Një shumëfaqësh i gdhendur në një sferë. Matematika. Kursi i plotë është i përsëritshëm. Mësim i hapur për gjeometrinë

Përshkrimi i prezantimit sipas sllajdeve individuale:

1 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

autonome komunale institucion arsimor mesatare shkollë gjithëpërfshirëse № 45 Pako e veglave për nxënësit e klasës së 11-të Përpiluar nga një mësuese matematike e kategorisë më të lartë, Elena Vyacheslavovna Gavinskaya. Kaliningrad 2016-2017 vit akademik

2 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Polyedra e gdhendur në një sferë. Tema është e ngjashme me atë të kursit të planimetrisë, ku thuhej se mund të përshkruhen rrathë rreth trekëndëshave dhe n-këndëshave të rregullt. Analogu i një rrethi në hapësirë ​​është një sferë, dhe një shumëkëndësh është një shumëkëndësh. Në këtë rast, analogu i një trekëndëshi është një prizëm trekëndësh, dhe analogu i shumëkëndëshave të rregullt është shumëkëndëshi i rregullt. Përkufizimi. Një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një sferë nëse të gjitha kulmet e tij i përkasin kësaj sfere. Thuhet se vetë sfera është e rrethuar rreth poliedrit.

3 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

"Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi të drejtë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së këtij prizmi." Vërtetim: Nëse një sferë është e rrethuar rreth një prizmi të drejtë, atëherë të gjitha kulmet e bazës së prizmit i përkasin sferës dhe, rrjedhimisht, rrethit, i cili është vija e kryqëzimit të sferës dhe rrafshit të bazës. Anasjelltas, le të përshkruhet një rreth me qendër në pikën O1 dhe rreze r pranë bazës së një prizmi të drejtë. Pastaj, rreth bazës së dytë të prizmit, mund të përshkruhet një rreth me qendër në pikën O2 dhe të njëjtën rreze. Le të O1O2=d, O – mesi i O1O2. Atëherë sfera me qendër O dhe rreze R= do të jetë sfera e rrethuar e dëshiruar. Teorema 1.

4 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

"Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide trekëndore, dhe vetëm një." Dëshmi. Le t'i drejtohemi një prove të ngjashme me atë nga kursi i planimetrisë. Para së gjithash, ne duhet të gjejmë vendndodhjen e pikave të barabarta nga dy kulmet e trekëndëshit. Për shembull, A dhe B. Një vendndodhje e tillë gjeometrike është përgjysmues pingul i tërhequr në segmentin AB. Pastaj gjejmë vendndodhjen e pikave të barabarta nga A dhe C. Kjo është përgjysmues pingul me segmentin AC. Pika e kryqëzimit të këtyre pingulave dysektoriale do të jetë qendra e dëshiruar O e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC. Teorema 2.

5 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Tani le të shqyrtojmë situatën hapësinore dhe të bëjmë ndërtime të ngjashme. Le të jepet një piramidë trekëndore DABC dhe pikat A, B dhe C përcaktojnë rrafshin α. Vendndodhja gjeometrike e pikave të barabarta nga pikat A, B dhe C është një drejtëz a, pingul me rrafshin α dhe që kalon nga qendra O1 e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit ABC. Vendndodhja gjeometrike e pikave të barabarta nga pikat A dhe D është rrafshi β, pingul me segmentin AD dhe kalon nëpër kulmin e tij - pika E. Plani β dhe drejtëza a kryqëzohen në pikën O, e cila do të jetë qendra e dëshiruar e sfera e rrethuar rreth piramidës trekëndore DABC. Në të vërtetë, për shkak të konstruksionit, pika O është po aq e largët nga të gjitha kulmet e piramidës DABC. Për më tepër, një pikë e tillë do të jetë unike, pasi vija e drejtë dhe rrafshi kryqëzues kanë një pikë të vetme të përbashkët.

6 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Topi i përshkruar rreth piramida e rregullt. Topi mund të përshkruhet rreth çdo piramide të rregullt. Qendra e topit shtrihet në një vijë të drejtë që kalon nëpër lartësinë e piramidës dhe përkon me qendrën e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi dykëndësh, ana e të cilit është buza anësore e piramidës dhe lartësia është lartësia e piramidën. Rrezja e topit është e barabartë me rrezen e këtij rrethi. Rrezja e topit R, lartësia e piramidës H dhe rrezja e rrethit r të përshkruar pranë bazës së piramidës lidhen me relacionin: R2=(H-R)2+r2 Kjo lidhje vlen edhe në rastin kur H< R.

7 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një top të rrethuar rreth një piramide të rregullt. “Një sferë me qendër në pikën O dhe rreze 9√3 m përshkruhet pranë piramidës së rregullt PABC. Vija e drejtë PO, që përmban lartësinë e piramidës, pret bazën e piramidës në pikën H në mënyrë që PH:OH = 2:1. Gjeni vëllimin e piramidës nëse secila nga skajet anësore të saj formon një kënd prej 45 gradë me rrafshin e bazës.

8 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: PABC – piramidë e rregullt; topi (O;R=9√3 m) përshkruhet pranë piramidës; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Gjeni: Vpir. Zgjidhje: Meqenëse RN:OH=2:1 (sipas kushtit), atëherë RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (si lartësi i piramidës) => => RN _ AN (sipas përkufizimit) => RAS - drejtkëndëshe. 3. Në RAS:

Rrëshqitja 9

Përshkrimi i rrëshqitjes:

4. Meqenëse sipas kushtit RABC është një piramidë e rregullt dhe PH është lartësia e saj, atëherë sipas përkufizimit ABC është e saktë; H është qendra e një rrethi të rrethuar rreth ABC, që do të thotë 5. Përgjigje: 486 m3.

10 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Një sferë e rrethuar rreth një prizmi. Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi nëse është e drejtë dhe bazat e saj janë shumëkëndësha të gdhendur në një rreth. Qendra e topit shtrihet në mes të lartësisë së prizmit që lidh qendrat e rrathëve të përshkruar rreth bazave të prizmit. Rrezja e topit R, lartësia e prizmit H dhe rrezja e rrethit r të përshkruar rreth bazës së prizmit lidhen me relacionin:

11 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një sferë të rrethuar rreth një prizmi. “Një prizëm i rregullt ABCDA1B1C1D1 me lartësi 6 cm është i gdhendur në një sferë (pra; R = 5 cm). Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit nga një plan paralel me rrafshet e bazës dhe që kalon nëpër pikën O - qendra e topit."

12 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: ABCDA1B1C1D1 – prizëm i rregullt; një top (O;R=5 cm) përshkruhet rreth një prizmi; lartësia e prizmit h është 6 cm; α║(ABC); O me α. Gjeni: Ssec α, Zgjidhja: Meqenëse, sipas kushtit, prizmi është i brendashkruar në një top, atëherë (r është rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës së prizmit) Por sipas kushtit, jepet një prizëm i rregullt, që do të thotë

Rrëshqitja 13

Përshkrimi i rrëshqitjes:

a) (АВВ1) ║(СС1D1) (nga vetia e prizmit të drejtë) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (nga vetia e planeve paralele) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (nga vetia e prizmit të drejtë) => KM=NR (nga vetia e rrafsheve paralele). Kjo do të thotë se KMNR është një paralelogram (sipas atributit) => MN=KR dhe MN ║ KR b) α ║ (ABC) (nga ndërtimi) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (sipas vetive të rrafsheve paralele) 2. 3. Meqenëse sipas kushtit ABCDA1B1C1D1 është prizëm i rregullt, dhe seksioni për plan α është paralel me bazat, atëherë figura e formuar nga seksioni është katror. Le ta vërtetojmë: => => =>

Rrëshqitja 14

Përshkrimi i rrëshqitjes:

KMH= ABC=90o (si kënde me brinjë të rreshtuara përkatësisht) Kjo do të thotë se rombi KMNR është një katror (sipas përkufizimit), që është ajo që duhej vërtetuar. Për më tepër, katrorët KMNR dhe ABCD janë të barabartë. Prandaj, sipas vetisë sipërfaqet e tyre janë të barabarta, dhe, rrjedhimisht, Seksioni α.=SABCD=32 (cm2) Përgjigje: 32 cm2. c) KM ║ AB (vërtetuar) (BCC1) ║(ADD1) (nga vetia e prizmit të drejtë) => KM=AB=4√2 cm (nga vetia e rrafsheve paralele). d) Po kështu, vërtetohet se MN ║ BC dhe MN = BC = 4√2 cm Kjo do të thotë se MN = KM => paralelogrami MNRK është një romb (sipas përkufizimit). e) MN ║ BC (vërtetuar) KM ║ AB (vërtetuar) => =>

15 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Një cilindër i rrethuar rreth një prizmi. Një cilindër mund të përshkruhet rreth një prizmi të drejtë nëse baza e tij është një shumëkëndësh i gdhendur në një rreth. Rrezja e cilindrit R është e barabartë me rrezen e këtij rrethi. Boshti i cilindrit shtrihet në të njëjtën vijë të drejtë me lartësinë H të prizmit, duke lidhur qendrat e rrathëve të përshkruar pranë bazave të prizmit. Në rastin e një prizmi katërkëndor (nëse baza është një drejtkëndësh), boshti i cilindrit kalon nëpër pikën e kryqëzimit të diagonaleve të bazave të prizmit.

16 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Problemi ka të bëjë me një cilindër të rrethuar rreth një prizmi. Prizma e drejtë ABCDA1B1C1D1, baza e të cilit është një drejtkëndësh, është gdhendur në një cilindër, gjenerata e të cilit është 7 cm dhe rrezja është 3 cm. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të prizmit nëse këndi midis diagonaleve ABCD është 60 gradë. ОО1 – boshti i cilindrit.

Rrëshqitja 17

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Jepet: ABCDA1B1C1D1 – prizëm i drejtë; cilindri përshkruhet pranë prizmit; gjeneratori i cilindrit AA1=7 cm; rrezja e bazës së cilindrit është 3 cm; këndi ndërmjet diagonaleve ABCD është 60°; ОО1 – boshti i cilindrit. Gjeni: Prizmin anësor. Zgjidhje: Meqenëse, sipas kushtit, një prizëm katërkëndësh, në bazën e të cilit është një drejtkëndësh, është i brendashkruar në një top, atëherë sipas vetive AC∩ВD=O. Kjo do të thotë AOB=60o dhe AO=OB=3cm. 2. Në AOB duke përdorur teoremën e kosinusit.

Polyedra e gdhendur në një sferë Një shumëfaqësh konveks quhet i brendashkruar nëse të gjitha kulmet e tij shtrihen në një sferë. Kjo sferë quhet e përshkruar për një shumëkëndësh të caktuar. Qendra e kësaj sfere është një pikë e barabartë nga kulmet e poliedrit. Është pika e kryqëzimit të planeve, secila prej të cilave kalon nga mesi i skajit të poliedrit pingul me të.

Formula për gjetjen e rrezes së një sfere të rrethuar Le të jetë SABC një piramidë me skaje anësore të barabarta, h është lartësia e saj, R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës. Le të gjejmë rrezen e sferës së kufizuar. Vini re ngjashmërinë e trekëndëshave kënddrejtë SKO1 dhe SAO. Atëherë SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Por KS = SA/2. Pastaj R 1 = SA 2 / (2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 / (2h), ku b është një skaj anësor.

Një paralelipiped i gdhendur në një sferë Teorema: Një sferë mund të përshkruhet rreth një paralelipipedi nëse dhe vetëm nëse paralelepipedi është drejtkëndor, pasi në në këtë rastështë i drejtë dhe rreth bazës së tij - një paralelogram - mund të përshkruhet një rreth (pasi baza është një drejtkëndësh).

Problemi 1 Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një katërkëndëshi të rregullt me ​​buzë a. Zgjidhje: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Përgjigje: SO 1 = a /4. Le të ndërtojmë fillimisht një imazh të qendrës së një topi të kufizuar duke përdorur imazhin e një tetraedri të rregullt SABC. Le të vizatojmë apotemat SD dhe AD (SD = AD). Në trekëndëshin izoscelular ASD, secila pikë e DN mesatare është e barabartë nga skajet e segmentit AS. Prandaj, pika O 1 është kryqëzimi i lartësisë SO dhe segmentit DN. Duke përdorur formulën nga R 1 = b 2 / (2h), marrim:

Problemi 2 Zgjidhja: Duke përdorur formulën R 1 =b 2 /(2h) për të gjetur rrezen e topit të rrethuar, gjejmë SC dhe SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 - (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) - 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Në një piramidë të rregullt katërkëndore, ana e bazës është e barabartë me a, dhe këndi i rrafshit në kulm është i barabartë me α . Gjeni rrezen e topit të rrethuar R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·).Përgjigje : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Polyedra e rrethuar rreth një sfere Një shumëfaqësh konveks quhet i rrethuar nëse të gjitha fytyrat e tij prekin një sferë. Kjo sferë quhet e mbishkruar për një shumëkëndësh të caktuar. Qendra e një sfere të gdhendur është një pikë e barabartë nga të gjitha faqet e poliedrit.

Pozicioni i qendrës së një sfere të brendashkruar Koncepti i një rrafshi përgjysmues të një këndi dihedral. Një rrafsh përgjysmues është një rrafsh që ndan një kënd dykëndor në dy kënde të barabarta dihedrale. Çdo pikë e këtij rrafshi është në distancë të barabartë nga faqet e këndit dihedral. Në rastin e përgjithshëm, qendra e një sfere të gdhendur në një shumëfaqësh është pika e kryqëzimit të planeve përgjysmuese të të gjitha këndeve dihedrale të shumëfaqëshit. Gjithmonë shtrihet brenda poliedrit.

Një piramidë e rrethuar rreth një topi Një top thuhet se është i gdhendur në një piramidë (arbitrare) nëse prek të gjitha faqet e piramidës (si anësore ashtu edhe në bazë). Teorema: Nëse faqet anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën, atëherë një top mund të futet në një piramidë të tillë. Meqenëse këndet dihedrale në bazë janë të barabarta, gjysmat e tyre janë gjithashtu të barabarta dhe përgjysmorët kryqëzohen në një pikë në lartësinë e piramidës. Kjo pikë i përket të gjitha rrafsheve përgjysmuese në bazën e piramidës dhe është e barabartë nga të gjitha faqet e piramidës - qendra e topit të brendashkruar.

Formula për gjetjen e rrezes së një sfere të brendashkruar Le të jetë SABC një piramidë me skaje anësore të barabarta, h është lartësia e saj, r është rrezja e rrethit të brendashkruar. Le të gjejmë rrezen e sferës së kufizuar. Le të jetë SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Pastaj, nga vetia e përgjysmuesit të këndit të brendshëm të një trekëndëshi, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Përgjigje: r 1 = rh/(+ r).

Një paralelipiped dhe një kub i përshkruar rreth një sfere Teorema: Një sferë mund të futet në një paralelipiped nëse dhe vetëm nëse paralelepipedi është i drejtë dhe baza e tij është një romb, dhe lartësia e këtij rombi është diametri i sferës së brendashkruar, e cila, nga ana tjetër, është e barabartë me lartësinë e paralelopipedit. (Nga të gjithë paralelogramët, vetëm një rreth mund të brendashkrohet në një romb) Teorema: Një sferë mund të brendashkohet gjithmonë në një kub. Qendra e kësaj sfere është pika e kryqëzimit të diagonaleve të kubit, dhe rrezja është e barabartë me gjysmën e gjatësisë së skajit të kubit.

Kombinimet e figurave Prizma të brendashkruara dhe të rrethuara Një prizëm i rrethuar rreth një cilindri është një prizëm, rrafshet e bazës së të cilit janë rrafshet e bazave të cilindrit, dhe faqet anësore prekin cilindrin. Një prizëm i gdhendur në një cilindër është një prizëm, planet bazë të të cilit janë rrafshet e bazave të cilindrit, dhe skajet anësore janë gjeneratorët e cilindrit. Një plan tangjent me një cilindër është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit të cilindrit dhe pingul me rrafshin e seksionit boshtor që përmban këtë gjenerator.

Piramidat e brendashkruara dhe të rrethuara Një piramidë e gdhendur në një kon është një piramidë, baza e së cilës është një shumëkëndësh i gdhendur në rrethin e bazës së konit, dhe kulmi është kulmi i konit. Skajet anësore të një piramide të gdhendura në një kon formojnë konin. Një piramidë e rrethuar rreth një koni është një piramidë baza e së cilës është një shumëkëndësh i rrethuar rreth bazës së konit, dhe kulmi përkon me majën e konit. Rrafshet e faqeve anësore të piramidës së përshkruar janë tangjente me rrafshin e konit. Një rrafsh tangjent me një kon është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit dhe pingul me rrafshin e seksionit boshtor që përmban këtë gjenerator.

Llojet e tjera të konfigurimeve Një cilindër është i gdhendur në një piramidë nëse rrethi i njërës prej bazave të tij prek të gjitha faqet anësore të piramidës dhe baza tjetër e tij shtrihet në bazën e piramidës. Një kon është brendashkruar në një prizëm nëse kulmi i tij shtrihet në bazën e sipërme të prizmit, dhe baza e tij është një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh - baza e poshtme e prizmit. Një prizëm brendashkrohet në një kon nëse të gjitha kulmet e bazës së sipërme të prizmit shtrihen në sipërfaqen anësore të konit, dhe baza e poshtme e prizmit shtrihet në bazën e konit.

Problemi 1 Në një piramidë të rregullt katërkëndore, ana e bazës është e barabartë me a dhe këndi i rrafshët në kulm është i barabartë me α. Gjeni rrezen e topit të gdhendur në piramidë. Zgjidhje: Të shprehim anët e ESK-së në terma a dhe α. OK = a/2. SK = KC cot(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Duke përdorur formulën r 1 = rh/(+ r), gjejmë rrezen e topit të brendashkruar: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Përgjigje: r 1 = (a/2)

Përfundim Tema “Polyhedra” studiohet nga nxënësit e klasave 10 dhe 11, por në kurrikula ka shumë pak material për temën “Poliedra të brendashkruara dhe të rrethuara”, megjithëse është shumë interes i madh studentët, pasi studimi i vetive të poliedrës kontribuon në zhvillimin e abstrakteve dhe të menduarit logjik, e cila më vonë do të jetë e dobishme për ne në studim, punë, jetë. Gjatë punës për këtë ese, ne studiuam të gjithë materialin teorik me temën "Poliedra të gdhendura dhe të kufizuara", shqyrtuam kombinimet e mundshme të figurave dhe mësuam të zbatojmë të gjithë materialin e studiuar në praktikë. Problemet që përfshijnë kombinimin e trupave janë pyetja më e vështirë në kursin e stereometrisë në klasën e 11-të. Por tani mund të themi me besim se nuk do të kemi probleme për zgjidhjen e problemeve të tilla, pasi gjatë kohës sonë punë kërkimore vendosëm dhe vërtetuam vetitë e shumëkëndëshave të brendashkruar dhe të rrethuar. Shumë shpesh, studentët kanë vështirësi kur ndërtojnë një vizatim për një problem në Kjo temë. Por, pasi kemi mësuar se për të zgjidhur problemet që përfshijnë kombinimin e një topi dhe një poliedri, imazhi i topit ndonjëherë është i panevojshëm dhe mjafton të tregojmë qendrën dhe rrezen e tij, mund të jemi të sigurt se nuk do të kemi këto vështirësi. Falë kësaj eseje, ne arritëm të kuptonim këtë temë të vështirë, por shumë magjepsëse. Shpresojmë që tani nuk do të kemi ndonjë vështirësi në zbatimin e materialit të studiuar në praktikë.

Polyedra e gdhendur në një sferë Një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një sferë nëse të gjitha kulmet e tij i përkasin kësaj sfere. Thuhet se sfera në vetvete është e rrethuar rreth poliedrit. Teorema. Një sferë mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së kësaj piramide.

Teorema Polyhedra e gdhendur në një sferë. Një sferë mund të përshkruhet pranë një prizmi të drejtë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet pranë bazës së këtij prizmi. Qendra e saj do të jetë pika O, e cila është mesi i segmentit që lidh qendrat e rrathëve të përshkruar pranë bazave të prizmit. Rrezja e sferës R llogaritet me formulën ku h është lartësia e prizmit, r është rrezja e rrethit të rrethuar rreth bazës së prizmit.

Ushtrimi 3 Baza e piramidës është një trekëndësh i rregullt, brinja e të cilit është e barabartë me 3. Njëra nga skajet anësore është e barabartë me 2 dhe është pingul me rrafshin e bazës. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Zgjidhje. Le të jetë O qendra e sferës së rrethuar, Q qendra e rrethit të rrethuar rreth bazës, E pika e mesit e SC. Katërkëndëshi CEOQ është një drejtkëndësh në të cilin CE = 1, CQ = Prandaj, R=OC=2. Përgjigje: R = 2.

Ushtrimi 4 Figura tregon piramidën SABC, për të cilën skaji SC është i barabartë me 2 dhe është pingul me rrafshin e bazës ABC, këndi ACB është i barabartë me 90 o, AC = BC = 1. Ndërtoni qendrën e sferës. rrethuar rreth kësaj piramide dhe gjeni rrezen e saj. Zgjidhje. Përmes mesit D të skajit AB vizatojmë një vijë paralele me SC. Përmes mesit E të skajit SC vizatojmë një vijë të drejtë paralele me CD-në. Pika e tyre e kryqëzimit O do të jetë qendra e dëshiruar e sferës së kufizuar. Në trekëndëshin kënddrejtë OCD kemi: OD = CD = Nga teorema e Pitagorës, gjejmë

Ushtrimi 5 Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt trekëndore, skajet anësore të së cilës janë të barabarta me 1 dhe këndet e rrafshët në kulm janë të barabartë me 90 gradë. Zgjidhje. Në tetraedrin SABC kemi: AB = AE = SE = Në trekëndëshin kënddrejtë OAE kemi: Duke zgjidhur këtë ekuacion për R, gjejmë

Ushtrimi 4 Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një prizmi trekëndor të drejtë, në bazën e së cilës trekëndësh kënddrejtë me këmbë të barabarta me 1 dhe lartësinë e prizmit të barabartë me 2. Përgjigje: Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me gjysmën e diagonales A 1 C të drejtkëndëshit ACC 1 A 1. Kemi: AA 1 = 2, AC = Prandaj, R =

Ushtrim Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt 6-gonale, skajet e së cilës janë të barabarta me 1 dhe skajet anësore janë të barabarta me 2. Zgjidhje. Trekëndëshi SAD është barabrinjës me brinjën 2. Rrezja R e sferës së rrethuar është e barabartë me rrezen e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit SAD. Prandaj,

Ushtrim Gjeni rrezen e sferës së rrethuar rreth njësisë ikozaedron. Zgjidhje. Në drejtkëndëshin ABCD, AB = CD = 1, BC dhe AD janë diagonalet e pesëkëndëshave të rregullt me ​​brinjë 1. Prandaj, BC = AD = Sipas teoremës së Pitagorës, AC = Rrezja e kërkuar është e barabartë me gjysmën e kësaj diagonale, d.m.th.

Ushtrim Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar me një njësi dodekaedri. Zgjidhje. ABCDE është një pesëkëndësh i rregullt me ​​brinjë Në drejtkëndëshin ACGF AF = CG = 1, AC dhe FG janë diagonalet e pesëkëndëshit ABCDE dhe, për rrjedhojë, AC = FG = Nga teorema e Pitagorës FC = Rrezja e kërkuar është e barabartë me gjysmën e kësaj diagonale, d.m.th.

Ushtrim Figura tregon një katërkëndor të cunguar të përftuar duke prerë qoshet e një tetraedri të rregullt të piramidave trekëndore, faqet e të cilave janë gjashtëkëndësha të rregullt dhe trekëndëshat. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një katërkëndëshi të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.

Ushtrim Figura tregon një tetëkëndësh të cunguar të përftuar duke prerë piramidat trekëndore nga cepat e tetëkëndëshit, faqet e të cilave janë gjashtëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e sferës të rrethuar rreth një tetëkëndëshi të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1. Ushtrim Figura tregon një ikozaedron të cunguar i përftuar duke prerë qoshet e ikozaedrit të piramidave pesëkëndëshe, faqet e të cilit janë gjashtëkëndësha dhe pesëkëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një ikozaedri të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.
Ushtrim Figura tregon një dodekahedron të cunguar të përftuar duke prerë piramidat trekëndore nga qoshet e dodekaedrit, faqet e të cilave janë dhjetëkëndësha dhe trekëndësha të rregullt. Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një dodekaedri të cunguar, skajet e të cilit janë të barabarta me 1.
Ushtrim Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar me një kuboktaedron njësi. Zgjidhje. Kujtoni që një kuboktaedron përftohet nga një kub duke prerë piramidat e rregullta trekëndore me kulme në kulmet e kubit dhe skajet anësore të barabarta me gjysmën e skajit të kubit. Nëse skaji i oktaedrit është i barabartë me 1, atëherë skaji i kubit përkatës është i barabartë me Rrezja e sferës së rrethuar është e barabartë me distancën nga qendra e kubit deri në mes të skajit të tij, d.m.th. është e barabartë me 1. Përgjigje: R = 1.

Mësues matematike gjimnaz №2,

qyteti i Taldykorgan N.Yu.Lozovich

Mësimi publik në gjeometri

Tema e mësimit: “Topi. I gdhendurDhepoliedra të përshkruara"

Objektivat e mësimit:

- arsimore - të sigurojë gjatë orës së mësimit përsëritjen, konsolidimin dhe testimin e zotërimit të përkufizimeve nga nxënësit top Dhe sferat, dhe konceptet e lidhura me to ( qendra, rrezet, diametrat,pika diametralisht të kundërta, plane tangjente Dhe drejt); konceptet e poliedrave të brendashkruara dhe të rrethuara, njohja e teoremave mbi seksionin e një topi me një rrafsh (20.3), mbi simetrinë e një topi (20.4), në planin tangjent me një top (20.5), mbi kryqëzimin e dy sferave (20.6), mbi ndërtimin e qendrës së një sfere të kufizuar (të brendashkruar) një piramidë dhe ndërtimin e qendrës së një sfere të përshkruar rreth një prizmi të rregullt;

të vazhdojë të zhvillojë aftësitë për të zbatuar në mënyrë të pavarur të gjithë trupin e kësaj njohurie në situata të ndryshueshme bazuar në model dhe jo standarde, që kërkojnë aktivitet krijues;

arsimore - për të rrënjosur tek studentët përgjegjësinë për rezultatet e studimeve të tyre, këmbënguljen në arritjen e qëllimeve, vetëbesimin, dëshirën për të arritur rezultate të shkëlqyera, ndjenjën e bukurisë (bukuria e formave gjeometrike, një zgjidhje elegante, e bukur për një problem).

në zhvillim - zhvillojnë te nxënësit: aftësinë për të menduar specifik dhe të përgjithësuar, imagjinatë krijuese dhe hapësinore; asociativiteti (aftësia për t'u mbështetur në lidhje të ndryshme: me ngjashmëri, analogji, kontrast, shkak-pasojë), aftësia për të shprehur në mënyrë logjike dhe të vazhdueshme mendimet e dikujt, nevojën për të mësuar dhe zhvilluar, për të krijuar kushte në mësim për manifestimin të veprimtarisë njohëse të nxënësve.

Lloji i mësimit

mësimi i testimit dhe korrigjimit të njohurive dhe aftësive.

Metodat e mësimdhënies

Bisedë hyrëse (përcaktimi i qëllimit të mësimit, motivimi i veprimtarive mësimore të nxënësve, krijimi i atmosferës së nevojshme emocionale dhe morale, udhëzimi i studentëve për organizimin e punës në mësim).

Sondazh frontal (testimi me gojë i njohurive të nxënësve për konceptet bazë, teoremat, aftësitë për të shpjeguar thelbin e tyre dhe për të justifikuar arsyetimin e tyre).

Punë e pavarur e niveluar, bazuar në parimin e rritjes graduale të nivelit të njohurive dhe aftësive, d.m.th. nga niveli riprodhues në nivelin prodhues dhe krijues. Thelbi i metodës është puna individuale e pavarur e studentëve, e kontrolluar dhe inkurajuar vazhdimisht nga mësuesi.

Mjete vizuale edukative

Modele stereometrike trupat gjeometrikë, postera, vizatime, kartolina për individ punë e pavarur.

Përditëso

a) Njohuritë bazë.

Është e nevojshme të aktivizohen konceptet: tangjente në rreth, shumëkëndësha konveks të brendashkruar në rreth dhe të rrethuar rreth një rrethi, llogaritja e rrezeve të rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar për shumëkëndëshat e rregullt nga planimetria; nga kursi i klasës së 10-të, përkufizimi i simetrisë në raport me një rrafsh, koncepti i figurave që janë simetrike në lidhje me një pikë, një bosht (drejtëz) dhe një rrafsh.

b) Mënyrat për të formuar motive dhe për të ngjallur interes.

Në bisedë hyrëse sigurohuni që studentët të kuptojnë qëllimin, të njohin interesin e tyre personal për ta arritur atë, të zbulojnë kuptimin e qëllimit për vetë studentët, të theksojnë rëndësinë e kësaj teme jo vetëm në vetvete, por edhe natyrën e saj propedeutike për studimin e temës tjetër, të ngopin mësim me material të natyrës emocionale (bukuria e formave gjeometrike, flluska sapuni, Toka dhe Hëna); theksoni natyrën e nivelit të punës së pavarur: nga njëra anë, kjo do të sigurojë një nivel të lartë shkencor të materialit që studiohet, dhe nga ana tjetër, aksesueshmërinë, pika e studentëve është se secili prej tyre ka të drejtën e mbështetjes pedagogjike ( "sigurim") për identifikimin, analizimin e problemeve reale ose të mundshme të fëmijës, hartimin e përbashkët të një rrugëdaljeje të mundshme prej tyre; sistemi i vlerësimit vlerësimi i njohurive është një nxitje shtesë për fëmijët.

c) Format e monitorimit të mbarëvajtjes së punës, kontrollit reciprok. Kontrolli i ndërsjellë (këmbimi i fletoreve) kryhet pasi studentët të kenë përfunduar pjesën e parë të punës së pavarur të nivelit të 1-të (student) - përgjigjet me shkrim të studentëve për pyetjet me gojë të mësuesit (diktim matematikor).

Pas shkëmbimit të fletoreve, të gjitha përgjigjet e sakta thuhen me zë të lartë (nëse është e mundur, përdoren mjete vizuale: modele trupash stereometrikë, vizatime, postera). Pastaj djemtë vazhdojnë në vlerësimin e vlerësimit të pjesës së parë të punës së pavarur: përgjigja e saktë e plotë shënohet me 1 pikë, nëse ka komente të vogla, atëherë - 0,5 pikë, përndryshe - 0 pikë. Numri i pikëve të shënuara nga secili nxënës shënohet në tabelë nga mësuesi. Pas së cilës djemtë fillojnë të punojnë në karta individuale. Ata që kanë përfunduar detyrat e nivelit të parë dhe kanë marrë miratimin nga mësuesi, kalojnë në përfundimin e detyrës së nivelit tjetër. Suksesi i zgjidhjes së problemit nuk duhet të lihet pa vëmendje, inkurajim dhe lëvdata. Në të njëjtën kohë, mësuesi kryen punë korrigjuese: duke kuptuar pikat e forta dhe të dobëta të studentit, ai e ndihmon atë të mbështetet në pikat e tij të forta dhe e plotëson atë ku studenti, sado që të përpiqet, ende objektivisht nuk është në gjendje të përballojë diçka.

Kur kontrolloni funksionimin, përdoret sistemi i mëposhtëm i shënimeve:

Problemi nuk zgjidhet;

Problemi nuk është zgjidhur, por ka disa konsiderata të arsyeshme në punë;

Vetëm përgjigja i jepet një problemi ku një përgjigje nuk mjafton qartë;

± - problemi është zgjidhur, por zgjidhja përmban lëshime dhe pasaktësi të vogla;

Problemi është zgjidhur plotësisht;

+! – zgjidhja e problemit përmban ide të papritura të ndritshme.

Rëndësi e madhe bashkangjitur në një fletë të kontabilitetit të hapur të aktiviteteve të fëmijëve, e cila plotësohet pasi përfundon puna e pavarur.

Kjo siguron kushtet e domosdoshme për vlerësimin e njohurive të nxënësve në klasë - objektivitet, efikasitet, vullnet i mirë dhe transparencë.

I niveloj

Diktim matematik.

1) Unë opsion.Çfarë vetie kanë të gjitha kulmet e një poliedri të gdhendur në një sferë?

II opsion.Çfarë vetie ka secila faqe e një poliedri të gdhendur në një sferë?

2) Unë opsion. Nëse një sferë mund të përshkruhet rreth një poliedri, atëherë si mund të ndërtohet qendra e saj?

II opsion. RRETH Sa paralelopipedë mund të përdoren për të përshkruar një sferë? Shpjegoni përgjigjen tuaj.

3) Unë opsion. Ku qëndron qendra e sferës përshkruar në lidhje me saktë P- prizmin e karbonit?

II opsion. Ku përshkruhet qendra e sferës rreth një piramide të rregullt?

4) Unë opsion. Si të ndërtohet qendra e një sfere të gdhendur në një piramidë të rregullt n-gonale?

// opsion. A është e mundur të vendoset një sferë në ndonjë prizëm të rregullt?

Opsioni I

I niveloj

Rrezja e topit është 6 cm; një rrafsh tërhiqet në fund të rrezes në një kënd prej 60 ° me të. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

Niveli II

Një prizëm i rregullt katërkëndor është i gdhendur në një sferë me rreze 5 cm Buza e bazës së prizmit është 4 cm Gjeni lartësinë e prizmit.

Niveli III

Llogaritni rrezen e një sfere të brendashkruar në një katërkëndor të rregullt me ​​buzë 4 cm.

niveli IV

Një top me rreze R është i gdhendur në një kon të cunguar. Këndi i prirjes së gjeneratorit në rrafshin e bazës së poshtme të konit është i barabartë me A. Gjeni rrezet e bazave dhe gjeneratën e konit të cunguar.

Opsioni II

I niveloj

Një sferë rrezja e së cilës është 10 cm, pritet nga një rrafsh në një distancë prej 6 cm nga qendra. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

Niveli II

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një kubi me një anë 4 cm.

Niveli III.

A. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

niveli IV

Një top me rreze R është i gdhendur në një kon të cunguar. Këndi i prirjes së gjeneratorit në rrafshin e bazës së poshtme të konit është i barabartë me a. Gjeni rrezet e bazave dhe gjeneratën e konit të cunguar.

Opsioni Ш

I niveloj

Një rrafsh pingul me të është tërhequr përmes mesit të rrezes së topit. Si lidhet zona e rrethit të madh me sipërfaqen e seksionit kryq që rezulton?

Niveli II

Një prizëm i rregullt trekëndor është i gdhendur në një sferë me rreze 4 cm Buza e bazës së prizmit është 3 cm Gjeni lartësinë e prizmit.

Niveli III

Në një piramidë të rregullt katërkëndore, ana e bazës është 4 cm, dhe këndi i rrafshët në kulm është A. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar.

IV niveli

Një piramidë e rregullt trekëndore me qoshe të rrafshët është gdhendur në një top me rreze R A në krye të saj. Gjeni lartësinë e piramidës.

IV opsion

I niveli

Tre pikë jepen në sipërfaqen e topit. Distancat drejtvizore ndërmjet tyre janë 6 cm, 8 cm, 10 cm Rrezja e topit është 11 cm Gjeni distancën nga qendra e topit deri në rrafshin që kalon nëpër këto pika.

II niveli

Një prizëm i rregullt gjashtëkëndor është i gdhendur në një sferë me rreze 5 cm Buza e bazës së prizmit është 3 cm Gjeni lartësinë e teknikës.

Sh niveli

Gjeni rrezen e një sfere të rrethuar rreth një piramide të rregullt n-gonale nëse ana e bazës është 4 cm dhe buza anësore është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd A.

niveli IV

Një piramidë e rregullt trekëndore me kënde të sheshta a në kulmin e saj është brendashkruar në një top me rreze R. Gjeni lartësinë e piramidës.

Përmbledhja e mësimit

Rezultatet e punës së pavarur shpallen dhe analizohen. Studentët që kanë nevojë punë korrektuese, janë të ftuar në mësimet e korrigjimit.

Set detyre shtepie(me komentet e nevojshme), i përbërë nga pjesë të detyrueshme dhe të ndryshueshme.

Pjesa e detyrueshme: paragrafët 187 - 193 - përsërit; Nr 44,45,39

Pjesa e ndryshueshme nr. 35