Ky manual do t'ju ndihmojë të mësoni se si të veproni veprimet me matrica: mbledhja (zbritja) e matricave, transpozimi i një matrice, shumëzimi i matricave, gjetja e matricës së kundërt. I gjithë materiali paraqitet në një formë të thjeshtë dhe të arritshme, jepen shembuj përkatës, kështu që edhe një person i papërgatitur mund të mësojë se si të kryejë veprime me matrica. Për vetë-monitorim dhe vetë-testim, mund të shkarkoni falas një kalkulator matricë >>>.

Do të përpiqem të minimizoj llogaritjet teorike; në disa vende janë të mundshme shpjegimet "në gishta" dhe përdorimi i termave joshkencor. Dashamirët e teorisë solide, ju lutemi mos u përfshini në kritika, detyra jonë është Mësoni të kryeni veprime me matrica.

Për përgatitjen SUPER FAST për temën (kush është "në zjarr") ekziston një kurs intensiv pdf Matricë, përcaktues dhe test!

Një matricë është një tabelë drejtkëndore e disa elementet. Si elementet do të shqyrtojmë numrat, pra matricat numerike. ELEMENTështë një term. Këshillohet të mbani mend termin, do të shfaqet shpesh, nuk është rastësi që kam përdorur font të theksuar për ta theksuar.

Përcaktimi: matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine

Shembull: Konsideroni një matricë dy nga tre:

Kjo matricë përbëhet nga gjashtë elementet:

Të gjithë numrat (elementet) brenda matricës ekzistojnë më vete, domethënë nuk bëhet fjalë për ndonjë zbritje:

Është vetëm një tabelë (grumbull) numrash!

Ne gjithashtu do të pajtohemi mos e riorganizoni numrat, përveç nëse përcaktohet ndryshe në shpjegime. Çdo numër ka vendndodhjen e vet dhe nuk mund të ngatërrohet!

Matrica në fjalë ka dy rreshta:

dhe tre kolona:

STANDARD: kur flasim për madhësitë e matricës, atëherë ne fillim tregoni numrin e rreshtave, dhe vetëm atëherë numrin e kolonave. Sapo kemi zbërthyer matricën dy nga tre.

Nëse numri i rreshtave dhe kolonave të një matrice është i njëjtë, atëherë matrica quhet katrore, Për shembull: - një matricë tre-nga-tre.

Nëse një matricë ka një kolonë ose një rresht, atëherë matrica të tilla quhen gjithashtu vektorët.

Në fakt, konceptin e një matrice e kemi njohur që në shkollë; merrni parasysh, për shembull, një pikë me koordinatat "x" dhe "y": . Në thelb, koordinatat e një pike shkruhen në një matricë një nga dy. Nga rruga, këtu është një shembull se pse renditja e numrave ka rëndësi: dhe janë dy pika krejtësisht të ndryshme në aeroplan.

Tani le të kalojmë te studimi veprimet me matrica:

1) Vepro një. Heqja e një minus nga matrica (futja e një minus në matricë).

Le të kthehemi në matricën tonë . Siç e keni vënë re ndoshta, ka shumë numra negativë në këtë matricë. Kjo është shumë e papërshtatshme nga pikëpamja e kryerjes së veprimeve të ndryshme me matricën, është e papërshtatshme të shkruash kaq shumë minuse, dhe thjesht duket e shëmtuar në dizajn.

Le ta zhvendosim minusin jashtë matricës duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Në zero, siç e kuptoni, shenja nuk ndryshon; zero është gjithashtu zero në Afrikë.

Shembull i kundërt: . Duket e shëmtuar.

Le të futim një minus në matricë duke ndryshuar shenjën e CDO elementi të matricës:

Epo, doli shumë më bukur. Dhe, më e rëndësishmja, do të jetë më e lehtë për të kryer çdo veprim me matricën. Sepse ekziston një shenjë e tillë popullore matematikore: sa më shumë minuse, aq më shumë konfuzion dhe gabime.

2) Akti i dytë. Shumëzimi i një matrice me një numër.

Shembull:

Është e thjeshtë, për të shumëzuar një matricë me një numër, ju duhet çdo elementi i matricës i shumëzuar me një numër të caktuar. Në këtë rast - një tre.

Një shembull tjetër i dobishëm:

- shumëzimi i një matrice me një thyesë

Së pari le të shohim se çfarë të bëjmë NUK KA NEVOJË:

NUK ka nevojë të futet një fraksion në matricë; së pari, kjo vetëm ndërlikon veprimet e mëtejshme me matricën, dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen (veçanërisht nëse – përgjigja përfundimtare e detyrës).

Dhe veçanërisht, NUK KA NEVOJË ndani çdo element të matricës me minus shtatë:

Nga artikulli Matematikë për dummies ose ku të filloni, kujtojmë se në matematikën e lartë përpiqen të shmangin në çdo mënyrë thyesat dhjetore me presje.

E vetmja gjë është mundësishtÇfarë duhet bërë në këtë shembull është të shtoni një minus në matricë:

Por nëse vetëm TE GJITHA Elementet e matricës u ndanë me 7 pa lënë gjurmë, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndahej.

Shembull:

Në këtë rast, ju mund DUHET shumëzojini të gjithë elementët e matricës me , pasi të gjithë numrat e matricës janë të pjesëtueshëm me 2 pa lënë gjurmë.

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollës së lartë nuk ekziston koncepti i "ndarjes". Në vend që të thoni "kjo pjesëtuar me atë", mund të thoni gjithmonë "kjo shumëzuar me një thyesë". Kjo do të thotë, pjesëtimi është një rast i veçantë i shumëzimit.

3) Akti i tretë. Transpozimi i matricës.

Për të transpozuar një matricë, duhet të shkruani rreshtat e saj në kolonat e matricës së transpozuar.

Shembull:

Transpozoni matricën

Këtu ka vetëm një rresht dhe, sipas rregullit, duhet të shkruhet në një kolonë:

– matrica e transpozuar.

Një matricë e transpozuar zakonisht tregohet nga një mbishkrim ose një kryetar në krye të djathtë.

Shembull hap pas hapi:

Transpozoni matricën

Së pari ne rishkruajmë rreshtin e parë në kolonën e parë:

Pastaj ne rishkruajmë rreshtin e dytë në kolonën e dytë:

Dhe së fundi, ne rishkruajmë rreshtin e tretë në kolonën e tretë:

Gati. Përafërsisht, transpozimi do të thotë të kthesh matricën në anën e saj.

4) Akti i katërt. Shuma (ndryshimi) i matricave.

Shuma e matricave është një veprim i thjeshtë.
JO TË GJITHA MATRICAT MUND TË PALOSEN. Për të kryer mbledhje (zbritje) të matricave, është e nevojshme që ato të jenë TË NJËJTË MADESISË.

Për shembull, nëse jepet një matricë dy-nga-dy, atëherë ajo mund të shtohet vetëm me një matricë dy-nga-dy dhe asnjë tjetër!

Shembull:

Shtoni matricat Dhe

Për të shtuar matricat, duhet të shtoni elementet e tyre përkatëse:

Për diferencën e matricave rregulli është i ngjashëm, është e nevojshme të gjendet dallimi i elementeve përkatëse.

Shembull:

Gjeni ndryshimin e matricës ,

Si mund ta zgjidhni më lehtë këtë shembull, për të mos u ngatërruar? Këshillohet që të hiqni qafe minuset e panevojshme; për ta bërë këtë, shtoni një minus në matricë:

Shënim: në teorinë e matematikës së shkollave të larta nuk ekziston koncepti i "zbritjes". Në vend që të thoni "zbrisni këtë nga kjo", gjithmonë mund të thoni "shtoni një numër negativ në këtë". Domethënë, zbritja është një rast i veçantë i mbledhjes.

5) Akti i pestë. Shumëzimi i matricës.

Cilat matrica mund të shumëzohen?

Në mënyrë që një matricë të shumëzohet me një matricë, është e nevojshme në mënyrë që numri i kolonave të matricës të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të matricës.

Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?

Kjo do të thotë që të dhënat e matricës mund të shumëzohen.

Por nëse matricat riorganizohen, atëherë, në këtë rast, shumëzimi nuk është më i mundur!

Prandaj, shumëzimi nuk është i mundur:

Nuk është aq e rrallë të hasësh detyra me truk, kur nxënësit i kërkohet të shumëzojë matrica, shumëzimi i të cilave është padyshim i pamundur.

Duhet të theksohet se në disa raste është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat.
Për shembull, për matricat, dhe shumëzimi dhe shumëzimi janë të mundshëm

>> Matricat

4.1.Matricat. Veprimet në matrica

Një matricë drejtkëndore me madhësi mxn është një koleksion numrash mxn të renditur në formën e një tabele drejtkëndore që përmban m rreshta dhe n kolona. Do ta shkruajmë në formë

ose të shkurtuar si A = (a i j) (i = ; j = ), numrat a i j quhen elementë të tij; Indeksi i parë tregon numrin e rreshtit, i dyti - numrin e kolonës. A = (a i j) dhe B = (b i j) me të njëjtën madhësi quhen të barabarta nëse elementët e tyre që qëndrojnë në të njëjtat vende janë të barabartë në çift, domethënë A = B nëse a i j = b i j.

Një matricë e përbërë nga një rresht ose një kolonë quhet përkatësisht vektor rreshti ose vektor kolone. Vektorët e kolonave dhe vektorët e rreshtave quhen thjesht vektorë.

Një matricë e përbërë nga një numër identifikohet me këtë numër. A me madhësi mxn, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me zero, quhen zero dhe shënohen me 0. Elementet me tregues të njëjtë quhen elementë të diagonales kryesore. Nëse numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave, domethënë m = n, atëherë matrica quhet matricë katrore e rendit n. Matricat katrore në të cilat vetëm elementet e diagonales kryesore janë jozero quhen diagonale dhe shkruhen si më poshtë:

.

Nëse të gjithë elementët a i i të diagonales janë të barabartë me 1, atëherë ajo quhet njësi dhe shënohet me shkronjën E:

.

Një matricë katrore quhet trekëndore nëse të gjithë elementët mbi (ose poshtë) diagonales kryesore janë të barabarta me zero. Transpozimi është një transformim në të cilin rreshtat dhe kolonat ndërrohen duke ruajtur numrat e tyre. Transpozimi tregohet me një T në krye.

Nëse i riorganizojmë rreshtat dhe kolonat në (4.1), marrim

,

i cili do të transpozohet në lidhje me A. Në veçanti, kur transpozohet një vektor kolone, fitohet një vektor rreshti dhe anasjelltas.

Prodhimi i A dhe numrit b është një matricë elementet e së cilës fitohen nga elementët përkatës të A duke shumëzuar me numrin b: b A = (b a i j).

Shuma A = (a i j) dhe B = (b i j) me madhësi të njëjtë quhet C = (c i j) me të njëjtën madhësi, elementet e së cilës përcaktohen me formulën c i j = a i j + b i j.

Produkti AB përcaktohet me supozimin se numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.

Prodhimi AB, ku A = (a i j) dhe B = (b j k), ku i = , j= , k= , i dhënë në një renditje të caktuar AB, quhet C = (c i k), elementet e të cilit përcaktohen nga rregulli i mëposhtëm:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Me fjalë të tjera, elementi i prodhimit AB përcaktohet si më poshtë: elementi i rreshtit të i-të dhe i kolonës k-të C është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të A dhe elementet përkatëse të kolonës k-të B.

Shembulli 2.1. Gjeni prodhimin e AB dhe .

Zgjidhje. Kemi: A me madhësi 2x3, B me madhësi 3x3, atëherë prodhimi AB = C ekziston dhe elementet e C janë të barabartë

Nga 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, nga 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, nga 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, dhe produkti BA nuk ekziston.

Shembulli 2.2. Tabela tregon numrin e njësive të produkteve që dërgohen çdo ditë nga qumështoret 1 dhe 2 në dyqanet M 1, M 2 dhe M 3, dhe dërgimi i një njësie të produktit nga secila qumështore në depo M 1 kushton 50 den. njësitë, te dyqani M 2 - 70, dhe M 3 - 130 den. njësi Llogaritni kostot ditore të transportit të çdo impianti.

Bimë qumështi

Zgjidhje. Le të shënojmë me A matricën që na është dhënë në kusht dhe me
B - matrica që karakterizon koston e dërgimit të një njësie produkti në dyqane, d.m.th.

,

Atëherë matrica e kostos së transportit do të duket si kjo:

.

Pra, fabrika e parë shpenzon 4750 denier për transport çdo ditë. njësi, e dyta - 3680 njësi monetare.

Shembulli 2.3. Kompania e rrobaqepësisë prodhon pallto dimërore, pallto demi-sezoni dhe mushama. Prodhimi i planifikuar për një dekadë karakterizohet nga vektori X = (10, 15, 23). Përdoren katër lloje të pëlhurave: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela tregon normat e konsumit të pëlhurës (në metra) për çdo produkt. Vektori C = (40, 35, 24, 16) specifikon koston e një metri pëlhure të çdo lloji dhe vektori P = (5, 3, 2, 2) specifikon koston e transportit të një metri pëlhure të secilit lloj.

	Konsumi i pëlhurës
Pallto dimri
Pallto gjysmë sezonale

1. Sa metra nga çdo lloj pëlhure do të nevojiten për të përfunduar planin?

2. Gjeni koston e pëlhurës së shpenzuar për qepjen e çdo lloj produkti.

3. Përcaktoni koston e gjithë pëlhurës së nevojshme për të përfunduar planin.

Zgjidhje. Le të shënojmë me A matricën që na është dhënë në kushtin, d.m.th.

,

pastaj për të gjetur numrin e metrave të pëlhurës që nevojiten për të përfunduar planin, duhet të shumëzoni vektorin X me matricën A:

Ne gjejmë koston e rrobave të shpenzuara për qepjen e produkteve të secilit lloj duke shumëzuar matricën A dhe vektorin C T:

.

Kostoja e të gjithë pëlhurës së nevojshme për të përfunduar planin do të përcaktohet nga formula:

Së fundi, duke marrë parasysh shpenzimet e transportit, e gjithë shuma do të jetë e barabartë me koston e pëlhurës, gjegjësisht 9472 den. njësi, plus vlerë

X A P T =
.

Pra, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (njësi parash).

Zgjidhja e matricave– një koncept që përgjithëson veprimet në matrica. Një matricë matematikore është një tabelë elementesh. Një tabelë e ngjashme me m rreshta dhe n kolona thuhet se është një matricë m nga n.
Pamje e përgjithshme e matricës

Elementet kryesore të matricës:
Diagonalja kryesore. Ai përbëhet nga elementët a 11, a 22.....a mn
Diagonale anësore. Ai përbëhet nga elementët a 1n, dhe 2n-1.....a m1.
Para se të kalojmë në zgjidhjen e matricave, le të shqyrtojmë llojet kryesore të matricave:
Sheshi– në të cilën numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave (m=n)
Zero - të gjithë elementët e kësaj matrice janë të barabartë me 0.
Matrica e transpozuar- matrica B e përftuar nga matrica origjinale A duke zëvendësuar rreshtat me kolona.
Beqare- të gjithë elementët e diagonales kryesore janë të barabartë me 1, të gjithë të tjerët janë 0.
matricë e anasjelltë- një matricë, kur shumëzohet me të cilën matrica origjinale rezulton në matricën e identitetit.
Matrica mund të jetë simetrike në lidhje me diagonalet kryesore dhe dytësore. Kjo do të thotë, nëse a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. atëherë matrica është simetrike në lidhje me diagonalen kryesore. Vetëm matricat katrore janë simetrike.
Tani le të kalojmë drejtpërdrejt në pyetjen se si të zgjidhim matricat.

Shtimi i matricës.

Matricat mund të shtohen në mënyrë algjebrike nëse kanë të njëjtin dimension. Për të shtuar matricën A me matricën B, duhet të shtoni elementin e rreshtit të parë të kolonës së parë të matricës A me elementin e parë të rreshtit të parë të matricës B, elementin e kolonës së dytë të rreshtit të parë të matricës A. me elementin e kolonës së dytë të rreshtit të parë të matricës B etj.
Vetitë e shtimit
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Shumëzimi i matricës.

Matricat mund të shumëzohen nëse janë konsistente. Matricat A dhe B konsiderohen të qëndrueshme nëse numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B.
Nëse A është me dimension m me n, B është me dimension n me k, atëherë matrica C=A*B do të jetë me dimension m me k dhe do të përbëhet nga elementë

Ku C 11 është shuma e produkteve në çift të elementeve të një rreshti të matricës A dhe një kolone të matricës B, domethënë, elementi është shuma e prodhimit të një elementi të kolonës së parë të rreshtit të parë të matricës A. me një element të kolonës së parë të rreshtit të parë të matricës B, një element të kolonës së dytë të rreshtit të parë të matricës A me një element të kolonës së parë të matricës së rreshtit të dytë B, etj.
Kur shumëzoni, rendi i shumëzimit është i rëndësishëm. A*B nuk është e barabartë me B*A.

Gjetja e përcaktorit.

Çdo matricë katrore mund të gjenerojë një përcaktues ose një përcaktues. Shkruan det. Ose | elementet e matricës |
Për matricat e dimensionit 2 me 2. Përcaktoni se ka një ndryshim midis prodhimit të elementeve të kryesore dhe elementeve të diagonales dytësore.

Për matricat me dimensione 3 me 3 ose më shumë. Operacioni i gjetjes së përcaktorit është më i ndërlikuar.
Le të prezantojmë konceptet:
Element i vogël– është përcaktuesi i një matrice të marrë nga matrica origjinale duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën e matricës origjinale në të cilën ndodhej ky element.
Komplement algjebrik elementi i një matrice është prodhimi i minorit të këtij elementi me -1 në fuqinë e shumës së rreshtit dhe kolonës së matricës origjinale në të cilën ndodhej ky element.
Përcaktori i çdo matrice katrore është i barabartë me shumën e prodhimit të elementeve të çdo rreshti të matricës nga plotësimet e tyre algjebrike përkatëse.

Inversioni i matricës

Inversioni i matricës është procesi i gjetjes së inversit të një matrice, përkufizimin e së cilës e dhamë në fillim. Matrica e anasjelltë shënohet në të njëjtën mënyrë si ajo origjinale me shtimin e shkallës -1.
Gjeni matricën e anasjelltë duke përdorur formulën.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Ku A * T është Matrica e Transpozuar e Komplementeve Algjebrike.

Ne bëmë shembuj të zgjidhjes së matricave në formën e një video tutoriali

:

Nëse doni ta kuptoni, sigurohuni që ta shikoni.

Këto janë veprimet bazë për zgjidhjen e matricave. Nëse keni pyetje shtesë rreth si të zgjidhni matricat, mos ngurroni të shkruani në komente.

Nëse ende nuk mund ta kuptoni, provoni të kontaktoni një specialist.

Qëllimi i shërbimit. Llogaritësi i matricës projektuar për zgjidhjen e shprehjeve të matricës, të tilla si 3A-CB 2 ose A -1 +B T .

Udhëzimet. Për një zgjidhje në internet, duhet të specifikoni një shprehje matrice. Në fazën e dytë, do të jetë e nevojshme të sqarohet dimensioni i matricave.

Veprimet në matrica

Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).

Veprime të vlefshme: shumëzim (*), mbledhje (+), zbritje (-), matricë e anasjelltë A^(-1), fuqizim (A^2, B^3), transpozim i matricës (A^T).
Për të kryer një listë operacionesh, përdorni një ndarës me pikëpresje (;). Për shembull, për të kryer tre operacione:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
do t'ju duhet ta shkruani kështu: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Një matricë është një tabelë numerike drejtkëndëshe me m rreshta dhe n kolona, ​​kështu që matrica mund të përfaqësohet skematikisht si një drejtkëndësh.
Matricë zero (matricë zero)është një matricë, elementët e së cilës janë të gjithë të barabartë me zero dhe shënohen me 0.
Matrica e identitetit quhet matricë katrore e formës

Dy matrica A dhe B janë të barabarta, nëse kanë të njëjtën madhësi dhe elementët përkatës janë të barabartë.
Matricë njëjësështë një matricë përcaktorja e së cilës është e barabartë me zero (Δ = 0).

Le të përcaktojmë veprimet bazë në matrica.

Shtimi i matricës

Përkufizimi . Shuma e dy matricave me të njëjtën madhësi është një matricë me të njëjtat dimensione, elementët e së cilës gjenden sipas formulës . Shënohet me C = A+B.

Shembulli 6. .
Operacioni i mbledhjes së matricës shtrihet në rastin e çdo numri termash. Është e qartë se A+0=A.
Le të theksojmë edhe një herë se mund të shtohen vetëm matrica me të njëjtën madhësi; Për matricat e madhësive të ndryshme, operacioni i mbledhjes nuk është i përcaktuar.

Zbritja e matricave

Përkufizimi . Dallimi B-A i matricave B dhe A me të njëjtën madhësi është një matricë C e tillë që A+ C = B.

Shumëzimi i matricës

Përkufizimi . Prodhimi i një matrice me një numër α është një matricë e përftuar nga A duke shumëzuar të gjithë elementët e saj me α, .
Përkufizimi . Le të jepen dy matrica dhe , dhe numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B. Prodhimi i A nga B është një matricë elementet e së cilës gjenden sipas formulës .
Shënohet me C = A·B.
Skematikisht, funksionimi i shumëzimit të matricës mund të përshkruhet si më poshtë:

dhe rregulli për llogaritjen e një elementi në një produkt:

Le të theksojmë edhe një herë se prodhimi A·B ka kuptim nëse dhe vetëm nëse numri i kolonave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytit dhe produkti prodhon një matricë, numri i rreshtave të së cilës është i barabartë me numri i rreshtave të faktorit të parë, dhe numri i kolonave është i barabartë me numrin e kolonave të të dytit. Ju mund të kontrolloni rezultatin e shumëzimit duke përdorur një kalkulator të veçantë në internet.

Shembulli 7. Matricat e dhëna Dhe . Gjeni matricat C = A·B dhe D = B·A.
Zgjidhje. Para së gjithash, vini re se prodhimi A·B ekziston sepse numri i kolonave të A është i barabartë me numrin e rreshtave të B.

Vini re se në rastin e përgjithshëm A·B≠B·A, d.m.th. produkti i matricave është antikomutativ.
Le të gjejmë B·A (shumëzimi është i mundur).

Shembulli 8. Jepet një matricë . Gjeni 3A 2 – 2A.
Zgjidhje.

.
; .
.
Le të vërejmë faktin interesant të mëposhtëm.
Siç e dini, prodhimi i dy numrave jozero nuk është i barabartë me zero. Për matricat, një rrethanë e ngjashme mund të mos ndodhë, domethënë, produkti i matricave jo zero mund të rezultojë i barabartë me matricën zero.

Algjebra lineare 1

Matricat 1

Veprimet në matricat 2

Përcaktuesit e matricës 6

Matrica e anasjelltë 13

Renditja e matricës 16

Pavarësia lineare 21

Sistemet e ekuacioneve lineare 24

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare 27

Metoda e matricës së kundërt 27

Metoda për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare me një matricë katrore duke përdorur formulat e Cramer-it 29

Metoda Gaussian (metoda e eliminimit sekuencial të variablave) 31

Matricat lineare të Algjebrës

Matricë madhësia mxn është një tabelë drejtkëndore e numrave që përmban m rreshta dhe n kolona. Numrat që përbëjnë një matricë quhen elementë matricë.

Matricat zakonisht shënohen me shkronja të mëdha latine, dhe elementet me të njëjtat shkronja, por të vogla me indeksim të dyfishtë.

Për shembull, merrni parasysh një matricë 2 x 3 A:

Kjo matricë ka dy rreshta (m= 2) dhe tre kolona (n= 3), d.m.th. ai përbëhet nga gjashtë elementë a ij, ku i është numri i rreshtit, j është numri i kolonës. Në këtë rast, merr vlera nga 1 në 2, dhe nga një në tre (të shkruara
). Përkatësisht, a 11 = 3; a 12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Matricat A dhe B me të njëjtën madhësi (mxn) quhen të barabartë, nëse përkojnë element për element, pra a ij =b ij për
, d.m.th. për çdo i dhe j (mund të shkruhet i, j).

Matricë-rreshtështë një matricë e përbërë nga një rresht, dhe matricë-kolonaështë një matricë e përbërë nga një kolonë.

Për shembull,
është një matricë rreshti, dhe
.

Matrica katrore Rendi i n-të është një matricë, numri i rreshtave është i barabartë me numrin e kolonave dhe i barabartë me n.

Për shembull,
- matricë katrore e rendit të dytë.

Diagonale Elementet e matricës janë elementë, numri i rreshtit të të cilëve është i barabartë me numrin e kolonës (a ij ,i=j). Këta elementë formohen diagonale kryesore matricat. Në shembullin e mëparshëm, diagonalja kryesore formohet nga elementët a 11 = 3 dhe a 22 = 5.

Matrica diagonaleështë një matricë katrore në të cilën të gjithë elementët jo diagonale janë zero. Për shembull,
- matricë diagonale e rendit të tretë. Nëse të gjithë elementët diagonale janë të barabartë me një, atëherë matrica quhet beqare(zakonisht shënohet me shkronjën E). Për shembull,
është një matricë identiteti e rendit të tretë.

Matrica quhet i pavlefshëm, nëse të gjithë elementët e tij janë të barabartë me zero.

Matrica katrore quhet trekëndëshi, nëse të gjithë elementët e tij poshtë (ose sipër) diagonales kryesore janë të barabarta me zero. Për shembull,
- matricë trekëndore e rendit të tretë.

Veprimet në matrica

Veprimet e mëposhtme mund të kryhen në matrica:

1. Shumëzimi i një matrice me një numër. Prodhimi i matricës A dhe numrit fi është matrica B =A, elementet e së cilës janë b ij =a ij për çdo i dhe j.

Për shembull, nëse
, Kjo
.

2. Shtimi i matricës. Shuma e dy matricave A dhe B me madhësi të njëjtë m x n është matrica C = A + B, elementet e së cilës janë me ij =a ij +b ij përi,j.

Për shembull, nëse
Se

.

Vini re se përmes operacioneve të mëparshme mund të përcaktohet zbritja e matricës të së njëjtës madhësi: diferenca A-B = A + (-1)*B.

3. Shumëzimi i matricës. Prodhimi i një matrice A me madhësi mxn nga një matricë B me madhësi nxp është një matricë C, çdo element i së cilës me ij është i barabartë me shumën e produkteve të elementeve të rreshtit të i-të të matricës A me numrin përkatës. elementet e kolonës j të matricës B, d.m.th.
.

Për shembull, nëse

, atëherë madhësia e matricës së produktit do të jetë 2 x 3 dhe do të duket si kjo:

Në këtë rast, matrica A thuhet se është në përputhje me matricën B.

Bazuar në veprimin e shumëzimit për matricat katrore, përcaktohet operacioni fuqizimi. Fuqia e plotë pozitive A m (m > 1) e një matrice katrore A është prodhimi i m matricave të barabarta me A, d.m.th.

Theksojmë se mbledhja (zbritja) dhe shumëzimi i matricave nuk janë përcaktuar për asnjë dy matricë, por vetëm për ato që plotësojnë kërkesa të caktuara për dimensionin e tyre. Për të gjetur shumën ose ndryshimin e matricave, madhësia e tyre duhet të jetë e njëjtë. Për të gjetur produktin e matricave, numri i kolonave të së parës duhet të përputhet me numrin e rreshtave të të dytës (matrica të tilla quhen rënë dakord).

Le të shqyrtojmë disa veti të operacioneve të konsideruara, të ngjashme me vetitë e veprimeve mbi numrat.

1) Ligji komutativ (komutativ) i shtimit:

A + B = B + A

2) Ligji asociativ (kombinativ) i shtimit:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Ligji shpërndarës (shpërndarës) i shumëzimit në lidhje me mbledhjen:

(A + B) = A +B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) Ligji asociativ (kombinativ) i shumëzimit:

(AB) = (A)B = A(B)

A(BC) = (AB)C

Theksojmë se ligji komutativ i shumëzimit për matricat NUK plotësohet në rastin e përgjithshëm, d.m.th. AB BA. Për më tepër, ekzistenca e AB nuk nënkupton domosdoshmërisht ekzistencën e BA (matricat mund të mos jenë konsistente, dhe atëherë produkti i tyre nuk përcaktohet fare, si në shembullin e mësipërm të shumëzimit të matricës). Por edhe nëse ekzistojnë të dyja veprat, ato zakonisht janë të ndryshme.

Në një rast të veçantë, prodhimi i çdo matrice katrore A dhe një matrice identiteti të të njëjtit rend ka një ligj komutativ dhe ky produkt është i barabartë me A (shumëzimi me matricën e identitetit këtu është i ngjashëm me shumëzimin me një kur shumëzoni numrat):

AE = EA = A

Me të vërtetë,

Le të theksojmë një ndryshim tjetër midis shumëzimit të matricës dhe shumëzimit të numrave. Një produkt i numrave mund të jetë i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri prej tyre është i barabartë me zero. Kjo nuk mund të thuhet për matricat, d.m.th. produkti i matricave jozero mund të jetë i barabartë me një matricë zero. Për shembull,

Le të vazhdojmë shqyrtimin tonë të operacioneve mbi matricat.

4. Transpozimi i matricës përfaqëson veprimin e kalimit nga një matricë A me madhësi mxn në një matricë A T me madhësi nxm, në të cilën rreshtat dhe kolonat ndërrohen:

%.

Karakteristikat e operacionit të transpozimit:

1) Nga përkufizimi rrjedh se nëse matrica transpozohet dy herë, ne kthehemi në matricën origjinale: (A T) T = A.

2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e transpozicionit: (A) ​​T =A T .

3) Transpozimi është shpërndarës në lidhje me shumëzimin dhe mbledhjen e matricës: (AB) T =B T A T dhe (A+B) T =B T +A T .