Statistikat mesatare matematikore. Karakteristikat strukturore të serisë së shpërndarjes së variacionit

Median Unë ata e quajnë vlerën e atributit që bie në mes të serisë së renditur dhe e ndajnë atë në dy pjesë të barabarta për nga numri i njësive. Kështu, në rreshtin e renditur të shpërndarjes, gjysma e rreshtit ka vlera të atributeve që tejkalojnë mesataren, gjysma tjetër është më e vogël se mesatarja.

Mesatarja përdoret në vend të mesatares aritmetike kur opsionet ekstreme të serisë së renditur (më e vogla dhe më e madhe) në krahasim me pjesën tjetër rezultojnë të jenë tepër të mëdha ose tepër të vogla.

NË diskrete në një seri variacionesh që përmban një numër tek njësish, mediana është e barabartë me variantin e karakteristikës që ka numrin:
,
ku N është numri i njësive të popullsisë.
Në një seri diskrete të përbërë nga një numër çift i njësive të popullsisë, mediana përcaktohet si mesatarja e opsioneve që kanë numra dhe:
.
Në shpërndarjen e punëtorëve sipas kohëzgjatjes së shërbimit, mediana është e barabartë me mesataren e opsioneve që kanë numrat 10 në serinë e renditur: 2 = 5 dhe 10: 2 + 1 = 6. Opsionet për karakteristikat e pesta dhe të gjashta janë të barabarta. deri në 4 vjet, pra
i vitit
Gjatë llogaritjes së mesatares në intervali rreshti i parë gjeni intervali mesatar, (d.m.th. që përmban mesataren), për të cilën përdoren frekuencat ose frekuencat e grumbulluara. Mesatarja është një interval, frekuenca e akumuluar e të cilit është e barabartë ose më e madhe se gjysma e vëllimit të përgjithshëm të popullsisë. Më pas, vlera mesatare llogaritet duke përdorur formulën:
,
ku është kufiri i poshtëm i intervalit mesatar;
– gjerësia e intervalit mesatar;
– frekuenca e akumuluar e intervalit që i paraprin mesatares;
– frekuenca e intervalit mesatar.
Le të llogarisim mesataren e shpërndarjes së punëtorëve sipas pagave (shih leksionin “Përmbledhje dhe grupim i të dhënave statistikore”).
Mesatarja është diapazoni i pagave prej 800-900 UAH, pasi frekuenca e saj kumulative është 17, e cila tejkalon gjysmën e shumës së të gjitha frekuencave (). Pastaj
Me=800+100 UAH.
Vlera e marrë tregon se gjysma e punëtorëve kanë paga nën 875 UAH, por kjo është mbi mesataren.
Për të përcaktuar mesataren, mund të përdorni frekuenca kumulative në vend të frekuencave kumulative.
Mesatarja, ashtu si modaliteti, nuk varet nga vlerat ekstreme të variantit, prandaj përdoret gjithashtu për të karakterizuar qendrën në seritë e shpërndarjes me kufij të pasigurt.
Prona mesatare : shuma e vlerave absolute të devijimeve nga mesatarja është më e vogël se nga çdo vlerë tjetër (përfshirë mesataren aritmetike):

Kjo pronë e mesatares përdoret në transport gjatë projektimit të vendndodhjes së stacioneve të tramvajit dhe trolejbusit, stacioneve të karburantit, pikave të montimit, etj.
Shembull. Ka 10 garazhe përgjatë autostradës 100 km të gjatë. Për të projektuar ndërtimin e një stacioni karburanti, u mblodhën të dhëna për numrin e udhëtimeve të pritshme në pikën e karburantit për çdo garazh.
Tabela 2 - Të dhëna për numrin e udhëtimeve në pikën e karburantit për çdo garazh.

Është e nevojshme të instaloni një pikë karburanti në mënyrë që kilometrazhi total i automjeteve për karburant të jetë minimal.
Opsioni 1. Nëse një pikë karburanti vendoset në mes të autostradës, d.m.th., në kilometrin e 50-të (qendra e gamës së ndryshimeve në atribut), atëherë kilometrazhi, duke marrë parasysh numrin e udhëtimeve, do të jetë:
a) në një drejtim:
;
b) në të kundërtën:
;
c) kilometrazhin total në të dy drejtimet: .

Opsioni 2. Nëse një pikë karburanti vendoset në pjesën e mesme të autostradës, e përcaktuar nga formula mesatare aritmetike, duke marrë parasysh numrin e udhëtimeve:

Mesatarja mund të përcaktohet grafikisht, duke përdorur kumulatin (shih leksionin “Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave statistikore”). Për këtë, ordinata e fundit, e barabartë me shumën të gjitha frekuencat ose frekuencat ndahen në gjysmë. Nga pika që rezulton, një pingul rikthehet derisa të kryqëzohet me kumulimin. Abshisa e pikës së kryqëzimit jep vlerën mesatare.

TEST

Me temën: "Modaliteti. Mesatarja. Metodat e llogaritjes së tyre"

Prezantimi

Vlerat mesatare dhe treguesit shoqërues të variacionit luajnë një rol shumë të rëndësishëm në statistika, gjë që është për shkak të temës së studimit të saj. Kjo është arsyeja pse Kjo temëështë një nga ato qendrore në kurs.

Mesatarja është një masë përmbledhëse shumë e zakonshme në statistika. Kjo shpjegohet me faktin se vetëm me ndihmën e mesatares një popullsi mund të karakterizohet nga një karakteristikë e ndryshueshme sasiore. Madhësia mesatare në statistikë, quhet një karakteristikë përgjithësuese e një grupi fenomenesh të ngjashme sipas disa karakteristikave sasiore të ndryshme. Mesatarja tregon nivelin e kësaj karakteristike për njësi të popullsisë.

Kur studiojnë fenomenet sociale dhe përpiqen të identifikojnë tiparet e tyre karakteristike, tipike në kushte specifike të vendit dhe kohës, statisticienët përdorin gjerësisht vlerat mesatare. Duke përdorur mesataret, ju mund të krahasoni popullata të ndryshme me njëra-tjetrën sipas karakteristikave të ndryshme.

Mesataret e përdorura në statistika i përkasin klasës së mesatareve të fuqisë. Nga mesataret e fuqisë, më së shpeshti përdoret mesatarja aritmetike, më rrallë mesatarja harmonike; Mesatarja harmonike përdoret vetëm kur llogariten normat mesatare të dinamikës, dhe katrori mesatar përdoret vetëm kur llogariten indekset e variacionit.

Mesatarja aritmetike është herësi i pjesëtimit të shumës së varianteve me numrin e tyre. Përdoret në rastet kur vëllimi i një karakteristike të ndryshme për të gjithë popullsinë formohet si shuma e vlerave karakteristike të njësive të saj individuale. Mesatarja aritmetike është lloji më i zakonshëm i mesatares, pasi korrespondon me natyrën e fenomeneve shoqërore, ku vëllimi i karakteristikave të ndryshme në agregat më së shpeshti formohet pikërisht si shuma e vlerave karakteristike të njësive individuale të popullsisë. .

Sipas vetive të tij përcaktuese, mesatarja harmonike duhet të përdoret kur vëllimi i përgjithshëm i atributit formohet si shuma e vlerave të anasjellta të variantit. Përdoret kur, në varësi të materialit, peshat nuk duhet të shumëzohen, por të ndahen në opsione ose, çfarë është e njëjta gjë, të shumëzohen me vlerën e tyre reciproke. Mesatarja harmonike në këto raste është reciproku i mesatares aritmetike të vlerave reciproke të karakteristikës.

Mesatarja harmonike duhet të përdoret në rastet kur si pesha nuk përdoren njësitë e popullsisë - bartësit e karakteristikës, por produktet e këtyre njësive sipas vlerës së karakteristikës.

1. Përkufizimi i mënyrës dhe mesatares në statistika

Mjetet aritmetike dhe harmonike janë karakteristika përgjithësuese të popullsisë sipas një ose një tjetër karakteristike të ndryshme. Karakteristikat përshkruese ndihmëse të shpërndarjes së një karakteristike të ndryshme janë mënyra dhe mediana.

Në statistikë, një mënyrë është vlera e një karakteristike (varianti) që gjendet më shpesh në një popullatë të caktuar. Në një seri variacionesh, ky do të jetë opsioni me frekuencën më të lartë.

Në statistika, mediana është opsioni që është në mes seri variacionesh. Mesatarja e ndan serinë përgjysmë; në të dy anët e saj (lart dhe poshtë) ka të njëjtin numër njësish të popullsisë.

Modaliteti dhe mesatarja, në kontrast me mjetet e fuqisë, janë karakteristika specifike; kuptimi i tyre i është caktuar çdo opsioni specifik në serinë e variacioneve.

Modaliteti përdoret në rastet kur është e nevojshme të karakterizohet vlera më e zakonshme e një karakteristike. Nëse është e nevojshme, për shembull, të zbulohet norma më e zakonshme e pagës në një ndërmarrje, çmimi në treg me të cilin është shitur numri më i madh i mallrave, madhësia e këpucëve që është më e kërkuar nga konsumatorët, etj., këto raste i drejtohen modës.

Mesatarja është interesante në atë që tregon kufirin sasior të vlerës së një karakteristike të ndryshme, të cilin e kanë arritur gjysma e anëtarëve të popullsisë. Le të jetë paga mesatare e punonjësve të bankës 650,000 rubla. në muaj. Kjo karakteristikë mund të plotësohet nëse themi se gjysma e punëtorëve morën një pagë prej 700,000 rubla. dhe më lart, d.m.th. Le të japim mesataren. Moda dhe mediana janë karakteristika tipike në rastet kur popullatat janë homogjene dhe të mëdha në numër.

2. Gjetja e modalitetit dhe mesatares në një seri variacionesh diskrete

Gjetja e modalitetit dhe medianës në një seri variacionesh, ku vlerat e një karakteristike jepen me numra të caktuar, nuk është shumë e vështirë. Le të shohim tabelën 1 me shpërndarjen e familjeve sipas numrit të fëmijëve.

Tabela 1. Shpërndarja e familjeve sipas numrit të fëmijëve

Natyrisht, në këtë shembull, moda do të jetë një familje me dy fëmijë, pasi kjo vlerë korrespondon numri më i madh familjet. Mund të ketë shpërndarje ku të gjitha opsionet ndodhin njësoj shpesh, me ç'rast nuk ka modalitet, ose, me fjalë të tjera, mund të themi se të gjitha opsionet janë njësoj modale. Në raste të tjera, jo një, por dy opsione mund të jenë të frekuencës më të lartë. Pastaj do të ketë dy mënyra, shpërndarja do të jetë bimodale. Shpërndarjet bimodale mund të tregojnë heterogjenitet cilësor të popullatës sipas karakteristikës që studiohet.

Për të gjetur mesataren në një seri variacionesh diskrete, duhet të ndani shumën e frekuencave në gjysmë dhe të shtoni ½ në rezultat. Pra, në shpërndarjen e 185 familjeve sipas numrit të fëmijëve, mesatarja do të jetë: 185/2 + ½ = 93, d.m.th. Opsioni i 93-të, i cili ndan rreshtin e renditur në gjysmë. Cili është kuptimi i opsionit 93? Për ta zbuluar, duhet të grumbulloni frekuenca, duke filluar nga opsionet më të vogla. Shuma e frekuencave të opsioneve 1 dhe 2 është 40. Është e qartë se këtu nuk ka 93 opsione. Nëse i shtojmë frekuencën e opsionit të tretë në 40, marrim një shumë të barabartë me 40 + 75 = 115. Prandaj, opsioni i 93-të korrespondon me vlerën e tretë të karakteristikës së ndryshueshme dhe mesatarja do të jetë një familje me dy fëmijë.

Modaliteti dhe mesatarja në këtë shembull përkonin. Nëse do të kishim një shumë çift të frekuencave (për shembull, 184), atëherë, duke përdorur formulën e mësipërme, do të merrnim numrin e opsionit mesatar, 184/2 + ½ =92.5. Meqenëse nuk ka opsione të pjesshme, rezultati tregon se mesatarja është në mes të opsioneve 92 dhe 93.

3. Llogaritja e modalitetit dhe mesatares në seritë e variacionit të intervalit

Natyra përshkruese e mënyrës dhe mesatares është për faktin se ato nuk kompensojnë devijimet individuale. Ata gjithmonë korrespondojnë me një opsion specifik. Prandaj, mënyra dhe mediana nuk kërkojnë llogaritje për të gjetur nëse të gjitha vlerat e atributit janë të njohura. Megjithatë, në një seri variacionesh intervali, llogaritjet përdoren për të gjetur vlerën e përafërt të modës dhe mesatares brenda një intervali të caktuar.

Për të llogaritur një vlerë të caktuar të vlerës modale të një karakteristike të përfshirë në një interval, përdorni formulën:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Ku XMo është kufiri minimal i intervalit modal;

i Mo – vlera e intervalit modal;

f Mo – frekuenca e intervalit modal;

f Mo-1 – frekuenca e intervalit që i paraprin atij modal;

f Mo+1 – frekuenca e intervalit pas atij modal.

Le të tregojmë llogaritjen e modalitetit duke përdorur shembullin e dhënë në tabelën 2.

Tabela 2. Shpërndarja e punëtorëve të ndërmarrjeve sipas përmbushjes së standardeve të prodhimit

Për të gjetur modalitetin, fillimisht përcaktojmë intervalin modal të kësaj serie. Shembulli tregon se frekuenca më e lartë korrespondon me intervalin ku variantet shtrihen në intervalin nga 100 në 105. Ky është intervali modal. Vlera e intervalit modal është 5.

Duke zëvendësuar vlerat numerike nga tabela 2 në formulën e mësipërme, marrim:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 - 12) + (104 - 98)) = 108.8

Kuptimi i kësaj formule është si vijon: vlera e asaj pjese të intervalit modal që duhet t'i shtohet kufirit minimal të tij përcaktohet në varësi të madhësisë së frekuencave të intervaleve të mëparshme dhe pasuese. NË në këtë rast në 100 shtojmë 8.8, d.m.th. më shumë se gjysmë intervali sepse frekuenca e intervalit të mëparshëm është më e vogël se frekuenca e intervalit pasardhës.

Tani le të llogarisim mesataren. Për të gjetur mesataren në një seri variacionesh intervali, së pari përcaktojmë intervalin në të cilin ndodhet (intervali mesatar). Një interval i tillë do të jetë ai frekuenca kumulative e të cilit është e barabartë ose më e madhe se gjysma e shumës së frekuencave. Frekuencat kumulative formohen duke përmbledhur gradualisht frekuencat, duke filluar nga intervali me vlerën më të ulët të atributit. Gjysma e shumës së frekuencave është 250 (500:2). Prandaj, sipas Tabelës 3, intervali mesatar do të jetë intervali me një vlerë pagash prej 350,000 rubla. deri në 400,000 rubla.

Tabela 3. Llogaritja e mesatares në serinë e variacionit të intervalit

Para këtij intervali, shuma e frekuencave të akumuluara ishte 160. Prandaj, për të marrë vlerën mesatare, është e nevojshme të shtohen edhe 90 njësi të tjera (250 – 160).

Modaliteti dhe mesatarja– një lloj i veçantë mesataresh që përdoren për të studiuar strukturën e serive të variacioneve. Ato nganjëherë quhen mesataret strukturore, në kontrast me mesataret e fuqisë të diskutuara më parë.

Moda– kjo është vlera e një karakteristike (varianti) që më së shpeshti gjendet në një popullatë të caktuar, d.m.th. ka frekuencën më të lartë.

Moda ka zbatim të madh praktik dhe në disa raste vetëm moda mund të karakterizojë fenomenet sociale.

mesatare- ky është një variant që është në mes të një serie variacionesh të renditura.

Mediana tregon kufirin sasior të vlerës së një karakteristike të ndryshueshme, të cilin e ka arritur gjysma e njësive të popullsisë. Përdorimi i mesatares së bashku me mesataren ose në vend të saj këshillohet nëse ka intervale të hapura në serinë e variacioneve, sepse për të llogaritur mesataren, vendosja e kushtëzuar e kufijve të intervaleve të hapura nuk kërkohet, dhe për këtë arsye mungesa e informacionit rreth tyre nuk ndikon në saktësinë e llogaritjes së mesatares.

Mesatarja përdoret gjithashtu kur treguesit që do të përdoren si pesha janë të panjohur. Mesatarja përdoret në vend të mesatares aritmetike në metodat statistikore të kontrollit të cilësisë së produktit. Shuma e devijimeve absolute të opsioneve nga mediana është më e vogël se nga çdo numër tjetër.

Le të shqyrtojmë llogaritjen e modës dhe mesatares në një seri variacione diskrete :

Përcaktoni mënyrën dhe mesataren.

Moda Mo = 4 vjet, pasi kjo vlerë korrespondon me frekuencën më të lartë f = 5.

ato. numri më i madh i punëtorëve kanë 4 vite përvojë.

Për të llogaritur mesataren, së pari gjejmë gjysmën e shumës së frekuencave. Nëse shuma e frekuencave është një numër tek, atëherë së pari shtojmë një në këtë shumë dhe më pas ndajmë përgjysmë:

Mesatarja do të jetë opsioni i tetë.

Për të gjetur se cili opsion do të jetë i teti për nga numri, ne do të grumbullojmë frekuenca derisa të marrim një shumë frekuencash të barabartë ose më të madhe se gjysma e shumës së të gjitha frekuencave. Opsioni përkatës do të jetë mesatarja.

Meh = 4 vjet.

ato. gjysma e punëtorëve kanë më pak se katër vjet përvojë, gjysma më shumë.

Nëse shuma e frekuencave të akumuluara kundrejt një opsioni është e barabartë me gjysmën e shumës së frekuencave, atëherë mediana përcaktohet si mesatarja aritmetike e këtij opsioni dhe e opsionit tjetër.

Llogaritja e modalitetit dhe mesatares në seritë e variacionit të intervalit

Modaliteti në serinë e variacionit të intervalit llogaritet me formulë

Ku X M0- kufiri fillestar i intervalit modal,

hm 0 - vlera e intervalit modal,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 – frekuenca e intervalit modal që paraprin dhe pason përkatësisht intervalin modal.

Modal Quhet intervali të cilit i përgjigjet frekuenca më e lartë.

Shembulli 1

Përcaktoni mënyrën dhe mesataren.

Intervali modal, sepse ajo korrespondon me frekuencën më të lartë f = 35. Atëherë:

Hm 0 =6, fm 0 =35

Funksioni MEDIAN në Excel përdoret për të analizuar një varg vlerat numerike dhe kthen një numër që është mesi i grupit që ekzaminohet (mediane). Kjo do të thotë, ky funksion ndan me kusht një grup numrash në dy nëngrupe, e para prej të cilave përmban numra më pak se mesatarja, dhe e dyta - më shumë. Mediana është një nga disa metoda për përcaktimin e tendencës qendrore të një sërë interesash.

Shembuj të përdorimit të funksionit MEDIAN në Excel

Gjatë studimit të grupmoshave të studentëve, u përdorën të dhëna nga një grup studentësh të zgjedhur në mënyrë rastësore në një universitet. Detyra është të përcaktohet mosha mesatare e nxënësve.

Të dhënat fillestare:

Formula për llogaritjen:

Përshkrimi i argumentit:

• B3:B15 – diapazoni i moshave të studiuara.

Rezultati:

Domethënë, në grup ka studentë, mosha e të cilëve është më pak se 21 vjeç dhe më shumë se kjo vlerë.

Krahasimi i funksioneve MEDIAN dhe AVERAGE për llogaritjen e vlerës mesatare

Gjatë raundeve të mbrëmjes në spital, çdo pacienti matej temperatura e trupit. Demonstroni dobinë e përdorimit të parametrit mesatar në vend të vlerës mesatare për të ekzaminuar një varg vlerash të marra.

Të dhënat fillestare:

Formula për gjetjen e mesatares:

Formula për gjetjen e mesatares:

Siç shihet nga vlera mesatare, mesatarisht temperatura e pacientëve është më e lartë se normalja, por kjo nuk është e vërtetë. Mesatarja tregon se të paktën gjysma e pacientëve kanë një temperaturë trupore normale, jo më shumë se 36.6.

Kujdes! Një metodë tjetër për përcaktimin e tendencës qendrore është modaliteti (vlera më e shpeshtë në diapazonin në studim). Për të përcaktuar tendencën qendrore në Excel, duhet të përdorni funksionin MODE. Ju lutemi vini re se në këtë shembull vlerat e mesatares dhe modalitetit janë të njëjta:

Kjo do të thotë, vlera mesatare që ndan një grup në nënbashkësi me vlera më të vogla dhe më të mëdha është gjithashtu vlera më e shpeshtë në grup. Siç mund ta shihni, shumica e pacientëve kanë një temperaturë prej 36.6.

Një shembull i llogaritjes së mesatares në analizën statistikore në Excel

Shembulli 3. Në një dyqan punojnë 3 shitës. Bazuar në rezultatet e 10 ditëve të fundit, është e nevojshme të përcaktohet punonjësi që do t'i jepet bonusi. Kur zgjedh punonjësin më të mirë, merret parasysh shkalla e efikasitetit të punës së tij dhe jo numri i mallrave të shitura.

Tabela origjinale e të dhënave:

Për të karakterizuar efikasitetin, ne do të përdorim tre tregues njëherësh: vlerën mesatare, mesataren dhe modalitetin. Le t'i përcaktojmë ato për secilin punonjës duke përdorur formulat AVERAGE, MEDIAN dhe MODE, përkatësisht:

Për të përcaktuar shkallën e shpërndarjes së të dhënave, ne përdorim një vlerë që është vlera totale e modulit të diferencës midis vlerës mesatare dhe modalitetit, vlerës mesatare dhe mesatares, përkatësisht. Kjo do të thotë, koeficienti x=|av-med|+|av-mod|, ku:

• av – vlera mesatare;
• med – mesatare;
• mod - modë.

Le të llogarisim vlerën e koeficientit x për shitësin e parë:

Ne do të bëjmë llogaritjet në mënyrë të ngjashme për shitësit e tjerë. Rezultatet:

Le të përcaktojmë shitësin të cilit do t'i jepet bonusi:

Shënim: Funksioni SMALL kthen vlerën e parë minimale nga diapazoni i konsideruar i vlerave të koeficientit x.

Koeficienti x është një karakteristikë e caktuar sasiore e qëndrueshmërisë së punës së shitësve, e cila u prezantua nga ekonomisti i dyqanit. Me ndihmën e tij, ishte e mundur të përcaktohet diapazoni me devijimet më të vogla në vlera. Kjo metodë tregon se si tre metoda për përcaktimin e tendencës qendrore mund të përdoren menjëherë për të marrë rezultatet më të besueshme.

Karakteristikat e përdorimit të funksionit MEDIAN në Excel

Funksioni ka sintaksën e mëposhtme:

MEDIAN (numri 1; [numri 2];...)

Përshkrimi i argumenteve:

• numri 1 është një argument i kërkuar që karakterizon vlerën e parë numerike që gjendet në diapazonin në studim;
• [numri2] - e dyta opsionale (dhe argumentet pasuese, deri në 255 argumente në total), që karakterizojnë vlerat e dyta dhe pasuese të diapazonit në studim.

Shënime 1:

1. Kur bëni llogaritjet, është më i përshtatshëm të transferoni të gjithë gamën e vlerave që studiohen menjëherë në vend që të futni në mënyrë sekuenciale argumente.
2. Argumentet e pranuara janë të dhëna numerike, emra që përmbajnë numra, të dhëna të llojit të referencës dhe vargje (për shembull, =MEDIAN((1,2,3,5,7,10))).
3. Gjatë llogaritjes së mesatares, merren parasysh qelizat që përmbajnë vlera boshe ose logjike TRUE, FALSE, të cilat do të interpretohen respektivisht si vlera numerike 1 dhe 0. Për shembull, rezultati i ekzekutimit të një funksioni me vlera logjike në argumente (TRUE; FALSE) është i barabartë me rezultatin e ekzekutimit të tij me argumente (1;0) dhe është i barabartë me 0.5.
4. Nëse një ose më shumë argumente funksioni pranojnë vlera teksti që nuk mund të konvertohen në vlera numerike ose përmbajnë kode gabimi, funksioni do të kthejë kodin e gabimit #VALUE!.
5. Funksionet e tjera të Excel mund të përdoren për të përcaktuar mesataren e një kampioni: PERCENTILE.IN, QUARTILE.IN, MAX Shembuj përdorimi:

• =PERCENTILE.IN(A1:A10,0.5), pasi sipas definicionit mesatarja është përqindja e 50-të.
• =QUARTILE.ON(A1:A10;2), meqenëse medianaja është kuartili i dytë.
• =HIGH(A1:A9,COUNT(A1:A9)/2), por vetëm nëse numri i numrave në interval është një numër tek.

Shënime 2:

1. Nëse në diapazonin në studim të gjithë numrat shpërndahen në mënyrë simetrike rreth mesatares, mesatarja aritmetike dhe mediana për këtë varg do të jenë ekuivalente.
2. Me devijime të mëdha të të dhënave në diapazonin ("shpërndarja" e vlerave), mesatarja pasqyron më mirë tendencën në shpërndarjen e vlerave sesa mesatarja aritmetike. Një shembull i shkëlqyer është përdorimi i mesatares për të përcaktuar nivelin real të pagave në mesin e popullatës së një shteti në të cilin zyrtarët fitojnë një renditje të përmasave më shumë se qytetarët e zakonshëm.
3. Gama e vlerave në studim mund të përmbajë:

• Një numër tek numrash. Në këtë rast, mesatarja do të jetë njëjës, duke e ndarë diapazonin në dy nëngrupe me vlera më të mëdha dhe më të vogla, përkatësisht;
• Numri çift i numrave. Më pas, mesatarja llogaritet si mesatarja aritmetike e dy vlerave numerike që e ndajnë grupin në dy nëngrupet e treguara më sipër.

Për të llogaritur mesataren në MS EXCEL, ekziston një funksion i veçantë MEDIAN(). Në këtë artikull ne do të përcaktojmë mesataren dhe do të mësojmë se si ta llogarisim atë për një mostër dhe për një ligj të caktuar të shpërndarjes ndryshore e rastësishme.

Le të fillojmë me mesataret Për mostrat(d.m.th. për një grup fiks vlerash).

Mesatarja e mostrës

mesatare(mediane) është një numër që është mesi i një grupi numrash: gjysma e numrave në grup janë më të mëdha se mesatare, dhe gjysma e numrave janë më pak se mesatare.

Për të llogaritur mesataret së pari të nevojshme (vlerat në mostër). Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) do të jetë 4. Sepse vetëm brenda mostër 7 vlera, tre prej tyre janë më pak se 4 (d.m.th. 2; 3; 3), dhe tre vlera janë më të mëdha (d.m.th. 5; 7; 10).

Nëse grupi përmban një numër çift numrash, atëherë ai llogaritet për dy numrat në mes të grupit. Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) do të jetë 4.5, sepse (3+6)/2=4,5.

Për përcaktimin mesataret në MS EXCEL ekziston një funksion me të njëjtin emër MEDIAN(), versioni anglisht MEDIAN ().

mesatare nuk përkon domosdoshmërisht me . Një përputhje ndodh vetëm nëse vlerat në mostër shpërndahen në mënyrë simetrike në lidhje me mesatare. Për shembull, për mostrat (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) mesatare Dhe mesatare e barabartë me 3.5.

Nëse dihet Funksioni i shpërndarjes F(x) ose funksioni i densitetit të probabilitetit fq(X), Kjo mesatare mund të gjendet nga ekuacioni:

Për shembull, pasi kemi zgjidhur këtë ekuacion në mënyrë analitike për shpërndarjen Lognormale lnN(μ; σ 2), marrim se mesatare llogaritur duke përdorur formulën =EXP(μ). Kur μ=0, mesatarja është 1.

Kushtojini vëmendje pikës Funksionet e shpërndarjes, per cilin F(x)=0,5(shiko foton më lart) . Abshisa e kësaj pike është e barabartë me 1. Kjo është vlera e mesatares, e cila natyrisht përkon me vlerën e llogaritur më parë duke përdorur formulën em.

Në MS EXCEL mesatare Për shpërndarje lognormale LnN(0;1) mund të llogaritet duke përdorur formulën =LOGNORM.REV(0.5,0,1).

shënim: Kujtojmë se integrali i në të gjithë domenin e specifikimit të ndryshores së rastësishme është e barabartë me një.

Prandaj, vija mediane (x=Medianë) ndan zonën nën grafik funksionet e densitetit të probabilitetit në dy pjesë të barabarta.