Integrimi - MT1205: Analiza Matematikore për Ekonomistët - Informatikë Biznesi. Integrimi i disa thyesave. Metoda dhe teknika për zgjidhjen Rregullat për integrimin e thyesave

Thyesa quhet e saktë, nëse shkalla më e lartë e numëruesit është më e vogël se shkalla më e lartë e emëruesit. Integrali i një thyese të duhur racionale ka formën:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Formula për integrimin e thyesave racionale varet nga rrënjët e polinomit në emërues. Nëse polinomi $ax^2+bx+c $ ka:

1. Vetëm rrënjët komplekse, atëherë është e nevojshme të nxirret një katror i plotë prej tij: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Rrënjë reale të ndryshme $ x_1 $ dhe $ x_2 $, atëherë duhet të zgjeroni integralin dhe të gjeni koeficientët e pacaktuar $ A $ dhe $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Një rrënjë e shumëfishtë $ x_1 $, më pas zgjerojmë integralin dhe gjejmë koeficientët e pacaktuar $ A $ dhe $ B $ për formulën e mëposhtme: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Nëse thyesa është gabim, domethënë, shkalla më e lartë në numërues është më e madhe ose e barabartë me shkallën më të lartë të emëruesit, atëherë së pari duhet të reduktohet në e saktë formoni duke pjesëtuar polinomin nga numëruesi me polinomin nga emëruesi. NË në këtë rast formula për integrimin e një thyese racionale ka formën:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Shembuj zgjidhjesh

Materiali i paraqitur në këtë temë bazohet në informacionin e paraqitur në temën "Tyesat racionale. Zbërthimi i thyesave racionale në thyesa elementare (të thjeshta)". Unë rekomandoj shumë që të paktën të kaloni nëpër këtë temë përpara se të kaloni te leximi. të këtij materiali. Për më tepër, do të na duhet një tabelë integralesh të pacaktuar.

Më lejoni t'ju kujtoj disa terma. Ato u diskutuan në temën përkatëse, kështu që këtu do të kufizohem në një formulim të shkurtër.

Raporti i dy polinomeve $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ quhet funksion racional ose thyesë racionale. Thyesa racionale quhet e saktë, nëse $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется gabim.

Thyesat racionale elementare (më të thjeshta) janë thyesa racionale të katër llojeve:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Shënim (e dëshirueshme për një kuptim më të plotë të tekstit): shfaq/fsheh

Pse nevojitet kushti $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Për shembull, për shprehjen $x^2+5x+10$ marrim: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Meqenëse $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Meqë ra fjala, për këtë kontroll nuk është aspak e nevojshme që koeficienti para $x^2$ të jetë i barabartë me 1. Për shembull, për $5x^2+7x-3=0$ marrim: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Meqenëse $D > 0$, shprehja $5x^2+7x-3$ është e faktorizueshme.

Mund të gjenden shembuj të thyesave racionale (të duhura dhe të pahijshme), si dhe shembuj të zbërthimit të një thyese racionale në ato elementare. Këtu do të na interesojnë vetëm çështjet e integrimit të tyre. Le të fillojmë me integrimin e thyesave elementare. Pra, secili nga katër llojet e fraksioneve elementare të mësipërme është i lehtë për t'u integruar duke përdorur formulat e mëposhtme. Më lejoni t'ju kujtoj se kur integrohen thyesat e llojeve (2) dhe (4), supozohen $n=2,3,4,\ldots$. Formulat (3) dhe (4) kërkojnë plotësimin e kushtit $p^2-4q< 0$.

\fillimi(ekuacioni) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \fund(ekuacioni) \fillimi(ekuacioni) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \fund(ekuacioni) \fillimi(ekuacioni) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \fund(ekuacion)

Për $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ bëhet zëvendësimi $t=x+\frac(p)(2)$, pas së cilës intervali që rezulton është ndarë në dy. E para do të llogaritet duke futur nën shenjën diferenciale dhe e dyta do të ketë formën $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Ky integral merret duke përdorur relacionin e përsëritjes

\fillim(ekuacion) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\në N\fund (ekuacioni)

Llogaritja e një integrali të tillë diskutohet në shembullin nr. 7 (shih pjesën e tretë).

Skema për llogaritjen e integraleve të funksioneve racionale (thyesat racionale):

1. Nëse integrandi është elementar, atëherë aplikoni formulat (1)-(4).
2. Nëse integrandi nuk është elementar, atëherë përfaqësojeni atë si një shumë të thyesave elementare dhe më pas integrojeni duke përdorur formulat (1)-(4).

Algoritmi i mësipërm për integrimin e fraksioneve racionale ka një avantazh të pamohueshëm - është universal. ato. duke përdorur këtë algoritëm ju mund të integroni ndonjë thyesa racionale. Kjo është arsyeja pse pothuajse të gjitha ndryshimet e ndryshoreve në një integral të pacaktuar (Euler, Chebyshev, zëvendësimi universal trigonometrik) bëhen në atë mënyrë që pas këtij ndryshimi të marrim një fraksion racional nën interval. Dhe pastaj aplikoni algoritmin për të. Ne do të analizojmë zbatimin e drejtpërdrejtë të këtij algoritmi duke përdorur shembuj, pasi të bëjmë një shënim të vogël.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Në parim, ky integral është i lehtë për t'u marrë pa aplikim mekanik të formulës. Nëse marrim konstanten $7$ nga shenja integrale dhe marrim parasysh se $dx=d(x+9)$, marrim:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Për informacion të detajuar, unë rekomandoj të shikoni temën. Ai shpjegon në detaje se si zgjidhen integrale të tillë. Nga rruga, formula vërtetohet nga të njëjtat transformime që u zbatuan në këtë paragraf kur zgjidhet "me dorë".

2) Përsëri, ka dy mënyra: përdorni formulën e gatshme ose bëni pa të. Nëse aplikoni formulën, atëherë duhet të keni parasysh se koeficienti përpara $x$ (numri 4) do të duhet të hiqet. Për ta bërë këtë, le të marrim këto katër nga kllapat:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\djathtas)\djathtas)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8). $$

Tani është koha për të aplikuar formulën:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\majtas(x+\frac(19)(4)\djathtas)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\majtas(x+\frac(19)(4) \djathtas)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \djathtas)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \djathtas )^7)+C. $$

Ju mund të bëni pa përdorur formulën. Dhe edhe pa hequr 4$ konstante nga kllapat. Nëse marrim parasysh se $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, marrim:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Shpjegime të hollësishme për gjetjen e integraleve të tilla jepen në temën “Integrimi me zëvendësim (zëvendësimi nën shenjën diferenciale)”.

3) Duhet të integrojmë thyesën $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Kjo thyesë ka strukturën $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, ku $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Megjithatë, për t'u siguruar që kjo është me të vërtetë një fraksion elementar i llojit të tretë, duhet të kontrolloni nëse kushti $p^2-4q plotësohet< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Le të zgjidhim të njëjtin shembull, por pa përdorur një formulë të gatshme. Le të përpiqemi të izolojmë derivatin e emëruesit në numërues. Çfarë do të thotë kjo? Ne e dimë se $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Është shprehja $2x+10$ që duhet ta izolojmë në numërues. Deri tani numëruesi përmban vetëm $4x+7$, por kjo nuk do të zgjasë shumë. Le të zbatojmë transformimin e mëposhtëm në numërues:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Tani shprehja e kërkuar $2x+10$ shfaqet në numërues. Dhe integrali ynë mund të rishkruhet si më poshtë:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Le ta ndajmë integranin në dysh. Epo, dhe, në përputhje me rrethanat, vetë integrali është gjithashtu "i dyfishuar":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \djathtas)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Le të flasim fillimisht për integralin e parë, d.m.th. rreth $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Meqenëse $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, atëherë numëruesi i integrandit përmban diferencialin e emëruesit. Shkurtimisht, në vend të kësaj të shprehjes $( 2x+10)dx$ shkruajmë $d(x^2+10x+34)$.

Tani le të themi disa fjalë për integralin e dytë. Le të zgjedhim një katror të plotë në emërues: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Përveç kësaj, ne marrim parasysh $dx=d(x+5)$. Tani shuma e integraleve që kemi marrë më parë mund të rishkruhet në një formë paksa të ndryshme:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Nëse bëjmë zëvendësimin $u=x^2+10x+34$ në integralin e parë, atëherë ai do të marrë formën $\int\frac(du)(u)$ dhe mund të merret thjesht duke aplikuar formulën e dytë nga . Sa i përket integralit të dytë, ndryshimi $u=x+5$ është i realizueshëm për të, pas së cilës ai do të marrë formën $\int\frac(du)(u^2+9)$. Kjo është formula e njëmbëdhjetë më e pastër nga tabela e integraleve të pacaktuara. Pra, duke u kthyer në shumën e integraleve, kemi:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ne morëm të njëjtën përgjigje si gjatë aplikimit të formulës, e cila, në mënyrë rigoroze, nuk është befasuese. Në përgjithësi, formula vërtetohet me të njëjtat metoda që kemi përdorur për të gjetur këtë integral. Besoj se lexuesi i vëmendshëm mund të ketë një pyetje këtu, ndaj do ta formuloj:

Pyetja nr. 1

Nëse aplikojmë formulën e dytë nga tabela e integraleve të pacaktuara në integralin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, atëherë marrim si vijon:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Pse nuk kishte asnjë modul në zgjidhje?

Përgjigja e pyetjes numër 1

Pyetja është krejtësisht e natyrshme. Moduli mungonte vetëm sepse shprehja $x^2+10x+34$ për çdo $x\in R$ është më e madhe se zero. Kjo është mjaft e lehtë për t'u treguar në disa mënyra. Për shembull, meqë $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ dhe $(x+5)^2 ≥ 0$, pastaj $(x+5)^2+9 > 0$ . Mund të mendoni ndryshe, pa përdorur përzgjedhjen e një katrori të plotë. Që nga $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ për çdo $x\në R$ (nëse ky zinxhir logjik është befasues, ju këshilloj të shikoni metodën grafike për zgjidhjen e pabarazive kuadratike). Në çdo rast, meqë $x^2+10x+34 > 0$, atëherë $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, d.m.th. Në vend të një moduli, mund të përdorni kllapa të rregullta.

Të gjitha pikat e shembullit nr. 1 janë zgjidhur, ajo që mbetet është të shkruajmë përgjigjen.

Përgjigju:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Shembulli nr. 2

Gjeni integralin $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Në pamje të parë, fraksioni integrand $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ është shumë i ngjashëm me një fraksion elementar të tipit të tretë, d.m.th. nga $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Duket se ndryshimi i vetëm është koeficienti prej $3$ përballë $x^2$, por nuk kërkon shumë kohë për të hequr koeficientin (e vendosim jashtë kllapave). Megjithatë, kjo ngjashmëri është e dukshme. Për thyesën $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ kushti $p^2-4q është i detyrueshëm< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Koeficienti ynë përpara $x^2$ nuk është i barabartë me një, prandaj kontrolloni kushtin $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, prandaj shprehja $3x^2-5x-2$ mund të faktorizohet. Kjo do të thotë se fraksioni $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nuk është një fraksion elementar i llojit të tretë dhe aplikoni $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) në formulën integrale 5x-2)dx$ nuk është e mundur.

Epo, nëse thyesa racionale e dhënë nuk është një thyesë elementare, atëherë ajo duhet të paraqitet si një shumë e thyesave elementare dhe pastaj të integrohet. Me pak fjalë, përfitoni nga shtegu. Si të zbërthehet një thyesë racionale në ato elementare është shkruar në detaje. Le të fillojmë duke faktorizuar emëruesin:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \fillimi(lidhur) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ fund (lidhur)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\djathtas)\djathtas)\cdot (x-2)= 3\cdot\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2). $$

Ne e paraqesim fraksionin nënndërkalues ​​në këtë formë:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2)). $$

Tani le të zbërthejmë fraksionin $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))$ në ato elementare:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas))(\majtas(x+ \frac(1)(3)\djathtas)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)( 3)\djathtas). $$

Për të gjetur koeficientët $A$ dhe $B$ ekzistojnë dy mënyra standarde: metoda e koeficientëve të papërcaktuar dhe metoda e zëvendësimit të vlerave të pjesshme. Le të zbatojmë metodën e zëvendësimit të vlerës së pjesshme, duke zëvendësuar $x=2$ dhe më pas $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\djathtas); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \djathtas)+4=A\majtas(-\frac(1)(3)-2\djathtas)+B\majtas (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\djathtas); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Meqenëse koeficientët janë gjetur, gjithçka që mbetet është të shënoni zgjerimin e përfunduar:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Në parim, ju mund ta lini këtë hyrje, por më pëlqen një opsion më i saktë:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\majtas(x+\frac(1)(3)\djathtas)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Duke u kthyer në integralin origjinal, ne zëvendësojmë zgjerimin që rezulton në të. Më pas e ndajmë integralin në dysh dhe aplikojmë formulën për secilën. Preferoj të vendos menjëherë konstantet jashtë shenjës integrale:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\djathtas)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\djathtas)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\djathtas)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\majtas|x+\frac(1)(3)\djathtas|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Përgjigju: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\majtas|x+\frac(1)(3)\djathtas| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Shembulli nr. 3

Gjeni integralin $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Duhet të integrojmë thyesën $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Numëruesi përmban një polinom të shkallës së dytë, dhe emëruesi përmban një polinom të shkallës së tretë. Meqenëse shkalla e polinomit në numërues është më e vogël se shkalla e polinomit në emërues, d.m.th. 2 dollarë< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Gjithçka që duhet të bëjmë është të ndajmë integralin e dhënë në tre dhe të zbatojmë formulën për secilin. Preferoj të vendos menjëherë konstantet jashtë shenjës integrale:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \djathtas)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Përgjigju: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Vazhdimi i analizës së shembujve të kësaj teme gjendet në pjesën e dytë.

Le t'ju kujtojmë se thyesore-racionale quhen funksione të formës $$ f(x) = \frac(P_n(x))(Q_m(x)), $$ në rastin e përgjithshëm është raporti i dy polinomeve %%P_n(x)%% dhe % %Q_m(x)% %.

Nëse %%m > n \geq 0%%, atëherë thirret thyesa racionale e saktë, përndryshe - e pasaktë. Duke përdorur rregullin për pjesëtimin e polinomeve, një thyesë e papërshtatshme racionale mund të përfaqësohet si shuma e një polinomi %%P_(n - m)%% e shkallës %%n - m%% dhe një fraksioni të duhur, d.m.th. $$ \frac(P_n(x))(Q_m(x)) = P_(n-m)(x) + \frac(P_l(x))(Q_n(x)), $$ ku shkalla %%l%% i polinomit %%P_l(x)%% është më i vogël se shkalla %%n%% e polinomit %%Q_n(x)%%.

Kështu, integral i pacaktuar i një funksioni racional mund të paraqitet si shuma e integraleve të pacaktuara të një polinomi dhe të një thyese racionale të duhur.

Integrale nga thyesat e thjeshta racionale

Ndër thyesat e duhura racionale, dallohen katër lloje, të cilat klasifikohen si thyesat e thjeshta racionale:

1. %%\stil ekrani \frac(A)(x - a)%%,
2. %%\stil ekrani \frac(A)((x - a)^k)%%,
3. %%\stil ekrani \frac(Ax + B)(x^2 + px + q)%%,
4. %%\stil ekrani \frac(Ax + B)((x^2 + px + q)^k)%%,

ku %%k > 1%% është një numër i plotë dhe %%p^2 - 4q< 0%%, т.е. ekuacionet kuadratike nuk kanë rrënjë të vërteta.

Llogaritja e integraleve të pacaktuara të thyesave të dy llojeve të para

Llogaritja e integraleve të pacaktuar të thyesave të dy llojeve të para nuk shkakton vështirësi: $$ \begin(array)(ll) \int \frac(A)(x - a) \mathrm(d)x &= A\int \frac (\ mathrm (d)(x - a))(x - a) = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac(A)((x - a)^k) \mathrm(d)x &= A\int \frac(\mathrm(d)(x - a))(( x - a)^k) = A \frac((x-a)^(-k + 1))(-k + 1) + C = \\ &= -\frac(A)((k-1)(x-a )^(k-1)) + C. \end(array) $$

Llogaritja e integraleve të pacaktuara të thyesave të tipit të tretë

Fillimisht transformojmë llojin e tretë të thyesës duke theksuar katrorin e përsosur në emërues: $$ \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) = \frac(Ax + B)((x + p/2 )^2 + q - p^2/4), $$ që nga %%p^2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 >0%%, të cilin e shënojmë si %%a^2%%. Gjithashtu duke zëvendësuar %%t = x + p/2, \mathrm(d)t = \mathrm(d)x%%, transformojmë emëruesin dhe shkruajmë integralin e thyesës së tipit të tretë në formën $$ \begin(array )(ll) \ int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x &= \int \frac(Ax + B)((x + p/2)^2 + q - p^2 /4) \mathrm(d)x = \\ &= \int \frac(A(t - p/2) + B)(t^2 + a^2) \mathrm(d)t = \int \frac (Në + (B - A p/2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t. \fund (arresë) $$

Duke përdorur linearitetin e integralit të pacaktuar, ne paraqesim integralin e fundit si një shumë prej dysh dhe në të parin prezantojmë %%t%% nën shenjën diferenciale: $$ \begin(array)(ll) \int \frac (Në + (B - A p /2))(t^2 + a^2) \mathrm(d)t &= A\int \frac(t \mathrm(d)t)(t^2 + a^ 2) + \majtas(B - \frac(pA)(2)\djathtas)\int \frac(\mathrm(d)t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A) (2) \int \frac( \mathrm(d)\left(t^2 + a^2\djathtas))(t^2 + a^2) + - \frac(2B - pA)(2)\int \frac(\mathrm(d) t)(t^2 + a^2) = \\ &= \frac(A)(2) \ln \majtas| t^2 + a^2\djathtas| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(t)(a) + C. \end(array) $$

Duke u kthyer në variablin origjinal %%x%%, si rezultat, për një fraksion të llojit të tretë marrim $$ \int \frac(Ax + B)(x^2 + px + q) \mathrm(d)x = \frac(A)( 2) \ln \majtas| x^2 + px + q\djathtas| + \frac(2B - pA)(2a) \text(arctg)\frac(x + p/2)(a) + C, $$ ku %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0% %.

Llogaritja e një integrali të tipit 4 është e vështirë dhe për këtë arsye nuk mbulohet në këtë kurs.

Përpara se të filloni të integroni thyesat e thjeshta për të gjetur integralin e pacaktuar të një funksioni racional thyesor, rekomandohet të vazhdoni me pjesën "Zbërthimi i thyesave në të thjeshta".

Shembulli 1

Le të gjejmë integralin e pacaktuar ∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Zgjidhje

Le të zgjedhim të gjithë pjesën duke e ndarë polinomin me polinomin me një kolonë, duke marrë parasysh faktin se shkalla e numëruesit të integrandit është e barabartë me shkallën e emëruesit:

Prandaj 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x. Ne kemi marrë thyesën e saktë racionale - 2 x + 3 x 3 + x, të cilën tani do ta zbërthejmë në thyesa të thjeshta - 2 x + 3 x 3 + x = 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Prandaj,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Kemi marrë integralin e thyesës më të thjeshtë të tipit të tretë. Mund ta merrni duke e vendosur nën shenjën diferenciale.

Meqenëse d x 2 + 1 = 2 x d x, atëherë 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1. Kjo është arsyeja pse
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 l n + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Prandaj,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , ku C = - C 1

Le të përshkruajmë metodat për integrimin e fraksioneve të thjeshta të secilit prej katër llojeve.

Integrimi i thyesave të thjeshta të tipit të parë A x - a

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim metodën e integrimit të drejtpërdrejtë:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Shembulli 2

Gjeni bashkësinë e antiderivativëve të funksionit y = 3 2 x - 1 .

Zgjidhje

Duke përdorur rregullën e integrimit, vetitë e antiderivatit dhe tabelën e antiderivativëve, gjejmë integralin e pacaktuar ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k · x + b d x = 1 k · F k · x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Përgjigje: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Integrimi i thyesave të thjeshta të tipit të dytë A x - a n

Metoda e integrimit të drejtpërdrejtë është gjithashtu e zbatueshme këtu: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Shembulli 3

Është e nevojshme të gjendet integrali i pacaktuar ∫ d x 2 x - 3 7 .

Zgjidhje

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 · - 6 · x - 3 2 6 + C = = 1 2 · - 6 · 2 6 · x - 3 2 6 + C = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Përgjigje:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 · 1 2 x - 3 6 + C

Integrimi i thyesave të thjeshta të tipit të tretë M x + N x 2 + p x + q, D = p 2 - 4 q< 0

Hapi i parë është të paraqesim integralin e pacaktuar ∫ M x + N x 2 + p x + q si një shumë:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Për të marrë integralin e parë, ne përdorim metodën e nënshtrimit të shenjës diferenciale:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x - 2 + p x + p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Prandaj,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Morëm integralin ∫ d x x 2 + p x + q . Le të transformojmë emëruesin e tij:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Prandaj,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 · 2 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Formula për integrimin e thyesave të thjeshta të llojit të tretë merr formën:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 · a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Shembulli 4

Është e nevojshme të gjendet integrali i pacaktuar ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x.

Zgjidhje

Le të zbatojmë formulën:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Zgjidhja e dytë duket si kjo:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = = vlera e konvertueshme = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Përgjigje: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Integrimi i thyesave më të thjeshta të tipit të katërt M x + N (x 2 + p x + q) n, D = p 2 - 4 q< 0

Para së gjithash, ne kryejmë zbritjen e shenjës diferenciale:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Pastaj gjejmë një integral të formës J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n duke përdorur formulat e përsëritjes. Informacioni rreth formulave të përsëritjes mund të gjendet në temën "Integrimi duke përdorur formulat e përsëritjes".

Për të zgjidhur problemin tonë, një formulë e përsëritur e formës J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q është i përshtatshëm - p 2 · J n - 1 .

Shembulli 5

Është e nevojshme të gjendet integrali i pacaktuar ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Zgjidhje

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Ne do të përdorim metodën e zëvendësimit për këtë lloj integrand. Le të prezantojmë një ndryshore të re x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Ne marrim:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Arritëm në gjetjen e integralit të një thyese të tipit të katërt. Në rastin tonë kemi koeficientë M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 dhe n = 3. Ne aplikojmë formulën e përsëritur:

J 3 = ∫ d z (z 2 + 1) 3 = 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 · 1 - 0 · ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) · (4 · 1 - 0) · (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Pas zëvendësimit të kundërt z = x 2 - 1 marrim rezultatin:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Përgjigje:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Siç e kam vërejtur tashmë, në llogaritjen integrale nuk ka një formulë të përshtatshme për integrimin e një fraksioni. Prandaj, ekziston një prirje e trishtueshme: sa më e sofistikuar të jetë fraksioni, aq më e vështirë është të gjesh integralin e saj. Në këtë drejtim, ju duhet të drejtoheni në truket e ndryshme, për të cilat tani do t'ju tregoj. Lexuesit e përgatitur mund të përfitojnë menjëherë tabela e përmbajtjes:

• Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta

Metoda e konvertimit të numëruesit artificial

Shembulli 1

Meqë ra fjala, integrali i konsideruar mund të zgjidhet edhe me ndryshimin e metodës së ndryshores, duke treguar , por shkrimi i zgjidhjes do të jetë shumë më i gjatë.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Duhet të theksohet se metoda e zëvendësimit të variablave nuk do të funksionojë më këtu.

Kujdes, e rëndësishme! Shembujt nr. 1, 2 janë tipikë dhe ndodhin shpesh. Në veçanti, integrale të tilla shpesh lindin gjatë zgjidhjes së integraleve të tjera, në veçanti, kur integrohen funksionet irracionale (rrënjët).

Teknika e konsideruar gjithashtu funksionon në këtë rast nëse shkalla më e lartë e numëruesit është më e madhe se shkalla më e lartë e emëruesit.

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Fillojmë të zgjedhim numëruesin.

Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit është diçka si ky:

1) Në numërues duhet të organizoj, por atje. Çfarë duhet bërë? E vendos në kllapa dhe e shumëzoj me: .

2) Tani po përpiqem të hap këto kllapa, çfarë ndodh? . Hmm... kjo është më mirë, por fillimisht nuk ka dy në numërues. Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni me:

3) Hap përsëri kllapat: . Dhe këtu është suksesi i parë! Doli ashtu siç duhet! Por problemi është se është shfaqur një term shtesë. Çfarë duhet bërë? Për të parandaluar ndryshimin e shprehjes, duhet të shtoj të njëjtën gjë në konstruksionin tim:
. Jeta është bërë më e lehtë. A është e mundur të organizohet përsëri në numërues?

4) Është e mundur. Le te perpiqemi: . Hapni kllapat e termit të dytë:
. Na vjen keq, por në hapin e mëparshëm unë në fakt kisha , jo. Çfarë duhet bërë? Ju duhet të shumëzoni termin e dytë me:

5) Përsëri, për të kontrolluar, hap kllapat në termin e dytë:
. Tani është normale: rrjedh nga ndërtimi përfundimtar i pikës 3! Por përsëri ka një "por" të vogël, është shfaqur një term shtesë, që do të thotë që duhet të shtoj në shprehjen time:

Nëse gjithçka është bërë në mënyrë korrekte, atëherë kur hapim të gjitha kllapat, duhet të marrim numëruesin origjinal të integrandit. Ne kontrollojmë:
Kapuç.

Kështu:

Gati. Në termin e fundit, përdora metodën e nënshtrimit të një funksioni nën një diferencial.

Nëse gjejmë derivatin e përgjigjes dhe e reduktojmë shprehjen në një emërues të përbashkët, atëherë do të marrim saktësisht funksionin e integrandit origjinal. Metoda e konsideruar e zbërthimit në një shumë nuk është gjë tjetër veçse veprimi i kundërt i sjelljes së një shprehje në një emërues të përbashkët.

Algoritmi për zgjedhjen e numëruesit në shembuj të tillë bëhet më së miri në formë drafti. Me disa aftësi do të funksionojë mendërisht. Më kujtohet një rast rekordi kur po kryeja një përzgjedhje për fuqinë e 11-të, dhe zgjerimi i numëruesit mori pothuajse dy rreshta të Verdit.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Mënyra e nënshtrimit të shenjës diferenciale për thyesat e thjeshta

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë llojin tjetër të thyesave.
, , , (koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero).

Në fakt, disa raste me arksine dhe arktangent janë përmendur tashmë në mësim Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar. Shembuj të tillë zgjidhen duke e futur funksionin nën shenjën diferenciale dhe duke u integruar më tej duke përdorur një tabelë. Këtu janë shembuj më tipikë me logaritme të gjata dhe të larta:

Shembulli 5

Shembulli 6

Këtu këshillohet të zgjidhni një tabelë integrale dhe të shihni se cilat formula dhe Si bëhet transformimi. Shënim, si dhe pse Sheshet në këta shembuj janë të theksuar. Në veçanti, në Shembullin 6 së pari duhet të paraqesim emëruesin në formë , pastaj futeni nën shenjën diferenciale. Dhe e gjithë kjo duhet të bëhet për të përdorur formulën standarde tabelare .

Pse shikoni, përpiquni t'i zgjidhni vetë shembujt nr. 7, 8, veçanërisht pasi ato janë mjaft të shkurtra:

Shembulli 7

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar:

Nëse arrini t'i kontrolloni edhe këta shembuj, atëherë respekt i madh - aftësitë tuaja të diferencimit janë të shkëlqyera.

Metoda e zgjedhjes së katrorit të plotë

Integrale të formës (koeficientët dhe nuk janë të barabartë me zero) janë zgjidhur metoda e plotë e nxjerrjes katrore, e cila tashmë është shfaqur në mësim Shndërrimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, integrale të tilla reduktohen në një nga katër integralet tabelare që sapo shikuam. Dhe kjo arrihet duke përdorur formulat e njohura të shkurtuara të shumëzimit:

Formulat zbatohen pikërisht në këtë drejtim, domethënë, ideja e metodës është të organizojë artificialisht shprehjet ose në emërues, dhe pastaj t'i konvertojë ato në përputhje me rrethanat.

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Kjo shembulli më i thjeshtë, në të cilën me termin – koeficienti njësi(dhe jo ndonjë numër ose minus).

Le të shohim emëruesin, këtu e gjithë çështja del qartë tek rastësia. Le të fillojmë konvertimin e emëruesit:

Natyrisht, ju duhet të shtoni 4. Dhe, në mënyrë që shprehja të mos ndryshojë, zbritni të njëjtat katër:

Tani mund të aplikoni formulën:

Pasi të përfundojë konvertimi GJITHMONË Këshillohet të kryeni lëvizjen e kundërt: gjithçka është në rregull, nuk ka gabime.

Dizajni përfundimtar i shembullit në fjalë duhet të duket diçka si kjo:

Gati. Duke përmbledhur "freebie" funksion kompleks nën shenjën diferenciale: , në parim, mund të neglizhohet

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar:

Ky është një shembull që ju ta zgjidhni vetë, përgjigja është në fund të mësimit

Shembulli 11

Gjeni integralin e pacaktuar:

Çfarë duhet të bëni kur ka një minus përpara? Në këtë rast, duhet të heqim minusin nga kllapat dhe t'i renditim termat sipas rendit që na duhen: . Konstante("dy" në këtë rast) mos prek!

Tani shtojmë një në kllapa. Duke analizuar shprehjen, arrijmë në përfundimin se duhet të shtojmë një jashtë kllapave:

Këtu marrim formulën, aplikoni:

GJITHMONË Ne kontrollojmë draftin:
, e cila ishte ajo që duhej të kontrollohej.

Shembulli i pastër duket diçka si ky:

Duke e bërë detyrën më të vështirë

Shembulli 12

Gjeni integralin e pacaktuar:

Këtu termi nuk është më një koeficient njësi, por një "pesë".

(1) Nëse ka një konstante në, atëherë e heqim menjëherë nga kllapat.

(2) Në përgjithësi, është gjithmonë më mirë që kjo konstante të zhvendoset jashtë integralit në mënyrë që të mos pengohet.

(3) Natyrisht, gjithçka do të zbresë në formulë. Ne duhet të kuptojmë termin, domethënë, të marrim "dy"

(4) Po, . Kjo do të thotë që ne i shtojmë shprehjes dhe zbresim të njëjtën thyesë.

(5) Tani zgjidhni një katror të plotë. Në rastin e përgjithshëm, ne gjithashtu duhet të llogarisim, por këtu kemi formulën për një logaritëm të gjatë , dhe nuk ka asnjë kuptim për të kryer veprimin, pse do të bëhet e qartë më poshtë.

(6) Në fakt, ne mund të zbatojmë formulën , vetëm në vend të “X” kemi , që nuk e mohon vlefshmërinë e integralit të tabelës. Në mënyrë të rreptë, një hap humbi - para integrimit, funksioni duhet të ishte nënshtruar nën shenjën diferenciale: , por, siç e kam theksuar në mënyrë të përsëritur, kjo shpesh neglizhohet.

(7) Në përgjigjen nën rrënjë, këshillohet të zgjeroni të gjitha kllapat prapa:

E veshtire? Kjo nuk është pjesa më e vështirë e llogaritjes integrale. Megjithëse, shembujt në shqyrtim nuk janë aq kompleks sa kërkojnë teknika të mira llogaritëse.

Shembulli 13

Gjeni integralin e pacaktuar:

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Përgjigja është në fund të mësimit.

Ka integrale me rrënjë në emërues, të cilat, duke përdorur një zëvendësim, reduktohen në integrale të llojit të konsideruar; mund të lexoni rreth tyre në artikull Integrale komplekse, por është krijuar për studentë shumë të përgatitur.

Përfshirja e numëruesit nën shenjën diferenciale

Kjo është pjesa e fundit e mësimit, megjithatë, integralet e këtij lloji janë mjaft të zakonshme! Nëse jeni të lodhur, ndoshta është më mirë të lexoni nesër? ;)

Integralet që do të shqyrtojmë janë të ngjashëm me integralet e paragrafit të mëparshëm, kanë formën: ose (koeficientët , dhe nuk janë të barabartë me zero).

Kjo do të thotë, ne tani kemi një funksion linear në numërues. Si të zgjidhen integrale të tilla?