Eksploroni shembujt e funksionit të barazisë. Funksionet çift dhe tek. Funksionet periodike. Grafiku i një funksioni çift

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

formojnë konceptin e barazisë dhe të rastësisë së një funksioni, mësojnë aftësinë për të përcaktuar dhe përdorur këto veti kur hulumtimi i funksionit, komplot;
të zhvillojë veprimtarinë krijuese të studentëve, të menduarit logjik, aftësia për të krahasuar, përgjithësuar;
kultivojnë punën e palodhur dhe kulturën matematikore; zhvillojnë aftësitë e komunikimit .

Pajisjet: instalim multimedial, tabela interaktive, Fletëpalosje.

Format e punës: frontale dhe grupore me elementë të veprimtarive kërkimore-kërkuese.

Burimet e informacionit:

1. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libër mësuesi.
2. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libri i problemeve.
3. Algjebër klasa e 9-të. Detyrat për mësimin dhe zhvillimin e nxënësve. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

GJATË KLASËVE

1. Momenti organizativ

Përcaktimi i qëllimeve dhe objektivave për mësimin.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Nr. 10.17 (libër me problematika të klasës së 9-të. A.G. Mordkovich).

A) në = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 në X ~ 0,4
4. f(X) > 0 në X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksioni rritet me X € [– 2; + ∞)
6. Funksioni është i kufizuar nga poshtë.
7. në naim = – 3, në naib nuk ekziston
8. Funksioni është i vazhdueshëm.

(A keni përdorur një algoritëm të eksplorimit të funksionit?) Rrëshqitje.

2. Le të kontrollojmë tabelën që ju kërkuan nga rrëshqitja.

Plotësoni tabelën
	Domeni	Funksioni zero	Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave		Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me Oy
	Domeni	Funksioni zero			Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Përditësimi i njohurive

– Janë dhënë funksionet.
– Përcaktoni fushën e përkufizimit për secilin funksion.
– Krahasoni vlerën e secilit funksion për çdo çift vlerash argumentesh: 1 dhe – 1; 2 dhe – 2.
– Për cilin nga këto funksione në fushën e përkufizimit vlejnë barazitë f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (futni të dhënat e marra në tabelë) Slide

		f(1) dhe f(– 1)	f(2) dhe f(– 2)	grafike	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		dhe jo të përcaktuara

4. Material i ri

– Gjatë kryerjes së kësaj pune, djema, identifikuam një veçori tjetër të funksionit, të panjohur për ju, por jo më pak të rëndësishme se të tjerat - kjo është njëtrajtshmëria dhe çuditshmëria e funksionit. Shkruani temën e mësimit: "Funksionet çift dhe tek", detyra jonë është të mësojmë të përcaktojmë barazinë dhe çuditshmërinë e një funksioni, të zbulojmë rëndësinë e kësaj vetie në studimin e funksioneve dhe vizatimin e grafikëve.
Pra, le të gjejmë përkufizimet në tekstin shkollor dhe të lexojmë (f. 110) . Rrëshqitje

Def. 1 Funksioni në = f (X), i përcaktuar në bashkësinë X quhet madje, nëse për ndonjë vlerë XЄ X ekzekutohet barazi f(–x)= f(x). Jep shembuj.

Def. 2 Funksioni y = f(x), i përcaktuar në bashkësinë X quhet i çuditshëm, nëse për ndonjë vlerë XЄ X vlen barazia f(–х)= –f(х). Jep shembuj.

Ku i takuam termat “çift” dhe “tek”?
Cili nga këto funksione do të jetë çift, mendoni ju? Pse? Cilat janë të çuditshme? Pse?
Për çdo funksion të formës në= x n, Ku n– një numër i plotë, mund të argumentohet se funksioni është tek kur n– tek dhe funksioni është çift kur n- madje.
– Shikoni funksionet në= dhe në = 2X– 3 nuk janë as çift e as tek, sepse barazitë nuk janë të kënaqura f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studimi nëse një funksion është çift apo tek quhet studimi i paritetit të një funksioni. Rrëshqitje

Në përkufizimet 1 dhe 2 ne po flisnim për vlerat e funksionit në x dhe - x, kështu supozohet se funksioni është përcaktuar edhe në vlerë X, dhe në - X.

Def 3. Nëse një bashkësi numerike, së bashku me secilin prej elementeve të tij x, përmban edhe elementin e kundërt –x, atëherë bashkësia X quhet bashkësi simetrike.

Shembuj:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) janë bashkësi simetrike dhe , [–5;4] janë asimetrike.

– A kanë edhe funksionet një fushë përkufizimi që është një bashkësi simetrike? Të çuditshmet?
- Nëse D( f) është një bashkësi asimetrike, atëherë cili është funksioni?
– Kështu, nëse funksioni në = f(X) – çift ose tek, atëherë domeni i përkufizimit të tij është D( f) është një grup simetrik. A është i vërtetë pohimi i kundërt: nëse fusha e përkufizimit të një funksioni është një bashkësi simetrike, atëherë është çift apo tek?
– Kjo do të thotë se prania e një grupi simetrik të fushës së përkufizimit është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm.
– Pra, si e shqyrtoni një funksion për barazi? Le të përpiqemi të krijojmë një algoritëm.

Rrëshqitje

Algoritmi për studimin e një funksioni për barazi

1. Përcaktoni nëse fusha e përcaktimit të funksionit është simetrike. Nëse jo, atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek. Nëse po, atëherë shkoni në hapin 2 të algoritmit.

2. Shkruani një shprehje për f(–X).

3. Krahasoni f(–X).Dhe f(X):

Nëse f(–X).= f(X), atëherë funksioni është çift;
Nëse f(–X).= – f(X), atëherë funksioni është tek;
Nëse f(–X) ≠ f(X) Dhe f(–X) ≠ –f(X), atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek.

Shembuj:

Shqyrtoni funksionin a) për paritetin në= x 5 +; b) në= ; V) në= .

Zgjidhje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), bashkësi simetrike.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funksioni h(x) = x 5 + tek.

b) y =,

në = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), një bashkësi asimetrike, që do të thotë se funksioni nuk është as çift dhe as tek.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opsioni 2

1. A është simetrike bashkësia e dhënë: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Shqyrtoni funksionin për barazi:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Në Fig. është ndërtuar një grafik në = f(X), per te gjithe X, duke plotesuar kushtin X? 0.
Grafikoni funksionin në = f(X), Nëse në = f(X) është një funksion i barabartë.

3. Në Fig. është ndërtuar një grafik në = f(X), për të gjitha x që plotësojnë kushtin x? 0.
Grafikoni funksionin në = f(X), Nëse në = f(X) është një funksion tek.

Rishikimi i kolegëve në rrëshqitje.

6. Detyrë shtëpie: Nr 11.11, 11.21, 11.22;

Vërtetimi i kuptimit gjeometrik të vetive të barazisë.

***(Caktimi i opsionit të Provimit të Unifikuar të Shtetit).

1. Funksioni tek y = f(x) përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Për çdo vlerë jo negative të ndryshores x, vlera e këtij funksioni përkon me vlerën e funksionit g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Gjeni vlerën e funksionit h( X) = në X = 3.

7. Përmbledhje

Funksioni është një nga konceptet më të rëndësishme matematikore. Një funksion është varësia e ndryshores y nga ndryshorja x, nëse secila vlerë e x korrespondon me një vlerë të vetme të y. Ndryshorja x quhet ndryshore ose argument i pavarur. Ndryshorja y quhet ndryshore e varur. Të gjitha vlerat e ndryshores së pavarur (variabli x) formojnë domenin e përcaktimit të funksionit. Të gjitha vlerat që merr variabli i varur (ndryshorja y) formojnë gamën e funksionit.

Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumentit, dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit, d.m.th. vlerat e ndryshores x vizatohen përgjatë boshtit të abshisës dhe vlerat e ndryshores y vizatohen përgjatë boshtit të ordinatave. Për të grafikuar një funksion, duhet të dini vetitë e funksionit. Karakteristikat kryesore të funksionit do të diskutohen më poshtë!

Për të ndërtuar një grafik të një funksioni, ne rekomandojmë përdorimin e programit tonë - Funksionet grafikuese në internet. Nëse keni ndonjë pyetje gjatë studimit të materialit në këtë faqe, gjithmonë mund t'i bëni ato në forumin tonë. Gjithashtu në forum ata do t'ju ndihmojnë të zgjidhni problemet në matematikë, kimi, gjeometri, teori probabiliteti dhe shumë lëndë të tjera!

Vetitë themelore të funksioneve.

1) Fusha e përcaktimit të funksionit dhe diapazoni i vlerave të funksionit.

Domeni i një funksioni është bashkësia e të gjitha vlerave reale të vlefshme të argumentit x (ndryshorja x) për të cilën është përcaktuar funksioni y = f(x).
Gama e një funksioni është grupi i të gjitha vlerave y reale që funksioni pranon.

Në matematikën elementare, funksionet studiohen vetëm në bashkësinë e numrave realë.

2) Zerot e funksionit.

Vlerat e x për të cilat thirren y=0 funksioni zero. Këto janë abshisat e pikave të prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Ox.

3) Intervalet e shenjës konstante të një funksioni.

Intervalet e shenjës konstante të një funksioni - quhen intervale të tilla të vlerave x në të cilat vlerat e funksionit y janë ose vetëm pozitive ose vetëm negative. intervalet e shenjës konstante të funksionit.

4) Monotonia e funksionit.

Një funksion në rritje (në një interval të caktuar) është një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit.

Një funksion në rënie (në një interval të caktuar) është një funksion në të cilin një vlerë më e madhe e argumentit nga ky interval korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

5) Çiftësia (çuditshmëria) e funksionit.

Një funksion çift është një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për çdo x f(-x) = f(x). Orari madje funksion simetrike rreth boshtit të ordinatave.

Një funksion tek është një funksion domeni i përkufizimit të të cilit është simetrik në lidhje me origjinën dhe për çdo x nga fusha e përkufizimit barazia f(-x) = - f(x) është e vërtetë. Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.

Edhe funksionin
1) Fusha e përkufizimit është simetrike në lidhje me pikën (0; 0), domethënë nëse pika a i përket fushës së përkufizimit, atëherë pika -a gjithashtu i përket fushës së përkufizimit.
2) Për çdo vlerë x f(-x)=f(x)
3) Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Një funksion tek ka këto veti:
1) Fusha e përkufizimit është simetrik në lidhje me pikën (0; 0).
2) për çdo vlerë x që i përket domenit të përkufizimit, barazia f(-x)=-f(x) plotësohet
3) Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (0; 0).

Jo çdo funksion është çift ose tek. Funksione pamje e përgjithshme nuk janë as çift e as tek.

6) Funksione të kufizuara dhe të pakufizuara.

Një funksion quhet i kufizuar nëse ka një të tillë numër pozitiv M e tillë që |f(x)| ≤ M për të gjitha vlerat e x. Nëse një numër i tillë nuk ekziston, atëherë funksioni është i pakufizuar.

7) Periodiciteti i funksionit.

Një funksion f(x) është periodik nëse ka një numër T jo-zero i tillë që për çdo x nga fusha e përcaktimit të funksionit vlen: f(x+T) = f(x). Kjo numri më i vogël quhet periudha e funksionit. Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike. (Formulat trigonometrike).

Një funksion f quhet periodik nëse ka një numër të tillë që për çdo x nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(x)=f(x-T)=f(x+T). T është periudha e funksionit.

Çdo funksion periodik ka një numër të pafund periodash. Në praktikë, zakonisht konsiderohet periudha më e vogël pozitive.

Vlerat e një funksioni periodik përsëriten pas një intervali të barabartë me periudhën. Kjo përdoret gjatë ndërtimit të grafikëve.

Në korrik 2020, NASA nis një ekspeditë në Mars. Anije kozmike do të dorëzojë në Mars një medium elektronik me emrat e të gjithë pjesëmarrësve të regjistruar në ekspeditë.

Nëse ky postim ju zgjidhi problemin ose thjesht ju pëlqeu, ndajeni lidhjen me miqtë tuaj në rrjetet sociale.

Një nga këto opsione kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave dhe ose menjëherë pas etiketës. Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë monitoron dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.

Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në panelin e kontrollit të faqes, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të shkarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër. në fillim të shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme, pasi skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani mësoni sintaksën e shënimit të MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati për të futur formulat matematikore në faqet e internetit të faqes tuaj.

Një tjetër natë e Vitit të Ri... mot i ftohtë dhe fjolla dëbore në xhamin e dritares... E gjithë kjo më shtyu të shkruaj përsëri për... fraktalet dhe atë që Wolfram Alpha di për të. Ekziston një artikull interesant për këtë temë, i cili përmban shembuj të strukturave dydimensionale fraktal. Këtu do të shikojmë më shumë shembuj kompleks fraktale tredimensionale.

Një fraktal mund të përfaqësohet vizualisht (përshkruhet) si një figurë ose trup gjeometrik (që do të thotë se të dyja janë një grup, në në këtë rast, një grup pikash), detajet e të cilave kanë të njëjtën formë si vetë figura origjinale. Kjo do të thotë, kjo është një strukturë e vetë-ngjashme, duke ekzaminuar detajet e së cilës kur zmadhohet, do të shohim të njëjtën formë si pa zmadhim. Ndërsa në rastin e zakonshëm figura gjeometrike(jo fraktal), kur zmadhohet do të shohim detaje që kanë një formë më të thjeshtë se vetë figura origjinale. Për shembull, me një zmadhim mjaft të lartë, një pjesë e një elipsi duket si një segment i drejtë. Kjo nuk ndodh me fraktale: me çdo rritje të tyre do të shohim përsëri të njëjtën gjë formë komplekse, e cila do të përsëritet vazhdimisht me çdo rritje.

Benoit Mandelbrot, themeluesi i shkencës së fraktaleve, shkroi në artikullin e tij Fraktalet dhe Arti në emër të shkencës: "Fraktalet janë forma gjeometrike që janë po aq komplekse në detajet e tyre sa në formën e tyre të përgjithshme. Kjo do të thotë, nëse pjesë e fraktalit do të zmadhohet në madhësinë e së tërës, do të shfaqet si një e tërë, ose saktësisht, ose ndoshta me një deformim të lehtë."

- (matematik.) Një funksion y = f (x) quhet edhe nëse nuk ndryshon kur ndryshorja e pavarur ndryshon vetëm shenjën, pra nëse f (x) = f (x). Nëse f (x) = f (x), atëherë funksioni f (x) quhet tek. Për shembull, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x është një shembull i një funksioni tek. f(x) = x2 është një shembull i një funksioni çift. f(x) = x3 ... Wikipedia

Një funksion që plotëson barazinë f (x) = f (x). Shih funksionet çift dhe tek... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

F(x) = x është një shembull i një funksioni tek. f(x) = x2 është një shembull i një funksioni çift. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funksione të veçanta të prezantuara nga matematikani francez E. Mathieu në 1868 kur zgjidhen problemet në lëkundjen e një membrane eliptike. M. f. janë përdorur gjithashtu në studimin e përhapjes së valëve elektromagnetike në një cilindër eliptik ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Kërkesa "mëkat" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "sek" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "Sine" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia

Një funksion quhet çift (tek) nëse për ndonjë dhe barazia

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin
.

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.

Shembulli 6.2. Shqyrtoni nëse një funksion është çift apo tek

1)
; 2)
; 3)
.

Zgjidhje.

1) Funksioni përcaktohet kur
. Ne do të gjejmë
.

Ato.
. Kjo do të thotë se ky funksion është i barabartë.

2) Funksioni përcaktohet kur

Ato.
. Kështu, ky funksion është i çuditshëm.

3) funksioni është përcaktuar për , d.m.th. Për

,
. Prandaj funksioni nuk është as çift dhe as tek. Le ta quajmë funksion të formës së përgjithshme.

3. Studimi i funksionit për monotoni.

Funksioni
quhet rritje (zvogëlim) në një interval të caktuar nëse në këtë interval çdo vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe (më të vogël) të funksionit.

Funksionet që rriten (zvogëlohen) gjatë një intervali të caktuar quhen monotone.

Nëse funksioni
i diferencueshëm në interval
dhe ka një derivat pozitiv (negativ).
, pastaj funksioni
rritet (zvogëlohet) gjatë këtij intervali.

Shembulli 6.3. Gjeni intervalet e monotonitetit të funksioneve

1)
; 3)
.

Zgjidhje.

1) Ky funksion përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Le të gjejmë derivatin.

Derivati është i barabartë me zero nëse
Dhe
. Fusha e përkufizimit është boshti i numrave, i ndarë me pika
,
në intervale. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në çdo interval.

Në intervalin
derivati është negativ, funksioni zvogëlohet në këtë interval.

Në intervalin
derivati është pozitiv, prandaj funksioni rritet gjatë këtij intervali.

2) Ky funksion përcaktohet nëse
ose

Përcaktojmë shenjën e trinomit kuadratik në çdo interval.

Kështu, fusha e përkufizimit të funksionit

Le të gjejmë derivatin
,
, Nëse
, d.m.th.
, Por
. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale
.

Në intervalin
derivati është negativ, prandaj funksioni zvogëlohet në interval
. Në intervalin
derivati është pozitiv, funksioni rritet gjatë intervalit
.

4. Studimi i funksionit në ekstrem.

Pika
quhet pika maksimale (minimale) e funksionit
, nëse ka një fqinjësi të tillë të pikës kjo është për të gjithë
nga kjo lagje mban pabarazia

.

Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen pika ekstreme.

Nëse funksioni
në pikën ka një ekstrem, atëherë derivati i funksionit në këtë pikë është i barabartë me zero ose nuk ekziston (kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi).

Pikat në të cilat derivati është zero ose nuk ekziston quhen kritike.

5. Kushtet e mjaftueshme për ekzistimin e një ekstremi.

Rregulli 1. Nëse gjatë kalimit (nga e majta në të djathtë) nëpër pikën kritike derivatore
ndryshon shenjën nga "+" në "-", pastaj në pikë funksionin
ka një maksimum; nëse nga "-" në "+", atëherë minimumi; Nëse
nuk ndryshon shenjë, atëherë nuk ka ekstrem.

Rregulli 2. Lëreni në pikën
derivati i parë i një funksioni
e barabartë me zero
, dhe derivati i dytë ekziston dhe është i ndryshëm nga zero. Nëse
, Kjo – pikë maksimale, nëse
, Kjo – pika minimale e funksionit.

Shembulli 6.4. Eksploroni funksionet maksimale dhe minimale:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Zgjidhje.

1) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval
.

Le të gjejmë derivatin
dhe zgjidhni ekuacionin
, d.m.th.
.Nga këtu
- pikat kritike.

Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale,
.

Kur kalon nëpër pika
Dhe
derivati ndryshon shenjën nga "-" në "+", pra, sipas rregullit 1
– pikë minimale.

Kur kalon nëpër një pikë
derivati ndryshon shenjën nga “+” në “–”, pra
- pikë maksimale.

,
.

2) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval
. Le të gjejmë derivatin
.

Duke zgjidhur ekuacionin
, do të gjejmë
Dhe
- pikat kritike. Nëse emëruesi
, d.m.th.
, atëherë derivati nuk ekziston. Kështu që,
– pika e tretë kritike. Le të përcaktojmë shenjën e derivatit në intervale.