Hulumtimi funksionon në internet me kalkulatorin e zgjidhjeve. Funksione. Llojet kryesore, oraret, metodat e caktimit. Studimi i një funksioni dhe nëse është çift apo tek

Sot ju ftojmë të eksploroni dhe të ndërtoni një grafik të një funksioni me ne. Pasi të keni studiuar me kujdes këtë artikull, nuk do t'ju duhet të djersiteni për një kohë të gjatë për të përfunduar këtë lloj detyre. Nuk është e lehtë të studiosh dhe të ndërtosh një grafik të një funksioni; është një punë voluminoze që kërkon vëmendje dhe saktësi maksimale të llogaritjeve. Për ta bërë më të lehtë për t'u kuptuar materialin, ne do të studiojmë të njëjtin funksion hap pas hapi dhe do të shpjegojmë të gjitha veprimet dhe llogaritjet tona. Mirë se vini në botën e mahnitshme dhe magjepsëse të matematikës! Shkoni!

Domeni

Për të eksploruar dhe grafikuar një funksion, duhet të dini disa përkufizime. Funksioni është një nga konceptet kryesore (bazë) në matematikë. Ai pasqyron varësinë midis disa variablave (dy, tre ose më shumë) gjatë ndryshimeve. Funksioni tregon gjithashtu varësinë e grupeve.

Imagjinoni që kemi dy variabla që kanë një gamë të caktuar ndryshimi. Pra, y është një funksion i x, me kusht që secila vlerë e ndryshores së dytë t'i korrespondojë njërës vlerë të së dytës. Në këtë rast, ndryshorja y është e varur dhe quhet funksion. Është zakon të thuhet se ndryshoret x dhe y janë në Për qartësi më të madhe të kësaj varësie, ndërtohet një grafik i funksionit. Çfarë është grafiku i një funksioni? Ky është një grup pikash në planin koordinativ, ku çdo vlerë x korrespondon me një vlerë y. Grafikët mund të jenë të ndryshëm - vijë e drejtë, hiperbolë, parabolë, valë sinus, etj.

Është e pamundur të grafikohet një funksion pa hulumtim. Sot do të mësojmë se si të bëjmë kërkime dhe të ndërtojmë një grafik të një funksioni. Është shumë e rëndësishme të mbani shënime gjatë studimit. Kjo do ta bëjë detyrën shumë më të lehtë për t'u përballuar. Plani më i përshtatshëm i kërkimit:

1. Domeni.
2. Vazhdimësia.
3. Çift ose tek.
4. Periodiciteti.
5. Asimptota.
6. Zero.
7. Shenjë qëndrueshmëri.
8. Në rritje dhe në rënie.
9. Ekstreme.
10. Konveksiteti dhe konkaviteti.

Le të fillojmë me pikën e parë. Le të gjejmë domenin e përkufizimit, pra në çfarë intervalesh ekziston funksioni ynë: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Në rastin tonë, funksioni ekziston për çdo vlerë të x, domethënë domeni i përkufizimit është i barabartë me R. Kjo mund të shkruhet si më poshtë xÎR.

Vazhdimësia

Tani do të shqyrtojmë funksionin e ndërprerjes. Në matematikë, termi "vazhdimësi" u shfaq si rezultat i studimit të ligjeve të lëvizjes. Çfarë është e pafundme? Hapësira, koha, disa varësi (një shembull është varësia e variablave S dhe t në problemet e lëvizjes), temperatura e një objekti të ndezur (uji, tigani, termometri, etj.), një vijë e vazhdueshme (d.m.th., ajo që mund të vizatohet pa e hequr nga lapsi i fletës).

Një grafik konsiderohet i vazhdueshëm nëse nuk prishet në një moment. Një nga shembujt më të dukshëm të një grafiku të tillë është një sinusoid, të cilin mund ta shihni në foto në këtë seksion. Një funksion është i vazhdueshëm në një pikë x0 nëse plotësohen një numër kushtesh:

• një funksion përcaktohet në një pikë të caktuar;
• kufijtë e djathtë dhe të majtë në një pikë janë të barabartë;
• kufiri është i barabartë me vlerën e funksionit në pikën x0.

Nëse të paktën një kusht nuk plotësohet, funksioni thuhet se dështon. Dhe pikat në të cilat funksioni prishet zakonisht quhen pika pushimi. Një shembull i një funksioni që do të "prishet" kur shfaqet grafikisht është: y=(x+4)/(x-3). Për më tepër, y nuk ekziston në pikën x = 3 (pasi është e pamundur të ndahet me zero).

Në funksionin që po studiojmë (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) gjithçka doli të jetë e thjeshtë, pasi grafiku do të jetë i vazhdueshëm.

Çift, tek

Tani shqyrto funksionin për barazi. Së pari, një teori e vogël. Një funksion çift është ai që plotëson kushtin f(-x)=f(x) për çdo vlerë të ndryshores x (nga diapazoni i vlerave). Shembujt përfshijnë:

• moduli x (grafi duket si një agim, përgjysmues i tremujorit të parë dhe të dytë të grafikut);
• x në katror (parabolë);
• kosinus x (kosinus).

Vini re se të gjithë këta grafikë janë simetrik kur shikohen në lidhje me boshtin y (d.m.th., boshtin y).

Çfarë quhet atëherë një funksion tek? Këto janë ato funksione që plotësojnë kushtin: f(-x)=-f(x) për çdo vlerë të ndryshores x. Shembuj:

• hiperbola;
• parabolë kubike;
• sinusoid;
• tangjente dhe kështu me radhë.

Ju lutemi vini re se këto funksione janë simetrike për pikën (0:0), domethënë origjinën. Bazuar në atë që u tha në këtë pjesë të artikullit, një funksion çift dhe tek duhet të ketë vetinë: x i përket grupit të përkufizimit dhe -x gjithashtu.

Le të shqyrtojmë funksionin për barazi. Mund të shohim se ajo nuk i përshtatet asnjërit prej përshkrimeve. Prandaj, funksioni ynë nuk është as çift dhe as tek.

Asimptota

Le të fillojmë me një përkufizim. Një asimptotë është një kurbë që është sa më afër grafikut, domethënë distanca nga një pikë e caktuar tenton në zero. Në total, ekzistojnë tre lloje të asimptotave:

• vertikale, pra paralele me boshtin y;
• horizontale, domethënë paralel me boshtin x;
• të prirur.

Sa i përket llojit të parë, këto rreshta duhet të kërkohen në disa pika:

• boshllëk;
• skajet e fushës së përkufizimit.

Në rastin tonë, funksioni është i vazhdueshëm, dhe fusha e përkufizimit është e barabartë me R. Prandaj, nuk ka asimptota vertikale.

Grafiku i një funksioni ka një asimptotë horizontale, e cila plotëson kërkesën e mëposhtme: nëse x priret në pafundësi ose minus pafundësi, dhe kufiri është i barabartë me një numër të caktuar (për shembull, a). Në këtë rast, y=a është asimptota horizontale. Nuk ka asimptota horizontale në funksionin që po studiojmë.

Një asimptotë e zhdrejtë ekziston vetëm nëse plotësohen dy kushte:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Pastaj mund të gjendet duke përdorur formulën: y=kx+b. Përsëri, në rastin tonë nuk ka asimptota të zhdrejtë.

Funksioni zero

Hapi tjetër është të ekzaminoni grafikun e funksionit për zero. Është gjithashtu shumë e rëndësishme të theksohet se detyra që lidhet me gjetjen e zerove të një funksioni ndodh jo vetëm kur studiohet dhe ndërtohet një grafik i një funksioni, por edhe si një detyrë e pavarur dhe si një mënyrë për të zgjidhur pabarazitë. Mund t'ju kërkohet të gjeni zerot e një funksioni në një grafik ose të përdorni shënime matematikore.

Gjetja e këtyre vlerave do t'ju ndihmojë të grafikoni funksionin më saktë. Me fjalë të thjeshta, zeroja e një funksioni është vlera e ndryshores x në të cilën y = 0. Nëse jeni duke kërkuar për zerot e një funksioni në një grafik, atëherë duhet t'i kushtoni vëmendje pikave në të cilat grafiku kryqëzohet me boshtin x.

Për të gjetur zerot e funksionit, duhet të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Pas kryerjes së llogaritjeve të nevojshme, marrim përgjigjen e mëposhtme:

Shenjë qëndrueshmëri

Faza tjetër e kërkimit dhe e ndërtimit të një funksioni (grafiku) është gjetja e intervaleve me shenjë konstante. Kjo do të thotë që ne duhet të përcaktojmë se në cilat intervale funksioni merr një vlerë pozitive dhe në cilat intervale merr një vlerë negative. Funksionet zero të gjetura në seksionin e fundit do të na ndihmojnë ta bëjmë këtë. Pra, duhet të ndërtojmë një vijë të drejtë (të ndarë nga grafiku) dhe t'i shpërndajmë zerot e funksionit përgjatë saj në rendin e duhur nga më i vogli tek më i madhi. Tani ju duhet të përcaktoni se cili nga intervalet rezultuese ka një shenjë "+" dhe cili ka një "-".

Në rastin tonë, funksioni merr një vlerë pozitive në intervale:

• nga 1 në 4;
• nga 9 në pafundësi.

Kuptimi negativ:

• nga minus pafundësi në 1;
• nga 4 në 9.

Kjo është mjaft e lehtë për t'u përcaktuar. Zëvendësoni çdo numër nga intervali në funksion dhe shikoni se çfarë shenje rezulton të ketë përgjigja (minus ose plus).

Funksionet rritëse dhe pakësuese

Për të eksploruar dhe ndërtuar një funksion, duhet të dimë se ku do të rritet grafiku (të ngjitet lart përgjatë boshtit Oy) dhe ku do të bjerë (zvarritje poshtë përgjatë boshtit y).

Një funksion rritet vetëm nëse një vlerë më e madhe e ndryshores x korrespondon me një vlerë më të madhe të y. Domethënë, x2 është më i madh se x1, dhe f(x2) është më i madh se f(x1). Dhe ne vëzhgojmë një fenomen krejtësisht të kundërt me një funksion në rënie (sa më shumë x, aq më pak y). Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes, duhet të gjeni sa vijon:

• fusha e përkufizimit (ne tashmë e kemi);
• derivati ​​(në rastin tonë: 1/3 (3x^2-28x+49);
• zgjidh barazimin 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Pas llogaritjeve marrim rezultatin:

Marrim: funksioni rritet në intervalet nga minus pafundësia në 7/3 dhe nga 7 në pafundësi, dhe zvogëlohet në intervalin nga 7/3 në 7.

Ekstreme

Funksioni në studim y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) është i vazhdueshëm dhe ekziston për çdo vlerë të ndryshores x. Pika ekstreme tregon maksimumin dhe minimumin e një funksioni të caktuar. Në rastin tonë nuk ka asnjë, gjë që thjeshton shumë detyrën e ndërtimit. Përndryshe, ato mund të gjenden edhe duke përdorur funksionin derivat. Pasi të gjenden, mos harroni t'i shënoni ato në tabelë.

Konveksiteti dhe konkaviteti

Ne vazhdojmë të eksplorojmë më tej funksionin y(x). Tani duhet ta kontrollojmë për konveksitet dhe konkavitet. Përkufizimet e këtyre koncepteve janë mjaft të vështira për t'u kuptuar; është më mirë të analizoni gjithçka duke përdorur shembuj. Për testin: një funksion është konveks nëse është një funksion jo-zvogëlues. Dakord, kjo është e pakuptueshme!

Duhet të gjejmë derivatin e një funksioni të rendit të dytë. Marrim: y=1/3(6x-28). Tani le të barazojmë anën e djathtë me zero dhe të zgjidhim ekuacionin. Përgjigje: x=14/3. Gjetëm pikën e lakimit, domethënë vendin ku grafiku ndryshon nga konveksiteti në konkavitet ose anasjelltas. Në intervalin nga minus pafundësia deri në 14/3, funksioni është konveks, dhe nga 14/3 në plus pafundësi është konkav. Është gjithashtu shumë e rëndësishme të theksohet se pika e përkuljes në grafik duhet të jetë e lëmuar dhe e butë, nuk duhet të ketë qoshe të mprehta.

Përcaktimi i pikave shtesë

Detyra jonë është të hetojmë dhe të ndërtojmë një grafik të funksionit. Ne kemi përfunduar studimin; ndërtimi i një grafiku të funksionit tani nuk është i vështirë. Për riprodhim më të saktë dhe më të detajuar të një lakore ose të vijës së drejtë në planin koordinativ, mund të gjeni disa pika ndihmëse. Ato janë mjaft të lehta për t'u llogaritur. Për shembull, marrim x=3, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe gjejmë y=4. Ose x=5, dhe y=-5 e kështu me radhë. Ju mund të merrni aq pikë shtesë sa ju nevojiten për ndërtimin. Janë gjetur të paktën 3-5 prej tyre.

Hartimi i një grafiku

Na duhej të hetojmë funksionin (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Të gjitha shenjat e nevojshme gjatë llogaritjeve u bënë në planin koordinativ. Gjithçka që mbetet për të bërë është të ndërtoni një grafik, domethënë të lidhni të gjitha pikat. Lidhja e pikave duhet të jetë e qetë dhe e saktë, kjo është çështje aftësie - pak praktikë dhe orari juaj do të jetë i përsosur.

Shtë i përshtatshëm për të kryer një studim të plotë të funksioneve dhe për të ndërtuar grafikët e tyre sipas skemës së mëposhtme:

1) gjeni domenin e përkufizimit të funksionit;

2) zbuloni nëse funksioni është çift apo tek, periodik;

3) eksploroni vazhdimësinë, gjeni pikat e ndërprerjes dhe zbuloni natyrën e ndërprerjeve;

4) gjeni asimptotat e grafikut të funksionit;

5) të hetojë monotoninë e funksionit dhe të gjejë ekstremet e tij;

6) gjeni pikat e lakimit, përcaktoni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut të funksionit;

7) caktoni pika shtesë të grafikut të funksionit, për shembull, pikat e kryqëzimit të tij me boshtet e koordinatave.

Rezultati i secilës pikë duhet të pasqyrohet menjëherë në grafik dhe të jetë në përputhje me rezultatet e studimit në pikat e mëparshme.

Shembulli 1.

Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe vizatoni një grafik.

1. Funksioni përcaktohet në intervalet xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥).

2. Funksioni nuk mund të jetë çift ose tek, sepse domeni i tij i përkufizimit nuk është simetrik në lidhje me 0. Për rrjedhojë, ky funksion është i formës së përgjithshme, d.m.th. nuk ka vetinë e barazisë. Gjithashtu funksioni nuk është periodik.

Le të kujtojmë përkufizimet:

Funksioni thirret madje, nëse plotësohen dy kushte:

a) domeni i tij i përkufizimit është simetrik rreth zeros,

b) për të gjitha vlerat X nga fusha e përkufizimit plotësohet barazia.

Grafiku i një funksioni çift ka simetri boshtore rreth boshtit OY.

Funksioni thirret i çuditshëm, Nëse

a) domeni i tij i përkufizimit të funksionit është simetrik rreth zeros,

b) për "x jashtë fushës së përkufizimit.

Grafiku i një funksioni tek ka simetri qendrore për origjinën.

Funksioni thirret periodike, nëse ka një numër T> 0 , e tillë që barazia vlen për " X nga fusha e përkufizimit.

Numri T quhet periudha e funksionit, dhe mjafton të ndërtohet grafiku i tij në çdo interval gjatësie T, dhe pastaj vazhdoni periodikisht në të gjithë zonën e përkufizimit.

3. Funksioni është i vazhdueshëm për të gjitha xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥).

Ky funksion është elementar, i cili formohet nga pjesëtimi i dy funksioneve themelore të vazhdueshme elementare dhe . Prandaj, sipas vetive të funksioneve të vazhdueshme, një funksion i caktuar është i vazhdueshëm në të gjitha pikat në të cilat është përcaktuar.

Pika x = -1është pika e thyerjes, sepse ky funksion nuk është i përcaktuar në të. Për të përcaktuar natyrën (llojin) e ndërprerjes, le të llogarisim . Prandaj, kur x = -1 funksioni ka një ndërprerje të pafundme (diskontinuitet i llojit të dytë).

4. Asimptotat e grafikut të një funksioni.

Asimptota vertikale është vija e drejtë x = -1(kjo rrjedh nga studimi i ndërprerjes së funksionit).

Ne kërkojmë asimptota të zhdrejta nga ekuacioni , ku

Kështu, është ekuacioni i asimptotës së zhdrejtë (në x® ±¥).

5. Përcaktojmë monotoninë dhe ekstremin e një funksioni duke përdorur derivatin e tij të parë:

Pikat kritike përcaktohen nga kushtet:

y max =y(-3)= .

6. Intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut të një funksioni, pikat e lakimit të tij i gjejmë duke përdorur derivatin e dytë:

Pikat e dyshimta për lakim përcaktohen nga kushtet e mëposhtme:

Kushtet e mjaftueshme për konveksitetin, konkavitetin dhe pikat e përkuljes:

Pika O(0; 0)është pika e lakimit të grafikut.

Shpesh, rezultatet e studimit të një funksioni duke përdorur derivatet e parë dhe të dytë paraqiten në formën e një tabele të përgjithshme që pasqyron vetitë kryesore të grafikut të funksionit:

Të gjitha rezultatet e marra nga studimi i një funksioni pasqyrohen në grafikun e tij.

Shembulli 2.

OOF: xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥).

Funksioni është tek sepse domeni i tij i përkufizimit është simetrik rreth zeros dhe për " XÎ OOF vlen barazia e mëposhtme:

Prandaj, grafiku i funksionit ka simetri qendrore për origjinën.

Funksioni është i vazhdueshëm për të gjitha xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥), sepse një funksion elementar është i vazhdueshëm në OOF-in e tij. Pikat x=- dhe x= janë pika me ndërprerje të pafundme, pasi,

Asimptotat vertikale të grafikut janë vija të drejta x = - Dhe x =.

Asimptota të zhdrejta: , ku

= = 0 .

Ky është ekuacioni i asimptotës së zhdrejtë.

Intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni, ekstremet e tij.

Kushtet e nevojshme për ekstreme:

Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- pikat kritike.

Kushtet e mjaftueshme për monotoni dhe ekstreme:

y max =y(-3)= ;

y min =y(3)= .

Intervalet e konveksitetit, konkavitetit të grafikut të funksionit dhe pikave të lakimit:

Pika x = 0 e dyshimtë për përkulje.

Kushtet e mjaftueshme:

Pika O(0; 0) është një pikë lakimi.

Një tabelë e përgjithshme e vetive kryesore të grafikut për një funksion të caktuar mund të përpilohet vetëm për xО. Nëse ka një shenjë "−" përpara thyesës, caktojeni atë në numërues. Mos u largoni nga vlerat e koeficientit shumë të lartë dhe të ulët. Mos harroni se "pafundësia" nuk do të përshtatet në ekran.

a = b = c = d =

n = m =

Le të zbatojmë këtë skemë për funksionin

y = _____ 2x 3 x 2 − 4

(a = 2; b = 0; c = 1; d = −4; n = 3; m = 2).

1. Funksioni përcaktohet në të gjithë vijën numerike përveç pikave x = ±2, në të cilën emëruesi i thyesës bëhet zero. Kështu, fusha e saj e përkufizimit
D (f ) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞) .

2. Funksioni është i çuditshëm, sepse
,
prandaj, grafiku i tij do të jetë simetrik në lidhje me origjinën, kështu që mjafton të studiohet funksioni në interval; 2) numrat /(a) dhe f(b) janë të kundërt në shenjë: 3) në segmentin [a, 6] ka derivate f"(x) dhe f"(x) që ruajnë një shenjë konstante në këtë segment. . Nga kushtet 1) dhe 2), në bazë të teoremës Bolzano-Cauchy (fq. 220), rrjedh se funksioni f(x) zhduket të paktën në një pikë £ € (a, b), pra ekuacioni (1) ka të paktën një rrënjë reale £ në intervalin (a, 6). Meqenëse, në bazë të kushtit 3, derivati ​​f(x) në [a, b\ ruan një shenjë konstante, atëherë f(x) është monoton në [a, b] dhe për rrjedhojë në ekuacionin e intervalit (a, b) (1) ka vetëm një rrënjë reale Le të shqyrtojmë një metodë për llogaritjen e vlerës së përafërt të kësaj rrënjëje reale të vetme £ € (a, 6) të ekuacionit (I) me çdo shkallë saktësie. Katër raste janë të mundshme (Fig. 40) : 1) Fig. 40 Le të marrim për definicion rastin kur f\ x) > 0, f"(x) > 0 në segmentin [a, 6) (Fig. 41). Le të lidhim pikat A(a, f(a)) dhe B(b, f(b)) me një kordë A B. Ky është një segment i drejtëz që kalon nëpër pikat A dhe B, ekuacioni i së cilës Pika aj, në e cila korda AB pret boshtin Ox, ndodhet midis ai(dhe është një përafrim më i mirë se a. Duke vendosur y = 0 në (2), gjejmë Nga Fig. 41 është e lehtë të vërehet se pika a\ do të jetë gjithmonë të vendosura në anën nga e cila janë të kundërta shenjat f(x) dhe f"( x). Le të vizatojmë tani një tangjente me lakoren y = f(x) në pikën B(b, f(b)), d.m.th. , në fund të harkut ^AB në të cilin f(x) dhe f(i) kanë të njëjtën shenjë Ky është një kusht thelbësor: pa të, pika e prerjes së tangjentes me boshtin Ox nuk mund të japë një përafrim. te rrenja e deshiruar fare Pika b\, ne te cilen tangjentja pret boshtin Ox, ndodhet midis £ dhe b ne te njejten ane, qe eshte 6, dhe eshte perafrimi me i mire me te cilin b. Kjo tangjente percaktohet nga ekuacioni Duke supozuar në (3) y = 0, gjejmë b\: Skema për ndërtimin e një grafiku të një funksioni Studimi i funksioneve në një ekstrem duke përdorur derivate të rendit më të lartë Llogaritja e rrënjëve të ekuacioneve duke përdorur metodat e kordave dhe tangjenteve Kështu, kemi Le të jepet paraprakisht gabimi absolut i përafrimit C të rrënjës £. Për gabimin absolut të vlerave të përafërta të aj dhe 6, rrënjën £, mund të marrim vlerën |6i - ai|. Nëse ky gabim është më i madh se ai i lejuari, atëherë, duke marrë segmentin si origjinal, do të gjejmë përafrimet e mëposhtme të rrënjës ku. Duke vazhduar këtë proces, marrim dy sekuenca me vlera të përafërta: Sekuencat (an) dhe (bn) janë monotone dhe të kufizuara dhe, për rrjedhojë, kanë kufij. Le Mund të tregohet se nëse plotësohen kushtet e mësipërme, 1 deri në rrënjën e vetme të ekuacionit / Shembull. Gjeni rrënjën (ekuacioni r2 - 1 = 0 në segment . Kështu, plotësohen të gjitha kushtet për të siguruar ekzistencën e një rrënjë të vetme (ekuacioni x2 - 1 = 0 në segmentin . . dhe metoda duhet të funksionojë. 8 në rastin tonë a = 0, b = 2. Kur n = I nga (4) dhe (5) gjejmë Kur n = 2 fitojmë që jep një përafrim me vlerën e saktë të rrënjës (me gabim absolut) Ushtrime Ndërtoni grafikët e funksioneve: Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksioneve në segmentet e dhëna: Hulumtoni sjelljen e funksioneve në afërsi të pikave të dhëna duke përdorur derivate të rendit më të lartë: Përgjigjet