Cilat janë rastet e pozicionit relativ të drejtëzës dhe rrafshit. Pozicioni relativ i një drejtëze dhe një rrafshi, dy plane. Prizma. Përkufizimi. Elementet. Llojet e prizmave

Një vijë e drejtë mund ose nuk mund t'i përkasë një rrafshi. I përket një aeroplani nëse të paktën dy nga pikat e tij shtrihen në aeroplan. Figura 93 tregon planin e shumës (axb). Drejt l i përket rrafshit të shumës, pasi pikat e tij 1 dhe 2 i përkasin këtij rrafshi.

Nëse një drejtëz nuk i përket rrafshit, ajo mund të jetë paralele me të ose ta presë atë.

Një drejtëz është paralele me një rrafsh nëse është paralele me një drejtëz tjetër që shtrihet në atë rrafsh. Në figurën 93 ka një vijë të drejtë m || Shuma, pasi është paralel me drejtëzën l që i përkasin këtij avioni.

Një vijë e drejtë mund të presë një plan në kënde të ndryshme dhe, në veçanti, të jetë pingul me të. Ndërtimi i drejtëzave të kryqëzimit të drejtëzës dhe rrafshit jepet në §61.

Figura 93 - Një vijë e drejtë që i përket një rrafshi

Një pikë në lidhje me rrafshin mund të vendoset në këtë mënyrë: i përkasin ose nuk i përkasin. Një pikë i përket një rrafshi nëse ndodhet në një vijë të drejtë që ndodhet në këtë rrafsh. Figura 94 tregon një vizatim kompleks të planit të shumës të përcaktuar nga dy vija paralele l Dhe P. Ka një linjë në aeroplan m. Pika A shtrihet në rrafshin e shumës, pasi shtrihet në vijë m. Pika NË nuk i përket rrafshit, pasi projeksioni i tij i dytë nuk shtrihet në projeksionet përkatëse të vijës.

Figura 94 - Vizatim kompleks i një rrafshi të përcaktuar nga dy vija paralele

Sipërfaqet konike dhe cilindrike

Sipërfaqet konike përfshijnë sipërfaqet e formuara nga lëvizja e një gjeneratori drejtvizor l përgjatë një udhëzuesi të lakuar m. E veçanta e formimit të një sipërfaqeje konike është se në këtë rast një pikë e gjeneratorit është gjithmonë e palëvizshme. Kjo pikë është kulmi i sipërfaqes konike (Figura 95, A). Përcaktori i një sipërfaqe konike përfshin kulmin S dhe udhëzues m, ku l"~S; l"^ m.

Sipërfaqet cilindrike janë ato të formuara nga një gjenerator i drejtë / që lëviz përgjatë një udhëzuesi të lakuar T paralel me drejtimin e dhënë S(Figura 95, b). Një sipërfaqe cilindrike mund të konsiderohet si një rast i veçantë i një sipërfaqeje konike me një kulm në pafundësi S.

Përcaktori i një sipërfaqe cilindrike përbëhet nga një udhëzues T dhe drejtimet S formimi l, ndersa l" || S; l"^m.

Nëse gjeneratorët e një sipërfaqe cilindrike janë pingul me planin e projektimit, atëherë një sipërfaqe e tillë quhet duke projektuar. Në figurën 95, V tregohet një sipërfaqe cilindrike e projektuar horizontalisht.

Në sipërfaqet cilindrike dhe konike, pikat e dhëna ndërtohen duke përdorur gjeneratorë që kalojnë nëpër to. Vija në sipërfaqe, të tilla si një vijë A në figurën 95, V ose horizontale h në figurën 95, a, b, janë ndërtuar duke përdorur pika individuale që u përkasin këtyre linjave.

Figura 95 - Sipërfaqet konike dhe cilindrike

Sipërfaqet e torzës

Një sipërfaqe bust është një sipërfaqe e formuar nga një gjenerator drejtvizor l, duke prekur gjatë lëvizjes së tij në të gjitha pozicionet e tij disa kurbë hapësinore T, thirrur buzë e kthimit(Figura 96). Buza e kthimit përcakton plotësisht bustin dhe është një pjesë gjeometrike e përcaktuesit të sipërfaqes. Pjesa algoritmike është treguesi i tangjences së gjeneratorëve në skajin e skajit.

Një sipërfaqe konike është një rast i veçantë i një bust, i cili ka një buzë kthimi T degjeneruar në një pikë S- maja e sipërfaqes konike. Një sipërfaqe cilindrike është një rast i veçantë i një bust, buza e kthimit të të cilit është një pikë në pafundësi.

Figura 96 ​​– Sipërfaqja e torzës

Sipërfaqe me faseta

Sipërfaqet me faqe përfshijnë sipërfaqet e formuara nga lëvizja e një gjenerate drejtvizore l përgjatë një udhëzuesi të thyer m. Për më tepër, nëse një pikë S gjenerata është e palëvizshme, krijohet një sipërfaqe piramidale (Figura 97), nëse gjeneratori është paralel me një drejtim të caktuar kur lëviz. S, atëherë krijohet një sipërfaqe prizmatike (Figura 98).

Elementet e sipërfaqeve të faqosura janë: kulmi S(pranë një sipërfaqeje prizmatike është në pafundësi), fytyra (pjesë e aeroplanit e kufizuar nga një pjesë e udhëzuesit m dhe pozicionet ekstreme të gjeneratorit në lidhje me të l) dhe buzë (vija e kryqëzimit të faqeve ngjitur).

Përcaktori i një sipërfaqeje piramidale përfshin kulmin S, nëpër të cilat kalojnë gjeneratorët dhe udhëzuesit: l" ~ S; l^ T.

Përcaktues i një sipërfaqeje prizmatike përveç një udhëzuesi T, përmban drejtim S, me të cilin të gjithë gjeneratorët janë paralelë l sipërfaqet: l||S; l^ t.

Figura 97 - Sipërfaqja e piramidës

Figura 98 - Sipërfaqja prizmatike

Sipërfaqet me faqe të mbyllura të formuara nga një numër i caktuar (të paktën katër) fytyrash quhen poliedra. Nga shumëfaqëshet, dallohet një grup shumëkëndëshësh të rregullt, në të cilin të gjitha faqet janë shumëkëndësha të rregullt dhe kongruentë, dhe këndet shumëkëndëshe në kulmet janë konveks dhe përmbajnë të njëjtin numër faqesh. Për shembull: heksahedron - kub (Figura 99, A), katërkëndësh - katërkëndësh i rregullt (Figura 99, 6) tetëkëndësh - shumëkëndësh (Figura 99, V). Kristalet kanë formën e poliedrave të ndryshëm.

Figura 99 - Polyedra

Piramida- një poliedron, baza e të cilit është një shumëkëndësh arbitrar, dhe faqet anësore janë trekëndësha me një kulm të përbashkët S.

Në një vizatim kompleks, një piramidë përcaktohet nga projeksionet e kulmeve dhe skajeve të saj, duke marrë parasysh dukshmërinë e tyre. Dukshmëria e një skaji përcaktohet duke përdorur pikat konkurruese (Figura 100).

Figura 100 – Përcaktimi i dukshmërisë së skajit duke përdorur pikat konkurruese

Prizma- një shumëkëndësh baza e të cilit janë dy shumëkëndësha identikë dhe paralelë reciprokisht, dhe faqet anësore janë paralelograme. Nëse skajet e prizmit janë pingul me rrafshin e bazës, një prizëm i tillë quhet i drejtë. Nëse skajet e një prizmi janë pingul me çdo plan projeksioni, atëherë sipërfaqe anësore quhet projektim. Figura 101 tregon një vizatim gjithëpërfshirës të një prizmi të drejtë katërkëndor me një sipërfaqe të projektuar horizontalisht.

Figura 101 - Vizatim kompleks i një prizmi të drejtë katërkëndor me një sipërfaqe të projektuar horizontalisht

Kur punoni me një vizatim kompleks të një poliedri, duhet të ndërtoni linja në sipërfaqen e tij, dhe meqenëse një vijë është një koleksion pikash, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni pika në sipërfaqe.

Çdo pikë në një sipërfaqe me fytyra mund të ndërtohet duke përdorur një gjenerator që kalon nëpër këtë pikë. Në figurë janë 100 në fytyrë ACS pikë e ndërtuar M duke përdorur gjeneratorin S-5.

Sipërfaqet spirale

Sipërfaqet spirale përfshijnë sipërfaqet e krijuara nga lëvizja spirale e një gjenerate drejtvizore. Sipërfaqet spirale të sunduara quhen helikoidet.

Një helikoid i drejtë formohet nga lëvizja e një gjenerate drejtvizore i përgjatë dy udhërrëfyesve: spirale T dhe sëpatat e saj i; gjatë formimit l kryqëzon boshtin e vidës në një kënd të drejtë (Figura 102, a). Helikoidi i drejtë përdoret për të krijuar shkallë spirale, spirale, si dhe fije elektrike në veglat e makinerive.

Një helikoid i prirur formohet duke lëvizur gjeneratorin përgjatë një udhëzuesi me vidë T dhe sëpatat e saj i në mënyrë që gjeneratori l kalon boshtin i në një kënd konstant φ, i ndryshëm nga një vijë e drejtë, pra në çdo pozicion gjenerata l paralel me një nga gjeneratat e konit drejtues me një kënd kulmi të barabartë me 2φ (Figura 102, b). Helikoidet e pjerrëta kufizojnë sipërfaqet e fijeve.

Figura 102 - Helikoidet

Sipërfaqet e revolucionit

Sipërfaqet e rrotullimit përfshijnë sipërfaqet e formuara nga rrotullimi i një linje l rreth një vije të drejtë i , i cili është boshti i rrotullimit. Ato mund të jenë lineare, të tilla si një kon ose cilindër rrotullimi, dhe jo-lineare ose të lakuar, si një sferë. Përcaktori i sipërfaqes së revolucionit përfshin gjeneratorin l dhe boshti i . Gjatë rrotullimit, çdo pikë e gjeneratorit përshkruan një rreth, rrafshi i të cilit është pingul me boshtin e rrotullimit. Rrathë të tillë të sipërfaqes së revolucionit quhen paralele. Më e madhja nga paralelet quhet ekuator. Ekuatori përcakton skicën horizontale të sipërfaqes nëse i _|_ P 1 . Në këtë rast, paralelet janë horizontalet e kësaj sipërfaqeje.

Lakoret e sipërfaqes së rrotullimit që rezultojnë nga kryqëzimi i sipërfaqes nga aeroplanët që kalojnë nëpër boshtin e rrotullimit quhen meridianët. Të gjithë meridianët e një sipërfaqeje janë kongruentë. Meridiani ballor quhet meridiani kryesor; përcakton konturin ballor të sipërfaqes së rrotullimit. Meridiani i profilit përcakton skicën e profilit të sipërfaqes së rrotullimit.

Është më e përshtatshme për të ndërtuar një pikë në sipërfaqet e lakuara të rrotullimit duke përdorur paralele sipërfaqësore. Ka 103 pikë në figurë M ndërtuar në paralele h4.

Figura 103 – Ndërtimi i një pike në një sipërfaqe të lakuar

Sipërfaqet e revolucionit kanë gjetur aplikimin më të gjerë në teknologji. Ato kufizojnë sipërfaqet e shumicës së pjesëve inxhinierike.

Një sipërfaqe konike e rrotullimit formohet duke rrotulluar një vijë të drejtë i rreth vijës së drejtë që kryqëzohet me të - boshti i(Figura 104, A). Pika M në sipërfaqe është ndërtuar duke përdorur një gjenerator l dhe paralele h. Kjo sipërfaqe quhet gjithashtu një kon i rrotullimit ose një kon rrethor i djathtë.

Një sipërfaqe cilindrike e rrotullimit formohet duke rrotulluar një vijë të drejtë l rreth një boshti paralel me të i(Figura 104, b). Kjo sipërfaqe quhet edhe cilindër ose cilindër rrethor i djathtë.

Një sferë formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të saj (Figura 104, V). Pika A në sipërfaqen e sferës i përket meridianit kryesor f, pika NË- ekuator h, nje pike M ndërtuar mbi një paralele ndihmëse h".

Figura 104 - Formimi i sipërfaqeve të rrotullimit

Një torus formohet duke rrotulluar një rreth ose harkun e tij rreth një boshti që shtrihet në rrafshin e rrethit. Nëse boshti ndodhet brenda rrethit që rezulton, atëherë një torus i tillë quhet i mbyllur (Figura 105, a). Nëse boshti i rrotullimit është jashtë rrethit, atëherë një torus i tillë quhet i hapur (Figura 105, b). Një torus i hapur quhet gjithashtu një unazë.

Figura 105 – Formimi i një torusi

Sipërfaqet e revolucionit mund të formohen edhe nga kthesa të tjera të rendit të dytë. Elipsoid i rrotullimit (Figura 106, A) formuar nga rrotullimi i një elipsi rreth një prej boshteve të tij; paraboloidi i revolucionit (Figura 106, b) - rrotullimi i parabolës rreth boshtit të saj; Hiperboloidi i revolucionit me një fletë (Figura 106, V) formohet duke rrotulluar një hiperbolë rreth një boshti imagjinar dhe një dy fletësh (Figura 106, G) - rrotullimi i hiperbolës rreth boshtit real.

Figura 106 – Formimi i sipërfaqeve të rrotullimit sipas kurbave të rendit të dytë

Në rastin e përgjithshëm, sipërfaqet përshkruhen si të pa kufizuara në drejtimin e përhapjes së linjave gjeneruese (shih Figurat 97, 98). Për zgjidhje detyra specifike dhe marrja forma gjeometrike kufizuar në rrafshet e prerjes. Për shembull, për të marrë një cilindër rrethor, është e nevojshme të kufizohet një pjesë e sipërfaqes cilindrike në rrafshet e prerjes (shih Figurën 104, b). Si rezultat, marrim bazat e saj të sipërme dhe të poshtme. Nëse rrafshet e prerjes janë pingul me boshtin e rrotullimit, cilindri do të jetë i drejtë; nëse jo, cilindri do të jetë i pjerrët.

Për të marrë një kon rrethor (shih Figurën 104, A), është e nevojshme të shkurtohet përgjatë majës dhe më gjerë. Nëse rrafshi i prerjes së bazës së cilindrit është pingul me boshtin e rrotullimit, koni do të jetë i drejtë, nëse jo, do të jetë i prirur. Nëse të dy rrafshet e prerjes nuk kalojnë nëpër kulm, koni do të cungohet.

Duke përdorur aeroplanin e prerë, mund të merrni një prizëm dhe një piramidë. Për shembull, një piramidë gjashtëkëndore do të jetë e drejtë nëse të gjitha skajet e saj kanë të njëjtën pjerrësi me rrafshin e prerjes. Në raste të tjera do të jetë i pjerrët. Nëse është përfunduar Me duke përdorur plane prerëse dhe asnjëra prej tyre nuk kalon nëpër kulm - piramida është e cunguar.

Një prizëm (shih Figurën 101) mund të merret duke kufizuar një seksion të sipërfaqes prizmatike në dy plane prerëse. Nëse rrafshi i prerjes është pingul me skajet, për shembull, të një prizmi tetëkëndor, ai është i drejtë; nëse jo pingul, është i prirur.

Duke zgjedhur pozicionin e duhur të planeve të prerjes, mund të merrni forma të ndryshme të figurave gjeometrike në varësi të kushteve të problemit që zgjidhet.

Elementi në distancë.

element i largët.

• a) nuk kanë pika të përbashkëta;

Teorema.

Përcaktimi i prerjeve

GOST 2.305-2008 parashikon kërkesat e mëposhtme për përcaktimin e një seksioni:

1. Pozicioni i planit të prerjes tregohet në vizatim me një vijë seksioni.

2. Për vijën e seksionit duhet përdorur një vijë e hapur (trashësia nga S në 1.5S, gjatësia e vijës 8-20 mm).

3. Në rast të një prerje komplekse, goditjet bëhen edhe në kryqëzimin e planeve të prerjes me njëri-tjetrin.

4. Shigjetat duhet të vendosen në goditjet fillestare dhe përfundimtare që tregojnë drejtimin e shikimit; shigjetat duhet të vendosen në një distancë prej 2-3 mm nga skaji i jashtëm i goditjes.

5. Dimensionet e shigjetave duhet të korrespondojnë me ato të paraqitura në figurën 14.

6. Goditjet e fillimit dhe të përfundimit nuk duhet të kryqëzojnë konturin e imazhit përkatës.

7. Në fillim dhe në fund të vijës së seksionit, dhe, nëse është e nevojshme, në kryqëzimin e planeve të prerjes, vendosni të njëjtën shkronje e madhe Alfabeti rus. Shkronjat vendosen pranë shigjetave që tregojnë drejtimin e pamjes, dhe në pikat e kryqëzimit nga këndi i jashtëm (Figura 24).

Figura 24 - Shembuj të përcaktimit të seksionit

8. Prerja duhet të shënohet me një mbishkrim si "AA" (gjithmonë dy shkronja të ndara me një vizë).

9. Kur rrafshi sekant përkon me rrafshin e simetrisë së objektit në tërësi, dhe imazhet përkatëse janë të vendosura në të njëjtën fletë në lidhje projeksioni të drejtpërdrejtë dhe nuk ndahen nga asnjë imazh tjetër, për seksionet horizontale, ballore dhe të profilit, pozicioni i rrafshit sekant nuk shënohet dhe prerja nuk shoqërohet me mbishkrim.

10. Seksioneve ballore dhe të profilit, si rregull, u jepet një pozicion që korrespondon me atë të pranuar për një artikull të caktuar në imazhin kryesor të vizatimit.

11. Seksionet horizontale, ballore dhe të profilit mund të vendosen në vend të pamjeve kryesore përkatëse.

12. Lejohet vendosja e seksionit kudo në fushën e vizatimit, si dhe me një rrotullim me shtimin e një përcaktimi grafik konvencional - ikonën "Rrotulluar" (Figura 25).

Figura 25 - Simboli grafik – ikona “Rrotulluar”.

Emërtimi i seksioneve është i ngjashëm përcaktimi i prerjeve dhe përbëhet nga gjurmët e një plani sekant dhe një shigjete që tregon drejtimin e pamjes, si dhe një shkronjë të vendosur në pjesën e jashtme të shigjetës (Figura 1c, Figura 3). Seksioni i zhvendosur nuk është etiketuar dhe rrafshi i prerjes nuk tregohet nëse vija e seksionit përkon me boshtin e simetrisë së seksionit, dhe vetë seksioni ndodhet në vazhdimin e gjurmës së planit të prerjes ose në një hendek midis pjesëve të pamja. Për një seksion simetrik të mbivendosur, rrafshi i prerjes gjithashtu nuk tregohet. Nëse seksioni është asimetrik dhe ndodhet në një boshllëk ose është i mbivendosur (Figura 2 b), vija e seksionit vizatohet me shigjeta, por nuk shënohet me shkronja.

Seksioni mund të pozicionohet me një rrotullim, duke siguruar mbishkrimin mbi seksionin me fjalën "rrotulluar". Për disa seksione identike që lidhen me një objekt, linjat e seksioneve caktohen me të njëjtën shkronjë dhe vizatohet një seksion. Në rastet kur seksioni rezulton të përbëhet nga pjesë të veçanta, duhet të përdoren prerje.

Drejt pozicioni i përgjithshëm

Një vijë e drejtë në pozicionin e përgjithshëm (Fig. 2.2) është një vijë e drejtë që nuk është paralele me asnjë nga rrafshet e dhëna të projeksionit. Çdo segment i një vije të tillë të drejtë projektohet në mënyrë të shtrembëruar në një sistem të caktuar planesh projeksioni. Këndet e prirjes së kësaj vije të drejtë ndaj rrafsheve të projeksionit janë projektuar gjithashtu në mënyrë të shtrembëruar.

Oriz. 2.2.

Dispozitat e drejtpërdrejta private
Linjat e pozicionit të veçantë përfshijnë linja paralele me një ose dy plane projeksioni.
Çdo drejtëz (e drejtë ose kurbë) paralele me rrafshin e projeksionit quhet vijë e nivelit. Në grafikën inxhinierike, ekzistojnë tre linja kryesore të nivelit: horizontale, frontale dhe linja të profilit.

Oriz. 2.3-a

Horizontali është çdo vijë paralele me rrafshin horizontal të projeksioneve (Fig. 2.3-a). Projeksioni ballor i horizontales është gjithmonë pingul me linjat e komunikimit. Çdo segment horizontal në planin horizontal të projeksionit projektohet në madhësinë e tij të vërtetë. Madhësia e vërtetë është projektuar në këtë rrafsh dhe këndi i prirjes së horizontalit (vijës së drejtë) ndaj planit ballor të projeksioneve. Si shembull, Fig. 2.3-a tregon një imazh vizual dhe një vizatim gjithëpërfshirës horizontal h, i prirur nga avioni P 2 në një kënd b .
Oriz. 2.3-b

Frontal është vija paralele me planin ballor të projeksioneve (Fig. 2.3-b). Projeksioni horizontal i pjesës së përparme është gjithmonë pingul me linjat e komunikimit. Çdo segment i frontalit në planin ballor të projeksioneve projektohet në madhësinë e tij të vërtetë. Madhësia e vërtetë është projektuar në këtë rrafsh dhe këndi i prirjes së frontit (vija e drejtë) në planin horizontal të projeksioneve (këndi a).
Oriz. 2.3-v

Një vijë profili është një vijë paralele me rrafshin e profilit të projeksioneve (Fig. 2.3-c). Projeksionet horizontale dhe ballore të vijës së profilit janë paralele me linjat e lidhjes së këtyre projeksioneve. Çdo segment i një linje profili (vijë e drejtë) projektohet në rrafshin e profilit në madhësinë e tij të vërtetë. Këndet e pjerrësisë së vijës së drejtë të profilit ndaj rrafsheve të projeksionit janë projektuar në të njëjtin rrafsh në madhësi të vërtetë. P 1 dhe P 2. Kur specifikoni një vijë profili në një vizatim kompleks, duhet të specifikoni dy pika të kësaj linje.

Vijat e nivelit paralel me dy plane projeksioni do të jenë pingul me rrafshin e tretë të projeksionit. Linja të tilla quhen linja projektuese. Ekzistojnë tre linja kryesore të projeksionit: linjat horizontale, ballore dhe të profilit.
Oriz. 2,3-g Oriz. 2.3-d Oriz. 2.3

Një vijë e drejtë e projektuar horizontalisht (Fig. 2.3-d) është një vijë e drejtë pingul me rrafshin P 1 . Çdo segment i kësaj linje është projektuar në aeroplan P P 1 - deri në pikën.

Drejtëza e projektuar ballore (Fig. 2.H-e) quhet drejtëz pingul me rrafshin. P 2. Çdo segment i kësaj linje është projektuar në aeroplan P 1 pa shtrembërim, por në një aeroplan P 2 - deri në pikën.

Një profil që projekton një vijë të drejtë (Fig. 2.3-f) është një vijë e drejtë pingul me rrafshin P 3, d.m.th. vijë e drejtë paralele me rrafshet e projeksionit P 1 dhe P 2. Çdo segment i kësaj linje është projektuar në aeroplan P 1 dhe P 2 pa shtrembërim, por në një aeroplan P 3 - deri në pikën.

Linjat kryesore në aeroplan

Ndër linjat e drejta që i përkasin aeroplanit, një vend të veçantë zënë linjat e drejta që zënë një pozicion të veçantë në hapësirë:

1. Horizontalet h - vija të drejta që shtrihen në një plan të caktuar dhe paralel me rrafshin horizontal të projeksioneve (h//P1) (Fig. 6.4).

Figura 6.4 Horizontale

2. Frontet f - vija të drejta, të vendosura në rrafsh dhe paralel me rrafshin ballor të projeksioneve (f//P2) (Fig. 6.5).

Figura 6.5 Përpara

3. Drejtimet e profilit p - drejtëza që janë në një plan të caktuar dhe paralel me rrafshin e profilit të projeksioneve (p//P3) (Fig. 6.6). Duhet të theksohet se gjurmët e aeroplanit mund t'i atribuohen edhe linjave kryesore. Gjurma horizontale është horizontalja e rrafshit, ajo ballore është ajo ballore dhe profili është vija e profilit të rrafshit.

Figura 6.6 Profili drejt

4. Vija e pjerrësisë më të madhe dhe projeksioni i saj horizontal formojnë një kënd linear j, i cili mat këndin dihedral të formuar nga ky rrafsh dhe rrafshin horizontal të projeksioneve (Fig. 6.7). Natyrisht, nëse një drejtëz nuk ka dy pika të përbashkëta me një rrafsh, atëherë ajo është ose paralele me rrafshin ose e kryqëzon atë.

Figura 6.7 Vija e pjerrësisë më të madhe

Metoda kinematike e formimit të sipërfaqes. Përcaktimi i një sipërfaqe në një vizatim.

Në grafikën inxhinierike, një sipërfaqe konsiderohet si një grup pozicionesh të njëpasnjëshme të një linje që lëviz në hapësirë ​​sipas një ligji të caktuar. Gjatë formimit të sipërfaqes, linja 1 mund të mbetet e pandryshuar ose të ndryshojë formën e saj.
Për qartësinë e imazhit të sipërfaqes në një vizatim kompleks, këshillohet të specifikoni ligjin e lëvizjes grafikisht në formën e një familjeje vijash (a, b, c). Ligji i lëvizjes së rreshtit 1 mund të specifikohet nga dy rreshta (a dhe b) ose një (a) dhe kushte shtesë që sqarojnë ligjin e lëvizjes 1.
Vija lëvizëse 1 quhet gjenerator, linjat fikse a, b, c quhen udhërrëfyes.
Le të shqyrtojmë procesin e formimit të sipërfaqes duke përdorur shembullin e paraqitur në Fig. 3.1.
Këtu si gjenerator merret drejtëza 1. Ligji i lëvizjes së gjeneratorit jepet nga udhëzuesi a dhe drejtëza b. Kjo do të thotë që gjenerata 1 rrëshqet përgjatë udhëzuesit a, duke mbetur paralelisht me vijën e drejtë b gjatë gjithë kohës.
Kjo metodë e formimit të sipërfaqes quhet kinematike. Me ndihmën e tij, ju mund të krijoni dhe përcaktoni sipërfaqe të ndryshme në vizatim. Në veçanti, Fig. 3.1 tregon rastin më të përgjithshëm të një sipërfaqe cilindrike.

Oriz. 3.1.

Një mënyrë tjetër për të formuar një sipërfaqe dhe për ta përshkruar atë në një vizatim është të specifikoni sipërfaqen me një grup pikash ose vijash që i përkasin asaj. Në këtë rast, pikat dhe linjat zgjidhen në mënyrë që të bëjnë të mundur përcaktimin e formës së sipërfaqes me një shkallë të mjaftueshme saktësie dhe zgjidhjen e problemeve të ndryshme mbi të.
Tërësia e pikave ose vijave që përcaktojnë një sipërfaqe quhet korniza e saj.
Në varësi të faktit nëse korniza sipërfaqësore është e përcaktuar me pika ose vija, kornizat ndahen në pika dhe lineare.
Figura 3.2 tregon një kornizë sipërfaqësore të përbërë nga dy familje të vendosura në mënyrë ortogonale të vijave a1, a2, a3, ..., an dhe b1, b2, b3, ..., bn.

Oriz. 3.2.

Seksione konike.

SEKSIONET KONIKE, kthesa të sheshta që fitohen duke prerë një kon rrethor të djathtë me një rrafsh që nuk kalon nga kulmi i tij (Fig. 1). Nga pikëpamja e gjeometrisë analitike, një seksion konik është vendndodhja e pikave që plotësojnë një ekuacion të rendit të dytë. Me përjashtim të rasteve të degjeneruara të diskutuara në seksionin e fundit, seksionet konike janë elipsa, hiperbola ose parabola.

Seksionet konike shpesh gjenden në natyrë dhe teknologji. Për shembull, orbitat e planetëve që rrotullohen rreth Diellit kanë formë si elips. Rrethi është një rast i veçantë i një elipsi në të cilin boshti kryesor është i barabartë me të voglin. Një pasqyrë parabolike ka vetinë që të gjitha rrezet rënëse paralelisht me boshtin e saj të konvergojnë në një pikë (fokus). Kjo përdoret në shumicën e teleskopëve reflektues që përdorin pasqyra parabolike, si dhe në antenat e radarëve dhe mikrofonat speciale me reflektorë parabolikë. Një rreze rrezesh paralele buron nga një burim drite i vendosur në fokusin e një reflektori parabolik. Kjo është arsyeja pse pasqyrat parabolike përdoren në dritat e vëmendjes me fuqi të lartë dhe fenerët e makinave. Një hiperbolë është një grafik i shumë marrëdhënieve të rëndësishme fizike, siç është ligji i Boyle (që lidh presionin dhe vëllimin gaz ideal) dhe ligji i Ohm-it, i cili specifikon rrymën elektrike në funksion të rezistencës në një tension konstant.

HISTORIA E HERSHME

Zbuluesi i seksioneve konike supozohet të jetë Menaechmus (shek. IV para Krishtit), një student i Platonit dhe mësues i Aleksandrit të Madh. Menaechmus përdori një parabolë dhe një hiperbolë barabrinjës për të zgjidhur problemin e dyfishimit të një kubi.

Traktatet mbi seksionet konike të shkruara nga Aristeu dhe Euklidi në fund të shekullit të 4-të. para Krishtit, u humbën, por materialet prej tyre u përfshinë në Seksionet e famshme konike të Apolonit të Pergës (rreth 260–170 p.e.s.), të cilat kanë mbijetuar deri më sot. Apollonius hoqi dorë nga kërkesa që rrafshi sekant i gjeneratorit të konit të ishte pingul dhe, duke ndryshuar këndin e pjerrësisë së tij, mori të gjitha seksionet konike nga një kon rrethor, i drejtë ose i pjerrët. Emrat modernë të kthesave ia kemi borxh edhe Apollonit - elipsë, parabolë dhe hiperbolë.

Në ndërtimet e tij, Apollonius përdori një kon rrethor me dy fletë (si në Fig. 1), kështu që për herë të parë u bë e qartë se hiperbola është një kurbë me dy degë. Që nga koha e Apollonit, seksionet konike janë ndarë në tre lloje në varësi të prirjes së rrafshit të prerjes ndaj gjeneratorit të konit. Një elips (Fig. 1a) formohet kur rrafshi i prerjes kryqëzon të gjitha gjeneratat e konit në pikat e njërës prej zgavrës së tij; parabola (Fig. 1,b) - kur rrafshi i prerjes është paralel me një nga rrafshet tangjente të konit; hiperbola (Fig. 1, c) - kur rrafshi i prerjes kryqëzon të dy zgavrat e konit.

NDËRTIMI I SEKSIONIVE KONIKE

Duke studiuar seksionet konike si kryqëzime planesh dhe kone, matematikanët grekë të lashtë i konsideruan gjithashtu si trajektore pikash në një plan. U zbulua se një elipsë mund të përkufizohet si vendndodhja e pikave, shuma e distancave nga të cilat në dy pika të dhëna është konstante; parabola - si një vend i pikave në distancë të barabartë nga pikë e dhënë dhe një vijë e drejtë e dhënë; hiperbola - si vendndodhja e pikave, ndryshimi në distancat nga të cilat në dy pika të dhëna është konstante.

Këto përkufizime të seksioneve konike si kthesa të rrafshët sugjerojnë gjithashtu një metodë për ndërtimin e tyre duke përdorur një varg të shtrirë.

Elipsa.

Nëse skajet e një filli me një gjatësi të caktuar janë të fiksuara në pikat F1 dhe F2 (Fig. 2), atëherë kurba e përshkruar nga pika e një lapsi që rrëshqet përgjatë një filli të shtrirë fort ka formën e një elipsi. Pikat F1 dhe F2 quhen fokuset e elipsës, dhe segmentet V1V2 dhe v1v2 midis pikave të kryqëzimit të elipsës me boshtet koordinative janë boshtet kryesore dhe të vogla. Nëse pikat F1 dhe F2 përkojnë, atëherë elipsa kthehet në një rreth.

oriz. 2 Elipsi

Hiperbola.

Kur ndërtohet një hiperbolë, pika P, maja e lapsit, fiksohet në një fije, e cila rrëshqet lirshëm përgjatë kunjave të instaluara në pikat F1 dhe F2, siç tregohet në Fig. 3, a. Distancat janë zgjedhur në mënyrë që segmenti PF2 të jetë më i gjatë se segmenti PF1 me një sasi fikse më të vogël se distanca F1F2. Në këtë rast, njëri skaj i fillit kalon nën kunjin F1 dhe të dy skajet e fillit kalojnë mbi kunjin F2. (Pika e lapsit nuk duhet të rrëshqasë përgjatë fillit, kështu që duhet të sigurohet duke bërë një lak të vogël në fill dhe duke e kaluar pikën përmes saj.) Vizatojmë një degë të hiperbolës (PV1Q), duke u siguruar që filli mbetet i tendosur gjatë gjithë kohës, dhe duke tërhequr të dy skajet, kaloni fileton poshtë pikës F2, dhe kur pika P është poshtë segmentit F1F2, duke e mbajtur fillin në të dy skajet dhe duke e gdhendur me kujdes (d.m.th. duke e lëshuar). Ne vizatojmë degën e dytë të hiperbolës (PўV2Qў), pasi kemi ndërruar më parë rolet e kunjave F1 dhe F2.

oriz. 3 hiperbolë

Degët e hiperbolës i afrohen dy vijave të drejta që kryqëzohen midis degëve. Këto linja, të quajtura asimptota të hiperbolës, janë ndërtuar siç tregohet në Fig. 3, b. Koeficientët këndorë të këtyre vijave janë të barabartë me ± (v1v2)/(V1V2), ku v1v2 është segmenti përgjysmues i këndit ndërmjet asimptotave, pingul me segmentin F1F2; segmenti v1v2 quhet boshti i konjuguar i hiperbolës dhe segmenti V1V2 është boshti i saj tërthor. Kështu, asimptotat janë diagonalet e një drejtkëndëshi me brinjë që kalojnë nëpër katër pika v1, v2, V1, V2 paralel me boshtet. Për të ndërtuar këtë drejtkëndësh, duhet të specifikoni vendndodhjen e pikave v1 dhe v2. Ata janë në të njëjtën distancë, të barabartë

nga pika e kryqëzimit të boshteve O. Kjo formulë supozon ndërtimin trekëndësh kënddrejtë me këmbët Ov1 dhe V2O dhe hipotenuzë F2O.

Nëse asimptotat e një hiperbole janë reciproke pingule, atëherë hiperbola quhet barabrinjës. Dy hiperbola që kanë asimptota të përbashkëta, por me boshte tërthore dhe të konjuguara të rirregulluara, quhen të konjuguara reciproke.

Parabola.

Fokuset e elipsës dhe hiperbolës ishin të njohura për Apollonius, por fokusi i parabolës me sa duket u vendos për herë të parë nga Pappus (gjysma e dytë e shekullit të 3-të), i cili e përcaktoi këtë kurbë si vendndodhjen e pikave të barabarta nga një pikë e caktuar (fokus) dhe një vijë e drejtë e dhënë, e cila quhet drejtor. Ndërtimi i një parabole duke përdorur një fije të shtrirë, bazuar në përkufizimin e Pappus, u propozua nga Isidori i Miletit (shek. VI). Le ta pozicionojmë vizoren në mënyrë që skaji i tij të përkojë me direktriksin LLў (Fig. 4) dhe të bashkojmë këmbën AC të trekëndëshit të vizatimit ABC në këtë skaj. Le të lidhim njërën skaj të fillit me gjatësi AB në kulmin B të trekëndëshit dhe tjetrin në fokusin e parabolës F. Pasi të keni tërhequr fillin me majën e një lapsi, shtypni majën në pikën e ndryshueshme P në këmbën e lirë AB të trekëndëshit të vizatimit. Ndërsa trekëndëshi lëviz përgjatë vizores, pika P do të përshkruajë harkun e një parabole me fokus F dhe direktriks LLў, pasi gjatësia totale e fillit është e barabartë me AB, pjesa e fillit është ngjitur me këmbën e lirë të trekëndëshit, dhe prandaj pjesa e mbetur e fillit PF duhet të jetë e barabartë me pjesët e mbetura të këmbës AB, d.m.th. PA. Pika e prerjes së V të parabolës me boshtin quhet kulm i parabolës, drejtëza që kalon nëpër F dhe V është boshti i parabolës. Nëse një vijë e drejtë vizatohet përmes fokusit, pingul me boshtin, atëherë segmenti i kësaj vije të drejtë i prerë nga parabola quhet parametri fokal. Për një elipsë dhe një hiperbolë, parametri fokal përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

PËRGJIGJE PËR BILETA: Nr. 1 (jo plotësisht), 2 (jo plotësisht), 3 (jo plotësisht), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (jo plotësisht), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,

Elementi në distancë.

Kur bëni vizatime, në disa raste bëhet e nevojshme të ndërtoni një imazh shtesë të veçantë të çdo pjese të një objekti që kërkon shpjegim në lidhje me formën, madhësinë ose të dhëna të tjera. Ky imazh quhet element i largët. Zakonisht kryhet i zmadhuar. Detajet mund të paraqiten si pamje ose si seksion.

Kur ndërtoni një element thirrës, vendi përkatës i imazhit kryesor shënohet me një vijë të ngushtë të mbyllur të hollë, zakonisht një ovale ose një rreth, dhe caktohet me një shkronjë të madhe të alfabetit rus në raftin e linjës drejtuese. Një hyrje e tipit A (5:1) bëhet për elementin në distancë. Në Fig. 191 tregon një shembull të zbatimit të një elementi të largët. Vendoset sa më afër që të jetë e mundur me vendin përkatës në imazhin e objektit.

1. Metoda e projeksionit drejtkëndor (ortogonal). Vetitë themelore të pandryshueshme të projeksionit drejtkëndor. Epure Monge.

Projeksioni ortogonal (drejtkëndor) është një rast i veçantë i projeksionit paralel, kur të gjitha rrezet projektuese janë pingul me rrafshin e projeksionit. Projeksionet ortogonale kanë të gjitha vetitë e projeksioneve paralele, por me projeksionin drejtkëndor, projeksioni i një segmenti, nëse nuk është paralel me rrafshin e projeksionit, është gjithmonë më i vogël se vetë segmenti (Fig. 58). Kjo shpjegohet me faktin se vetë segmenti në hapësirë ​​është hipotenuzë e një trekëndëshi kënddrejtë dhe projeksioni i tij është një këmbë: А "В" = ABcos a.

Me projeksionin drejtkëndor, një kënd i drejtë projektohet në madhësi të plotë kur të dy anët e tij janë paralele me rrafshin e projeksionit dhe kur vetëm njëra nga anët e tij është paralele me rrafshin e projeksionit dhe ana e dytë nuk është pingul me këtë plan projeksioni.

Pozicioni relativ i drejtëzës dhe rrafshit.

Një vijë e drejtë dhe një plan në hapësirë ​​mund:

• a) nuk kanë pika të përbashkëta;
• b) kanë saktësisht një pikë të përbashkët;
• c) të ketë të paktën dy pika të përbashkëta.

Në Fig. 30 përshkruan të gjitha këto mundësi.

Në rastin a) drejtëza b është paralele me rrafshin: b || .

Në rastin b) drejtëza l e pret rrafshin në një pikë O; l = O.

Në rastin c) drejtëza a i përket rrafshit: a ose a.

Teorema. Nëse drejtëza b është paralele me të paktën një drejtëz a që i përket rrafshit, atëherë drejtëza është paralele me rrafshin.

Supozojmë se drejtëza m e pret rrafshin në pikën Q. Nëse m është pingul me çdo drejtëz të rrafshit që kalon nëpër pikën Q, atëherë drejtëza m thuhet se është pingul me rrafshin.

Binarët e tramvajit ilustrojnë se linjat e drejta i përkasin rrafshit të tokës. Linjat e energjisë janë paralele me rrafshin e tokës, dhe trungjet e pemëve janë shembuj të vijave të drejta që kalojnë sipërfaqen e tokës, disa pingul me rrafshin e tokës, të tjerët jo pingul (zhdrejtë).

Vendndodhja

Shenjë: nëse një drejtëz që nuk shtrihet në një rrafsh të caktuar është paralele me ndonjë drejtëz që shtrihet në këtë rrafsh, atëherë ajo është paralele me rrafshin e dhënë.

1. nëse një rrafsh kalon nëpër një drejtëz të caktuar paralel me një rrafsh tjetër dhe e pret këtë rrafsh, atëherë drejtëza e prerjes së rrafsheve është paralele me drejtëzën e dhënë.

2. nëse njëra nga 2 drejtëzat është paralele me një të dhënë, atëherë drejtëza tjetër është ose paralele me një rrafsh të caktuar ose shtrihet në këtë rrafsh.

POZICIONI I NDËRMARRËS I PLANEVE. PARALELITETI I PLANEVE

Vendndodhja

1. aeroplanët kanë të paktën 1 pikë të përbashkët, d.m.th. kryqëzohen në vijë të drejtë

2. aeroplanët nuk kryqëzohen, d.m.th. nuk kanë 1 pikë të përbashkët, me ç'rast quhen paralele.

shenjë

nëse 2 drejtëza të kryqëzuara të 1 rrafshi janë përkatësisht paralele me 2 drejtëza të një rrafshi tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

i shenjtë

1. nëse 2 plane paralele priten 3, atëherë drejtëzat e kryqëzimit të tyre janë paralele

2. segmentet e drejtëzave paralele që përmbahen ndërmjet rrafsheve paralele janë të barabarta.

PERPENDIKULARITETI I DREJTËSISË DHE I RAFSHIT. SHENJË E PERPENDIKULARITETIT TË DREJTËSISË DHE TË RAFSHIT.

Emrat e drejtpërdrejtë pingul, nëse kryqëzohen nën<90.

Lema: Nëse 1 nga 2 drejtëzat paralele është pingul me drejtëzën e tretë, atëherë drejtëza tjetër është pingul me këtë drejtëz.

Një vijë e drejtë thuhet se është pingul me një rrafsh, nëse është pingul me ndonjë drejtëz në këtë rrafsh.

Teorema: Nëse 1 nga 2 drejtëzat paralele është pingul me një rrafsh, atëherë drejtëza tjetër është pingul me këtë rrafsh.

Teorema: Nëse 2 drejtëza janë pingul me një plan, atëherë ato janë paralele.

Shenjë

Nëse një drejtëz është pingul me 2 drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në një rrafsh, atëherë ajo është pingul me këtë rrafsh.

PERPENDIKULARE DHE E PJERRSHTE

Le të ndërtojmë një aeroplan e kështu me radhë, që nuk i përket aeroplanit. T.A e tyre do të vizatojmë një vijë të drejtë, pingul me rrafshin. Pika e prerjes së drejtëzës me rrafshin caktohet H. Segmenti AN është pingul i tërhequr nga pika A në rrafsh. T.N – baza e pingules. Le të marrim rrafshin t.M, i cili nuk përkon me H. Segmenti AM është i prirur, i tërhequr nga t.A në rrafsh. M – baza e pjerrët. Segmenti MH është një projeksion i një rrafshi të pjerrët mbi një plan. pingul AN - distanca nga t.A në plan. Çdo distancë është pjesë e një pingule.

Teorema e 3 pinguleve:

Një vijë e drejtë e tërhequr në një rrafsh përmes bazës së një plani të pjerrët pingul me projeksionin e tij në këtë rrafsh është gjithashtu pingul me vetë pjerrësinë.

KËNDI MIDIS NJË TË DREJTË DHE NJË RAFSH

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe Një rrafsh është këndi midis kësaj vije dhe projeksionit të saj në plan.

KËNDI DIHEDRAL. KËNDI MIDIS Aeroplanëve

Këndi dihedral quhet një figurë e formuar nga një vijë e drejtë dhe 2 gjysmërrafshe me një kufi të përbashkët a, që nuk i përkasin të njëjtit rrafsh.

Kufiri a - buzë e një këndi dihedral. Gjysmë avionë - faqet këndore dihedrale. Për të matur këndin dihedral. Duhet të ndërtoni një kënd linear brenda tij. Le të shënojmë një pikë në skajin e këndit dihedral dhe të vizatojmë një rreze nga kjo pikë në secilën faqe, pingul me skajin. Këndi i formuar nga këto rreze quhet këndi linear dihedral. Mund të ketë një numër të pafund të tyre brenda një këndi dihedral. Ata të gjithë kanë të njëjtën madhësi.

PERPENDIKULARITETI I DY RAFSHËVE

Quhen dy plane të kryqëzuara pingul, nëse këndi ndërmjet tyre është 90.

Shenjë:

Nëse 1 nga 2 rrafshe kalon nëpër një vijë pingul me një rrafsh tjetër, atëherë plane të tilla janë pingul.

POLYhedra

Polyedron– një sipërfaqe e përbërë nga shumëkëndësha dhe që kufizon një trup të caktuar gjeometrik. Skajet– shumëkëndëshat nga të cilët janë bërë shumëkëndëshat. Brinjë– anët e fytyrave. Majat- skajet e brinjëve. Diagonalja e një poliedri quhet segment që lidh 2 kulme që nuk i përkasin 1 faqe. Një rrafsh në të dy anët e të cilit ka pika të një poliedri quhet . avion prerës. Pjesa e përbashkët e poliedronit dhe zonës sekante quhet seksion kryq i një poliedri. Polyedra mund të jetë konveks ose konkave. Shumëkëndëshi quhet konveks, nëse ndodhet në njërën anë të rrafshit të secilës faqe të saj (tetraedri, paralelepiped, tetëkëndor). Në një shumëfaqësh konveks, shuma e të gjitha këndeve të rrafshët në çdo kulm është më e vogël se 360.

PRIZMAT

Një shumëfaqësh i përbërë nga 2 shumëkëndësha të barabartë të vendosur në rrafshe paralele dhe n - paralelogramë quhet prizëm.

Shumëkëndëshat A1A2..A(p) dhe B1B2..B(p) - baza e prizmit. А1А2В2В1…- paralelogramet, A(p)A1B1B(p) - skajet anësore. Segmentet A1B1, A2B2..A(p)B(p) - brinjë anësore. Në varësi të shumëkëndëshit që qëndron në themel të prizmit, prizmi i quajtur p-thëngjill. Një pingul i tërhequr nga çdo pikë e një baze në rrafshin e një baze tjetër quhet lartësia. Nëse skajet anësore të prizmit janë pingul me bazën, atëherë prizmi – drejt, dhe nëse jo pingul - është e pjerrët. Lartësia e një prizmi të drejtë është e barabartë me gjatësinë e skajit të saj anësor. Prizmi i drejtpërdrejtë është i saktë, nëse baza e tij është shumëkëndësha të rregullt, të gjitha faqet anësore janë drejtkëndësha të barabartë.

PARALEPIPED

ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (sipas natyrës së planeve paralele)

Një paralelipiped përbëhet nga 6 paralelograme. Paralelogramet quhen skajet. ABCD dhe А1В1С1Д1 janë bazat, fytyrat e mbetura quhen anësore. Pikat A B C D A1 B1 C1 D1 - majat. Segmentet e linjës që lidhin kulmet - brinjët AA1, BB1, SS1, DD1 - brinjë anësore.

Diagonalja e paralelepipedit është quhet segment që lidh 2 kulme që nuk i përkasin 1 faqe.

shenjtorët

1. Faqet e kundërta të paralelepipedit janë paralele dhe të barabarta. 2. Diagonalet e paralelipipedit priten në një pikë dhe përgjysmohen nga kjo pikë.

PIRAMIDA

Konsideroni shumëkëndëshin A1A2..A(n), një pikë P që nuk shtrihet në rrafshin e këtij shumëkëndëshi. Të lidhim pikën P me kulmet e shumëkëndëshit dhe të marrim n trekëndësha: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.

Polyedron i përbërë nga n-këndësh dhe n-trekëndësha quajtur një piramidë. Shumëkëndëshi – themeli. trekëndëshat - skajet anësore. R - maja e piramidës. Segmentet A1P, A2P..A(p)P - brinjë anësore. Në varësi të shumëkëndëshit që shtrihet në bazë, piramida quhet p-thëngjill. Lartësia e piramidës quhet pingul i tërhequr nga maja në rrafshin e bazës. Piramida quhet e saktë, nëse baza e tij përmban një shumëkëndësh të rregullt dhe lartësia e tij bie në qendër të bazës. Apotemë– lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt.

PIRAMIDA E PRAKTUAR

Merrni parasysh piramidën PA1A2A3A(n). Le të vizatojmë një plan prerës paralel me bazën. Ky aeroplan e ndan piramidën tonë në 2 pjesë: e sipërme është një piramidë e ngjashme me këtë, e poshtme është një piramidë e cunguar. Sipërfaqja anësore përbëhet nga një trapezoid. Brinjët anësore lidhin majat e bazave.

Teorema: Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt të cunguar është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës.

POLIHEDET E RREGULLT

Një shumëfaqësh konveks quhet i rregullt, nëse të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta dhe i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën kulm të tij. Një shembull i një poliedri të rregullt është kubi. Të gjitha faqet e saj janë katrore të barabarta dhe 3 skaje takohen në secilën kulm.

Tetraedron i rregullt i përbërë nga 4 trekëndësha barabrinjës. Çdo kulm është kulmi i 3 trekëndëshave. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 180.

Tetëkëndësh i rregullt i përbërë nga 8 trekëndësha barabrinjës. Çdo kulm është kulmi i 4 trekëndëshave. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm = 240

Ikozaedron i rregullt i përbërë nga 20 trekëndësha barabrinjës. Çdo kulm është një trekëndësh i kulmit 5. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 300.

Kub i përbërë nga 6 katrorë. Çdo kulm është kulmi i 3 katrorëve. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm = 270.

Dodekahedron i rregullt i përbërë nga 12 pesëkëndësha të rregullt. Çdo kulm është kulmi i 3 pesëkëndëshave të rregullt. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm = 324.

Nuk ka lloje të tjera poliedrash të rregullta.

CILINDRI

Një trup i kufizuar nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë me kufijtë L dhe L1 quhet cilindër. Qarqet L dhe L1 quhen bazat e cilindrit. Segmentet MM1, AA1 - formuese. Formimi i një sipërfaqe cilindrike ose anësore të një cilindri. Vijë e drejtë që lidh qendrat e bazave O dhe O1 boshti i cilindrit. Gjatësia e gjeneratorit - lartësia e cilindrit. Rrezja e bazës (r) – rrezja e cilindrit.

Seksionet e cilindrave

Aksiale kalon nëpër boshtin dhe diametrin e bazës

pingul me boshtin

Një cilindër është një trup rrotullues. Përftohet duke rrotulluar drejtkëndëshin rreth njërës anë të tij.

KONI

Konsideroni një rreth (o;r) dhe një drejtëz OP pingul me rrafshin e këtij rrethi. Përmes secilës pikë të rrethit L etj., do të vizatojmë segmente, të tilla janë pafundësisht shumë. Ato formojnë një sipërfaqe konike dhe quhen formuese.

R- kulm, OSE - boshti i sipërfaqes konike.

Një trup i kufizuar nga një sipërfaqe konike dhe një rreth me kufirin L quajtur një kon. rretho - baza e konit. Maja e sipërfaqes konike - maja e konit. Formimi i një sipërfaqe konike - duke formuar një kon. Sipërfaqja konike - sipërfaqja anësore e konit. RO - boshti i konit. Distanca nga P në O - lartësia e konit. Një kon është një trup rrotullues. Përftohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth një këmbë.

Seksioni i konit

Seksioni boshtor

Seksion pingul me boshtin

SFERË DHE TOPI

Sferë quhet një sipërfaqe e përbërë nga të gjitha pikat në hapësirë ​​të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar. Kjo pikë është qendra e sferës. Kjo distancë është rrezja e sferës.

Një segment që lidh 2 pika të një sfere dhe kalon nga qendra e saj quhet diametri i sferës.

Një trup i kufizuar nga një sferë e quajtur top. Qendra, rrezja dhe diametri i sferës quhen qendra, rrezja dhe diametri i topit.

Një sferë dhe një top janë trupa rrotullues. Sferë fitohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit, dhe top fitohet duke rrotulluar një gjysmërreth rreth diametrit.

në një sistem koordinativ drejtkëndor, ekuacioni i një sfere me rreze R me qendër C(x(0), y(0), Z(0) ka formën (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2)+(z-z(0))(2)= R(2)

Mund të drejtpërdrejtë i përkasin aeroplanit, bëhu ajo paralele ose kryq aeroplan. Një vijë i përket një rrafshi nëse dy pika që i përkasin vijës dhe rrafshit kanë të njëjtat lartësi. Pasoja që rrjedh nga ajo që u tha: një pikë i përket një rrafshi nëse i përket një drejtëze që shtrihet në këtë rrafsh.

Një drejtëz është paralele me një rrafsh nëse është paralele me një drejtëz që shtrihet në këtë rrafsh.

Një vijë e drejtë që kryqëzon një rrafsh. Për të gjetur pikën e kryqëzimit të një vije të drejtë me një plan, është e nevojshme (Fig. 3.28):

1) vizatoni një plan ndihmës përmes një drejtëze të caktuar m T;

2) ndërtoni një linjë n kryqëzimi i një rrafshi të caktuar Σ me një plan ndihmës T;

3) shënoni pikën e kryqëzimit R, dhënë vijë të drejtë m me vijën e kryqëzimit n.

Shqyrtoni problemin (Fig. 3.29) Drejtëza m përcaktohet në plan me një pikë A 6 dhe një kënd prirje prej 35°. Një plan ndihmës vertikal është tërhequr përmes kësaj linje T, e cila pret rrafshin Σ përgjatë vijës n (B 2 C 3). Kështu, njeriu lëviz nga pozicioni relativ i një vije të drejtë dhe një rrafshi në pozicionin relativ të dy vijave të drejta që shtrihen në të njëjtin plan vertikal. Ky problem zgjidhet duke ndërtuar profile të këtyre vijave të drejta. Kryqëzimi i vijave m Dhe n në profil përcakton pikën e dëshiruar R. Lartësia e pikës R përcaktuar nga shkalla e shkallës vertikale.

Vijë e drejtë pingul me rrafshin. Një drejtëz është pingul me një rrafsh nëse është pingul me çdo dy drejtëza të kryqëzuara të këtij rrafshi. Figura 3.30 tregon një vijë të drejtë m, pingul me rrafshin Σ dhe duke e prerë atë në pikën A. Në plan, projeksioni i drejtëzës m dhe planet horizontale janë reciprokisht pingul (një kënd i drejtë, njëra anë e të cilit është paralel me rrafshin e projeksionit, është projektuar pa shtrembërim. Të dyja vijat shtrihen në të njëjtin rrafsh vertikal, prandaj pozicionet e vijave të tilla janë të kundërta në madhësi me njëra-tjetrën. : l m = l/l u. Por l uΣ = lΣ, atëherë l m = l/lΣ, domethënë, pozicioni i drejtëzës m është në përpjesëtim të zhdrejtë me pozicionin e rrafshit. Rënia e një vije të drejtë dhe e një rrafshi drejtohen në drejtime të ndryshme.

3.4. Projeksione me shenja numerike. Sipërfaqet

3.4.1.Sipërfaqet poliedrike dhe të lakuara. Sipërfaqja topografike

Në natyrë, shumë substanca kanë një strukturë kristalore në formën e poliedrave. Një shumëkëndësh është një koleksion poligonesh të sheshtë që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh, ku secila anë e njërës prej tyre është gjithashtu një anë e tjetrës. Kur përshkruani një poliedron, mjafton të tregoni projeksionet e kulmeve të tij, duke i lidhur ato në një rend të caktuar me vija të drejta - projeksione të skajeve. Në këtë rast, është e nevojshme të tregohen skajet e dukshme dhe të padukshme në vizatim. Në Fig. Figura 3.31 tregon një prizëm dhe një piramidë, si dhe gjetjen e shenjave të pikave që u përkasin këtyre sipërfaqeve.

Një grup i veçantë i shumëkëndëshave konveks është grupi i shumëkëndëshave të rregullt në të cilin të gjitha faqet janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta dhe të gjitha këndet poligonale janë të barabartë. Ekzistojnë pesë lloje të shumëkëndëshave të rregullt.

Tetrahedron- një katërkëndësh i rregullt, i kufizuar nga trekëndësha barabrinjës, ka 4 kulme dhe 6 buzë (Fig. 3.32 a).

Heksahedron- gjashtëkëndësh i rregullt (kub) - 8 kulme, 12 skaje (Fig. 3.32b).

Tetëkëndësh- një tetëkëndësh i rregullt, i kufizuar nga tetë trekëndësha barabrinjës - 6 kulme, 12 skaje (Fig. 3.32c).

Dodekahedron- një dodekaedron i rregullt, i kufizuar nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt, të lidhur nga tre pranë çdo kulmi.

Ka 20 kulme dhe 30 buzë (Fig. 3.32 d).

Ikozaedri- një trekëndësh i rregullt njëzet brinjësh, i kufizuar nga njëzet trekëndësha barabrinjës, të lidhur nga pesë pranë çdo kulmi.12 kulme dhe 30 skaje (Fig. 3.32 d).

Kur ndërtoni një pikë të shtrirë në faqen e një poliedri, është e nevojshme të vizatoni një vijë të drejtë që i përket kësaj fytyre dhe të shënoni projeksionin e pikës në projeksionin e saj.

Sipërfaqet konike formohen duke lëvizur një gjenerator drejtvizor përgjatë një udhëzuesi të lakuar në mënyrë që në të gjitha pozicionet gjenerata të kalojë nëpër një pikë fikse - kulmin e sipërfaqes. Sipërfaqet e përgjithshme konike në plan përfaqësohen nga një vijë horizontale dhe një kulm. Në Fig. Figura 3.33 tregon vendndodhjen e një shenje pikë në sipërfaqen e një sipërfaqeje konike.

Një kon rrethor i drejtë përfaqësohet nga një seri rrathësh koncentrikë të vizatuar në intervale të barabarta (Fig. 3.34a). Kon eliptik me një bazë rrethore - një seri rrathësh ekscentrikë (Fig. 3.34 b)

Sipërfaqe sferike. Një sipërfaqe sferike klasifikohet si një sipërfaqe e rrotullimit. Formohet duke rrotulluar një rreth rreth diametrit të tij. Në plan, një sipërfaqe sferike përcaktohet nga qendra TE dhe projeksioni i njërës prej vijave të saj horizontale (ekuatori i sferës) (Fig. 3.35).

Sipërfaqja topografike. Një sipërfaqe topografike klasifikohet si një sipërfaqe gjeometrikisht e parregullt, pasi nuk ka një ligj gjeometrik të formimit. Për të karakterizuar një sipërfaqe, përcaktoni pozicionin e pikave të saj karakteristike në lidhje me planin e projektimit. Në Fig. 3.3 b a jep një shembull të një seksioni të një sipërfaqeje topografike, e cila tregon projeksionet e pikave të saj individuale. Megjithëse një plan i tillë bën të mundur marrjen e një ideje për formën e sipërfaqes së përshkruar, nuk është shumë e qartë. Për t'i dhënë vizatimit qartësi më të madhe dhe në këtë mënyrë për ta bërë më të lehtë leximin, projeksionet e pikave me shenja identike lidhen me vija të lakuara të lëmuara, të cilat quhen horizontale (izolina) (Fig. 3.36 b).

Vijat horizontale të një sipërfaqeje topografike ndonjëherë përkufizohen si vija të kryqëzimit të kësaj sipërfaqeje me rrafshe horizontale të larguara nga njëri-tjetri në të njëjtën distancë (Fig. 3.37). Dallimi në lartësitë midis dy vijave horizontale ngjitur quhet lartësia e seksionit.

Sa më i vogël të jetë ndryshimi në lartësitë midis dy vijave horizontale ngjitur, aq më i saktë është imazhi i një sipërfaqe topografike. Në plane, linjat e konturit mbyllen brenda vizatimit ose jashtë tij. Në shpatet më të pjerrëta, projeksionet sipërfaqësore të vijave të konturit afrohen më shumë; në shpatet e sheshta, projeksionet e tyre ndryshojnë.

Distanca më e shkurtër midis projeksioneve të dy vijave horizontale ngjitur në plan quhet shtrirje. Në Fig. 3.38 përmes pikës A në sipërfaqen topografike vizatohen disa segmente drejtvizore DHE TI Dhe pas Krishtit. Ata të gjithë kanë kënde të ndryshme të incidencës. Segmenti ka këndin më të madh të rënies AC, vendndodhja e së cilës është e një rëndësie minimale. Prandaj, do të jetë një projeksion i vijës së incidencës së sipërfaqes në një vend të caktuar.

Në Fig. 3.39 tregon një shembull të ndërtimit të një projeksioni të vijës së incidencës përmes një pike të caktuar A. Nga pika Një 100, sikur nga qendra, vizatoni një hark rrethi që prek vijën horizontale më të afërt në pikë Në 90. Pika në 90, horizontale ora 90, do t'i përkasë linjës së vjeshtës. Nga pika Në 90 vizatoni një hark tangjent në vijën tjetër horizontale në pikë nga 80, etj. Nga vizatimi duket qartë se vija e rënies së sipërfaqes topografike është një vijë e thyer, secila hallkë e së cilës është pingul me horizontalen, duke kaluar nga skaji i poshtëm i lidhjes, e cila ka një lartësi më të ulët.

3.4.2.Kryqëzimi i një sipërfaqe konike me një plan

Nëse një plan prerës kalon nëpër kulmin e një sipërfaqe konike, atëherë ai e kryqëzon atë përgjatë vijave të drejta që formojnë sipërfaqen. Në të gjitha rastet e tjera, vija e seksionit do të jetë një kurbë e sheshtë: një rreth, një elips, etj. Le të shqyrtojmë rastin e një sipërfaqeje konike që kryqëzon një rrafsh.

Shembulli 1. Ndërtoni projeksionin e vijës së kryqëzimit të një koni rrethor Φ( h o , S 5) me një rrafsh Ω paralel me gjeneratorin e sipërfaqes konike.

Një sipërfaqe konike me një vendndodhje të caktuar të planit kryqëzohet përgjatë një parabole. Duke interpoluar gjeneratorin t ndërtojmë vija horizontale të një koni rrethor - rrathë koncentrikë me qendër S 5 . Më pas përcaktojmë pikat e kryqëzimit të të njëjtave horizontale të rrafshit dhe konit (Fig. 3.40).

3.4.3. Prerje e sipërfaqes topografike me një rrafsh dhe një vijë të drejtë

Në zgjidhjen e problemeve gjeologjike më së shpeshti haset rasti i kryqëzimit të sipërfaqes topografike me një rrafsh. Në Fig. 3.41 jep një shembull të ndërtimit të kryqëzimit të një sipërfaqe topografike me rrafshin Σ. Kurba që po kërkoj m përcaktohen nga pikat e kryqëzimit të rrafsheve të njëjta horizontale dhe sipërfaqes topografike.

Në Fig. 3.42 jep një shembull të ndërtimit të një pamje të vërtetë të një sipërfaqe topografike me një rrafsh vertikal Σ. Drejtëza e kërkuar m përcaktohet me pika A, B, C... kryqëzimi i horizontaleve të sipërfaqes topografike me rrafshin e prerjes Σ. Në plan, projeksioni i kurbës degjeneron në një vijë të drejtë që përkon me projeksionin e planit: m≡ Σ. Profili i kurbës m është ndërtuar duke marrë parasysh vendndodhjen e projeksioneve të pikave të saj në plan, si dhe lartësitë e tyre.

3.4.4. Sipërfaqja me pjerrësi të barabartë

Një sipërfaqe me pjerrësi të barabartë është një sipërfaqe e rregulluar, të gjitha vijat e drejta të së cilës bëjnë një kënd konstant me rrafshin horizontal. Një sipërfaqe e tillë mund të merret duke lëvizur një kon rrethor të drejtë me një bosht pingul me rrafshin e planit, në mënyrë që maja e tij të rrëshqasë përgjatë një udhëzuesi të caktuar dhe boshti të mbetet vertikal në çdo pozicion.

Në Fig. Figura 3.43 tregon një sipërfaqe me pjerrësi të barabartë (i=1/2), udhëzuesi i së cilës është një kurbë hapësinore A, B, C, D.

Diplomimi i avionit. Si shembuj, merrni parasysh rrafshet e pjerrësisë së rrugës.

Shembulli 1. Pjerrësia gjatësore e rrugës i=0, pjerrësia e argjinaturës i n =1:1.5, (Fig. 3.44a). Kërkohet të vizatohen vija horizontale çdo 1 m. Zgjidhja zbret në sa vijon. Vizatojmë shkallën e pjerrësisë së rrafshit pingul me skajin e rrugës, shënojmë pika në një distancë të barabartë me një interval prej 1,5 m të marrë nga shkalla lineare dhe përcaktojmë shenjat 49, 48 dhe 47. Nëpër pikat e marra ne vizatoni konturet e shpatit paralel me skajin e rrugës.

Shembulli 2. Pjerrësia gjatësore e rrugës i≠0, pjerrësia e argjinaturës i n =1:1.5, (Fig. 3.44b). Rrafshi i rrugës është i klasifikuar. Pjerrësia e rrugës vlerësohet si më poshtë. Në pikën me kulmin 50.00 (ose një pikë tjetër) vendosim kulmin e konit, përshkruajmë një rreth me rreze të barabartë me intervalin e pjerrësisë së argjinaturës (në shembullin tonë l= 1.5 m). Lartësia e kësaj vije horizontale të konit do të jetë një më e vogël se lartësia e kulmit, d.m.th. 49 m. Vizatojmë një seri rrathësh, marrim shenjat horizontale 48, 47, tangjente me të cilat nga pikat e skajit me shenjat 49, 48, 47 vizatojmë horizontale të pjerrësisë së argjinaturës.

Diplomimi i sipërfaqeve.

Shembulli 3. Nëse pjerrësia gjatësore e rrugës është i = 0 dhe pjerrësia e argjinaturës është i n = 1: 1,5, atëherë vijat konturore të shpateve vizatohen nëpër pikat e shkallës së pjerrësisë, intervali i së cilës është i barabartë. në intervalin e shpateve të argjinaturës (Fig. 3.45a). Distanca midis dy projeksioneve të vijave horizontale ngjitur në drejtim të normës së përgjithshme (shkalla e pjerrësisë) është e njëjtë kudo.

Shembulli 4. Nëse pjerrësia gjatësore e rrugës është i≠0, dhe pjerrësia e argjinaturës është i n =1:1.5, (Fig. 3.45b), atëherë vijat e konturit ndërtohen në të njëjtën mënyrë, përveç se pjerrësia konturet vizatohen jo në vija të drejta, por në kthesa.

3.4.5. Përcaktimi i vijës kufitare të gërmimit

Meqenëse shumica e dherave nuk janë në gjendje të mbajnë mure vertikale, duhet të ndërtohen pjerrësi (struktura artificiale). Pjerrësia e dhënë nga një pjerrësi varet nga toka.

Për t'i dhënë një pjese të sipërfaqes së tokës pamjen e një rrafshi me një pjerrësi të caktuar, duhet të dini vijën e kufijve për punimet e gërmimit dhe gërmimit. Kjo linjë, duke kufizuar zonën e planifikuar, përfaqësohet nga linjat e kryqëzimit të shpateve të argjinaturave dhe gërmimeve me një sipërfaqe topografike të caktuar.

Meqenëse çdo sipërfaqe (përfshirë ato të sheshta) përshkruhet duke përdorur konturet, vija e kryqëzimit të sipërfaqeve është ndërtuar si një grup pikash kryqëzimi të kontureve me të njëjtat shenja. Le të shohim shembuj.

Shembulli 1. Në Fig. 3.46 tregon një strukturë prej balte në formën e një piramide të cunguar katërkëndëshe, që qëndron në një rrafsh N. Baza e sipërme ABCD piramida ka një shenjë 4 m dhe madhësive anësore 2×2,5 m. Faqet anësore (pjerrësitë e argjinaturës) kanë një pjerrësi 2:1 dhe 1:1, drejtimi i të cilave tregohet me shigjeta.

Është e nevojshme të ndërtohet një linjë e kryqëzimit të shpateve të strukturës me rrafshin N dhe ndërmjet tyre, si dhe të ndërtojnë një profil gjatësor përgjatë boshtit të simetrisë.

Së pari, ndërtohet një diagram i pjerrësisë, intervaleve dhe shkallëve të depozitimeve, si dhe shpateve të dhëna. pingul me secilën anë të vendit, shkallët e shpateve vizatohen në intervale të caktuara, pas së cilës projeksionet e vijave konturore me të njëjtat shenja të fytyrave ngjitur janë vijat e kryqëzimit të shpateve, të cilat janë projeksione të skajeve anësore të këtë piramidë.

Baza e poshtme e piramidës përkon me shpatet horizontale zero. Nëse kjo strukturë prej dheu përshkohet nga një rrafsh vertikal P, në seksion kryq do të merrni një vijë të thyer - profilin gjatësor të strukturës.

Shembulli 2. Ndërtoni një vijë kryqëzimi të shpateve të gropës me një pjerrësi të sheshtë dhe me njëra-tjetrën. poshtë ( ABCD) gropa është një zonë drejtkëndëshe me lartësi 10 m dhe përmasa 3x4 m. Aksi i kantierit bën një kënd prej 5° me vijën jug-veri. Shpatet e gërmimeve kanë të njëjtat pjerrësi 2:1 (Fig. 3.47).

Linja e punimeve zero vendoset sipas planit të kantierit. Ndërtohet në pikat e kryqëzimit të projeksioneve me të njëjtin emër të vijave horizontale të sipërfaqeve në shqyrtim. Në pikat e kryqëzimit të kontureve të shpateve dhe sipërfaqes topografike me të njëjtat shenja, gjendet vija e kryqëzimit të shpateve, që janë projeksione të skajeve anësore të një grope të caktuar.

Në këtë rast, shpatet anësore të gërmimeve janë ngjitur me fundin e gropës. Linjë abcd– vijën e dëshiruar të kryqëzimit. Aa, Bb, Cs, Dd– skajet e gropës, vijat e kryqëzimit të shpateve me njëra-tjetrën.

4. Pyetje për vetëkontroll dhe detyra për punë të pavarur me temën "Projeksionet drejtkëndore"

Pika

4.1.1. Thelbi i metodës së projeksionit.

4.1.2. Çfarë është projeksioni i pikës?

4.1.3. Si quhen dhe si caktohen planet e projektimit?

4.1.4. Cilat janë linjat e lidhjes së projektimit në një vizatim dhe si vendosen ato në vizatim në lidhje me boshtet e projeksionit?

4.1.5. Si të ndërtohet projeksioni i tretë (profili) i një pike?

4.1.6. Ndërtoni tre projeksione të pikave A, B, C në një vizatim me tre figura, shkruani koordinatat e tyre dhe plotësoni tabelën.

4.1.7. Ndërtoni boshtet e projeksionit që mungojnë, x A =25, y A =20. Ndërtoni një projeksion të profilit të pikës A.

4.1.8. Ndërtoni tre projeksione pikash sipas koordinatave të tyre: A(25,20,15), B(20,25,0) dhe C(35,0,10). Tregoni pozicionin e pikave në raport me rrafshet dhe boshtet e projeksioneve. Cila pikë është më afër rrafshit P3?

4.1.9. Pikat materiale A dhe B fillojnë të bien njëkohësisht. Në çfarë pozicioni do të jetë pika B kur pika A prek tokën? Përcaktoni dukshmërinë e pikave. Plot pika në pozicion të ri.

4.1.10. Ndërtoni tre projeksione të pikës A, nëse pika shtrihet në rrafshin P 3, dhe distanca prej saj në planin P 1 është 20 mm, në planin P 2 - 30 mm. Shkruani koordinatat e pikës.

Drejt

4.2.1. Si mund të përcaktohet një vijë e drejtë në një vizatim?

4.2.2. Cila drejtëzë quhet drejtëz në pozicionin e përgjithshëm?

4.2.3. Çfarë pozicioni mund të zërë një vijë e drejtë në raport me rrafshet e projeksionit?

4.2.4. Në cilin rast projeksioni i drejtëzës kthehet në një pikë?

4.2.5. Çfarë është karakteristikë e një vizatimi kompleks në nivel të drejtë?

4.2.6. Përcaktoni pozicionin relativ të këtyre vijave.

a…b a…b a…b

4.2.7. Ndërtoni projeksione të një segmenti drejtëz AB me gjatësi 20 mm, paralel me rrafshet: a) P 2; b) P 1; c) Boshti i kaut. Tregoni këndet e prirjes së segmentit ndaj planeve të projeksionit.

4.2.8. Ndërtoni projeksionet e segmentit AB duke përdorur koordinatat e skajeve të tij: A(30,10,10), B(10,15,30). Ndërtoni projeksionet e pikës C duke e ndarë segmentin në raportin AC:CB = 1:2.

4.2.9. Përcaktoni dhe regjistroni numrin e skajeve të këtij poliedri dhe pozicionin e tyre në raport me rrafshet e projeksionit.

4.2.10. Nëpër pikën A, vizatoni një vijë horizontale dhe një frontale që kryqëzojnë drejtëzën m.

4.2.11. Përcaktoni distancën midis vijës b dhe pikës A

4.2.12. Ndërtoni projeksione të një segmenti AB me gjatësi 20 mm, që kalon nga pika A dhe pingul me rrafshin a) P 2; b) P 1; c) P 3.

Stereometria

Rregullimi i ndërsjellë i vijave të drejta dhe planeve

Në hapësirë

Paralelizmi i drejtëzave dhe rrafsheve

Quhen dy rreshta në hapësirë paralele , nëse shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe nuk kryqëzohen.

Një vijë e drejtë dhe një plan quhen paralele , nëse nuk kryqëzohen.

Të dy avionët quhen paralele , nëse nuk kryqëzohen.

Drejtëzat që nuk priten dhe nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh quhen kryqëzimi .

Shenja e paralelizmit midis një drejtëze dhe një rrafshi. Nëse një drejtëz që nuk i përket një rrafshi është paralel me ndonjë drejtëz në këtë rrafsh, atëherë ajo është paralele me vetë rrafshin.

Shenja e planeve paralele. Nëse dy drejtëza të kryqëzuara të një rrafshi janë përkatësisht paralele me dy drejtëza të një rrafshi tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

Shenja e vijave të kalimit. Nëse njëra prej dy drejtëzave shtrihet në një rrafsh dhe tjetra e pret këtë rrafsh në një pikë që nuk i përket vijës së parë, atëherë këto drejtëza kryqëzohen.

Teorema në drejtëza paralele dhe plane paralele.

1. Dy drejtëza paralele me një drejtëz të tretë janë paralele.

2. Nëse njëra nga dy drejtëzat paralele pret një rrafsh, atëherë edhe drejtëza tjetër e pret këtë rrafsh.

3. Përmes një pike jashtë vijës së caktuar, mund të vizatoni një vijë paralele me atë të dhënë dhe vetëm një.

4. Nëse një drejtëz është paralele me secilin prej dy rrafsheve të kryqëzuara, atëherë ajo është paralele me vijën e tyre të prerjes.

5. Nëse dy rrafshe paralele priten nga një rrafsh i tretë, atëherë drejtëzat e prerjes janë paralele.

6. Përmes një pike që nuk shtrihet në një plan të caktuar, mund të vizatoni një rrafsh paralel me atë të dhënë dhe vetëm një.

7. Dy plane paralele me të tretin janë paralel me njëri-tjetrin.

8. Segmentet e drejtëzave paralele të përfshira ndërmjet rrafsheve paralele janë të barabarta.

Këndet ndërmjet drejtëzave dhe rrafsheve

Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit këndi ndërmjet një drejtëze dhe projeksionit të saj në një rrafsh quhet (këndi në figurën 1).

Këndi ndërmjet vijave të kryqëzuaraështë këndi ndërmjet drejtëzave prerëse paralele me drejtëzat e dhëna ndërprerëse.

Këndi dihedralështë një figurë e formuar nga dy gjysmërrafshe me një vijë të përbashkët. Quhen gjysëm plane skajet , drejt - buzë kënd dihedral.

Këndi linear Këndi dihedral është këndi ndërmjet gjysmëdrejtëzave që i përkasin faqeve të këndit dihedral, që dalin nga një pikë në buzë dhe pingul me skajin (këndi në Fig. 2).

Masa e shkallës (radianit) e një këndi dihedral është e barabartë me masën e shkallës (radianit) të këndit të tij linear.

Perpendikulariteti i vijave dhe planeve

Quhen dy drejtëza pingul nëse kryqëzohen në kënde të drejta.

Drejtëza që pret një rrafsh quhet pingul ky rrafsh nëse është pingul me ndonjë drejtëz në rrafshin që kalon në pikën e prerjes së kësaj drejtëze dhe rrafshit.

Të dy avionët quhen pingul , nëse kryqëzohen, ato formojnë kënde dykëndëshe të drejta.

Shenja e pingulitetit të drejtëzës dhe rrafshit. Nëse një drejtëz që pret një rrafsh është pingul me dy drejtëza që ndërpriten në këtë rrafsh, atëherë ajo është pingul me rrafshin.

Shenja e pingulitetit të dy rrafsheve. Nëse një rrafsh kalon nëpër një drejtëz pingul me një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë pingul.

Teorema në drejtëza dhe plane pingule.

1. Nëse një rrafsh është pingul me njërën prej dy drejtëzave paralele, atëherë ai është edhe pingul me tjetrën.

2. Nëse dy drejtëza janë pingul me të njëjtin rrafsh, atëherë ato janë paralele.

3. Nëse një drejtëz është pingul me njërin nga dy rrafshet paralele, atëherë ajo është edhe pingul me tjetrin.

4. Nëse dy rrafshe janë pingul me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele.

pingul dhe i zhdrejtë

Teorema. Nëse një vijë pingule dhe e pjerrët vizatohen nga një pikë jashtë rrafshit, atëherë:

1) ato të zhdrejtë që kanë projeksione të barabarta janë të barabarta;

2) nga dy të pjerrëta, ai që ka projeksionin më të madh është më i madh;

3) zhdrejtë të barabartë kanë projeksione të barabarta;

4) nga dy projeksionet, ai që i përgjigjet atij më të madh të zhdrejtë është më i madh.

Teorema tre pingule. Në mënyrë që një drejtëz e shtrirë në një rrafsh të jetë pingul me një të pjerrët, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që kjo drejtëz të jetë pingul me projeksionin e të pjerrës (Fig. 3).

Teorema mbi sipërfaqen e projeksionit ortogonal të një shumëkëndëshi në një plan. Zona e projeksionit ortogonal të një shumëkëndëshi në një rrafsh është e barabartë me produktin e sipërfaqes së shumëkëndëshit dhe kosinusit të këndit midis rrafshit të shumëkëndëshit dhe planit të projeksionit.

Ndërtimi.

1. Në aeroplan a ne kryejmë një direktivë A.

3. Në aeroplan b përmes pikës A le të bëjmë një direktivë b, paralel me vijën A.

4. Është ndërtuar një vijë e drejtë b paralel me rrafshin a.

Dëshmi. Bazuar në paralelizmin e një drejtëze dhe një rrafshi, një drejtëz b paralel me rrafshin a, pasi është paralel me drejtëzën A, që i përket avionit a.

Studimi. Problemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, që nga vija e drejtë A në aeroplan a zgjidhet rastësisht.

Shembulli 2. Përcaktoni se në çfarë largësie nga rrafshi ndodhet pika A, nëse drejt AB kryqëzon rrafshin në një kënd prej 45º, largësia nga pika A drejt e në temë NË që i përket rrafshit është i barabartë me cm?

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 5):

AC– pingul me rrafshin a, AB– i prirur, kënd ABC– këndi ndërmjet vijës së drejtë AB dhe aeroplan a. Trekëndëshi ABC– drejtkëndëshe sepse AC– pingul. Distanca e kërkuar nga pika A në aeroplan - kjo është këmba AC trekëndësh kënddrejtë. Duke ditur këndin dhe hipotenuzën cm, do të gjejmë këmbën AC:

Përgjigje: 3 cm.

Shembulli 3. Përcaktoni se në çfarë largësie nga rrafshi i një trekëndëshi dykëndësh ndodhet një pikë 13 cm nga secila kulme e trekëndëshit nëse baza dhe lartësia e trekëndëshit janë të barabarta me 8 cm?

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 6). Pika S larg pikëve A, NË Dhe ME në të njëjtën distancë. Pra, i prirur S.A., S.B. Dhe S.C. të barabartë, KËSHTU QË– pingulja e përbashkët e këtyre të pjerrët. Nga teorema e pjerrësive dhe projeksioneve AO = VO = CO.

Pika RRETH– qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi ABC. Le të gjejmë rrezen e saj:

Ku dielli– bazë;

pas Krishtit– lartësia e një trekëndëshi të dhënë dykëndësh.

Gjetja e brinjëve të një trekëndëshi ABC nga një trekëndësh kënddrejtë ABD sipas teoremës së Pitagorës:

Tani gjejmë OB:

Konsideroni një trekëndësh SOB: S.B.= 13 cm, OB= = 5 cm Gjeni gjatësinë e pingules KËSHTU QË sipas teoremës së Pitagorës:

Përgjigje: 12 cm.

Shembulli 4. Jepen plane paralele a Dhe b. Përmes pikës M, që nuk i përket asnjërit prej tyre, vizatohen vija të drejta A Dhe b atë kryq a në pika A 1 dhe NË 1 dhe avioni b– në pika A 2 dhe NË 2. Gjej A 1 NË 1 nëse dihet se MA 1 = 8 cm, A 1 A 2 = 12 cm, A 2 NË 2 = 25 cm.

Zgjidhje. Meqenëse kushti nuk thotë se si ndodhet pika në lidhje me të dy rrafshet M, atëherë janë të mundshme dy opsione: (Fig. 7, a) dhe (Fig. 7, b). Le të shohim secilin prej tyre. Dy vija të kryqëzuara A Dhe b përcaktoni një aeroplan. Ky plan kryqëzon dy rrafshe paralele a Dhe b përgjatë vijave paralele A 1 NË 1 dhe A 2 NË 2 sipas teoremës 5 rreth drejtëzave paralele dhe planeve paralele.

Trekëndëshat MA 1 NË 1 dhe MA 2 NË 2 janë të ngjashëm (këndet A 2 MV 2 dhe A 1 MV 1 - vertikale, qoshe MA 1 NË 1 dhe MA 2 NË 2 – shtrirja e brendshme kryq me vija paralele A 1 NË 1 dhe A 2 NË 2 dhe sekant A 1 A 2). Nga ngjashmëria e trekëndëshave rrjedh proporcionaliteti i brinjëve:

Opsioni a):

Opsioni b):

Përgjigje: 10 cm dhe 50 cm.

Shembulli 5. Përmes pikës A aeroplan g u hoq një vijë e drejtpërdrejtë AB, duke formuar një kënd me rrafshin a. Përmes direkt AB vizatohet një aeroplan r, duke u formuar me aeroplanin g qoshe b. Gjeni këndin midis projeksionit të një vije të drejtë AB tek aeroplani g dhe aeroplan r.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 8). Nga pika NË bie pingulen me rrafshin g. Këndi linear dihedral ndërmjet planeve g Dhe r- ky është një kënd i drejtë pas Krishtit DBC, bazuar në pingulitetin e një drejtëze dhe një rrafshi, si dhe në bazë të pingulitetit të planeve, një rrafsh r pingul me rrafshin e trekëndëshit DBC, meqenëse kalon nëpër vijë pas Krishtit. Ne ndërtojmë këndin e dëshiruar duke hequr pingulen nga pika ME tek aeroplani r, le ta shënojmë Gjeni sinusin e këtij këndi të një trekëndëshi kënddrejtë VETE. Le të prezantojmë një segment ndihmës a = para Krishtit. Nga një trekëndësh ABC: Nga një trekëndësh Marina do të gjejmë

Pastaj këndi i kërkuar

Përgjigje:

Detyrat për zgjidhje të pavarur

I niveloj

1.1. Nëpër një pikë, vizatoni një vijë pingul me dy drejtëza të dhëna kryqëzuese.

1.2. Përcaktoni sa plane të ndryshme mund të vizatohen:

1) përmes tre pikave të ndryshme;

2) nëpër katër pika të ndryshme, asnjë prej të cilave nuk shtrihet në të njëjtin plan?

1.3. Përmes kulmeve të trekëndëshit ABC shtrirë në një nga dy rrafshet paralele, vizatohen paralele që kryqëzojnë planin e dytë në pika A 1 , NË 1 , ME 1 . Vërtetoni barazinë e trekëndëshave ABC Dhe A 1 NË 1 ME 1 .

1.4. Nga fillimi A drejtkëndësh ABCD pingul i restauruar JAM në rrafshin e saj.

1) vërtetoni se trekëndëshat MBC Dhe MDC- drejtkëndëshe;

2) tregoni midis segmenteve M.B., M.C., M.D. Dhe M.A. segment i gjatësisë më të madhe dhe më të shkurtër.

1.5. Faqet e njërit kënd dihedral janë përkatësisht paralele me faqet e tjetrit. Përcaktoni marrëdhënien midis vlerave të këtyre këndeve dihedrale.

1.6. Gjeni vlerën e këndit dihedral nëse distanca nga një pikë e marrë në një faqe në skaj është 2 herë më e madhe se distanca nga pika në rrafshin e faqes së dytë.

1.7. Nga një pikë e ndarë nga rrafshi me një distancë, janë tërhequr dy pjerrësi të barabarta të pjerrëta, duke formuar një kënd prej 60º. Projeksionet e zhdrejtë janë reciprokisht pingul. Gjeni gjatësitë e atyre të pjerrëta.

1.8. Nga fillimi NË katrore ABCD pingul i restauruar BËHET në rrafshin e sheshit. Këndi i prirjes së rrafshit të trekëndëshit ACE me rrafshin e katrorit është i barabartë j, ana e sheshit është A ACE.

Niveli II

2.1. Përmes një pike që nuk i përket njërës prej dy drejtëzave kryqëzuese, vizatoni një vijë që pret të dy drejtëzat e dhëna.

2.2. Vijat paralele A, b Dhe Me mos shtrihuni në të njëjtin plan. Përmes pikës A në një vijë të drejtë A vizatohen pingulet në drejtëza b Dhe Me, duke i prerë ato në pikat përkatësisht NË Dhe ME. Vërtetoni se linja dielli pingul me vijat e drejta b Dhe Me.

2.3. Përmes majës A trekëndësh kënddrejtë ABC një plan është tërhequr paralel me dielli. Këmbët e një trekëndëshi AC= 20 cm, dielli= 15 cm Projeksioni i njërës nga këmbët në rrafsh është 12 cm Gjeni projeksionin e hipotenuzës.

2.4. Në njërën nga faqet e këndit dihedral të barabartë me 30º ka një pikë M. Largësia prej saj deri te skaji i këndit është 18 cm Gjeni distancën nga projeksioni i pikës M në fytyrën e dytë në fytyrën e parë.

2.5. Fundet e segmentit AB i përkasin faqeve të një këndi dihedral të barabartë me 90º. Largësia nga pikat A Dhe NË në buzë janë përkatësisht të barabarta AA 1 = 3 cm, BB 1 = 6 cm, distanca midis pikave në buzë Gjeni gjatësinë e segmentit AB.

2.6. Nga një pikë e vendosur në një distancë nga avioni A, vizatohen dy të pjerrëta, duke formuar kënde 45º dhe 30º me planin dhe një kënd 90º ndërmjet tyre. Gjeni distancën midis bazave të atyre të pjerrëta.

2.7. Brinjët e trekëndëshit janë 15 cm, 21 cm dhe 24 cm.Pikë M larguar nga rrafshi i trekëndëshit me 73 cm dhe ndodhet në të njëjtën distancë nga kulmet e tij. Gjeni këtë distancë.

2.8. Nga qendra RRETH rreth i gdhendur në një trekëndësh ABC, rikthehet një pingul në rrafshin e trekëndëshit OM. Gjeni distancën nga pika M në brinjët e trekëndëshit, nëse AB = BC = 10 cm, AC= 12 cm, OM= 4 cm.

2.9. Distancat nga pika M brinjëve dhe kulmit të këndit të drejtë janë përkatësisht 4 cm, 7 cm dhe 8 cm Gjeni distancën nga pika M në rrafshin e një këndi të drejtë.

2.10. Përmes bazës AB trekëndëshi dykëndësh ABC rrafshi vizatohet në një kënd b në rrafshin e trekëndëshit. Kulmi ME larguar nga avioni me një distancë A. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ABC, nëse baza AB i një trekëndëshi dykëndësh është i barabartë me lartësinë e tij.

Niveli III

3.1. Paraqitja drejtkëndëshe ABCD me palët A Dhe b të përkulur diagonalisht BD në mënyrë që rrafshet e trekëndëshave KEQ Dhe BCD u bë pingul reciprokisht. Gjeni gjatësinë e segmentit AC.

3.2. Dy trapezoide drejtkëndëshe me kënde 60º shtrihen në plane pingul dhe kanë një bazë të përbashkët më të madhe. Brinjët më të mëdha janë 4 cm dhe 8 cm Gjeni distancën midis kulmeve të drejtëzave dhe kulmeve të këndeve të mpirë të trapezeve nëse kulmet e këndeve akute të tyre përputhen.

3.3.Kubi i dhënë ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Gjeni këndin midis vijës së drejtë CD 1 dhe aeroplan BDC 1 .

3.4. Në buzë AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 pikë e marrë R- mesi i kësaj brinje. Ndërtoni një pjesë të kubit me një plan që kalon nëpër pika C 1 P.D. dhe gjeni sipërfaqen e këtij seksioni nëse skaji i kubit është i barabartë me A.

3.5. Përmes anës pas Krishtit drejtkëndësh ABCD vizatohet një aeroplan a në mënyrë që diagonalja BD bën një kënd prej 30º me këtë rrafsh. Gjeni këndin ndërmjet rrafshit të drejtkëndëshit dhe rrafshit a, Nëse AB = A, AD = b. Përcaktoni në çfarë raporti A Dhe b problemi ka zgjidhje.

3.6. Gjeni vendndodhjen e pikave të barabarta nga vijat e përcaktuara nga brinjët e trekëndëshit.

Prizma. Paralelepiped

Prizmaështë një shumëfaqësh, dy faqet e të cilit janë n-këndëshe të barabarta (bazat) , të shtrirë në plane paralele, dhe n faqet e mbetura janë paralelograme (fytyrat anësore) . Brinjë anësore Ana e prizmit që nuk i përket bazës quhet brinja e prizmit.

Një prizëm, skajet anësore të të cilit janë pingul me rrafshet e bazave quhet drejt prizëm (Fig. 1). Nëse skajet anësore nuk janë pingul me rrafshet e bazave, atëherë quhet prizmi të prirur . E sakte Një prizëm është një prizëm i drejtë, bazat e të cilit janë shumëkëndësha të rregullt.

Lartësia prizmi është distanca ndërmjet rrafsheve të bazave. Diagonale Një prizëm është një segment që lidh dy kulme që nuk i përkasin të njëjtës faqe. Seksioni diagonal quhet një seksion i prizmit nga një rrafsh që kalon nëpër dy skaje anësore që nuk i përkasin të njëjtës faqe. Seksion pingul quhet seksion i prizmit nga një rrafsh pingul me skajin anësor të prizmit.

Sipërfaqja anësore e një prizmi është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve anësore. Sipërfaqja totale quhet shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të prizmit (d.m.th. shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore dhe sipërfaqeve të bazave).

Për një prizëm arbitrar formulat e mëposhtme janë të vërteta::

Ku l– gjatësia e brinjës anësore;

H- lartësia;

P

P

Ana S

S plot

Baza S- zona e bazave;

V– vëllimi i prizmit.

Për një prizëm të drejtë, formulat e mëposhtme janë të sakta:

Ku fq– perimetri i bazës;

l– gjatësia e brinjës anësore;

H- lartësia.

paralelipiped quhet prizëm baza e të cilit është paralelogrami. Një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me bazat quhet e drejtpërdrejtë (Fig. 2). Nëse skajet anësore nuk janë pingul me bazat, atëherë quhet paralelepiped të prirur . Një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh quhet drejtkëndëshe. Quhet një paralelipiped drejtkëndor me të gjitha skajet të barabarta kubik

Fytyrat e një paralelepipedi që nuk kanë kulme të përbashkëta quhen e kundërt . Gjatësitë e skajeve që dalin nga një kulm quhen matjet paralelipiped. Meqenëse një paralelipiped është një prizëm, elementët kryesorë të tij përcaktohen në të njëjtën mënyrë siç përkufizohen për prizmat.

Teorema.

1. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe e përgjysmojnë atë.

2. Në një paralelipiped drejtkëndor, katrori i gjatësisë së diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij:

3. Të katër diagonalet e një paralelipipedi drejtkëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Për një paralelipiped arbitrar janë të vlefshme formulat e mëposhtme:

Ku l– gjatësia e brinjës anësore;

H- lartësia;

P– perimetri i seksionit pingul;

P– Sipërfaqja e prerjes tërthore pingul;

Ana S- sipërfaqja anësore;

S plot- sipërfaqja totale;

Baza S- zona e bazave;

V– vëllimi i prizmit.

Për një paralelipiped të drejtë, formulat e mëposhtme janë të sakta:

Ku fq– perimetri i bazës;

l– gjatësia e brinjës anësore;

H– lartësia e një paralelepipedi të djathtë.

Për një paralelipiped drejtkëndor formulat e mëposhtme janë të sakta:

Ku fq– perimetri i bazës;

H- lartësia;

d- diagonale;

a,b,c– matjet e një paralelepipedi.

Formulat e mëposhtme janë të sakta për një kub:

Ku a– gjatësia e brinjëve;

d- diagonalja e kubit.

Shembulli 1. Diagonalja e një paralelipipedi drejtkëndor është 33 dm dhe përmasat e tij janë në raportin 2: 6: 9. Gjeni përmasat e paralelepipedit.

Zgjidhje. Për të gjetur përmasat e paralelepipedit, përdorim formulën (3), d.m.th. nga fakti se katrori i hipotenuzës së një kuboidi është i barabartë me shumën e katrorëve të përmasave të tij. Le të shënojmë me k faktor proporcionaliteti. Atëherë dimensionet e paralelopipedit do të jenë të barabarta me 2 k, 6k dhe 9 k. Le të shkruajmë formulën (3) për të dhënat e problemit:

Zgjidhja e këtij ekuacioni për k, marrim:

Kjo do të thotë se dimensionet e paralelipipedit janë 6 dm, 18 dm dhe 27 dm.

Përgjigje: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Shembulli 2. Gjeni vëllimin e një prizmi trekëndor të pjerrët, baza e të cilit është një trekëndësh barabrinjës me brinjë 8 cm, nëse buza anësore është e barabartë me anën e bazës dhe e prirur në një kënd prej 60º me bazën.

Zgjidhje . Le të bëjmë një vizatim (Fig. 3).

Për të gjetur vëllimin e një prizmi të prirur, duhet të dini zonën e bazës dhe lartësisë së tij. Sipërfaqja e bazës së këtij prizmi është sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 8 cm. Le ta llogarisim atë:

Lartësia e një prizmi është distanca midis bazave të tij. Nga fillimi A 1 e bazës së sipërme, ulni pingul me rrafshin e bazës së poshtme A 1 D. Gjatësia e saj do të jetë lartësia e prizmit. Konsideroni D A 1 pas Krishtit: meqenëse ky është këndi i prirjes së buzës anësore A 1 A në rrafshin bazë, A 1 A= 8 cm Nga ky trekëndësh gjejmë A 1 D:

Tani ne llogarisim vëllimin duke përdorur formulën (1):

Përgjigje: 192 cm 3.

Shembulli 3. Buza anësore e një prizmi të rregullt gjashtëkëndor është 14 cm. Sipërfaqja e seksionit më të madh diagonal është 168 cm 2. Gjeni sipërfaqen totale të prizmit.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 4)

Seksioni më i madh diagonal është një drejtkëndësh A.A. 1 DD 1 që nga diagonale pas Krishtit gjashtëkëndësh i rregullt ABCDEFështë më i madhi. Për të llogaritur sipërfaqen anësore të prizmit, është e nevojshme të dihet ana e bazës dhe gjatësia e skajit anësor.

Duke ditur sipërfaqen e seksionit diagonal (drejtkëndësh), gjejmë diagonalen e bazës.

Që atëherë

Që atëherë AB= 6 cm.

Atëherë perimetri i bazës është:

Le të gjejmë sipërfaqen e sipërfaqes anësore të prizmit:

Sipërfaqja e një gjashtëkëndëshi të rregullt me ​​anë 6 cm është:

Gjeni sipërfaqen totale të prizmit:

Përgjigje:

Shembulli 4. Baza e një paralelepipedi të drejtë është një romb. Sipërfaqet e prerjes tërthore diagonale janë 300 cm2 dhe 875 cm2. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të paralelopipedit.

Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 5).

Le të shënojmë anën e rombit me A, diagonalet e një rombi d 1 dhe d 2, lartësia paralelipiped h. Për të gjetur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një paralelepipedi të djathtë, është e nevojshme të shumëzoni perimetrin e bazës me lartësinë: (formula (2)). Perimetri i bazës p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sepse ABCD- romb H = AA 1 = h. Se. Duhet gjetur A Dhe h.

Le të shqyrtojmë seksionet diagonale. AA 1 SS 1 - një drejtkëndësh, njëra anë e të cilit është diagonalja e një rombi AC = d 1, e dyta - buza anësore AA 1 = h, Pastaj

Në mënyrë të ngjashme për seksionin BB 1 DD 1 marrim:

Duke përdorur vetinë e një paralelogrami të tillë që shuma e katrorëve të diagonaleve të jetë e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha brinjëve të tij, marrim barazinë Ne marrim sa vijon:

Le të shprehemi nga dy barazitë e para dhe t'i zëvendësojmë ato në të tretën. Ne marrim: atëherë

1.3. Në një prizëm trekëndor të pjerrët, një seksion vizatohet pingul me skajin anësor të barabartë me 12 cm. Në trekëndëshin që rezulton, dy brinjë me gjatësi cm dhe 8 cm formojnë një kënd prej 45°. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit.

1.4. Baza e një paralelepipedi të drejtë është një romb me brinjë 4 cm dhe kënd akut 60°. Gjeni diagonalet e paralelopipedit nëse gjatësia e buzës anësore është 10 cm.

1.5. Baza e një paralelipipedi të drejtë është një katror me diagonale të barabartë me cm. Buza anësore e paralelepipedit është 5 cm. Gjeni sipërfaqen totale të paralelipipedit.

1.6. Baza e një paralelepipedi të pjerrët është një drejtkëndësh me brinjë 3 cm dhe 4 cm. Një skaj anësor i barabartë me cm është i prirur me rrafshin e bazës në një kënd prej 60 °. Gjeni vëllimin e paralelopipedit.

1.7. Llogaritni sipërfaqen e një paralelipipedi drejtkëndor nëse dy skajet dhe një diagonale që burojnë nga një kulm janë përkatësisht 11 cm, cm dhe 13 cm.

1.8. Përcaktoni peshën e një kolone guri në formën e një paralelepipedi drejtkëndor me përmasa 0,3 m, 0,3 m dhe 2,5 m, nëse pesha specifike e materialit është 2,2 g/cm 3.

1.9. Gjeni zonën e prerjes tërthore diagonale të një kubi nëse diagonalja e faqes së tij është e barabartë me dm.

1.10. Gjeni vëllimin e një kubi nëse distanca midis dy kulmeve të tij që nuk shtrihen në të njëjtën faqe është e barabartë me cm.

Niveli II

2.1. Baza e prizmit të pjerrët është trekëndësh barabrinjës me anë cm.Buza anësore është e prirur në rrafshin e bazës me kënd 30°. Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit që kalon nëpër skajin anësor dhe lartësinë e prizmit nëse dihet se një nga kulmet e bazës së sipërme është projektuar në mes të anës së bazës së poshtme.

2.2. Baza e prizmit të pjerrët është një trekëndësh barabrinjës ABC me brinjë të barabartë me 3 cm. Kulmi A 1 është projektuar në qendër të trekëndëshit ABC. Brinja AA 1 bën një kënd prej 45° me rrafshin bazë. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit.

2.3. Llogaritni vëllimin e një prizmi trekëndor të pjerrët nëse brinjët e bazës janë 7 cm, 5 cm dhe 8 cm, dhe lartësia e prizmit është e barabartë me lartësinë më të vogël të trekëndëshit bazë.

2.4. Diagonalja e një prizmi të rregullt katërkëndor është e prirur në faqen anësore në një kënd prej 30°. Gjeni këndin e prirjes ndaj rrafshit të bazës.

2.5. Baza e prizmit të drejtë është një trapez dykëndor, bazat e të cilit janë 4 cm dhe 14 cm, dhe diagonalja është 15 cm. Dy faqet anësore të prizmit janë katrore. Gjeni sipërfaqen totale të prizmit.

2.6. Diagonalet e prizmit të rregullt gjashtëkëndor janë 19 cm dhe 21 cm Gjeni vëllimin e tij.

2.7. Gjeni matjet e një paralelepipedi drejtkëndor, diagonalja e të cilit është 8 dm dhe formon kënde 30° dhe 40° me faqet anësore.

2.8. Diagonalet e bazës së një paralelepipedi të drejtë janë 34 cm dhe 38 cm, dhe sipërfaqet e faqeve anësore janë 800 cm 2 dhe 1200 cm 2. Gjeni vëllimin e paralelopipedit.

2.9. Përcaktoni vëllimin e një paralelepipedi drejtkëndor në të cilin diagonalet e faqeve anësore që dalin nga një kulm janë 4 cm dhe 5 cm dhe formojnë një kënd prej 60°.

2.10. Gjeni vëllimin e një kubi nëse distanca nga diagonalja e tij në një skaj që nuk kryqëzohet me të është mm.

Niveli III

3.1. Në një prizëm të rregullt trekëndor, një seksion tërhiqet përmes anës së bazës dhe mesit të skajit të kundërt. Sipërfaqja e bazës është 18 cm 2, dhe diagonalja e faqes anësore është e prirur nga baza në një kënd prej 60 °. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

3.2. Në bazën e prizmit shtrihet një katror ABCD, të gjitha kulmet e të cilit janë në distancë të barabartë nga kulmi A 1 i bazës së sipërme. Këndi ndërmjet skajit anësor dhe rrafshit bazë është 60°. Ana e bazës është 12 cm Ndërtoni një seksion të prizmit me një rrafsh që kalon nga kulmi C, pingul me skajin AA 1 dhe gjeni sipërfaqen e tij.

3.3. Baza e një prizmi të drejtë është një trapezoid isosceles. Sipërfaqja diagonale e prerjes tërthore dhe sipërfaqja e faqeve anësore paralele janë përkatësisht 320 cm 2, 176 cm 2 dhe 336 cm 2. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit.

3.4. Sipërfaqja e bazës së një prizmi trekëndor të drejtë është 9 cm 2, sipërfaqja e faqeve anësore është 18 cm 2, 20 cm 2 dhe 34 cm 2. Gjeni vëllimin e prizmit.

3.5. Gjeni diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor, duke ditur se diagonalet e faqeve të tij janë 11 cm, 19 cm dhe 20 cm.

3.6. Këndet e formuara nga diagonalja e bazës së një paralelipipedi drejtkëndor me anën e bazës dhe diagonalin e paralelipipedit janë përkatësisht të barabarta me a dhe b. Gjeni sipërfaqen anësore të paralelepipedit nëse diagonalja e tij është d.

3.7. Sipërfaqja e seksionit të kubit që është një gjashtëkëndësh i rregullt është e barabartë me cm 2. Gjeni sipërfaqen e kubit.