Cili është emri tjetër për numrin pi? Cili është numri PI dhe çfarë do të thotë? Historik i shkurtër i llogaritjeve π

Prezantimi

Artikulli përmban formula matematikore, kështu që për të lexuar, shkoni në sit për t'i shfaqur ato në mënyrë korrekte. Numri \(\pi\) ka një histori të pasur. Kjo konstante tregon raportin e perimetrit të një rrethi me diametrin e tij.

Në shkencë, numri \(\pi \) përdoret në çdo llogaritje që përfshin rrathë. Duke filluar nga vëllimi i një kanaçe me gaz, deri te orbitat e satelitëve. Dhe jo vetëm rrathë. Në të vërtetë, në studimin e vijave të lakuara, numri \(\pi \) ndihmon për të kuptuar sistemet periodike dhe osciluese. Për shembull, valët elektromagnetike dhe madje edhe muzika.

Në vitin 1706, në librin A New Introduction to Mathematics nga shkencëtari britanik William Jones (1675-1749), shkronja e alfabetit grek \(\pi\) u përdor për herë të parë për të përfaqësuar numrin 3.141592. Ky emërtim vjen nga shkronja fillestare e fjalëve greke περιφερεια - rreth, periferi dhe περιµετρoς - perimetër. Emërtimi u pranua përgjithësisht pas punës së Leonhard Euler në 1737.

Periudha gjeometrike

Qëndrueshmëria e raportit të gjatësisë së çdo rrethi me diametrin e tij është vënë re për një kohë të gjatë. Banorët e Mesopotamisë përdorën një përafrim mjaft të përafërt të numrit \(\pi\). Siç del nga problemet e lashta, ata përdorin vlerën \(\pi ≈ 3\) në llogaritjet e tyre.

Një vlerë më e saktë për \(\pi\) është përdorur nga egjiptianët e lashtë. Në Londër dhe Nju Jork, mbahen dy pjesë të papirusit të lashtë egjiptian, të cilat quhen "papirusi Rinda". Papirusi u përpilua nga shkruesi Armes diku midis viteve 2000-1700. BC. Armes shkroi në papirusin e tij se sipërfaqja e një rrethi me rreze \(r\) është e barabartë me sipërfaqen e një katrori me një anë të barabartë me \(\frac(8)(9) \) të diametri i rrethit \(\frac(8)(9) \cdot 2r \), pra \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Prandaj \(\pi = 3,16\).

Matematikani i lashtë grek Arkimedi (287-212 p.e.s.) ishte i pari që vendosi problemin e matjes së një rrethi mbi baza shkencore. Ai mori një rezultat \(3\frac(10) (71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metoda është mjaft e thjeshtë, por në mungesë të tabelave të gatshme të funksioneve trigonometrike, do të kërkohet nxjerrja e rrënjëve. Përveç kësaj, përafrimi konvergon në \(\pi \) shumë ngadalë: me çdo përsëritje gabimi zvogëlohet vetëm katërfish.

Periudha analitike

Përkundër kësaj, deri në mesin e shekullit të 17-të, të gjitha përpjekjet e shkencëtarëve evropianë për të llogaritur numrin \(\pi\) rezultuan në rritjen e anëve të poligonit. Për shembull, matematikani holandez Ludolf van Zeijlen (1540-1610) llogariti vlerën e përafërt të numrit \(\pi\) të saktë në 20 shifra dhjetore.

Iu deshën 10 vjet për të llogaritur. Duke dyfishuar numrin e brinjëve të shumëkëndëshave të brendashkruar dhe të rrethuar duke përdorur metodën e Arkimedit, ai arriti në \(60 \cdot 2^(29) \) - një trekëndësh për të llogaritur \(\pi \) me 20 shifra dhjetore.

Pas vdekjes së tij, 15 shifra të tjera të sakta të numrit \(\pi\) u zbuluan në dorëshkrimet e tij. Ludolf la amanet që shenjat që gjeti të gdhendeshin në gurin e varrit të tij. Për nder të tij, numri \(\pi\) quhej ndonjëherë "numri i Ludolf" ose "konstantja e Ludolf".

Një nga të parët që prezantoi një metodë të ndryshme nga ajo e Arkimedit ishte François Viète (1540-1603). Ai arriti në rezultatin se një rreth, diametri i të cilit është i barabartë me një ka një sipërfaqe:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Nga ana tjetër, zona është \(\frac(\pi)(4)\). Duke zëvendësuar dhe thjeshtuar shprehjen, ne mund të marrim formulën e mëposhtme të produktit të pafund për llogaritjen e vlerës së përafërt të \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Formula që rezulton është shprehja e parë e saktë analitike për numrin \(\pi\). Përveç kësaj formule, Viet, duke përdorur metodën e Arkimedit, dha, duke përdorur shumëkëndësha të brendashkruar dhe të rrethuar, duke filluar me një 6-këndësh dhe duke përfunduar me një shumëkëndësh me anë \(2^(16) \cdot 6 \) një përafrim të numrit \(\pi \) me 9 me shenjat e duhura.

Matematikani anglez William Brounker (1620-1684), duke përdorur thyesën e vazhdueshme, mori rezultatet e mëposhtme për llogaritjen e \(\frac(\pi)(4)\):

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2 ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots))))))) \]

Kjo metodë e llogaritjes së përafrimit të numrit \(\frac(4)(\pi)\) kërkon mjaft llogaritje për të marrë qoftë edhe një përafrim të vogël.

Vlerat e marra si rezultat i zëvendësimit janë ose më të mëdha ose më të vogla se numri \(\pi\), dhe çdo herë ato janë më afër vlerës së vërtetë, por për të marrë vlerën 3.141592 do të jetë e nevojshme të kryeni mjaft të mëdha llogaritjet.

Një tjetër matematikan anglez John Machin (1686-1751) në 1706, për të llogaritur numrin \(\pi\) me 100 shifra dhjetore, përdori formulën e nxjerrë nga Leibniz në 1673 dhe e zbatoi atë si më poshtë:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

Seria konvergon shpejt dhe me ndihmën e saj mund të llogarisni numrin \(\pi \) me saktësi të madhe. Këto lloj formulash janë përdorur për të vendosur disa rekorde gjatë epokës së kompjuterit.

Në shekullin e 17-të me fillimin e periudhës së matematikës me vlerë të ndryshueshme, filloi një fazë e re në llogaritjen e \(\pi\). Matematikani gjerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) në 1673 gjeti një zbërthim të numrit \(\pi\), në përgjithësi mund të shkruhet si seria e mëposhtme e pafundme:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

Seria fitohet duke zëvendësuar x = 1 në \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) – \cdots\)

Leonhard Euler zhvillon idenë e Leibniz-it në veprat e tij mbi përdorimin e serive për arctan x në llogaritjen e numrit \(\pi\). Traktati "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Mbi metodat e ndryshme të shprehjes së katrorit të rrethit me numra të përafërt), i shkruar në 1738, diskuton metodat për përmirësimin e llogaritjeve duke përdorur formulën e Leibniz-it.

Euler shkruan se seria për arktangjenten do të konvergojë më shpejt nëse argumenti tenton në zero. Për \(x = 1\), konvergjenca e serisë është shumë e ngadaltë: për të llogaritur me një saktësi prej 100 shifrash është e nevojshme të shtohen termat \(10^(50)\) të serisë. Ju mund të shpejtoni llogaritjet duke ulur vlerën e argumentit. Nëse marrim \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), atëherë marrim serinë

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdot) \]

Sipas Euler-it, nëse marrim 210 terma të kësaj serie, do të marrim 100 shifra të sakta të numrit. Seria që rezulton është e papërshtatshme sepse është e nevojshme të dihet një vlerë mjaft e saktë e numrit irracional \(\sqrt(3)\). Euler përdori gjithashtu në llogaritjet e tij zgjerimet e arktangjentëve në shumën e arktangentëve të argumenteve më të vegjël:

\[ku x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Jo të gjitha formulat për llogaritjen e \(\pi\) që Euler përdori në fletoret e tij u botuan. Në letrat dhe fletoret e botuara, ai mori në konsideratë 3 seri të ndryshme për llogaritjen e arktangjentes, dhe gjithashtu bëri shumë deklarata në lidhje me numrin e termave të përmbledhur të kërkuara për të marrë një vlerë të përafërt të \(\pi\) me një saktësi të caktuar.

Në vitet pasuese, përmirësimet në vlerën e numrit \(\pi\) ndodhën gjithnjë e më shpejt. Për shembull, në 1794, Georg Vega (1754-1802) tashmë identifikoi 140 shenja, nga të cilat vetëm 136 rezultuan të sakta.

Periudha llogaritëse

Shekulli i 20-të u shënua nga një fazë krejtësisht e re në llogaritjen e numrit \(\pi\). Matematikani indian Srinivasa Ramanujan (1887-1920) zbuloi shumë formula të reja për \(\pi\). Në vitin 1910, ai mori një formulë për llogaritjen e \(\pi\) përmes zgjerimit arktangjent në një seri Taylor:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Në k=100 arrihet një saktësi prej 600 shifrash të sakta të numrit \(\pi\).

Ardhja e kompjuterëve bëri të mundur rritjen e ndjeshme të saktësisë së vlerave të marra në një kohë më të shkurtër. Në vitin 1949, në vetëm 70 orë, duke përdorur ENIAC, një grup shkencëtarësh të udhëhequr nga John von Neumann (1903-1957) morën 2037 shifra dhjetore për numrin \(\pi\). Në 1987, David dhe Gregory Chudnovsky morën një formulë me të cilën ata ishin në gjendje të vendosnin disa rekorde në llogaritjen e \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Çdo anëtar i serisë jep 14 shifra. Në vitin 1989 janë marrë 1.011.196.691 shifra dhjetore. Kjo formulë është e përshtatshme për llogaritjen e \(\pi \) në kompjuterët personalë. Aktualisht, vëllezërit janë profesorë në Institutin Politeknik të Universitetit të Nju Jorkut.

Një zhvillim i rëndësishëm i kohëve të fundit ishte zbulimi i formulës në 1997 nga Simon Plouffe. Kjo ju lejon të nxirrni çdo shifër heksadecimal të numrit \(\pi\) pa llogaritur ato të mëparshme. Formula quhet "Formula Bailey-Borwain-Plouffe" për nder të autorëve të artikullit ku formula u botua për herë të parë. Duket kështu:

\[\pi = \sum\ limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

Në vitin 2006, Simon, duke përdorur PSLQ, doli me disa formula të bukura për llogaritjen e \(\pi\). Për shembull,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\ limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

ku \(q = e^(\pi)\). Në vitin 2009, shkencëtarët japonezë, duke përdorur superkompjuterin T2K Tsukuba System, morën numrin \(\pi\) me 2,576,980,377,524 shifra dhjetore. Llogaritjet zgjatën 73 orë 36 minuta. Kompjuteri ishte i pajisur me 640 procesorë AMD Opteron me katër bërthama, të cilët siguronin performancë prej 95 trilion operacionesh në sekondë.

Arritja e radhës në llogaritjen e \(\pi\) i përket programuesit francez Fabrice Bellard, i cili në fund të vitit 2009, në kompjuterin e tij personal që përdor Fedora 10, vendosi një rekord duke llogaritur 2,699,999,990,000 shifra dhjetore të numrit \(\pi\. ). Gjatë 14 viteve të fundit, ky është rekordi i parë botëror që u vendos pa përdorur një superkompjuter. Për performancë të lartë, Fabrice përdori formulën e vëllezërve Chudnovsky. Në total, llogaritja zgjati 131 ditë (103 ditë llogaritje dhe 13 ditë verifikim të rezultatit). Arritja e Bellar tregoi se llogaritjet e tilla nuk kërkojnë një superkompjuter.

Vetëm gjashtë muaj më vonë, rekordi i Francois u thye nga inxhinierët Alexander Yi dhe Singer Kondo. Për të vendosur një rekord prej 5 trilion numrash dhjetorë të \(\pi\), u përdor gjithashtu një kompjuter personal, por me karakteristika më mbresëlënëse: dy procesorë Intel Xeon X5680 në 3.33 GHz, 96 GB RAM, 38 TB memorie diskut dhe sistemi operativ Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Për llogaritjet, Alexander dhe Singer përdorën formulën e vëllezërve Chudnovsky. Procesi i llogaritjes zgjati 90 ditë dhe 22 TB hapësirë ​​në disk. Në vitin 2011, ata vendosën një tjetër rekord duke llogaritur 10 trilion shifra dhjetore për numrin \(\pi\). Llogaritjet u bënë në të njëjtin kompjuter në të cilin ishte vendosur rekordi i tyre i mëparshëm dhe zgjatën gjithsej 371 ditë. Në fund të vitit 2013, Alexander dhe Singerou përmirësuan rekordin në 12.1 trilion shifra të numrit \(\pi\), të cilit iu deshën vetëm 94 ditë për të llogaritur. Ky përmirësim i performancës arrihet duke optimizuar performancën e softuerit, duke rritur numrin e bërthamave të procesorit dhe duke përmirësuar ndjeshëm tolerancën ndaj gabimeve të softuerit.

Rekordi aktual është ai i Alexander Yee dhe Singer Kondo, i cili është 12.1 trilion vende dhjetore \(\pi\).

Kështu, ne shikuam metodat për llogaritjen e numrit \(\pi\) të përdorura në kohët e lashta, metodat analitike, si dhe shikuam metodat moderne dhe të dhënat për llogaritjen e numrit \(\pi\) në kompjuterë.

Lista e burimeve

1. Zhukov A.V. Numri i kudondodhur Pi - M.: Shtëpia botuese LKI, 2007 - 216 f.
2. F.Rudio. Mbi katrorimin e rrethit, me aplikimin e një historiku të numrit të hartuar nga F. Rudio. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP BRSS, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270 f.
4. Shukhman, E.V. Llogaritja e përafërt e Pi duke përdorur serinë për arctan x në veprat e botuara dhe të pabotuara të Leonhard Euler / E.V. Shukhman. – Historia e shkencës dhe teknologjisë, 2008 – nr.4. – F. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vëll.9 – 222-236f.
6. Shumikhin, S. Numri Pi. Një histori 4000 vjeçare / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 f.
7. Borwein, J.M. Ramanujan dhe numri Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Në botën e shkencës. 1988 – Nr. 4. – fq 58-66.
8. Alex Yee. Bota e numrave. Mënyra e hyrjes: numberworld.org

Të pëlqyer?

tregoni

Pi është një nga konceptet më të njohura matematikore. Për të shkruhen foto, bëhen filma, luhet në vegla muzikore, i kushtohen poezi dhe festa, kërkohet dhe gjendet në tekste të shenjta.

Kush e zbuloi pi?

Kush dhe kur e zbuloi për herë të parë numrin π mbetet ende një mister. Dihet se ndërtuesit e Babilonisë së lashtë tashmë e kanë përdorur plotësisht atë në hartimin e tyre. Pllakat kuneiforme që janë mijëra vjet të vjetra madje ruajnë problemet që u propozuan të zgjidheshin duke përdorur π. Vërtetë, atëherë besohej se π ishte e barabartë me tre. Kjo dëshmohet nga një tabletë e gjetur në qytetin e Suzës, dyqind kilometra larg Babilonisë, ku numri π tregohej si 3 1/8.

Në procesin e llogaritjes së π, babilonasit zbuluan se rrezja e një rrethi si akord hyn në të gjashtë herë, dhe e ndanë rrethin në 360 gradë. Dhe në të njëjtën kohë ata bënë të njëjtën gjë me orbitën e diellit. Kështu, ata vendosën të konsiderojnë se ka 360 ditë në vit.

Në Egjiptin e Lashtë, π ishte e barabartë me 3.16.
Në Indinë e lashtë - 3088.
Në Itali në fillim të epokës, besohej se π ishte e barabartë me 3.125.

Në Antikitet, përmendja më e hershme e π i referohet problemit të famshëm të katrorit të rrethit, domethënë pamundësisë së përdorimit të një busull dhe vizore për të ndërtuar një shesh, sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një rrethi të caktuar. Arkimedi barazoi π me thyesën 22/7.

Njerëzit më të afërt me vlerën e saktë të π erdhën në Kinë. Është llogaritur në shekullin e V pas Krishtit. e. astronomi i famshëm kinez Tzu Chun Zhi. π u llogarit mjaft thjesht. Ishte e nevojshme të shkruheshin dy herë numrat tek: 11 33 55, dhe më pas, duke i ndarë në gjysmë, të vendosnin të parin në emëruesin e thyesës dhe të dytin në numërues: 355/113. Rezultati përputhet me llogaritjet moderne të π deri në shifrën e shtatë.

Pse π – π?

Tani edhe nxënësit e shkollës e dinë se numri π është një konstante matematikore e barabartë me raportin e perimetrit të një rrethi me gjatësinë e diametrit të tij dhe është i barabartë me π 3.1415926535 ... dhe pastaj pas pikës dhjetore - në pafundësi.

Numri fitoi përcaktimin e tij π në një mënyrë komplekse: së pari, në vitin 1647, matematikani Outrade përdori këtë shkronjë greke për të përshkruar gjatësinë e një rrethi. Ai mori shkronjën e parë të fjalës greke περιφέρεια - "periferi". Në 1706, mësuesi i anglishtes William Jones në veprën e tij "Rishikimi i arritjeve të matematikës" e quajti tashmë raportin e perimetrit të një rrethi me diametrin e tij me shkronjën π. Dhe emri u çimentua nga matematikani i shekullit të 18-të Leonard Euler, para autoritetit të të cilit pjesa tjetër përkuli kokën. Pra, π u bë π.

Unike e numrit

Pi është një numër vërtet unik.

1. Shkencëtarët besojnë se numri i shifrave në numrin π është i pafund. Sekuenca e tyre nuk përsëritet. Për më tepër, askush nuk do të jetë në gjendje të gjejë përsëritje. Meqenëse numri është i pafund, ai mund të përmbajë absolutisht gjithçka, madje edhe një simfoni të Rachmaninoff-it, Testamentin e Vjetër, numrin tuaj të telefonit dhe vitin në të cilin do të ndodhë Apokalipsi.

2. π lidhet me teorinë e kaosit. Shkencëtarët arritën në këtë përfundim pasi krijuan programin kompjuterik të Bailey, i cili tregoi se sekuenca e numrave në π është absolutisht e rastësishme, gjë që është në përputhje me teorinë.

3. Është pothuajse e pamundur të llogaritet numri plotësisht - do të duhej shumë kohë.

4. π është një numër irracional, domethënë vlera e tij nuk mund të shprehet si thyesë.

5. π – numër transcendental. Nuk mund të merret duke kryer ndonjë operacion algjebrik në numra të plotë.

6. Tridhjetë e nëntë shifra dhjetore në numrin π janë të mjaftueshme për të llogaritur gjatësinë e rrethit që rrethon objektet e njohura kozmike në Univers, me një gabim të rrezes së një atomi hidrogjeni.

7. Numri π lidhet me konceptin e "raportit të artë". Në procesin e matjes së Piramidës së Madhe të Gizës, arkeologët zbuluan se lartësia e saj lidhet me gjatësinë e bazës së saj, ashtu si rrezja e një rrethi lidhet me gjatësinë e saj.

Regjistrime në lidhje me π

Në vitin 2010, matematikani i Yahoo-së, Nicholas Zhe, ishte në gjendje të llogariste dy kuadrilion vende dhjetore (2x10) në numrin π. U deshën 23 ditë dhe matematikani kishte nevojë për shumë asistentë që punonin në mijëra kompjuterë, të bashkuar duke përdorur teknologjinë e shpërndarë informatikë. Metoda bëri të mundur kryerjen e llogaritjeve me një shpejtësi kaq fenomenale. Për të llogaritur të njëjtën gjë në një kompjuter të vetëm do të duheshin më shumë se 500 vjet.

Për t'i shkruar thjesht të gjitha këto në letër, do t'ju duhet një shirit letre i gjatë më shumë se dy miliardë kilometra. Nëse zgjeroni një rekord të tillë, fundi i tij do të shkojë përtej sistemit diellor.

Kinez Liu Chao vendosi një rekord për memorizimin e sekuencës së shifrave të numrit π. Brenda 24 orëve e 4 minutave, Liu Chao tha 67,890 shifra dhjetore pa bërë asnjë gabim të vetëm.

π ka shumë fansa. Luhet në instrumente muzikore dhe rezulton se "tingëllon" shkëlqyeshëm. Ata e mbajnë mend atë dhe vijnë me teknika të ndryshme për këtë. Për argëtim, ata e shkarkojnë atë në kompjuterin e tyre dhe mburren me njëri-tjetrin se kush ka shkarkuar më shumë. Atij i ngrihen monumente. Për shembull, ekziston një monument i tillë në Seattle. Ndodhet në shkallët përballë Muzeut të Artit.

π përdoret në dekorime dhe dizajn të brendshëm. Atij i kushtohen poezi, ai kërkohet në librat e shenjtë dhe në gërmime. Ekziston edhe një "Klub π".
Në traditat më të mira të π, jo një, por dy ditë të tëra në vit i kushtohen numrit! Hera e parë që festohet Dita π është 14 Marsi. Ju duhet të përgëzoni njëri-tjetrin saktësisht në 1 orë, 59 minuta, 26 sekonda. Kështu, data dhe ora korrespondojnë me shifrat e para të numrit - 3.1415926.

Për herë të dytë, festa π festohet më 22 korrik. Kjo ditë shoqërohet me të ashtuquajturën "π të përafërt", të cilën Arkimedi e shkroi si një fraksion.
Zakonisht në këtë ditë, studentët, nxënësit e shkollës dhe shkencëtarët organizojnë flash mobe dhe aksione qesharake. Matematikanët, duke u argëtuar, përdorin π për të llogaritur ligjet e një sanduiçi që bie dhe i japin njëri-tjetrit shpërblime komike.
Dhe meqë ra fjala, π në fakt mund të gjendet në librat e shenjtë. Për shembull, në Bibël. Dhe atje numri π është i barabartë me... tre.

Me çfarë është e barabartë Pi? e dimë dhe e mbajmë mend nga shkolla. Është e barabartë me 3,1415926 e kështu me radhë... Një person i zakonshëm mjafton të dijë se ky numër fitohet duke pjesëtuar perimetrin e një rrethi me diametrin e tij. Por shumë njerëz e dinë se numri Pi shfaqet në fusha të papritura jo vetëm të matematikës dhe gjeometrisë, por edhe në fizikë. Epo, nëse thelloheni në detajet e natyrës së këtij numri, do të vini re shumë gjëra befasuese midis serive të pafundme të numrave. A është e mundur që Pi fsheh sekretet më të thella të universit?

Numër i pafund

Vetë numri Pi shfaqet në botën tonë si gjatësia e një rrethi, diametri i të cilit është i barabartë me një. Por, pavarësisht se segmenti i barabartë me Pi është mjaft i fundëm, numri Pi fillon si 3.1415926 dhe shkon në pafundësi në rreshtat e numrave që nuk përsëriten kurrë. Fakti i parë befasues është se ky numër, i përdorur në gjeometri, nuk mund të shprehet si një pjesë e numrave të plotë. Me fjalë të tjera, nuk mund ta shkruani atë si raport i dy numrave a/b. Për më tepër, numri Pi është transcendental. Kjo do të thotë se nuk ka ekuacion (polinom) me koeficientë të plotë, zgjidhja e të cilit do të ishte numri Pi.

Fakti që numri Pi është transcendental u vërtetua në 1882 nga matematikani gjerman von Lindemann. Ishte kjo provë që u bë përgjigja e pyetjes nëse është e mundur, duke përdorur një busull dhe një vizore, të vizatoni një katror, ​​zona e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një rrethi të caktuar. Ky problem njihet si kërkimi për katrorizimin e një rrethi, i cili e ka shqetësuar njerëzimin që nga kohërat e lashta. Dukej se ky problem kishte një zgjidhje të thjeshtë dhe ishte gati të zgjidhej. Por ishte pikërisht vetia e pakuptueshme e numrit Pi që tregoi se problemi i katrorit të rrethit nuk kishte zgjidhje.

Për të paktën katër mijëvjeçarë e gjysmë, njerëzimi është përpjekur të marrë një vlerë gjithnjë e më të saktë për Pi. Për shembull, në Bibël në Librin e Tretë të Mbretërve (7:23), numri Pi merret si 3.

Vlera Pi e saktësisë së jashtëzakonshme mund të gjendet në piramidat e Gizës: raporti i perimetrit dhe lartësisë së piramidave është 22/7. Ky fraksion jep një vlerë të përafërt të Pi të barabartë me 3,142... Përveç nëse, sigurisht, egjiptianët nuk e vendosin këtë raport rastësisht. E njëjta vlerë është marrë tashmë në lidhje me llogaritjen e numrit Pi në shekullin III para Krishtit nga Arkimedi i madh.

Në Papirusin e Ahmes, një libër i lashtë egjiptian i matematikës që daton në 1650 para Krishtit, Pi llogaritet si 3.160493827.

Në tekstet e lashta indiane rreth shekullit të 9-të para Krishtit, vlera më e saktë shprehej me numrin 339/108, i cili ishte i barabartë me 3,1388...

Për gati dy mijë vjet pas Arkimedit, njerëzit u përpoqën të gjenin mënyra për të llogaritur Pi. Midis tyre ishin matematikanë të famshëm dhe të panjohur. Për shembull, arkitekti romak Marcus Vitruvius Pollio, astronomi egjiptian Claudius Ptolemy, matematikani kinez Liu Hui, i urti indian Aryabhata, matematikani mesjetar Leonardo i Pizës, i njohur si Fibonacci, shkencëtari arab Al-Khwarizmi, nga emri i të cilit është fjala. u shfaq "algoritmi". Të gjithë ata dhe shumë njerëz të tjerë po kërkonin metodat më të sakta për llogaritjen e Pi-së, por deri në shekullin e 15-të ata kurrë nuk morën më shumë se 10 shifra dhjetore për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve.

Më në fund, në vitin 1400, matematikani indian Madhava nga Sangamagram llogariti Pi me një saktësi prej 13 shifrash (edhe pse ai ishte ende i gabuar në dy të fundit).

Numri i shenjave

Në shekullin e 17-të, Leibniz dhe Njutoni zbuluan analizën e sasive infiniteminale, e cila bëri të mundur llogaritjen e Pi në mënyrë më progresive - përmes serive të fuqisë dhe integraleve. Vetë Njutoni llogariti 16 shifra dhjetore, por nuk e përmendi atë në librat e tij - kjo u bë e ditur pas vdekjes së tij. Njutoni pohoi se ai e llogariti Pi thjesht nga mërzia.

Në të njëjtën kohë, matematikanë të tjerë më pak të njohur dolën gjithashtu dhe propozuan formula të reja për llogaritjen e numrit Pi përmes funksioneve trigonometrike.

Për shembull, kjo është formula e përdorur për të llogaritur Pi nga mësuesi i astronomisë John Machin në 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Duke përdorur metoda analitike, Machin nxori numrin Pi në njëqind shifra dhjetore nga kjo formulë.

Nga rruga, në të njëjtin 1706, numri Pi mori një përcaktim zyrtar në formën e një letre greke: William Jones e përdori atë në punën e tij në matematikë, duke marrë shkronjën e parë të fjalës greke "periferi", që do të thotë "rreth". .” I madhi Leonhard Euler, i lindur në 1707, e popullarizoi këtë emërtim, tani të njohur për çdo nxënës shkolle.

Përpara epokës së kompjuterëve, matematikanët fokusoheshin në llogaritjen e sa më shumë shenjave. Në këtë drejtim, ndonjëherë lindnin gjëra qesharake. Matematikani amator W. Shanks llogariti 707 shifra të Pi në 1875. Këto shtatëqind shenja u përjetësuan në murin e Palais des Discoverys në Paris në 1937. Megjithatë, nëntë vjet më vonë, matematikanët vëzhgues zbuluan se vetëm 527 karakteret e para ishin llogaritur saktë. Muzeut iu desh të bënte shpenzime të konsiderueshme për të korrigjuar gabimin - tani të gjitha shifrat janë të sakta.

Kur u shfaqën kompjuterët, numri i shifrave të Pi filloi të llogaritet me urdhra krejtësisht të paimagjinueshëm.

Një nga kompjuterët e parë elektronikë, ENIAC, i krijuar në vitin 1946, ishte i madh në përmasa dhe gjeneroi aq shumë nxehtësi sa dhoma u ngroh deri në 50 gradë Celsius, llogaritur 2037 shifrat e para të Pi. Kjo llogaritje i mori makinës 70 orë.

Ndërsa kompjuterët përmirësoheshin, njohuritë tona për Pi u zhvendosën gjithnjë e më tej në pafundësi. Në vitin 1958 u llogaritën 10 mijë shifra të numrit. Në vitin 1987, japonezët llogaritën 10,013,395 karaktere. Në vitin 2011, studiuesi japonez Shigeru Hondo kaloi shifrën prej 10 trilion karakteresh.

Ku tjetër mund të takoni Pi?

Pra, shpesh njohuritë tona për numrin Pi mbeten në nivelin e shkollës, dhe ne e dimë me siguri se ky numër është i pazëvendësueshëm kryesisht në gjeometri.

Përveç formulave për gjatësinë dhe sipërfaqen e një rrethi, numri Pi përdoret në formulat për elips, sfera, kone, cilindra, elipsoidë etj.: në disa vende formulat janë të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend, por në të tjerat përmbajnë integrale shumë komplekse.

Atëherë mund të takojmë numrin Pi në formula matematikore, ku gjeometria nuk është e dukshme në shikim të parë. Për shembull, integrali i pacaktuar i 1/(1-x^2) është i barabartë me Pi.

Pi përdoret shpesh në analizën e serive. Për shembull, këtu është një seri e thjeshtë që konvergon në Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Ndër seritë, Pi shfaqet më e papritur në funksionin e famshëm Zeta Riemann. Është e pamundur të flasim për këtë me pak fjalë, le të themi se një ditë numri Pi do të ndihmojë në gjetjen e një formule për llogaritjen e numrave të thjeshtë.

Dhe absolutisht çuditërisht: Pi shfaqet në dy nga formulat më të bukura "mbretërore" të matematikës - formula e Stirling (e cila ndihmon për të gjetur vlerën e përafërt të funksionit faktorial dhe gama) dhe formulën e Euler (që lidh deri në pesë konstante matematikore).

Megjithatë, zbulimi më i papritur i priste matematikanët në teorinë e probabilitetit. Numri Pi është gjithashtu aty.

Për shembull, probabiliteti që dy numra të jenë relativisht të thjeshtë është 6/PI^2.

Pi shfaqet në problemin e hedhjes së gjilpërave të Buffon-it, i formuluar në shekullin e 18-të: sa është probabiliteti që një gjilpërë e hedhur në një copë letre të rreshtuar të kalojë njërën prej vijave. Nëse gjatësia e gjilpërës është L, dhe distanca midis vijave është L, dhe r > L, atëherë mund të llogarisim përafërsisht vlerën e Pi duke përdorur formulën e probabilitetit 2L/rPI. Vetëm imagjinoni - ne mund të marrim Pi nga ngjarje të rastësishme. Dhe nga rruga, Pi është i pranishëm në shpërndarjen normale të probabilitetit, shfaqet në ekuacionin e kurbës së famshme Gaussian. A do të thotë kjo se Pi është edhe më themelor sesa thjesht raporti i perimetrit me diametrin?

Pinë mund ta takojmë edhe në fizikë. Pi shfaqet në ligjin e Kulombit, i cili përshkruan forcën e bashkëveprimit midis dy ngarkesave, në ligjin e tretë të Keplerit, i cili tregon periudhën e rrotullimit të një planeti rreth Diellit, madje shfaqet në renditjen e orbitaleve elektronike të atomit të hidrogjenit. Dhe ajo që është përsëri më e pabesueshme është se numri Pi është i fshehur në formulën e parimit të pasigurisë së Heisenberg - ligji themelor i fizikës kuantike.

Sekretet e Pi

Në romanin Kontakt të Carl Sagan, mbi të cilin bazohet filmi me të njëjtin emër, alienët i thonë heroinës se midis shenjave të Pi ka një mesazh sekret nga Zoti. Nga një pozicion i caktuar, numrat në numër pushojnë së qeni të rastësishëm dhe përfaqësojnë një kod në të cilin janë shkruar të gjitha sekretet e Universit.

Ky roman në fakt pasqyroi një mister që ka pushtuar mendjet e matematikanëve në mbarë botën: a është Pi një numër normal në të cilin shifrat shpërndahen me frekuencë të barabartë, apo ka diçka që nuk shkon me këtë numër? Dhe megjithëse shkencëtarët janë të prirur për opsionin e parë (por nuk mund ta vërtetojnë atë), numri Pi duket shumë misterioz. Një burrë japonez llogariti një herë sa herë numrat 0 deri në 9 ndodhin në trilion shifrat e para të Pi. Dhe pashë që numrat 2, 4 dhe 8 ishin më të zakonshëm se të tjerët. Kjo mund të jetë një nga sugjerimet se Pi nuk është plotësisht normal dhe numrat në të nuk janë vërtet të rastësishëm.

Le të kujtojmë gjithçka që lexuam më lart dhe të pyesim veten, cili numër tjetër irracional dhe transcendental gjendet kaq shpesh në botën reale?

Dhe ka më shumë çudira në dyqan. Për shembull, shuma e njëzet shifrave të para të Pi është 20, dhe shuma e 144 shifrave të para është e barabartë me "numrin e bishës" 666.

Personazhi kryesor i serialit televiziv amerikan "I dyshuari", profesor Finch, u tha studentëve se për shkak të pafundësisë së numrit Pi, në të mund të gjendet çdo kombinim numrash, duke filluar nga numrat e datës suaj të lindjes deri te numrat më kompleksë. . Për shembull, në pozicionin 762 ka një sekuencë prej gjashtë nëntësh. Ky pozicion quhet pika Feynman sipas fizikanit të famshëm që vuri re këtë kombinim interesant.

Ne gjithashtu e dimë se numri Pi përmban sekuencën 0123456789, por ndodhet në shifrën 17,387,594,880.

E gjithë kjo do të thotë se në pafundësinë e numrit Pi mund të gjesh jo vetëm kombinime interesante numrash, por edhe tekstin e koduar të "Luftës dhe Paqes", Biblën dhe madje edhe Sekretin Kryesor të Universit, nëse ekziston.

Meqë ra fjala, për Biblën. Popullarizuesi i famshëm i matematikës, Martin Gardner, deklaroi në vitin 1966 se shifra e miliontë e Pi (në atë kohë ende e panjohur) do të ishte numri 5. Ai shpjegoi llogaritjet e tij me faktin se në versionin anglisht të Biblës, në 3. libër, kapitulli 14, vargu 16 (3-14-16) fjala e shtatë përmban pesë shkronja. Shifra e miliontë u arrit tetë vjet më vonë. Ishte numri pesë.

A ia vlen të pohohet pas kësaj se numri Pi është i rastësishëm?

Për llogaritjen e çdo numri të madh të shenjave të pi, metoda e mëparshme nuk është më e përshtatshme. Por ka një numër të madh sekuencash që konvergojnë në Pi shumë më shpejt. Le të përdorim, për shembull, formulën e Gausit:

Vërtetimi i kësaj formule nuk është i vështirë, kështu që ne do ta heqim atë.

Kodi burimor i programit, duke përfshirë "aritmetikën e gjatë"

Programi llogarit NbDigits të shifrave të para të Pi. Funksioni për llogaritjen e arktanit quhet arccot, pasi arctan(1/p) = arccot(p), por llogaritja kryhet sipas formulës Taylor posaçërisht për arktangjentin, përkatësisht arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - .. x=1/p, që do të thotë arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Llogaritjet ndodhin në mënyrë rekursive: elementi i mëparshëm i shumës ndahet dhe jep tjetri.