshëm të përdoret një bazë lokale e përcaktuar në secilën pikë.

4. Në gjeografi

6. Në fizikë

Për të përshkruar lëvizjen e trupave fizikë, fizika përdor konceptin