Integrale për dummies: si të zgjidhen, rregullat e llogaritjes, shpjegimi. Vetitë themelore të integralit të pacaktuar Vetitë e integraleve të pacaktuara të shumëzimit

Në këtë artikull do të rendisim vetitë kryesore të integralit të caktuar. Shumica e këtyre vetive janë vërtetuar bazuar në konceptet e integralit të caktuar Riemann dhe Darboux.

Llogaritja e integralit të caktuar bëhet shumë shpesh duke përdorur pesë vetitë e para, kështu që ne do t'u referohemi atyre kur është e nevojshme. Vetitë e mbetura të integralit të caktuar përdoren kryesisht për të vlerësuar shprehje të ndryshme.

Përpara se të vazhdoni vetitë themelore të integralit të caktuar, le të biem dakord që a nuk e kalon b.

Për funksionin y = f(x) të përcaktuar në x = a, barazia është e vërtetë.

Kjo do të thotë, vlera e një integrali të caktuar me të njëjtat kufij integrimi është e barabartë me zero. Kjo veti është pasojë e përcaktimit të integralit të Rimanit, pasi në këtë rast çdo shumë integrale për çdo ndarje të intervalit dhe çdo zgjedhje e pikave është e barabartë me zero, pasi, pra, kufiri i shumave integrale është zero.

Për një funksion të integrueshëm në një interval, .

Me fjalë të tjera, kur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të integrimit ndryshojnë vendet, vlera e integralit të caktuar ndryshon në të kundërtën. Kjo veti e një integrali të caktuar rrjedh edhe nga koncepti i integralit Riemann, vetëm numërimi i ndarjes së segmentit duhet të fillojë nga pika x = b.

për funksionet e integrueshme në një interval y = f(x) dhe y = g(x) .

Dëshmi.

Le të shkruajmë shumën integrale të funksionit për një ndarje të caktuar të një segmenti dhe një zgjedhje të caktuar pikash:

ku dhe janë shumat integrale të funksioneve y = f(x) dhe y = g(x) për një ndarje të caktuar të segmentit, respektivisht.

Shkuarja në kufi në ne marrim se, nga përkufizimi i integralit të Riemann-it, është ekuivalent me deklaratën e pronës që provohet.

Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e integralit të caktuar. Kjo do të thotë, për një funksion y = f(x) të integrueshëm në një interval dhe një numër arbitrar k, barazia e mëposhtme vlen: .

Vërtetimi i kësaj vetie të integralit të caktuar është absolutisht i ngjashëm me atë të mëparshëm:


Le të jetë funksioni y = f(x) i integrueshëm në intervalin X, dhe dhe pastaj .

Kjo pronë është e vërtetë për të dyja , dhe ose .

Vërtetimi mund të kryhet bazuar në vetitë e mëparshme të integralit të caktuar.

Nëse një funksion është i integrueshëm në një interval, atëherë ai është i integrueshëm në çdo interval të brendshëm.

Prova bazohet në vetinë e shumave Darboux: nëse pikat e reja i shtohen një ndarjeje ekzistuese të një segmenti, atëherë shuma e poshtme e Darboux nuk do të ulet dhe ajo e sipërme nuk do të rritet.

Nëse funksioni y = f(x) është i integrueshëm në interval dhe për çdo vlerë të argumentit, atëherë .

Kjo veti vërtetohet përmes përkufizimit të integralit të Riemann-it: çdo shumë integrale për çdo zgjedhje të pikave të ndarjes së segmentit dhe pikave në do të jetë jo negative (jo pozitive).

Pasoja.

Për funksionet y = f(x) dhe y = g(x) të integrueshëm në një interval, vlejnë pabarazitë e mëposhtme:


Kjo deklaratë do të thotë se integrimi i pabarazive është i lejueshëm. Ne do ta përdorim këtë përfundim për të vërtetuar vetitë e mëposhtme.

Le të jetë funksioni y = f(x) i integrueshëm në intervalin , atëherë pabarazia vlen .

Dëshmi.

Është e qartë se . Në vetinë e mëparshme, zbuluam se pabarazia mund të integrohet term pas termi, prandaj është e vërtetë . Kjo pabarazi e dyfishtë mund të shkruhet si .

Le të jenë funksionet y = f(x) dhe y = g(x) të integrueshëm në intervalin dhe për çdo vlerë të argumentit, atëherë , Ku Dhe .

Prova kryhet në mënyrë të ngjashme. Meqenëse m dhe M janë më të voglat dhe vlera më e lartë funksioni y = f(x) në segmentin , atëherë . Shumëzimi i pabarazisë së dyfishtë me një funksion jo negativ y = g(x) na çon në sa vijon pabarazi e dyfishtë. Duke e integruar atë në interval, arrijmë në deklaratën që vërtetohet.

Pasoja.

Nëse marrim g(x) = 1, atëherë pabarazia merr formën .

Formula e parë mesatare.

Le të jetë funksioni y = f(x) i integrueshëm në interval, Dhe , atëherë ka një numër të tillë që .

Pasoja.

Nëse funksioni y = f(x) është i vazhdueshëm në interval, atëherë ekziston një numër i tillë që .

Formula e parë e vlerës mesatare në formë të përgjithësuar.

Le të jenë funksionet y = f(x) dhe y = g(x) të integrueshëm në interval, Dhe , dhe g(x) > 0 për çdo vlerë të argumentit. Pastaj ka një numër të tillë që .

Formula e dytë mesatare.

Nëse në një interval funksioni y = f(x) është i integrueshëm dhe y = g(x) është monoton, atëherë ekziston një numër i tillë që barazia .

Detyra kryesore e llogaritjes diferencialeështë gjetja e derivatit f'(x) ose diferencial df=f'(x)dx funksione f(x). Në llogaritjen integrale zgjidhet problemi i anasjelltë. Nga funksioni i dhënë f(x) ju duhet të gjeni një funksion të tillë F(x),Çfarë F'(x)=f(x) ose dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Kështu, detyra kryesore e llogaritjes integraleështë rikthimi i funksionit F(x) nga derivati ​​i njohur (diferenciali) i këtij funksioni. Llogaritja integrale ka aplikime të shumta në gjeometri, mekanikë, fizikë dhe teknologji. Ai jep një metodë të përgjithshme për gjetjen e zonave, vëllimeve, qendrave të gravitetit, etj.

Përkufizimi. FunksioniF(x), , quhet antiderivativ i funksionitf(x) në bashkësinë X nëse është i diferencueshëm për ndonjë dheF'(x)=f(x) osedF(x)=f(x)dx.

Teorema. Çdo vijë e vazhdueshme në intervalin [a;b] funksionf(x) ka një antiderivativ në këtë segmentF(x).

Teorema. NëseF 1 (x) dheF 2 (x) – dy antiderivat të ndryshëm të të njëjtit funksionf(x) në bashkësinë x, atëherë ato ndryshojnë nga njëri-tjetri me një term konstant, d.m.th.F 2 (x)=F 1x)+C, ku C është një konstante.

Jo integral i caktuar, vetitë e tij.

Përkufizimi. TërësiaF(x)+Nga të gjitha funksionet antiderivativef(x) në bashkësinë X quhet integral i pacaktuar dhe shënohet:

- (1)

Në formulën (1) f(x)dx thirrur shprehje integrale,f(x) – funksioni integrand, x – ndryshorja e integrimit, A C – konstante integrimi.

Le të shohim pronat integral i pacaktuar, që rrjedh nga përkufizimi i tij.

1. Derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin, diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:

Dhe .

2. Integral i pacaktuar i diferencialit të disa funksioneve e barabartë me shumën ky funksion dhe një konstante arbitrare:

3. Faktori konstant a (a≠0) mund të merret si shenjë e integralit të pacaktuar:

4. Integrali i pacaktuar i shumës algjebrike të një numri të kufizuar funksionesh është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të këtyre funksioneve:

5. NëseF(x) – antiderivativ i funksionitf(x), atëherë:

6 (invarianca e formulave të integrimit). Çdo formulë integrimi ruan formën e saj nëse ndryshorja e integrimit zëvendësohet nga ndonjë funksion i diferencueshëm i kësaj variabli:

Kuu është një funksion i diferencueshëm.

Tabela e integraleve të pacaktuara.

Le të japim rregullat bazë për integrimin e funksioneve.

Le të japim tabela e integraleve bazë të pacaktuar.(Vini re se këtu, si në llogaritjen diferenciale, shkronja u mund të përcaktohet si një variabël i pavarur (u=x), dhe një funksion i ndryshores së pavarur (u=ju(x)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Quhen integralet 1 – 17 tabelare.

Disa nga formulat e mësipërme në tabelën e integraleve, të cilat nuk kanë analog në tabelën e derivateve, verifikohen duke diferencuar anët e tyre të djathta.

Ndryshimi i ndryshores dhe integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar.

Integrimi me zëvendësim (zëvendësimi i variablave). Le të jetë e nevojshme të llogaritet integrali

, e cila nuk është tabelare. Thelbi i metodës së zëvendësimit është se në integral ndryshorja X zëvendësohet me një ndryshore t sipas formulës x=φ(t), ku dx=φ'(t)dt.

Teorema. Lëreni funksioninx=φ(t) është i përcaktuar dhe i diferencueshëm në një grup të caktuar T dhe le të jetë X bashkësia e vlerave të këtij funksioni në të cilin është përcaktuar funksionif(x). Atëherë nëse në bashkësinë X funksionif(

Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar.

Një antiderivativ i një funksioni f(x) në intervalin (a; b) është një funksion F(x) i tillë që barazia vlen për çdo x nga intervali i dhënë.

Nëse marrim parasysh faktin se derivati ​​i konstantës C është i barabartë me zero, atëherë barazia është e vërtetë . Kështu, funksioni f(x) ka një grup antiderivativësh F(x)+C, për një konstante arbitrare C, dhe këta antiderivativë ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një vlerë konstante arbitrare.

I gjithë grupi i antiderivativëve të funksionit f(x) quhet integral i pacaktuar i këtij funksioni dhe shënohet .

Shprehja quhet integrand, dhe f(x) quhet integrand. Integrandi paraqet diferencialin e funksionit f(x).

Veprimi i gjetjes së një funksioni të panjohur duke pasur parasysh diferencialin e tij quhet integrim i pacaktuar, sepse rezultati i integrimit nuk është një funksion F(x), por një grup i antiderivativëve të tij F(x)+C.

Integralet e tabelave

Vetitë më të thjeshta të integraleve

1. Derivati ​​i rezultatit të integrimit është i barabartë me integrandin.

2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni është i barabartë me shumën e vetë funksionit dhe një konstante arbitrare.

3. Koeficienti mund të nxirret nga shenja e integralit të pacaktuar.

4. Integrali i pacaktuar i shumës/diferencës së funksioneve është i barabartë me shumën/diferencën e integraleve të pacaktuara të funksioneve.

Janë dhënë për sqarim barazitë e ndërmjetme të vetive të para dhe të dyta të integralit të pacaktuar.

Për të vërtetuar vetitë e treta dhe të katërta, mjafton të gjejmë derivatet e anëve të djathta të barazive:

Këto derivate janë të barabarta me integrandët, që është një provë për shkak të vetive të parë. Përdoret edhe në tranzicionet e fundit.

Kështu, problemi i integrimit është e kundërta e problemit të diferencimit dhe ekziston një lidhje shumë e ngushtë midis këtyre problemeve:

vetia e parë lejon që dikush të kontrollojë integrimin. Për të kontrolluar korrektësinë e integrimit të kryer, mjafton të llogaritet derivati ​​i rezultatit të marrë. Nëse funksioni i marrë si rezultat i diferencimit rezulton i barabartë me integranin, kjo do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte;

vetia e dytë e integralit të pacaktuar lejon që njeriu të gjejë antiderivativin e tij nga një diferencial i njohur i një funksioni. Llogaritja e drejtpërdrejtë e integraleve të pacaktuar bazohet në këtë veti.

1.4.Invarianca e formave të integrimit.

Integrimi invariant është një lloj integrimi për funksionet, argumentet e të cilëve janë elementë të një grupi ose pika të një hapësire homogjene (çdo pikë në një hapësirë ​​të tillë mund të transferohet në një tjetër nga një veprim i caktuar i grupit).

funksioni f(x) reduktohet në llogaritjen e integralit të formës diferenciale f.w, ku

Një formulë e qartë për r(x) është dhënë më poshtë. Kushti i marrëveshjes ka formën .

këtu Tg nënkupton operatorin e zhvendosjes në X duke përdorur gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Le të jetë X=G një topologji, një grup që vepron mbi vetveten me ndërrime majtas. I. dhe. ekziston nëse dhe vetëm nëse G është lokalisht kompakt (në veçanti, në grupet me dimensione të pafundme I.I. nuk ekziston). Për një nëngrup të I. dhe. Funksioni karakteristik cA (i barabartë me 1 në A dhe 0 jashtë A) specifikon masën e majtë Xaar m(A). Vetia përcaktuese e kësaj mase është pandryshueshmëria e saj nën zhvendosjet majtas: m(g-1A)=m(A) për të gjitha gОG. Masa e majtë Haar në një grup përcaktohet në mënyrë unike deri në një faktor skalar pozitiv. Nëse dihet masa e Haarit m, atëherë I. dhe. funksioni f jepet me formulë . Masa e duhur Haar ka veti të ngjashme. Ekziston një homomorfizëm i vazhdueshëm (harta që ruan vetinë e grupit) DG e grupit G në pozicionin e grupit (në lidhje me shumëzimin). numrat për të cilët

ku dmr dhe dmi janë masat Haar djathtas dhe majtas. Funksioni DG(g) thirret moduli i grupit G. Nëse , atëherë thirret grupi G. unimodular; në këtë rast masa e Haar-it djathtas dhe majtas përputhen. Grupet kompakte, gjysmë të thjeshta dhe jofuqishme (në veçanti, komutative) janë jomodulare. Nëse G është një grup Lie n-dimensionale dhe q1,...,qn është një bazë në hapësirën e formave 1-invariante majtas në G, atëherë masa e majtë Haar në G jepet nga forma n. Në koordinatat lokale për llogaritje

formon qi, mund të përdorni çdo realizim matricë të grupit G: matrica 1-formë g-1dg lihet e pandryshueshme dhe koeficienti i saj. janë 1-forma skalare invariante majtas nga të cilat zgjidhet baza e kërkuar. Për shembull, grupi i plotë i matricës GL(n, R) është unimodular dhe masa Haar në të jepet nga forma. Le X=G/H është një hapësirë ​​homogjene për të cilën grupi lokalisht kompakt G është një grup transformimi, dhe nëngrupi i mbyllur H është stabilizues i një pike të caktuar. Në mënyrë që një i.i. të ekzistojë në X, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që për të gjitha hОH të jetë barazia DG(h)=DH(h). Në veçanti, kjo është e vërtetë në rastin kur H është kompakt ose gjysmë i thjeshtë. Teoria e plotë e I. dhe. nuk ekziston në manifoldet me dimensione të pafundme.

Zëvendësimi i variablave.

Këto veti përdoren për të kryer transformime të integralit për ta reduktuar atë në një nga integralet elementare dhe për llogaritjen e mëtejshme.

1. Derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:

2. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:

3. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni të caktuar është i barabartë me shumën e këtij funksioni dhe një konstante arbitrare:

4. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:

Për më tepër, një ≠ 0

5. Integrali i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve:

6. Prona është një kombinim i vetive 4 dhe 5:

Për më tepër, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Vetia e pandryshueshmërisë së integralit të pacaktuar:

Nese atehere

8. Prona:

Nese atehere

Në fakt, kjo veti është një rast i veçantë i integrimit duke përdorur metodën e ndryshimit të ndryshoreve, e cila diskutohet më në detaje në seksionin vijues.

Le të shohim një shembull:

Fillimisht aplikuam vetinë 5, më pas vetinë 4, më pas përdorëm tabelën e antiderivativëve dhe morëm rezultatin.

Algoritmi i kalkulatorit tonë integral në internet mbështet të gjitha vetitë e listuara më sipër dhe mund të gjenden lehtësisht zgjidhje e detajuar për integralin tuaj.

Zgjidhja e integraleve është një detyrë e lehtë, por vetëm për disa të zgjedhur. Ky artikull është për ata që duan të mësojnë të kuptojnë integralet, por nuk dinë asgjë ose pothuajse asgjë rreth tyre. Integrale... Pse nevojitet? Si për të llogaritur atë? Cilat janë integralet e përcaktuara dhe të pacaktuara?

Nëse i vetmi përdorim që dini për një integral është përdorimi i një grep me grep në formë si një ikonë integrale për të marrë diçka të dobishme nga vendet e vështira për t'u arritur, atëherë mirëpresim! Zbuloni se si të zgjidhni integralet më të thjeshta dhe të tjera dhe pse nuk mund të bëni pa të në matematikë.

Ne studiojmë konceptin « integrale »

Integrimi dihej që në atë kohë Egjipti i lashte. Sigurisht, jo në formën e tij moderne, por ende. Që atëherë, matematikanët kanë shkruar shumë libra mbi këtë temë. Veçanërisht u dalluan Njutoni Dhe Leibniz , por thelbi i gjërave nuk ka ndryshuar.

Si të kuptoni integralet nga e para? Në asnjë mënyrë! Për të kuptuar këtë temë, do t'ju duhet ende një kuptim bazë i bazave. analiza matematikore. Ne tashmë kemi informacione në lidhje me kufijtë dhe derivatet, të nevojshme për të kuptuar integralet, në blogun tonë.

Integrali i pacaktuar

Le të kemi një funksion f(x) .

Funksion integral i pacaktuar f(x) ky funksion quhet F(x) , derivati ​​i të cilit është i barabartë me funksionin f(x) .

Me fjalë të tjera, një integral është një derivat në të kundërt ose një antideriv. Nga rruga, lexoni artikullin tonë se si të llogaritni derivatet.

Antiderivati ​​ekziston për të gjithë funksionet e vazhdueshme. Gjithashtu, një shenjë konstante i shtohet shpesh antiderivativit, pasi derivatet e funksioneve që ndryshojnë nga një konstante përkojnë. Procesi i gjetjes së integralit quhet integrim.

Shembull i thjeshtë:

Për të mos llogaritur vazhdimisht antiderivatet funksionet elementare, është e përshtatshme për t'i përmbledhur ato në një tabelë dhe për të përdorur vlera të gatshme.

Tabela e plotë e integraleve për nxënësit

Integral i caktuar

Kur kemi të bëjmë me konceptin e një integrali, kemi të bëjmë me madhësi infiniteminale. Integrali do të ndihmojë për të llogaritur sipërfaqen e një figure, masën e një trupi jo uniform, distancën e përshkuar gjatë lëvizjes së pabarabartë dhe shumë më tepër. Duhet mbajtur mend se një integral është shuma e një numri pafundësisht të madh të termave infiniteminal.

Si shembull, imagjinoni një grafik të një funksioni.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga grafiku i një funksioni? Duke përdorur një integral! Le ta ndajmë trapezin lakor, të kufizuar nga boshtet koordinative dhe grafiku i funksionit, në segmente pafundësisht të vogla. Në këtë mënyrë figura do të ndahet në kolona të holla. Shuma e sipërfaqeve të kolonave do të jetë zona e trapezit. Por mbani mend se një llogaritje e tillë do të japë një rezultat të përafërt. Megjithatë, sa më të vogla dhe më të ngushta të jenë segmentet, aq më e saktë do të jetë llogaritja. Nëse i zvogëlojmë ato në një masë të tillë që gjatësia të tentojë në zero, atëherë shuma e sipërfaqeve të segmenteve do të priret në sipërfaqen e figurës. Ky është një integral i caktuar, i cili shkruhet kështu:

Pikat a dhe b quhen kufijtë e integrimit.

« Integrale »

Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%. çdo lloj pune

Rregullat për llogaritjen e integraleve për dummies

Vetitë e integralit të pacaktuar

Si të zgjidhim një integral të pacaktuar? Këtu do të shikojmë vetitë e integralit të pacaktuar, të cilat do të jenë të dobishme gjatë zgjidhjes së shembujve.

• Derivati ​​i integralit është i barabartë me integrandin:

• Konstanta mund të hiqet nga nën shenjën integrale:

• Integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve. Kjo është gjithashtu e vërtetë për ndryshimin:

Vetitë e një integrali të caktuar

• Lineariteti:

• Shenja e integralit ndryshon nëse këmbehen kufijtë e integrimit:

• Në ndonjë pikë a, b Dhe Me:

Ne kemi zbuluar tashmë se një integral i caktuar është kufiri i një shume. Por si të merrni një vlerë specifike kur zgjidhni një shembull? Për këtë ekziston formula e Newton-Leibniz:

Shembuj të zgjidhjes së integraleve

Më poshtë do të shqyrtojmë integralin e pacaktuar dhe shembuj me zgjidhje. Ne ju sugjerojmë të kuptoni vetë ndërlikimet e zgjidhjes, dhe nëse diçka është e paqartë, bëni pyetje në komente.

Për të përforcuar materialin, shikoni një video se si zgjidhen integralet në praktikë. Mos u dëshpëroni nëse integrali nuk jepet menjëherë. Kontaktoni një shërbim profesional për studentët dhe çdo integral i trefishtë ose i lakuar mbi një sipërfaqe të mbyllur do të jetë në fuqinë tuaj.