Si të kontrolloni barazinë e një funksioni. Funksionet çift dhe tek. Edhe Shembuj Funksioni

. Për ta bërë këtë, përdorni letër grafik ose një kalkulator grafik. Zgjidhni çdo numër vlerash të ndryshoreve të pavarura x (\displaystyle x) dhe futini ato në funksion për të llogaritur vlerat e ndryshores së varur y (\displaystyle y). Vizatoni koordinatat e gjetura të pikave në plan koordinativ, dhe më pas lidhni këto pika për të grafikuar funksionin.

Zëvendësoni ato pozitive në funksion vlerat numerike x (\displaystyle x) dhe vlerat numerike negative përkatëse. Për shembull, duke pasur parasysh funksionin f (x) = 2 x 2 + 1 (\stil ekrani f(x)=2x^(2)+1). Zëvendësoni vlerat e mëposhtme në të x (\displaystyle x):

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me boshtin Y. Simetri nënkupton një imazh pasqyrë të grafikut në lidhje me boshtin e ordinatave. Nëse pjesa e grafikut në të djathtë të boshtit Y (vlerat pozitive të ndryshores së pavarur) është e njëjtë me pjesën e grafikut në të majtë të boshtit Y (vlerat negative të ndryshores së pavarur ), grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Y. Nëse funksioni është simetrik në lidhje me boshtin y, funksioni është çift.

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit është simetrik me origjinën. Origjina është pika me koordinata (0,0). Simetria rreth origjinës do të thotë se një vlerë pozitive y (\displaystyle y)(me vlerë pozitive x (\displaystyle x)) korrespondon me një vlerë negative y (\displaystyle y)(me vlerë negative x (\displaystyle x)), dhe anasjelltas. Funksionet teke kanë simetri rreth origjinës.

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit ka ndonjë simetri. Lloji i fundit i funksionit është një funksion, grafiku i të cilit nuk ka simetri, domethënë, nuk ka imazh pasqyrë si në lidhje me boshtin e ordinatave ashtu edhe në lidhje me origjinën. Për shembull, duke pasur parasysh funksionin .

Zëvendësoni disa vlera pozitive dhe negative përkatëse në funksion x (\displaystyle x):
Sipas rezultateve të marra, nuk ka simetri. Vlerat y (\displaystyle y) për vlera të kundërta x (\displaystyle x) nuk përkojnë dhe nuk janë të kundërta. Kështu funksioni nuk është as çift dhe as tek.
Ju lutemi vini re se funksioni f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) mund të shkruhet kështu: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Kur shkruhet në këtë formë, funksioni shfaqet edhe sepse ka një eksponent çift. Por ky shembull dëshmon se lloji i funksionit nuk mund të përcaktohet shpejt nëse ndryshorja e pavarur është e mbyllur në kllapa. Në këtë rast, duhet të hapni kllapat dhe të analizoni eksponentët e marrë.

Të cilat ishin të njohura për ju në një shkallë ose në një tjetër. Aty u vu re gjithashtu se stoku i pronave të funksionit do të rimbushet gradualisht. Dy prona të reja do të diskutohen në këtë seksion.

Përkufizimi 1.

Funksioni y = f(x), x є X, thirret edhe nëse për ndonjë vlerë x nga bashkësia X vlen barazia f (-x) = f (x).

Përkufizimi 2.

Funksioni y = f(x), x є X, quhet tek nëse për ndonjë vlerë x nga bashkësia X vlen barazia f (-x) = -f (x).

Vërtetoni se y = x 4 është një funksion çift.

Zgjidhje. Kemi: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Por (-x) 4 = x 4. Kjo do të thotë se për çdo x vlen barazia f(-x) = f(x), d.m.th. funksioni është i barabartë.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohet se funksionet y - x 2, y = x 6, y - x 8 janë çift.

Vërtetoni se y = x 3 ~ një funksion tek.

Zgjidhje. Kemi: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Por (-x) 3 = -x 3. Kjo do të thotë se për çdo x vlen barazia f (-x) = -f (x), d.m.th. funksioni është tek.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohet se funksionet y = x, y = x 5, y = x 7 janë tek.

Ju dhe unë tashmë jemi bindur më shumë se një herë se termat e rinj në matematikë më së shpeshti kanë një origjinë "tokësore", d.m.th. ato mund të shpjegohen disi. Ky është rasti me funksionet çift dhe tek. Shih: y - x 3, y = x 5, y = x 7 janë funksione tek, ndërsa y = x 2, y = x 4, y = x 6 janë funksione çift. Dhe në përgjithësi, për çdo funksion të formës y = x" (më poshtë do t'i studiojmë në mënyrë specifike këto funksione), ku n është një numër natyror, mund të konkludojmë: nëse n është një numër tek, atëherë funksioni y = x" është tek; nëse n është numër çift, atëherë funksioni y = xn është çift.

Ka edhe funksione që nuk janë as çift e as tek. I tillë, për shembull, është funksioni y = 2x + 3. Në të vërtetë, f(1) = 5, dhe f (-1) = 1. Siç mund ta shihni, këtu, pra, as identiteti f(-x) = f ( x), as identitetin f(-x) = -f(x).

Pra, një funksion mund të jetë çift, tek ose asnjëra.

Studimi i pyetjes nëse funksioni i dhënëçift ose tek zakonisht quhet studimi i një funksioni për barazi.

Përkufizimet 1 dhe 2 i referohen vlerave të funksionit në pikat x dhe -x. Kjo supozon se funksioni është përcaktuar si në pikën x ashtu edhe në pikën -x. Kjo do të thotë se pika -x i përket fushës së përcaktimit të funksionit njëkohësisht me pikën x. Nëse një bashkësi numerike X, së bashku me secilin element të tij x, përmban edhe elementin e kundërt -x, atëherë X quhet bashkësi simetrike. Le të themi, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) janë bashkësi simetrike, ndërsa \).

Meqenëse \(x^2\geqslant 0\) , atëherë ana e majtë e ekuacionit (*) është më e madhe ose e barabartë me \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Kështu, barazia (*) mund të jetë e vërtetë vetëm kur të dyja anët e ekuacionit janë të barabarta me \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Dhe kjo do të thotë se \[\fillimi(rastet) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(rastet) \quad\Shigjeta e majta e djathta\katër \fillimi(rastet) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \fund(rastet)\katër\Shigjeta e majta djathtas\katër x=0\] Prandaj, vlera \(a=-\mathrm(tg)\,1\) na përshtatet.

Përgjigje:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Detyra 2 #3923

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave grafiku i funksionit \

simetrike për origjinën.

Nëse grafiku i një funksioni është simetrik në lidhje me origjinën, atëherë një funksion i tillë është tek, domethënë \(f(-x)=-f(x)\) vlen për çdo \(x\) nga domeni të përcaktimit të funksionit. Kështu, kërkohet të gjenden ato vlera të parametrave për të cilat \(f(-x)=-f(x).\)

\[\fillim(i rreshtuar) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\majtas(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\djathtas)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightshigjeta \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\djathtas)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \fund (lidhur)\]

Ekuacioni i fundit duhet të plotësohet për të gjithë \(x\) nga domeni i \(f(x)\), prandaj, \(\sin(2\pi a)=0 \Djathtas a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Përgjigje:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Detyra 3 #3069

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave ekuacioni \ ka 4 zgjidhje, ku \(f\) është një funksion i barabartë periodik me periudhë \(T=\dfrac(16)3\) të përcaktuara në të gjithë rreshtin numerik , dhe \(f(x)=ax^2\) për \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Detyrë nga abonentët)

Meqenëse \(f(x)\) është një funksion çift, grafiku i tij është simetrik rreth boshtit të ordinatave, prandaj, kur \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Kështu, kur \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), dhe ky është një segment me gjatësi \(\dfrac(16)3\) , funksion \(f(x)=ax^2\) .

1) Le të \(a>0\) . Atëherë grafiku i funksionit \(f(x)\) do të duket kështu:

Pastaj, në mënyrë që ekuacioni të ketë 4 zgjidhje, është e nevojshme që grafiku \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) të kalojë në pikën \(A\) :

Prandaj, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Shigjeta majtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\fund(lidhur)\fund(mbledhur)\djathtas. \quad\Shigjeta djathtas\katër \majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(i rreshtuar) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(i rreshtuar) \end( mbledhur)\ drejtë.\] Meqenëse \(a>0\) , atëherë \(a=\dfrac(18)(23)\) është i përshtatshëm.

2) Le të \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Është e nevojshme që grafiku \(g(x)\) të kalojë nëpër pikën \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \majtas[\begin(mbled)\begin(linjëzuar) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end (lidhur) \end (mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Rasti kur \(a=0\) nuk është i përshtatshëm, që atëherë \(f(x)=0\) për të gjitha \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) dhe ekuacioni do të ketë vetëm 1 rrënjë.

Përgjigje:

\(a\në \majtas\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\djathtas\)\)

Detyra 4 #3072

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e \(a\) , për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka të paktën një rrënjë.

(Detyrë nga abonentët)

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) dhe \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funksioni \(g(x)\) është çift dhe ka një pikë minimale \(x=0\) (dhe \(g(0)=49\) ).
Funksioni \(f(x)\) për \(x>0\) është në rënie, dhe për \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Në të vërtetë, kur \(x>0\) moduli i dytë do të hapet pozitivisht (\(|x|=x\) ), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i parë, \(f(x)\) do të jetë i barabartë në \( kx+A\) , ku \(A\) është shprehja e \(a\) dhe \(k\) është e barabartë me \(-9\) ose \(-3\) . Kur \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Le të gjejmë vlerën e \(f\) në pikën maksimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve \(f\) dhe \(g\) të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ \\]

Përgjigje:

\(a\në \(-7\)\kupë\)

Detyra 5 #3912

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka gjashtë zgjidhje të ndryshme.

Le të bëjmë zëvendësimin \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Atëherë ekuacioni do të marrë formën \ Ne gradualisht do të shkruajmë kushtet në të cilat ekuacioni origjinal do të ketë gjashtë zgjidhje.
Vini re se ekuacioni kuadratik \((*)\) mund të ketë maksimum dy zgjidhje. Çdo ekuacion kub \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) mund të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Prandaj, nëse ekuacioni \((*)\) ka dy zgjidhje të ndryshme (pozitive!, pasi \(t\) duhet të jetë më i madh se zero) \(t_1\) dhe \(t_2\) , atëherë, duke bërë të kundërtën zëvendësim, marrim: \[\majtas[\fillimi(i mbledhur)\fillimi(lidhur) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\fund (lidhur)\fund (i mbledhur)\djathtas.\] Meqenëse çdo numër pozitiv mund të përfaqësohet si \(\sqrt2\) në një farë mase, për shembull, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atëherë ekuacioni i parë i grupit do të rishkruhet në formë \ Siç kemi thënë tashmë, çdo ekuacion kub nuk ka më shumë se tre zgjidhje, prandaj, çdo ekuacion në grup do të ketë jo më shumë se tre zgjidhje. Kjo do të thotë që i gjithë grupi nuk do të ketë më shumë se gjashtë zgjidhje.
Kjo do të thotë që që ekuacioni origjinal të ketë gjashtë zgjidhje, ekuacioni kuadratik \((*)\) duhet të ketë dy zgjidhje të ndryshme, dhe çdo ekuacion kub që rezulton (nga grupi) duhet të ketë tre zgjidhje të ndryshme (dhe jo një zgjidhje të vetme të një ekuacion duhet të përkojë me cilindo - me vendim të të dytit!)
Natyrisht, nëse ekuacioni kuadratik \((*)\) ka një zgjidhje, atëherë nuk do të marrim gjashtë zgjidhje për ekuacionin origjinal.

Kështu, plani i zgjidhjes bëhet i qartë. Le të shkruajmë kushtet që duhet të plotësohen pikë për pikë.

1) Që ekuacioni \((*)\) të ketë dy zgjidhje të ndryshme, diskriminuesi i tij duhet të jetë pozitiv: \

2) Është gjithashtu e nevojshme që të dyja rrënjët të jenë pozitive (pasi \(t>0\) ). Nëse produkti i dy rrënjëve është pozitiv dhe shuma e tyre është pozitive, atëherë vetë rrënjët do të jenë pozitive. Prandaj, ju duhet: \[\fillimi(rastet) 12-a>0\\-(a-10)>0\fund(rastet)\quad\Shigjeta e majta e djathta\katër a<10\]

Kështu, ne tashmë i kemi dhënë vetes dy rrënjë të ndryshme pozitive \(t_1\) dhe \(t_2\) .

3) Le të shohim këtë ekuacion \ Për çfarë \(t\) do të ketë tre zgjidhje të ndryshme?
Konsideroni funksionin \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Mund të faktorizohet: \ Prandaj, zerot e tij janë: \(x=-1;2\) .
Nëse gjejmë derivatin \(f"(x)=3x^2-6x\) , atëherë marrim dy pika ekstreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prandaj, grafiku duket si ky:

Ne shohim se çdo vijë horizontale \(y=k\) , ku \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) kishte tre zgjidhje të ndryshme, është e nevojshme që \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Kështu, ju duhet: \[\fillimi (rastet) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Le të vërejmë gjithashtu menjëherë se nëse numrat \(t_1\) dhe \(t_2\) janë të ndryshëm, atëherë numrat \(\log_(\sqrt2)t_1\) dhe \(\log_(\sqrt2)t_2\) do të jenë të ndryshme, që do të thotë ekuacionet \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Dhe \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) do të ketë rrënjë të ndryshme.
Sistemi \((**)\) mund të rishkruhet si më poshtë: \[\fillimi (rastet) 1

Kështu, ne kemi përcaktuar se të dy rrënjët e ekuacionit \((*)\) duhet të qëndrojnë në intervalin \((1;4)\) . Si të shkruhet kjo gjendje?
Ne nuk do t'i shkruajmë rrënjët në mënyrë eksplicite.
Merrni parasysh funksionin \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafiku i saj është një parabolë me degë lart, e cila ka dy pika kryqëzimi me boshtin x (e kemi shkruar këtë kusht në paragrafin 1)). Si duhet të duket grafiku i tij që pikat e prerjes me boshtin x të jenë në intervalin \((1;4)\)? Kështu që:

Së pari, vlerat \(g(1)\) dhe \(g(4)\) të funksionit në pikat \(1\) dhe \(4\) duhet të jenë pozitive, dhe së dyti, kulmi i parabola \(t_0\ ) gjithashtu duhet të jetë në intervalin \((1;4)\) . Prandaj, ne mund të shkruajmë sistemin: \[\fillimi(rastet) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) ka gjithmonë të paktën një rrënjë \(x=0\) . Kjo do të thotë se për të përmbushur kushtet e problemit është e nevojshme që ekuacioni \

kishte katër rrënjë të ndryshme, të ndryshme nga zero, që përfaqësojnë, së bashku me \(x=0\), një progresion aritmetik.

Vini re se funksioni \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) është çift, që do të thotë se nëse \(x_0\) është rrënja e ekuacionit \( (*)\ ) , atëherë \(-x_0\) do të jetë gjithashtu rrënja e tij. Atëherë është e nevojshme që rrënjët e këtij ekuacioni të jenë numra të renditur në rend rritës: \(-2d, -d, d, 2d\) (pastaj \(d>0\)). Pikërisht atëherë këta pesë numra do të formojnë një progresion aritmetik (me ndryshimin \(d\)).

Që këto rrënjë të jenë numrat \(-2d, -d, d, 2d\) , është e nevojshme që numrat \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) të jenë rrënjët e ekuacioni \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Pastaj, sipas teoremës së Vieta:

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë \ dhe merrni parasysh dy funksione: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) dhe \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funksioni \(g(x)\) ka një pikë maksimale \(x=0\) (dhe \(g_(\tekst(lart))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivati zero: \(x=0\) . Kur \(x<0\) имеем: \(g">0\) , për \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funksioni \(f(x)\) për \(x>0\) po rritet, dhe për \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Në të vërtetë, kur \(x>0\) moduli i parë do të hapet pozitivisht (\(|x|=x\)), prandaj, pavarësisht se si do të hapet moduli i dytë, \(f(x)\) do të jetë i barabartë në \( kx+A\) , ku \(A\) është shprehja e \(a\) , dhe \(k\) është e barabartë me \(13-10=3\) ose \(13+10 =23\) . Kur \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Le të gjejmë vlerën e \(f\) në pikën minimale: \

Në mënyrë që ekuacioni të ketë të paktën një zgjidhje, është e nevojshme që grafikët e funksioneve \(f\) dhe \(g\) të kenë të paktën një pikë kryqëzimi. Prandaj, ju duhet: \ Duke zgjidhur këtë grup sistemesh, marrim përgjigjen: \\]

Përgjigje:

\(a\në \(-2\)\kupë\)

- (matematik.) Një funksion y = f (x) quhet edhe nëse nuk ndryshon kur ndryshorja e pavarur ndryshon vetëm shenjën, pra nëse f (x) = f (x). Nëse f (x) = f (x), atëherë funksioni f (x) quhet tek. Për shembull, y = cosx, y = x2... ...

F(x) = x është një shembull i një funksioni tek. f(x) = x2 është një shembull i një funksioni çift. f(x) = x3 ... Wikipedia

Një funksion që plotëson barazinë f (x) = f (x). Shikoni funksionet çift dhe tek... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

F(x) = x është një shembull i një funksioni tek. f(x) = x2 është një shembull i një funksioni çift. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funksione të veçanta të prezantuara nga matematikani francez E. Mathieu në 1868 kur zgjidhen problemet në lëkundjen e një membrane eliptike. M. f. përdoren gjithashtu në studimin e përhapjes së valëve elektromagnetike në një cilindër eliptik ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Kërkesa "mëkat" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "sek" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "Sine" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia

Funksioni zero
Zero e një funksioni është vlera X, në të cilën funksioni kthehet në 0, pra f(x)=0.

Zerot janë pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin Oh.

Barazia e funksionit
Një funksion thirret edhe nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = f(x).

Një funksion i barabartë është simetrik rreth boshtit OU

Funksioni i barazisë tek
Një funksion quhet tek nëse për ndonjë X nga fusha e përkufizimit vlen barazia f(-x) = -f(x).

Një funksion tek është simetrik në lidhje me origjinën.
Një funksion që nuk është as çift dhe as tek quhet funksion i përgjithshëm.

Funksioni në rritje
Një funksion f(x) thuhet se është në rritje nëse një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, d.m.th. x 2 >x 1 → f(x 2)>f(x 1)

Funksioni zbritës
Një funksion f(x) quhet zvogëlues nëse një vlerë më e madhe e argumentit i korrespondon një vlere më të vogël të funksionit, d.m.th. x 2 >x 1 → f(x 2)
Quhen intervalet në të cilat funksioni ose zvogëlohet ose vetëm rritet intervalet e monotonisë. Funksioni f(x) ka 3 intervale të monotonitetit:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Gjeni intervalet e monotonitetit duke përdorur shërbimin Intervalet e funksionit të rritjes dhe zvogëlimit

Maksimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë maksimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 vlen pabarazia: f(x 0) > f(x)

Minimumi lokal
Pika x 0 quhet pikë minimale lokale nëse ka ndonjë X nga afërsia e një pike x 0 pabarazia vlen: f(x 0)< f(x).

Pikat maksimale lokale dhe pikat minimale lokale quhen pika ekstreme lokale.

x 1, x 2 - pikat ekstreme lokale.

Frekuenca e funksionit
Funksioni f(x) quhet periodik, me pikë T, nëse për ndonjë X vlen barazia f(x+T) = f(x).

Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave
Intervalet në të cilat funksioni është ose vetëm pozitiv ose vetëm negativ quhen intervale të shenjës konstante.

f(x)>0 për x∈(x 1, x 2)∪(x 2, +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Vazhdimësia e funksionit
Një funksion f(x) quhet i vazhdueshëm në një pikë x 0 nëse kufiri i funksionit si x → x 0 është i barabartë me vlerën e funksionit në këtë pikë, d.m.th. .

Pikat e pushimit
Pikat në të cilat cenohet kushti i vazhdimësisë quhen pika të ndërprerjes së funksionit.

x 0- pika e thyerjes.

Skema e përgjithshme për vizatimin e funksioneve

1. Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit D(y).
2. Gjeni pikat e prerjes së grafikut të funksioneve me boshtet koordinative.
3. Shqyrtoni funksionin për çift ose tek.
4. Shqyrtoni funksionin për periodicitet.
5. Gjeni intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit.
6. Gjeni intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të funksionit.
7. Gjeni asimptotat e funksionit.
8. Bazuar në rezultatet e hulumtimit, ndërtoni një grafik.

Shembull: Eksploroni funksionin dhe vizatoni atë: y = x 3 – 3x
8) Bazuar në rezultatet e studimit, ne do të vizatojmë funksionin: