Si të përcaktohet pritshmëria e mat-it. Formula matematikore e pritjes. Bazat e teorisë së probabilitetit
Pritshmëria matematikore e një diskrete ndryshore e rastësishmeështë shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre.
Lëreni një variabël të rastësishëm të marrë vetëm vlerat e probabilitetit të cilat janë përkatësisht të barabarta. Pastaj pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme përcaktohet nga barazia
Nëse një ndryshore e rastësishme diskrete merr një grup të numërueshëm vlerash të mundshme, atëherë
Për më tepër, pritshmëria matematikore ekziston nëse seria në anën e djathtë të barazisë konvergon absolutisht.
Komentoni. Nga përkufizimi rezulton se pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një sasi jo e rastësishme (konstante).
Përkufizimi i pritjes matematikore në rastin e përgjithshëm
Le të përcaktojmë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme shpërndarja e së cilës nuk është domosdoshmërisht diskrete. Le të fillojmë me rastin e ndryshoreve të rastësishme jo negative. Ideja do të jetë që të përafrohen variabla të tilla të rastësishme duke përdorur ato diskrete, për të cilat pritshmëria matematikore është përcaktuar tashmë, dhe të vendoset pritshmëria matematikore e barabartë me kufirin pritjet matematikore të variablave të rastësishme diskrete që e përafrojnë atë. Meqë ra fjala, kjo është një ide e përgjithshme shumë e dobishme, e cila është se disa karakteristika fillimisht përcaktohen për objektet e thjeshta, dhe më pas për objektet më komplekse përcaktohet duke i përafruar me ato më të thjeshta.
Lema 1. Le të ketë një ndryshore arbitrare të rastësishme jo negative. Pastaj ekziston një sekuencë e ndryshoreve të rastësishme diskrete të tilla që
Dëshmi. Le ta ndajmë gjysmëboshtin në segmente me gjatësi të barabartë dhe të përcaktojmë
Pastaj vetitë 1 dhe 2 rrjedhin lehtësisht nga përkufizimi i një ndryshoreje të rastësishme dhe
Lema 2. Le të jetë një ndryshore e rastësishme jo-negative dhe dhe dy sekuenca të ndryshoreve diskrete të rastit që zotërojnë vetitë 1-3 nga Lema 1. Më pas
Dëshmi. Vini re se për ndryshoret e rastësishme jo negative ne lejojmë
Për shkak të vetive 3, është e lehtë të shihet se ka një sekuencë numra pozitiv, sikurse
Nga kjo rrjedh se
Duke përdorur vetitë e pritjeve matematikore për variabla diskrete të rastësishme, marrim
Duke kaluar në kufirin ne marrim deklaratën e Lemës 2.
Përkufizimi 1. Le të jetë një ndryshore e rastësishme jo-negative, - një sekuencë e variablave të rastësishme diskrete që kanë vetitë 1-3 nga Lema 1. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është numri
Lema 2 garanton se nuk varet nga zgjedhja e sekuencës së përafërt.
Le të jetë tani një ndryshore arbitrare e rastësishme. Le të përcaktojmë
Nga përkufizimi dhe kjo rrjedh lehtësisht
Përkufizimi 2. Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme arbitrare është numri
Nëse të paktën një nga numrat në anën e djathtë të kësaj barazie është i fundëm.
Vetitë e pritjes matematikore
Prona 1. Vlera e pritshme vlera konstante është e barabartë me vetë konstantën:
Dëshmi. Ne do ta konsiderojmë një konstante si një ndryshore të rastësishme diskrete që ka një vlerë të mundshme dhe e merr atë me probabilitet, prandaj,
Vërejtje 1. Le të përcaktojmë produktin e një ndryshoreje konstante nga një ndryshore e rastësishme diskrete si një rastësi diskrete, vlerat e mundshme të së cilës janë të barabarta me produktet e konstantës sipas vlerave të mundshme; probabilitetet e vlerave të mundshme janë të barabarta me probabilitetet e vlerave të mundshme përkatëse. Për shembull, nëse probabiliteti i një vlere të mundshme është i barabartë, atëherë probabiliteti që vlera do të marrë vlerën është gjithashtu i barabartë
Vetia 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:
Dëshmi. Lëreni variablin e rastësishëm të jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:
Duke marrë parasysh vërejtjen 1, shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastit
Vërejtje 2. Përpara se të kalojmë në vetinë tjetër, theksojmë se dy ndryshore të rastësishme quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së njërës prej tyre nuk varet nga vlerat e mundshme që mori ndryshorja tjetër. Përndryshe, variablat e rastësishëm janë të varur. Disa ndryshore të rastësishme quhen reciprokisht të pavarura nëse ligjet e shpërndarjes së ndonjë numri prej tyre nuk varen nga vlerat e mundshme që morën variablat e mbetur.
Vërejtje 3. Le të përcaktojmë produktin e ndryshoreve të pavarura të rastësishme dhe si një ndryshore të rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës janë të barabarta me produktet e çdo vlere të mundshme për secilën vlerë të mundshme, probabilitetet e vlerave të mundshme të produktit janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të vlerave të mundshme të faktorëve. Për shembull, nëse probabiliteti i një vlere të mundshme është, probabiliteti i një vlere të mundshme është atëherë probabiliteti i një vlere të mundshme është
Vetia 3. Pritja matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:
Dëshmi. Lërini variablat e pavarur të rastësishëm të specifikohen nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit:
Le të përpilojmë të gjitha vlerat që mund të marrë një ndryshore e rastësishme. Për ta bërë këtë, le të shumëzojmë të gjitha vlerat e mundshme me çdo vlerë të mundshme; Si rezultat, marrim dhe, duke marrë parasysh vërejtjen 3, shkruajmë ligjin e shpërndarjes, duke supozuar për thjeshtësi që të gjitha vlerat e mundshme të produktit janë të ndryshme (nëse nuk është kështu, atëherë vërtetimi kryhet në një në mënyrë të ngjashme):
Pritja matematikore është e barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre:
Pasoja. Pritja matematikore e produktit të disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.
Vetia 4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:
Dëshmi. Lërini variablat e rastësishëm dhe të specifikohen nga ligjet e mëposhtme të shpërndarjes:
Le të përpilojmë të gjitha vlerat e mundshme të një sasie. Për ta bërë këtë, ne i shtojmë çdo vlerë të mundshme çdo vlere të mundshme; Le të supozojmë për thjeshtësi se këto vlera të mundshme janë të ndryshme (nëse nuk është kështu, atëherë vërtetimi kryhet në mënyrë të ngjashme), dhe ne i shënojmë probabilitetet e tyre, përkatësisht, me dhe
Pritja matematikore e një vlere është e barabartë me shumën e produkteve të vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre:
Le të vërtetojmë se një Ngjarje që do të marrë vlerën (probabiliteti i kësaj ngjarjeje është i barabartë) sjell një ngjarje që do të marrë vlerën ose (probabiliteti i kësaj ngjarje nga teorema e mbledhjes është i barabartë) dhe anasjelltas. Prandaj rrjedh se barazitë vërtetohen në mënyrë të ngjashme
Duke zëvendësuar anët e djathta të këtyre barazive në relacionin (*), marrim
ose në fund
Varianca dhe devijimi standard
Në praktikë, shpesh është e nevojshme të vlerësohet shpërndarja e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës së saj mesatare. Për shembull, në artileri është e rëndësishme të dihet se sa afër do të bien predhat pranë objektivit që do të goditet.
Në pamje të parë, mund të duket se mënyra më e lehtë për të vlerësuar shpërndarjen është të llogaritni të gjitha devijimet e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe më pas të gjeni vlerën mesatare të tyre. Sidoqoftë, kjo rrugë nuk do të japë asgjë, pasi vlera mesatare e devijimit, d.m.th. për çdo ndryshore të rastësishme është e barabartë me zero. Kjo veti shpjegohet me faktin se disa devijime të mundshme janë pozitive, ndërsa të tjerat janë negative; si rezultat i anulimit të tyre të ndërsjellë, vlera mesatare e devijimit është zero. Këto konsiderata tregojnë këshillueshmërinë e zëvendësimit të devijimeve të mundshme vlerat absolute ose katrorët e tyre. Kjo është ajo që ata bëjnë në praktikë. Vërtetë, në rastin kur devijimet e mundshme zëvendësohen me vlera absolute, duhet të veprohet me vlera absolute, gjë që ndonjëherë çon në vështirësi serioze. Prandaj, më së shpeshti ata marrin një rrugë tjetër, d.m.th. llogaritni vlerën mesatare të devijimit në katror, i cili quhet dispersion.
Pritja matematikore është përkufizimi
Pritja mat është nje nga konceptet më të rëndësishme V statistika matematikore dhe teoria e probabilitetit, që karakterizon shpërndarjen e vlerave ose probabilitetet ndryshore e rastësishme. Zakonisht shprehet si një mesatare e ponderuar e të gjithë parametrave të mundshëm të një ndryshoreje të rastësishme. Përdoret gjerësisht në analiza teknike, kërkime seri numrash, studimi i proceseve të vazhdueshme dhe afatgjata. Është i rëndësishëm në vlerësimin e rreziqeve, parashikimin e treguesve të çmimeve kur tregtohet në tregjet financiare dhe përdoret në zhvillimin e strategjive dhe metodave të taktikave të lojrave në teoritë e lojërave të fatit.
mat në pritje- Kjo vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme, shpërndarja probabilitetet ndryshorja e rastësishme konsiderohet në teorinë e probabilitetit.
Pritja mat është një masë e vlerës mesatare të një ndryshoreje të rastësishme në teorinë e probabilitetit. Matni pritshmërinë e një ndryshoreje të rastësishme x shënohet me M(x).
Pritshmëria matematikore (Mesatarja e popullsisë) është
Pritja mat është
Pritja mat është në teorinë e probabilitetit, një mesatare e ponderuar e të gjitha vlerave të mundshme që mund të marrë një ndryshore e rastësishme.
Pritja mat është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet e këtyre vlerave.
Pritshmëria matematikore (Mesatarja e popullsisë) është
Pritja mat është përfitimi mesatar nga një vendim i caktuar, me kusht që një vendim i tillë të mund të konsiderohet brenda kornizës së teorisë së numrave të mëdhenj dhe distancave të gjata.
Pritja mat është në teorinë e lojërave të fatit, shuma e fitimeve që një spekulator mund të fitojë ose humbasë, mesatarisht, në çdo bast. Në gjuhën e bixhozit spekulatorë kjo nganjëherë quhet "përparësi" spekulator" (nëse është pozitive për spekulatorin) ose "buzë shtëpie" (nëse është negative për spekulatorin).
Pritshmëria matematikore (Mesatarja e popullsisë) është
Do të ketë edhe detyra për vendim i pavarur, për të cilat mund të shihni përgjigjet.
Pritshmëria dhe varianca janë karakteristikat numerike më të përdorura të një ndryshoreje të rastësishme. Ato karakterizojnë tiparet më të rëndësishme të shpërndarjes: pozicionin e saj dhe shkallën e shpërndarjes. Vlera e pritur shpesh quhet thjesht mesatare. ndryshore e rastësishme. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme - karakteristikë e dispersionit, përhapja e një ndryshoreje të rastësishme për pritshmërinë e tij matematikore.
Në shumë probleme praktike, një karakteristikë e plotë, shteruese e një ndryshoreje të rastësishme - ligji i shpërndarjes - ose nuk mund të merret ose nuk nevojitet fare. Në këto raste, kufizohet në një përshkrim të përafërt të një ndryshoreje të rastësishme duke përdorur karakteristika numerike.
Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Le të vijmë te koncepti i pritjes matematikore. Lëreni masën e disa substancave të shpërndahet ndërmjet pikave të boshtit x x1 , x 2 , ..., x n. Për më tepër, çdo pikë materiale ka një masë përkatëse me një probabilitet prej fq1 , fq 2 , ..., fq n. Kërkohet të zgjidhet një pikë në boshtin e abshisës, duke karakterizuar pozicionin e të gjithë sistemit pikat materiale, duke marrë parasysh masat e tyre. Është e natyrshme që qendra e masës së sistemit të pikave materiale të merret si një pikë e tillë. Kjo është mesatarja e ponderuar e ndryshores së rastësishme X, tek e cila abshisa e secilës pikë xi hyn me një “peshë” të barabartë me probabilitetin përkatës. Vlera mesatare e ndryshores së rastësishme është marrë në këtë mënyrë X quhet pritshmëria e saj matematikore.
Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të këtyre vlerave:
Shembulli 1.Është organizuar një short fitues. Ka 1000 fitime, nga të cilat 400 janë 10 rubla. 300 - 20 rubla secila. 200 - 100 rubla secila. dhe 100 - 200 rubla secila. Sa janë fitimet mesatare për dikë që blen një biletë?
Zgjidhje. Fitimet mesatare do të gjejmë nëse e ndajmë shumën totale të fitimeve, e cila është 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubla, me 1000 (shuma totale e fitimeve). Pastaj marrim 50000/1000 = 50 rubla. Por shprehja për llogaritjen e fitimeve mesatare mund të paraqitet në formën e mëposhtme:
Nga ana tjetër, në këto kushte, madhësia fituese është një ndryshore e rastësishme, e cila mund të marrë vlerat 10, 20, 100 dhe 200 rubla. me probabilitet të barabartë me 0.4, përkatësisht; 0.3; 0,2; 0.1. Prandaj, fitimi mesatar i pritshëm e barabartë me shumën produktet e madhësisë së fitimeve dhe probabiliteti i marrjes së tyre.
Shembulli 2. Botuesi vendosi të botojë libër i ri. Ai planifikon ta shesë librin për 280 rubla, nga të cilat ai vetë do të marrë 200, 50 - libraria dhe 30 - autori. Tabela jep informacion për kostot e botimit të një libri dhe probabilitetin e shitjes së një numri të caktuar kopjesh të librit.
Gjeni fitimin e pritur të botuesit.
Zgjidhje. Variabli i rastësishëm "fitimi" është i barabartë me diferencën midis të ardhurave nga shitjet dhe kostos së kostove. Për shembull, nëse shiten 500 kopje të një libri, atëherë të ardhurat nga shitja janë 200 * 500 = 100,000, dhe kostoja e botimit është 225,000 rubla. Kështu, botuesi përballet me një humbje prej 125,000 rubla. Tabela e mëposhtme përmbledh vlerat e pritura të ndryshores së rastësishme - fitimi:
| Numri | Fitimi xi | Probabiliteti fqi | xi fq i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Kështu, marrim pritshmërinë matematikore të fitimit të botuesit:
.
Shembulli 3. Mundësia për të goditur me një goditje fq= 0.2. Përcaktoni konsumin e predhave që ofrojnë një pritje matematikore të numrit të goditjeve të barabartë me 5.
Zgjidhje. Nga e njëjta formulë e pritjes matematikore që kemi përdorur deri tani, shprehemi x- konsumi i guaskës:
.
Shembulli 4. Përcaktoni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme x numri i goditjeve me tre të shtëna, nëse probabiliteti i një goditjeje me secilën goditje fq = 0,4 .
Këshillë: gjeni probabilitetin e vlerave të ndryshoreve të rastësishme nga formula e Bernulit .
Vetitë e pritjes matematikore
Le të shqyrtojmë vetitë e pritjes matematikore.
Prona 1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me këtë konstante:
Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:
Prona 3. Pritja matematikore e shumës (diferencës) e variablave të rastit është e barabartë me shumën (diferencën) e pritjeve të tyre matematikore:
Prona 4. Pritshmëria matematikore e një produkti të ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:
Prona 5. Nëse të gjitha vlerat e një ndryshoreje të rastësishme X zvogëlohet (shtohet) me të njëjtin numër ME, atëherë pritshmëria e tij matematikore do të ulet (rritet) me të njëjtin numër:
Kur nuk mund ta kufizosh veten vetëm në pritjet matematikore
Në shumicën e rasteve, vetëm pritshmëria matematikore nuk mund të karakterizojë mjaftueshëm një ndryshore të rastësishme.
Lërini variablat e rastit X Dhe Y jepen nga ligjet e mëposhtme të shpërndarjes:
| Kuptimi X | Probabiliteti |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Kuptimi Y | Probabiliteti |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Pritjet matematikore të këtyre sasive janë të njëjta - të barabarta me zero:
Megjithatë, modelet e shpërndarjes së tyre janë të ndryshme. Vlera e rastësishme X mund të marrë vetëm vlera që ndryshojnë pak nga pritshmëria matematikore dhe ndryshorja e rastësishme Y mund të marrë vlera që devijojnë ndjeshëm nga pritshmëria matematikore. Një shembull i ngjashëm: paga mesatare nuk bën të mundur të gjykohet pjesa e punëtorëve me pagë të lartë dhe të ulët. Me fjalë të tjera, nuk mund të gjykohet nga pritshmëria matematikore se cilat devijime prej tij, të paktën mesatarisht, janë të mundshme. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni variancën e ndryshores së rastësishme.
Varianca e një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Varianca ndryshore diskrete e rastësishme X quhet pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të tij nga pritshmëria matematikore:
Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X vlera aritmetike e rrënjës katrore të variancës së saj quhet:
.
Shembulli 5. Llogaritni variancat dhe devijimet standarde të ndryshoreve të rastit X Dhe Y, ligjet e shpërndarjes së të cilave janë dhënë në tabelat e mësipërme.
Zgjidhje. Pritjet matematikore të ndryshoreve të rastit X Dhe Y, siç u gjet më lart, janë të barabarta me zero. Sipas formulës së dispersionit në E(X)=E(y)=0 marrim:
Pastaj devijimet standarde të ndryshoreve të rastit X Dhe Y make up
.
Kështu, me të njëjtat pritshmëri matematikore, varianca e ndryshores së rastit X shumë i vogël, por një ndryshore e rastësishme Y- domethënëse. Kjo është pasojë e dallimeve në shpërndarjen e tyre.
Shembulli 6. Investitori ka 4 projekte alternative investimi. Tabela përmbledh fitimin e pritur në këto projekte me probabilitetin përkatës.
| Projekti 1 | Projekti 2 | Projekti 3 | Projekti 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Gjeni pritshmërinë matematikore, variancën dhe devijimin standard për secilën alternativë.
Zgjidhje. Le të tregojmë se si llogariten këto vlera për alternativën e tretë:
Tabela përmbledh vlerat e gjetura për të gjitha alternativat.
Të gjitha alternativat kanë të njëjtat pritshmëri matematikore. Kjo do të thotë që në terma afatgjatë të gjithë kanë të njëjtat të ardhura. Devijimi standard mund të interpretohet si një masë e rrezikut - sa më i lartë të jetë, aq më i madh është rreziku i investimit. Një investitor që nuk dëshiron shumë rrezik do të zgjedhë projektin 1 pasi ka devijimin standard më të vogël (0). Nëse investitori preferon rrezikun dhe fitimet e larta në një periudhë të shkurtër, atëherë ai do të zgjedhë projektin me devijimin standard më të madh - projektin 4.
Vetitë e dispersionit
Le të paraqesim vetitë e dispersionit.
Prona 1. Varianca e një vlere konstante është zero:
Prona 2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë:
.
Prona 3. Varianca e një ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me pritjen matematikore të katrorit të kësaj vlere, nga e cila zbritet katrori i pritjes matematikore të vetë vlerës:
,
Ku 
.
Prona 4. Varianca e shumës (diferencës) e variablave të rastit është e barabartë me shumën (diferencën) e variancave të tyre:
Shembulli 7. Dihet se një ndryshore e rastësishme diskrete X merr vetëm dy vlera: −3 dhe 7. Përveç kësaj, pritja matematikore është e njohur: E(X) = 4. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.
Zgjidhje. Le të shënojmë me fq probabiliteti me të cilin një ndryshore e rastësishme merr një vlerë x1 = −3 . Pastaj probabiliteti i vlerës x2 = 7 do të jetë 1 − fq. Le të nxjerrim ekuacionin për pritshmërinë matematikore:
E(X) = x 1 fq + x 2 (1 − fq) = −3fq + 7(1 − fq) = 4 ,
ku marrim probabilitetet: fq= 0,3 dhe 1 − fq = 0,7 .
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme:
| X | −3 | 7 |
| fq | 0,3 | 0,7 |
Ne llogarisim variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme duke përdorur formulën nga vetia 3 e dispersionit:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Gjeni vetë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme dhe më pas shikoni zgjidhjen
Shembulli 8. Ndryshore diskrete e rastësishme X merr vetëm dy vlera. Pranon më të madhen e vlerave 3 me probabilitet 0.4. Përveç kësaj, dihet varianca e ndryshores së rastësishme D(X) = 6. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme.
Shembulli 9. Në një urnë ka 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj. Nga urna nxirren 3 topa. Numri i topave të bardhë midis topave të vizatuar është një ndryshore e rastësishme diskrete X. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.
Zgjidhje. Vlera e rastësishme X mund të marrë vlerat 0, 1, 2, 3. Probabilitetet përkatëse mund të llogariten nga rregulla e shumëzimit të probabilitetit. Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| fq | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Prandaj pritshmëria matematikore e kësaj ndryshoreje të rastësishme:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianca e një ndryshoreje të caktuar të rastësishme është:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Pritshmëria dhe varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme
Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, interpretimi mekanik i pritshmërisë matematikore do të ruajë të njëjtin kuptim: qendra e masës për një masë njësi të shpërndarë vazhdimisht në boshtin x me densitet f(x). Ndryshe nga një ndryshore e rastësishme diskrete, argumenti i funksionit të së cilës xi ndryshon befas; për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, argumenti ndryshon vazhdimisht. Por pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme lidhet gjithashtu me vlerën mesatare të saj.
Për të gjetur pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, duhet të gjeni integrale të përcaktuara . Nëse jepet funksioni i densitetit të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme, atëherë ai hyn drejtpërdrejt në integrand. Nëse jepet një funksion i shpërndarjes së probabilitetit, atëherë duke e diferencuar atë, duhet të gjeni funksionin e densitetit.
Mesatarja aritmetike e të gjitha vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme quhet e saj pritje matematikore, e shënuar me ose .
2. Bazat e teorisë së probabilitetit
Vlera e pritshme
Konsideroni një ndryshore të rastësishme me vlera numerike. Shpesh është e dobishme të lidhni një numër me këtë funksion - "vlera mesatare" e tij ose, siç thonë ata, " vlera mesatare", "indeksi i tendencës qendrore". Për një sërë arsyesh, disa prej të cilave do të bëhen të qarta më vonë, pritshmëria matematikore zakonisht përdoret si "vlera mesatare".
Përkufizimi 3. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme X numri i thirrur
ato. pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është një shumë e ponderuar e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme me pesha të barabarta me probabilitetet e ngjarjeve elementare përkatëse.
Shembulli 6. Le të llogarisim pritshmërinë matematikore të numrit që shfaqet në faqen e sipërme të pompës. Nga përkufizimi 3 rrjedh drejtpërdrejt se
Deklarata 2. Lëreni ndryshoren e rastësishme X merr vlera x 1, x 2,…, xm. Atëherë barazia është e vërtetë
(5)
ato. pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është një shumë e ponderuar e vlerave të ndryshores së rastit me pesha të barabarta me probabilitetet që ndryshorja e rastësishme të marrë vlera të caktuara.
Ndryshe nga (4), ku përmbledhja kryhet drejtpërdrejt mbi ngjarjet elementare, një ngjarje e rastësishme mund të përbëhet nga disa ngjarje elementare.
Ndonjëherë relacioni (5) merret si përkufizim i pritshmërisë matematikore. Megjithatë, duke përdorur përkufizimin 3, siç tregohet më poshtë, është më e lehtë të përcaktohen vetitë e pritshmërisë matematikore të nevojshme për ndërtimin e modeleve probabiliste të fenomeneve reale sesa përdorimi i relacionit (5).
Për të vërtetuar relacionin (5), ne grupojmë në (4) terma me vlera identike të ndryshores së rastit:
Meqenëse faktori konstant mund të hiqet nga shenja e shumës, atëherë
Duke përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje
Duke përdorur dy relacionet e fundit marrim të kërkuarën:
Koncepti i pritjes matematikore në teorinë probabilistiko-statistikore korrespondon me konceptin e qendrës së gravitetit në mekanikë. Le ta vendosim në pikë x 1, x 2,…, xm në boshtin e numrit të masës P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) përkatësisht. Atëherë barazia (5) tregon se qendra e gravitetit të këtij sistemi pikash materiale përkon me pritshmërinë matematikore, e cila tregon natyrshmërinë e Përkufizimit 3.
Deklarata 3. Le X- vlera e rastësishme, M(X)- pritshmëria e tij matematikore, A- një numër i caktuar. Pastaj
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 milion[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .
Për ta vërtetuar këtë, së pari le të shqyrtojmë një ndryshore të rastësishme që është konstante, d.m.th. funksioni harton hapësirën e ngjarjeve elementare në një pikë të vetme A. Meqenëse faktori konstant mund të nxirret përtej shenjës së shumës, atëherë
Nëse secili anëtar i një shume ndahet në dy pjesë, atëherë e gjithë shuma ndahet në dy shuma, nga të cilat i pari përbëhet nga anëtarët e parë dhe i dyti nga i dyti. Prandaj, pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit X+Y, e përcaktuar në të njëjtën hapësirë të ngjarjeve elementare, është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore M(X) Dhe M(U) këto variabla të rastësishme:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dhe për këtë arsye M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Siç tregohet më lart, M(M(X)) = M(X). Prandaj, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Sepse (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , Kjo M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Le të thjeshtojmë barazinë e fundit. Siç tregohet në fillim të vërtetimit të pohimit 3, pritshmëria matematikore e një konstante është vetë konstanta, dhe për këtë arsye M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Meqenëse shumëzuesi konstant mund të merret përtej shenjës së shumës, atëherë M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a) M(X - M(X)). Ana e djathtë e barazisë së fundit është 0 sepse, siç tregohet më sipër, M(X-M(X))=0. Prandaj, M[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Nga sa më sipër rezulton se M[(X- a) 2 ] arrin një minimum A, të barabartë M[(X- M(X)) 2 ], në a = M (X), meqenëse termi i dytë në barazinë 3) është gjithmonë jo negativ dhe është i barabartë me 0 vetëm për vlerën e specifikuar A.
Deklarata 4. Lëreni ndryshoren e rastësishme X merr vlera x 1, x 2,…, xm, dhe f është një funksion i argumentit numerik. Pastaj
Për ta vërtetuar këtë, le të grupojmë në anën e djathtë të barazisë (4), e cila përcakton pritshmërinë matematikore, terma me të njëjtat vlera:
Duke përdorur faktin që faktori konstant mund të hiqet nga shenja e shumës dhe përkufizimi i probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme (2), marrim
Q.E.D.
Deklarata 5. Le X Dhe U– variablat e rastësishëm të përcaktuara në të njëjtën hapësirë të ngjarjeve elementare, A Dhe b- disa numra. Pastaj M(aX+ nga Y)= jam(X)+ bM(Y).
Duke përdorur përkufizimin e pritshmërisë matematikore dhe vetive të simbolit përmbledhës, marrim një zinxhir barazish:
E kërkuara është vërtetuar.
Sa më sipër tregon se si pritshmëria matematikore varet nga kalimi në një pikë tjetër referimi dhe në një njësi tjetër matjeje (tranzicioni Y=aX+b), si dhe për funksionet e ndryshoreve të rastit. Rezultatet e marra përdoren vazhdimisht në analizat teknike dhe ekonomike, në vlerësimin e aktiviteteve financiare dhe ekonomike të një ndërmarrjeje, gjatë kalimit nga një monedhë në tjetrën në llogaritjet ekonomike të huaja, në dokumentacionin rregullator dhe teknik, etj. Rezultatet në shqyrtim lejojnë përdorimi i formulave të njëjta llogaritëse për shkallën dhe zhvendosjen e parametrave të ndryshëm.
| E mëparshme |
– numri i djemve në 10 të porsalindurit.
Është absolutisht e qartë se ky numër nuk dihet paraprakisht, dhe dhjetë fëmijët e ardhshëm të lindur mund të përfshijnë:
Ose djem - një dhe vetëm një nga opsionet e listuara.
Dhe, për të mbajtur në formë, pak edukim fizik:
– distanca e kërcimit të gjatë (në disa njësi).
Edhe një mjeshtër i sportit nuk mund ta parashikojë :)
Megjithatë, hipotezat tuaja?
2) Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme – pranon Të gjitha vlerat numerike nga disa intervale të fundme ose të pafundme.
shënim : V literaturë edukative shkurtesat popullore DSV dhe NSV
Së pari, le të analizojmë ndryshoren diskrete të rastësishme, pastaj - të vazhdueshme.
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
- Kjo korrespondencë ndërmjet vlerave të mundshme të kësaj sasie dhe probabiliteteve të tyre. Më shpesh, ligji shkruhet në një tabelë: 
Termi shfaqet mjaft shpesh rresht
shpërndarja, por në disa situata tingëllon e paqartë dhe kështu do t'i përmbahem "ligjit".
Dhe tani Shumë pikë e rëndësishme
: që nga ndryshorja e rastësishme Domosdoshmërisht do të pranojë një nga vlerat, pastaj formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë dhe shuma e probabiliteteve të ndodhjes së tyre është e barabartë me një:
ose, nëse shkruhet e përmbledhur:
Kështu, për shembull, ligji i shpërndarjes së probabilitetit të pikave të mbështjellë në një mbulesë ka formën e mëposhtme: 
Nuk ka komente.
Ju mund të keni përshtypjen se një ndryshore e rastësishme diskrete mund të marrë vetëm vlera të plota "të mira". Le të shpërndajmë iluzionin - ato mund të jenë çdo gjë:
Shembulli 1
Disa lojëra kanë ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes fituese: 
...me siguri keni ëndërruar për detyra të tilla për një kohë të gjatë :) Unë do t'ju them një sekret - edhe mua. Sidomos pas përfundimit të punës në teoria e fushës.
Zgjidhje: meqenëse një ndryshore e rastësishme mund të marrë vetëm një nga tre vlerat, formohen ngjarjet përkatëse grupi i plotë, që do të thotë se shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me një: 
Ekspozimi i "partizanit": 
– pra, probabiliteti për të fituar njësi konvencionale është 0.4.
Kontrolli: kjo është ajo për të cilën duhej të sigurohenim.
Përgjigju:
Nuk është e pazakontë kur ju duhet të hartoni vetë një ligj shpërndarjeje. Për këtë përdorin përkufizimi klasik i probabilitetit, Teoremat e shumëzimit/shtimit për probabilitetet e ngjarjeve dhe patate të skuqura të tjera tervera:
Shembulli 2
Kutia përmban 50 bileta lotarie, ndër të cilat 12 janë fituese, dhe 2 prej tyre fitojnë 1000 rubla secila, dhe pjesa tjetër - 100 rubla secila. Hartoni një ligj për shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme - madhësia e fitimeve, nëse një biletë nxirret në mënyrë të rastësishme nga kutia.
Zgjidhje: siç e keni vënë re, zakonisht vendosen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme në rend rritës. Prandaj, ne fillojmë me fitimet më të vogla, domethënë rubla.
Gjithsej janë 50 bileta të tilla - 12 = 38, dhe sipas përkufizimi klasik:
– probabiliteti që një biletë e tërhequr rastësisht të jetë humbëse.
Në raste të tjera, gjithçka është e thjeshtë. Probabiliteti për të fituar rubla është:
Kontrolloni: - dhe ky është një moment veçanërisht i këndshëm i detyrave të tilla!
Përgjigju: ligji i dëshiruar i shpërndarjes së fitimeve: 
Detyrën e mëposhtme duhet ta zgjidhni vetë:
Shembulli 3
Probabiliteti që gjuajtësi të godasë objektivin është . Hartoni një ligj të shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme - numrin e goditjeve pas 2 goditjeve.
...E dija qe te kishte marr malli :) Le ta kujtojme teoremat e shumëzimit dhe mbledhjes. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.
Ligji i shpërndarjes përshkruan plotësisht një ndryshore të rastësishme, por në praktikë mund të jetë e dobishme (dhe nganjëherë më e dobishme) të dimë vetëm disa prej saj. karakteristikat numerike .
Pritja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Duke folur në gjuhë të thjeshtë, Kjo vlera mesatare e pritur kur testimi përsëritet shumë herë. Lëreni variablin e rastësishëm të marrë vlera me probabilitete 
përkatësisht. Atëherë pritshmëria matematikore e kësaj ndryshoreje të rastësishme është e barabartë me shuma e produkteve të gjitha vlerat e tij në probabilitetet përkatëse:
ose i shembur: 
Le të llogarisim, për shembull, pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme - numrin e pikave të mbështjellë në një diabet:
Tani le të kujtojmë lojën tonë hipotetike: 
Shtrohet pyetja: a është e dobishme të luash fare këtë lojë? ...kush ka përshtypje? Pra, nuk mund ta thuash "të pamend"! Por kjo pyetje mund të përgjigjet lehtësisht duke llogaritur pritshmërinë matematikore, në thelb - mesatare e ponderuar sipas probabilitetit për të fituar:
Kështu, pritshmëria matematikore e kësaj loje duke humbur.
Mos u besoni përshtypjeve tuaja - besoni numrave!
Po, këtu mund të fitosh 10 apo edhe 20-30 herë radhazi, por në planin afatgjatë na pret një rrënim i pashmangshëm. Dhe unë nuk do t'ju këshilloja të luani lojëra të tilla :) Epo, ndoshta vetëm per qejf.
Nga të gjitha sa më sipër rezulton se pritshmëria matematikore nuk është më një vlerë RANDOM.
Detyrë krijuese për kërkime të pavarura:
Shembulli 4
Z. X luan ruletë evropiane duke përdorur sistemin e mëposhtëm: ai vazhdimisht bast 100 rubla në "të kuqe". Hartoni një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme - fitimet e saj. Llogaritni pritshmërinë matematikore të fitimeve dhe rrumbullakoni atë në kopekun më të afërt. Sa shume mesatare A humbet lojtari për çdo njëqind bast?
Referenca : Ruleta evropiane përmban 18 sektorë të kuq, 18 të zi dhe 1 të gjelbër (“zero”). Nëse shfaqet një "e kuqe", lojtarit i paguhet dyfishi i bastit, përndryshe shkon në të ardhurat e kazinosë
Ka shumë sisteme të tjera ruletë për të cilat mund të krijoni tabelat tuaja të probabilitetit. Por ky është rasti kur nuk kemi nevojë për ligje apo tabela të shpërndarjes, sepse është vërtetuar me siguri se pritshmëria matematikore e lojtarit do të jetë saktësisht e njëjtë. E vetmja gjë që ndryshon nga sistemi në sistem është
Po ngarkohet...