Kiryanov D.V., Kiryanova E.N., Kozlov N.I., Kuznetsov V.I.
(D.V.Kiriyanov, E.N.Kiriyanova, N.I.Kozlov, V.I.Kuznetsov)

IPM im. M.V.Keldysh RAS

Moskë, 2005

shënim

Puna shqyrton disa modele matematikore të ndikimit të përbërjes moshore të një popullsie ekologjike në zhvillimin e saj. Modelimi kryhet duke zgjidhur numerikisht një sistem dinamik ekuacionet diferenciale(derivate të zakonshme dhe të pjesshme), që i përkasin klasës së sistemeve Volterra dhe matricave Leslie.

Abstrakt

Është paraqitur rishikimi i modeleve të ndikimit të strukturës së moshës në dinamikën ekologjike të popullsisë. Ne konsiderojmë një numër sistemesh dinamike të ekuacioneve diferenciale të zakonshme dhe PDE bazuar në modelin klasik Volterra dhe qasjen e matricave Leslie.

§ 1. Modeli bazë

Kohët e fundit për një zgjidhje probleme praktike Modelimi i dinamikës së zhvillimit të ekosistemit bazuar në ekuacionet diferenciale dhe integro-diferenciale po përdoret gjithnjë e më shumë. Kjo qasje përdoret gjerësisht për të modeluar komunitete të ndryshme biologjike dhe, në veçanti, pyjet. Vështirësia më e madhe paraqitet nga dy pika:

· zgjedhja e saktë e ekuacioneve, veçanërisht parametrat e përfshirë në to që përshkruajnë madhësinë e ndikimit të parametrave të caktuar në gjendjen e një zone të caktuar të ekosistemit;

· modelimi adekuat i efekteve të moshës, si dhe shpërndarja hapësinore e ekosistemeve heterogjene.

Në këtë punim, ne konsiderojmë efektet e ndryshme të moshës në biocenozat pyjore bazuar në modelimin numerik të ekuacioneve të zakonshme diferenciale dhe diferenciale-diferencë, si dhe ekuacionet diferenciale të pjesshme. Para së gjithash, le të paraqesim një model të thjeshtuar të zhvillimit të një pylli me dy lloje, i cili përshkruan evolucionin e popullsisë në tërësi, duke mos marrë parasysh as shpërndarjen hapësinore dhe as efektet e moshës. Në këtë fazë, e cila në thelb shpreh kërkesat globale mjedisore, është e nevojshme të përcaktohet në mënyrë adekuate natyra e ndërveprimeve kryesore.

Popullsinë do ta karakterizojmë me vektorin e densitetit të biomasës, i=l (specie gjetherënëse), x (halore). Le të kufizohemi në një sistem me dy nivele të ndërveprimeve trofike të llojit "burim-konsumator": tokë - pyll me dy lloje që konkurrojnë me njëri-tjetrin. Gjendja e tokës karakterizohet nga ndryshorja e tretë - treguesi i përgjithësuar i pjellorisë P(t). Sistemi dinamik që kemi përdorur për të përshkruar këtë model të grumbulluar është si më poshtë:

i = (x, l)(1)

· P – tregues i përgjithësuar i pjellorisë – dendësia e burimeve (kg/m 2 );

· u l – dendësia e biomasës së specieve gjetherënëse (kg/m 2 );

· u x – dendësia e biomasës halore (kg/m 2 );

· A i është koeficienti i restaurimit të tokës për shkak të rënies së species së i-të (1/vit);

· B – koeficienti i vetë-shërimit të tokës (1/vit);

· P 0 – vlera asimptotike e pjellorisë në mungesë të pyllit (kg/m 2 );

· Vi – shkalla e konsumit të burimeve (funksioni trofik) (1/vit);

· с i – faktori korrigjues që përshkruan konkurrencën;

· k i – koeficienti i rritjes së racës i-të;

· D i – shkalla e vdekshmërisë natyrore të pemëve (1/vit);

· W – ndikimi i faktorëve të jashtëm, shpesh i dëmshëm, pra me shenjë negative, (kg/(vit× m 2 ))

· t 0 - koha mesatare e maturimit të një pylli të ri (vit)

Ky sistem, siç shihet lehtë, është një përgjithësim i modelit klasik Volterra. Koeficientët janë një kombinim i një konstante të vendosur eksperimentalisht (që përcakton zhvillimin e popullatës në kushte normale) dhe një funksioni korrigjues. Diskutuam formën eksplicite të koeficientëve në vepër dhe aty u dhanë edhe grafikët tipikë të zgjidhjes së sistemit (1).

Një nga zgjidhjet që korrespondon me zhvillimin e pyjeve në kushte normale (me lagështi të mjaftueshme) është paraqitur në Fig. 1. Përshkruan fenomenin e njohur të zëvendësimit të pyjeve gjetherënëse me halorë gjatë zhvillimit të një popullate.

Fig.1. Zgjidhja tipike e sistemit (1).

Duhet të theksohet menjëherë se modeli i përqendruar (1) lejon vetëm shqyrtimin më të përafërt të efekteve të moshës, sepse ekuacionet përfshijnë dendësinë totale të biomasës (pa ndarje në grupmosha). Për shembull, në llogaritjet e treguara në Fig. 1, ne (përmes funksionit të duhur të korrigjimit) morëm parasysh se shkalla natyrore e vdekshmërisë D i varet ndjeshëm nga mosha mesatare e popullsisë.

Pasi kemi bërë këto vërejtje paraprake, mund të kalojmë në temën kryesore të kësaj pune - modele të ndryshme të popullatave pyjore me përbërje moshore heterogjene.

§ 2. Modeli i matricës Leslie

Llogaritja e matricës për të përshkruar zhvillimin e popullatave komplekse multispecie (të aplikuara në modelet e grumbulluara) u propozua nga Leslie në mesin e shek. Deri më tani, modelet e përmendura ekologjike janë mbështetur në metodat e llogaritjes diferenciale. Kjo në vetvete është një përafrim. Kur kalohet në llogaritjet praktike, për shembull, sipas tabelave demografike, duhet të merret me sasi diskrete. Për shembull, në demografinë njerëzore, zakonisht përdoren intervale kohore pesëvjeçare. Për më tepër, zhvillimi i shumë popullatave (përfshirë pyjet) ka një natyrë të theksuar sezonale. Prandaj, për një përshkrim të saktë të popullsisë dhe për llogaritjet praktike, ka më shumë gjasa që të mos zbatohen metodat e llogaritjes diferenciale dhe integrale, por metodat e matematikës diskrete (matricë, etj.).

Leslie propozoi përdorimin e të ashtuquajturës matricë tranzicioni për të përshkruar një popullsi komplekse me shumë mosha

,(2)

i cili, kur shumëzohet me një vektor kolone të numrit të individëve të klasave të ndryshme të moshave (nga zero - individë të porsalindur, në k - individët më të vjetër) jep numrin e individëve në grupmosha pas një njësie të caktuar kohe (më shpesh, një vit). Kështu, në matrica e tranzicionit Leslie p i është shkalla e mbijetesës (d.m.th. probabiliteti që një individ i klasës së i-të të kalojë në (i+1)-të vitin e ardhshëm),a i – fertiliteti mesatar i individëve mosha e i-të grupe.

Kështu, matrica e tranzicionit është një matricë katrore me madhësi (k+1)´ (k+1), dhe vektori i kolonës së numrave të grupmoshave është matrica (k+1)´ 1. Nëse elementët e matricës janë konstante, d.m.th. nuk ndryshojnë me kohën, atëherë nga jonegativiteti i tyre del se vlera maksimale absolute e eigenvalut të matricës është reale dhe pozitive. Nëse eigenvalu maksimal është më pak se një, atëherë popullsia është e dënuar me zhdukje; nëse është më e madhe, ka rritje të pakufizuar të popullsisë. Matricat primitive Leslie kanë një eigenvalue maksimale prej një. Kjo do të thotë se popullsia do të priret me kalimin e kohës drejt një shpërndarjeje të qëndrueshme moshore, të dhënë nga eigenvektori që korrespondon me vlerën vetjake maksimale, dhe shkalla e rritjes së popullsisë do të përcaktohet nga kjo eigenvalue.

Në një përshkrim dinamik të popullsisë, para së gjithash është e nevojshme të merret parasysh ndryshimi në aftësinë e individëve për t'u riprodhuar. Për këtë qëllim, zakonisht dallohen tre grupe: paragjenerative (të rinj, ende të paaftë për riprodhim), gjenerues (të aftë për riprodhim, por jo domosdoshmërisht riprodhues për momentin) dhe postgjenerativ (senil, që tashmë kanë humbur aftësinë për t'u riprodhuar). Në varësi të karakteristikave të ciklit jetësor të një specie të veçantë dhe në prani të karaktereve diagnostikuese të besueshme, secili prej këtyre grupeve të mëdha ndahet në kategori më të vogla moshe.

Duhet të theksohet se ndarja e një popullate në grupmosha justifikohet nga pikëpamja praktike në rastet kur organizmat e një specie të caktuar kanë karakteristika që bëjnë të mundur përcaktimin e saktë të moshës së një individi. Në modelet tona, në rastin e një popullate pyjore, mosha e një peme individuale mund të përcaktohet me saktësi duke përdorur unazat e pemëve.

Le të shqyrtojmë tani aplikimin e matricave Leslie në modelin e paraqitur në§ 1. Kujtojmë se ky model bazë përshkruante pyllin pa marrë parasysh moshën.Rezistenca e bimëve ndaj thatësirës, ​​mbytjes me ujë, hijezimit, ndotjes, zjarreve në tokë, sëmundjeve dhe faktorëve të tjerë varet kryesisht nga mosha.

Në vijim, ne e lëmë indeksin e pamjes, pasi llogaritjet nuk varen prej tij. Indeksi i shikimit do të shfaqet vetëm në rezultatin përfundimtar. Gjithashtu duhet pasur parasysh se nese intervalet e grupmoshave jane shume me te medha ne kohe, atehere duhet pasur parasysh shperndarja e moshave brenda vete grupit.Numri i grupmoshave mund te jete i vogel psh 4 grupe. për çdo interval tipik moshe: pyll i ri, pyll i moshës riprodhuese dhe pyll i mbipjekur (nuk prodhon fara). Kjo do të thotë, ka vetëm 12 grupe. Megjithatë, kjo shpërndarje është e panjohur përpara se të fillojë llogaritja. Është mjaft e mundur që në çdo hap kohor të sqarohet shpërndarja brenda grupit, për shembull, duke interpoluar sipas vlerave të variablave të grupit për hap kohor. Pastaj konstantet e grupit rafinohen. Ne zgjedhim një rrugë më të thjeshtë: bëhet një supozim për shpërndarjen e moshës apriori, dhe më pas gjenden konstantet e grupit. Në fakt, këto "konstante" mund të varen nga variablat e grupit. Kjo siguron që konstantet e grupit të rregullohen në përputhje me vlerat e variablave të grupit.

Për të përcaktuar koeficientët e kalimit nga grupi në grup, ne do të përdorim një skemë diskrete (Fig. 2). Le të përfshijë grupmosha një rlet dhe ne konsiderojmë një gjendje të qëndrueshme kur e njëjta vlerë e biomasës merret në hyrje të grupit.

123 4

Fig.2. Diagrami që shpjegon modelin e Leslie

Pastaj për çdo vit sipas moshës do të kemi dendësinë e mëposhtme të biomasës:

1 vit=,2 vit=,3 vit=,...r vit=

Këtu C është një koeficient që tregon se sa rritet dendësia fillestare e biomasës në vit.Kjo vlerë është zakonisht 0.1-0.18 dhe varet nga grupi, dendësia e biomasës, pjelloria, etj. Megjithatë, brenda grupit ajo ndryshon pak. Nëse marrim grupet në rendin e 10 viteve, atëherë ligji linear i rritjes në grupin që kemi miratuar është plotësisht i justifikuar.

Përqindja e biomasës nga masa e një grupi që vjen në një grup tjetër çdo vit mund të përcaktohet nga raporti:

(3)

Kjo rrjedh nga fakti se vëllimi i përgjithshëm i biomasës në një grup është shuma e të gjitha vëllimeve sipas vitit: . Duke marrë parasysh këto vërejtje, ne mund ta marrim atë

(4)

Siç e shohim, evolucioni i funksioneve u i [j] përshkruhet nga ekuacione të ngjashme me sistemin (1), por në vend të koeficientëve C i0 dhe D i0, grupet e rritjes dhe vdekjes C i0 [j] dhe D i0 [j] janë futur, përkatësisht.

Mosha duhet padyshim të merret parasysh, duke marrë parasysh qëndrimet e ndryshme të pemëve të reja dhe të vjetra ndaj thatësirës, ​​moçalitetit, etj. Për këtë, zbatohen funksionet e duhura korrigjuese, në analogji me modelin bazë (1). Në këtë rast, natyrisht, ato, ashtu si funksionet e panjohura, bëhen vektoriale, sepse përfaqësojnë karakteristika të lidhura me moshën në lidhje me thatësirën, mbytjen e ujit, hijet, ndotjen dhe faktorë të tjerë. Për shembull, ata marrin parasysh se pemët e reja vuajnë më shumë nga mungesa e ujit, dhe pemët e pjekura janë më rezistente ndaj mbytjes me ujë, pasi ato kanë një sistem rrënjor më të thellë. Për të shkruar sistemin e ekuacioneve të modelit (4), përdorim teknikën e mëposhtme të reduktimit: në produktin e funksioneve të së njëjtës strukturë, do të tregojmë indekset e vetëm faktorit të duhur: shënimi është ekuivalent me .

Numri i përgjithshëm i ekuacioneve diferenciale: . Këtu është numri maksimal i grupeve të tipit të th, dy ekuacione të tjera për produktivitetin e tokës dhe trashësinë e shtresës së lagur). Madhësia e grupmoshës p vjet.

Tani le të paraqesim disa rezultate modelimi bazuar në sistemin e ekuacioneve (4) duke marrë parasysh përbërjen moshore të popullsisë pyjore. Gjerësia e çdo grupmoshe ishte 10 vjet. Në Fig. 3 zhvillimi i pyjeve në një model të përgjithësuar: nën lagështinë normale (ndryshim i qëndrueshëm nga pylli i përzier në pyll halorë, si në modelin bazë në Fig. 1). Megjithatë, ka luhatje në densitetin e biomasës të lidhura me luhatjet në moshën mesatare (Fig. 4.). Në përgjithësi, mund të pranohet se modeli i bazuar në moshën i bazuar në matricat Leslie është më realist dhe ruan të njëjtat veti bazë si modeli bazë.

Fig.3. .Popullata e qëndrueshme e pemëve

Fig.4. Ndryshimet në moshën mesatare të pemëve

§ 3. Modeli i mbjelljes në një moshë

Le të shqyrtojmë tani një model tjetër që përshkruan evolucionin e një grupi fidanësh të së njëjtës moshë, duke marrë parasysh shumimin vjetor me fara, pragun e moshës për fillimin e riprodhimit, si dhe konkurrencën ndërspecifike dhe prerjet "ekologjike" (të përcaktuara vetëm nga gjendja e grupit), duke ruajtur autonominë.

Ne përdorim sistemin e mëposhtëm të koordinatave diskrete. Ne do të vizatojmë numrin e gjenerimit përgjatë boshtit të ordinatave. Ne do të vizatojmë kohën përgjatë boshtit të abshisës.Nëse, për lehtësinë e regjistrimit, supozojmë se mosha e fidanëve është zero, tonet plan koordinativ Në momentin fillestar do të ketë vetëm një pikë. Gjeneratat e reja do të shfaqen duke marrë parasysh pragun e riprodhimit dhe, pasi janë shfaqur, fillojnë të lëvizin përgjatë boshtit të kohës, "duke plakur në mënyrë sinkronike".

Pastaj ne mund të shkruajmë ekuacionin tonë të bilancit evolucionar për çdo brez:

,(5)

ku numri i gjenerimit, mosha e gjenerimit në një kohë të caktuar t, dendësia e biomasës së gjeneratës k-të, është diferenca midis koeficientëve të rritjes natyrore dhe vdekshmërisë natyrore, një funksion i caktuar që varet nga i gjithë vektori i gjenerimit. dendësia (gjatësia e vektorit varet nga koha në të cilën do ta konsiderojmë sistemin tonë, d.m.th. jo konstante).

Ky funksion mund të shprehë konkurrencën ndërspecifike:

, (6)

ku m është mosha riprodhuese, t-m+1 jep numrin total të gjeneratave në kohën t, koeficientët e ndërveprimit konkurrues të gjeneratave k dhe j, pra këto janë terma kuadratikë të konkurrencës.

Ne do të zgjidhim ekuacionin për gjenerimin në një interval kohor prej një viti, duke marrë parasysh k() dhe disa funksione të njohura të numrit të gjenerimit. Atëherë mund të shkruajmë:

(7)

Në këtë hyrje, kemi marrë parasysh se sasia është e vogël në krahasim me dhe për këtë arsye mund të zgjerohet në një seri, duke u kufizuar në termin e parë të zgjerimit. Nëse tani prezantojmë shënimin për faktorin e dytë në produktin e fundit:

,(8)

atëherë mund të merrni një skemë numërimi për kalimin nga shtresa kohore t-1 në shtresën t nëse shtoni vlerën që mungon të gjeneratës së krijuar rishtazi në shtresën t:

(9)

Shohim që vlerat e gjeneratës së sapolindur në një shtresë të caktuar kohore t janë marrë nga vlerat e gjeneratave edhe në shtresën t. Në rastin e marrjes parasysh të konkurrencës, integrali duhet të llogaritet duke përdorur të dhënat nga shtresa e mëparshme e kohës.

Nëse i qaseni sistemit të ekuacioneve për breza si një sistem dinamik, atëherë mund të justifikoni qëndrueshmërinë dhe përafrimin e skemës dhe në këtë mënyrë të justifikoni konvergjencën e skemës.

Meqenëse sistemi i propozuar i ekuacioneve (pa konkurrencë dhe kampionim) është linear, ai do të sillet si një model logjistik pa termin e konkurrencës Volterra. Kjo do të thotë se ose është i paqëndrueshëm ose ka vetëm një gjendje ekuilibri të qëndrueshëm, zero.Ndërkohë, llogaritjet (Fig. 5) për një variant të caktuar të pyllit tregojnë se divergjenca është shumë e ngadaltë.Vetëm në vitin 320 ka një rritje të dukshme. në dendësinë e përgjithshme të mbjelljes. Diagrami pasqyron saktë edhe periudhën fillestare, kur ende nuk kishte ndodhur krijimi i një profili të shpërndarjes së moshës.

Fig.5.

(për popullsi 100, 200 dhe 300 vjeçare)

Një zgjidhje numerike e të njëjtit problem, por me konkurrencë, çon në rezultate kur vendosja e një profili të palëvizshëm ndodh për vitin e 120 të ekzistencës së uljes. Sa i përket vlerave absolute të biomasës, ato përcaktohen më vonë (rreth 200).

Nga kjo mund të konkludojmë se mbjelljet monoplakore nuk ofrojnë një shpërndarje natyrale të sipërfaqes pyjore sipas moshës. Për një kohë të parashikueshme kemi të bëjmë me një periudhë tranzicioni, e cila vërehet në praktikë.

Prerja “ekologjike” rezulton të jetë shumë më efektive për sa i përket kohës për të arritur një profil të palëvizshëm dhe një vlerë stacionare të biomasës. Në figurën 6 janë paraqitur të dhënat e llogaritjes sipas skemës së njëjtë, por në vend të konkurrencës është futur prerja.Prerja kryhet derisa biomasa totale të jetë ulur në një vlerë të caktuar kritike. Mosha e drurëve që priten është 40-45 vjeç, 5% janë prerë. Profili natyror dhe vlerat asimptotike të biomasës vendosen shumë më shpejt sesa me konkurrencën.

Fig.6. Evolucioni i spektrit moshor të mbjelljes monomoshë

(për popullatat 150 dhe 200 vjeçare): model me prerje

§ 4 Modeli i difuzionit të vazhdueshëm

Më poshtë kemi parasysh një model të vazhdueshëm të moshës që na lejon të përshkruajmë efektin e pragut riprodhues. Variabli biologjik këtu do të jetë një funksion i dy variablave: koha dhe mosha T. Në këtë rast, u(t, T) dT është sasia e biomasës që përmbahet në intervalin e ndryshores së moshës (T, T + dT).

Le të llogarisim balancën për grupmoshën në intervalin T, T + dT për kohën t:

· u(t, T) T është sasia e biomasës e përfshirë në kohë (ku e njëjta vlerë perceptohet si një interval moshe) nga skaji i majtë,

· u(t,T+dT) Sasi e tillë e biomasës largohet nga grupi në kohë nga skaji i djathtë i grupit,

· u(t,T) ndryshimi në biomasë për shkak të proceseve të vdekshmërisë natyrore, rritjes dhe proceseve të luftës intraspecifike:

Kufiri i majtë Kufiri i djathtë

Fig.7.

Në rastet e fundit përfshihet integrali mbi biomasë i të gjitha moshave.

Le të marrim parasysh se biomasa e grupit dT është e barabartë me u(t,T)dT:

Duke shkuar në kufi dhe duke reduktuar me produktin, gjejmë formën e plotë të ekuacionit:

(10)

kushti kufitar (11)

Ku është kushti fillestar

Në gjendjen kufitare në fundin e majtë të intervalit të moshës, integrali llogaritet gjatë gjithë periudhës riprodhuese. Funksioni jep produktivitetin e biomasës së rritur nga farat.

Këtu është mosha riprodhuese, kufiri i duhur i moshës riprodhuese.

Për të zgjidhur problemet që lidhen me stabilitetin, ne e reduktojmë këtë ekuacion në ekuacione të vonesës, për të cilat kjo çështje është zhvilluar mirë. Për ta bërë këtë, merrni parasysh zëvendësimin e funksionit të kërkuar (Fig. 8):

(12)

Fig.8. Drejt ndërtimit të një rrjeti kohor

Duke zëvendësuar të dy zëvendësimet në ekuacionin origjinal, marrim për v(t,T) një ekuacion homogjen me zgjidhje që mund të shkruhet përmes dy funksioneve ende të panjohura:

(13)

Vlefshmëria e këtyre formulave mund të verifikohet me verifikim të drejtpërdrejtë dhe mbetet vetëm gjetja e funksioneve të prezantuara.

Kushtet fillestare dhe kufitare japin:

(14)

Nga këto ekuacione tashmë mund të marrim u(t,T) për t

(15)

Për të gjetur zgjidhje në T

(16)

Këto shprehje mund të merren pas zëvendësimit të funksioneve që kemi prezantuar nën integralin u(t,T`). Nëse tani marrim parasysh se vlerat në rreshtin e parë nuk janë asgjë më shumë se një gjendje fillestare e njohur e specifikuar në intervalin e periudhës së riprodhimit, atëherë, pas diferencimit, marrim një ekuacion diferencial me një argument të vonuar, por vetëm nëse varësia q(s) nga argumenti mungon ose ka një formë të veçantë - exp(s):

(17)

Këto ekuacione duhet të plotësohen me një kusht fillestar të specifikuar në intervalin kohor. Pas kësaj, ekuacionet mund të zgjidhen në mënyrë sekuenciale.

Ne nuk do t'i zgjidhim këto ekuacione, pasi më poshtë kryejmë një zgjidhje numerike për këtë lloj ekuacionesh në një formë më të përgjithshme.Dobia e llogaritjeve të kryera është se ato japin një sugjerim se si të zgjidhet problemi i qëndrueshmërisë për ekuacione të tilla. .

Nga teoria e ekuacioneve me argument të vonuar, ndërtohet një ekuacion karakteristik, por ndryshe nga ekuacionet karakteristike të diskutuara më parë, ai është një ekuacion transcendental që ka pafundësisht shumë rrënjë. Teoria e lidhur me zgjidhjen e ekuacioneve karakteristike të këtij lloji është analizuar në detaje. Nga kjo teori del se për rastet lineare është e mundur të formulohet një teoremë e ngjashme me teoremën për ekuacionet lineare pa argumente të vonuara.

Është dhënë formulimi përkatës për ekuacionet pothuajse lineare të tipit të zakonshëm. Për rastin tonë, siç vijon nga , mund ta përsërisim fjalë për fjalë: nëse rrënjët reale të ekuacionit karakteristik janë negative, dhe të gjitha komplekset kanë pjesë reale negative, atëherë ekuacionet janë asimptotikisht të qëndrueshme sipas Lyapunov. Përndryshe, ose nuk ka qëndrueshmëri (rrënjët ose pjesët reale të tyre janë pozitive), ose nuk është asimptotike (ekziston barazia e pjesës reale zero të rrënjëve).

Në rastin tonë, për të gjetur ekuacionin karakteristik, nuk është nevoja të kalojmë në ekuacione diferenciale, aq më tepër që kjo ngushton zonën e rasteve praktikisht interesante. Mundësia e një reduktimi të tillë që kemi diskutuar na jep të drejtën të mbështetemi mbi rezultatet e fuqishme të marra për ekuacionet me një argument të vonuar.Kjo është e gjitha.Kjo vlen edhe për teoremat mbi rrënjët e ekuacionit karakteristik transcendental dhe për mundësinë e zgjerimit të zgjidhjes në një seri eksponenciale. Për sa i përket përftimit të vetë ekuacionit, ne do të përdorim një teknikë të ndryshme.Do të supozojmë se zgjidhja e ekuacionit origjinal mund të paraqitet si një mbivendosje e zgjidhjeve si më poshtë: .

Duke e zëvendësuar këtë shprehje në ekuacionin origjinal, gjejmë:

(18)

Kjo teknikë përdoret gjerësisht në fizikën matematikore për problemet lineare.

Për të gjetur ekuacionin karakteristik për , ne duhet të zëvendësojmë paraqitjen e zgjidhjes që kemi adoptuar në kushtin kufitar. Pasi të kemi reduktuar të dyja anët e barazive në një funksion që përmban kohë, marrim ekuacionin karakteristik:

(19)

Barazia e fundit është ekuacioni karakteristik.Është interesant se ai mund të merret në formë të mbyllur për funksione shumë arbitrare, pasi ekuacioni linear për G(T) i rendit të parë zgjidhet në kuadratura.Megjithatë, një polinom i thjeshtë eksponencial mund të mos të merret. Mirëpo, vetia e rrënjëve ruhet në masë të madhe, nuk do të ndalemi më në këtë, pasi rastet komplekse do t'i studiojmë numerikisht.

Në rastin më të thjeshtë, kur funksionet nuk varen nga T, shprehja për ekuacionin karakteristik duket veçanërisht e thjeshtë:

(20)

Ekuacione të tilla quhen polinome eksponenciale. Vendndodhja e rrënjëve të një polinomi të tillë është studiuar mirë. Nëse rezulton se rrënja e vetme reale është negative, atëherë të gjitha rrënjët komplekse kanë pjesë reale negative. Në këtë rast, qëndrueshmëria e sistemit në një version diskret, shtimi i konkurrencës çoi në stabilizimin e zonës pyjore. Nëse para përfshirjes së konkurrencës pylli zvogëlohej me kalimin e kohës, atëherë konkurrenca vetëm sa do ta intensifikojë këtë proces. Por në një gjendje të paqëndrueshme, përfshirja e konkurrencës çon në stabilizim jo të parëndësishëm.

Vini re se edhe nëse merren parasysh vetëm marrëdhëniet konkurruese, studimi i stabilitetit është teorikisht i pamundur (megjithatë, situata është e ngjashme për sistemet e zakonshme jolineare). Kjo tregon se vlera e analitike

me hapat e njëjtë të kohës dhe moshës, duke zgjedhur pikën zero sipas moshës nga hapi i mëparshëm:

(21)

Për të përshkruar integralin në gjendjen kufitare për moshën, përdoret formula Simpson. Marrim anën e djathtë të ekuacioneve në pikën e mesit.

Ne i përcaktojmë të gjitha varësitë nga mosha dhe koha në formën e funksioneve të lëmuara pjesë-pjesë (në llogaritjet më poshtë këto janë segmente të vijës së drejtë). Varësitë e përdorura nuk prekin në asnjë mënyrë programet e kërkimit dhe janë subjekt i ndryshimit.

Programet janë të organizuara në mënyrë që të jetë e mundur të llogaritet një numër i caktuar hapash kohorë dhe të shfaqet rezultati në një grafik. Në këtë mënyrë ju mund të gjurmoni procesin e krijimit të një profili.

Fik. Figura 10 tregon rezultatet e llogaritjeve të spektrit të moshës duke përdorur modelin linear. Tregohen shpërndarja fillestare e moshës U0 dhe tre shpërndarjet në momente të njëpasnjëshme kohore. Ne mund të vëzhgojmë procesin e krijimit kur nuk ka konkurrencë (pylli është i ri) Është e qartë se ka një rritje të densitetit të biomasës, shoqëruar me një zhvendosje të profilit të spektrit moshor djathtas.

Fig. 10. Evolucioni i spektrit të moshës së një popullate monoage

Gjatë llogaritjes me konkurrencë, ne futim konkurrencën integrale në koeficientin e përgjithshëm. Është llogaritur në hapin e mëparshëm. Duhet thënë se një organizim i tillë numërimi është krejt i natyrshëm për evolucionin e një pylli: fillimisht ndodhin ndryshime dhe më pas ato japin një efekt në formën e konkurrencës.

Mund të shihet se në rastin e konkurrencës arrijmë një regjim stacionar: një pyll i ri shndërrohet në një të pjekur (Fig. 11).

Fig. 11. Evolucioni i spektrit të moshës

popullsi njëmoshe (me konkurrencë)

konkluzioni

Në këtë punim kemi paraqitur tre modele të evolucionit të pyjeve duke marrë parasysh moshën, të cilat janë ndërtuar në bazë të metodave të ndryshme. Së pari (§ 2) është një model diskret i bazuar në matricat Leslie, duke marrë parasysh shpërndarjen e popullsisë nëpër grupmosha të fundme. Dy modelet e tjera janë të vazhdueshme, dhe i pari prej tyre (§ 3) i referohet ekuacioneve diferenciale të zakonshme, dhe e fundit (§ 4) - te ekuacionet diferenciale të pjesshme.

Bibliografi

Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabiliteti i bashkësive biologjike. M., Nauka, 1978.

Fedorov V.D., Gilmanov T.G. Ekologjia. M., Ed. Universiteti Shtetëror i Moskës, 1980.

Williamson M. Analiza e popullatave biologjike. M.: Mir, 1975.

Volterra V. Teoria matematikore e luftës për ekzistencë. M.: Nauka, 1976.

V.I. Kuznetsov "Modeli matematik i evolucionit të pyjeve", disertacion për gradën e kandidatit të shkencave fizike dhe matematikore, M, 1998

Kozlov N.I., Kuznetsov V.I., Kiryanov D.V., Kiryanova E.N. Modele dinamike të zhvillimit të pyjeve në gjerësi të mesme. Paraprintim IAM RAS M., 2005.

Leslie P.H. Mbi përdorimin e matricave në matematikën e popullsisë së caktuar. Biometrica, v.33(1945), N3, f.183

Godunov S.K., Ryabenkiy V.S. Skemat e dallimeve."Shkenca", M. 1973.

Bellman R., Cook K.L. Ekuacionet diferenciale-diferencë. "Mir", M., 1967.

Godunov S.K. Ekuacionet diferenciale të zakonshme me koeficientë konstante Vëllimi 1. Ed. NSU, ​​1994.

Kalitkin N.N. Metodat numerike "Mir", M., 1978.

UDK577.4: 517.9

MODIFIKIMI I MODELIT HETEROGJEN LESLIE PËR RASTIN E SHKALLAVE NEGATIVE TË Pjellorisë

BALAKIREVA A.G.

që në çdo pikë fikse në kohë (për shembull, t0) popullata mund të karakterizohet duke përdorur një vektor kolone

Është analizuar një model heterogjen Leslie me koeficientë negativ të fertilitetit. Në bazë të këtij modeli studiohet dhe parashikohet dinamika e moshës së stafit mësimdhënës brenda një universiteti të caktuar.

1. Hyrje

ku xi(tj) është numri i grupmoshës së i-të në kohën tj, i = 1,...,n.

Vektori X(ti), që karakterizon popullsinë në pikën tjetër të kohës, për shembull, në një vit, është i lidhur me vektorin X(to) përmes matricës së tranzicionit L:

Parashikimi dhe llogaritja e madhësisë së popullsisë duke marrë parasysh shpërndarjen e saj moshore është një detyrë urgjente dhe e vështirë. Një nga modifikimet e tij është parashikimi i strukturës së moshës së një grupi profesional homogjen brenda një ndërmarrjeje ose industrie specifike në tërësi. Le të shqyrtojmë një qasje për zgjidhjen e kësaj klase problemesh duke përdorur një model strukturor të shpërndarjes së moshës. Formalizmi i kësaj qasjeje bazohet në modelin Leslie, i njohur në dinamikën e popullsisë.

Qëllimi i kësaj pune është të tregojë mundësinë e përdorimit të modelit heterogjen Leslie në rastin e lindjeve negative për të parashikuar zhvillimin e dinamikës së popullsisë.

2. Ndërtimi i një modeli të dinamikës së popullsisë duke marrë parasysh përbërjen e moshës (modeli Leslie)

Për të ndërtuar modelin Leslie, është e nevojshme të ndahet popullata në një numër të kufizuar të klasave të moshës (për shembull, n klasat e moshës) me kohëzgjatje të vetme, dhe numri i të gjitha klasave rregullohet në kohë diskrete me një hap uniform (për shembull , 1 vit).

Nën supozimet e mësipërme dhe me kushtin që burimet ushqimore të mos jenë të kufizuara, mund të konkludojmë se 40

Kështu, duke ditur strukturën e matricës L dhe gjendjen fillestare të popullsisë (vektori i kolonës X(t0)), ne mund të parashikojmë gjendjen e popullsisë në çdo moment të caktuar kohor:

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Matrica e Leslie L ka formën e mëposhtme:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. Р n-1 0 V

ku a i janë normat e lindjeve specifike për moshën, që karakterizojnë numrin e individëve të lindur nga grupet përkatëse; Pi - shkalla e mbijetesës e barabartë me probabilitetin e kalimit nga grupmosha i në grupin i +1 deri në momentin tjetër në kohë (në-

se ^Pi mund të jetë më i madh se 1). i=1

RI, 2011, nr. 1

Matrica L përcakton një operator linear në hapësirën Euklidiane n-dimensionale, të cilin do ta quajmë edhe operator Leslie. Meqenëse madhësitë x;(t) kanë kuptimin e numrave, ato janë jonegative dhe do të na interesojë veprimi i operatorit Leslie në oktantin pozitiv të hapësirës Pn n -dimensionale. Duke qenë se të gjithë elementët e matricës janë jonegativë (në këtë rast vetë matrica quhet jonegative), është e qartë se çdo vektor oktant pozitiv nuk merret përtej kufijve të tij nga operatori Leslie, d.m.th. trajektorja X(t j) (j = 1,2,...) mbetet në Pn. Të gjitha vetitë e mëtejshme të modelit Leslie rrjedhin nga jonegativiteti i matricës L dhe struktura e saj e veçantë.

Sjellja asimptotike e zgjidhjeve të ekuacionit (1) lidhet ndjeshëm me vetitë spektrale të matricës L, kryesore e të cilave përcaktohet nga teorema e mirënjohur Perron-Frobenius.

Përkufizimi. Një model heterogjen Leslie është një model i formës

X(tj+i) = L(j)X(të), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

ku Lj është matrica Leslie e hapit j.

Dinamika e modelit johomogjen është studiuar shumë dobët (ndërsa është kryesisht e ngjashme me dinamikën e modelit (1), ai gjithashtu ka disa dallime). Në të njëjtën kohë, ky model është padyshim më realist.

3. Vetitë spektrale të operatorit Leslie

Në vijim të punës, do të shqyrtojmë konceptin e indeksit të imprimativitetit të matricës Leslie.

Një matricë e pazbërthyeshme L me elementë jonegativë quhet primitive nëse mbart saktësisht një numër karakteristik me një modul maksimal. Nëse një matricë ka h > 1 numra karakteristikë me një modul maksimal, atëherë ajo quhet imprimitive. Numri h quhet indeksi i imprimimitivitetit të matricës L. Mund të tregohet se indeksi i imprimimitivitetit të matricës Leslie është i barabartë me më të madhin pjesëtues i përbashkët numrat e atyre grupmoshave në të cilat lindshmëria është e ndryshme nga zero. Në veçanti, për primitivitetin e matricës Leslie

mjafton që një 1 > 0, ose që lindshmëria të ndodhë në çdo dy grupe të njëpasnjëshme, d.m.th. ekzistonte një j e tillë që një j Ф 0 dhe

Duke marrë parasysh sa më sipër, mund të vërejmë disa veti të matricës Leslie.

1. Polinomi karakteristik i matricës L është i barabartë me

An(P) = l1^-L = pn -“gr.n 1

sprt e lehtë,

që vërtetohet lehtësisht me metodën e induksionit matematik.

2. Ekuacioni karakteristik A n(p) = 0 ka një rrënjë unike pozitive р1 të tillë që

ku p është çdo vlerë tjetër vetjake e matricës L. Numri p1 korrespondon me një eigenvektor pozitiv X1 të matricës L.

Deklarata 2 e vetive rrjedh drejtpërdrejt nga teorema mbi matricat jonegative dhe teorema e Dekartit.

3. Shenja e barabartë në (3) ndodh në rastin e jashtëzakonshëm kur vetëm një nga normat e fertilitetit është i ndryshëm nga zero:

dhe k > 0, dhe j = 0 për j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. Vlera p1 përcakton sjelljen asimptotike të popullatës. Madhësia e popullsisë rritet pafundësisht kur I1 >1 dhe asimptotikisht tenton në zero kur I1< 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-I-----,-I------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

Eigenvektori pozitiv i matricës L, i përcaktuar deri në një faktor.

Një tregues i vetive 4 për një matricë Leslie të pazbërthyeshme të formës (4) është sasia

R = а1 + £а iP1...Pi-1, i=2

i cili mund të interpretohet si potenciali riprodhues i popullsisë (parametri i përgjithësuar i shkallës së riprodhimit), d.m.th. nëse R > 1, atëherë p1 > 1 (popullsia rritet në mënyrë eksponenciale), nëse R< 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Modifikimi i modelit Leslie për rastin e normave negative të lindshmërisë

Punimet konsideruan vetëm modelin Leslie me koeficientë jo negativë. Arsyeja për këtë zgjedhje, përveç avantazheve të dukshme matematikore, ishte se si probabilitetet e mbijetesës ashtu edhe normat e lindshmërisë nuk mund të jenë në thelb negative. Sidoqoftë, tashmë në punimet më të hershme mbi modelet e riprodhimit të popullsisë, u vërejt rëndësia e zhvillimit të modeleve me, në përgjithësi, koeficientët jo pozitiv të rreshtit të parë të matricës Leslie. Në veçanti, modelet e riprodhimit të popullatave biologjike me sjellje "anti-riprodhuese" të individëve jo riprodhues kanë koeficient negativ.

RI, 2011, nr. 1

cilat grupmosha (shkatërrimi i vezëve dhe individëve të rinj etj.). Konkurrenca për burime midis të porsalindurve dhe përfaqësuesve të grupmoshave të tjera mund të çojë gjithashtu në këtë. Në këtë drejtim, pyetja përkatëse është nëse vetia e ergodicitetit, që është e vërtetë për modelet Leslie me koeficientë jonegativë, ruhet në një klasë më të gjerë modelesh për riprodhimin e potencialit demografik.

Teorema e mëposhtme i përgjigjet kësaj pyetjeje.

Teorema (Për rrethin e paqëndrueshmërisë së modelit të riprodhimit të potencialit demografik).

Le të jepet struktura moshore e potencialit demografik dhe numri i njerëzve që jetojnë. Pastaj ka një rreth l = (p: |p|< рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

Ne do ta quajmë këtë rreth rrethi i paqëndrueshmërisë, dhe rreze e tij rreze e paqëndrueshmërisë.

Vërejtje 1. Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga teorema - pavarësisht nga struktura e potencialit demografik, në vlera të caktuara të shkallës së vërtetë të riprodhimit do të vërehet vetia e ergodicitetit. Në veçanti, modelet me elemente negative në rreshtin e parë të matricës së riprodhimit dhe madje edhe vlera negative të potencialeve demografike mund të kenë vetinë e ergodicitetit.

Vërejtje 2. Nga teorema del se nëse për një vlerë të caktuar të koeficientit të riprodhimit të vërtetë një model ka vetinë e ergodicitetit, atëherë këtë veti e ka edhe për të gjithë koeficientët e riprodhimit që janë të mëdhenj në madhësi.

5. Studimi i dinamikës moshore të stafit pedagogjik të universitetit. Eksperiment numerik

Le të shqyrtojmë parashikimin e dinamikës së numrit dhe shpërndarjes së moshës së stafit mësimdhënës sipas të dhënave nga një prej universiteteve në Kharkov. Struktura e moshës standarde, e ashtuquajtura “e ngjeshur” e personelit mësimor është formuar nga statistikat në formën e 5 kategorive të moshave. Tabela tregon numrin N të çdo kategori moshe sipas vitit dhe përqindjen që përbën kjo kategori moshe në raport me numrin total.

Le të hartojmë matricat e tranzicionit L j të tilla që

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 x 5)). (4)

Për ta bërë këtë, është e nevojshme të përcaktohet shkalla e lindjeve dhe nivelet e mbijetesës në një matricë të formës (2). Shkalla e mbijetesës mund të merret nga

zgjidhja e drejtpërdrejtë e ekuacionit (4) duke përdorur të dhëna nga tabela.

Struktura e stafit mësimor

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Gjithsej 854 629 649 657

Sa i përket normave të lindshmërisë, duhen bërë supozime shtesë. Le të rritet numri i personelit mësimor me dhjetë veta çdo vit. Meqenëse normat e lindshmërisë janë a; interpretuar si lindshmëria mesatare e individëve të grupmoshës së i-të, mund të supozohet se a1, a 5 = 0, dhe a 2 = 7, dhe 3 = 3. Bazuar në të dhënat fillestare, konstatojmë se 4 janë negative. Ky kusht interpretohet si largim i disa anëtarëve të stafit pedagogjik nga universiteti. Nga sa më sipër rezulton se matricat L j kanë formën:

0 0 në 3 0 0 . (5)

Ne do të marrim parasysh vetëm klasat riprodhuese. Për ta bërë këtë, duhet të ndryshoni formën e matricës së reduktuar (le të heqim qafe kolonën e fundit zero). Dhe ne llogarisim klasat pas riprodhimit siç tregohet në paragrafin 2.

Kështu, duke marrë parasysh sa më sipër dhe të dhënat fillestare, marrim dy matrica:

Matrica Li e formës (5) me koeficientë а4 = 15, Р1 = 0,27, р2 = 1,39, р3 = 0,29;

Matrica L2 e tipit (5) me koeficientë а 4 = 11, Р1 = 0,381, р2 = 1,64, р3 = 0,43.

Matricat L1 dhe L2 korrespondojnë me tranzicionet e viteve 2005-2006 dhe 2007-2008, respektivisht. Për shpërndarjen fillestare të moshës marrim vektorin X(t0) = T.

Këto matrica kanë koeficientë riprodhimi p1, të cilët nuk hyjnë në rrethin e destabilizimit. Nga kjo rrjedh se një popullsi me një regjim të caktuar riprodhimi ka vetinë e ergodicitetit.

Duke aplikuar modelin heterogjen Leslie me një shpërndarje fillestare të dhënë, gjejmë se, duke filluar nga n=30 për numrin total, kushti është i plotësuar.

RI, 2011, nr. 1

stabilizimi i formës së mëposhtme: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., ku q = 1.64 është eigenvlera më e madhe e matricës L 2.

Pas stabilizimit, raporti i përqindjes së kategorive të moshave është si më poshtë: kategoria e parë - 39%, e dyta - 14%, e treta - 22%, e katërta - 12%, e pesta -13%.

Meqenëse eigenvlera më e madhe është më e madhe se një, modeli ynë është i hapur. Në këtë drejtim, ne nuk do të shqyrtojmë numri total personeli mësimor, dhe raporti i këtij numri me shkallën më të madhe

eigenvlera e matricës L2:

L(j)X(t0)/cc, ku j = 1,2,....

Figura tregon dinamikën e strukturës moshore të stafit mësimdhënës deri në vitin 2015.

Përqindje

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Ndryshimet në ndarjet e kategorive të moshave me kalimin e kohës

Në këtë shifër u zgjodh një shkallë nga 10 deri në 40 sepse përqindja e kategorive të moshave është në këtë diapazon.

Të dhënat e modelit të parashikimit përgjithësisht ruajnë një prirje të përgjithshme drejt rritjes së përqindjes së punonjësve mbi 50 vjeç, gjë që tregon se tendenca drejt “plakjes” së përbërjes moshore të universitetit vazhdon. U përcaktua se ishte e nevojshme të rriteshin dy kategoritë e para të moshave me të paktën 23% me një ulje korresponduese në kategoritë e mbetura të moshave për të ndryshuar këtë trend.

Risia shkencore qëndron në faktin se për herë të parë modeli heterogjen Leslie u konsiderua në rastin e normave negative të lindshmërisë. Kjo i mundëson modelit të marrë parasysh jo vetëm shkallën e lindshmërisë, por edhe shkallën e vdekshmërisë së individëve në periudhën paragjeneruese, gjë që e bën modelin më realist. Prania e koeficientëve negativë ndryshon rrënjësisht metodologjinë për studimin e dinamikës së modelit Leslie duke marrë parasysh rajonin përkatës të lokalizimit të vlerës kryesore (rrethi i paqëndrueshmërisë).

Rëndësia praktike: ky model bën të mundur parashikimin e ndryshimeve në madhësinë e popullsisë dhe strukturën e saj moshore, duke marrë parasysh si lindshmërinë ashtu edhe vdekshmërinë në çdo grupmoshë. Në veçanti, duke përdorur të dhëna reale statistikore që mbulojnë disa universitete në qytetin e Kharkovit, u bë një parashikim i dinamikës së ndryshimeve të lidhura me moshën në stafin mësimdhënës. Të dhënat e parashikimit lidhen mjaft mirë me të dhënat reale.

Literatura: 1. Leslie P.H. Mbi përdorimin e matricave në matematikë të caktuar të popullsisë // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Zuber I.E., Kolker Yu.I., Poluektov R.A. Kontrolli i madhësisë dhe përbërjes së moshës së popullatave // ​​Problemet e kibernetikës. Çështja 25. Fq.129-138. 3. Riznichenko G.Yu., Rubin A.B. Modele matematikore proceset e prodhimit biologjik. M.: Shtëpia botuese. Universiteti Shtetëror i Moskës, 1993. 301 f. 4. Svirezhev Yu.M., Logofet D.O. Stabiliteti i bashkësive biologjike. M.: Nauka, 1978.352 f. 5. Gantmakher F. P. Teoria e matricave. M.: Nauka, 1967.548 f. 6. Logofet D.O, Belova I.N. Matricat jo-negative si një mjet për modelimin e dinamikës së popullsisë: modelet klasike dhe përgjithësimet moderne // Themelore dhe Matematikë e Aplikuar. 2007.T. 13. Vëll. 4. Fq.145-164. 7. Kurosh A. G. Kursi i algjebrës së lartë. M.: Nauka, 1965. 433 f.

Ikona e stilit: Leslie Winer

TEKST: Alla Anatsko

Modelja, poetja dhe këngëtarja, Leslie Winer u zhgënjye nga moda, sepse u vlerësua nga pamja e saj. Por moda është edhe një herë magjepsur nga Winer. Dhe kjo është arsyeja pse.

Modeli i parë androgjen në botë, mik i Basquiat dhe Burroughs, fytyra e Valentino dhe Miss Dior, një grindje me inteligjencë të jashtëzakonshme, një poet dhe muzikant, pa të cilin Massive Attack dhe Portishead nuk do të kishin ekzistuar - e gjithë kjo është Leslie Winer , një intelektuale dhe një e huaj me vullnetin e saj të lirë, e cila, ndoshta, shpiku trip-hopin. Pse, pas disa dekadash, industria e modës nuk e harron Leslie?

Modeli i parë androgjen

Nju Jork, 1979. Fraza OK, Leslie, koha për të punuar magjinë tuaj të interpretuar nga Vincent Gallo, me të cilin modelja dhe muzikanti i kultit Leslie Winer do të regjistrojë këngën I Sat Back, është më shumë se tridhjetë vjeç. Young Winer zhvendoset në metropolin kryesor të botës nga Massachusetts - për të hyrë në Shkollë Arte të bukura në një kurs nga pionieri i artit konceptual Joseph Kosuth. Për të paguar për strehimin dhe materialet e studimit, Leslie ndihmon fqinjin e saj të shkruajë romane pornografike dhe më vonë bëhet asistent dhe mbrojtës i William Burroughs. Shumë shpejt ajo lidh një kontratë me Elite Model Management - përbërja e saj e parë përmban pesë fotografi. Ata janë një vajzë krejtësisht konvencionale: deri më tani nuk ka asnjë aluzion për pamjen me gjemba dhe androgjininë.

Tashmë në vitin 1980, Leslie preu flokët e saj - fotografitë e bëra nga Paolo Roversi dhe Peter Lindbergh u shfaqën në portofolin e saj. Kështu nis karriera e "modeles së parë androgjene në botë", siç e quajti Jean-Paul Gaultier. Leslie sillet keq dhe argëtohet në festa, ka një lidhje të shkurtër me Jean-Michel Basquiat, por funksionon mirë - ajo është fotografuar nga Helmut Newton dhe Irving Penn, ajo është vendosur në kopertinat e Vogue italiane dhe franceze, e madhja The Face dhe Revista Mademoiselle, e njohur në ato vite. Ajo fiton një kënd të veçantë, të praktikuar mirë nga i cili njihet, një vështrim anash dhe një shikim grabitqar mashkullor, i cili më vonë do të bëhet pothuajse një klishe. kulturën popullore- Hilary Swank do t'i përsërisë ato në filmin "Boys Don't Cry" dhe do të vulgarizojë Ruby Rose.

Vogue US, tetor 1981

Vogue US, nëntor 1982

Vogue US, korrik 1982

Tani Leslie quhet një supermodele e viteve '80, megjithëse vetë Winer bën shaka me helm: "Çfarë lloj muti është ky? Në atë kohë, as një koncept i tillë nuk ekzistonte. Bëra shumë gjëra, dhe isha alkoolike, përdora tampona - shumë më gjatë sesa punoja si modele dhe me shumë më tepër entuziazëm.”

("pikat":[("id":1,"vetitë":("x":0,"y":0,"z":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY ":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":3,"properties":("x":778,"y":0,"z ":0,"opacity":1,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY":0,"rotationZ":0)),("id":4," vetitë":("x":778,"y":0,"z":0,"opacity":0,"scaleX":1,"scaleY":1,"rotationX":0,"rotationY": 0,"rotationZ":0))],"steps":[("id":2,"properties":("kohëzgjatja":0.8,"delay":0,"bezier":"lehtësi":" Power2.easeInOut","duration_automatic":true)),("id":5,"properties":("kohëzgjatja":0.1,"delay":0,"bezier":"ease":"Power2.easeInOut ","automatic_duration":true))],"transform_origin":("x":0.5,"y":0.5))

Zhgënjimi i modës dhe albumi Witch

Kopertina e albumit WITCH

Vogue Italia, shtator 1989

Leslie filmoi në mënyrë aktive dhe udhëtoi nëpër botë, por ajo gjithashtu skandalizoi me sukses në klube - qasja në institucionet më në modë nga Parisi në Tokio ishte përgjithmonë e mbyllur për të. Në mesin e viteve 1980, ajo e gjeti veten në Londër, ku ndau akomodimin me përfaqësuesit e nëntokës lokale dhe filloi të rrinte në klubin Leigh Bowery Taboo. Në një moment, Winer u mësua me imazhin e saj të ri me shkëlqim - një këmishë mashkulli, flokë të çrregullt, një cigare në dhëmbë dhe një gisht të mesit te thjerrëzat; por të kuptuarit se ajo po humbiste jetën dhe nuk e përdorte në maksimum talentin e saj letrar nuk e lejonte të pajtohej me një karrierë si modele apo muze. Për të qëndruar në Londër, Leslie shpejt martohet me ish-basistin Adam dhe Milingonat - për hir të dokumenteve; Dëshmitarët e dasmës janë fqinjët dhe miqtë e saj Bowery: regjisori John Maybury dhe artisti Trojan, i cili vdes nga një mbidozë disa muaj pas dasmës. Kjo vdekje e bën Winer në mënyrë indirekte një këngëtare: Max, grupi i ri i burrit të saj, vendos të regjistrojë një homazh për artistin dhe Leslie, e cila më parë shkruante vetëm tekste, provon veten si vokaliste. Kënga e saj debutuese quhej 337.5537's Little Ghost, ku kodi i telefonimit në fakt doli të ishte një etiketë e shpikur nga Basquiat dhe përfaqësonte emrin e Winer të shkruar me numra - LESSLEE.

Më vonë, Winer dhe burri i saj do të dilnin me një këngë për Sinead O'Connor, por vetë Leslie do të mbetej e pakënaqur - asaj nuk i pëlqente mënyra se si grupi Max regjistroi muzikën, ajo nuk ndjeu asnjë energji në kolegët e saj. Për fat të mirë, në jetën e saj u shfaq një model roli: producenti legjendar Trevor Horn - stili i tij i punës e detyroi Leslie të fitonte forcë dhe të publikonte këngën e parë Kind of Easy, kopje të piratuara të së cilës papritmas u bënë të njohura në qarqe të ngushta. Hapi tjetër ishte albumi i plotë Witch, të cilin Leslie e regjistroi me pseudonimin grafik, një simbol i të drejtës së autorit, tre vjet përpara se publiku të përballej me fenomenin e quajtur "këngëtari i njohur më parë si Prince". Por për ironi, regjistrimi u publikua vetëm tre vjet më vonë - në 1993.

Vogue UK, maj 1990

Leslie Winer dhe ilustruesi Tony Viramontes

Albumi u bë pikërisht mishërimi i magjisë së veçantë të Leslie Winer: ajo e shkëputur, sikur krejtësisht pa reflektim, shqipton tekstet e saj, në të cilat të mprehta politike dhe problemet sociale ato tingëllojnë aq të zakonshme dhe rrëqethëse sa është e pamundur të shkulësh veten - dhe e gjithë kjo me bas të thellë. Në atë kohë, Winer doli të ishte pothuajse interpretuesi më i politizuar, por ajo mbeti në nëntokë - ajo nuk u përpoq veçanërisht për tabelat, por, pa dashur, ajo doli me trip-hop. Puna dhe teknikat e Winer shfaqen gjithnjë e më shumë në këngët e Massive Attack, Tricky dhe Portishead, megjithëse disa kritikë e konsiderojnë mendimin e revistës MNE se Winer është "gjyshja e trip-hop" të jetë disi e diskutueshme: në kohën kur u publikua albumi, i njëjti Massive. Attack ishin tashmë aktivë dhe basi i trashë u bë baza për pothuajse çdo eksperiment të dytë muzikor të fillimit të viteve 1990. Nga ana tjetër, kur tingulli i famshëm i Bristol sapo po merrte formë, diçka e zakonshme ishte në ajër, jo vetëm mënyra e performancës, por edhe disponimi dhe, më e rëndësishmja, tekstet karakteristike distopike - dhe Leslie e kapi atë para kujtdo tjetër. .

Twiggy- emri i vërtetë Lesley Hornby. Vitet 60 - epoka e revoltave të të rinjve - kur shumë të rinj nuk donin të përshtateshin, bindeshin apo braktisnin veten, donin të jetonin në kënaqësi. Ata u rebeluan kundër autoritetit të prindërve të tyre, kishës dhe shtetit, dhe filluan të kërkojnë vlera të reja. Konflikte të tilla midis brezave kanë ndodhur gjithmonë. E pazakontë ishte se të rinjtë jo vetëm protestuan, por krijuan edhe vlera të reja, një kulturë të re.

Sigurisht, në këtë epokë duhej të lindte një e re. Në atë kohë, llojet dhe Brigitte Bardot mbetën të njohura. Por mishërimi i idealit të ri ishte modelja Twiggy - një angleze gjashtëmbëdhjetë vjeçare me peshë vetëm 45 kilogramë dhe lartësi 169 cm. Ajo lindi në periferi të Londrës, në moshën 16 vjeçare Twiggy takoi parukierin Leonardo dhe u bë fytyra e sallonit të tij të bukurisë. Seti i parë fotografik i Twiggy-t si modele me flokë të shkurtër u realizua nga Barry Lategan. Ishte ai që doli me një pseudonim të paharrueshëm për Leslie Hornby - Twiggy.

Një nga gazetarët e një gazete londineze pa një fotografi të Twiggy në një dritare salloni dhe botoi portretin e saj në gazetë me titullin "Fytyra e 1966". Në të njëjtin vit, Twiggy u bë modelja më e njohur në botë.

Pasi punoi si modele për vetëm tre vjet, ajo u bë aq e pasur sa që në moshën 19-vjeçare mundi të dilte në pension. Twiggy - e përkthyer si një degëz e hollë - ishte modelja e parë që u bë një idhull i miliona njerëzve. Kur ajo doli në publik, turma u mblodhën rreth saj.

Modeli Twiggy Për shumë vite me radhë ajo mbeti mbretëresha e padiskutueshme e modeleve të modës. Ajo ishte modelja e parë e modës që filloi procesin që i bëri modelet pjesë integrale të kulturës pop së bashku me muzikantët dhe aktorët.

Twiggy pasqyroi më së miri imazhin, duke marrë frymë rininë dhe pastërtinë.

Le x i(k) , ku është numri i individëve në popullatë në i grupmosha e th në pika të veçanta kohore k. Proceset e riprodhimit, vdekjes dhe kalimit të individëve nga një grupmoshë në tjetrën mund të formalizohen si më poshtë (Rosenberg, 1984). Së pari, le të përcaktojmë se si është gjendja e popullsisë në këtë moment k+ 1 varet nga gjendja në momentin e kohës k. Numri i grupit të parë ( k= 1) përfaqëson numrin e pasardhësve të porsalindur të të gjitha grupeve të tjera gjatë një intervali të vetëm kohor; Besohet se individët e një grupmoshe të caktuar prodhojnë pasardhës në proporcion të drejtpërdrejtë me numrin e individëve në këtë grup:

Ku f i- lindshmëria i grupmosha e th. Nëse shënojmë me d j<1 коэффициент выживаемости при переходе от возрастной группы j te grupi j+ 1, atëherë mund të shkruajmë n– Raporti i tipit 1:

Pastaj, duke kombinuar dhe , ne mund të shkruajmë sistemin n ekuacionet e diferencës që përfaqësojnë një model diskret të përbërjes moshore të popullsisë. Në formën e matricës kemi:

x(k + 1) = Lx(k),

Ku x(k) = {x i(k)) është vektori i numrave të grupmoshave individuale, dhe

– matrica e normave të lindshmërisë dhe mbijetesës

Nëse e përshkruajmë më në detaje, marrim:

Vektori i kolonës më të majtë pasqyron numrin e individëve të grupmoshave të ndryshme në një moment në kohë k+1, dhe vektori më i djathtë i kolonës është numri i individëve të grupmoshave të ndryshme në të njëjtën kohë k. Matrica e shkallës së fertilitetit dhe mbijetesës është një matricë e kalimit nga një gjendje në tjetrën.

Për të llogaritur përbërjen e moshës së popullsisë në çdo moment në kohë, ne përdorim marrëdhënie të thjeshta:

x(k + 1) = Lx(k)

x(k + 2) = Lx(k+1) =LLx(k) = L 2 x(k)

x(k+m) = L m x(k)

Ky model njihet si modeli i Leslie (Leslie, 1945).

Matrica katrore Lështë jonegative (të gjithë elementët e tij janë jonegativë). Në mënyrë që matrica Leslie të jetë e pazbërthyeshme (d.m.th., ajo nuk mund të reduktohet në formë nga ndonjë ndryshim i rreshtave dhe kolonave përkatëse):

Ku A Dhe B janë nënmatrica katrore), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që . Biologjikisht, kjo gjendje do të thotë se si n Nuk është maksimumi i mundshëm, por mosha më e madhe riprodhuese e individëve.

Ekuacioni karakteristik i sistemit ka formën e mëposhtme:

Ku E– një matricë me njësitë në diagonalen kryesore dhe të gjithë termat e tjerë të saj janë të barabartë me zero.

Meqenëse matrica Leslie është jo negative dhe e pazbërthyeshme, atëherë, në përputhje me teoremën Perron-Frobenius, ekuacioni karakteristik ka një numër karakteristik pozitiv real (maksimumi midis të gjithë numrave të tjerë karakteristikë), i cili është rrënja e thjeshtë e kësaj ekuacioni. Përveç kësaj, meqenëse , ekuacioni nuk ka zero rrënjë. Nga këto kushte del se zgjidhja asimptotike e sistemit për mjaftueshëm të mëdha k do të përcaktohet nga eigenvlera λ 1 (maksimumi i të gjithëve) dhe eigenvektori përkatës b 1 matricë Leslie:

Ku Me 1 – disa konstante në varësi të koordinatave të shpërndarjes fillestare të vektorit x(0).

Nëse λ 1 >1, atëherë popullsia rritet ( x(k) rritet me rritjen k). Nëse λ 1<1, то популяция гибнет. Наконец, если λ 1 =1, то общая численность популяции асимптотически стремиться к постоянной величине. P(1)<0 эквивалентно выражению λ 1 >1, d.m.th. gjendja e rritjes së popullsisë (shih formulën 5), e ngjashme me P(1)>0 korrespondon me vdekjen, dhe P(1) = 0 – madhësia e palëvizshme e popullsisë. Kështu, nga forma e matricës pa përcaktuar vlerën vetjake λ 1, mund të nxirren përfundime cilësore për natyrën e popullatës së simuluar me kalimin e kohës.

Disavantazhi i modelit Leslie është i ngjashëm me disavantazhin e modelit Malthus - është rritja e pakufizuar e popullsisë me λ 1 >1, që korrespondon vetëm me fazat fillestare të rritjes së disa popullsive (Rosenberg, 1984).

Modeli i Leslie u përdor për të përshkruar strukturën e moshës së bashkëpopullimit të deleve të Schell ( Helictotrichon schellinum). Ky është një bar me terren të vogël me shkurre të lirshme të stepave të livadheve veriore. A.N. Cheburaeva (1977) studioi shpërndarjen e numrit të individëve të kësaj drithëra sipas grupmoshave në stepën Poperechenskaya të rajonit të Penzës në një pllajë pellgu ujëmbledhës në një sipërfaqe totale prej 50 m2 në vite të ndryshme (1970-1974). Çdo vit, numërimi i individëve të deleve kryhej në 200 parcela me përmasa 0,5×0,5 m. Një përsëritje kaq e madhe e vëzhgimeve na lejon të konsiderojmë vlerësimet e marra të numrit të individëve në çdo grupmoshë si mjaft të qëndrueshme. Studiuesi identifikoi nëntë grupmosha:

· lakër Dhe gjuan

· Individët paragjenerues ( të mitur, i papjekur Dhe i ri vegjetativ)

· Individët gjenerues ( i ri, i pjekur Dhe e vjetër)

· Individët pas gjenerimit ( subsenile Dhe senile)

Për të marrë parasysh ndikimin e kushteve të motit në dinamikën e cenoppulacionit të deleve Shell (1972 ishte viti i thatësirës), është e nevojshme të kalojmë nga numrat absolut në ato relative. Në intervale të barabarta për çdo grupmoshë duhet të plotësohet raporti i mëposhtëm: x i + 1 (k + 1) < x une ( k), d.m.th. në një moment të mëpasshëm kohor nuk duhet të ketë më shumë individë në grupmoshën më të madhe se sa ka pasur në momentin aktual në grupin më të ri. Në këtë drejtim, shtatë klasat e para të moshave të A.N. Cheburaeva ishin të bashkuar. Të dhënat fillestare për ndërtimin e modelit janë dhënë në tabelë. 1.

Tabela 1

Numrat absolut dhe relativ të cenoppulacionit të deleve Shell për grupmosha të ndryshme (sipas A.N. Cheburaeva, 1977)

Pavarësisht modifikimit, të dhënat e vitit 1972 janë ende të ndryshme, kështu që modeli i Leslie nuk duhet të pritet të parashikojë me saktësi bollëkun. Për të marrë një parashikim më të saktë, koeficientët e matricës Leslie duhet të varen nga kushtet e motit.

Për të ndërtuar matricën L Ne përdorim disa ide për vlerat e mundshme të koeficientëve të tij. Kështu, lindshmëria f i gjatë kalimit nga grupi i parë, që përfshin të gjitha gjendjet gjeneruese, te bimët më të vjetra, ato duhet të ulen. Shkalla e mbijetesës d i marrë afërsisht të barabartë (gjysma e individëve lëvizin nga grupi i parë në të dytin, pak më pak nga i dyti në tjetrin). Më në fund, matrica Leslie duket kështu:

Ekuacioni karakteristik për modelin e Leslie në në këtë rastështë një polinom i shkallës së tretë:

Është e lehtë ta verifikosh këtë P(1) = 0.23>0 sipas teorisë së P. Leslie tregon plakjen dhe vyshkjen e një koenopopulimi të caktuar në intervalin kohor të vëzhguar.

Le të llogarisim rrënjët e ekuacionit karakteristik. Për këtë ne do të përdorim Formula Cardano. Konsideroni një algoritëm për zgjidhjen e një ekuacioni kub të formës:

Le të bëjmë një zëvendësim:

Ne marrim ekuacionin:

Supozoni se vlera e rrënjës paraqitet si shuma e dy sasive y = α + β, atëherë ekuacioni do të marrë formën:

Le të barazojmë shprehjen (3 αβ + fq), atëherë mund të kalojmë nga ekuacioni në sistemin:

që është ekuivalente me sistemin:

Ne kemi marrë formulat e Vieta-s për dy rrënjë ekuacioni kuadratik (α 3 – rrënja e parë; β 3 – rrënja e dytë). Nga këtu:

– diskriminues i ekuacionit.

Nëse D>0, atëherë ekuacioni ka tre rrënjë reale të ndryshme.

Nëse D = 0, atëherë të paktën dy rrënjë përkojnë: ose ekuacioni ka një rrënjë reale të dyfishtë dhe një tjetër rrënjë reale të ndryshme, ose të tre rrënjët përkojnë, duke formuar një rrënjë me tre të shumta.

Nëse D<0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Kështu, rrënjët e ekuacionit kub në formë kanonike janë:

Ku i= është një numër imagjinar.

Ju duhet të aplikoni këtë formulë për secilën vlerë të rrënjës së kubit (rrënja e kubit gjithmonë jep tre vlera!) dhe të merrni vlerën e rrënjës në mënyrë që kushti të plotësohet:

Marrëdhëniet e mëposhtme mund të përdoren për të kontrolluar:

Ku d≠ 0

Ku d≠ 0

Së fundi:

Në rastin tonë: a = 1; b = –0,6; c = –0,15; d = –0,02;

D= – 0,03888, D<0. Уравнение имеет один вещественный и пару комплексно-сопряженных корней.

Më pas, duke përdorur formulat e mësipërme, gjejmë eigenvlerat e ekuacionit karakteristik: λ 1 = 0,814; λ 2 = – 0,107 + 0,112 i; λ 3 = – 0,107 – 0,112 i, Ku i= është një numër imagjinar. Kështu, ekuacioni karakteristik ka një rrënjë reale dhe dy komplekse. λ 1 është rrënja maksimale e këtij ekuacioni, dhe meqë λ 1<1, то вывод об увядании данной ценопопуляции остается без изменения.

Përveç kësaj, sipas Yu.M. Svirzhev dhe D.O. Logofet (1978), një kusht i thjeshtë dhe i mjaftueshëm për ekzistencën e luhatjeve periodike në numrin total janë shprehjet:

Në këtë drejtim, duhet pritur ekzistenca e luhatjeve periodike në madhësinë e popullsisë së deleve Schell, pasi λ 1 >max (0.5, 0.4).

Në kuadrin e modelit të Leslie, i vëzhguari A.N. Fenomeni Cheburaeva është plakja e koenopopulimit të deleve dhe prania e luhatjeve në shpërndarjen e individëve përgjatë spektrit të moshës gjatë një numri vitesh. Në Fig. Figura 1 tregon dinamikën e numrit të individëve për secilën nga grupmoshat e identifikuara. Në mënyrë që modeli të japë një parashikim të kënaqshëm, është e nevojshme që koeficientët e matricës L nuk ishin konstante, por vareshin nga kushtet e motit. Nëse e plotësojmë modelin Leslie me kushte normalizimi për vektorin që rezulton x(k+1) në mënyrë që shuma e madhësisë së të gjithë popullsisë të jetë e barabartë me madhësinë totale të vëzhguar në atë kohë k+1, atëherë indirekt merret parasysh ndikimi i kushteve të motit. Modeli në këtë rast do të duket si ky:

x(k+1) = Lx(k), ,

Ku X(k+1) - madhësia totale e popullsisë në një kohë k+1 (shënimet e tjera janë të ngjashme me modelin e Leslie). Kështu, duke ditur numrin total të individëve të një cenoppopulate të caktuar në vite të ndryshme, duke ndërtuar matricën Leslie nga konsideratat e përgjithshme biologjike dhe duke marrë si x(1) shpërndarja e individëve të deleve sipas grupmoshave në vitin 1970, është e mundur që në mënyrë të besueshme të rivendoset shpërndarja e individëve sipas grupmoshave në vitet e tjera.

Llogaritja e madhësisë absolute të cenoppulacionit Helictotrichon schellinum për grupmosha të ndryshme në vite të ndryshme kryhet si më poshtë. Ne marrim të dhënat origjinale për vitin 1970 dhe i zëvendësojmë ato në matricë. Ne kryejmë shumëzimin e matricës sipas rregullave të duhura. Ne marrim një matricë të re me numrat e grupmoshave të ndryshme për vitin 1971.

Ne e përsërisim këtë çdo herë për çdo vit. Ne i vendosim rezultatet në një tabelë, llogarisim numrin total të individëve duke përdorur modelin Leslie dhe e krahasojmë atë me të dhënat empirike. Më pas, ne prezantojmë një faktor korrigjimi dhe i sjellim llogaritjet sipas modelit në përputhje me numrin total (Tabela 2).

tabela 2

Madhësia absolute e cenoppulacionit të deleve Shell për grupmosha të ndryshme sipas modelit të Leslie dhe të dhënave empirike

Grupmosha
të dhëna empirike	modelja Leslie	të dhëna empirike	modelja Leslie		të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale	të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale	të dhëna empirike	modelja Leslie	Modeli Leslie i përshtatur për popullsinë totale
Fidanët, individët pregjenerues dhe gjenerues				280,1	160,9		231,9	31,5		188,9	158,1		153,7	75,1
Individët subsenile				193,0	110,9		140,1	19,0		116,0	97,1		94,5	46,2
Individët e moshuar				59,6	34,2		77,2	10,5		56,0	46,9		46,4	22,7
Numri total				532,7			449,2			360,9			294,6