Si quhet grafiku i dridhjeve harmonike? Lëkundjet harmonike - Hipermarketi i njohurive. Nëse lëkundja përshkruhet me ligjin e kosinusit

Lloji më i thjeshtë i lëkundjeve janë dridhjet harmonike- lëkundjet në të cilat zhvendosja e pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit.

Kështu, me një rrotullim të njëtrajtshëm të topit në një rreth, projeksioni i tij (hija në rrezet paralele të dritës) kryen një lëvizje osciluese harmonike në një ekran vertikal (Fig. 1).

Zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit gjatë dridhjeve harmonike përshkruhet nga ekuacioni (quhet ligji kinematik lëvizje harmonike) si:

ku x është zhvendosja - një sasi që karakterizon pozicionin e pikës luhatëse në kohën t në lidhje me pozicionin e ekuilibrit dhe matet me distancën nga pozicioni i ekuilibrit në pozicionin e pikës në një kohë të caktuar; A - amplituda e lëkundjeve - zhvendosja maksimale e trupit nga pozicioni i ekuilibrit; T - periudha e lëkundjes - koha e një lëkundjeje të plotë; ato. periudha më e shkurtër kohore pas së cilës përsëriten vlerat e sasive fizike që karakterizojnë lëkundjen; - faza fillestare;

Faza e lëkundjes në kohën t. Faza e lëkundjes është një argument i një funksioni periodik, i cili, për një amplitudë të caktuar lëkundjeje, përcakton gjendjen e sistemit oscilues (zhvendosje, shpejtësi, nxitim) të trupit në çdo kohë.

Nëse në momentin fillestar të kohës pika osciluese është zhvendosur maksimalisht nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë dhe zhvendosja e pikës nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon sipas ligjit

Nëse pika lëkundëse në është në një pozicion ekuilibri të qëndrueshëm, atëherë zhvendosja e pikës nga pozicioni i ekuilibrit ndryshon sipas ligjit

Vlera V, e kundërta e periudhës dhe e barabartë me numrin e lëkundjeve të plota të përfunduara në 1 s, quhet frekuenca e lëkundjeve:

Nëse gjatë kohës t trupi bën N lëkundje të plota, atëherë

Madhësia që tregon se sa lëkundje bën një trup në s quhet frekuencë ciklike (rrethore)..

Ligji kinematik i lëvizjes harmonike mund të shkruhet si:

Grafikisht, varësia e zhvendosjes së një pike lëkundëse nga koha përshkruhet nga një valë kosinusi (ose sinusoid).

Figura 2, a tregon një grafik të varësisë kohore të zhvendosjes së pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit për rastin.

Le të zbulojmë se si shpejtësia e një pike lëkundëse ndryshon me kalimin e kohës. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin kohor të kësaj shprehjeje:

ku është amplituda e projeksionit të shpejtësisë në boshtin x.

Kjo formulë tregon se gjatë lëkundjeve harmonike, projeksioni i shpejtësisë së trupit në boshtin x ndryshon gjithashtu sipas një ligji harmonik me të njëjtën frekuencë, me një amplitudë të ndryshme dhe është përpara zhvendosjes në fazë me (Fig. 2, b. ).

Për të sqaruar varësinë e nxitimit, gjejmë derivatin kohor të projeksionit të shpejtësisë:

ku është amplituda e projeksionit të nxitimit në boshtin x.

Me lëkundjet harmonike, projeksioni i nxitimit është përpara zhvendosjes së fazës me k (Fig. 2, c).

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të ndërtoni grafikët e varësisë

Ne ekzaminuam disa sisteme fizikisht krejtësisht të ndryshme dhe u siguruam që ekuacionet e lëvizjes të reduktohen në të njëjtën formë

Dallimet midis sistemeve fizike shfaqen vetëm në përkufizime të ndryshme të sasisë dhe në kuptime të ndryshme fizike të ndryshores x: kjo mund të jetë një koordinatë, kënd, ngarkesë, rrymë etj. Vini re se në këtë rast, siç del nga vetë struktura e ekuacionit (1.18), sasia ka gjithmonë dimensionin e kohës së kundërt.

Ekuacioni (1.18) përshkruan të ashtuquajturat dridhjet harmonike.

Ekuacioni dridhjet harmonike(1.18) është një ekuacion diferencial linear i rendit të dytë (pasi përmban derivatin e dytë të ndryshores x). Lineariteti i ekuacionit do të thotë se

nëse ndonjë funksion x(t)është një zgjidhje e këtij ekuacioni, pastaj funksioni Cx(t) do të jetë edhe zgjidhja e tij ( C– konstante arbitrare);

nëse funksionon x 1 (t) Dhe x 2 (t) janë zgjidhjet e këtij ekuacioni, pastaj shuma e tyre x 1 (t) + x 2 (t) do të jetë gjithashtu një zgjidhje për të njëjtin ekuacion.

Është vërtetuar edhe një teoremë matematikore, sipas së cilës një ekuacion i rendit të dytë ka dy zgjidhje të pavarura. Të gjitha zgjidhjet e tjera, sipas vetive të linearitetit, mund të merren si kombinime lineare të tyre. Është e lehtë të verifikohet me diferencim të drejtpërdrejtë që të pavarurit funksionojnë dhe plotësojnë ekuacionin (1.18). Do të thotë, zgjidhje e përgjithshme ky ekuacion duket si:

Ku C 1,C 2- konstante arbitrare. Kjo zgjidhje mund të paraqitet në një formë tjetër. Le të fusim vlerën

dhe përcaktoni këndin me relacionet:

Pastaj zgjidhja e përgjithshme (1.19) shkruhet si

Sipas formulave të trigonometrisë, shprehja në kllapa është e barabartë me

Më në fund arrijmë zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit të dridhjeve harmonike në formën:

Vlera jo negative A thirrur amplituda e vibrimit, - faza fillestare e lëkundjes. I gjithë argumenti kosinus - kombinimi - quhet faza e lëkundjes.

Shprehjet (1.19) dhe (1.23) janë plotësisht ekuivalente, kështu që ne mund të përdorim cilindo prej tyre, bazuar në konsideratat e thjeshtësisë. Të dyja zgjidhjet janë funksionet periodike koha. Në të vërtetë, sinusi dhe kosinusi janë periodikë me një periodë . Prandaj, gjendje të ndryshme të një sistemi që kryen lëkundje harmonike përsëriten pas një periudhe kohore t*, gjatë së cilës faza e lëkundjes merr një rritje që është shumëfish i :

Nga kjo rrjedh se

Më së paku nga këto kohë

thirrur periudha e lëkundjes (Fig. 1.8), dhe - e tij rrethore (ciklike) frekuenca.

Oriz. 1.8.

Ata gjithashtu përdorin frekuenca luhatjet

Prandaj, frekuenca rrethore është e barabartë me numrin e lëkundjeve për sekonda

Pra, nëse sistemi në kohë t karakterizohet nga vlera e ndryshores x (t), atëherë ndryshorja do të ketë të njëjtën vlerë pas një periudhe kohore (Fig. 1.9), d.m.th

I njëjti kuptim do të përsëritet natyrshëm me kalimin e kohës 2T, ZT etj.

Oriz. 1.9. Periudha e lëkundjeve

Zgjidhja e përgjithshme përfshin dy konstante arbitrare ( C 1, C 2 ose A, a), vlerat e të cilave duhet të përcaktohen nga dy kushtet fillestare. Zakonisht (megjithëse jo domosdoshmërisht) roli i tyre luhet nga vlerat fillestare të ndryshores x(0) dhe derivati ​​i tij.

Le të japim një shembull. Zgjidhja (1.19) e ekuacionit të lëkundjeve harmonike le të përshkruajë lëvizjen e një lavjerrës sustë. Vlerat e konstantave arbitrare varen nga mënyra në të cilën e nxorëm lavjerrësin jashtë ekuilibrit. Për shembull, ne e tërhoqëm pranverën në një distancë dhe lëshoi ​​topin pa shpejtësi fillestare. Në këtë rast

Zëvendësimi t = 0 në (1.19), gjejmë vlerën e konstantës C 2

Zgjidhja duket kështu:

Shpejtësinë e ngarkesës e gjejmë me diferencim në lidhje me kohën

Zëvendësimi këtu t = 0, gjeni konstanten C 1:

Së fundi

Krahasuar me (1.23), gjejmë se është amplituda e lëkundjeve dhe faza fillestare e saj është zero: .

Tani le të çekuilibrojmë lavjerrësin në një mënyrë tjetër. Le të godasim ngarkesën në mënyrë që të fitojë një shpejtësi fillestare, por praktikisht të mos lëvizë gjatë goditjes. Më pas kemi kushte të tjera fillestare:

zgjidhja jonë duket si

Shpejtësia e ngarkesës do të ndryshojë sipas ligjit:

Le të zëvendësojmë këtu:

Ekuacioni i dridhjeve harmonike

Ekuacioni i lëkundjes harmonike përcakton varësinë e koordinatave të trupit nga koha

Grafiku i kosinusit në momentin fillestar ka një vlerë maksimale, dhe grafiku i sinusit ka një vlerë zero në momentin fillestar. Nëse fillojmë të shqyrtojmë lëkundjen nga pozicioni i ekuilibrit, atëherë lëkundja do të përsërisë një sinusoid. Nëse fillojmë të marrim parasysh lëkundjen nga pozicioni i devijimit maksimal, atëherë lëkundjet do të përshkruhen nga një kosinus. Ose një lëkundje e tillë mund të përshkruhet me formulën e sinusit me një fazë fillestare.

Ndryshimi i shpejtësisë dhe nxitimit gjatë lëkundjeve harmonike

Jo vetëm koordinata e trupit ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit. Por sasi të tilla si forca, shpejtësia dhe nxitimi gjithashtu ndryshojnë në mënyrë të ngjashme. Forca dhe nxitimi janë maksimale kur trupi lëkundës është në pozicionet ekstreme ku zhvendosja është maksimale dhe janë zero kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit. Shpejtësia, përkundrazi, në pozicionet ekstreme është zero, dhe kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit, ai arrin vlerën e tij maksimale.

Nëse lëkundja përshkruhet me ligjin e kosinusit

Nëse lëkundja përshkruhet sipas ligjit të sinusit

Vlerat maksimale të shpejtësisë dhe nxitimit

Pasi kemi analizuar ekuacionet e varësisë v(t) dhe a(t), mund të hamendësojmë se shpejtësia dhe nxitimi marrin vlera maksimale në rastin kur faktori trigonometrik është i barabartë me 1 ose -1. Përcaktohet nga formula

Ndryshimet në çdo sasi përshkruhen duke përdorur ligjet e sinusit ose kosinusit, atëherë lëkundjet e tilla quhen harmonike. Le të shqyrtojmë një qark të përbërë nga një kondensator (i cili ishte i ngarkuar përpara se të përfshihej në qark) dhe një induktor (Fig. 1).

Figura 1.

Ekuacioni i dridhjeve harmonike mund të shkruhet si më poshtë:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alfa)_0)$ (1)

ku $t$ është koha; $q$ tarifë, $q_0$-- devijimi maksimal i ngarkesës nga vlera mesatare e tij (zero) gjatë ndryshimeve; $(\omega )_0t+(\alfa)_0$- faza e lëkundjes; $(\alpha )_0$- faza fillestare; $(\omega )_0$ - frekuencë ciklike. Gjatë periudhës, faza ndryshon me $2\pi $.

Ekuacioni i formës:

ekuacioni i lëkundjeve harmonike në formë diferenciale për një qark oscilues që nuk do të përmbajë rezistencë aktive.

Çdo lloj lëkundjesh periodike mund të paraqitet me saktësi si një shumë e lëkundjeve harmonike, të ashtuquajturat seri harmonike.

Për periudhën e lëkundjes së një qarku që përbëhet nga një spirale dhe një kondensator, marrim formulën e Thomson:

Nëse e dallojmë shprehjen (1) në lidhje me kohën, mund të marrim formulën për funksionin $I(t)$:

Tensioni në të gjithë kondensatorin mund të gjendet si:

Nga formula (5) dhe (6) rrjedh se forca aktuale është përpara tensionit në kondensator me $\frac(\pi )(2).$

Lëkundjet harmonike mund të paraqiten si në formën e ekuacioneve, funksioneve dhe diagrameve vektoriale.

Ekuacioni (1) paraqet lëkundjet e lira të pamposhtura.

Ekuacioni i oscilimit të lagur

Ndryshimi i ngarkesës ($q$) në pllakat e kondensatorit në qark, duke marrë parasysh rezistencën (Fig. 2), do të përshkruhet nga një ekuacion diferencial i formës:

Figura 2.

Nëse rezistenca që është pjesë e qarkut $R\

ku $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ është frekuenca ciklike e lëkundjeve. $\beta =\frac(R)(2L)-$koeficienti amortizues. Amplituda lëkundjet e amortizuara shprehur si:

Nëse në $t=0$ ngarkesa në kondensator është e barabartë me $q=q_0$ dhe nuk ka rrymë në qark, atëherë për $A_0$ mund të shkruajmë:

Faza e lëkundjeve në momentin fillestar të kohës ($(\alpha )_0$) është e barabartë me:

Kur $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ ndryshimi i ngarkesës nuk është një lëkundje, shkarkimi i kondensatorit quhet aperiodik.

Shembulli 1

Ushtrimi: Vlera maksimale e tarifimit është $q_0=10\ C$. Ai ndryshon në mënyrë harmonike me një periudhë prej $T= 5 s$. Përcaktoni rrymën maksimale të mundshme.

Zgjidhja:

Si bazë për zgjidhjen e problemit ne përdorim:

Për të gjetur forcën aktuale, shprehja (1.1) duhet të diferencohet në lidhje me kohën:

ku maksimumi (vlera e amplitudës) e fuqisë aktuale është shprehja:

Nga kushtet e problemit dihet vlera e amplitudës së ngarkesës ($q_0=10\ C$). Ju duhet të gjeni frekuencën natyrore të lëkundjeve. Le ta shprehim si:

\[(\omega)_0=\frac(2\pi)(T)\majtas(1.4\djathtas).\]

Në këtë rast, vlera e dëshiruar do të gjendet duke përdorur ekuacionet (1.3) dhe (1.2) si:

Meqenëse të gjitha sasitë në kushtet e problemit janë paraqitur në sistemin SI, ne do të kryejmë llogaritjet:

Përgjigje:$I_0=12,56\ A.$

Shembulli 2

Ushtrimi: Sa është periudha e lëkundjes në qark, i cili përmban një induktor $L=1$H dhe një kondensator, nëse forca e rrymës në qark ndryshon sipas ligjit: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \djathtas)?$ Sa është kapaciteti i kondensatorit?

Zgjidhja:

Nga ekuacioni i luhatjeve të rrymës, i cili jepet në kushtet e problemit:

shohim se $(\omega )_0=20\pi $, prandaj, ne mund të llogarisim periudhën e lëkundjes duke përdorur formulën:

\ \

Sipas formulës së Tomsonit për një qark që përmban një induktor dhe një kondensator, kemi:

Le të llogarisim kapacitetin:

Përgjigje:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

Lëkundja harmonike është një dukuri e ndryshimit periodik të çdo sasie, në të cilën varësia nga argumenti ka karakterin e një funksioni sinus ose kosinus. Për shembull, një sasi lëkundet në mënyrë harmonike dhe ndryshon me kalimin e kohës si më poshtë:

ku x është vlera e madhësisë në ndryshim, t është koha, parametrat e mbetur janë konstante: A është amplituda e lëkundjeve, ω është frekuenca ciklike e lëkundjeve, është faza e plotë e lëkundjeve, është faza fillestare e lëkundjeve.

Lëkundje harmonike e përgjithësuar në formë diferenciale

(Çdo zgjidhje jo e parëndësishme për këtë ekuacioni diferencial- ka një lëkundje harmonike me një frekuencë ciklike)

Llojet e dridhjeve

Dridhjet e lira ndodhin nën ndikimin e forcave të brendshme të sistemit pasi sistemi është hequr nga pozicioni i tij ekuilibër. Që lëkundjet e lira të jenë harmonike, është e nevojshme që sistemi oscilues ishte lineare (e përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe nuk kishte shpërndarje të energjisë (kjo e fundit do të shkaktonte zbutje).

Dridhjet e detyruara ndodhin nën ndikimin e një force të jashtme periodike. Që ato të jenë harmonike, mjafton që sistemi oscilues të jetë linear (i përshkruar nga ekuacionet lineare të lëvizjes), dhe vetë forca e jashtme ndryshon me kalimin e kohës si një lëkundje harmonike (d.m.th., varësia kohore e kësaj force është sinusoidale). .

Ekuacioni Harmonik

jep varësinë e vlerës së luhatshme S nga koha t; ky është ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira në formë eksplicite. Megjithatë, zakonisht ekuacioni i vibrimit kuptohet si një paraqitje e ndryshme e këtij ekuacioni, në formë diferenciale. Për definicion, le të marrim ekuacionin (1) në formën

Le ta dallojmë dy herë në kohë:

Mund të shihet se lidhja e mëposhtme qëndron:

që quhet ekuacioni i lëkundjeve harmonike të lira (në formë diferenciale). Ekuacioni (1) është një zgjidhje për ekuacionin diferencial (2). Meqenëse ekuacioni (2) është një ekuacion diferencial i rendit të dytë, dy kushte fillestare janë të nevojshme për të marrë një zgjidhje të plotë (d.m.th., përcaktimi i konstanteve A dhe   të përfshira në ekuacionin (1); për shembull, pozicioni dhe shpejtësia e sistemit oscilues në t = 0.

Një lavjerrës matematik është një oshilator, i cili është një sistem mekanik i përbërë nga një pikë materiale e vendosur në një fije të pazgjatshme pa peshë ose në një shufër pa peshë në një fushë uniforme të forcave gravitacionale. Periudha e lëkundjeve të vogla natyrore të një lavjerrës matematikor me gjatësi l, të pezulluar pa lëvizje në një fushë gravitacionale uniforme me nxitim të rënies së lirë g, është e barabartë me

dhe nuk varet nga amplituda dhe masa e lavjerrësit.

Një lavjerrës fizik është një oshilator, i cili është një trup i ngurtë që lëkundet në një fushë të çdo force në lidhje me një pikë që nuk është qendra e masës së këtij trupi, ose aks fiks, pingul me drejtimin e veprimit të forcave dhe që nuk kalon nga qendra e masës së këtij trupi.