Ka dridhje harmonike c. Lëvizja osciluese. Dridhjet harmonike. Nëse lëkundja përshkruhet me ligjin e kosinusit

Ky është një lëkundje periodike në të cilën koordinata, shpejtësia, nxitimi që karakterizojnë lëvizjen ndryshojnë sipas ligjit të sinusit ose kosinusit. Ekuacioni i lëkundjes harmonike përcakton varësinë e koordinatave të trupit nga koha

Grafiku i kosinusit në momentin fillestar ka një vlerë maksimale, dhe grafiku i sinusit ka një vlerë zero në momentin fillestar. Nëse fillojmë të shqyrtojmë lëkundjen nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë lëkundja do të përsërisë një sinusoid. Nëse fillojmë të marrim parasysh lëkundjen nga pozicioni i devijimit maksimal, atëherë lëkundjet do të përshkruhen nga një kosinus. Ose një lëkundje e tillë mund të përshkruhet me formulën e sinusit me një fazë fillestare.

Lavjerrësi i matematikës

Ekuacioni i gjendjes së një gazi ideal. Ligjet e gazit.

Numri i shkallëve të lirisë: Ky është numri i variablave të pavarur (koordinatat) që përcaktojnë plotësisht pozicionin e sistemit në hapësirë. Në disa probleme, një molekulë e një gazi monoatomik (Fig. 1, a) konsiderohet si një pikë materiale, së cilës i jepen tre shkallë lirie të lëvizjes përkthimore. Në këtë rast, energjia e lëvizjes rrotulluese nuk merret parasysh. Në mekanikë, një molekulë e një gazi diatomik, në një përafrim të parë, konsiderohet të jetë një grup i dy pikave materiale që janë të lidhura ngushtë me një lidhje jo të deformueshme (Fig. 1, b). Përveç tre shkallëve të lirisë së lëvizjes përkthimore, ky sistem ka edhe dy shkallë të tjera lirie të lëvizjes rrotulluese. Rrotullimi rreth një boshti të tretë që kalon nëpër të dy atomet është i pakuptimtë. Kjo do të thotë se një gaz diatomik ka pesë shkallë lirie ( i= 5). Një molekulë jolineare triatomike (Fig. 1c) dhe poliatomike ka gjashtë shkallë lirie: tre përkthimore dhe tre rrotulluese. Është e natyrshme të supozohet se nuk ka lidhje të ngurtë midis atomeve. Prandaj, për molekulat reale është gjithashtu e nevojshme të merren parasysh shkallët e lirisë së lëvizjes vibruese.

Për çdo numër shkallësh lirie të një molekule të caktuar, tre shkallë lirie janë gjithmonë përkthimore. Asnjë nga shkallët përkthimore të lirisë nuk ka përparësi ndaj të tjerave, që do të thotë se secila prej tyre përbën mesatarisht të njëjtën energji, e barabartë me 1/3 e vlerës<ε 0 >(energjia e lëvizjes përkthimore të molekulave): Në fizikën statistikore rrjedh Ligji i Boltzmann-it mbi shpërndarjen uniforme të energjisë mbi shkallët e lirisë së molekulave: për një sistem statistikor që është në gjendje ekuilibri termodinamik, çdo shkallë lirie përkthimore dhe rrotulluese ka një energji mesatare kinetike të barabartë me kT/2 dhe çdo shkallë vibruese lirie ka një energji mesatare të barabartë me kT. Shkalla e vibrimit ka dyfishin e energjisë, sepse ai merr parasysh energjinë kinetike (si në rastin e lëvizjeve përkthimore dhe rrotulluese) dhe potencialin, dhe vlerat mesatare të energjisë potenciale dhe kinetike janë të njëjta. Kjo do të thotë se energjia mesatare e një molekule Ku i- shuma e numrit të përkthimit, numrit të rrotullimit dhe dyfishi i numrit të shkallëve vibruese të lirisë së molekulës: i=i post + i rrotullohen +2 i dridhjet Në teorinë klasike merren parasysh molekulat me lidhje të ngurtë ndërmjet atomeve; për ata i përkon me numrin e shkallëve të lirisë së molekulës. Meqenëse në një gaz ideal energjia potenciale reciproke e bashkëveprimit ndërmjet molekulave është zero (molekulat nuk ndërveprojnë me njëra-tjetrën), energjia e brendshme për një mol gaz do të jetë e barabartë me shumën e energjive kinetike N A të molekulave: (1 ) Energjia e brendshme për një masë arbitrare m gaz. ku M është masa molare, ν - sasia e substancës.

Lëkundjet quhen lëvizjet ose proceset që karakterizohen nga një përsëritje e caktuar me kalimin e kohës. Lëkundjet janë të përhapura në botën përreth dhe mund të kenë një natyrë shumë të ndryshme. Këto mund të jenë mekanike (lavjerrës), elektromagnetike (qark oshilues) dhe lloje të tjera dridhjesh.
Falas, ose vet lëkundjet quhen lëkundjet që ndodhin në një sistem të lënë në vetvete, pasi ai është nxjerrë nga ekuilibri nga një ndikim i jashtëm. Një shembull është lëkundja e një topi të varur në një varg.

Rol të veçantë në proceset osciluese ka formën më të thjeshtë të lëkundjeve - dridhjet harmonike. Lëkundjet harmonike përbëjnë bazën e një qasjeje të unifikuar për studimin e lëkundjeve të natyrave të ndryshme, pasi lëkundjet që gjenden në natyrë dhe teknologji shpesh janë afër harmonike, dhe proceset periodike të një forme të ndryshme mund të përfaqësohen si një mbivendosje e lëkundjeve harmonike.

Dridhjet harmonike quhen lëkundje të tilla në të cilat madhësia lëkundëse ndryshon me kohën sipas ligjit sinus ose kosinusi.

Ekuacioni Harmonikka formën:

ku A - amplituda e vibrimit (madhësia e devijimit më të madh të sistemit nga pozicioni i ekuilibrit); -frekuencë rrethore (ciklike). Argumenti në ndryshim periodik i kosinusit quhet faza e lëkundjes . Faza e lëkundjes përcakton zhvendosjen e madhësisë lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit në një kohë të caktuar t. Konstanta φ paraqet vlerën e fazës në kohën t = 0 dhe quhet faza fillestare e lëkundjes . Vlera e fazës fillestare përcaktohet nga zgjedhja e pikës së referencës. Vlera x mund të marrë vlera që variojnë nga -A në +A.

Intervali kohor T përmes të cilit përsëriten gjendje të caktuara të sistemit oscilues, quhet periudha e lëkundjes . Kosinusi është një funksion periodik me një periudhë 2π, prandaj, gjatë periudhës kohore T, pas së cilës faza e lëkundjes do të marrë një rritje të barabartë me 2π, gjendja e sistemit që kryen lëkundje harmonike do të përsëritet. Kjo periudhë kohore T quhet periudha e lëkundjeve harmonike.

Periudha e lëkundjeve harmonike është e barabartë me : T = 2π/ .

Numri i lëkundjeve për njësi të kohës quhet frekuenca e dridhjeve ν.
Frekuenca harmonike është e barabartë me: ν = 1/T. Njësia e frekuencës herc(Hz) - një lëkundje në sekondë.

Frekuenca rrethore = 2π/T = 2πν jep numrin e lëkundjeve në 2π sekonda.

Grafikisht, lëkundjet harmonike mund të përshkruhen si një varësi prej x nga t (Fig. 1.1.A), dhe metoda e amplitudës rrotulluese (metoda e diagramit vektor)(Fig.1.1.B) .

Metoda e amplitudës rrotulluese ju lejon të vizualizoni të gjithë parametrat e përfshirë në ekuacionin e dridhjeve harmonike. Në të vërtetë, nëse vektori i amplitudës A e vendosur në një kënd φ ndaj boshtit x (shih figurën 1.1. B), atëherë projeksioni i tij në boshtin x do të jetë i barabartë me: x = Acos(φ). Këndi φ është faza fillestare. Nëse vektori A sillni në rrotullim me një shpejtësi këndore të barabartë me frekuencën rrethore të lëkundjeve, atëherë projeksioni i fundit të vektorit do të lëvizë përgjatë boshtit x dhe do të marrë vlera që variojnë nga -A në +A, dhe koordinata e këtij projeksioni do të ndryshojnë me kalimin e kohës sipas ligjit:
.

Kështu, gjatësia e vektorit është e barabartë me amplituda e lëkundjes harmonike, drejtimi i vektorit në momentin fillestar formon një kënd me boshtin x të barabartë me fazën fillestare të lëkundjeve φ, dhe ndryshimi në këndin e drejtimit me kohë është e barabartë me fazën e lëkundjeve harmonike. Koha gjatë së cilës vektori i amplitudës bën një rrotullim të plotë është e barabartë me periudhën T të lëkundjeve harmonike. Numri i rrotullimeve të vektorit për sekondë është i barabartë me frekuencën e lëkundjes ν.

Dridhjet harmonike

Grafikët e funksioneve f(x) = mëkat ( x) Dhe g(x) = cos( x) në rrafshin kartezian.

Lëkundje harmonike- lëkundjet në të cilat një sasi fizike (ose ndonjë tjetër) ndryshon me kalimin e kohës sipas një ligji sinusoidal ose kosinus. Ekuacioni kinematik i lëkundjeve harmonike ka formën

Ku X- zhvendosja (devijimi) i pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit në kohën t; A- amplituda e lëkundjeve, kjo është vlera që përcakton devijimin maksimal të pikës së lëkundjes nga pozicioni i ekuilibrit; ω - frekuenca ciklike, një vlerë që tregon numrin e lëkundjeve të plota që ndodhin brenda 2π sekondave - faza e plotë e lëkundjeve, - faza fillestare e lëkundjeve.

Lëkundje harmonike e përgjithësuar në formë diferenciale

(Çdo zgjidhje jo e parëndësishme e këtij ekuacioni diferencial është një lëkundje harmonike me një frekuencë ciklike)

Llojet e dridhjeve

Evolucioni kohor i zhvendosjes, shpejtësisë dhe nxitimit në lëvizje harmonike

• Dridhje të lira kryhen nën ndikimin e forcave të brendshme të sistemit pasi sistemi të jetë hequr nga pozicioni i tij ekuilibër. Që lëkundjet e lira të jenë harmonike, është e nevojshme që sistemi oscilues të jetë linear (i përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe të mos ketë shpërndarje energjie në të (kjo e fundit do të shkaktonte zbutje).
• Dridhjet e detyruara kryhen nën ndikimin e një force periodike të jashtme. Që ato të jenë harmonike, mjafton që sistemi oscilues të jetë linear (i përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe vetë forca e jashtme ndryshon me kalimin e kohës si një lëkundje harmonike (d.m.th., varësia kohore e kësaj force është sinusoidale). .

Aplikacion

Vibrimet harmonike dallohen nga të gjitha llojet e tjera të dridhjeve për arsyet e mëposhtme:

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

• Fizika. Libër shkollor fillor i fizikës / Ed. G. S. Lansberg. - botimi i 3-të. - M., 1962. - T. 3.
• Khaikin S.E. Bazat fizike të mekanikës. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Bazat fizike të mekanikës. - Ed. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G. S. Lëkundjet dhe valët. Hyrje në akustikë, radiofizikë dhe optikë. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 f.

Fondacioni Wikimedia. 2010.

Shihni se çfarë janë "Lëkundjet harmonike" në fjalorë të tjerë:

Enciklopedi moderne

Dridhjet harmonike- LIDHJE HARMONIKE, ndryshime periodike në një sasi fizike që ndodhin sipas ligjit sinus. Grafikisht, lëkundjet harmonike përfaqësohen nga një kurbë sinusoidale. Lëkundjet harmonike janë lloji më i thjeshtë i lëvizjeve periodike, të karakterizuara nga... Fjalor Enciklopedik i Ilustruar

Lëkundjet në të cilat një sasi fizike ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit. Grafikisht, GK-të përfaqësohen nga një valë sinusale e lakuar ose valë kosinus (shih figurën); ato mund të shkruhen në formën: x = Asin (ωt + φ) ose x... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

LIDHJE HARMONIKE, lëvizje periodike si lëvizja e lavjerrësit, dridhjet ose lëkundjet atomike në një qark elektrik. Një trup kryen lëkundje harmonike të padurueshme kur lëkundet përgjatë një linje, duke lëvizur njësoj... ... Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik

Lëkundjet, me të cilat fizike (ose çdo sasi tjetër) ndryshon me kalimin e kohës sipas një ligji sinusoidal: x=Asin(wt+j), ku x është vlera e sasisë luhatëse në një kohë të caktuar. momenti i kohës t (për G.K. mekanike, për shembull, zhvendosja ose shpejtësia, për ... ... Enciklopedi fizike

dridhjet harmonike- Lëkundjet mekanike, në të cilat koordinata e përgjithësuar dhe (ose) shpejtësia e përgjithësuar ndryshojnë në proporcion me sinusin me një argument të varur në mënyrë lineare nga koha. [Mbledhja e termave të rekomanduara. Çështja 106. Dridhjet mekanike. Akademia e Shkencave… Udhëzues teknik i përkthyesit

Lëkundjet, me të cilat fizike (ose ndonjë tjetër) sasia ndryshon me kalimin e kohës sipas një ligji sinusoidal, ku x është vlera e sasisë lëkundëse në kohën t (për sistemet hidraulike mekanike, për shembull, zhvendosja dhe shpejtësia, për tensionin elektrik dhe forcën e rrymës) ... Enciklopedi fizike

VIBRACIONET HARMONIKE- (shih), në të cilën fizike. një sasi ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit (për shembull, ndryshimet (shih) dhe shpejtësia gjatë lëkundjes (shih) ose ndryshimet (shih) dhe forca e rrymës gjatë qarqeve elektrike) ... Enciklopedia e Madhe Politeknike

Ato karakterizohen nga një ndryshim në vlerën osciluese x (për shembull, devijimi i lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit, tensioni në qarkun e rrymës alternative, etj.) në kohën t sipas ligjit: x = Asin (?t + ?), ku A është amplituda e lëkundjeve harmonike, ? qoshe...... Fjalori i madh enciklopedik

Dridhjet harmonike- 19. Lëkundjet harmonike Lëkundjet në të cilat vlerat e sasisë lëkundëse ndryshojnë me kalimin e kohës sipas ligjit Burimi ... Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik

Periodike luhatjet, në të cilat ndryshimet në kohë fizike. sasitë ndodhin sipas ligjit të sinusit ose kosinusit (shih figurën): s = Аsin(wt+ф0), ku s është devijimi i madhësisë osciluese nga mesatarja e saj. vlera (ekuilibri), A= amplituda konst, w= konst rrethore... Fjalori i madh enciklopedik politeknik

Lëkundjet harmonike janë lëkundje që kryhen sipas ligjeve të sinusit dhe kosinusit. Figura e mëposhtme tregon një grafik të ndryshimeve në koordinatat e një pike me kalimin e kohës sipas ligjit të kosinusit.

Foto

Amplituda e lëkundjes

Amplituda e një vibrimi harmonik është vlera më e madhe e zhvendosjes së një trupi nga pozicioni i tij ekuilibër. Amplituda mund të marrë vlera të ndryshme. Do të varet nga sa e zhvendosim trupin në momentin fillestar të kohës nga pozicioni i ekuilibrit.

Amplituda përcaktohet nga kushtet fillestare, domethënë energjia që i jepet trupit në momentin fillestar të kohës. Meqenëse sinusi dhe kosinusi mund të marrin vlera në intervalin nga -1 në 1, ekuacioni duhet të përmbajë një faktor Xm, duke shprehur amplituda e lëkundjeve. Ekuacioni i lëvizjes për dridhjet harmonike:

x = Xm*cos(ω0*t).

Periudha e lëkundjeve

Periudha e lëkundjes është koha që duhet për të përfunduar një lëkundje të plotë. Periudha e lëkundjes përcaktohet me shkronjën T. Njësitë matëse të periudhës korrespondojnë me njësitë e kohës. Kjo do të thotë, në SI këto janë sekonda.

Frekuenca e lëkundjeve është numri i lëkundjeve të kryera për njësi të kohës. Frekuenca e lëkundjes përcaktohet me shkronjën ν. Frekuenca e lëkundjeve mund të shprehet në terma të periudhës së lëkundjes.

ν = 1/T.

Njësitë e frekuencës janë në SI 1/sek. Kjo njësi matëse quhet Hertz. Numri i lëkundjeve në një kohë prej 2*pi sekondash do të jetë i barabartë me:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frekuenca e lëkundjeve

Kjo sasi quhet frekuencë ciklike e lëkundjeve. Në disa literaturë shfaqet emri frekuencë rrethore. Frekuenca natyrore e një sistemi oscilues është frekuenca e lëkundjeve të lira.

Frekuenca e lëkundjeve natyrore llogaritet duke përdorur formulën:

Frekuenca e dridhjeve natyrore varet nga vetitë e materialit dhe masa e ngarkesës. Sa më e madhe të jetë ngurtësia e sustës, aq më e madhe është frekuenca e dridhjeve të veta. Sa më e madhe të jetë masa e ngarkesës, aq më e ulët është frekuenca e lëkundjeve natyrore.

Këto dy përfundime janë të dukshme. Sa më e ngurtë të jetë susta, aq më i madh do të jetë përshpejtimi që do t'i japë trupit kur sistemi del jashtë ekuilibrit. Sa më e madhe të jetë masa e një trupi, aq më e ngadaltë do të ndryshojë shpejtësia e këtij trupi.

Periudha e lëkundjeve të lira:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Vlen të përmendet se në kënde të vogla të devijimit, periudha e lëkundjes së trupit në susta dhe periudha e lëkundjes së lavjerrësit nuk do të varen nga amplituda e lëkundjeve.

Le të shkruajmë formulat për periudhën dhe frekuencën e lëkundjeve të lira për një lavjerrës matematikor.

atëherë periudha do të jetë e barabartë

T = 2*pi*√(l/g).

Kjo formulë do të jetë e vlefshme vetëm për kënde të vogla devijimi. Nga formula shohim se periudha e lëkundjes rritet me rritjen e gjatësisë së fillit të lavjerrësit. Sa më e gjatë të jetë gjatësia, aq më ngadalë do të dridhet trupi.

Periudha e lëkundjes nuk varet fare nga masa e ngarkesës. Por kjo varet nga përshpejtimi i rënies së lirë. Ndërsa g zvogëlohet, periudha e lëkundjes do të rritet. Kjo pronë përdoret gjerësisht në praktikë. Për shembull, për të matur vlerën e saktë të nxitimit të lirë.

Lëvizjet që kanë shkallë të ndryshme të përsëritjes quhen luhatjet.

Nëse vlerat e sasive fizike që ndryshojnë gjatë lëvizjes përsëriten në intervale të barabarta kohore, atëherë një lëvizje e tillë quhet periodike. Në varësi të natyrës fizike të procesit oscilues, dallohen lëkundjet mekanike dhe elektromagnetike. Sipas metodës së ngacmimit, dridhjet ndahen në: falas(i vetin), që ndodh në një sistem të paraqitur pranë pozicionit të ekuilibrit pas një ndikimi fillestar; i detyruar– ndodh nën ndikimin periodik të jashtëm.

Kushtet për shfaqjen e lëkundjeve të lira: a) kur një trup largohet nga një pozicion ekuilibri, duhet të lindë një forcë në sistem, duke tentuar ta kthejë atë në pozicionin e ekuilibrit; b) forcat e fërkimit në sistem duhet të jenë mjaft të vogla.

A amplituda A është moduli i devijimit maksimal të pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit.

Lëkundjet e një pike që ndodhin me një amplitudë konstante quhen i pamposhtur, dhe lëkundjet me amplitudë gradualisht në rënie – venitje.

Koha gjatë së cilës ndodh një lëkundje e plotë quhet periudhë(T).

Frekuenca Lëkundjet periodike janë numri i lëkundjeve të plota të kryera për njësi të kohës:

Njësia e frekuencës së dridhjeve - herc(Hz). Herc është frekuenca e lëkundjeve periudha e të cilave është e barabartë me 1 s: 1 Hz = 1 s –1.

Ciklikeose frekuencë rrethore Lëkundjet periodike është numri i lëkundjeve të plota të kryera gjatë kohës 2p me: . =rad/s.

Harmonike- këto janë lëkundje që përshkruhen nga një ligj periodik:

ose (1)

ku është një sasi që ndryshon periodikisht (zhvendosja, shpejtësia, forca, etj.), A është amplituda.

Një sistem ligji i lëvizjes së të cilit ka formën (1) quhet oshilator harmonik . Argumenti i sinusit ose kosinusit thirrur faza e lëkundjes. Faza e lëkundjes përcakton zhvendosjen në kohën t. Faza fillestare përcakton zhvendosjen e trupit në momentin kur fillon koha.

Merrni parasysh kompensimin x një trup oscilues në raport me pozicionin e tij ekuilibër. Ekuacioni i dridhjeve harmonike:

Derivati ​​i parë i kohës jep shprehjen për shpejtësinë e lëvizjes së trupit: ; (2)

Shpejtësia arrin vlerën e saj maksimale në momentin kur =1: . Zhvendosja e pikës në këtë moment është e hershme në zero =0 (Fig. 17.1, b).

Nxitimi gjithashtu ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit harmonik:

ku është vlera maksimale e nxitimit. Shenja minus do të thotë që nxitimi drejtohet në drejtim të kundërt me zhvendosjen, d.m.th. ndryshimi i nxitimit dhe zhvendosjes në antifazë (Fig. 17.1 V). Mund të shihet se shpejtësia arrin vlerën e saj maksimale kur pika e lëkundjes kalon pozicionin e ekuilibrit. Në këtë moment zhvendosja dhe nxitimi janë zero.