Si të gjeni me dorë rrënjën katrore të një numri. Çfarë është një rrënjë katrore? Sa është rrënja katrore e njëqind?

Kur zgjidhin probleme të ndryshme nga një kurs i matematikës dhe fizikës, nxënësit dhe studentët shpesh ballafaqohen me nevojën për të nxjerrë rrënjë të shkallës së dytë, të tretë ose të nëntë. Sigurisht, në shek teknologjitë e informacionit Nuk do të jetë e vështirë për ta zgjidhur këtë problem duke përdorur një kalkulator. Sidoqoftë, lindin situata kur është e pamundur të përdoret asistenti elektronik.

Për shembull, shumë provime nuk ju lejojnë të sillni elektronikë. Përveç kësaj, mund të mos keni në dorë një kalkulator. Në raste të tilla, është e dobishme të njihni të paktën disa metoda për llogaritjen manuale të radikalëve.

Gjetja e rrënjëve katrore duke përdorur një tabelë katrorësh

Një nga mënyrat më të thjeshta për të llogaritur rrënjët është duke përdorur një tabelë të veçantë. Çfarë është dhe si ta përdorim atë në mënyrë korrekte?

Duke përdorur tabelën, mund të gjeni katrorin e çdo numri nga 10 në 99. Rreshtat e tabelës përmbajnë vlerat e dhjetëra, dhe kolonat përmbajnë vlerat e njësive. Qeliza në kryqëzimin e një rreshti dhe një kolone përmban katrorin e një numri dyshifror. Për të llogaritur katrorin 63, duhet të gjeni një rresht me vlerë 6 dhe një kolonë me vlerë 3. Në kryqëzim do të gjejmë një qelizë me numrin 3969.

Meqenëse nxjerrja e rrënjës është operacioni i kundërt i katrorit, për të kryer këtë veprim duhet të bëni të kundërtën: së pari gjeni qelizën me numrin radikalin e të cilit dëshironi të llogaritni, më pas përdorni vlerat e kolonës dhe rreshtit për të përcaktuar përgjigjen. . Si shembull, merrni parasysh llogaritjen rrenja katrore 169.

Në tabelë gjejmë një qelizë me këtë numër, horizontalisht përcaktojmë dhjetëra - 1, vertikalisht gjejmë njësi - 3. Përgjigje: √169 = 13.

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të llogaritni rrënjët e kubit dhe të n-të duke përdorur tabelat e duhura.

Avantazhi i metodës është thjeshtësia e saj dhe mungesa e llogaritjeve shtesë. Disavantazhet janë të dukshme: metoda mund të përdoret vetëm për një gamë të kufizuar numrash (numri për të cilin gjendet rrënja duhet të jetë në intervalin nga 100 në 9801). Përveç kësaj, nuk do të funksionojë nëse numri i dhënë nuk është në tabelë.

Faktorizimi kryesor

Nëse tabela e katrorëve nuk është afër ose doli të jetë e pamundur të gjesh rrënjën me ndihmën e saj, mund të provosh faktorizoni numrin nën rrënjë në faktorë të thjeshtë. Faktorët kryesorë janë ata që mund të jenë plotësisht (pa mbetje) të pjesëtueshëm vetëm me veten ose me një. Shembujt mund të jenë 2, 3, 5, 7, 11, 13, etj.

Le të shohim llogaritjen e rrënjës duke përdorur √576 si shembull. Le ta zbërthejmë në faktorët kryesorë. Marrim rezultatin e mëposhtëm: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Duke përdorur vetinë bazë të rrënjëve √a² = a, do të heqim qafe rrënjët dhe katrorët dhe më pas do të llogarisim përgjigjen: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Çfarë duhet bërë nëse ndonjë nga shumëzuesit nuk ka çiftin e vet? Për shembull, merrni parasysh llogaritjen e √54. Pas faktorizimit, marrim rezultatin në formën e mëposhtme: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Pjesa jo e lëvizshme mund të lihet nën rrënjë. Për shumicën e problemeve të gjeometrisë dhe algjebrës, kjo përgjigje do të llogaritet si përgjigje përfundimtare. Por nëse ka nevojë për të llogaritur vlerat e përafërta, mund të përdorni metoda që do të diskutohen më poshtë.

Metoda e Heronit

Çfarë duhet të bëni kur duhet të paktën të dini përafërsisht se me çfarë është rrënja e nxjerrë (nëse është e pamundur të merret një vlerë e plotë)? Një rezultat i shpejtë dhe mjaft i saktë merret duke përdorur metodën Heron. Thelbi i saj është të përdorni një formulë të përafërt:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

ku R është numri, rrënja e të cilit duhet të llogaritet, a është numri më i afërt, vlera e rrënjës së të cilit dihet.

Le të shohim se si funksionon metoda në praktikë dhe të vlerësojmë se sa e saktë është. Le të llogarisim se me çfarë është e barabartë √111. Numri më i afërt me 111, rrënja e të cilit dihet, është 121. Kështu, R = 111, a = 121. Zëvendësoni vlerat në formulën:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tani le të kontrollojmë saktësinë e metodës:

10,55² = 111,3025.

Gabimi i metodës ishte afërsisht 0.3. Nëse saktësia e metodës duhet të përmirësohet, mund të përsërisni hapat e përshkruar më parë:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Le të kontrollojmë saktësinë e llogaritjes:

10.536² = 111.0073.

Pas ri-aplikimit të formulës, gabimi u bë krejtësisht i parëndësishëm.

Llogaritja e rrënjës me pjesëtim të gjatë

Kjo metodë e gjetjes së vlerës së rrënjës katrore është pak më e ndërlikuar se ato të mëparshme. Sidoqoftë, është më e sakta midis metodave të tjera të llogaritjes pa kalkulator.

Le të themi se duhet të gjesh rrënjën katrore të saktë në 4 shifra dhjetore. Le të analizojmë algoritmin e llogaritjes duke përdorur shembullin e një numri arbitrar 1308.1912.

1. Ndani fletën e letrës në 2 pjesë me një vijë vertikale dhe më pas vizatoni një vijë tjetër nga ajo në të djathtë, pak poshtë skajit të sipërm. Le të shkruajmë numrin në anën e majtë, duke e ndarë atë në grupe me 2 shifra, duke lëvizur djathtas dhe ana e majte nga presja. Shifra e parë në të majtë mund të jetë pa një palë. Nëse shenja mungon në anën e djathtë të numrit, atëherë duhet të shtoni 0. Në rastin tonë, rezultati do të jetë 13 08.19 12.
2. Le të zgjedhim më të mirën numër i madh, katrori i të cilit do të jetë më i vogël ose i barabartë me grupin e parë të shifrave. Në rastin tonë është 3. Le ta shkruajmë lart djathtas; 3 është shifra e parë e rezultatit. Në fund të djathtë ne tregojmë 3×3 = 9; kjo do të jetë e nevojshme për llogaritjet e mëvonshme. Nga 13 në kolonë zbresim 9, marrim një mbetje prej 4.
3. Le t'ia caktojmë çiftin tjetër të numrave mbetjes 4; marrim 408.
4. Shumëzojeni numrin lart djathtas me 2 dhe shkruajeni poshtë djathtas, duke shtuar _ x _ = në të. Marrim 6_ x _ =.
5. Në vend të vizave, duhet të zëvendësoni të njëjtin numër, më pak ose i barabartë me 408. Marrim 66 × 6 = 396. Shkruajmë 6 nga lart djathtas, pasi kjo është shifra e dytë e rezultatit. Zbrisni 396 nga 408, marrim 12.
6. Le të përsërisim hapat 3-6. Meqenëse shifrat e zhvendosura poshtë janë në pjesën thyesore të numrit, është e nevojshme të vendosni një pikë dhjetore në krye, menjëherë pas 6. Le të shkruajmë rezultatin e dyfishtë me viza: 72_ x _ =. Një numër i përshtatshëm do të ishte 1: 721×1 = 721. Le ta shkruajmë atë si përgjigje. Le të zbresim 1219 - 721 = 498.
7. Le të kryejmë sekuencën e veprimeve të dhëna në paragrafin e mëparshëm edhe tre herë për të marrë numrin e kërkuar të shifrave dhjetore. Nëse nuk ka karaktere të mjaftueshme për llogaritjet e mëtejshme, duhet të shtoni dy zero në numrin aktual në të majtë.

Si rezultat, marrim përgjigjen: √1308.1912 ≈ 36.1689. Nëse kontrolloni veprimin duke përdorur një kalkulator, mund të siguroheni që të gjitha shenjat janë identifikuar saktë.

Llogaritja e rrënjës katrore në bit

Metoda është shumë e saktë. Për më tepër, është mjaft e kuptueshme dhe nuk kërkon formula memorizuese ose një algoritëm kompleks veprimesh, pasi thelbi i metodës është të zgjidhni rezultatin e saktë.

Le të nxjerrim rrënjën e numrit 781. Le të shohim me detaje sekuencën e veprimeve.

1. Le të zbulojmë se cila shifër e vlerës së rrënjës katrore do të jetë më e rëndësishmja. Për ta bërë këtë, le të vendosim në katror 0, 10, 100, 1000, etj. dhe të zbulojmë se në cilin prej tyre ndodhet numri radikal. Ne marrim atë 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Le të zgjedhim vlerën e dhjetësheve. Për ta bërë këtë, ne do të ngrihemi me radhë në fuqinë 10, 20, ..., 90 derisa të marrim një numër më të madh se 781. Për rastin tonë, marrim 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. vlera e rezultatit n do të jetë brenda 20< n <30.
3. Ngjashëm me hapin e mëparshëm, zgjidhet vlera e shifrës së njësive. Le të vendosim në katror 21,22, ..., 29 një nga një: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 24. Marrim = 78²< n < 28.
4. Çdo shifër pasuese (të dhjetat, të qindtat, etj.) llogaritet në të njëjtën mënyrë siç tregohet më sipër. Llogaritjet kryhen derisa të arrihet saktësia e kërkuar.

Video

Kjo video do t'ju tregojë se si të gjeni rrënjët katrore pa përdorur një kalkulator.

Shumë shpesh, kur zgjidhim probleme, përballemi me numra të mëdhenj nga të cilët duhet të nxjerrim Rrenja katrore. Shumë studentë vendosin se ky është një gabim dhe fillojnë të rizgjidhin të gjithë shembullin. Në asnjë rrethanë nuk duhet ta bëni këtë! Ka dy arsye për këtë:

1. Rrënjët e një numri të madh shfaqen në probleme. Sidomos në ato tekst;
2. Ekziston një algoritëm me të cilin këto rrënjë llogariten pothuajse gojarisht.

Ne do ta shqyrtojmë këtë algoritëm sot. Ndoshta disa gjëra do t'ju duken të pakuptueshme. Por nëse i kushtoni vëmendje këtij mësimi, do të merrni një armë të fuqishme kundër rrënjë katrore.

Pra, algoritmi:

1. Kufizoni rrënjën e kërkuar sipër dhe poshtë në numra që janë shumëfish të 10. Kështu, ne do ta reduktojmë diapazonin e kërkimit në 10 numra;
2. Nga këta 10 numra, hiqni ato që definitivisht nuk mund të jenë rrënjë. Si rezultat, 1-2 numra do të mbeten;
3. Sheshi i këtyre 1-2 numrave. Ai katrori i të cilit është i barabartë me numrin origjinal do të jetë rrënja.

Përpara se ta zbatojmë këtë algoritëm në praktikë, le të shohim secilin hap individual.

Kufizimi i rrënjës

Para së gjithash, ne duhet të zbulojmë se midis cilit numra ndodhet rrënja jonë. Është shumë e dëshirueshme që numrat të jenë shumëfish të dhjetë:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Ne marrim një seri numrash:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Çfarë na thonë këto shifra? Është e thjeshtë: ne kemi kufij. Merrni, për shembull, numrin 1296. Ai shtrihet midis 900 dhe 1600. Prandaj, rrënja e tij nuk mund të jetë më e vogël se 30 dhe më e madhe se 40:

[Diçitura për foton]

E njëjta gjë vlen edhe për çdo numër tjetër nga i cili mund të gjeni rrënjën katrore. Për shembull, 3364:

[Diçitura për foton]

Kështu, në vend të një numri të pakuptueshëm, marrim një gamë shumë specifike në të cilën qëndron rrënja origjinale. Për të ngushtuar më tej zonën e kërkimit, kaloni në hapin e dytë.

Eliminimi i numrave dukshëm të panevojshëm

Pra, kemi 10 numra - kandidatë për rrënjë. I morëm shumë shpejt, pa menduar komplekse dhe shumëzim në një kolonë. Është koha për të ecur përpara.

Besoni apo jo, tani do ta zvogëlojmë numrin e numrave të kandidatëve në dy - përsëri pa ndonjë llogaritje të komplikuar! Mjafton të njohësh rregullin e veçantë. Ja ku eshte:

Shifra e fundit e katrorit varet vetëm nga shifra e fundit numri origjinal.

Me fjalë të tjera, thjesht shikoni shifrën e fundit të katrorit dhe menjëherë do të kuptojmë se ku përfundon numri origjinal.

Ka vetëm 10 shifra që mund të vijnë në vendin e fundit. Le të përpiqemi të zbulojmë se në çfarë shndërrohen në katrorë. Hidhini një sy tabelës:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Kjo tabelë është një hap tjetër drejt llogaritjes së rrënjës. Siç mund ta shihni, numrat në rreshtin e dytë doli të ishin simetrik në lidhje me pesë. Për shembull:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Siç mund ta shihni, shifra e fundit është e njëjtë në të dyja rastet. Kjo do të thotë që, për shembull, rrënja e 3364 duhet të përfundojë në 2 ose 8. Nga ana tjetër, ne kujtojmë kufizimin nga paragrafi i mëparshëm. Ne marrim:

[Diçitura për foton]

Sheshat e kuq tregojnë se ne ende nuk e dimë këtë shifër. Por rrënja qëndron në rangun nga 50 në 60, në të cilin ka vetëm dy numra që përfundojnë me 2 dhe 8:

[Diçitura për foton]

Kjo eshte e gjitha! Nga të gjitha rrënjët e mundshme, ne lamë vetëm dy opsione! Dhe kjo është në rastin më të vështirë, sepse shifra e fundit mund të jetë 5 ose 0. Dhe atëherë do të ketë vetëm një kandidat për rrënjët!

Llogaritjet përfundimtare

Pra, na kanë mbetur 2 numra kandidatësh. Si e dini se cila është rrënja? Përgjigja është e qartë: katrore të dy numrat. Ai që në katror jep numrin origjinal do të jetë rrënja.

Për shembull, për numrin 3364 kemi gjetur dy numra kandidatë: 52 dhe 58. Le t'i vendosim në katror:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Kjo eshte e gjitha! Doli që rrënja është 58! Në të njëjtën kohë, për të thjeshtuar llogaritjet, përdora formulën për katrorët e shumës dhe diferencës. Falë kësaj, as që më duhej të shumëzoja numrat në një kolonë! Ky është një nivel tjetër i optimizimit të llogaritjes, por, natyrisht, është plotësisht opsional :)

Shembuj të llogaritjes së rrënjëve

Teoria është, natyrisht, e mirë. Por le ta kontrollojmë në praktikë.

[Diçitura për foton]

Së pari, le të zbulojmë se në cilat numra qëndron numri 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tani le të shohim numrin e fundit. Është e barabartë me 6. Kur ndodh kjo? Vetëm nëse rrënja përfundon me 4 ose 6. Marrim dy numra:

Gjithçka që mbetet është të vendosni në katror çdo numër dhe ta krahasoni atë me origjinalin:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

E madhe! Sheshi i parë doli të ishte i barabartë me numrin origjinal. Pra, kjo është rrënja.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

1369 → 9;
33; 37.

Sheshoni atë:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Këtu është përgjigja: 37.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

Ne kufizojmë numrin:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

2704 → 4;
52; 58.

Sheshoni atë:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Morëm përgjigjen: 52. Numri i dytë nuk do të ketë më nevojë të vendoset në katror.

Detyrë. Llogaritni rrënjën katrore:

[Diçitura për foton]

Ne kufizojmë numrin:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Le të shohim shifrën e fundit:

4225 → 5;
65.

Siç mund ta shihni, pas hapit të dytë ka mbetur vetëm një opsion: 65. Kjo është rrënja e dëshiruar. Por le ta rrafshojmë dhe të kontrollojmë:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Gjithçka është e saktë. Ne e shkruajmë përgjigjen.

konkluzioni

Mjerisht, jo më mirë. Le të shohim arsyet. Janë dy prej tyre:

• Në çdo provim normal të matematikës, qoftë Provimi i Shtetit apo Provimi i Unifikuar i Shtetit, përdorimi i makinave llogaritëse është i ndaluar. Dhe nëse sillni një makinë llogaritëse në klasë, lehtë mund të përjashtoheni nga provimi.
• Mos u bëni si amerikanët budallenj. Që nuk janë si rrënjët - nuk mund të shtojnë dy numra të thjeshtë. Dhe kur shohin fraksione, në përgjithësi bëhen histerikë.

Problemi i gjetjes së rrënjës në matematikë është problemi i anasjelltë i ngritjes së një numri në një fuqi. Ka rrënjë të ndryshme: rrënjë të shkallës së dytë, rrënjë të shkallës së tretë, rrënjë të shkallës së katërt etj. Varet se në çfarë fuqie është rritur numri fillimisht. Rrënja tregohet me simbolin: √ është një rrënjë katrore, domethënë rrënja e shkallës së dytë; nëse rrënja ka një shkallë më të madhe se e dyta, atëherë shkalla përkatëse caktohet mbi shenjën e rrënjës. Numri që është nën shenjën e rrënjës është një shprehje radikale. Kur gjeni një rrënjë, ka disa rregulla që do t'ju ndihmojnë të mos bëni gabim në gjetjen e rrënjës:

• Një rrënjë çift (nëse shkalla është 2, 4, 6, 8, etj.) e një numri negativ NUK ekziston. Nëse shprehja radikale është negative, por kërkohet rrënja e një shkalle tek (3, 5, 7, e kështu me radhë), atëherë rezultati do të jetë negativ.
• Rrënja e çdo fuqie të njërit është gjithmonë një: √1 = 1.
• Rrënja e zeros është zero: √0 = 0.

Si të gjeni rrënjën e 100

Nëse problemi nuk thotë se cila rrënjë e shkallës duhet të gjendet, atëherë zakonisht do të thotë se është e nevojshme të gjendet rrënja e shkallës së dytë (katrore).
Le të gjejmë √100 = ? Duhet të gjejmë një numër që, kur ngrihet në fuqinë e dytë, jep numrin 100. Natyrisht, një numër i tillë është numri 10, pasi: 10 2 = 100. Prandaj, √100 = 10: rrënja katrore e 100 është 10.

Çfarë është një rrënjë katrore?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Ky koncept është shumë i thjeshtë. E natyrshme, do të thosha. Matematikanët përpiqen të gjejnë një reagim për çdo veprim. Ka mbledhje - ka edhe zbritje. Ka shumëzim - ka edhe pjesëtim. Ka katrore... Pra ka edhe duke marrë rrënjën katrore! Kjo eshte e gjitha. Ky veprim ( rrenja katrore) në matematikë tregohet nga kjo ikonë:

Vetë ikona quhet një fjalë e bukur " radikale".

Si të nxjerrim rrënjën?Është më mirë të shikosh shembuj.

Sa është rrënja katrore e 9? Cili numër në katror do të na japë 9? 3 në katror na jep 9! Ato:

Por sa është rrënja katrore e zeros? Nuk ka problem! Çfarë numri në katror bën zero? Po, jep zero! Do të thotë:

E kuptova, çfarë është rrënja katrore? Pastaj marrim parasysh shembuj:

Përgjigjet (në rrëmujë): 6; 1; 4; 9; 5.

E vendosur? Vërtet, sa më e lehtë është kjo?!

Por... Çfarë bën njeriu kur sheh ndonjë detyrë me rrënjë?

Njeriu fillon të ndihet i trishtuar... Ai nuk beson në thjeshtësinë dhe lehtësinë e rrënjëve të tij. Edhe pse duket se e di çfarë është rrënja katrore...

Kjo për shkak se personi injoroi disa pika të rëndësishme kur studionte rrënjët. Pastaj këto trillime hakmerren mizore ndaj testeve dhe provimeve...

Pika një. Ju duhet të njihni rrënjët me shikim!

Sa është rrënja katrore e 49? Shtatë? E drejtë! Si e dinit se ishte shtatë? Në katrorë shtatë dhe mori 49? E drejtë! Ju lutemi vini re se nxjerr rrënjën nga 49 ne duhej të bënim operacionin e kundërt - katrori 7! Dhe sigurohuni që të mos humbasim. Ose mund të kishin humbur...

Kjo është vështirësia nxjerrja e rrënjës. Sheshi Ju mund të përdorni çdo numër pa asnjë problem. Shumëzoni një numër në vetvete me një kolonë - kjo është e gjitha. Por për nxjerrja e rrënjës Nuk ka një teknologji kaq të thjeshtë dhe të sigurt për dështimin. Ne duhet te marr përgjigjuni dhe kontrolloni nëse është e saktë duke e ndarë në katror.

Ky proces kompleks krijues - zgjedhja e një përgjigjeje - thjeshtohet shumë nëse ju mbaj mend katrorët e numrave të njohur. Si një tabelë shumëzimi. Nëse, të themi, ju duhet të shumëzoni 4 me 6, nuk i shtoni katër 6 herë, apo jo? Menjëherë del përgjigja 24. Edhe pse jo të gjithë e marrin, po...

Për të punuar lirshëm dhe me sukses me rrënjët, mjafton të njohësh katrorët e numrave nga 1 deri në 20. Për më tepër atje Dhe mbrapa. Ato. ju duhet të jeni në gjendje të recitoni lehtësisht të dyja, të themi, 11 në katror dhe rrënjën katrore të 121. Për të arritur këtë memorizim, ka dy mënyra. E para është të mësoni tabelën e katrorëve. Kjo do të jetë një ndihmë e madhe në zgjidhjen e shembujve. E dyta është të zgjidhni më shumë shembuj. Kjo do t'ju ndihmojë shumë të mbani mend tabelën e katrorëve.

Dhe pa kalkulator! Vetëm për qëllime testimi. Përndryshe, ju do të ngadalësoni pa mëshirë gjatë provimit...

Kështu që, çfarë është rrënja katrore Dhe si nxjerrin rrënjët- Mendoj se është e qartë. Tani le të zbulojmë se nga ÇFARË mund t'i nxjerrim ato.

Pika dy. Root, nuk të njoh!

Nga cilët numra mund të merrni rrënjë katrore? Po, pothuajse secili prej tyre. Është më e lehtë të kuptosh se nga vjen është e ndaluar nxjerrin ato.

Le të përpiqemi të llogarisim këtë rrënjë:

Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjedhim një numër që në katror do të na japë -4. Ne zgjedhim.

Çfarë, nuk përshtatet? 2 2 jep +4. (-2) 2 jep përsëri +4! Kjo është e gjitha... Nuk ka numra që, kur në katror, ​​të na japin një numër negativ! Edhe pse i di këto shifra. Por nuk do t'ju them). Shkoni në kolegj dhe do ta zbuloni vetë.

E njëjta histori do të ndodhë me çdo numër negativ. Prandaj përfundimi:

Një shprehje në të cilën ka një numër negativ nën shenjën e rrënjës katrore - nuk ka kuptim! Ky është një operacion i ndaluar. Është po aq e ndaluar sa pjesëtimi me zero. Mos harroni këtë fakt me vendosmëri! Ose me fjalë të tjera:

Ju nuk mund të nxirrni rrënjë katrore nga numrat negativë!

Por nga të gjitha të tjerat, është e mundur. Për shembull, është mjaft e mundur të llogaritet

Në shikim të parë, kjo është shumë e vështirë. Zgjedhja e thyesave dhe kuadrimi i tyre... Mos u shqetësoni. Kur të kuptojmë vetitë e rrënjëve, shembuj të tillë do të reduktohen në të njëjtën tabelë katrorësh. Jeta do të bëhet më e lehtë!

Mirë, thyesa. Por ne ende hasim shprehje si:

Është në rregull. Te gjitha njesoj. Rrënja katrore e dy është numri që, kur vendoset në katror, ​​na jep dy. Vetëm ky numër është krejtësisht i pabarabartë... Ja ku është:

Ajo që është interesante është se kjo thyesë nuk mbaron kurrë... Numra të tillë quhen irracionalë. Në rrënjët katrore kjo është gjëja më e zakonshme. Meqë ra fjala, për këtë quhen shprehjet me rrënjë irracionale. Është e qartë se shkrimi i një fraksioni kaq të pafund gjatë gjithë kohës është i papërshtatshëm. Prandaj, në vend të një fraksioni të pafund, ata e lënë atë kështu:

Nëse, kur zgjidhni një shembull, përfundoni me diçka që nuk mund të nxirret, si:

pastaj e lëmë ashtu. Kjo do të jetë përgjigja.

Ju duhet të kuptoni qartë se çfarë kuptimi kanë ikonat

Sigurisht, nëse merret rrënja e numrit e lëmuar, ju duhet ta bëni këtë. Përgjigja për detyrën është në formë, për shembull

Një përgjigje mjaft e plotë.

Dhe, sigurisht, duhet të dini vlerat e përafërta nga kujtesa:

Kjo njohuri ndihmon shumë për të vlerësuar situatën në detyra komplekse.

Pika tre. Më dinake.

Konfuzioni kryesor në punën me rrënjët është shkaktuar nga kjo pikë. Është ai që jep besim në aftësitë e veta... Le ta trajtojmë këtë pikë siç duhet!

Së pari, le të marrim përsëri rrënjën katrore të katër prej tyre. A ju kam shqetësuar tashmë me këtë rrënjë?) Nuk ka rëndësi, tani do të jetë interesante!

Cili është numri 4? Epo, dy, dy - dëgjoj përgjigje të pakënaqur ...

E drejta. Dy. Por gjithashtu minus dy do të japë 4 në katror... Ndërkohë, përgjigja

saktë dhe përgjigja

gabim i madh. Si kjo.

Pra, çfarë është marrëveshja?

Në të vërtetë, (-2) 2 = 4. Dhe nën përkufizimin e rrënjës katrore prej katër minus dy mjaft i përshtatshëm... Kjo është edhe rrënja katrore e katër.

Por! Në kursin e matematikës shkollore, është zakon të merren parasysh rrënjët katrore vetëm numra jo negativë! Kjo do të thotë, zero dhe të gjitha janë pozitive. Madje u shpik një term i veçantë: nga numri A- Kjo jo negative numri katrori i të cilit është A. Rezultatet negative kur nxirren një rrënjë katrore aritmetike thjesht hidhen poshtë. Në shkollë, gjithçka është me rrënjë katrore - aritmetike. Edhe pse kjo nuk është përmendur veçanërisht.

Mirë, kjo është e kuptueshme. Është edhe më mirë të mos shqetësoheni me rezultate negative... Kjo nuk është ende konfuzion.

Konfuzioni fillon kur zgjidhen ekuacionet kuadratike. Për shembull, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm.

Ekuacioni është i thjeshtë, ne shkruajmë përgjigjen (siç mësohet):

Kjo përgjigje (absolutisht e saktë, meqë ra fjala) është vetëm një version i shkurtuar dy përgjigjet:

Ndalo, ndalo! Pikërisht më lart shkrova se rrënja katrore është një numër Gjithmonë jo negative! Dhe këtu është një nga përgjigjet - negativ! Çrregullim. Ky është problemi i parë (por jo i fundit) që shkakton mosbesim ndaj rrënjëve... Le ta zgjidhim këtë problem. Le t'i shkruajmë përgjigjet (vetëm për t'u kuptuar!) si kjo:

Kllapat nuk e ndryshojnë thelbin e përgjigjes. Sapo e ndava me kllapa shenjat nga rrënjë. Tani mund të shihni qartë se vetë rrënja (në kllapa) është ende një numër jo negativ! Dhe shenjat janë rezultat i zgjidhjes së ekuacionit. Në fund të fundit, kur zgjidhim ndonjë ekuacion duhet të shkruajmë Të gjitha X që, kur zëvendësohen në ekuacionin origjinal, do të japin rezultatin e saktë. Rrënja e pesë (pozitive!) me një plus dhe një minus përshtatet në ekuacionin tonë.

Si kjo. nëse ti thjesht merrni rrënjën katrore nga çdo gjë, ju Gjithmonë ju merrni një jo negative rezultat. Për shembull:

Sepse ajo - rrënja katrore aritmetike.

Por nëse jeni duke zgjidhur disa ekuacione kuadratike, si p.sh.

Se Gjithmonë doli qe dy përgjigje (me plus dhe minus):

Sepse kjo është zgjidhja e ekuacionit.

Shpresa, çfarë është rrënja katrore Ju i keni pikat tuaja të qarta. Tani mbetet për të zbuluar se çfarë mund të bëhet me rrënjët, cilat janë vetitë e tyre. Dhe cilat janë pikat dhe kurthet... më falni, gurë!)

E gjithë kjo është në mësimet e mëposhtme.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Ndër njohuritë e shumta që janë shenjë e shkrim-leximit, alfabeti vjen i pari. Elementi tjetër, po aq "shenjë" janë aftësitë e mbledhjes-shumëzimit dhe, ngjitur me to, por të kundërta në kuptim, veprimet aritmetike të zbritjes-pjestimit. Aftësitë e mësuara në fëmijërinë e shkollës së largët shërbejnë me besnikëri ditë e natë: TV, gazetë, SMS dhe kudo ku lexojmë, shkruajmë, numërojmë, shtojmë, zbresim, shumëzojmë. Dhe, më thuaj, a ju është dashur shpesh të nxirrni rrënjë në jetën tuaj, përveç në dacha? Për shembull, një problem kaq argëtues, si rrënja katrore e numrit 12345... A ka ende barut në balona? A mund ta përballojmë? Asgjë nuk mund të ishte më e thjeshtë! Ku është kalkulatori im... Dhe pa të, lufta trup më dorë është e dobët?

Së pari, le të sqarojmë se çfarë është - rrënja katrore e një numri. Në përgjithësi, "të marrësh rrënjën e një numri" do të thotë të kryesh operacionin aritmetik të kundërt me ngritjen e tij në një fuqi - këtu keni unitetin e të kundërtave në zbatimin e jetës. Le të themi se një katror është shumëzimi i një numri në vetvete, d.m.th., siç mësohet në shkollë, X * X = A ose në një shënim tjetër X2 = A, dhe me fjalë - "X në katror është i barabartë me A". Atëherë problemi i anasjelltë tingëllon kështu: rrënja katrore e numrit A është numri X, i cili, kur është në katror, ​​është i barabartë me A.

Marrja e rrënjës katrore

Nga kursi aritmetik i shkollës, njihen metodat e llogaritjeve "në një kolonë", të cilat ndihmojnë për të kryer çdo llogaritje duke përdorur katër veprimet e para aritmetike. Mjerisht... Për rrënjët katrore dhe jo vetëm katrore, algoritme të tilla nuk ekzistojnë. Dhe në këtë rast, si të nxjerrim rrënjën katrore pa një kalkulator? Bazuar në përkufizimin e rrënjës katrore, ekziston vetëm një përfundim - është e nevojshme të zgjidhni vlerën e rezultatit duke numëruar në mënyrë sekuenciale numrat, katrori i të cilëve i afrohet vlerës së shprehjes radikale. Kjo eshte e gjitha! Para se të kalojnë një ose dy orë, mund të llogarisni, duke përdorur metodën e njohur të shumëzimit në një "kolonë", çdo rrënjë katrore. Nëse keni aftësi, kjo do të marrë vetëm disa minuta. Edhe një përdorues jo shumë i avancuar i një kalkulatori ose kompjuteri mund ta bëjë këtë me një goditje - progres.

Por seriozisht, llogaritja e rrënjës katrore shpesh kryhet duke përdorur teknikën e "pirunit të artilerisë": së pari merrni një numër katrori i të cilit përafërsisht korrespondon me shprehjen radikale. Është më mirë nëse "katrori ynë" është pak më i vogël se kjo shprehje. Më pas e rregullojnë numrin sipas aftësisë dhe të kuptuarit të tyre, p.sh., shumëzojnë me dy dhe... e sheshojnë sërish. Nëse rezultati është më i madh se numri nën rrënjë, duke rregulluar në mënyrë të njëpasnjëshme numrin origjinal, duke iu afruar gradualisht "kolegut" të tij nën rrënjë. Siç mund ta shihni - pa kalkulator, vetëm aftësia për të numëruar "në një kolonë". Sigurisht, ka shumë algoritme të vërtetuara shkencërisht dhe të optimizuara për llogaritjen e rrënjës katrore, por për "përdorim në shtëpi" teknika e mësipërme jep 100% besim në rezultat.

Po, pothuajse harrova, për të konfirmuar arsimimin tonë të rritur, le të llogarisim rrënjën katrore të numrit të treguar më parë 12345. Ne e bëjmë atë hap pas hapi:

1. Le të marrim, thjesht intuitivisht, X=100. Le të llogarisim: X * X = 10000. Intuita është në maksimumin e saj - rezultati është më pak se 12345.

2. Le të provojmë, gjithashtu thjesht intuitivisht, X = 120. Pastaj: X * X = 14400. Dhe përsëri, intuita është në rregull - rezultati është më shumë se 12345.

3. Më sipër kemi marrë një "pirun" prej 100 dhe 120. Le të zgjedhim numra të rinj - 110 dhe 115. Marrim, përkatësisht, 12100 dhe 13225 - piruni ngushtohet.

4. Le të provojmë “ndoshta” X=111. Marrim X * X = 12321. Ky numër tashmë është mjaft afër 12345. Në përputhje me saktësinë e kërkuar, "përshtatja" mund të vazhdohet ose të ndalet në rezultatin e marrë. Kjo eshte e gjitha. Siç u premtua - gjithçka është shumë e thjeshtë dhe pa një kalkulator.

Vetëm pak histori...

Pitagorianët, nxënës të shkollës dhe ndjekës të Pitagorës, dolën me idenë e përdorimit të rrënjëve katrore, 800 vjet para Krishtit. dhe më pas ne “ndeshim” zbulime të reja në fushën e numrave. Dhe nga erdhi kjo?

1. Zgjidhja e problemës me nxjerrjen e rrënjës jep rezultatin në formën e numrave të një klase të re. Ata u quajtën irracionale, me fjalë të tjera, "të paarsyeshme", sepse. nuk shkruhen si numër i plotë. Shembulli më klasik i këtij lloji është rrënja katrore e 2. Ky rast korrespondon me llogaritjen e diagonales së një katrori me brinjë të barabartë me 1 - ky është ndikimi i shkollës pitagoriane. Doli se në një trekëndësh me një madhësi shumë specifike të njësisë së anëve, hipotenuza ka një madhësi që shprehet me një numër që "nuk ka fund". Kështu u shfaqën në matematikë

2. Dihet se doli që ky veprim matematikor përmban një kapje tjetër - kur nxjerrim rrënjën, nuk e dimë se cili numër, pozitiv apo negativ, është katrori i shprehjes radikale. Kjo pasiguri, rezultati i dyfishtë nga një operacion, regjistrohet në këtë mënyrë.

Studimi i problemeve që lidhen me këtë fenomen është bërë një drejtim në matematikë i quajtur teoria e ndryshoreve komplekse, e cila ka një rëndësi të madhe praktike në fizikën matematikore.

Është kurioze që i njëjti I. Njuton i kudondodhur përdori përcaktimin e rrënjës - radikal - në "Aritmetikën universale" të tij, dhe saktësisht forma moderne e shënimit të rrënjës është e njohur që nga viti 1690 nga libri i francezit Rolle "Manual". të Algjebrës”.