Polinome. Faktorizimi i një polinomi: metoda, shembuj. Mësimi i algjebrës "mënyra të ndryshme faktorizimi" Faktorizimi i një trinomi kuadratik

PLANI MËSIMOR Mësimi i algjebrës në klasën e 7-të

Mësuesja Prilepova O.A.

Objektivat e mësimit:

Tregoni përdorimin e metodave të ndryshme për faktorizimin e një polinomi

Përsëritni metodat e faktorizimit dhe konsolidoni njohuritë e tyre gjatë ushtrimeve

Të zhvillojnë aftësitë dhe aftësitë e nxënësve për përdorimin e formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Të zhvillojë të menduarit logjik dhe interesin e nxënësve për këtë temë.

Detyrat:

në drejtim zhvillim personal:

Zhvillimi i interesit për krijimtarinë matematikore dhe aftësitë matematikore;

Zhvillimi i iniciativës dhe veprimtarisë në zgjidhjen e problemeve matematikore;

Zhvillimi i aftësisë për të marrë vendime të pavarura.

në drejtimin meta-subjekt :

Formimi metodat e zakonshme veprimtari intelektuale, karakteristikë e matematikës dhe që është baza e kulturës njohëse;

Përdorimi i teknologjisë TIK;

në fushën e lëndës:

Zotërimi i njohurive dhe aftësive matematikore të nevojshme për edukimin e vazhdueshëm;

Zhvillimi i aftësisë tek nxënësit për të kërkuar mënyra për të faktorizuar një polinom dhe për t'i gjetur ato për një polinom që mund të faktorizohet.

Pajisjet:fletushkat, fletët e rrugës me kriteret e vlerësimit,projektor multimedial, prezantim.

Lloji i mësimit:përsëritjen, përgjithësimin dhe sistemimin e materialit të trajtuar

Format e punës:punë në çifte dhe grupe, individuale, kolektive,punë e pavarur, ballore.

Gjatë orëve të mësimit:

Faktorizimi i polinomeve është një transformim identiteti, si rezultat i të cilit një polinom shndërrohet në produkt të disa faktorëve - polinomeve ose monomëve.

Ka disa mënyra për të faktorizuar polinomet.

Metoda 1. Nxjerrja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave.

Ky transformim bazohet në ligjin shpërndarës të shumëzimit: ac + bc = c(a + b). Thelbi i transformimit është izolimi i faktorit të përbashkët në dy komponentët në shqyrtim dhe "heqja" e tij nga kllapat.

Le të faktorizojmë polinomin 28x 3 – 35x 4.

Zgjidhje.

1. Gjeni elementet 28x 3 dhe 35x 4 pjesëtues i përbashkët. Për 28 dhe 35 do të jetë 7; për x 3 dhe x 4 – x 3. Me fjalë të tjera, faktori ynë i përbashkët është 7x3.

2. Secilin prej elementeve e paraqesim si produkt faktorësh, njëri prej të cilëve
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapa
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Përdorimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit. "Mjeshtëria" e përdorimit të kësaj metode është të vëreni një nga formulat e shkurtuara të shumëzimit në shprehje.

Le të faktorizojmë polinomin x 6 – 1.

Zgjidhje.

1. Në këtë shprehje mund të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve. Për ta bërë këtë, imagjinoni x 6 si (x 3) 2, dhe 1 si 1 2, d.m.th. 1. Shprehja do të marrë formën:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Mund të zbatojmë formulën për shumën dhe ndryshimin e kubeve në shprehjen që rezulton:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kështu që,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupimi. Metoda e grupimit është të kombinohen përbërësit e një polinomi në mënyrë të tillë që të jetë e lehtë të kryhen veprime mbi to (mbledhja, zbritja, zbritja e një faktori të përbashkët).

Le të faktorizojmë polinomin x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Zgjidhje.

1. Le t'i grupojmë përbërësit në këtë mënyrë: 1 me 2 dhe 3 me 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Në shprehjen që rezulton, nxjerrim faktorët e përbashkët nga kllapat: x 2 në rastin e parë dhe 5 në të dytin.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Marrim faktorin e përbashkët x – 3 nga kllapat dhe marrim:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Kështu që,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Le të sigurojmë materialin.

Faktoroni polinomin a 2 – 7ab + 12b 2 .

Zgjidhje.

1. Le të paraqesim monomin 7ab si shumë 3ab + 4ab. Shprehja do të marrë formën:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Le të hapim kllapat dhe të marrim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Të grupojmë përbërësit e polinomit në këtë mënyrë: 1 me 2 dhe 3 me 4. Ne marrim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Le të heqim faktorët e zakonshëm nga kllapat:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Le të nxjerrim faktorin e përbashkët (a – 3b) nga kllapat:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Kështu që,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Mësimi publik

matematikë

në klasën e 7-të

"Përdorimi i metodave të ndryshme për faktorizimin e një polinomi."

Prokofieva Natalya Viktorovna,

Mësues matematike

Objektivat e mësimit

Edukative:

1. përsërit formulat e shkurtuara të shumëzimit
2. formimi dhe konsolidimi primar i aftësisë për të faktorizuar polinomet në mënyra të ndryshme.

Edukative:

1. zhvillimi i ndërgjegjes, të menduarit logjik, vëmendja, aftësia për të sistemuar dhe zbatuar njohuritë e fituara, të folur matematikisht të shkolluar.

Edukative:

1. zhvillimi i interesit për zgjidhjen e shembujve;
2. kultivimi i ndjenjës së ndihmës së ndërsjellë, vetëkontrollit dhe kulturës matematikore.

Lloji i mësimit: mësim i kombinuar

Pajisjet: projektor, prezantim, dërrasë e zezë, tekst shkollor.

Përgatitja paraprake për mësimin:

1. Studentët duhet të dinë temat e mëposhtme:

1. Katrorja e shumës dhe diferencës së dy shprehjeve
2. Faktorizimi duke përdorur formulat e shumës në katror dhe diferencës në katror
3. Shumëzimi i ndryshimit të dy shprehjeve me shumën e tyre
4. Faktorizimi i diferencës së katrorëve
5. Faktorizimi i shumës dhe diferencës së kubeve

1. Të ketë aftësi për të punuar me formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Plani i mësimit

1. Momenti organizativ (përqendrimi i studentëve në mësim)
2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë (korrigjimi i gabimit)
3. Ushtrime me gojë
4. Mësimi i materialit të ri
5. Ushtrime stërvitore
6. Ushtrime me përsëritje
7. Duke përmbledhur mësimin
8. Mesazhi i detyrave të shtëpisë

Gjatë orëve të mësimit

I. Momenti organizativ.

Mësimi do t'ju kërkojë të njihni formulat e shkurtuara të shumëzimit, të jeni në gjendje t'i zbatoni ato dhe sigurisht t'i kushtoni vëmendje.

II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Pyetje për detyrat e shtëpisë.

Analiza e zgjidhjes në tabelë.

II. Ushtrime me gojë.

Është e nevojshme matematika
Është e pamundur pa të
Ne mësojmë, mësojmë, miq,
Çfarë kujtojmë në mëngjes?

Le të bëjmë një ngrohje.

Faktorizo ​​(rrëshqitje 3)

8a – 16b

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (Rrëshqitja 4)

1 - y³

sëpatë + ay + 4x + 4y Slide 5)

III. Punë e pavarur.

Secili prej jush ka një tavolinë në tavolinë. Nënshkruani punën tuaj lart djathtas. Plotësoni tabelën. Koha e punës është 5 minuta. Le të fillojmë.

Janë bërë.

Ju lutemi ndërroni punë me fqinjin tuaj.

Ata ulën lapsat e tyre dhe morën lapsat e tyre.

Ne kontrollojmë punën - kushtojini vëmendje rrëshqitjes. (Rrëshqitja 6)

Ne vendosim një shenjë - (Rrëshqitje 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Vendosni formulat në mes të tabelës. Le të fillojmë të mësojmë materiale të reja.

IV. Mësimi i materialit të ri

Në fletore shënojmë datën, punën në klasë dhe temën e mësimit të sotëm.

Mësues.

1. Gjatë faktorizimit të polinomeve, ndonjëherë ata përdorin jo një, por disa metoda, duke i zbatuar ato në mënyrë sekuenciale.
2. Shembuj:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2) (a+2). (Rrëshqitja 8)

Ne përdorim faktorin e përbashkët jashtë kllapave dhe formulën e ndryshimit të katrorëve.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (Rrëshqitja 9)

Çfarë mund të bëni me shprehjen? Çfarë metode do të përdorim për të faktorizuar?

Këtu përdorim kllapa faktorin e përbashkët dhe formulën e shumës në katror.

1. ab³ – 3b³ + ab²у – 3b²у = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3) (b +y). (Rrëshqitja 10)

Çfarë mund të bëni me shprehjen? Çfarë metode do të përdorim për të faktorizuar?

Këtu faktori i përbashkët u hoq nga kllapa dhe u zbatua metoda e grupimit.

1. Rendi i faktorizimit: (Slide 11)

1. Jo çdo polinom mund të faktorizohet. Për shembull: x² + 1; 5x² + x + 2, etj. (Rrëshqitja 12)

V. Ushtrime stërvitore

Përpara se të fillojmë, bëjmë një seancë trajnimi fizik (Rrëshqitje 13)

Ata u ngritën shpejt dhe buzëqeshën.

Ata shtriheshin gjithnjë e më lart.

Ejani, drejtoni shpatullat tuaja,

Ngrini, ulni.

Ktheni djathtas, kthehuni majtas,

Ata u ulën dhe u ngritën në këmbë. Ata u ulën dhe u ngritën në këmbë.

Dhe ata vrapuan në vend.

Dhe disa gjimnastikë të tjera për sytë:

1. Mbyllni sytë fort për 3-5 sekonda dhe më pas hapini për 3-5 sekonda. Përsëriteni 6 herë.
2. Vendoseni gishtin e madh në një distancë prej 20-25 cm nga sytë tuaj, shikoni me të dy sytë në fund të gishtit për 3-5c dhe më pas shikoni me të dy sytë tubin. Përsëriteni 10 herë.

Bravo, uluni.

Detyrë mësimore:

Nr 934 avd

№935 av

№937

Nr 939 avd

Nr 1007 avd

VI.Ushtrime me përsëritje.

№ 933

VII. Duke përmbledhur mësimin

Mësuesi/ja bën pyetje dhe nxënësit u përgjigjen sipas dëshirës.

1. Emri metodat e njohura faktorizimi i një polinomi.

1. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat
2. Faktorizimi i një polinomi duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
3. metoda e grupimit

1. Rendi i faktorizimit:

1. Vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave (nëse ka).
2. Përpiquni të faktorizoni një polinom duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit.
3. Nëse metodat e mëparshme nuk çuan te qëllimi, atëherë përpiquni të përdorni metodën e grupimit.

Ngrini dorën:

1. Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit është "Unë nuk kuptova asgjë dhe nuk pata fare sukses"
2. Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit është "kishte vështirësi, por ia dola"
3. Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit është "Kam pasur sukses pothuajse në gjithçka"

Faktori 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Faktorizimi i një polinomi duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit

Faktorizoni ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) Metoda e grupimit

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² Katrori i shumës a² - b² (a – b)(a + b) Diferenca e katrorëve (a – b)² a² - 2ab + b² Katrori i diferencës a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Shuma e kubeve (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Kubi i shumës (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Kubi i diferencës a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Diferenca e kubeve

VENDOSI SHENJAT 7 (+) = 5 6 ose 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Shembulli nr. 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Marrja e faktorit të përbashkët nga kllapat Formula për diferencën e katrorëve

Shembulli nr. 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Marrja e faktorit të përbashkët nga kllapat Formula për shumën në katror

Shembulli nr. 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a -3))= =b²(a-3)(b+y) Vendos faktorin jashtë kllapave Grupimi i termave në kllapa Vendos faktorët jashtë kllapave Vendos faktorin e përbashkët jashtë kllapave

Rendi i faktorizimit: Vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave (nëse ka). Përpiquni të faktorizoni një polinom duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit. 3. Nëse metodat e mëparshme nuk çuan te qëllimi, atëherë përpiquni të aplikoni metodën e grupimit.

Jo çdo polinom mund të faktorizohet. Për shembull: x² +1 5x² + x + 2

MINUT FIZIK

Detyrë mësimi nr 934 avd nr 935 avd nr 937 nr 939 avd nr 1007 avd

Ngrini dorën: Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit është "Unë nuk kuptova asgjë dhe nuk pata fare sukses" Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit "kishte vështirësi, por e bëra atë" Nëse qëndrimi juaj ndaj mësimit “Kam pasur sukses pothuajse në çdo gjë”

Detyrë shtëpie: fq 38 nr 936 nr 938 nr 954

Konceptet "polinomi" dhe "faktorizimi i një polinomi" në algjebër hasen shumë shpesh, sepse ju duhet t'i njihni ato për të kryer lehtësisht llogaritjet me numra të mëdhenj shumëshifrorë. Ky artikull do të përshkruajë disa metoda dekompozimi. Të gjitha ato janë mjaft të lehta për t'u përdorur; ju vetëm duhet të zgjidhni atë të duhurin për çdo rast specifik.

Koncepti i një polinomi

Një polinom është një shumë e monomëve, domethënë shprehje që përmbajnë vetëm veprimin e shumëzimit.

Për shembull, 2 * x * y është një monom, por 2 * x * y + 25 është një polinom që përbëhet nga 2 monomë: 2 * x * y dhe 25. Polinomë të tillë quhen binom.

Ndonjëherë, për lehtësinë e zgjidhjes së shembujve me vlera me shumë vlera, një shprehje duhet të shndërrohet, për shembull, të zbërthehet në një numër të caktuar faktorësh, domethënë numra ose shprehje midis të cilave kryhet veprimi i shumëzimit. Ka një sërë mënyrash për të faktorizuar një polinom. Vlen t'i shqyrtojmë ato, duke filluar nga më primitive, e cila përdoret në shkollën fillore.

Grupimi (rekord në formë të përgjithshme)

Formula për faktorizimin e një polinomi duke përdorur metodën e grupimit në përgjithësi duket si kjo:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Është e nevojshme të grupohen monomët në mënyrë që secili grup të ketë një faktor të përbashkët. Në kllapin e parë ky është faktori c, dhe në të dytën - d. Kjo duhet të bëhet në mënyrë që më pas ta zhvendosni atë nga kllapa, duke thjeshtuar kështu llogaritjet.

Algoritmi i zbërthimit duke përdorur një shembull specifik

Shembulli më i thjeshtë i faktorizimit të një polinomi duke përdorur metodën e grupimit është dhënë më poshtë:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Në kllapin e parë ju duhet të merrni termat me faktorin a, i cili do të jetë i zakonshëm, dhe në të dytën - me faktorin b. Kushtojini vëmendje shenjave + dhe - në shprehjen e përfunduar. Vendosim para monomit shenjën që ishte në shprehjen fillestare. Kjo do të thotë, nuk duhet të punoni me shprehjen 25a, por me shprehjen -25. Shenja minus duket se është "ngjitur" me shprehjen pas saj dhe gjithmonë merret parasysh gjatë llogaritjes.

Në hapin tjetër, ju duhet të hiqni shumëzuesin, i cili është i zakonshëm, jashtë kllapave. Pikërisht për këtë bëhet grupimi. Të vendosësh jashtë kllapës do të thotë të shkruash para kllapës (duke hequr shenjën e shumëzimit) të gjithë ata faktorë që përsëriten saktësisht në të gjithë termat që janë në kllapa. Nëse nuk ka 2, por 3 ose më shumë terma në një kllapë, faktori i përbashkët duhet të përmbahet në secilin prej tyre, përndryshe ai nuk mund të hiqet nga kllapa.

Në rastin tonë, ka vetëm 2 terma në kllapa. Shumëzuesi i përgjithshëm është menjëherë i dukshëm. Në kllapa e parë është a, në të dytën është b. Këtu duhet t'i kushtoni vëmendje koeficientëve dixhitalë. Në kllapa e parë, të dy koeficientët (10 dhe 25) janë shumëfish të 5. Kjo do të thotë se jo vetëm a, por edhe 5a mund të hiqet nga kllapa. Para kllapave shkruani 5a dhe më pas ndani secilin prej termave në kllapa me faktorin e përbashkët që është hequr dhe gjithashtu shkruani herësin në kllapa, duke mos harruar shenjat + dhe -. Bëni të njëjtën gjë me kllapin e dytë. nxirrni 7b, si dhe 14 dhe 35 shumëfish të 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Ne morëm 2 terma: 5a (2c - 5) dhe 7b (2c - 5). Secila prej tyre përmban një faktor të përbashkët (e gjithë shprehja në kllapa është e njëjtë këtu, që do të thotë se është një faktor i përbashkët): 2c - 5. Duhet gjithashtu të hiqet nga kllapa, domethënë të mbeten termat 5a dhe 7b në kllapa e dytë:

5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Pra, shprehja e plotë është:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kështu, polinomi 10ac + 14bc - 25a - 35b zbërthehet në 2 faktorë: (2c - 5) dhe (5a + 7b). Shenja e shumëzimit ndërmjet tyre mund të hiqet gjatë shkrimit

Ndonjëherë ka shprehje të këtij lloji: 5a 2 + 50a 3, këtu mund të vendosni jashtë kllapave jo vetëm a ose 5a, por edhe 5a 2. Gjithmonë duhet të përpiqeni të vendosni faktorin më të madh të përbashkët jashtë kllapave. Në rastin tonë, nëse e ndajmë çdo term me një faktor të përbashkët, marrim:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(kur njehsohet herësi i disa fuqive me baza të barabarta, baza ruhet dhe eksponenti zbritet). Kështu, njësia mbetet në kllapa (në asnjë rast mos harroni të shkruani një nëse hiqni një nga termat nga kllapa) dhe herësi i pjesëtimit: 10a. Rezulton se:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Formulat katrore

Për lehtësinë e llogaritjes, janë nxjerrë disa formula. Këto quhen formula të shkurtuara të shumëzimit dhe përdoren mjaft shpesh. Këto formula ndihmojnë polinomet faktorizuese që përmbajnë fuqi. Kjo është një mënyrë tjetër efektive për të faktorizuar. Pra ja ku janë:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - një formulë e quajtur "katrori i shumës", pasi si rezultat i zbërthimit në një katror, ​​merret shuma e numrave të mbyllur në kllapa, domethënë, vlera e kësaj shume shumëzohet në vetvete 2 herë, dhe për këtë arsye është një shumëzues.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - formula për katrorin e diferencës, është e ngjashme me atë të mëparshme. Rezultati është diferenca, e mbyllur në kllapa, e përmbajtur në fuqinë katrore.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- kjo është një formulë për ndryshimin e katrorëve, pasi fillimisht polinomi përbëhet nga 2 katrorë numrash ose shprehjesh, ndërmjet të cilave kryhet zbritja. Ndoshta, nga tre të përmendura, përdoret më shpesh.

Shembuj për llogaritjet duke përdorur formulat katrore

Llogaritjet për ta janë mjaft të thjeshta. Për shembull:

1. 25x 2 + 20xy + 4v 2 - përdorni formulën “katrori i shumës”.
2. 25x2 është katrori i 5x. 20xy është prodhimi i dyfishtë i 2*(5x*2y), dhe 4y 2 është katrori i 2y.
3. Kështu, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ky polinom zbërthehet në 2 faktorë (faktorët janë të njëjtë, pra shkruhet si shprehje me fuqi katrore).

Veprimet duke përdorur formulën e diferencës në katror kryhen në mënyrë të ngjashme me këto. Formula e mbetur është ndryshimi i katrorëve. Shembujt e kësaj formule janë shumë të lehta për t'u përcaktuar dhe gjetur midis shprehjeve të tjera. Për shembull:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Meqenëse 25a 2 = (5a) 2, dhe 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Meqenëse 36x 2 = (6x) 2, dhe 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Që nga viti 169b 2 = (13b) 2

Është e rëndësishme që secili prej termave të jetë një katror i ndonjë shprehjeje. Atëherë ky polinom duhet të faktorizohet duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve. Për këtë nuk është e nevojshme që shkalla e dytë të jetë mbi numrin. Ka polinome që përmbajnë shkallë të mëdha, por megjithatë përshtaten me këto formula.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Në këtë shembull, një 8 mund të përfaqësohet si (a 4) 2, domethënë katrori i një shprehjeje të caktuar. 25 është 5 2 dhe 10a është 4 - ky është prodhimi i dyfishtë i termave 2 * a 4 * 5. Kjo eshte kjo shprehje, pavarësisht pranisë së shkallëve me eksponentë të mëdhenj, mund të zbërthehet në 2 faktorë për të punuar më pas me ta.

Formulat e kubit

Të njëjtat formula ekzistojnë për faktorizimin e polinomeve që përmbajnë kube. Ato janë pak më të komplikuara se ato me katrorë:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- kjo formulë quhet shuma e kubeve, pasi në formën fillestare polinomi është shuma e dy shprehjeve ose numrave të mbyllur në një kub.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - një formulë identike me atë të mëparshme përcaktohet si ndryshimi i kubeve.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubi i një shume, si rezultat i llogaritjeve, shuma e numrave ose shprehjeve mbyllet në kllapa dhe shumëzohet me vetveten 3 herë, domethënë ndodhet në një kub
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formula, e përpiluar në analogji me atë të mëparshme, duke ndryshuar vetëm disa shenja të operacioneve matematikore (plus dhe minus), quhet "kubi i ndryshimit".

Dy formulat e fundit praktikisht nuk përdoren për qëllimin e faktorizimit të një polinomi, pasi ato janë komplekse, dhe është mjaft e rrallë të gjesh polinome që korrespondojnë plotësisht me këtë strukturë, në mënyrë që ato të mund të faktorizohen duke përdorur këto formula. Por ju ende duhet t'i njihni ato, pasi ato do të kërkohen kur veproni në drejtim të kundërt - kur hapni kllapa.

Shembuj mbi formulat e kubit

Le të shohim një shembull: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Këtu janë marrë numra mjaft të thjeshtë, kështu që menjëherë mund të shihni se 64a 3 është (4a) 3, dhe 8b 3 është (2b) 3. Kështu, ky polinom zgjerohet sipas diferencës së formulës së kubeve në 2 faktorë. Veprimet duke përdorur formulën për shumën e kubeve kryhen me analogji.

Është e rëndësishme të kuptohet se jo të gjithë polinomet mund të zgjerohen në të paktën një mënyrë. Por ka shprehje që përmbajnë fuqi më të mëdha se një katror ose një kub, por ato mund të zgjerohen edhe në forma të shkurtuara shumëzimi. Për shembull: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ky shembull përmban deri në shkallën e 12-të. Por edhe ai mund të faktorizohet duke përdorur formulën e shumës së kubeve. Për ta bërë këtë, ju duhet të imagjinoni x 12 si (x 4) 3, domethënë si një kub të ndonjë shprehjeje. Tani, në vend të një, ju duhet ta zëvendësoni atë në formulë. Epo, shprehja 125y 3 është një kub prej 5y. Tjetra, duhet të kompozoni produktin duke përdorur formulën dhe të kryeni llogaritjet.

Në fillim, ose në rast dyshimi, gjithmonë mund të kontrolloni me shumëzim të anasjelltë. Thjesht duhet të hapni kllapat në shprehjen që rezulton dhe të kryeni veprime me terma të ngjashëm. Kjo metodë zbatohet për të gjitha metodat e reduktimit të listuara: si për punën me një faktor të përbashkët dhe grupim, ashtu edhe për punën me formulat e kubeve dhe fuqive kuadratike.

Seksionet: Matematika

Lloji i mësimit:

• sipas mënyrës së dorëzimit - një mësim seminari;
• Nga qëllim didaktik– një mësim për zbatimin e njohurive dhe aftësive.

Synimi: zhvillojnë aftësinë për të faktorizuar një polinom.

Detyrat:

• didaktike: sistematizoni, zgjeroni dhe thelloni njohuritë dhe aftësitë e nxënësve, aplikoni metoda të ndryshme të faktorizimit të një polinomi. Zhvilloni aftësinë për të aplikuar faktorizimin polinomial përmes kombinimit teknika të ndryshme. Zbatoni njohuritë dhe aftësitë në temën: "Faktorizimi i një polinomi" për të përfunduar detyrat si në nivelin bazë ashtu edhe në detyra me kompleksitet të shtuar.
• Zhvillimore: të zhvillojë aktivitetin mendor përmes zgjidhjes së llojeve të ndryshme të problemeve, të mësojë të gjejë dhe analizojë metodat më racionale të zgjidhjes, të kontribuojë në formimin e aftësisë për të përgjithësuar faktet që studiohen, për të shprehur qartë dhe qartë mendimet e dikujt.
• arsimore: zhvillojnë aftësitë e punës së pavarur dhe ekipore, aftësitë e vetëkontrollit.

Metodat e punës:

• verbale;
• vizuale;
• praktike.

Pajisjet e mësimit: tabela interaktive ose projektor i sipërm, tabela me formula të shkurtuara të shumëzimit, udhëzime, fletëpalosje për punën në grupe.

Struktura e mësimit:

1. Koha e organizimit. 1 minutë
2. Formulimi i temës, qëllimit dhe objektivave të orës praktike. 2 minuta
3. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. 4 minuta
4. Përditësimi i njohurive dhe aftësive bazë të studentëve. 12 minuta
5. Minuta e edukimit fizik. 2 minuta
6. Udhëzime se si të plotësohen detyrat e seminarit. 2 minuta
7. Kryerja e detyrave në grup. 15 minuta
8. Kontrollimi dhe diskutimi i detyrave. Analiza e punës. 3 minuta
9. Vendosja e detyrave të shtëpisë. 1 minutë
10. Rezervo vende pune. 3 minuta

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ

Mësuesi/ja kontrollon gatishmërinë e klasës dhe nxënësve për mësimin.

2. Formulimi i temës, qëllimit dhe objektivave të orës së seminarit

• Mesazh për mësimin përfundimtar mbi temën.
• Motivimi për veprimtaritë mësimore të nxënësve.
• Formulimi i qëllimit dhe përcaktimi i objektivave për mësimin (së bashku me nxënësit).

3. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Në tabelë janë paraqitur shembuj zgjidhjesh për ushtrimet e detyrave të shtëpisë nr.943 (a, c); Nr 945 (c, d). Mostrat janë bërë nga nxënësit e klasës. (Ky grup nxënësish u identifikua në mësimin e mëparshëm; ata e zyrtarizuan vendimin e tyre gjatë pushimit). Nxënësit po përgatiten për të “mbrojtur” zgjidhjet.

Mësues:

Kontrollon praninë e detyrave të shtëpisë në fletoret e nxënësve.

Fton studentët e klasës t'i përgjigjen pyetjes: “Çfarë vështirësish shkaktoi përmbushja e detyrës?”

Ofron për të kontrolluar zgjidhjen tuaj me zgjidhjen në tabelë.

Fton studentët në tabelë t'u përgjigjen pyetjeve që studentët kanë aty për aty kur kontrollojnë duke përdorur mostra.

Komenton përgjigjet e nxënësve, plotëson përgjigjet dhe sqaron (nëse është e nevojshme).

Përmbledh përfundimin e detyrave të shtëpisë.

Studentët:

i pranishëm detyre shtepie tek mësuesi.

Shkëmbejnë fletoret (në dyshe) dhe kontrollojnë me njëri-tjetrin.

Përgjigjuni pyetjeve të mësuesit.

Kontrolloni zgjidhjen tuaj me mostra.

Ata veprojnë si kundërshtarë, bëjnë shtesa, korrigjime, shkruajnë një metodë tjetër nëse metoda e zgjidhjes në fletore ndryshon nga metoda në tabelë.

Kërkojuni nxënësve dhe mësuesit shpjegimet e nevojshme.

Gjeni mënyra për të verifikuar rezultatet e marra.

Merrni pjesë në vlerësimin e cilësisë së detyrave të kryera në bord.

4. Përditësimi i njohurive dhe aftësive bazë të nxënësve

1. Punë gojore

Mësues:

Përgjigju pyetjeve:

1. Çfarë do të thotë faktorizimi i një polinomi?
2. Sa metoda dekompozimi dini?
3. Si i kane emrat?
4. Cili është më i zakonshmi?

2. Në tabelë shkruhen polinomet:

1. 14x 3 – 14x 5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4. x 3 - 3x - 2

Mësues fton nxënësit të faktorizojnë polinomet nr.1-3:

• Opsioni I – duke aplikuar një faktor të përbashkët;
• Opsioni II – duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit;
• Opsioni III - sipas metodës së grupimit.

Një studenti i kërkohet të faktorizojë polinomin nr. 4 (detyrë individuale me vështirësi të shtuara, detyra plotësohet në formatin A 4). Më pas në tabelë shfaqet një mostër zgjidhjeje për detyrat nr. 1-3 (e bërë nga mësuesi), një shembull zgjidhje për detyrën nr. 4 (e bërë nga nxënësi).

3. Ngroheni

Mësuesi/ja jep udhëzime për të faktorizuar dhe përzgjedhur shkronjën që lidhet me përgjigjen e saktë. Duke shtuar shkronjat ju merrni emrin e matematikanit më të madh të shekullit të 17-të, i cili dha një kontribut të madh në zhvillimin e teorisë së zgjidhjes së ekuacioneve. (Dekarti)

5. Mësimi i edukimit fizik U lexohen nxënësve deklarata. Nëse pohimi është i vërtetë, atëherë nxënësit duhet të ngrenë duart lart, dhe nëse është i rremë, atëherë ulen në tavolinat e tyre. (Shtojca 2)

6. Udhëzim se si të kryhen detyrat e seminarit.

Aktiv tabela e bardhë interaktive ose një poster të veçantë me një tabelë me udhëzime.

Kur faktorizoni një polinom, duhet të respektohet rendi i mëposhtëm:

1. vendos faktorin e përbashkët jashtë kllapave (nëse ka të tillë);

2. të zbatojë formulat e shkurtuara të shumëzimit (nëse është e mundur);

3. të zbatojë metodën e grupimit;

4. kontrolloni rezultatin e fituar me shumëzim.

Mësues:

Paraqet udhëzime për nxënësit (përqendrohet në hapin 4).

Ofron kryerjen e detyrave të seminarit në grup.

Shpërndan grupe fletë pune, fletë me letër karboni për përgatitjen e detyrave në fletore dhe kontrollin e mëpasshëm të tyre.

Përcakton kohën për të punuar në grup dhe për të punuar në fletore.

Studentët:

Lexoni udhëzimet.

Mësuesit dëgjojnë me vëmendje.

Të ulur në grupe (4-5 persona).

Përgatitja për të bërë punë praktike.

7. Kryerja e detyrave në grup

Fletë pune me detyra për grupe. (Shtojca 3)

Mësues:

Menaxhon punë e pavarur në grupe.

Vlerëson aftësinë e studentëve për të punuar në mënyrë të pavarur, aftësinë për të punuar në grup dhe cilësinë e hartimit të fletës së punës.

Studentët:

Përfundoni detyrat në fletë letre karboni të përfshira në fletoren e punës.

Diskutoni mënyrat për të marrë vendime racionale.

Përgatitni një fletë pune nga grupi.

Përgatituni për të mbrojtur punën e përfunduar.

8. Kontrollimi dhe diskutimi i përfundimit të detyrës

Përgjigjet në tabelën interaktive.

Mësues:

Grumbullon kopje të vendimeve.

Menaxhon raportimin e nxënësve në fletë pune.

Ofron vetëvlerësim të punës suaj, duke krahasuar përgjigjet nga fletoret, fletët e punës dhe mostrat në tabelë.

Më kujton kriteret për caktimin e notave për punën dhe për pjesëmarrjen në zbatimin e saj.

Ofron sqarime për çështjet e reja të vendimeve ose të vetëvlerësimit.

Përmbledh rezultatet e para të punës praktike dhe reflektimit.

Përmbledh (së bashku me nxënësit) mësimin.

Aty thuhet se rezultatet përfundimtare do të përmblidhen pas kontrollit të kopjeve të punës së kryer nga studentët.

Studentët:

Jepini kopje mësuesit.

Fletët e punës janë bashkangjitur në tabelë.

Raport për përfundimin e punës.

Kryerja e vetëekzaminimit dhe vetëvlerësimit të performancës së punës.

9. Vendosja e detyrave të shtëpisë

Detyrat e shtëpisë shënohen në tabelë: Nr.1016 (a, b); 1017 (c,d); Nr. 1021 (g,d,f)*

Mësues:

Ofron të shkruajë pjesën e detyrueshme të detyrës për në shtëpi.

Jep një koment për zbatimin e tij.

Fton studentë më të përgatitur të shkruajnë nr. 1021 (g, e, f) *.

Ju thotë të përgatiteni për mësimin tjetër të rishikimit