1°

1°. Ekuacionet e planit tangjent dhe normales për rastin e përcaktimit eksplicit të sipërfaqes.

Le të shqyrtojmë një nga aplikimet gjeometrike të derivateve të pjesshme të një funksioni të dy ndryshoreve. Lëreni funksionin z = f (x ;y) të diferencueshme në pikë (x 0; y 0) disa zona DÎ R 2. Le të presim sipërfaqen S, që përfaqëson funksionin z, aeroplanët x = x 0 Dhe y = y 0(Fig. 11).

Aeroplan X = x 0 kryqëzon sipërfaqen S përgjatë ndonjë linje z 0 (y), ekuacioni i të cilit fitohet duke zëvendësuar në shprehjen e funksionit origjinal z ==f (x ;y) në vend të X numrat x 0 . Pika M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) i përket kurbës z 0 (y). Për shkak të funksionit të diferencueshëm z në pikën M 0 funksionin z 0 (y)është gjithashtu i diferencueshëm në pikë y =y 0 . Prandaj, në këtë pikë në aeroplan x = x 0 te kurba z 0 (y) mund të vizatohet një tangjente l 1.

Kryerja e arsyetimit të ngjashëm për seksionin në = y 0, le të ndërtojmë një tangjente l 2 te kurba z 0 (x) në pikën X = x 0 - Direkt 1 1 Dhe 1 2 Përcaktoni një plan të quajtur rrafshi tangjent në sipërfaqe S në pikën M 0.

Le të krijojmë ekuacionin e tij. Meqë avioni kalon nëpër pikë Mo(x 0;y 0 ;z 0), atëherë ekuacioni i tij mund të shkruhet si

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

e cila mund të rishkruhet si kjo:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(duke pjesëtuar ekuacionin me -C dhe duke treguar ).

Ne do të gjejmë A 1 dhe B 1.

Ekuacionet tangjente 1 1 Dhe 1 2 duket si

përkatësisht.

Tangjente l 1 shtrihet në rrafshin a , pra, koordinatat e të gjitha pikave l 1 plotësoni ekuacionin (1). Ky fakt mund të shkruhet në formën e një sistemi

Duke zgjidhur këtë sistem në lidhje me B 1, marrim atë. Kryerja e arsyetimit të ngjashëm për tangjenten l 3, është e lehtë ta vërtetosh atë .

Zëvendësimi i vlerave A 1 dhe B 1 në ekuacionin (1), marrim ekuacionin e dëshiruar të planit tangjent:

Vija që kalon nëpër një pikë M 0 dhe pingul me planin tangjent të ndërtuar në këtë pikë të sipërfaqes quhet i saj normale.

Duke përdorur kushtin e pingulitetit të vijës dhe rrafshit, është e lehtë të merren ekuacionet normale kanonike:

Koment. Formulat për rrafshin tangjent dhe normalen me sipërfaqen merren për pikat e zakonshme, d.m.th., jo të veçanta të sipërfaqes. Pika M 0 Sipërfaqja quhet e veçantë, nëse në këtë pikë të gjithë derivatet e pjesshëm janë të barabartë me zero ose të paktën njëri prej tyre nuk ekziston. Ne nuk i konsiderojmë pika të tilla.

Shembull. Shkruani ekuacione për planin tangjent dhe normal me sipërfaqen në pikën e tij M(2; -1; 1).

Zgjidhje. Le të gjejmë derivatet e pjesshme të këtij funksioni dhe vlerat e tyre në pikën M

Nga këtu, duke aplikuar formulat (2) dhe (3), do të kemi: z-1=2(x-2)+2(y+1) ose 2х+2у-z-1=0- ekuacioni i planit tangjent dhe - ekuacionet normale.

2°. Ekuacionet e planit tangjent dhe normales për rastin e përcaktimit të nënkuptuar të sipërfaqes.

Nëse sipërfaqja S dhënë nga ekuacioni F (x ; y;z)= 0, pastaj ekuacionet (2) dhe (3), duke marrë parasysh faktin se derivatet e pjesshëm mund të gjenden si derivate të një funksioni të nënkuptuar.

Ekuacioni i rrafshit normal

1.

4.

Plani tangjent dhe sipërfaqja normale

Le të jepet një sipërfaqe, A është një pikë fikse e sipërfaqes dhe B është një pikë e ndryshueshme e sipërfaqes,

(Fig. 1).

Vektor jozero

→

n

thirrur vektor normal në sipërfaqe në pikën A, nëse

lim B → A j = π 2 .

Një pikë sipërfaqësore F (x, y, z) = 0 quhet e zakonshme nëse në këtë pikë

1. derivatet e pjesshme F " x , F " y , F " z janë të vazhdueshme;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Nëse shkelet të paktën një nga këto kushte, thirret pika e sipërfaqes pikë e veçantë e sipërfaqes .

Teorema 1. Nëse M(x 0 , y 0 , z 0 ) është një pikë e zakonshme e sipërfaqes F (x , y , z) = 0 , pastaj vektori

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

është normale për këtë sipërfaqe në pikën M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Dëshmi dhënë në libër nga I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Kursi matematikë e lartë: Njehsimi integral. Funksionet e disa variablave. Ekuacionet diferenciale. M.: Shtëpia botuese MPEI, 2002 (f. 128).

Normal në sipërfaqe në një moment ka një vijë të drejtë, vektori i drejtimit të së cilës është normal me sipërfaqen në këtë pikë dhe që kalon nëpër këtë pikë.

Kanonike ekuacionet normale mund të paraqitet në formë

x − x 0 F" x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Plani tangjent në sipërfaqe në një pikë të caktuar është një rrafsh që kalon nëpër këtë pikë pingul me normalen me sipërfaqen në këtë pikë.

Nga ky përkufizim del se ekuacioni i planit tangjent ka formën:

(3)

Nëse një pikë në një sipërfaqe është njëjës, atëherë në atë pikë vektori normal në sipërfaqe mund të mos ekzistojë, dhe, për rrjedhojë, sipërfaqja mund të mos ketë një plan normal dhe tangjent.

Kuptimi gjeometrik i diferencialit total të një funksioni të dy ndryshoreve

Le të jetë funksioni z = f (x, y) i diferencueshëm në pikën a (x 0, y 0). Grafiku i tij është sipërfaqja

f (x, y) − z = 0.

Le të vendosim z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Atëherë pika A (x 0 , y 0 , z 0 ) i përket sipërfaqes.

Derivatet e pjesshëm të funksionit F (x, y, z) = f (x, y) − z janë

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

dhe në pikën A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. ato janë të vazhdueshme;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Prandaj, A është një pikë e zakonshme e sipërfaqes F (x, y, z) dhe në këtë pikë ka një plan tangjent me sipërfaqen. Sipas (3), ekuacioni i planit tangjent ka formën:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Zhvendosja vertikale e një pike në planin tangjent kur lëviz nga pika a (x 0, y 0) në një pikë arbitrare p (x, y) është B Q (Fig. 2). Rritja përkatëse e aplikacioneve është

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Këtu në anën e djathtë ka një diferencial d funksioni z z = f (x, y) në pikën a (x 0, x 0). Prandaj,
d f (x 0 , y 0 ). është rritja e aplikimit të një pike të rrafshit tangjente në grafikun e funksionit f (x, y) në pikën (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Nga përkufizimi i diferencialit rezulton se distanca ndërmjet pikës P në grafikun e një funksioni dhe pikës Q në planin tangjent është pafundësisht më e madhe. rendit të lartë se distanca nga pika p në pikën a.

Në një moment dhe ka derivate të vazhdueshme të pjesshme në të, të paktën njëri prej të cilëve nuk zhduket, atëherë në afërsi të kësaj pike sipërfaqja e përcaktuar nga ekuacioni (1) do të jetë sipërfaqen e duhur.

Përveç sa më sipër mënyra e nënkuptuar e specifikimit mund të përcaktohet sipërfaqja padyshim, nëse një nga variablat, për shembull z, mund të shprehet në terma të të tjerëve:

Ka edhe parametrike mënyra e caktimit. Në këtë rast, sipërfaqja përcaktohet nga sistemi i ekuacioneve:

Koncepti i një sipërfaqe të thjeshtë

Më saktë, sipërfaqe e thjeshtë quhet imazhi i një harte homeomorfike (d.m.th., një hartëzimi një me një dhe reciprokisht i vazhdueshëm) i brendësisë së një katrori njësi. Këtij përkufizimi mund t'i jepet një shprehje analitike.

Le të jepet një katror në një plan me sistem koordinativ drejtkëndor u dhe v, koordinatat e pikave të brendshme të të cilit plotësojnë pabarazitë 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для pika të ndryshme(u, v) dhe (u", v") ishin pika të ndryshme korresponduese (x, y, z) dhe (x", y", z").

Shembull sipërfaqe e thjeshtëështë një hemisferë. E gjithë sfera nuk është sipërfaqe e thjeshtë. Kjo kërkon përgjithësimin e mëtejshëm të konceptit të sipërfaqes.

Një nëngrup hapësire, secila pikë e së cilës ka një lagje që është sipërfaqe e thjeshtë, thirri sipërfaqen e duhur .

Sipërfaqja në gjeometrinë diferenciale

Helikoid

Katenoid

Metrika nuk përcakton në mënyrë unike formën e sipërfaqes. Për shembull, metrika e një helikoidi dhe një katenoidi, e parametrizuar në përputhje me rrethanat, përkon, domethënë ekziston një korrespondencë midis rajoneve të tyre që ruan të gjitha gjatësitë (izometria). Vetitë që ruhen nën shndërrimet izometrike quhen gjeometria e brendshme sipërfaqeve. Gjeometria e brendshme nuk varet nga pozicioni i sipërfaqes në hapësirë ​​dhe nuk ndryshon kur ajo përkulet pa tension ose ngjeshje (për shembull, kur një cilindër përkulet në një kon).

Koeficientët metrikë përcaktojnë jo vetëm gjatësitë e të gjitha kthesave, por edhe në përgjithësi rezultatet e të gjitha matjeve brenda sipërfaqes (këndet, zonat, lakimi, etj.). Prandaj, gjithçka që varet vetëm nga metrika i referohet gjeometrisë së brendshme.

Seksion normal dhe normal

Vektorët normalë në pikat sipërfaqësore

Një nga karakteristikat kryesore të një sipërfaqeje është ajo normale- vektori njësi pingul me planin tangjent në një pikë të caktuar:

.

Shenja e normales varet nga zgjedhja e koordinatave.

Një pjesë e një sipërfaqeje nga një plan që përmban normalen (në një pikë të caktuar) formon një kurbë të caktuar në sipërfaqe, e cila quhet seksion normal sipërfaqeve. Normalja kryesore për një seksion normal përkon me normalen në sipërfaqe (deri në shenjë).

Nëse kurba në sipërfaqe nuk është një seksion normal, atëherë normalja kryesore e saj formon një kënd të caktuar θ me normalen e sipërfaqes. Pastaj lakimi k kurba që lidhet me lakimin k n seksion normal (me të njëjtën tangjente) sipas formulës së Meunier:

Koordinatat e vektorit normal të njësisë për metoda të ndryshme të përcaktimit të një sipërfaqeje janë dhënë në tabelë:

	Koordinatat normale në një pikë sipërfaqësore
caktimi i nënkuptuar
detyrë eksplicite
specifikim parametrik

Lakim

Për drejtime të ndryshme në një pikë të caktuar të sipërfaqes, fitohet lakim i ndryshëm i seksionit normal, i cili quhet lakim normal; i caktohet një shenjë plus nëse normalja kryesore e lakores shkon në të njëjtin drejtim me normalen në sipërfaqe, ose një shenjë minus nëse drejtimet e normales janë të kundërta.

Në përgjithësi, në çdo pikë të një sipërfaqeje ka dy drejtime pingul e 1 dhe e 2, në të cilën lakimi normal merr vlerat minimale dhe maksimale; quhen këto drejtime kryesore. Përjashtim është rasti kur lakimi normal në të gjitha drejtimet është i njëjtë (për shembull, afër një sfere ose në fund të një elipsoidi të rrotullimit), atëherë të gjitha drejtimet në një pikë janë kryesore.

Sipërfaqet me lakim negativ (majtas), zero (në qendër) dhe pozitive (djathtas).

Kurbimet normale në drejtimet kryesore quhen lakimet kryesore; le t'i shënojmë κ 1 dhe κ 2. Madhësia:

K= κ 1 κ 2

thirrur Lakim Gaussian, lakim i plotë ose thjesht lakim sipërfaqeve. Ekziston edhe termi skalar i lakimit, që nënkupton rezultatin e konvolucionit të tenzorit të lakimit; në këtë rast, skalari i lakimit është dy herë më i madh se lakimi Gaussian.

Lakimi Gaussian mund të llogaritet nëpërmjet një metrike, dhe për këtë arsye është një objekt i gjeometrisë së brendshme të sipërfaqeve (vini re se lakimet kryesore nuk i përkasin gjeometrisë së brendshme). Ju mund të klasifikoni pikat e sipërfaqes bazuar në shenjën e lakimit (shih figurën). Lakimi i aeroplanit është zero. Lakimi i një sfere me rreze R është i barabartë kudo. Ekziston gjithashtu një sipërfaqe e lakimit negativ të vazhdueshëm - pseudosfera.

Linjat gjeodezike, lakimi gjeodezike

Kurba në sipërfaqe quhet linjë gjeodezike, ose thjesht gjeodezike, nëse në të gjitha pikat e saj normalja kryesore ndaj lakores përkon me normalen në sipërfaqe. Shembull: në një rrafsh, gjeodezikët janë vija të drejta dhe segmente të vijave të drejta, në një sferë - rrathë të mëdhenj dhe segmentet e tyre.

Përkufizimi ekuivalent: për një linjë gjeodezike, projeksioni i normales së saj kryesore në rrafshin oskulues është vektori zero. Nëse kurba nuk është gjeodezike, atëherë projeksioni i specifikuar është jozero; gjatësia e saj quhet lakimi gjeodezik k g kurbë në sipërfaqe. Ekziston një marrëdhënie:

,

Ku k- lakimi i kësaj kurbe, k n- lakimi i seksionit të tij normal me të njëjtën tangjente.

Linjat gjeodezike i referohen gjeometrisë së brendshme. Le të rendisim vetitë e tyre kryesore.

• përmes këtë pikë sipërfaqet në një drejtim të caktuar ka një dhe vetëm një gjeodez.
• Në një zonë mjaft të vogël të sipërfaqes, dy pika gjithmonë mund të lidhen me një gjeodez, dhe, për më tepër, vetëm nga një. Shpjegim: në një sferë, polet e kundërta lidhen me një numër të pafund meridianësh, dhe dy pika të afërta mund të lidhen jo vetëm nga një segment i një rrethi të madh, por edhe nga shtimi i tij në një rreth të plotë, në mënyrë që unike të ruhet vetëm në të vogla.
• Gjeodezia është rruga më e shkurtër. Më saktësisht: në një pjesë të vogël të sipërfaqes, rruga më e shkurtër midis pikave të dhëna shtrihet përgjatë një gjeodezike.

Sheshi

Një atribut tjetër i rëndësishëm i sipërfaqes është ajo katrore, e cila llogaritet me formulën:

Grafiku i një funksioni me 2 ndryshore z = f(x,y) është një sipërfaqe e projektuar në rrafshin XOY në domenin e përkufizimit të funksionit D.
Merrni parasysh sipërfaqen σ , dhënë nga ekuacioni z = f(x,y), ku f(x,y) është një funksion i diferencueshëm dhe le të jetë M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) një pikë fikse në sipërfaqen σ, d.m.th. z 0 = f(x 0 ,y 0). Qëllimi. Llogaritësi në internet është krijuar për të gjetur ekuacionet normale të planit tangjent dhe të sipërfaqes. Zgjidhja është hartuar në formatin Word. Nëse ju duhet të gjeni ekuacionin e një tangjente në një kurbë (y = f(x)), atëherë duhet të përdorni këtë shërbim.

Rregullat për futjen e funksioneve:

Rregullat për futjen e funksioneve:

1. Të gjitha variablat shprehen përmes x,y,z

Plani tangjent në sipërfaqe σ në pikën e saj M 0 është rrafshi në të cilin shtrihen tangjentet ndaj të gjitha kthesave të tërhequra në sipërfaqe σ përmes pikës M 0 .
Ekuacioni i rrafshit tangjent në sipërfaqen e përcaktuar me ekuacionin z = f(x,y) në pikën M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ka formën:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Vektori quhet vektor normal sipërfaqësor σ në pikën M 0. Vektori normal është pingul me planin tangjent.
Normal në sipërfaqe σ në pikën M 0 është një vijë e drejtë që kalon nëpër këtë pikë dhe ka drejtimin e vektorit N.
Ekuacionet kanonike të normales në sipërfaqe të përcaktuara nga ekuacioni z = f(x,y) në pikën M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), ku z 0 = f(x 0 ,y 0), kanë formën:

Shembulli nr. 1. Sipërfaqja jepet me ekuacionin x 3 +5y. Gjeni ekuacionin e rrafshit tangjent me sipërfaqen në pikën M 0 (0;1).
Zgjidhje. Le të shkruajmë ekuacionet tangjente në formën e përgjithshme: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Sipas kushteve të problemit, x 0 = 0, y 0 = 1, pastaj z 0 = 5
Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Në pikën M 0 (0,1) vlerat e derivateve të pjesshme janë:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Duke përdorur formulën, marrim ekuacionin e rrafshit tangjent me sipërfaqen në pikën M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ose -5 y+z = 0

Shembulli nr. 2. Sipërfaqja është përcaktuar në mënyrë implicite y 2 -1/2*x 3 -8z. Gjeni ekuacionin e rrafshit tangjent me sipërfaqen në pikën M 0 (1;0;1).
Zgjidhje. Gjetja e derivateve të pjesshme të një funksioni. Meqenëse funksioni është specifikuar në mënyrë implicite, ne kërkojmë derivate duke përdorur formulën:

Për funksionin tonë:

Pastaj:

Në pikën M 0 (1,0,1) vlerat e derivateve të pjesshme:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Duke përdorur formulën, marrim ekuacionin e planit tangjent me sipërfaqen në pikën M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) ose 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Shembull. Sipërfaqe σ dhënë nga ekuacioni z= y/x + xy – 5x 3. Gjeni ekuacionin e rrafshit tangjent dhe normal me sipërfaqen σ në pikën M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), që i përket asaj, nëse x 0 = –1, y 0 = 2.
Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x'( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Pika M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) i përket sipërfaqes σ , kështu që ne mund të llogarisim z 0, duke zëvendësuar të dhënën x 0 = –1 dhe y 0 = 2 në ekuacionin e sipërfaqes:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Në pikën M 0 (–1, 2, 1) vlera të pjesshme derivative:
f x'( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Duke përdorur formulën (5) marrim ekuacionin e planit tangjent me sipërfaqen σ në pikën M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Duke përdorur formulën (6) marrim ekuacionet kanonike të normales në sipërfaqe σ në pikën M 0: .
Përgjigjet: ekuacioni i planit tangjent: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; ekuacionet normale: .

Shembulli nr. 1. Jepet një funksion z=f(x,y) dhe dy pika A(x 0, y 0) dhe B(x 1, y 1). Kërkohet: 1) llogarit vlerën z 1 të funksionit në pikën B; 2) llogarit vlerën e përafërt z 1 të funksionit në pikën B bazuar në vlerën z 0 të funksionit në pikën A, duke zëvendësuar rritjen e funksionit kur lëviz nga pika A në pikën B me një diferencial; 3) krijoni një ekuacion për planin tangjent me sipërfaqen z = f(x,y) në pikën C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Zgjidhje.
Le të shkruajmë ekuacionet tangjente në formë të përgjithshme:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0) (x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Sipas kushteve të problemit, x 0 = 1, y 0 = 2, pastaj z 0 = 25
Le të gjejmë derivatet e pjesshme të funksionit z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Në pikën M 0 (1,2) vlerat e derivateve të pjesshme janë:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Duke përdorur formulën, marrim ekuacionin e planit tangjent me sipërfaqen në pikën M 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
ose
-26 x-36 y+z+73 = 0

Shembulli nr. 2. Shkruani ekuacionet e planit tangjent dhe normal me paraboloidin eliptik z = 2x 2 + y 2 në pikën (1;-1;3).

Planet tangjente luajnë një rol të madh në gjeometri. Ndërtimi i planeve tangjente ka rëndësi praktike, pasi prania e tyre bën të mundur përcaktimin e drejtimit të normales në sipërfaqe në pikën e kontaktit. Ky problem përdoret gjerësisht në praktikën inxhinierike. Planet tangjente përdoren gjithashtu për të ndërtuar skica. forma gjeometrike, i kufizuar nga sipërfaqe të mbyllura. Teorikisht, rrafshet tangjente me një sipërfaqe përdoren në gjeometrinë diferenciale për të studiuar vetitë e një sipërfaqeje në rajonin e pikës së kontaktit.

Konceptet dhe përkufizimet bazë

Tangjenti i rrafshit me sipërfaqen duhet të konsiderohet si pozicioni kufizues i rrafshit të sekantit (në analogji me vijën tangjente ndaj kurbës, e cila përcaktohet edhe si pozicioni kufizues i sekantit).

Një plan tangjent me një sipërfaqe në një pikë të caktuar të sipërfaqes është grupi i të gjitha vijave të drejta - tangjentet të tërhequra në sipërfaqe përmes një pike të caktuar.

Në gjeometrinë diferenciale është vërtetuar se të gjitha tangjentet në një sipërfaqe të tërhequr në një pikë të zakonshme janë koplanare (që i përkasin të njëjtit rrafsh).

Le të zbulojmë se si të vizatojmë një vijë të drejtë tangjente në sipërfaqe. Tangjentja t në sipërfaqen β në një pikë M të specifikuar në sipërfaqe (Fig. 203) përfaqëson pozicionin kufizues të sekantit l j që pret sipërfaqen në dy pika (MM 1, MM 2, ..., MM n) kur pikat e kryqëzimit përkojnë (M ≡ M n , l n ≡ l M). Natyrisht (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, pasi g ⊂ β. Nga sa më sipër, vijon përkufizimi i mëposhtëm: Tangjent me një sipërfaqe është një vijë e drejtë tangjente me çdo kurbë që i përket sipërfaqes.

Meqenëse rrafshi përcaktohet nga dy vija të drejta të kryqëzuara, për të përcaktuar një rrafsh tangjente me sipërfaqen në një pikë të caktuar, mjafton të vizatohen dy vija arbitrare që i përkasin sipërfaqes (mundësisht në formë të thjeshtë) përmes kësaj pike, dhe të ndërtohen tangjente për secila prej tyre në pikën e kryqëzimit të këtyre vijave . Tangjentet e ndërtuara përcaktojnë në mënyrë unike rrafshin tangjente. Një paraqitje vizuale e vizatimit të një plani α tangjente në sipërfaqen β në një pikë të caktuar M është dhënë në Fig. 204. Kjo figurë tregon edhe n-në normale ndaj sipërfaqes β.

Normalja me sipërfaqen në një pikë të caktuar është një vijë e drejtë pingul me rrafshin tangjent dhe që kalon nëpër pikën e tangjences.

Vija e prerjes së sipërfaqes me një rrafsh që kalon përmes normales quhet seksion normal i sipërfaqes. Në varësi të llojit të sipërfaqes, rrafshi tangjent mund të ketë një ose shumë pika (vijë) me sipërfaqen. Vija e tangjences mund të jetë në të njëjtën kohë edhe linja e kryqëzimit të sipërfaqes me rrafshin.

Ka edhe raste kur ka pika në sipërfaqe në të cilat është e pamundur të vizatoni një tangjente në sipërfaqe; pika të tilla quhen njëjës. Si shembull i pikave njëjës, mund të citohen pikat që i përkasin skajit të kthimit të sipërfaqes së bustit, ose pikës së kryqëzimit të meridianit të sipërfaqes së rrotullimit me boshtin e tij, nëse meridiani dhe boshti nuk kryqëzohen në të djathtë. kënde.

Llojet e prekjes varen nga natyra e lakimit të sipërfaqes.

Lakimi i sipërfaqes

Çështjet e lakimit të sipërfaqes u studiuan nga matematikani francez F. Dupin (1784-1873), i cili propozoi një mënyrë vizuale për të përshkruar ndryshimet në lakimin e seksioneve normale të një sipërfaqeje.

Për ta bërë këtë, në rrafshin tangjent me sipërfaqen në shqyrtim në pikën M (Fig. 205, 206), segmente të barabarta me rrënjët katrore të vlerave të rrezeve përkatëse të lakimit të këtyre seksioneve vendosen në tangjentet në seksionet normale në të dy anët e kësaj pike. Një grup pikash - skajet e segmenteve përcaktojnë një kurbë të quajtur Treguesi i Dupinit. Algoritmi për ndërtimin e treguesit Dupin (Fig. 205) mund të shkruhet:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

ku R është rrezja e lakimit.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) është treguesi Dupin.

Nëse treguesi Dupin i një sipërfaqeje është një elips, atëherë pika M quhet eliptike dhe sipërfaqja quhet sipërfaqe me pika eliptike.(Fig. 206). Në këtë rast, rrafshi tangjent ka vetëm një pikë të përbashkët me sipërfaqen, dhe të gjitha linjat që i përkasin sipërfaqes dhe që kryqëzohen në pikën në shqyrtim ndodhen në njërën anë të rrafshit tangjent. Shembuj të sipërfaqeve me pika eliptike janë: një paraboloid i revolucionit, një elipsoid i revolucionit, një sferë (në këtë rast, treguesi Dupin është një rreth, etj.).

Kur vizatoni një plan tangjent në sipërfaqen e bustit, avioni do ta prekë këtë sipërfaqe përgjatë një gjenerate të drejtë. Pikat në këtë linjë quhen parabolike, dhe sipërfaqja është një sipërfaqe me pika parabolike. Treguesi i Dupin-it në këtë rast është dy drejtëza paralele (Fig. 207*).

Në Fig. 208 tregon një sipërfaqe të përbërë nga pika në të cilat

* Një kurbë e rendit të dytë - një parabolë - në kushte të caktuara mund të ndahet në dy drejtëza paralele reale, dy drejtëza paralele imagjinare, dy drejtëza që përputhen. Në Fig. 207 kemi të bëjmë me dy drejtëza reale paralele.

Çdo rrafsh tangjent e pret sipërfaqen. Një sipërfaqe e tillë quhet hiperbolike, dhe pikat që i përkasin janë pika hiperbolike. Treguesi i Dupinit në këtë rast- hiperbolë.

Një sipërfaqe, të gjitha pikat e së cilës janë hiperbolike, ka formën e një shale (rrafsh i zhdrejtë, hiperboloid me një fletë, sipërfaqe konkave të rrotullimit, etj.).

Një sipërfaqe mund të ketë pika tipe te ndryshme, për shembull, pranë sipërfaqes së bustit (Fig. 209) pika M është eliptike; pika N është parabolike; pika K është hiperbolike.

Në rrjedhën e gjeometrisë diferenciale është vërtetuar se seksionet normale në të cilat vlerat e lakimit K j = 1 / R j (ku R j është rrezja e lakimit të seksionit në shqyrtim) kanë vlera ekstreme janë të vendosura në dy plane reciproke pingule.

Lakime të tilla K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min quhen vlerat kryesore, dhe vlerat H = (K 1 + K 2)/2 dhe K = K 1 K 2 janë, përkatësisht, lakimi mesatar i sipërfaqes dhe totali ( Gaussian) lakimi i sipërfaqes në pikën në shqyrtim. Për pikat eliptike K > 0, pikat hiperbolike K

Specifikimi i një rrafshi tangjent me një sipërfaqe në një diagram Monge

Më poshtë në shembuj specifikë Do të tregojmë ndërtimin e një plani tangjent në një sipërfaqe me pika eliptike (shembulli 1), parabolike (shembulli 2) dhe hiperbolike (shembulli 3).

SHEMBULL 1. Ndërtoni një rrafsh α tangjente në sipërfaqen e rrotullimit β me pika eliptike. Le të shqyrtojmë dy opsione për zgjidhjen e këtij problemi: a) pika M ∈ β dhe b) pika M ∉ β

Opsioni a (Fig. 210).

Plani tangjent përcaktohet nga dy tangjente t 1 dhe t 2 të tërhequra në pikën M me paralelen dhe meridianin e sipërfaqes β.

Projeksionet e tangjentes t 1 në paralelen h të sipërfaqes β do të jenë t" 1 ⊥ (S"M") dhe t" 1 || boshti x Projeksioni horizontal i tangjentës t" 2 në meridianin d të sipërfaqes β që kalon në pikën M do të përkojë me projeksionin horizontal të meridianit. Për të gjetur projeksionin ballor të tangjentes t" 2, rrafshi meridional γ(γ ∋ M) transferohet në pozicionin γ duke u rrotulluar rreth boshtit të sipërfaqes β 1, paralel me rrafshin π 2. Në këtë rast, pika M → M 1 (M" 1, M" 1). Projeksioni i tangjentes t" 2 rarr; t" 2 1 përcaktohet nga (M" 1 S"). Nëse tani e kthejmë rrafshin γ 1 në pozicionin e tij origjinal, atëherë pika S" do të mbetet në vend (siç i përket boshtit të rrotullimit), dhe M" 1 → M" dhe projeksioni ballor i tangjentes t" 2 do të të përcaktohet (M" S")

Dy tangjente t 1 dhe t 2 që kryqëzohen në një pikë M ∈ β përcaktojnë një rrafsh α tangjente në sipërfaqen β.

Opsioni b (Fig. 211)

Për të ndërtuar një plan tangjent ndaj një sipërfaqeje që kalon nëpër një pikë që nuk i përket sipërfaqes, duhet të vazhdohet nga konsideratat e mëposhtme: përmes një pike jashtë sipërfaqes që përbëhet nga pika eliptike, mund të vizatohen shumë rrafshe tangjente me sipërfaqen. Zarfi i këtyre sipërfaqeve do të jetë një sipërfaqe konike. Prandaj, nëse nuk ka udhëzime shtesë, atëherë problemi ka shumë zgjidhje dhe në këtë rast reduktohet në vizatimin e një sipërfaqe konike γ tangjente në një sipërfaqe të caktuar β.

Në Fig. 211 tregon ndërtimin e një sipërfaqe konike γ tangjente me sferën β. Çdo rrafsh α tangjent ndaj sipërfaqes konike γ do të jetë tangjent ndaj sipërfaqes β.

Për të ndërtuar projeksione të sipërfaqes γ nga pikat M" dhe M" vizatojmë tangjente në rrathët h" dhe f" - projeksionet e sferës. Shënoni pikat e prekjes 1 (1" dhe 1"), 2 (2" dhe 2"), 3 (3" dhe 3") dhe 4 (4" dhe 4"). Projeksioni horizontal i një rrethi - linja e tangjences së sipërfaqes konike dhe sferës projektohet në [1"2"] Për të gjetur pikat e elipsës në të cilat do të projektohet ky rreth në rrafshin ballor të projeksioneve, do të përdorim paralelet e sferës.

Në Fig. 211 në këtë mënyrë përcaktohen projeksionet ballore të pikave E dhe F (E" dhe F"). Duke pasur një sipërfaqe konike γ, ne ndërtojmë një plan tangjent α me të. Natyra dhe sekuenca e grafikës

Ndërtimet që duhen bërë për këtë janë dhënë në shembullin e mëposhtëm.

SHEMBULL 2 Ndërtoni një rrafsh α tangjente në sipërfaqen β me pika parabolike

Si në shembullin 1, ne konsiderojmë dy zgjidhje: a) pikën N ∈ β; b) pika N ∉ β

Opsioni a (Fig. 212).

Një sipërfaqe konike i referohet sipërfaqeve me pika parabolike (shih Fig. 207.) Një plan tangjent ndaj një sipërfaqeje konike e prek atë përgjatë një gjenerate drejtvizore. Për ta ndërtuar atë, është e nevojshme:

1) përmes një pike të caktuar N vizatoni një gjenerator SN (S"N" dhe S"N");

2) shënoni pikën e kryqëzimit të gjeneratorit (SN) me udhëzuesin d: (SN) ∩ d = A;

3) do të fryjë gjithashtu në tangjenten t në d në pikën A.

Gjenerata (SA) dhe tangjentja t që e prenë atë përcaktojnë rrafshin α tangjent me sipërfaqen konike β në një pikë të caktuar N*.

Për të vizatuar një rrafsh α, tangjent me sipërfaqen konike β dhe që kalon nëpër pikën N, nuk i përket

* Meqenëse sipërfaqja β përbëhet nga pika parabolike (përveç kulmit S), rrafshi tangjent α me të do të ketë të përbashkët jo një pikë N, por një drejtëz (SN).

duke shtypur një sipërfaqe të caktuar, është e nevojshme:

1) përmes një pike të dhënë N dhe kulmit S të sipërfaqes konike β vizatoni një drejtëz a (a" dhe a");

2) përcaktoni gjurmën horizontale të kësaj drejtëze H a;

3) përmes H a vizatoni tangjentet t" 1 dhe t" 2 të lakores h 0β - gjurma horizontale e sipërfaqes konike;

4) lidhni pikat tangjente A (A" dhe A") dhe B (B" dhe B") me kulmin e sipërfaqes konike S (S" dhe S").

Vijat prerëse t 1, (AS) dhe t 2, (BS) përcaktojnë planet e dëshiruara tangjente α 1 dhe α 2

SHEMBULL 3. Ndërtoni një rrafsh α tangjente në sipërfaqen β me pika hiperbolike.

Pika K (Fig. 214) ndodhet në sipërfaqen e globoidit (sipërfaqja e brendshme e unazës).

Për të përcaktuar pozicionin e planit tangjent α është e nevojshme:

1) vizatoni një paralele me sipërfaqen β h(h", h") përmes pikës K;

2) përmes pikës K" vizatoni një tangjente t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) për të përcaktuar drejtimet e projeksioneve të tangjentes në seksionin meridional, është e nevojshme të vizatoni rrafshin γ përmes pikës K dhe boshtit të sipërfaqes, projeksioni horizontal t" 2 do të përkojë me h 0γ; për të ndërtuar projeksionin ballor të tangjentes t" 2, fillimisht përkthejmë rrafshin γ duke e rrotulluar rreth boshtit të sipërfaqes së rrotullimit në pozicionin γ 1 || π 2. Në këtë rast, seksioni meridional sipas planit γ do të përafrohet me harkun e majtë të konturit të projeksionit ballor - gjysmërrethi g".

Pika K (K", K"), që i përket lakores së seksionit meridional, do të zhvendoset në pozicionin K 1 (K" 1, K" 1). Nëpërmjet K" 1 vizatojmë një projeksion ballor të tangjentes t" 2 1, të kombinuar me rrafshin γ 1 || Poziciononi π 2 dhe shënoni pikën e kryqëzimit të tij me projeksionin ballor të boshtit të rrotullimit S" 1. E kthejmë rrafshin γ 1 në pozicionin e tij origjinal, pika K" 1 → K" (pika S" 1 ≡ S") Projeksioni ballor i tangjentes t" 2 përcaktohet nga pikat K" dhe S".

Tangjentet t 1 dhe t 2 përcaktojnë rrafshin e dëshiruar tangjente α, i cili pret sipërfaqen β përgjatë kurbës l.

SHEMBULL 4. Ndërtoni një rrafsh α tangjente me sipërfaqen β në pikën K. Pika K ndodhet në sipërfaqen e një hiperboloidi me një fletë rrotullimi (Fig. 215).

Ky problem mund të zgjidhet duke iu përmbajtur algoritmit të përdorur në shembullin e mëparshëm, por duke marrë parasysh se sipërfaqja e një hiperboloidi me një fletë të rrotullimit është një sipërfaqe e rregulluar që ka dy familje gjeneratorësh drejtvizor dhe secili prej gjeneratorëve të një familja kryqëzon të gjithë gjeneruesit e familjes tjetër (shih § 32, fig. 138). Përmes secilës pikë të kësaj sipërfaqeje mund të vizatohen dy vija të drejta të kryqëzuara - gjeneratorë, të cilët njëkohësisht do të jenë tangjent me sipërfaqen e një hiperboloidi me një fletë rrotullimi.

Këto tangjente përcaktojnë rrafshin tangjent, domethënë, rrafshi tangjent me sipërfaqen e një hiperboloidi me një fletë rrotullimi e kryqëzon këtë sipërfaqe përgjatë dy vijave të drejta g 1 dhe g 2. Për të ndërtuar projeksione të këtyre vijave, mjafton të bartet projeksioni horizontal i pikës K dhe tangjentet t" 1 dhe t" 2 në horizontale.

projeksioni tal i rrethit d" 2 - gryka e sipërfaqes së një hiperboloidi rrotullues me një fletë; përcaktoni pikat 1" dhe 2 në të cilat t" 1 dhe t" 2 kryqëzojnë një dhe sipërfaqet drejtuese d 1. Nga 1" dhe 2" gjejmë 1" dhe 2", të cilat së bashku me K" përcaktojnë projeksionet ballore të vijave të kërkuara.