Si të maten brinjët e një trekëndëshi. Llogaritësi online.Zgjidhja e trekëndëshave. Çmimet për lloje të ndryshme të kreshtave të çatisë

Në matematikë, kur merret parasysh një trekëndësh, i kushtohet shumë vëmendje anëve të tij. Sepse këto elemente formojnë këtë figurë gjeometrike. Brinjët e një trekëndëshi përdoren për të zgjidhur shumë probleme gjeometrike.

Përkufizimi i konceptit

Segmentet që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë quhen brinjë të një trekëndëshi. Elementet në shqyrtim kufizojnë një pjesë të aeroplanit, e cila quhet brendësi e kësaj figura gjeometrike.

Matematikanët në llogaritjet e tyre lejojnë përgjithësime në lidhje me anët e figurave gjeometrike. Kështu, në një trekëndësh të degjeneruar, tre nga segmentet e tij shtrihen në një vijë të drejtë.

Karakteristikat e konceptit

Llogaritja e brinjëve të një trekëndëshi përfshin përcaktimin e të gjithë parametrave të tjerë të figurës. Duke ditur gjatësinë e secilit prej këtyre segmenteve, ju lehtë mund të llogarisni perimetrin, sipërfaqen dhe madje edhe këndet e trekëndëshit.

Oriz. 1. Trekëndësh arbitrar.

Duke mbledhur anët e një figure të caktuar, mund të përcaktoni perimetrin.

P=a+b+c, ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit

Dhe për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi, atëherë duhet të përdorni formulën e Heronit.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Ku p është gjysmëperimetri.

Këndet e një figure të caktuar gjeometrike llogariten duke përdorur teoremën e kosinusit.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\mbi(2bc))$$

Kuptimi

Disa veti të kësaj figure gjeometrike shprehen përmes raportit të brinjëve të një trekëndëshi:

Përballë anës më të vogël të një trekëndëshi është këndi më i vogël i tij.
Këndi i jashtëm i figurës gjeometrike në fjalë fitohet duke zgjatur njërën nga anët.
Këndet e kundërta të një trekëndëshi janë brinjë të barabarta.
Në çdo trekëndësh, njëra nga brinjët është gjithmonë më e madhe se diferenca e dy segmenteve të tjera. Dhe shuma e çdo dy anët e kësaj figure është më e madhe se e treta.

Një nga shenjat se dy trekëndësha janë të barabartë është raporti i shumës së të gjitha brinjëve të figurës gjeometrike. Nëse këto vlera janë të njëjta, atëherë trekëndëshat do të jenë të barabartë.

Disa veti të një trekëndëshi varen nga lloji i tij. Prandaj, së pari duhet të merrni parasysh madhësinë e anëve ose këndeve të kësaj figure.

Formimi i trekëndëshave

Nëse dy brinjët e figurës gjeometrike në fjalë janë të njëjta, atëherë ky trekëndësh quhet dykëndësh.

Oriz. 2. Trekëndëshi dykëndësh.

Kur të gjithë segmentet në një trekëndësh janë të barabartë, ju merrni një trekëndësh barabrinjës.

Oriz. 3. Trekëndësh barabrinjës.

Është më i përshtatshëm për të kryer çdo llogaritje në rastet kur një trekëndësh arbitrar mund të klasifikohet si një lloj specifik. Sepse atëherë gjetja e parametrit të kërkuar të kësaj figure gjeometrike do të thjeshtohet ndjeshëm.

Megjithëse një ekuacion trigonometrik i zgjedhur saktë ju lejon të zgjidhni shumë probleme në të cilat merret parasysh një trekëndësh arbitrar.

Çfarë kemi mësuar?

Tre segmente që lidhen me pika dhe nuk i përkasin të njëjtës drejtëz formojnë një trekëndësh. Këto anë formojnë një plan gjeometrik, i cili përdoret për të përcaktuar zonën. Duke përdorur këto segmente, mund të gjeni shumë karakteristika të rëndësishme të një figure, si perimetri dhe këndet. Raporti i pamjes së një trekëndëshi ndihmon për të gjetur llojin e tij. Disa veti të një figure të caktuar gjeometrike mund të përdoren vetëm nëse dihen dimensionet e secilës anë të saj.

Test mbi temën

Vlerësimi i artikullit

Vleresim mesatar: 4.3. Gjithsej vlerësimet e marra: 142.

Një trekëndësh quhet trekëndësh kënddrejtë nëse njëri prej këndeve të tij është 90º. Ana përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë, dhe dy të tjerat quhen këmbë.

Për të gjetur këndin në një trekëndësh kënddrejtë, përdoren disa veti të trekëndëshave kënddrejtë, përkatësisht: shuma e këndeve akute është 90º, si dhe fakti se përballë këmbës, gjatësia e së cilës është gjysma e gjatësisë së hipotenuzës, qëndron. një kënd të barabartë me 30º.

Lundrim i shpejtë përmes artikullit

Trekëndëshi dykëndësh

Një nga vetitë e një trekëndëshi dykëndësh është se dy këndet e tij janë të barabartë. Për të llogaritur këndet e një trekëndëshi dykëndësh të drejtë, duhet të dini se:

Një kënd i drejtë është 90º.
Vlerat e këndeve akute përcaktohen me formulën: (180º-90º)/2=45º, d.m.th. këndet α dhe β janë të barabartë me 45º.

Nëse dihet madhësia e njërit prej këndeve akute, i dyti mund të gjendet duke përdorur formulën: β=180º-90º-α, ose α=180º-90º-β. Më shpesh ky raport përdoret nëse njëri nga këndet është 60º ose 30º.

Konceptet kryesore

Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180º. Meqenëse një kënd është i drejtë, dy të tjerët do të jenë akute. Për t'i gjetur ato duhet të dini se:

metoda të tjera

Vlerat e këndeve akute trekëndësh kënddrejtë mund të llogaritet duke ditur vlerën e mesatares - një vijë e tërhequr nga kulmi në anën e kundërt të trekëndëshit, dhe lartësia - një vijë e drejtë, e cila është një pingul e tërhequr nga një kënd i drejtë në hipotenuzë. Le të jetë s mesatarja e tërhequr nga këndi i duhur në mes të hipotenuzës, h është lartësia. Në këtë rast rezulton se:

sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sin α=h/b; sin β =h/a.

Dy anë

Nëse gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës nga këmbët, ose dy brinjëve, njihen në një trekëndësh kënddrejtë, përdoren identitetet trigonometrike për të gjetur vlerat e këndeve akute:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Një trekëndësh kënddrejtë gjendet në realitet pothuajse në çdo cep. Njohja e vetive të një figure të caktuar, si dhe aftësia për të llogaritur sipërfaqen e saj, padyshim që do të jetë e dobishme për ju jo vetëm për zgjidhjen e problemeve të gjeometrisë, por edhe në situatat e jetës.

Gjeometria e trekëndëshit

Në gjeometrinë elementare, një trekëndësh kënddrejtë është një figurë që përbëhet nga tre segmente të lidhura që formojnë tre kënde (dy akute dhe një i drejtë). Trekëndëshi kënddrejtë është një figurë origjinale e karakterizuar nga një numër karakteristikash të rëndësishme që formojnë themelin e trigonometrisë. Ndryshe nga një trekëndësh i rregullt, anët e një figure drejtkëndore kanë emrat e tyre:

Hipotenuza është ana më e gjatë e një trekëndëshi, përballë këndit të drejtë.
Këmbët janë segmente që formojnë një kënd të drejtë. Në varësi të këndit në shqyrtim, këmba mund të jetë ngjitur me të (duke formuar këtë kënd me hipotenuzën) ose përballë (shtrirë përballë këndit). Nuk ka këmbë për trekëndëshat jo të drejtë.

Është raporti i këmbëve dhe hipotenuzës që përbën bazën e trigonometrisë: sinuset, tangjentet dhe sekantet përcaktohen si raporti i brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Trekëndëshi kënddrejtë në realitet

Kjo shifër është bërë e përhapur në realitet. Trekëndëshat përdoren në dizajn dhe teknologji, kështu që llogaritja e sipërfaqes së një figure duhet të bëhet nga inxhinierë, arkitektë dhe projektues. Bazat e tetraedroneve ose prizmave - figura tredimensionale që janë të lehta për t'u takuar në jetën e përditshme - kanë formën e një trekëndëshi. Për më tepër, një katror është paraqitja më e thjeshtë e një trekëndëshi kënddrejtë "të sheshtë" në realitet. Sheshi është një vegël e përpunimit të metaleve, vizatimit, ndërtimit dhe zdrukthtarisë që përdoret për të ndërtuar kënde si nga nxënësit e shkollës ashtu edhe nga inxhinierët.

Sipërfaqja e një trekëndëshi

Sipërfaqja e një figure gjeometrike është një vlerësim sasior se sa pjesë e rrafshit kufizohet nga anët e trekëndëshit. Zona e një trekëndëshi të zakonshëm mund të gjendet në pesë mënyra, duke përdorur formulën e Heronit ose duke përdorur ndryshore të tilla si baza, ana, këndi dhe rrezja e rrethit të brendashkruar ose të rrethuar. Formula më e thjeshtë për sipërfaqen shprehet si:

ku a është brinja e trekëndëshit, h është lartësia e tij.

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi kënddrejtë është edhe më e thjeshtë:

ku a dhe b janë këmbët.

Duke punuar me kalkulatorin tonë në internet, mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur tre palë parametra:

dy këmbë;
këmba dhe këndi ngjitur;
këmbën dhe këndin e kundërt.

Në problemet ose situatat e përditshme do t'ju jepen kombinime të ndryshme variablash, kështu që kjo formë e kalkulatorit ju lejon të llogaritni sipërfaqen e një trekëndëshi në disa mënyra. Le të shohim disa shembuj.

Shembuj të jetës reale

Pllakë qeramike

Le të themi se dëshironi të mbuloni muret e kuzhinës me pllaka qeramike, të cilat kanë formën e një trekëndëshi kënddrejtë. Për të përcaktuar konsumin e pllakave, duhet të zbuloni sipërfaqen e një elementi të veshjes dhe sipërfaqen totale të sipërfaqes që trajtohet. Supozoni se duhet të përpunoni 7 metra katrorë. Gjatësia e këmbëve të një elementi është 19 cm, atëherë sipërfaqja e pllakës do të jetë e barabartë me:

Kjo do të thotë që sipërfaqja e një elementi është 24.5 centimetra katrorë ose 0.01805 metra katrorë. Duke ditur këto parametra, mund të llogarisni se për të përfunduar 7 metra katror mur do t'ju nevojiten 7/0.01805 = 387 elementë të pllakave të përballimit.

Detyrë shkollore

Le të themi se në një problem të gjeometrisë shkollore ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, duke ditur vetëm se ana e njërës këmbë është 5 cm dhe këndi i kundërt është 30 gradë. Llogaritësi ynë online vjen me një ilustrim që tregon brinjët dhe këndet e një trekëndëshi kënddrejtë. Nëse ana a = 5 cm, atëherë këndi i kundërt i saj është këndi alfa, i barabartë me 30 gradë. Futni këto të dhëna në formularin e kalkulatorit dhe merrni rezultatin:

Kështu, kalkulatori jo vetëm që llogarit sipërfaqen trekëndëshi i dhënë, por përcakton edhe gjatësinë e këmbës dhe hipotenuzës ngjitur, si dhe vlerën e këndit të dytë.

konkluzioni

Trekëndëshat kënddrejtë gjenden në jetën tonë fjalë për fjalë në çdo cep. Përcaktimi i zonës së figurave të tilla do të jetë i dobishëm për ju jo vetëm kur zgjidhni detyrat e shkollës në gjeometri, por edhe në aktivitetet e përditshme dhe profesionale.

ANDREY PROKIP: “Dashnorja ime është EKOLOGJIA RUSE. DUHET TË INVESTONI NË TË!”
Në datat 4-5 shtator u mbajt forumi mjedisor “Forma klimatike e qyteteve”. Iniciatori i ngjarjes është organizata C40, e cila është themeluar në vitin 2005 nga OKB-ja. Detyra kryesore e formës dhe qyteteve është kontrolli ndryshimi i klimës qytetet.
Siç ka treguar praktika, në ndryshim nga ngjarjet sociale dhe "takimet në klube nate", kishte pak deputetë dhe personazhe publike. Ndër ata që identifikuan shqetësimet situatën mjedisore ishte Prokip Adrey Zinovievich. Ai mori pjesë aktive në të gjitha seancat plenare së bashku me Përfaqësuesin Special të Presidentit Federata Ruse për çështjet klimatike Ruslan Edelgeriev, nënkryetari i Bashkisë së Moskës për Strehimin dhe Shërbimet Komunale Pyotr Biryukov, si dhe përfaqësues të huaj - kryetari i qytetit italian të Savonës - Ilario Caprioglio. Pjesëmarrësit prezantuan projektet e tyre dhe diskutuan gjithashtu strategjitë për të frenuar rritjen e temperaturave globale, si dhe propozuan zgjidhje praktike zhvillimi i qëndrueshëm qytetet.
ANDREY PROKIP RRETH SHASHLIKËVE, DEPUTEVE DHE NDËRTESËS SË GJELBËR
Me interes të veçantë për pala ruse shkaktoi një prezantim nga folësit, mes të cilëve ishin arkitektë, shkencëtarë evropianë dhe kryetari i bashkisë së Savonës. Tema e fjalimit ishte drejtimi TOP - "ndërtimi i gjelbër". Siç tha vetë Andrey Prokip, "është e rëndësishme të rishpërndahen saktë burimet, si dhe të merren parasysh standardet evropiane të ndërtimit për një metropol si Moska. Është e nevojshme që Rusia të marrë një kurs drejt "financimit të gjelbër" në nivel federal, veçanërisht pasi ai është ekonomikisht i realizueshëm dhe, siç tregon praktika, fitimprurës". Ai shprehu gjithashtu shqetësime për përkeqësimin e shëndetit të rusëve për shkak të fatkeqësive mjedisore dhe mospërputhjes me standardet mjedisore për asgjësimin e mbetjeve nga të mëdha dhe të vogla ndërmarrjet industriale" Ai u konfirmua edhe në frikën e tij falë fjalimit të Francesco Zambona, profesor në Zyrën Evropiane të OBSH-së për Investime në Shëndetësi.
Me humor karakteristik, Andrei iu drejtua njerëzve të famshëm që ishin të ftuar në forum, por nuk u shfaqën kurrë, me një thirrje për të kujtuar natyrën, jo vetëm kur duan të pinë barbekju ose të shkojnë për peshkim. Në fund të fundit, shëndeti i të gjithë njerëzve varet nga dashamirësia e natyrës, e cila, për fat të keq, i përfshin ata.”
Përveç fjalimeve pasionante për "natyrën e re" të Andrei Zinovievich dhe rëndësinë e marrjes së përgjegjësisë për mjedisi vetë, një ngjarje e rëndësishme e forumit ishte seancë plenare me temën "Si të rrisim një brez të ri". Pjesëmarrësit e forumit ishin unanim në mendimin se është e nevojshme të edukohen jo vetëm fëmijët, por edhe brezi i të rriturve. Është shumë e rëndësishme të rrënjosni përgjegjësinë ndaj natyrës në sjelljen e përditshme, si dhe në biznes.
Një projekt i veçantë "të mësosh të jetosh në mënyrë të civilizuar" do të nisë për Moskën. Kjo projekt edukativ për të gjitha segmentet e popullsisë dhe kategoritë e moshës. Por sado e mrekullueshme të jetë teoria dhe qëllimet e mira, thënia "derisa gjeli i pjekur të godasë, budallai nuk do të kryqëzohet" është ende i rëndësishëm për Rusinë.
Sipas Timothy Netter, një regjisor i famshëm teatri, arti mund të ndryshojë gjithçka. Në një nga fjalimet e tij ai foli sesi duhet të prezantohet ideja e ruajtjes së natyrës në teatër dhe kinema dhe sa e rëndësishme është edukimi i njerëzve përmes artit për të qenë përgjegjës për atë që do të ndodhë me ne dhe natyrën nesër.
Studentët tërhoqën vëmendjen e operatorëve të Rentv dhe Andrey Prokirpa Universitetet ruse, duke paraqitur një projekt mbi teknologjinë miqësore me mjedisin për prodhimin e kontejnerëve që janë rezistent ndaj lagështirës dhe temperaturës. Ky është një problem shumë urgjent, pasi në mbarë botën po miratohen ligje kundër kontejnerëve plastikë, të cilët, meqë ra fjala, duhen më shumë se 30 vjet për t'u dekompozuar, ndotin tokën dhe shkaktojnë vdekjen e kafshëve.
Është inkurajuese që Moska është një nga 94 qytetet pjesëmarrëse në organizatën C40 dhe kjo është hera e tretë që mbahet forumi, i cili çdo vit tërheq vëmendjen e personaliteteve dhe qytetarëve të njohur gjithnjë e më shumë.

Në gjeometri, një kënd është një figurë që formohet nga dy rreze që dalin nga një pikë (e quajtur kulmi i këndit). Në shumicën e rasteve, njësia e matjes për këndin është shkalla (°) - mbani mend se një kënd i plotë, ose një rrotullim, është 360°. Ju mund të gjeni vlerën e këndit të një shumëkëndëshi sipas llojit të tij dhe vlerave të këndeve të tjera, dhe nëse jepet një trekëndësh kënddrejtë, këndi mund të llogaritet nga dy anët. Për më tepër, këndi mund të matet duke përdorur një raportor ose të llogaritet duke përdorur një kalkulator grafik.

Hapat

Si të gjeni këndet e brendshme të një shumëkëndëshi

Numëroni numrin e brinjëve të shumëkëndëshit. Për të llogaritur këndet e brendshme të një shumëkëndëshi, së pari duhet të përcaktoni sa brinjë ka shumëkëndëshi. Vini re se numri i brinjëve të një shumëkëndëshi është i barabartë me numrin e këndeve të tij.

Për shembull, një trekëndësh ka 3 brinjë dhe 3 kënde të brendshme, dhe një katror ka 4 brinjë dhe 4 kënde të brendshme.

Llogaritni shumën e të gjitha këndeve të brendshme të shumëkëndëshit. Për ta bërë këtë, përdorni formulën e mëposhtme: (n - 2) x 180. Në këtë formulë, n është numri i brinjëve të shumëkëndëshit. Më poshtë janë shumat e këndeve të shumëkëndëshave që hasen zakonisht:
- Shuma e këndeve të një trekëndëshi (një shumëkëndësh me 3 brinjë) është 180°.
- Shuma e këndeve të një katërkëndëshi (një shumëkëndëshi me 4 brinjë) është 360°.
- Shuma e këndeve të një pesëkëndëshi (një shumëkëndësh me 5 brinjë) është 540°.
- Shuma e këndeve të një gjashtëkëndëshi (një shumëkëndëshi me 6 brinjë) është 720°.
- Shuma e këndeve të një tetëkëndëshi (një shumëkëndësh me 8 brinjë) është 1080°.
Pjestoni shumën e të gjithë këndeve të një shumëkëndëshi të rregullt me numrin e këndeve. Një shumëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh me brinjë të barabarta dhe kënde të barabarta. Për shembull, çdo kënd i një trekëndëshi barabrinjës llogaritet si më poshtë: 180 ÷ 3 = 60°, dhe çdo kënd i një katrori llogaritet si më poshtë: 360 ÷ 4 = 90°.
- Një trekëndësh barabrinjës dhe një katror janë shumëkëndësha të rregullt. Dhe në ndërtesën e Pentagonit (Uashington, SHBA) dhe shenjë rrugore Forma "Stop" e një tetëkëndëshi të rregullt.
Zbrisni shumën e të gjithë këndeve të njohura nga shuma totale e këndeve të shumëkëndëshit të parregullt. Nëse brinjët e një shumëkëndëshi nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe këndet e tij gjithashtu nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën, së pari mblidhni këndet e njohura të shumëkëndëshit. Tani zbritni vlerën që rezulton nga shuma e të gjitha këndeve të poligonit - në këtë mënyrë do të gjeni këndin e panjohur.
- Për shembull, nëse jepet se 4 këndet e një pesëkëndëshi janë 80°, 100°, 120° dhe 140°, mblidhni këta numra: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Tani zbritni këtë vlerë nga shuma e të gjithë këndet e pesëkëndëshit; kjo shumë është e barabartë me 540°: 540 - 440 = 100°. Kështu, këndi i panjohur është 100°.
Këshilla: këndi i panjohur i disa shumëkëndëshave mund të llogaritet nëse i njihni vetitë e figurës. Për shembull, në një trekëndësh dykëndësh dy brinjë janë të barabarta dhe dy kënde janë të barabarta; Në një paralelogram (i cili është katërkëndësh), anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet e kundërta janë të barabarta.

Matni gjatësinë e dy brinjëve të trekëndëshit. Ana më e gjatë e një trekëndëshi kënddrejtë quhet hipotenuzë. Ana ngjitur është ana që është afër këndit të panjohur. Ana e kundërt është ana që është përballë këndit të panjohur. Matni dy brinjët për të llogaritur këndet e panjohura të trekëndëshit.

Këshilla: përdorni një kalkulator grafik për të zgjidhur ekuacionet, ose gjeni një tabelë në internet me vlerat e sinuseve, kosinuseve dhe tangjentëve.

Llogaritni sinusin e një këndi nëse njihni anën e kundërt dhe hipotenuzën. Për ta bërë këtë, futni vlerat në ekuacionin: sin(x) = ana e kundërt ÷ hipotenuzë. Për shembull, ana e kundërt është 5 cm dhe hipotenuza është 10 cm.Pjestoni 5/10 = 0,5. Kështu, sin(x) = 0,5, domethënë x = sin -1 (0,5).