Pritshmëria matematikore e tabelës së shpërndarjes. Vetitë e pritjes matematikore. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Siç dihet tashmë, ligji i shpërndarjes karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme. Megjithatë, shpesh ligji i shpërndarjes është i panjohur dhe duhet të kufizohet në më pak informacion. Ndonjëherë është edhe më fitimprurëse të përdoren numra që përshkruajnë variablin e rastësishëm në total; numra të tillë quhen karakteristikat numerike ndryshore e rastësishme .
Një nga karakteristikat e rëndësishme numerike është pritshmëria matematikore.
Vlera e pritshme afërsisht e barabartë me vlerën mesatare të ndryshores së rastësishme.
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskreteështë shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme dhe probabiliteteve të tyre.
Nëse një ndryshore e rastësishme karakterizohet nga një seri e fundme shpërndarjeje:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | f 1 | f 2 | f 3 | … | r fq |
pastaj pritshmëria matematikore M(X) përcaktohet nga formula:
Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme përcaktohet nga barazia:
ku është dendësia e probabilitetit të ndryshores së rastit X.
Shembulli 4.7. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve që shfaqen gjatë hedhjes së një zari.
Zgjidhja:
Vlera e rastësishme X merr vlerat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Le të krijojmë ligjin e shpërndarjes së tij:
| X | ||||||
| R |
Atëherë pritshmëria matematikore është:
Vetitë e pritjes matematikore:
1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën:
M (S) = S.
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:
M (CX) = CM (X).
3. Pritja matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:
M(XY) = M(X)M(Y).
Shembulli 4.8. Variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y jepen nga ligjet e mëposhtme të shpërndarjes:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme XY.
Zgjidhje.
Le të gjejmë pritshmëritë matematikore të secilës prej këtyre sasive:
Variabla të rastësishme X Dhe Y e pavarur, prandaj pritshmëria e kërkuar matematikore është:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Pasoja. Pritja matematikore e produktit të disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Pasoja. Pritshmëria matematikore e shumës së disa ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.
Shembulli 4.9. Janë lëshuar 3 të shtëna me probabilitet të barabartë për të goditur objektivin f 1 = 0,4; p2= 0,3 dhe f 3= 0.6. Gjeni pritshmërinë matematikore të numrit të përgjithshëm të goditjeve.
Zgjidhje.
Numri i goditjeve në goditjen e parë është një ndryshore e rastësishme X 1, e cila mund të marrë vetëm dy vlera: 1 (goditje) me probabilitet f 1= 0.4 dhe 0 (mungesë) me probabilitet q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Pritja matematikore e numrit të goditjeve në goditjen e parë është e barabartë me probabilitetin e një goditjeje:
Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë pritjet matematikore të numrit të goditjeve për goditjet e dyta dhe të treta:
M(X 2)= 0,3 dhe M(X 3)= 0,6.
Numri i përgjithshëm i goditjeve është gjithashtu një variabël i rastësishëm i përbërë nga shuma e goditjeve në secilën nga tre goditjet:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Pritshmëria e kërkuar matematikore X E gjejmë duke përdorur teoremën mbi pritshmërinë matematikore të shumës.
Madhësia
Karakteristikat themelore numerike të rastit
Ligji i shpërndarjes së densitetit karakterizon një ndryshore të rastësishme. Por shpesh nuk dihet, dhe njeriu duhet të kufizohet në më pak informacion. Ndonjëherë është edhe më fitimprurëse të përdoren numra që përshkruajnë një ndryshore të rastësishme në total. Numra të tillë quhen karakteristikat numerike ndryshore e rastësishme. Le të shohim ato kryesore.
Përkufizimi:Pritja matematikore M(X) e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të kësaj sasie dhe probabiliteteve të tyre:
Nëse një ndryshore e rastësishme diskrete X merr një numër të madh vlerash të mundshme, atëherë
Për më tepër, pritshmëria matematikore ekziston nëse kjo seri është absolutisht konvergjente.
Nga përkufizimi rezulton se M(X) një ndryshore e rastësishme diskrete është një ndryshore jo e rastësishme (konstante).
Shembull: Le X– numri i dukurive të ngjarjes A në një provë, P(A) = p. Duhet të gjejmë pritshmërinë matematikore X.
Zgjidhja: Le të krijojmë një ligj shpërndarjeje tabelare X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - fq | fq |
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore:
Kështu, pritja matematikore e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në një provë është e barabartë me probabilitetin e kësaj ngjarje.
Origjina e termit vlera e pritur lidhur me periudhën fillestare të shfaqjes së teorisë së probabilitetit (shek. XVI-XVII), kur fusha e zbatimit të saj ishte e kufizuar në lojërat e fatit. Lojtari ishte i interesuar për vlerën mesatare të fitores së pritur, d.m.th. pritja matematikore për të fituar.
Le të shqyrtojmë kuptimi probabilistik i pritjes matematikore.
Le të prodhohet n teste në të cilat ndryshorja e rastit X pranuar m 1 herë vlerën x 1, m 2 herë vlerën x 2, e kështu me radhë, dhe më në fund ajo pranoi m k herë vlerën x k, dhe m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Pastaj shuma e të gjitha vlerave të marra nga ndryshorja e rastësishme X, është e barabartë x 1 m 1 + x 2 m 2 +…+x k m k.
Mesatarja aritmetike e të gjitha vlerave të marra nga një ndryshore e rastësishme X, e barabartë me:
pasi është frekuenca relative e një vlere për çdo vlerë i = 1, …, k.
Siç dihet, nëse numri i testeve nështë mjaft e madhe, atëherë frekuenca relative është afërsisht e barabartë me probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes, prandaj,
Kështu,.
konkluzioni:Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është afërsisht e barabartë (sa më saktë, aq më i madh është numri i testeve) me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme.
Le të shqyrtojmë vetitë themelore të pritjes matematikore.
Prona 1:Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë vlerën konstante:
M(C) = C.
Dëshmi: Konstante ME mund të konsiderohet , e cila ka një kuptim të mundshëm ME dhe e pranon me probabilitet p = 1. Prandaj, M(C) = C 1 = S.
Le të përcaktojmë produkt i një ndryshoreje konstante C dhe një ndryshoreje diskrete të rastësishme X si një ndryshore e rastësishme diskrete CX, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me produktet e konstantës ME ndaj vlerave të mundshme X CX e barabartë me probabilitetet e vlerave të mundshme përkatëse X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Prona 2:Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:
M(CX) = CM(X).
Dëshmi: Lëreni ndryshoren e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes së probabilitetit:
| X | … | |||
| P | … |
Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Përkufizimi:Dy ndryshore të rastësishme quhen të pavarura nëse ligji i shpërndarjes së njërës prej tyre nuk varet nga vlerat e mundshme që mori ndryshorja tjetër. Përndryshe, variablat e rastësishëm janë të varur.
Përkufizimi:Disa variabla të rastit thuhet se janë të pavarura reciprokisht nëse ligjet e shpërndarjes së ndonjë numri prej tyre nuk varen nga vlerat e mundshme që morën variablat e mbetur.
Le të përcaktojmë produkt i ndryshoreve të pavarura të rastësishme diskrete X dhe Y si një ndryshore e rastësishme diskrete XY, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me produktet e secilës vlerë të mundshme X për çdo vlerë të mundshme Y. Probabilitetet e vlerave të mundshme XY janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të vlerave të mundshme të faktorëve.
Le të jepen shpërndarjet e ndryshoreve të rastit X Dhe Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Pastaj shpërndarja e ndryshores së rastësishme XY ka formën:
| XY | … | |||
| P | … |
Disa vepra mund të jenë të barabarta. Në këtë rast, probabiliteti i një vlere të mundshme të produktit është i barabartë me shumën e probabiliteteve përkatëse. Për shembull, nëse = , atëherë probabiliteti i vlerës është
Prona 3:Pritja matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:
M(XY) = M(X) M(Y).
Dëshmi: Lërini variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y janë të specifikuara nga ligjet e tyre të shpërndarjes së probabilitetit:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Për të thjeshtuar llogaritjet, ne do të kufizohemi në një numër të vogël vlerash të mundshme. Në rastin e përgjithshëm, prova është e ngjashme.
Le të krijojmë një ligj të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) M(Y).
Pasoja:Pritja matematikore e produktit të disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.
Dëshmi: Le të provojmë për tre ndryshore të rastësishme të pavarura reciprokisht X,Y,Z. Variabla të rastësishme XY Dhe Z të pavarur, atëherë marrim:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).
Për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastësishme të pavarura reciprokisht, vërtetimi kryhet me metodën e induksionit matematik.
Shembull: Variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Duhet gjetur M(XY).
Zgjidhja: Meqenëse variablat e rastësishëm X Dhe Y atëherë janë të pavarur M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Le të përcaktojmë shuma e variablave diskrete të rastësishme X dhe Y si një ndryshore e rastësishme diskrete X+Y, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me shumat e secilës vlerë të mundshme X me çdo vlerë të mundshme Y. Probabilitetet e vlerave të mundshme X+Y për variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të termave, dhe për variablat e rastësishme të varura - me produktet e probabilitetit të një termi nga probabiliteti i kushtëzuar i të dytit.
Nëse = dhe probabilitetet e këtyre vlerave janë përkatësisht të barabarta, atëherë probabiliteti (i njëjtë si ) është i barabartë me .
Prona 4:Pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme (të varura ose të pavarura) është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dëshmi: Le të dy ndryshore të rastit X Dhe Y jepen nga ligjet e mëposhtme të shpërndarjes:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Për të thjeshtuar përfundimin, ne do të kufizohemi në dy vlera të mundshme të secilës sasi. Në rastin e përgjithshëm, prova është e ngjashme.
Le të përpilojmë të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme X+Y(supozoni, për thjeshtësi, se këto vlera janë të ndryshme; nëse jo, atëherë prova është e ngjashme):
| X+Y | ||||
| P |
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të kësaj vlere.
M(X+Y) = + + + +
Le të vërtetojmë se + = .
Ngjarje X = ( probabiliteti i tij P(X = ) përfshin ngjarjen që ndryshorja e rastit X+Y do të marrë vlerën ose (probabiliteti i kësaj ngjarjeje, sipas teoremës së mbledhjes, është i barabartë me ) dhe anasjelltas. Pastaj = .
Barazitë = = = vërtetohen në mënyrë të ngjashme
Duke zëvendësuar anët e djathta të këtyre barazive në formulën që rezulton për pritshmërinë matematikore, marrim:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Pasoja:Pritshmëria matematikore e shumës së disa ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.
Dëshmi: Le të provojmë për tre ndryshore të rastësishme X,Y,Z. Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshoreve të rastit X+Y Dhe Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastësishme, vërtetimi kryhet me metodën e induksionit matematik.
Shembull: Gjeni mesataren e shumës së numrit të pikëve që mund të merren kur hidhni dy zare.
Zgjidhja: Le X– numri i pikëve që mund të shfaqen në pullën e parë, Y- Në të dytën. Është e qartë se variablat e rastësishëm X Dhe Y kanë të njëjtat shpërndarje. Le të shkruajmë të dhënat e shpërndarjes X Dhe Y në një tabelë:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Pra, vlera mesatare e shumës së numrit të pikëve që mund të shfaqen kur hidhni dy zare është 7 .
Teorema:Pritja matematikore M(X) e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes në çdo provë: M(X) = np.
Dëshmi: Le X– numri i dukurive të ngjarjes A V n teste të pavarura. Natyrisht, numri total X dukuritë e ngjarjes A në këto prova është shuma e numrit të dukurive të ngjarjes në provat individuale. Atëherë, nëse numri i ndodhive të një ngjarjeje në provën e parë, në të dytën, e kështu me radhë, së fundi, është numri i ndodhive të ngjarjes në n-testi, atëherë numri i përgjithshëm i ndodhive të ngjarjes llogaritet me formulën:
Nga vetia 4 e pritjes matematikore ne kemi:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Meqenëse pritshmëria matematikore e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në një provë është e barabartë me probabilitetin e ngjarjes, atëherë
M( ) = M( )= … = M( ) = fq.
Prandaj, M(X) = np.
Shembull: Probabiliteti për të goditur objektivin kur gjuan nga një armë është p = 0,6. Gjeni numrin mesatar të goditjeve nëse bëhen 10 të shtëna.
Zgjidhja: Goditja për çdo goditje nuk varet nga rezultatet e goditjeve të tjera, prandaj ngjarjet në shqyrtim janë të pavarura dhe, për rrjedhojë, pritshmëria e kërkuar matematikore është e barabartë me:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Pra, numri mesatar i goditjeve është 6.
Tani merrni parasysh pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme.
Përkufizimi:Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X, vlerat e mundshme të së cilës i përkasin intervalit,thirrur integral i caktuar:
ku f(x) është dendësia e shpërndarjes së probabilitetit.
Nëse vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X i përkasin të gjithë boshtit Ox, atëherë
Supozohet se kjo integral jo i duhur konvergon absolutisht, d.m.th. integrali konvergon Nëse kjo kërkesë nuk plotësohej, atëherë vlera e integralit do të varej nga shpejtësia në të cilën (veçmas) kufiri i poshtëm priret në -∞, dhe kufiri i sipërm tenton në +∞.
Mund të vërtetohet se të gjitha vetitë e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme diskrete ruhen për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme. Vërtetimi bazohet në vetitë e integraleve të caktuar dhe të parregullt.
Është e qartë se pritshmëria matematikore M(X) më e madhe se vlera më e vogël dhe më e vogël se vlera më e madhe e mundshme e ndryshores së rastit X. Ato. në boshtin e numrave, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme janë të vendosura në të majtë dhe në të djathtë të pritjes së saj matematikore. Në këtë kuptim, pritshmëria matematikore M(X) karakterizon vendndodhjen e shpërndarjes dhe për këtë arsye shpesh quhet qendra e shpërndarjes.
1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën M(S)=C
.
2. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X)
3. Pritja matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Pritshmëria matematikore M(x) e numrit të ndodhive të ngjarjeve A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e këtyre provave nga probabiliteti i ndodhjes së ngjarjeve në çdo provë: M(x) = np.
Le X - ndryshore e rastit dhe M(X) – pritshmëria e tij matematikore. Le të konsiderojmë si një ndryshore të re të rastësishme diferencën X - M (X).
Devijimi është ndryshimi midis një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërisë së saj matematikore.
Devijimi ka ligjin e mëposhtëm të shpërndarjes:
Zgjidhja: Le të gjejmë pritshmërinë matematikore:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së devijimit në katror:
Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Le të shkruajmë ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X 2
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore M(x 2): M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Varianca e kërkuar është D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05
Karakteristikat e shpërndarjes:
1. Varianca e një vlere konstante ME
e barabartë me zero: D(C)=0
2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianca e shumës së variablave të pavarur të rastit është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianca shpërndarja binomiale e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes dhe mosndodhjes së një ngjarjeje në një provë D(X)=npq
Për të vlerësuar shpërndarjen e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme rreth vlerës mesatare të saj, përveç shpërndarjes, përdoren edhe disa karakteristika të tjera. Këto përfshijnë devijimin standard.
Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:
σ(X) = √D(X) (4)
Shembull. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Gjeni devijimin standard σ(x)
Zgjidhje: Të gjejmë pritshmërinë matematikore të X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Le të gjejmë variancën: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Devijimi standard i kërkuar σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të fundëm të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrenja katrore nga shuma e katrorëve të devijimeve standarde të këtyre sasive:
Shembull. Në një raft me 6 libra, 3 libra për matematikë dhe 3 për fizikë. Tre libra zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni ligjin e shpërndarjes së numrit të librave në matematikë midis librave të zgjedhur. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme.
D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Zgjidhja:
6.1.2 Vetitë e pritjes matematikore
1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën.
2. Faktori konstant mund të merret si shenjë e pritjes matematikore. 
3. Pritshmëria matematikore e prodhimit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.
Kjo veti është e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastit.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave.
Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për një numër arbitrar të ndryshoreve të rastit.
Shembull: M(X) = 5, M(Y)= 2. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme Z, duke zbatuar vetitë e pritjes matematikore, nëse dihet se Z=2X+3Y.
Zgjidhja: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) pritshmëria matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore
2) faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore
Le të kryhen n prova të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në të cilën është i barabartë me p. Atëherë vlen teorema e mëposhtme:
Teorema. Pritja matematikore M(X) e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit të ndodhjes së ngjarjes në çdo provë.
6.1.3 Dispersioni i një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Pritja matematikore nuk mund të karakterizojë plotësisht një proces të rastësishëm. Përveç pritjes matematikore, është e nevojshme të futet një vlerë që karakterizon devijimin e vlerave të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria matematikore.
Ky devijim është i barabartë me diferencën midis ndryshores së rastësishme dhe pritjes së saj matematikore. Në këtë rast, pritshmëria matematikore e devijimit është zero. Kjo shpjegohet me faktin se disa devijime të mundshme janë pozitive, të tjera janë negative, dhe si rezultat i anulimit të tyre të ndërsjellë, fitohet zero.
Shpërndarja (shpërndarja) i një ndryshoreje të rastësishme diskrete është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore.
Në praktikë, kjo metodë e llogaritjes së variancës është e papërshtatshme, sepse çon në llogaritje të rënda për një numër të madh vlerash të ndryshoreve të rastësishme.
Prandaj, përdoret një metodë tjetër.
Teorema. Varianca është e barabartë me diferencën midis pritjes matematikore të katrorit të ndryshores së rastësishme X dhe katrorit të pritjes së saj matematikore.
Dëshmi. Duke marrë parasysh faktin se pritshmëria matematikore M(X) dhe katrori i pritjes matematikore M2(X) janë sasi konstante, mund të shkruajmë:
Shembull. Gjeni variancën e një ndryshoreje të rastësishme diskrete të dhënë nga ligji i shpërndarjes.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Zgjidhja:.
6.1.4 Vetitë e dispersionit
1. Varianca e një vlere konstante është zero. .
2. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë. 
.
3. Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .
4. Varianca e diferencës ndërmjet dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të këtyre variablave. .
Teorema. Varianca e numrit të dukurive të ngjarjes A në n prova të pavarura, në secilën prej të cilave probabiliteti p i ndodhjes së ngjarjes është konstant, është i barabartë me produktin e numrit të provave sipas probabiliteteve të ndodhjes dhe jo- ndodhja e ngjarjes në çdo gjykim.
Shembull: Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në 2 prova të pavarura, nëse probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes në këto prova është i njëjtë dhe dihet se M(X) = 1.2.
Le të zbatojmë teoremën nga seksioni 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Le të gjejmë fq:
1,2 = 2∙fq
fq = 1,2/2
q = 1 – fq = 1 – 0,6 = 0,4
Le të gjejmë variancën duke përdorur formulën:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Devijimi standard ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës.
(25)
Teorema. Devijimi standard i shumës së një numri të fundëm të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është i barabartë me rrënjën katrore të shumës së katrorëve të devijimeve standarde të këtyre variablave.
6.1.6 Modaliteti dhe medianaja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete
Moda M o DSV quhet vlera më e mundshme e një ndryshoreje të rastësishme (d.m.th. vlera që ka probabilitetin më të lartë)
Mesatarja M e DSVështë vlera e një ndryshoreje të rastësishme që ndan serinë e shpërndarjes në gjysmë. Nëse numri i vlerave të një ndryshoreje të rastësishme është çift, atëherë mesatarja gjendet si mesatarja aritmetike e dy vlerave mesatare.
Shembull: Gjeni modalitetin dhe mesataren e DSV X:
| X | ||||
| fq | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
M e = = 5,5
Përparim
1. Njihuni me pjesën teorike të kësaj pune (ligjërata, tekst shkollor).
2. Përfundoni detyrën sipas versionit tuaj.
3. Bëni një raport mbi punën.
4. Mbroni punën tuaj.
2. Qëllimi i punës.
3. Ecuria e punës.
4. Zgjidhja e opsionit tuaj.
6.4 Opsionet e detyrave për punë e pavarur
Opsioni 1
1. Gjeni pritshmërinë matematikore, dispersionin, devijimin standard, modalitetin dhe medianën e DSV X, të dhëna nga ligji i shpërndarjes.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në dy prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (X) = 1.
4. Jepet një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, dhe pritshmëritë matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj njihen gjithashtu: , . Gjeni probabilitetet , , , që korrespondojnë me vlerat e mundshme të , , dhe hartoni ligjin e shpërndarjes DSV.
Opsioni nr. 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e dukurive të ngjarjes A në tri prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (X) = 0,9.
4. Jepet një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, dhe pritshmëritë matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj njihen gjithashtu: , . Gjeni probabilitetet , , , që korrespondojnë me vlerat e mundshme të , , dhe hartoni ligjin e shpërndarjes DSV.
Opsioni numër 3
1. Gjeni pritshmërinë matematikore, dispersionin dhe devijimin standard të DSV X, të dhëna nga ligji i shpërndarjes.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Gjeni variancën e DSV X - numrin e shfaqjeve të ngjarjes A në katër prova të pavarura, nëse probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve në këto prova janë të njëjta dhe dihet se M (x) = 1.2.
Koncepti i pritshmërisë matematikore mund të konsiderohet duke përdorur shembullin e hedhjes së një trupi. Me çdo gjuajtje, pikat e hedhura regjistrohen. Për t'i shprehur ato, përdoren vlera natyrore në intervalin 1 - 6.
Pas një numri të caktuar hedhjesh, duke përdorur llogaritjet e thjeshta, mund të gjeni mesataren aritmetike të pikëve të rrotulluara.
Ashtu si shfaqja e ndonjë prej vlerave në interval, kjo vlerë do të jetë e rastësishme.
Po sikur të rrisni disa herë numrin e gjuajtjeve? Me një numër të madh hedhjesh, mesatarja aritmetike e pikëve do t'i afrohet një numri specifik, i cili në teorinë e probabilitetit quhet pritshmëri matematikore.
Pra, me pritshmëri matematikore nënkuptojmë vlerën mesatare të një ndryshoreje të rastësishme. Ky tregues mund të paraqitet edhe si një shumë e ponderuar e vlerave të mundshme të vlerës.
Ky koncept ka disa sinonime:
- vlera mesatare;
- vlera mesatare;
- tregues i tendencës qendrore;
- momentin e parë.
Me fjalë të tjera, nuk është gjë tjetër veçse një numër rreth të cilit shpërndahen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme.
Në sfera të ndryshme të veprimtarisë njerëzore, qasjet për të kuptuar pritshmërinë matematikore do të jenë disi të ndryshme.
Mund të konsiderohet si:
- përfitimi mesatar i marrë nga marrja e një vendimi, kur një vendim i tillë konsiderohet nga pikëpamja e teorisë së numrave të mëdhenj;
- shuma e mundshme e fitimit ose humbjes (teoria e lojërave të fatit), e llogaritur mesatarisht për çdo bast. Në zhargon, ato tingëllojnë si "përparësia e lojtarit" (pozitive për lojtarin) ose "përparësia e kazinosë" (negative për lojtarin);
- përqindja e fitimit të marrë nga fitimet.
Pritshmëria nuk është e detyrueshme për absolutisht të gjitha variablat e rastësishme. Mungon për ata që kanë mospërputhje në shumën ose integralin përkatës.
Vetitë e pritjes matematikore
Ashtu si çdo parametër statistikor, pritshmëria matematikore ka vetitë e mëposhtme:
Formulat bazë për pritjet matematikore
Llogaritja e pritshmërisë matematikore mund të kryhet si për variabla të rastësishme të karakterizuara si nga vazhdimësia (formula A) ashtu edhe nga diskrete (formula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, ku xi janë vlerat e ndryshores së rastësishme, pi janë probabilitetet:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, ku f(x) është dendësia e dhënë e probabilitetit.
Shembuj të llogaritjes së pritjeve matematikore
Shembulli A.
A është e mundur të zbulohet lartësia mesatare e xhuxhëve në përrallën për Borëbardhën. Dihet se secili nga 7 xhuxhët kishte një lartësi të caktuar: 1.25; 0,98; 1.05; 0,71; 0,56; 0,95 dhe 0,81 m.
Algoritmi i llogaritjes është mjaft i thjeshtë:
- gjejmë shumën e të gjitha vlerave të treguesit të rritjes (ndryshore e rastësishme):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Ndani shumën që rezulton me numrin e gnomeve:
6,31:7=0,90.
Kështu, lartësia mesatare e gnomeve në një përrallë është 90 cm Me fjalë të tjera, kjo është pritshmëria matematikore e rritjes së gnomeve.
Formula e punës - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6
Zbatimi praktik i pritshmërisë matematikore
Llogaritja e treguesit statistikor të pritjes matematikore përdoret në fusha të ndryshme të veprimtarisë praktike. Para së gjithash, ne po flasim për sferën tregtare. Në fund të fundit, prezantimi i këtij treguesi nga Huygens shoqërohet me përcaktimin e shanseve që mund të jenë të favorshme, ose, përkundrazi, të pafavorshme, për ndonjë ngjarje.
Ky parametër përdoret gjerësisht për të vlerësuar rreziqet, veçanërisht kur bëhet fjalë për investime financiare.
Kështu, në biznes, llogaritja e pritjeve matematikore vepron si një metodë për vlerësimin e rrezikut gjatë llogaritjes së çmimeve.
Ky tregues mund të përdoret gjithashtu për të llogaritur efektivitetin e masave të caktuara, për shembull, mbrojtjen e punës. Falë tij, ju mund të llogarisni probabilitetin e një ngjarjeje.
Një fushë tjetër e zbatimit të këtij parametri është menaxhimi. Mund të llogaritet edhe gjatë kontrollit të cilësisë së produktit. Për shembull, duke përdorur mat. pritjet, ju mund të llogarisni numrin e mundshëm të pjesëve me defekt të prodhuara.
Pritshmëria matematikore rezulton gjithashtu e pazëvendësueshme kur kryhet përpunimi statistikor i rezultateve të marra gjatë kërkimin shkencor rezultatet. Kjo ju lejon të llogaritni probabilitetin e një rezultati të dëshiruar ose të padëshiruar të një eksperimenti ose studimi në varësi të nivelit të arritjes së qëllimit. Në fund të fundit, arritja e tij mund të shoqërohet me fitim dhe përfitim, dhe dështimi i tij mund të shoqërohet me humbje ose humbje.
Përdorimi i pritjeve matematikore në Forex
Përdorimi praktik ky parametër statistikor është i mundur kur kryhen operacione në tregun valutor. Me ndihmën e tij, ju mund të analizoni suksesin e transaksioneve tregtare. Për më tepër, një rritje në vlerën e pritshmërisë tregon një rritje të suksesit të tyre.
Është gjithashtu e rëndësishme të mbani mend se pritshmëria matematikore nuk duhet të konsiderohet si parametri i vetëm statistikor i përdorur për të analizuar performancën e një tregtari. Përdorimi i disa parametrave statistikorë së bashku me vlerën mesatare rrit ndjeshëm saktësinë e analizës.
Ky parametër është dëshmuar mirë në monitorimin e vëzhgimeve të llogarive tregtare. Falë tij, bëhet një vlerësim i shpejtë i punës së kryer në llogarinë e depozitës. Në rastet kur veprimtaria e tregtarit është e suksesshme dhe ai shmang humbjet, nuk rekomandohet të përdoret ekskluzivisht llogaritja e pritshmërisë matematikore. Në këto raste nuk merren parasysh rreziqet, gjë që ul efektivitetin e analizës.
Studimet e kryera të taktikave të tregtarëve tregojnë se:
- Taktikat më efektive janë ato të bazuara në hyrje të rastësishme;
- Më pak efektive janë taktikat e bazuara në inpute të strukturuara.
Për të arritur rezultate pozitive, jo më pak të rëndësishme janë:
- taktikat e menaxhimit të parave;
- strategjitë e daljes.
Duke përdorur një tregues të tillë si pritshmëria matematikore, mund të parashikoni se cili do të jetë fitimi ose humbja kur investoni 1 dollar. Dihet se ky tregues, i llogaritur për të gjitha lojërat e praktikuara në kazino, është në favor të institucionit. Kjo është ajo që ju lejon të fitoni para. Në rastin e një serie të gjatë lojërash, gjasat që një klient të humbasë para rritet ndjeshëm.
Lojërat e luajtura nga lojtarët profesionistë janë të kufizuara në periudha të shkurtra kohore, gjë që rrit gjasat për të fituar dhe redukton rrezikun e humbjes. I njëjti model vërehet kur kryhen operacione investimi.
Një investitor mund të fitojë një shumë të konsiderueshme duke pasur pritshmëri pozitive dhe duke kryer një numër të madh transaksionesh në një periudhë të shkurtër kohore.
Pritshmëria mund të konsiderohet si diferenca midis përqindjes së fitimit (PW) të shumëzuar me fitimin mesatar (AW) dhe probabilitetit të humbjes (PL) shumëzuar me humbjen mesatare (AL).
Si shembull, mund të marrim si më poshtë: pozicioni – 12,5 mijë dollarë, portofoli – 100 mijë dollarë, rreziku i depozitave – 1%. Rentabiliteti i transaksioneve është 40% e rasteve me një fitim mesatar prej 20%. Në rast humbjeje, humbja mesatare është 5%. Llogaritja e pritshmërisë matematikore për transaksionin jep një vlerë prej $625.
Po ngarkohet...