Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare. Shembuj zgjidhjesh Variacion i konstanteve
Leksioni 44. Ekuacionet lineare johomogjene të rendit të dytë. Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare. Ekuacione lineare johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante. (ana e djathtë speciale).
Transformimet sociale. Shteti dhe kisha.
Politika sociale Bolshevikët u diktuan kryesisht nga qasja e tyre klasore. Me dekret të 10 nëntorit 1917, sistemi i klasave u shkatërrua, gradat, titujt dhe çmimet pararevolucionare u hoqën. Është vendosur zgjedhja e gjyqtarëve; u krye laicizimi i shteteve civile. U krijua arsimi dhe kujdesi mjekësor falas (dekret i 31 tetorit 1918). Grave iu dhanë të drejta të barabarta me burrat (dekretet e 16 dhe 18 dhjetor 1917). Dekreti për martesën futi institucionin e martesës civile.
Me dekret të Këshillit të Komisarëve Popullorë të 20 janarit 1918, kisha u nda nga shteti dhe nga sistemi arsimor. Pjesa më e madhe e pasurisë së kishës u konfiskua. Patriarku i Moskës dhe i Gjithë Rusisë Tikhon (i zgjedhur më 5 nëntor 1917) anatemuar më 19 janar 1918 pushteti sovjetik dhe bëri thirrje për luftë kundër bolshevikëve.
Konsideroni një ekuacion linear johomogjen të rendit të dytë
Struktura e zgjidhjes së përgjithshme të një ekuacioni të tillë përcaktohet nga teorema e mëposhtme:
Teorema 1. Vendim i përbashkët ekuacioni johomogjen(1) paraqitet si shuma e disa zgjidhjeve të veçanta të këtij ekuacioni dhe zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës
Dëshmi. Është e nevojshme të vërtetohet se shuma
ka vendim të përbashkët ekuacioni (1). Le të provojmë fillimisht se funksioni (3) është një zgjidhje e ekuacionit (1).
Zëvendësimi i shumës në ekuacionin (1) në vend të në, do të ketë
Meqenëse ka një zgjidhje për ekuacionin (2), shprehja në kllapat e para është identike e barabartë me zero. Meqenëse ka një zgjidhje për ekuacionin (1), shprehja në kllapat e dyta është e barabartë me f(x). Prandaj, barazia (4) është një identitet. Kështu, pjesa e parë e teoremës vërtetohet.
Le të vërtetojmë pohimin e dytë: shprehja (3) është të përgjithshme zgjidhja e ekuacionit (1). Ne duhet të vërtetojmë se konstantat arbitrare të përfshira në këtë shprehje mund të zgjidhen në mënyrë që të plotësohen kushtet fillestare:
sido që të jenë numrat x 0, y 0 dhe (nëse vetëm x 0është marrë nga zona ku funksionon një 1, një 2 Dhe f(x) të vazhdueshme).
Duke vënë re se mund të paraqitet në formën . Pastaj, në bazë të kushteve (5), do të kemi
Le ta zgjidhim këtë sistem dhe ta përcaktojmë C 1 Dhe C 2. Le ta rishkruajmë sistemin në formën:
Vini re se përcaktorja e këtij sistemi është përcaktor Wronski për funksionet në 1 Dhe në 2 në pikën x=x 0. Meqenëse këto funksione janë linearisht të pavarur nga kushti, përcaktorja Wronski nuk është e barabartë me zero; prandaj sistemi (6) ka një zgjidhje të caktuar C 1 Dhe C 2, d.m.th. ka kuptime të tilla C 1 Dhe C 2, sipas së cilës formula (3) përcakton zgjidhjen e ekuacionit (1) duke plotësuar kushtet fillestare të dhëna. Q.E.D.
Le të kalojmë në metodën e përgjithshme të gjetjes së zgjidhjeve të pjesshme për një ekuacion johomogjen.
Le të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen (2)
Ne do të kërkojmë një zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen (1) në formën (7), duke marrë parasysh C 1 Dhe C 2 si disa funksione ende të panjohura nga X.
Le të dallojmë barazinë (7):
Le të zgjedhim funksionet që po kërkoni C 1 Dhe C 2 në mënyrë që barazia të mbahet
Nëse marrim parasysh këtë kusht shtesë, atëherë derivati i parë do të marrë formën
Duke e dalluar tani këtë shprehje, gjejmë:
Duke zëvendësuar në ekuacionin (1), marrim
Shprehjet në dy kllapat e para bëhen zero, pasi y 1 Dhe y 2– zgjidhjet e një ekuacioni homogjen. Prandaj, barazia e fundit merr formën
Kështu, funksioni (7) do të jetë një zgjidhje për ekuacionin johomogjen (1) nëse funksionet C 1 Dhe C 2 plotësoni ekuacionet (8) dhe (9). Le të krijojmë një sistem ekuacionesh nga ekuacionet (8) dhe (9).
Meqenëse përcaktorja e këtij sistemi është përcaktorja Wronski për zgjidhjet lineare të pavarura y 1 Dhe y 2 ekuacioni (2), atëherë nuk është i barabartë me zero. Prandaj, duke zgjidhur sistemin, do të gjejmë të dy funksionet e caktuara të X:
Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë , nga ku, si rezultat i integrimit, marrim . Më pas, ne zëvendësojmë funksionet e gjetura në formulë, marrim një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin johomogjen, ku janë konstante arbitrare.
Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale johomogjene. Ky mësim është i dedikuar për ata studentë që tashmë janë pak a shumë njohës të mirë të temës. Nëse sapo keni filluar të njiheni me telekomandën, d.m.th. Nëse jeni një çajnik, ju rekomandoj të filloni me mësimin e parë: Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Shembuj zgjidhjesh. Dhe nëse tashmë jeni duke përfunduar, ju lutemi hidhni paragjykimin e mundshëm se metoda është e vështirë. Sepse është e thjeshtë.
Në cilat raste përdoret metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare?
1) Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare mund të përdoret për të zgjidhur DE johomogjene lineare të rendit të parë. Meqenëse ekuacioni është i rendit të parë, atëherë konstanta është gjithashtu një.
2) Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare përdoret për të zgjidhur disa ekuacionet lineare johomogjene të rendit të dytë. Këtu ndryshojnë dy konstante.
Është logjike të supozohet se mësimi do të përbëhet nga dy paragrafë... Kështu që e shkrova këtë fjali dhe për rreth 10 minuta po mendoja me dhimbje se çfarë katrahurash të tjera të zgjuara mund të shtoja për një kalim të qetë në shembuj praktikë. Por për disa arsye nuk kam asnjë mendim pas pushimeve, megjithëse nuk duket se kam abuzuar me asgjë. Prandaj, le të kalojmë direkt në paragrafin e parë.
Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare
për një ekuacion johomogjen linear të rendit të parë
Para se të shqyrtoni metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare, këshillohet të njiheni me artikullin Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë. Në atë mësim ne ushtruam zgjidhja e parë johomogjene DE i rendit të parë. Kjo zgjidhje e parë, ju kujtoj, quhet metoda e zëvendësimit ose Metoda Bernoulli(për të mos u ngatërruar me ekuacioni i Bernulit!!!)
Tani do të shikojmë zgjidhje e dytë- metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare. Do të jap vetëm tre shembuj dhe do t'i marr nga mësimi i lartpërmendur. Pse kaq pak? Sepse në fakt, zgjidhja në mënyrën e dytë do të jetë shumë e ngjashme me zgjidhjen në mënyrën e parë. Për më tepër, sipas vëzhgimeve të mia, metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare përdoret më rrallë se metoda e zëvendësimit.
Shembulli 1
(Dalloni nga shembulli nr. 2 i mësimit Ekuacionet diferenciale johomogjene lineare të rendit të parë)
Zgjidhja: Ky ekuacion është linear johomogjen dhe ka një formë të njohur: 
Në fazën e parë, është e nevojshme të zgjidhet një ekuacion më i thjeshtë: 
Kjo do të thotë, ne rivendosim marrëzi anën e djathtë dhe shkruajmë zero në vend.
Ekuacioni Unë do të telefonoj ekuacioni ndihmës.
Në këtë shembull, ju duhet të zgjidhni ekuacionin ndihmës të mëposhtëm:
Para nesh ekuacion i ndashëm, zgjidhja e së cilës (shpresoj) nuk është më e vështirë për ju: 
Kështu: 
– zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit ndihmës.
Në hapin e dytë ne do të zëvendësojmë disa konstante për tani funksion i panjohur që varet nga "x":
Prandaj emri i metodës - ne ndryshojmë konstanten. Përndryshe, konstanta mund të jetë një funksion që ne tani duhet ta gjejmë.
NË origjinale ekuacioni johomogjen le të bëjmë një zëvendësim:
Le të zëvendësojmë dhe 
në ekuacion :
Pika e kontrollit - dy termat në anën e majtë anulojnë. Nëse kjo nuk ndodh, duhet të kërkoni për gabimin e mësipërm.
Si rezultat i zëvendësimit, u mor një ekuacion me ndryshore të ndashme. I ndajmë variablat dhe i integrojmë.
Çfarë bekimi, anulojnë edhe eksponentët:
Ne i shtojmë një konstante "normale" funksionit të gjetur:
Në fazën përfundimtare, ne kujtojmë për zëvendësimin tonë:
Funksioni sapo u gjet!
Pra, zgjidhja e përgjithshme është: 
Përgjigje: vendim i përbashkët: 
Nëse printoni dy zgjidhjet, do të vini re lehtësisht se në të dyja rastet kemi gjetur të njëjtat integrale. Dallimi i vetëm është në algoritmin e zgjidhjes.
Tani për diçka më të komplikuar, do të komentoj edhe shembullin e dytë:
Shembulli 2
Gjeni një zgjidhje të përgjithshme ekuacioni diferencial 
(Dalloni nga shembulli nr. 8 i mësimit Ekuacionet diferenciale johomogjene lineare të rendit të parë)
Zgjidhja: Le ta reduktojmë ekuacionin në formë :
Le të rivendosim anën e djathtë dhe të zgjidhim ekuacionin ndihmës:
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit ndihmës:
Në ekuacionin johomogjen bëjmë zëvendësimin:
Sipas rregullit të diferencimit të produktit: 
Le të zëvendësojmë dhe në ekuacionin origjinal johomogjen:
Dy termat në anën e majtë anulohen, që do të thotë se jemi në rrugën e duhur: 
Le të integrohemi sipas pjesëve. Shkronja e shijshme nga formula e integrimit sipas pjesëve është përfshirë tashmë në zgjidhje, kështu që ne përdorim, për shembull, shkronjat "a" dhe "be":
Tani le të kujtojmë zëvendësimin:
Përgjigje: vendim i përbashkët:
Dhe një shembull për vendim i pavarur:
Shembulli 3
Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që korrespondon me kushtin fillestar të dhënë.
,
(Dalloni nga shembulli nr. 4 i mësimit Ekuacionet diferenciale johomogjene lineare të rendit të parë)
Zgjidhja:
Kjo DE është lineare johomogjene. Ne përdorim metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare. Le të zgjidhim ekuacionin ndihmës:
Ne ndajmë variablat dhe integrojmë: 
Vendimi i përbashkët: 
Në ekuacionin johomogjen bëjmë zëvendësimin: 
Le të bëjmë zëvendësimin: 
Pra, zgjidhja e përgjithshme është: 
Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë që korrespondon me kushtin fillestar të dhënë: 
Përgjigje: zgjidhje private:
Zgjidhja në fund të orës së mësimit mund të shërbejë si shembull për përfundimin e detyrës.
Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare
për një ekuacion linear johomogjen të rendit të dytë
me koeficientë konstante
Kam dëgjuar shpesh mendimin se metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare për një ekuacion të rendit të dytë nuk është një gjë e lehtë. Por unë supozoj sa vijon: ka shumë të ngjarë, metoda duket e vështirë për shumë njerëz, sepse nuk ndodh aq shpesh. Por në realitet nuk ka vështirësi të veçanta - rrjedha e vendimit është e qartë, transparente dhe e kuptueshme. Dhe e bukur.
Për të zotëruar metodën, është e dëshirueshme që të jeni në gjendje të zgjidhni ekuacione johomogjene të rendit të dytë duke zgjedhur një zgjidhje të veçantë bazuar në formën e anës së djathtë. Kjo metodë është diskutuar në detaje në artikull. DE johomogjene të rendit të dytë. Kujtojmë se një ekuacion linear johomogjen i rendit të dytë me koeficientë konstante ka formën:
Metoda e përzgjedhjes, e cila u diskutua në mësimin e mësipërm, funksionon vetëm në një numër të kufizuar rastesh kur ana e djathtë përmban polinome, eksponenciale, sinus dhe kosinus. Por çfarë duhet bërë kur në të djathtë, për shembull, është një thyesë, logaritëm, tangjente? Në një situatë të tillë, metoda e ndryshimit të konstanteve vjen në shpëtim.
Shembulli 4
Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të një ekuacioni diferencial të rendit të dytë 
Zgjidhja: Ekziston një fraksion në anën e djathtë të këtij ekuacioni, kështu që menjëherë mund të themi se metoda e zgjedhjes së një zgjidhjeje të veçantë nuk funksionon. Ne përdorim metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.
Nuk ka shenja të një stuhie; fillimi i zgjidhjes është krejtësisht i zakonshëm:
Ne do të gjejmë vendim të përbashkët të përshtatshme homogjene ekuacionet: 
Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik: 
– fitohen rrënjë komplekse të konjuguara, kështu që zgjidhja e përgjithshme është:
Kushtojini vëmendje regjistrimit të zgjidhjes së përgjithshme - nëse ka kllapa, atëherë hapni ato.
Tani bëjmë pothuajse të njëjtin mashtrim si për ekuacionin e rendit të parë: ndryshojmë konstantat, duke i zëvendësuar ato me funksione të panjohura. Kjo eshte, zgjidhje e përgjithshme e johomogjene do të kërkojmë ekuacione në formën:
ku - për tani funksione të panjohura.
Duket si një vendgrumbullim mbeturinash shtëpiake, por tani do të zgjidhim gjithçka.
Të panjohurat janë derivatet e funksioneve. Qëllimi ynë është të gjejmë derivatet, dhe derivatet e gjetura duhet të plotësojnë të dy ekuacionet e para dhe të dyta të sistemit.
Nga vijnë "grekët"? I sjell lejleku. Ne shikojmë zgjidhjen e përgjithshme të marrë më parë dhe shkruajmë:
Le të gjejmë derivatet:
Janë trajtuar pjesët e majta. Çfarë ka në të djathtë?
është ana e djathtë e ekuacionit origjinal, në në këtë rast:
Koeficienti është koeficienti i derivatit të dytë:
Në praktikë, pothuajse gjithmonë, dhe shembulli ynë nuk bën përjashtim.
Gjithçka është e qartë, tani mund të krijoni një sistem: 
Sistemi zakonisht zgjidhet sipas formulave të Cramer-it duke përdorur algoritmin standard. I vetmi ndryshim është se në vend të numrave kemi funksione.
Le të gjejmë përcaktuesin kryesor të sistemit: 
Nëse keni harruar se si zbulohet përcaktori dy nga dy, referojuni mësimit Si të llogarisim përcaktorin? Lidhja të çon në bordin e turpit =)
Pra: kjo do të thotë që sistemi ka një zgjidhje unike.
Gjetja e derivatit: 
Por kjo nuk është e gjitha, deri më tani kemi gjetur vetëm derivatin.
Vetë funksioni rikthehet nga integrimi:
Le të shohim funksionin e dytë: 
Këtu shtojmë një konstante "normale".
Në fazën përfundimtare të zgjidhjes, kujtojmë se në çfarë forme po kërkonim një zgjidhje të përgjithshme për ekuacionin johomogjen? Në të tilla:
Funksionet që ju nevojiten sapo janë gjetur! 
Gjithçka që mbetet është të kryeni zëvendësimin dhe të shkruani përgjigjen:
Përgjigje: vendim i përbashkët:
Në parim, përgjigja mund të kishte zgjeruar kllapat.
Një kontroll i plotë i përgjigjes kryhet sipas skemës standarde, e cila u diskutua në mësim. DE johomogjene të rendit të dytë. Por verifikimi nuk do të jetë i lehtë, pasi është e nevojshme të gjenden derivate mjaft të rënda dhe të kryhen zëvendësime të rënda. Kjo është një veçori e pakëndshme kur zgjidhni shpërndarës të tillë.
Shembulli 5
Zgjidh një ekuacion diferencial duke ndryshuar konstante arbitrare
Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Në fakt, në anën e djathtë ka edhe një fraksion. Le të kujtojmë formula trigonometrike, nga rruga, do të duhet të aplikohet gjatë zgjidhjes.
Metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare është metoda më universale. Mund të zgjidhë çdo ekuacion që mund të zgjidhet Metoda e zgjedhjes së një zgjidhjeje të veçantë bazuar në formën e anës së djathtë. Shtrohet pyetja: pse të mos përdoret edhe atje metoda e ndryshimit të konstantave arbitrare? Përgjigja është e qartë: zgjedhja e një zgjidhjeje të veçantë, e cila u diskutua në klasë Ekuacionet johomogjene të rendit të dytë, shpejton ndjeshëm zgjidhjen dhe shkurton regjistrimin - pa zhurmë me përcaktuesit dhe integralët.
Le të shohim dy shembuj me Problem cauchy.
Shembulli 6
Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që korrespondon me kushtet e dhëna fillestare
, 
Zgjidhja: Përsëri thyesa dhe eksponenti janë në një vend interesant.
Ne përdorim metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.
Ne do të gjejmë vendim të përbashkët të përshtatshme homogjene ekuacionet: 
– fitohen rrënjë reale të ndryshme, kështu që zgjidhja e përgjithshme është:
Zgjidhja e përgjithshme e johomogjeneve ne kërkojmë ekuacione në formën: , ku - për tani funksione të panjohura.
Le të krijojmë një sistem:
Në këtë rast:
,
Gjetja e derivateve: 
, 
Kështu: 
Le të zgjidhim sistemin duke përdorur formulat e Cramer:
, që do të thotë se sistemi ka një zgjidhje unike.
Ne rivendosim funksionin me integrim:
Përdoret këtu Metoda e nënshtrimit të një funksioni nën shenjën diferenciale.
Ne rivendosim funksionin e dytë me integrim: 
Ky integral është zgjidhur metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm:
Nga vetë zëvendësimi shprehim:
Kështu: 
Ky integral mund të gjendet metoda e plotë e nxjerrjes katrore, por në shembujt me difuzorë preferoj të zgjeroj thyesën metoda e koeficientëve të papërcaktuar:
Të dy funksionet u gjetën:
Si rezultat, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit johomogjen është:
Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë që plotëson kushtet fillestare .
Teknikisht, kërkimi për një zgjidhje kryhet në një mënyrë standarde, e cila u diskutua në artikull Ekuacione diferenciale johomogjene të rendit të dytë.
Prisni, tani do të gjejmë derivatin e zgjidhjes së përgjithshme të gjetur:
Ky është një turp i tillë. Nuk është e nevojshme ta thjeshtoni atë; është më e lehtë të krijoni menjëherë një sistem ekuacionesh. Sipas kushteve fillestare :
Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura të konstanteve 
për zgjidhjen e përgjithshme:
Në përgjigje, logaritmet mund të paketohen pak.
Përgjigje: zgjidhje private: 
Siç mund ta shihni, vështirësi mund të lindin në integrale dhe derivate, por jo në vetë algoritmin e metodës së ndryshimit të konstantave arbitrare. Nuk jam unë që ju frikësova, është e gjitha koleksioni i Kuznetsov!
Për relaksim, një shembull përfundimtar, më i thjeshtë për ta zgjidhur vetë:
Shembulli 7
Zgjidh problemin Cauchy
, 
Shembulli është i thjeshtë, por krijues, kur krijoni një sistem, shikojeni me kujdes përpara se të vendosni ;-),
Si rezultat, zgjidhja e përgjithshme është:
Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë që korrespondon me kushtet fillestare .
Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura të konstanteve në zgjidhjen e përgjithshme:
Përgjigje: zgjidhje private:
Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare, ose metoda e Lagranzhit, është një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë dhe ekuacionin e Bernulit.
Ekuacionet diferenciale lineare të rendit të parë janë ekuacione të formës y’+p(x)y=q(x). Nëse ka një zero në anën e djathtë: y’+p(x)y=0, atëherë kjo është një linjë lineare homogjene Ekuacioni i rendit të parë. Prandaj, një ekuacion me anën e djathtë jozero, y’+p(x)y=q(x), është heterogjene Ekuacioni linear i rendit të parë.
Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare (metoda Lagrange) është si më poshtë:
1) Kërkojmë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit homogjen y’+p(x)y=0: y=y*.
2) Në zgjidhjen e përgjithshme, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C = C (x). Gjejmë derivatin e zgjidhjes së përgjithshme (y*)’ dhe shprehjen rezultuese e zëvendësojmë me y* dhe (y*)’ në kushtin fillestar. Nga ekuacioni që rezulton gjejmë funksionin C(x).
3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, në vend të C, zëvendësojmë shprehjen e gjetur C(x).
Le të shohim shembuj të metodës së ndryshimit të një konstante arbitrare. Le të marrim të njëjtat detyra si në, të krahasojmë përparimin e zgjidhjes dhe të sigurohemi që përgjigjet e marra përkojnë.
1) y’=3x-y/x
Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde (ndryshe nga metoda e Bernulit, ku na duhej forma e shënimit vetëm për të parë që ekuacioni është linear).
y’+y/x=3x (I). Tani ne vazhdojmë sipas planit.
1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. Ky është një ekuacion me variabla të ndashëm. Imagjinoni y’=dy/dx, zëvendësues: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me xy≠0: dy/y=-dx/x. Le të integrojmë:
2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit homogjen, ne do ta konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Nga këtu
Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (I):
Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit:
këtu C është tashmë një konstante e re.
3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C/x, ku supozuam C=C(x), pra y=C(x)/x, në vend të C(x) zëvendësojmë shprehjen e gjetur x³. +C: y=(x³ +C)/x ose y=x²+C/x. Morëm të njëjtën përgjigje si kur zgjidhëm me metodën e Bernulit.
Përgjigje: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Këtu ekuacioni është shkruar tashmë në formë standarde; nuk ka nevojë ta transformoni atë.
1) Të zgjidhet ekuacioni linear homogjen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Le të integrojmë:
Për të marrë një formë më të përshtatshme shënimi, ne marrim eksponentin e fuqisë së C si C e re:
Ky transformim u krye për ta bërë më të përshtatshëm gjetjen e derivatit.
2) Në zgjidhjen e përgjithshme rezultuese të ekuacionit linear homogjen, ne e konsiderojmë C jo një konstante, por një funksion të x: C=C(x). Në këtë kusht
Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë y dhe y në kushtin:
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me
Ne integrojmë të dy anët e ekuacionit duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:
Këtu C nuk është më një funksion, por një konstante e zakonshme.
3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen
zëvendësoni funksionin e gjetur C(x):
Morëm të njëjtën përgjigje si kur zgjidhëm me metodën e Bernulit.
Metoda e ndryshimit të një konstante arbitrare është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhje.
y'x+y=-xy².
E sjellim ekuacionin në formën standarde: y’+y/x=-y² (II).
1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. I shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me dx dhe pjesëtojmë me y: dy/y=-dx/x. Tani le të integrojmë:
Ne i zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në kushtin (II):
Le të thjeshtojmë:
Ne morëm një ekuacion me ndryshore të ndashme për C dhe x:
Këtu C është tashmë një konstante e zakonshme. Gjatë procesit të integrimit, ne kemi shkruar thjesht C në vend të C(x), në mënyrë që të mos mbingarkojmë shënimin. Dhe në fund u kthyem në C(x), për të mos ngatërruar C(x) me C-në e re.
3) Në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen y=C(x)/x zëvendësojmë funksionin e gjetur C(x):
Ne morëm të njëjtën përgjigje si kur e zgjidhëm duke përdorur metodën e Bernulit.
Shembuj të vetë-testimit:
1. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë standarde: y’-2y=x.
1) Zgjidhet ekuacioni homogjen y’-2y=0. y’=dy/dx, pra dy/dx=2y, shumëzoji të dyja anët e ekuacionit me dx, pjesëtoje me y dhe integro:
Nga këtu gjejmë y:
Ne zëvendësojmë shprehjet për y dhe y në kushtin (për shkurtësi do të përdorim C në vend të C(x) dhe C' në vend të C"(x)):
Për të gjetur integralin në anën e djathtë, ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:
Tani ne zëvendësojmë u, du dhe v në formulën:
Këtu C =konst.
3) Tani e zëvendësojmë homogjenin në tretësirë
Është shqyrtuar një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante me metodën e ndryshimit të konstantave të Lagranzhit. Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen.
përmbajtjaShiko gjithashtu:
Metoda e Lagranzhit (ndryshimi i konstanteve)
Konsideroni një ekuacion diferencial johomogjen linear me koeficientë konstante të rendit të n-të arbitrar:
(1)
.
Metoda e ndryshimit të një konstante, të cilën e konsideruam për një ekuacion të rendit të parë, është gjithashtu e zbatueshme për ekuacionet e rendit më të lartë.
Zgjidhja kryhet në dy faza. Në hapin e parë, hedhim anën e djathtë dhe zgjidhim ekuacionin homogjen. Si rezultat, marrim një zgjidhje që përmban n konstante arbitrare. Në fazën e dytë ne ndryshojmë konstantet. Kjo do të thotë, ne besojmë se këto konstante janë funksione të ndryshores së pavarur x dhe gjejmë formën e këtyre funksioneve.
Edhe pse këtu po shqyrtojmë ekuacione me koeficientë konstante, por Metoda e Lagranzhit është gjithashtu e zbatueshme për zgjidhjen e çdo ekuacioni linear johomogjen. Për ta bërë këtë, megjithatë, duhet të njihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen.
Hapi 1. Zgjidhja e ekuacionit homogjen
Ashtu si në rastin e ekuacioneve të rendit të parë, së pari kërkojmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen, duke barazuar anën johomogjene të djathtë me zero:
(2)
.
Zgjidhja e përgjithshme e këtij ekuacioni është:
(3)
.
Këtu janë konstante arbitrare; - n zgjidhje të pavarura lineare të ekuacionit homogjen (2), të cilat formojnë një sistem themelor zgjidhjesh të këtij ekuacioni.
Hapi 2. Variacioni i konstantave - zëvendësimi i konstanteve me funksione
Në fazën e dytë do të merremi me variacionin e konstantave. Me fjalë të tjera, ne do të zëvendësojmë konstantet me funksionet e ndryshores së pavarur x:
.
Kjo do të thotë, ne po kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin origjinal (1) në formën e mëposhtme:
(4)
.
Nëse zëvendësojmë (4) në (1), marrim një ekuacion diferencial për n funksione. Në këtë rast, ne mund t'i lidhim këto funksione me ekuacione shtesë. Pastaj ju merrni n ekuacione nga të cilat mund të përcaktohen n funksione. Mund të shkruhen ekuacione shtesë menyra te ndryshme. Por ne do ta bëjmë këtë në mënyrë që zgjidhja të ketë formën më të thjeshtë. Për ta bërë këtë, kur diferenconi, duhet të barazoni me zero termat që përmbajnë derivate të funksioneve. Le ta demonstrojmë këtë.
Për të zëvendësuar zgjidhjen e propozuar (4) në ekuacionin origjinal (1), duhet të gjejmë derivatet e n rendeve të para të funksionit të shkruar në formën (4). Ne dallojmë (4) duke përdorur rregullat e diferencimit të shumës dhe produktit:
.
Le të grupojmë anëtarët. Së pari, ne shkruajmë termat me derivate të , dhe më pas termat me derivate të :
.
Le të vendosim kushtin e parë për funksionet:
(5.1)
.
Atëherë shprehja për derivatin e parë në lidhje me do të ketë një formë më të thjeshtë:
(6.1)
.
Duke përdorur të njëjtën metodë, gjejmë derivatin e dytë:
.
Le të vendosim një kusht të dytë për funksionet:
(5.2)
.
Pastaj
(6.2)
.
Dhe kështu me radhë. Në kushte shtesë, ne barazojmë termat që përmbajnë derivate të funksioneve me zero.
Kështu, nëse zgjedhim ekuacionet shtesë të mëposhtme për funksionet:
(5.k) ,
atëherë derivatet e parë në lidhje me do të kenë formën më të thjeshtë:
(6.k) .
Këtu.
Gjeni derivatin e n-të:
(6.n)
.
Zëvendësoni në ekuacionin origjinal (1):
(1)
;
.
Le të marrim parasysh që të gjithë funksionet plotësojnë ekuacionin (2):
.
Atëherë shuma e termave që përmbajnë zero jep zero. Si rezultat marrim:
(7)
.
Si rezultat, ne kemi një sistem ekuacionet lineare për derivatet:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .
Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë shprehje për derivatet në funksion të x. Duke u integruar, marrim:
.
Këtu janë konstante që nuk varen më nga x. Duke zëvendësuar në (4), marrim një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit origjinal.
Vini re se për të përcaktuar vlerat e derivateve, nuk kemi përdorur kurrë faktin që koeficientët a i janë konstante. Kjo është arsyeja pse Metoda e Lagranzhit është e zbatueshme për të zgjidhur çdo ekuacion linear johomogjen, nëse dihet sistemi themelor i zgjidhjeve të ekuacionit homogjen (2).
Shembuj
Të zgjidhin ekuacionet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstanteve (Lagranzh).
Zgjidhja e shembujve > > >
Zgjidhja e ekuacioneve të rendit më të lartë duke përdorur metodën e Bernulit
Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante me zëvendësim linear
Le të shqyrtojmë tani ekuacionin linear johomogjen
. (2)
Le të jetë y 1 ,y 2 ,.., y n një sistem themelor zgjidhjesh dhe le të jetë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Ngjashëm me rastin e ekuacioneve të rendit të parë, ne do të kërkojmë një zgjidhje për ekuacionin (2) në formën
. (3)
Le të sigurohemi që ekziston një zgjidhje në këtë formë. Për ta bërë këtë, ne e zëvendësojmë funksionin në ekuacion. Për të zëvendësuar këtë funksion në ekuacion, gjejmë derivatet e tij. Derivati i parë është i barabartë me 
. (4)
Gjatë llogaritjes së derivatit të dytë, katër terma do të shfaqen në anën e djathtë të (4), kur llogaritet derivati i tretë, do të shfaqen tetë terma, e kështu me radhë. Prandaj, për lehtësinë e llogaritjeve të mëtejshme, termi i parë në (4) është vendosur i barabartë me zero. Duke marrë parasysh këtë, derivati i dytë është i barabartë me 
. (5)
Për të njëjtat arsye si më parë, në (5) vendosëm edhe termin e parë të barabartë me zero. Së fundi, derivati i n-të është 
. (6)
Duke zëvendësuar vlerat e marra të derivateve në ekuacionin origjinal, kemi 
. (7)
Termi i dytë në (7) është i barabartë me zero, pasi funksionet y j , j=1,2,..,n, janë zgjidhje të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0. Duke u kombinuar me atë të mëparshmin, marrim një sistem ekuacionesh algjebrike për gjetjen e funksioneve C" j (x) 
(8)
Përcaktori i këtij sistemi është përcaktor Wronski i sistemit themelor të zgjidhjeve y 1 ,y 2 ,..,y n të ekuacionit homogjen përkatës L(y)=0 dhe për rrjedhojë nuk është e barabartë me zero. Rrjedhimisht, ekziston një zgjidhje unike për sistemin (8). Pasi e kemi gjetur atë, marrim funksionet C" j (x), j=1,2,…,n, dhe, rrjedhimisht, C j (x), j=1,2,…,n Duke i zëvendësuar këto vlera në (3), marrim një zgjidhje për një ekuacion linear johomogjen.
Metoda e paraqitur quhet metoda e variacionit të një konstante arbitrare ose metoda e Lagranzhit.
Shembulli nr. 1. Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Konsideroni ekuacionin homogjen përkatës y"" + 4y" + 3y = 0. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik r 2 + 4r + 3 = 0 janë të barabarta me -1 dhe - 3. Prandaj, sistemi themelor i zgjidhjeve të një ekuacioni homogjen përbëhet nga funksionet y 1 = e - x dhe y 2 = e -3 x. Kërkojmë zgjidhje për ekuacionin johomogjen në formën y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Për të gjetur derivatet C" 1 , C" 2 ne hartojmë një sistem ekuacionesh (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
duke zgjidhur të cilat, gjejmë , Duke integruar funksionet e fituara, kemi 
Më në fund arrijmë
Shembulli nr. 2. Zgjidh ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare: 
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Zgjidhja:
Ky ekuacion diferencial i referohet ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante.
Ne do të kërkojmë një zgjidhje të ekuacionit në formën y = e rx. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë ekuacionin karakteristik të një ekuacioni diferencial linear homogjen me koeficientë konstante:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Rrënjët e ekuacionit karakteristik: r 1 = 4, r 2 = 2
Rrjedhimisht, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga funksionet: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit homogjen ka formën: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Kërkoni për një zgjidhje të veçantë me metodën e ndryshimit të një konstante arbitrare.
Për të gjetur derivatet e C" i krijojmë një sistem ekuacionesh:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Le të shprehim C" 1 nga ekuacioni i parë:
C" 1 = -c 2 e -2x
dhe zëvendësojeni me të dytin. Si rezultat marrim:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Ne integrojmë funksionet e marra C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x+ C * 2
Meqenëse y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, shprehjet rezultuese i shkruajmë në formën:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Kështu, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial ka formën:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
ose
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë me kushtin:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Duke zëvendësuar x = 0 në ekuacionin e gjetur, marrim:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Gjejmë derivatin e parë të zgjidhjes së përgjithshme të fituar:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Duke zëvendësuar x = 0, marrim:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Ne marrim një sistem prej dy ekuacionesh:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ose
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ose
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Nga: C 1 = 0, C * 2 = 2
Zgjidhja private do të shkruhet si:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
Po ngarkohet...