Funksioni kuadratik

Funksioni f(x)=ax2+bx2+c, Ku a, b, c- disa numra realë ( a 0), thirrur funksion kuadratik. Grafiku i një funksioni kuadratik quhet parabolë.

Funksioni kuadratik mund të reduktohet në formë

f(x)=a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/4a, (1)

shprehje b2-4ac thirrur diskriminuese trinomi katror. Paraqitja e një funksioni kuadratik në formën (1) quhet përzgjedhje katror i plotë.

Vetitë e një funksioni kuadratik dhe grafiku i tij

Fusha e përkufizimit të një funksioni kuadratik është e gjithë vija numerike.

Në b Funksioni 0 nuk është as çift dhe as tek. Në b=0 funksion kuadratik - çift.

Një funksion kuadratik është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në të gjithë domenin e tij të përkufizimit.

Funksioni ka një pikë të vetme kritike

x=-b/(2a). Nëse a>0, pastaj në pikën x=-b/(2a) funksioni ka një minimum. Në x<-b/(2a) funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike, me x>-b/(2a) rritet në mënyrë monotone.

Nëse A<0, то в точке x=-b/(2a) funksioni ka një maksimum. Në x<-b/(2a) funksioni rritet në mënyrë monotone, me x>-b/(2a) zvogëlohet në mënyrë monotone.

Grafik pikësor i një funksioni kuadratik me abshisë x=-b/(2a) dhe ordinator y= -((b2-4ac)/4a) thirrur kulmi i parabolës.

Zona e ndryshimit të funksionit: kur a>0 - grup vlerash funksioni [-((b2-4ac)/4a); +); në a<0 - множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)].

Grafiku i një funksioni kuadratik pret boshtin 0v në pikën y=c. Nëse b2-4ac>0, grafiku i një funksioni kuadratik pret boshtin 0x në dy pika (rrënjë reale të ndryshme të ekuacionit kuadratik); Nëse b2-4ac=0 (ekuacioni kuadratik ka një rrënjë të shumëzimit 2), grafiku i një funksioni kuadratik prek boshtin 0x në pikën x=-b/(2a); Nëse b2-4ac<0 , kryqëzimet me aksin 0x Nr.

Nga paraqitja e një funksioni kuadratik në formën (1) rezulton gjithashtu se grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me drejtëzën. x=-b/(2a)- imazhi i boshtit të ordinatës gjatë përkthimit paralel r=(-b/(2a); 0).

Grafiku i një funksioni

f(x)=ax2+bx+c

• (ose f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) mund të merret nga grafiku i një funksioni f(x)=x2 me transformimet e mëposhtme:
  • a) transferim paralel r=(-b/(2a); 0);
  • b) ngjeshja (ose shtrirja) në boshtin x c A një herë;
  • c) transferim paralel

r=(0; -((b2-4ac)/(4a))).

Funksioni eksponencial

Funksioni eksponencial quhet funksion i formës f(x)=akt, Ku A- thirret një numër real pozitiv bazën e diplomës. Në a=1 vlera e funksionit eksponencial për çdo vlerë të argumentit është e barabartë me një, dhe rasti A=1 nuk do të shqyrtohet më tej.

Vetitë e funksionit eksponencial.

Fusha e përkufizimit të një funksioni është e gjithë vija numerike.

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave pozitivë.

Funksioni është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në të gjithë domenin e tij të përkufizimit. Derivati ​​i funksionit eksponencial llogaritet duke përdorur formulën

(a x) = a xln a

Në A>1 funksion rritet në mënyrë monotone, me A<1 монотонно убывает.

Funksioni eksponencial ka një funksion të anasjelltë të quajtur funksioni logaritmik.

Grafiku i çdo funksioni eksponencial e pret boshtin 0v në pikën y=1.

Grafiku i një funksioni eksponencial është një kurbë e drejtuar në mënyrë konkave lart.

Grafiku i funksionit eksponencial në vlerë A=2 është paraqitur në Fig. 5

Funksioni logaritmik

Funksioni i anasjelltë i funksionit eksponencial y= a x quhet logaritmike dhe shënojnë

y=loga x.

Numri A thirrur bazë funksioni logaritmik. Një funksion logaritmik me bazë 10 shënohet me

dhe një funksion logaritmik me një bazë e tregojnë

Vetitë e funksionit logaritmik

Fusha e përcaktimit të funksionit logaritmik është intervali (0; +).

Gama e funksionit logaritmik është i gjithë diapazoni numerik.

Funksioni logaritmik është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në të gjithë domenin e tij të përkufizimit. Derivati ​​i një funksioni logaritmik llogaritet duke përdorur formulën

(loga x) = 1/(x ln a).

Një funksion logaritmik rritet në mënyrë monotonike nëse A> 1. Në 0<a<1 логарифмическая функция с основанием A zvogëlohet në mënyrë monotone. Për çdo arsye a>0, a 1, barazitë qëndrojnë

loga 1 = 0, loga = 1.

Në A>1 grafik i një funksioni logaritmik - një kurbë e drejtuar në mënyrë konkave nga poshtë; në 0<a<1 - кривая, направленная вогнутостью вверх.

Grafiku i funksionit logaritmik në A=2 është paraqitur në Fig. 6.

Identiteti bazë logaritmik

Funksioni i anasjelltë për funksionin eksponencial y= a x do të jetë një funksion logaritmik x =log a y. Sipas vetive të funksioneve reciprokisht të anasjellta f dhe f-I për të gjithë x nga fusha e përcaktimit të funksionit f-I(x). Në veçanti, për një funksion eksponencial dhe logaritmik, barazia (1) merr formën

a log a y=y.

Barazia (2) shpesh quhet identiteti bazë logaritmik. Për çdo pozitiv x, y Për funksionin logaritmik janë të vërteta barazitë e mëposhtme, të cilat mund të përftohen si pasojë e identitetit logaritmik kryesor (2) dhe vetive të funksionit eksponencial:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga(x)= logax(- çdo numër real);

loga=1;

Loga x = (logb x/ logb a) (b- numri real, b>0, b 1).

Në veçanti, nga formula e fundit për a=e, b=10 marrim barazinë

ln x = (1/(ln e)) lg x.(3)

numri lg e quhet moduli i kalimit nga logaritmet natyrore në ato dhjetore dhe shënohet me shkronjën M, dhe formula (3) zakonisht shkruhet në formën

lg x =M ln x.

Marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë

E ndryshueshme y thirrur në përpjesëtim të zhdrejtë e ndryshueshme x, nëse vlerat e këtyre variablave lidhen me barazi y = k/x, Ku k- një numër real i ndryshëm nga zero. Numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit të anasjelltë.

Vetitë e funksionit y = k/x

Domeni i një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç 0.

Domeni i një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç 0.

Funksioni f(x) = k/x- tek, dhe grafiku i tij është simetrik për origjinën. Funksioni f(x) = k/x e vazhdueshme dhe e diferencueshme në të gjithë fushën e përkufizimit. f(x) = -k/x2. Funksioni nuk ka pika kritike.

Funksioni f(x) = k/x për k>0 në mënyrë monotonike zvogëlohet në (-, 0) dhe (0, +), dhe për k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Grafiku i një funksioni f(x) = k/x për k>0 në intervalin (0, +) drejtohet në mënyrë konkave lart, kurse në intervalin (-, 0) - konkave poshtë. Në k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

Grafiku i një funksioni f(x) = k/x për vlerën k=1 është paraqitur në Fig. 7.

funksionet trigonometrike

Funksionet sin, cos, tg, ctg quhen funksionet trigonometrike qoshe. Përveç funksioneve kryesore trigonometrike sin, cos, tg, ctg, ekzistojnë edhe dy funksione trigonometrike të këndit - sekant Dhe kosekant, shënohet sek Dhe cosec përkatësisht.

Sinus numrat Xështë numri i barabartë me sinusin e këndit në radianë.

Vetitë e funksionit sin x.

Funksioni sin x është tek: sin (-x)=- sin x.

Funksioni sin x është periodik. Periudha më e vogël pozitive është 2:

sin (x+2)= mëkat x.

Zerot e funksionit: sin x=0 në x= n, n Z.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

sin x>0 në x (2 n; +2n), n Z,

mëkat x<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Funksioni sin x është i vazhdueshëm dhe ka një derivat për çdo vlerë të argumentit:

(sin x) =cos x.

Funksioni sin x rritet me x ((-/2)+2 n;(/2)+2n), n Z, dhe zvogëlohet si x ((/2)+2 n; ((3)/2)+ 2n),n Z.

Funksioni sin x ka vlera minimale të barabarta me -1 në x=(-/2)+2 n, n Z, dhe vlerat maksimale janë të barabarta me 1 në x=(/2)+2 n, n Z.

Grafiku i funksionit y=sin x është paraqitur në Fig. 8. Grafiku i funksionit sin x quhet sinusoid.

Vetitë e funksionit cos x

Fusha e përkufizimit është bashkësia e të gjithë numrave realë.

Gama e vlerave është intervali [-1; 1].

Funksioni cos x - çift: cos (-x)=cos x.

Funksioni cos x është periodik. Periudha më e vogël pozitive është 2:

cos (x+2)= cos x.

Zerot e funksionit: cos x=0 në x=(/2)+2 n, n Z.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

cos x>0 në x ((-/2)+2 n;(/2)+2n)), n Z,

cos x<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Funksioni cos x është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të argumentit:

(cos x) = -sin x.

Funksioni cos x rritet me x (-+2 n; 2n), n Z,

dhe zvogëlohet si x (2 n; + 2n),n Z.

Funksioni cos x ka vlera minimale të barabarta me -1 në x=+2 n, n Z, dhe vlerat maksimale janë të barabarta me 1 në x=2 n, n Z.

Grafiku i funksionit y=cos x është paraqitur në Fig. 9.

Vetitë e funksionit tg x

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë përveç x=/2+ n, n Z.

Funksioni tg x - tek: tg (-x)=- tg x.

Funksioni tg x është periodik. Periudha më e vogël pozitive e funksionit është:

tg (x+)= tg x.

Zerot e funksionit: tg x=0 në x= n, n Z.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

tan x>0 në x ( n; (/2)+n), n Z,

tg x<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Funksioni tg x është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të argumentit nga fusha e përkufizimit:

(tg x) =1/cos2 x.

Funksioni tg x rritet në secilin nga intervalet

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,

Grafiku i funksionit y=tg x është paraqitur në Fig. 10. Thirret grafiku i funksionit tg x tangentoid.

Vetitë e funksionit сtg x.

n, n Z.

Gama është bashkësia e të gjithë numrave realë.

Funksioni сtg x - tek: сtg (-х)=- сtg x.

Funksioni сtg x është periodik. Periudha më e vogël pozitive e funksionit është:

ctg (x+) = ctg x.

Zerot e funksionit: ctg x=0 në x=(/2)+ n, n Z.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

shtrat x>0 në x ( n; (/2)+n), n Z,

ctg x<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Funksioni ctg x është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të argumentit nga fusha e përkufizimit:

(ctg x) =-(1/sin2 x).

Funksioni ctg x zvogëlohet në secilin nga intervalet ( n;(n+1)), n Z.

Grafiku i funksionit y=сtg x është paraqitur në Fig. njëmbëdhjetë.

Vetitë e funksionit sec x.

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë, përveç numrave të formës

x=(/2)+ n, n Z.

Fushëveprimi:

Funksioni sec x - çift: sec (-x)= sec x.

Funksioni sec x është periodik. Periudha më e vogël pozitive e funksionit është 2:

sek (x+2)= sek x.

Funksioni sec x nuk shkon në zero për asnjë vlerë të argumentit.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

sek x>0 në x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,

sek x<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

Funksioni sec x është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të argumentit nga fusha e përcaktimit të funksionit:

(sek x) = mëkat x/cos2 x.

Funksioni sec x rritet në intervale

(2n;(/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n],n Z,

dhe zvogëlohet në mes

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

Grafiku i funksionit y=sek x është paraqitur në Fig. 12.

Vetitë e funksionit cosec x

Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë, përveç numrave të formës x= n, n Z.

Fushëveprimi:

Funksioni cosec x - tek: cosec (-x)= -cosec x.

Funksioni cosec x është periodik. Periudha më e vogël pozitive e funksionit është 2:

cosec (x+2)= cosec x.

Funksioni cosec x nuk shkon në zero për asnjë vlerë të argumentit.

Shenjoni intervalet e qëndrueshmërisë:

cosec x>0 në x (2 n; +2n), n Z,

cosec x<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

Funksioni cosec x është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm për çdo vlerë të argumentit nga domeni i funksionit:

(cosec x) =-(cos x/sin2 x).

Funksioni cosec x rritet në intervale

[(/2)+ 2n;+ 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n],n Z,

dhe zvogëlohet në mes

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

Grafiku i funksionit y=cosec x është paraqitur në Fig. 13.

Një funksion i formës y =a*x^2+b*x+c, ku a,b,c janë disa numra realë, dhe a është jozero dhe x,y janë ndryshore, quhet funksion kuadratik. Grafiku i funksionit kuadratik y =a*x^2+b*x+c është një drejtëz që quhet në matematikë parabolë. Pamje e përgjithshme e një paraboleështë paraqitur në figurën e mëposhtme.

Vlen të theksohet se nëse një funksion ka një koeficient a>0, atëherë parabola është e drejtuar me degët e saj lart, dhe nëse a grafiku i funksionit kuadratik është simetrik rreth boshtit të simetrisë. Boshti i simetrisë së parabolës është drejtëza e tërhequr nëpër pikën x=(-b)/(2*a), paralel me boshtin Oy.

Koordinatat e kulmit të parabolës përcaktohen nga formulat e mëposhtme:

x0=(-b)/(2*a) y0=y(x0)=(4*a*c-b^2)/4*a.

Figura më poshtë tregon një grafik të një funksioni kuadratik arbitrar. Hartimi i një grafiku të një funksioni kuadratik. Në figurë janë shënuar edhe kulmi i parabolës dhe boshti i simetrisë.

Në varësi të vlerës së koeficientit a, maja e parabolës do të jetë vlera minimale ose maksimale e funksionit kuadratik. Kur a>0, kulmi është vlera minimale e funksionit kuadratik dhe nuk ka vlerë maksimale. Kur a, boshti i simetrisë kalon nëpër kulmin e parabolës. Fusha e përkufizimit të një funksioni kuadratik është tërësia e numrave realë R.

Funksioni kuadratik y =a*x^2+b*x+c gjithmonë mund të shndërrohet në formën y=a*(x+k)^2+p, ku k=b/(2*a), p= (4* a*c-b^2)/(4*a). Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një shesh të plotë.

Ju lutemi vini re se pika me koordinata (-k;p) do të jetë kulmi i parabolës. Grafiku i funksionit kuadratik y=a*(x+k)^2+p mund të merret nga grafiku i funksionit y=a*x^2 duke përdorur përkthimin paralel.

Keni nevojë për ndihmë me studimet tuaja?