Integralet dhe vetitë e tyre. Vetitë themelore të integralit të pacaktuar. Vetitë themelore të integralit të caktuar

Lëreni funksionin y = f(x) përcaktohet në intervalin [ a, b ], a < b. Le të kryejmë operacionet e mëposhtme:

1) le të ndajmë [ a, b] pika a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b në n segmente të pjesshme [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) në secilin nga segmentet e pjesshme [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, zgjidhni një pikë arbitrare dhe llogaritni vlerën e funksionit në këtë pikë: f(z i ) ;

3) gjeni punimet f(z i ) · Δ x i , ku është gjatësia e segmentit të pjesshëm [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) le të rikuperojmë shuma integrale funksione y = f(x) në segmentin [ a, b ]:

ME pikë gjeometrike Nga një këndvështrim vizual, kjo shumë σ është shuma e sipërfaqeve të drejtkëndëshave, bazat e të cilëve janë segmente të pjesshme [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], dhe lartësitë janë të barabarta f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) në përputhje me rrethanat (Fig. 1). Le të shënojmë me λ gjatësia e segmentit të pjesshëm më të gjatë:

5) gjeni kufirin e shumës integrale kur λ → 0.

Përkufizimi. Nëse ka një kufi të fundëm të shumës integrale (1) dhe nuk varet nga metoda e ndarjes së segmentit [ a, b] në segmente të pjesshme, as nga përzgjedhja e pikave z i në to, atëherë ky kufi quhet integral i caktuar nga funksioni y = f(x) në segmentin [ a, b] dhe shënohet

Kështu,

Në këtë rast funksioni f(x) quhet të integrueshme në [ a, b]. Numrat a Dhe b quhen përkatësisht kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të integrimit, f(x) – funksioni integrues, f(x ) dx- shprehje integrale, x– variabli i integrimit; segmenti i linjës [ a, b] quhet intervali i integrimit.

Teorema 1. Nëse funksioni y = f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b], atëherë është i integrueshëm në këtë interval.

Integrali i caktuar me të njëjtat kufij integrimi është i barabartë me zero:

Nëse a > b, atëherë, sipas përkufizimit, supozojmë

2. Kuptimi gjeometrik i integralit të caktuar

Lëreni segmentin [ a, b] specifikohet një funksion i vazhdueshëm jo negativ y = f(x ) . Trapezoid lakorështë një figurë e kufizuar më sipër nga grafiku i një funksioni y = f(x), nga poshtë - përgjatë boshtit Ox, majtas dhe djathtas - linjat e drejta x = a Dhe x = b(Fig. 2).

Integrali i caktuar i një funksioni jo negativ y = f(x) nga pikëpamja gjeometrike e barabartë me sipërfaqen trapezi lakor i kufizuar më sipër nga grafiku i funksionit y = f(x), segmentet e vijës majtas dhe djathtas x = a Dhe x = b, nga poshtë - një segment i boshtit Ox.

3. Vetitë themelore të integralit të caktuar

1. Kuptimi integral i caktuar nuk varet nga përcaktimi i variablit të integrimit:

2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e integralit të caktuar:

3. Integrali i caktuar i shumës algjebrike të dy funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të përcaktuara të këtyre funksioneve:

4.Nëse funksioni y = f(x) është i integrueshëm në [ a, b] Dhe a < b < c, Kjo

5. (Teorema e vlerës mesatare). Nëse funksioni y = f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b], atëherë në këtë segment ka një pikë të tillë që

4. Formula Njuton–Leibniz

Teorema 2. Nëse funksioni y = f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b] Dhe F(x) është ndonjë nga antiderivativët e tij në këtë segment, atëherë formula e mëposhtme është e vlefshme:

që quhet Formula Njuton-Leibniz. Diferenca F(b) - F(a) zakonisht shkruhet si më poshtë:

ku simboli quhet karakter i dyfishtë.

Kështu, formula (2) mund të shkruhet si:

Shembulli 1. Llogarit integralin

Zgjidhje. Për integrimin f(x ) = x 2 një antideriv arbitrar ka formën

Meqenëse çdo antiderivativ mund të përdoret në formulën Newton-Leibniz, për të llogaritur integralin marrim antiderivativin që ka formën më të thjeshtë:

5. Ndryshimi i ndryshores në një integral të caktuar

Teorema 3. Lëreni funksionin y = f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b]. Nëse:

1) funksion x = φ ( t) dhe derivati ​​i tij φ "( t) janë të vazhdueshme për ;

2) një grup vlerash funksioni x = φ ( t) për është segmenti [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, atëherë formula është e vlefshme

që quhet formula për ndryshimin e një ndryshoreje në një integral të caktuar .

Ndryshe nga integral i pacaktuar, V në këtë rast jo e nevojshme për t'u kthyer në variablin origjinal të integrimit - mjafton vetëm të gjesh kufij të rinj të integrimit α dhe β (për këtë ju duhet të zgjidhni për ndryshoren t ekuacionet φ ( t) = a dhe φ ( t) = b).

Në vend të zëvendësimit x = φ ( t) mund të përdorni zëvendësimin t = g(x) . Në këtë rast, gjetja e kufijve të rinj të integrimit mbi një ndryshore t thjeshton: α = g(a) , β = g(b) .

Shembulli 2. Llogarit integralin

Zgjidhje. Le të prezantojmë një ndryshore të re duke përdorur formulën. Duke vendosur në katror të dy anët e barazisë, marrim 1 + x = t 2 , ku x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Ne gjejmë kufij të rinj të integrimit. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë kufijtë e vjetër në formulë x = 3 dhe x = 8. Marrim: , nga ku t= 2 dhe α = 2; , ku t= 3 dhe β = 3. Pra,

Shembulli 3. Llogaritni

Zgjidhje. Le u= log x, Pastaj, v = x. Sipas formulës (4)

Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar.

Një antiderivativ i një funksioni f(x) në intervalin (a; b) është një funksion F(x) i tillë që barazia vlen për çdo x nga intervali i dhënë.

Nëse marrim parasysh faktin se derivati ​​i konstantës C është i barabartë me zero, atëherë barazia është e vërtetë . Kështu, funksioni f(x) ka një grup antiderivativësh F(x)+C, për një konstante arbitrare C, dhe këta antiderivativë ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një vlerë konstante arbitrare.

I gjithë grupi i antiderivativëve të funksionit f(x) quhet integral i pacaktuar i këtij funksioni dhe shënohet .

Shprehja quhet integrand, dhe f(x) quhet integrand. Integrandi paraqet diferencialin e funksionit f(x).

Veprimi i gjetjes së një funksioni të panjohur duke pasur parasysh diferencialin e tij quhet integrim i pacaktuar, sepse rezultati i integrimit nuk është një funksion F(x), por një grup i antiderivativëve të tij F(x)+C.

Integralet e tabelave

Vetitë më të thjeshta të integraleve

1. Derivati ​​i rezultatit të integrimit është i barabartë me integrandin.

2. Integrali i pacaktuar i funksionit diferencial e barabartë me shumën vetë funksioni dhe një konstante arbitrare.

3. Koeficienti mund të nxirret nga shenja e integralit të pacaktuar.

4. Integrali i pacaktuar i shumës/diferencës së funksioneve është i barabartë me shumën/diferencën e integraleve të pacaktuara të funksioneve.

Janë dhënë për sqarim barazitë e ndërmjetme të vetive të para dhe të dyta të integralit të pacaktuar.

Për të vërtetuar vetitë e treta dhe të katërta, mjafton të gjejmë derivatet e anëve të djathta të barazive:

Këto derivate janë të barabarta me integrandët, që është një provë për shkak të vetive të parë. Përdoret edhe në tranzicionet e fundit.

Kështu, problemi i integrimit është e kundërta e problemit të diferencimit dhe ekziston një lidhje shumë e ngushtë midis këtyre problemeve:

vetia e parë lejon që dikush të kontrollojë integrimin. Për të kontrolluar korrektësinë e integrimit të kryer, mjafton të llogaritet derivati ​​i rezultatit të marrë. Nëse funksioni i marrë si rezultat i diferencimit rezulton i barabartë me integranin, kjo do të thotë se integrimi është kryer në mënyrë korrekte;

vetia e dytë e integralit të pacaktuar lejon që njeriu të gjejë antiderivativin e tij nga një diferencial i njohur i një funksioni. Llogaritja e drejtpërdrejtë e integraleve të pacaktuar bazohet në këtë veti.

1.4.Invarianca e formave të integrimit.

Integrimi invariant është një lloj integrimi për funksionet, argumentet e të cilëve janë elementë të një grupi ose pika të një hapësire homogjene (çdo pikë në një hapësirë ​​të tillë mund të transferohet në një tjetër nga një veprim i caktuar i grupit).

funksioni f(x) reduktohet në llogaritjen e integralit të formës diferenciale f.w, ku

Një formulë e qartë për r(x) është dhënë më poshtë. Kushti i marrëveshjes ka formën .

këtu Tg nënkupton operatorin e zhvendosjes në X duke përdorur gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Le të jetë X=G një topologji, një grup që vepron mbi vetveten me ndërrime majtas. I. dhe. ekziston nëse dhe vetëm nëse G është lokalisht kompakt (në veçanti, në grupet me dimensione të pafundme I.I. nuk ekziston). Për një nëngrup të I. dhe. Funksioni karakteristik cA (i barabartë me 1 në A dhe 0 jashtë A) specifikon masën e majtë Xaar m(A). Vetia përcaktuese e kësaj mase është pandryshueshmëria e saj nën zhvendosjet majtas: m(g-1A)=m(A) për të gjitha gОG. Masa e majtë Haar në një grup përcaktohet në mënyrë unike deri në një faktor skalar pozitiv. Nëse dihet masa e Haarit m, atëherë I. dhe. funksioni f jepet me formulë . Masa e duhur Haar ka veti të ngjashme. Ekziston një homomorfizëm i vazhdueshëm (harta që ruan vetinë e grupit) DG e grupit G në pozicionin e grupit (në lidhje me shumëzimin). numrat për të cilët

ku dmr dhe dmi janë masat Haar djathtas dhe majtas. Funksioni DG(g) thirret moduli i grupit G. Nëse , atëherë thirret grupi G. unimodular; në këtë rast masa e Haar-it djathtas dhe majtas përputhen. Grupet kompakte, gjysmë të thjeshta dhe jofuqishme (në veçanti, komutative) janë jomodulare. Nëse G është një grup Lie n-dimensionale dhe q1,...,qn është një bazë në hapësirën e formave 1-invariante majtas në G, atëherë masa e majtë Haar në G jepet nga forma n. Në koordinatat lokale për llogaritje

formon qi, mund të përdorni çdo realizim matricë të grupit G: matrica 1-formë g-1dg lihet e pandryshueshme dhe koeficienti i saj. janë 1-forma skalare invariante majtas nga të cilat zgjidhet baza e kërkuar. Për shembull, grupi i plotë i matricës GL(n, R) është unimodular dhe masa Haar në të jepet nga forma. Le X=G/H është një hapësirë ​​homogjene për të cilën grupi lokalisht kompakt G është një grup transformimi, dhe nëngrupi i mbyllur H është stabilizues i një pike të caktuar. Në mënyrë që një i.i. të ekzistojë në X, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që për të gjitha hОH të jetë barazia DG(h)=DH(h). Në veçanti, kjo është e vërtetë në rastin kur H është kompakt ose gjysmë i thjeshtë. Teoria e plotë e I. dhe. nuk ekziston në manifoldet me dimensione të pafundme.

Zëvendësimi i variablave.

Zgjidhja e integraleve është një detyrë e lehtë, por vetëm për disa të zgjedhur. Ky artikull është për ata që duan të mësojnë të kuptojnë integralet, por nuk dinë asgjë ose pothuajse asgjë rreth tyre. Integrale... Pse nevojitet? Si për të llogaritur atë? Cilat janë integralet e përcaktuara dhe të pacaktuara?

Nëse i vetmi përdorim që dini për një integral është përdorimi i një grep me grep në formë si një ikonë integrale për të marrë diçka të dobishme nga vendet e vështira për t'u arritur, atëherë mirëpresim! Zbuloni se si të zgjidhni integralet më të thjeshta dhe të tjera dhe pse nuk mund të bëni pa të në matematikë.

Ne studiojmë konceptin « integrale »

Integrimi dihej që në atë kohë Egjipti i lashte. Sigurisht, jo në formën e tij moderne, por ende. Që atëherë, matematikanët kanë shkruar shumë libra mbi këtë temë. Veçanërisht u dalluan Njutoni Dhe Leibniz , por thelbi i gjërave nuk ka ndryshuar.

Si të kuptoni integralet nga e para? Në asnjë mënyrë! Për të kuptuar këtë temë, do t'ju duhet ende një kuptim bazë i bazave. analiza matematikore. Ne tashmë kemi informacione rreth , të nevojshme për të kuptuar integralet, në blogun tonë.

Integrali i pacaktuar

Le të kemi një funksion f(x) .

Funksion integral i pacaktuar f(x) ky funksion quhet F(x) , derivati ​​i të cilit është i barabartë me funksionin f(x) .

Me fjalë të tjera, një integral është një derivat në të kundërt ose një antideriv. Nga rruga, lexoni se si në artikullin tonë.

Ekziston një antiderivativ për të gjitha funksionet e vazhdueshme. Gjithashtu, një shenjë konstante i shtohet shpesh antiderivativit, pasi derivatet e funksioneve që ndryshojnë nga një konstante përkojnë. Procesi i gjetjes së integralit quhet integrim.

Shembull i thjeshtë:

Për të mos llogaritur vazhdimisht antiderivatet funksionet elementare, është e përshtatshme për t'i përmbledhur ato në një tabelë dhe për të përdorur vlera të gatshme.

Tabela e plotë e integraleve për nxënësit

Integral i caktuar

Kur kemi të bëjmë me konceptin e një integrali, kemi të bëjmë me madhësi infiniteminale. Integrali do të ndihmojë për të llogaritur sipërfaqen e një figure, masën e një trupi jo uniform, distancën e përshkuar gjatë lëvizjes së pabarabartë dhe shumë më tepër. Duhet mbajtur mend se një integral është shuma e një numri pafundësisht të madh të termave infiniteminal.

Si shembull, imagjinoni një grafik të një funksioni.

Si të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar nga grafiku i një funksioni? Duke përdorur një integral! Le ta ndajmë trapezin lakor, të kufizuar nga boshtet koordinative dhe grafiku i funksionit, në segmente pafundësisht të vogla. Në këtë mënyrë figura do të ndahet në kolona të holla. Shuma e sipërfaqeve të kolonave do të jetë zona e trapezit. Por mbani mend se një llogaritje e tillë do të japë një rezultat të përafërt. Megjithatë, sa më të vogla dhe më të ngushta të jenë segmentet, aq më e saktë do të jetë llogaritja. Nëse i zvogëlojmë ato në një masë të tillë që gjatësia të tentojë në zero, atëherë shuma e sipërfaqeve të segmenteve do të priret në sipërfaqen e figurës. Ky është një integral i caktuar, i cili shkruhet kështu:

Pikat a dhe b quhen kufijtë e integrimit.

« Integrale »

Meqe ra fjala! Për lexuesit tanë tani ka një zbritje prej 10%.

Rregullat për llogaritjen e integraleve për dummies

Vetitë e integralit të pacaktuar

Si të zgjidhim një integral të pacaktuar? Këtu do të shikojmë vetitë e integralit të pacaktuar, të cilat do të jenë të dobishme gjatë zgjidhjes së shembujve.

• Derivati ​​i integralit është i barabartë me integrandin:

• Konstanta mund të hiqet nga nën shenjën integrale:

• Integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve. Kjo është gjithashtu e vërtetë për ndryshimin:

Vetitë e një integrali të caktuar

• Lineariteti:

• Shenja e integralit ndryshon nëse këmbehen kufijtë e integrimit:

• Në ndonjë pikë a, b Dhe Me:

Ne kemi zbuluar tashmë se një integral i caktuar është kufiri i një shume. Por si të merrni një vlerë specifike kur zgjidhni një shembull? Për këtë ekziston formula e Newton-Leibniz:

Shembuj të zgjidhjes së integraleve

Më poshtë do të shqyrtojmë integralin e pacaktuar dhe shembuj me zgjidhje. Ne ju sugjerojmë të kuptoni vetë ndërlikimet e zgjidhjes, dhe nëse diçka është e paqartë, bëni pyetje në komente.

Për të përforcuar materialin, shikoni një video se si zgjidhen integralet në praktikë. Mos u dëshpëroni nëse integrali nuk jepet menjëherë. Kontaktoni një shërbim profesional për studentët dhe çdo integral i trefishtë ose i lakuar mbi një sipërfaqe të mbyllur do të jetë në fuqinë tuaj.

Ky artikull flet në detaje për vetitë kryesore të integralit të caktuar. Ato vërtetohen duke përdorur konceptin e integralit Riemann dhe Darboux. Llogaritja e një integrali të caktuar bëhet falë 5 vetive. Ato që mbeten përdoren për të vlerësuar shprehje të ndryshme.

Përpara se të kalojmë te vetitë kryesore të integralit të caktuar, është e nevojshme të sigurohemi që a nuk e kalon b.

Vetitë themelore të integralit të caktuar

Funksioni y = f (x) i përcaktuar në x = a është i ngjashëm me barazinë e drejtë ∫ a a f (x) d x = 0.

Dëshmia 1

Nga kjo shohim se vlera e integralit me kufij që përputhen është e barabartë me zero. Kjo është pasojë e integralit të Riemann-it, sepse çdo shumë integrale σ për çdo ndarje në intervalin [a; a ] dhe çdo zgjedhje e pikave ζ i është e barabartë me zero, sepse x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , që do të thotë se gjejmë se kufiri i funksioneve integrale është zero.

Përkufizimi 2

Për një funksion që është i integrueshëm në intervalin [a; b ] , kushti ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x është i plotësuar.

Dëshmia 2

Me fjalë të tjera, nëse ndërroni kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të integrimit, vlera e integralit do të ndryshojë në vlerën e kundërt. Kjo veti është marrë nga integrali Riemann. Megjithatë, numërimi i ndarjes së segmentit fillon nga pika x = b.

Përkufizimi 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x zbatohet për funksionet e integrueshme të tipit y = f (x) dhe y = g (x) të përcaktuar në intervalin [ a ; b].

Dëshmia 3

Shkruani shumën integrale të funksionit y = f (x) ± g (x) për ndarjen në segmente me një zgjedhje të caktuar të pikave ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

ku σ f dhe σ g janë shumat integrale të funksioneve y = f (x) dhe y = g (x) për ndarjen e segmentit. Pas kalimit në kufirin në λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 marrim se lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Nga përkufizimi i Riemann-it, kjo shprehje është ekuivalente.

Përkufizimi 4

Zgjerimi i faktorit konstant përtej shenjës së integralit të caktuar. Funksioni i integruar nga intervali [a; b ] me një vlerë arbitrare k ka një pabarazi të drejtë të formës ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Prova 4

Vërtetimi i vetive integrale të përcaktuar është i ngjashëm me atë të mëparshëm:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Përkufizimi 5

Nëse një funksion i formës y = f (x) është i integrueshëm në një interval x me një ∈ x, b ∈ x, marrim se ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Dëshmia 5

Prona konsiderohet e vlefshme për c ∈ a; b, për c ≤ a dhe c ≥ b. Prova është e ngjashme me pronat e mëparshme.

Përkufizimi 6

Kur një funksion mund të jetë i integrueshëm nga segmenti [a; b ], atëherë kjo është e realizueshme për çdo segment të brendshëm c; d ∈ a; b.

Prova 6

Vërtetimi bazohet në vetinë Darboux: nëse pikat i shtohen një ndarje ekzistuese të një segmenti, atëherë shuma e poshtme e Darboux nuk do të ulet dhe ajo e sipërme nuk do të rritet.

Përkufizimi 7

Kur një funksion është i integrueshëm në [a; b ] nga f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 për çdo vlerë x ∈ a ; b , atëherë marrim se ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Vetia mund të vërtetohet duke përdorur përkufizimin e integralit të Riemann-it: çdo shumë integrale për çdo zgjedhje të pikave të ndarjes së segmentit dhe pikave ζ i me kushtin që f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 është jonegative .

Dëshmia 7

Nëse funksionet y = f (x) dhe y = g (x) janë të integrueshëm në intervalin [ a ; b ], atëherë pabarazitë e mëposhtme konsiderohen të vlefshme:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Falë deklaratës, ne e dimë se integrimi është i lejueshëm. Kjo përfundim do të përdoret në vërtetimin e pronave të tjera.

Përkufizimi 8

Për një funksion të integrueshëm y = f (x) nga intervali [ a ; b ] kemi një pabarazi të drejtë të formës ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Prova 8

Kemi që - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Nga vetia e mëparshme kemi gjetur se pabarazia mund të integrohet term pas termi dhe i përgjigjet një pabarazie të formës - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Kjo pabarazi e dyfishtë mund të shkruhet në një formë tjetër: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Përkufizimi 9

Kur funksionet y = f (x) dhe y = g (x) janë të integruara nga intervali [ a ; b ] për g (x) ≥ 0 për çdo x ∈ a ; b , marrim një pabarazi të formës m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , ku m = m i n x ∈ a ; b f (x) dhe M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Dëshmia 9

Prova kryhet në të njëjtën mënyrë. M dhe m konsiderohen si vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit y = f (x) të përcaktuara nga segmenti [a; b ] , atëherë m ≤ f (x) ≤ M . Është e nevojshme të shumëzohet pabarazia e dyfishtë me funksionin y = g (x), i cili jep vlerën pabarazi e dyfishtë të formës m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . Është e nevojshme të integrohet në intervalin [a; b ], atëherë marrim pohimin për t'u vërtetuar.

Pasoja: Për g (x) = 1, pabarazia merr formën m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Formula e parë mesatare

Për y = f (x) i integrueshëm në intervalin [ a ; b ] me m = m i n x ∈ a ; b f (x) dhe M = m a x x ∈ a ; b f (x) ka një numër μ ∈ m; M , që i përshtatet ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Pasoja: Kur funksioni y = f (x) është i vazhdueshëm nga intervali [ a ; b ], atëherë ka një numër c ∈ a; b, që plotëson barazinë ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Formula e parë mesatare në formë të përgjithësuar

Kur funksionet y = f (x) dhe y = g (x) janë të integrueshëm nga intervali [ a ; b ] me m = m i n x ∈ a ; b f (x) dhe M = m a x x ∈ a ; b f (x) , dhe g (x) > 0 për çdo vlerë x ∈ a ; b. Nga këtu kemi se ka një numër μ ∈ m; M , e cila plotëson barazinë ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x.

Formula e dytë mesatare

Kur funksioni y = f (x) është i integrueshëm nga intervali [ a ; b ], dhe y = g (x) është monoton, atëherë ka një numër që c ∈ a; b , ku marrim një barazi të drejtë të formës ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në llogaritjen diferenciale problemi zgjidhet: nën këtë funksion ƒ(x) gjeni derivatin e tij(ose diferencial). Llogaritja integrale zgjidh problemin e anasjelltë: gjeni funksionin F(x), duke ditur derivatin e tij F "(x)=ƒ(x) (ose diferencial). Funksioni i kërkuar F(x) quhet antiderivativ i funksionit ƒ(x ).

Funksioni F(x) thirret antiderivativ funksioni ƒ(x) në intervalin (a; b), nëse për çdo x є (a; b) barazia

F "(x)=ƒ(x) (ose dF(x)=ƒ(x)dx).

Për shembull, antiderivati ​​i funksionit y = x 2, x є R, është funksioni, pasi

Natyrisht, çdo funksion do të jetë gjithashtu antiderivativ

ku C është një konstante, pasi

Teorema 29. 1. Nëse funksioni F(x) është një antiderivativ i funksionit ƒ(x) në (a;b), atëherë bashkësia e të gjithë antiderivativëve për ƒ(x) jepet me formulën F(x)+ C, ku C është një numër konstant.

▲ Funksioni F(x)+C është një antiderivativ i ƒ(x).

Në të vërtetë, (F(x)+C) " =F" (x)=ƒ(x).

Le të jetë Ф(x) ndonjë tjetër, i ndryshëm nga F(x), antiderivativ i funksionit ƒ(x), d.m.th. Ф "(x)=ƒ(х). Atëherë për çdo x є (а;b) kemi

Dhe kjo do të thotë (shih Konkluzion 25.1) se

ku C është një numër konstant. Prandaj, Ф(x)=F(x)+С.▼

Bashkësia e të gjitha funksioneve antiderivative F(x)+С për ƒ(x) quhet integrali i pacaktuar i funksionit ƒ(x) dhe shënohet me simbolin ∫ ƒ(x) dx.

Kështu, sipas përkufizimit

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Këtu quhet ƒ(x). funksioni i integruar, ƒ(x)dx — shprehje integrale, X - variabli i integrimit, ∫ -shenjë e integralit të pacaktuar.

Veprimi i gjetjes së integralit të pacaktuar të një funksioni quhet integrimi i këtij funksioni.

Gjeometrikisht, integrali i pacaktuar është një familje kurbash “paralele” y=F(x)+C (çdo vlerë numerike e C-së i korrespondon një kurbë specifike të familjes) (shih Fig. 166). Grafiku i çdo antiderivati ​​(kurbë) quhet kurba integrale.

A ka çdo funksion një integral të pacaktuar?

Ekziston një teoremë që thotë se "çdo funksion i vazhdueshëm në (a;b) ka një antiderivativ në këtë interval", dhe, rrjedhimisht, një integral të pacaktuar.

Le të vërejmë një sërë veçorish të integralit të pacaktuar që rrjedhin nga përkufizimi i tij.

1. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Në të vërtetë, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F "(x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Falë kësaj vetie, korrektësia e integrimit kontrollohet me diferencim. Për shembull, barazia

∫(3x 2 + 4) dx=х z +4х+С

e vërtetë, pasi (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni të caktuar është i barabartë me shumën e këtij funksioni dhe një konstante arbitrare:

∫dF(x)= F(x)+C.

Vërtet,

3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:

α ≠ 0 është një konstante.

Vërtet,

(vendosni C 1 / a = C.)

4. Integrali i pacaktuar i shumës algjebrike të një numri të caktuar funksionesh të vazhdueshme është i barabartë me shumën algjebrike të integraleve të përmbledhjeve të funksioneve:

Le të jetë F"(x)=ƒ(x) dhe G"(x)=g(x). Pastaj

ku C 1 ± C 2 =C.

5. (Invarianca e formulës së integrimit).

Nëse , ku u=φ(x) është një funksion arbitrar me një derivat të vazhdueshëm.

▲ Le të jetë x një ndryshore e pavarur, ƒ(x) - funksion të vazhdueshëm dhe F(x) është antigjeni i tij. Pastaj

Le të vendosim tani u=φ(x), ku φ(x) është një funksion vazhdimisht i diferencueshëm. Konsideroni funksionin kompleks F(u)=F(φ(x)). Për shkak të pandryshueshmërisë së formës së diferencialit të parë të funksionit (shih f. 160), kemi

Nga këtu▼

Kështu, formula për integralin e pacaktuar mbetet e vlefshme pavarësisht nëse ndryshorja e integrimit është ndryshore e pavarur apo ndonjë funksion i saj që ka një derivat të vazhdueshëm.

Pra, nga formula duke zëvendësuar x me u (u=φ(x)) marrim

Veçanërisht,

Shembulli 29.1. Gjeni integralin

ku C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Shembulli 29.2. Gjeni zgjidhjen integrale:

• 29.3. Tabela e integraleve bazë të pacaktuar

Duke përfituar nga fakti se integrimi është veprimi i anasjelltë i diferencimit, mund të merret një tabelë e integraleve bazë duke përmbysur formulat përkatëse të llogaritjes diferenciale (tabela e diferencialeve) dhe duke përdorur vetitë e integralit të pacaktuar.

Për shembull, sepse

d(sin u)=cos u . du

Derivimi i një numri formulash në tabelë do të jepet kur merren parasysh metodat bazë të integrimit.

Integralet në tabelën e mëposhtme quhen tabelare. Ata duhet të njihen përmendësh. Në llogaritjen integrale nuk ka rregulla të thjeshta dhe universale për gjetjen e antiderivativëve të funksioneve elementare, si në llogaritjen diferenciale. Metodat për gjetjen e antiderivativëve (d.m.th., integrimi i një funksioni) reduktohen në teknikat e treguara që sjellin një integral të caktuar (të kërkuar) në një tabelar. Prandaj, është e nevojshme të njihni integralet e tabelave dhe të jeni në gjendje t'i njihni ato.

Vini re se në tabelën e integraleve bazë, ndryshorja e integrimit mund të tregojë si një variabël të pavarur ashtu edhe një funksion të ndryshores së pavarur (sipas vetive të pandryshueshmërisë së formulës së integrimit).

Vlefshmëria e formulave të mëposhtme mund të verifikohet duke marrë diferencialin në anën e djathtë, i cili do të jetë i barabartë me integrandin në anën e majtë të formulës.

Le të provojmë, për shembull, vlefshmërinë e formulës 2. Funksioni 1/u është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm për të gjitha vlerat e dhe përveç zeros.

Nëse u > 0, atëherë ln|u|=lnu, atëherë Kjo është arsyeja pse

Nëse ju<0, то ln|u|=ln(-u). НоDo të thotë

Pra, formula 2 është e saktë. Në mënyrë të ngjashme, le të kontrollojmë formulën 15:

Tabela e integraleve kryesore

Miqtë! Ju ftojmë të diskutojmë. Nëse keni mendimin tuaj, na shkruani në komente.